Nghiên cứu quá trình phân rã điện yếu trong gần đúng 1 photon m → e + νµ + νe + g

Giới thiệu phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên và dẫn các tích phân cần thiết được tính trong tọa độ cầu của không gian n – 1chiều.. Với góc độphương pháp luận ta xét cụ t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn

MỤC LỤC

Mở đầu

Chương 1 Quá trình phân rã muon

1.1 Yếu tố ma trận của quá trình phân rã   e  e 

1.2 Tốc độ phân rã của quá trình   e   e 

Chương 2 Đóng góp của bổ chính tương tác điện từ cho phân rã muon 2.1 Giới thiệu cách tìm biên độ của phép dời chuyển cho quá trình   e  e   

2.2 Phương pháp min cho quá trình   e  e   

2.3 Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên cho quá trình 1 4 4 10 13 13 17   e  e   

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên

Vận dụng vào mô hình tự tương tác của trường vô hướng 24 33 34 36 Lint  g3 39

Phụ lục B.

Phụ lục A.

gây nên, và tính tốc độ phân rã của quá trình này Chương này gồm hai mục:

Mục 1.1 ta viết Hamiltonien tương ứng m ® e + n% + n

e

bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo hằng số tương tác yếu G, viết yếu tố S –

ma trận Từ yếu tố S – ma trận rút ra được biểu thức cho biên độ bất biến của phép

dời chuyển T fi( m) ứng với quá trình kể trên

Mục 1.2 ta tính tốc độ phân rã dựa trên công thức tổng quát và biểu thức biên

độ của phép dời chuyển, tương ứng với giản đồ Feynman đã tìm được ở mục 1.1

Chương 2 Dành cho việc tính toán thêm bổ chính ở bậc thấp nhất của tương

tác điện từ cho quá trình phân rã m ® e + n% + n gây nên bởi tương tác yếu, có

Mục 2.2 Dành cho việc giới thiệu phương pháp l min và vận dụng nó vào việc

tách phân kỳ hồng ngoại trong biên độ của phép dời chuyển đã tìm được ở mục 2.1.Mục 2.3 Chúng tôi giới thiệu phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và áp dụng

nó cho phân kỳ hồng ngoại trong bài toán này

Phần kết luận tóm tắt các kết quả đã nhận được, đồng thời tiến hành so sánh

các biểu thức tìm được bằng hai cách tách phân kỳ khác nhau: Phương pháp l min

này trong tương lai

Phụ lục A Giới thiệu phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên

và dẫn các tích phân cần thiết được tính trong tọa độ cầu của không gian (n – 1)chiều

Phụ lục B Vận dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên vào mô hình tự

tương tác của trường vô hướng L int = gj 3

Trong bản luận văn này chúng ta sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h =c= 1,

và metric giả Euclide (metric Feynman), tất cả bốn thành phần vector 4-chiều ta

Các vector phản biến là tọa độ

Chú ý: tensor metric là tensor đối xứng g

vector hiệp biến được xác định bằng cách sau:

3

Chương 1 QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ MUON

Trong chương này chúng ta xem xét quá trình phân rã do tương tác yếu gâynên, và tính tốc độ phân rã ở bậc thấp nhất của hằng số tương tác yếu G Với góc độphương pháp luận ta xét cụ thể quá trình phân rã hạt muon, mà nó đã được nghiêncứu rất kỹ cả lý thuyết lẫn thực nghiệm nhiều năm, và kết quả thu được phù hợp với

sơ đồ (V – A) Feynman- Gell-Man cho tương tác yếu của các hạt tích điện [6] Quátrình phân rã diễn ra theo sơ đồ sau đây:

m ® e + n% + n

e

trong đó m-muon; e - electron; n%- phản neutrino electron; n

Phương trình này thỏa mãn các định luật bảo toàn: xung lượng, năng lượng,điện tích, tích Baryon, tích Lepton

Một số đặc trưng của các hạt trên như[1]:

Khối lượng: m e

Spin: tất cả bốn hạt trên đều có spin bằng J = 2 1

Điên tích: điện tích của electron bằng điện tích của muon và bằng – e, còn cáchạt neutrino không tích điện

yếu

int ,0

trong đó G là hằng số tương tác yếu Thừa số (1 /

đầu tiên của đại lượng G, và G không chứa g5

lên trạng thái electron (muon), và ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo hằng

số tương tác yếu G, nên yếu tố ma trận có thể viết dưới tích của hai thừa số sau:

q1s 1 ; q2s 2 ; q3s 3

=

2Công thức (1.6) tương ứng với giản đồ Feynman ở bậc thấp nhất của lý thuyết

nhiễu loạn được trình bày ở (Hình 1.1) Muon với xung lượng p và spin s, phân rã

thành n - neutrino muy với xung lượng q 3 và spin s 3, n%- phản hạt neutrino electron

Khi tính toán chúng ta coi hai neutrino có khối lượng nhỏ nào đó xấp xỉ bằng

nhau (ký hiệu là m n ) và khác không Bằng cách này ta có thể vẫn sử dụng cách táichuẩn hóa thông thường và các toán tử chiếu Trong kết quả cuối cùng ta cho khốilượng của neutrino dần đến không

Ta sử dụng các biểu thức giao hoán (1.8) đối với các toán tử sinh, hủy để tínhtoán các yếu tố ma trận:

q s ;q s l (x )

thay phương trình (1.12), (1.13) vào phương trình (1.6) và lấy tích phân theo d 4 x ta

thu được biểu thức yếu tố S – ma trận ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn,

tương ứng với quá trình phân rã điện yếu biểu diễn tại (Hình 1.1) như sau:

So sánh (1.14) và (1.15) suy ra được biểu thức cho biên độ của phép dời

chuyển bất biến T cho phân rã muon.

4G

T fi ,0 =

-Tính bình phương biên độ của phép dời chuyển T (1.17), lấy tổng spin trạng

thái cuối và lấy trung bình các spin trạng thái đầu:

å T

2

fi Spins

Tính vết trong biểu thức (1.22), ta cần áp dụng công thức sau:

Vết của tích một số lẻ các ma trận Dirac thì bằng 0

é l

T r a/ g b g T r c/ g

ê ë

1.2 Tốc độ phân rã của quá trình m ® e + n% + n

e

Công thức tổng quát để tính tốc độ phân rã có dạng [5]:

W =

trong đó E a

là năng lượng và xung lượng của các hạt sản phẩm của quá trình phân rã;

biến Lorentz Còn T fi chính là biên độ bất biến mà nó cần tính theo giản đồFeynman tương ứng (Hình 1.1)

Áp dụng cho quá trình phân rã m ®

Ta lấy tích phân theo các xung lượng q2 , và q3

Áp dụng công thức tính tích phân sau đây cho (1.28):

Chúng ta tiến hành tính toán trong hệ nghỉ của muon, hơn nữa chúng ta sẽ bỏ quakhối lượng nhỏ của electron để có:

Điều đó có nghĩa là năng lượng cực đại của electron là

năng lượng tổng cộng ban đầu Sau khi lấy tích phân theo góc đặc, tốc độ phân rã

Như vậy chúng ta đã tìm được công thức để cho tốc độ phân rã của quá trình

phân rã m ® e + n% + n , gây nên bởi tương tác yếu (1.32) là một giá trị hữu hạn.

Chương 2

ĐÓNG GÓP CỦA BỔ CHÍNH TƯƠNG TÁC ĐIỆN TỪ CHO PHÂN RÃ

2.1 Giới thiệu cách tìm biên độ của phép dời chuyển cho quá

trình m ® e + n% + n

Trong chương 1, ta đã tính phần đóng góp vào quá trình phân rã

m ® e + n% + n

e

hằng số tương tác yếu, và đã thu được biểu thức hữu hạn cho tốc độ phân rã Các

hạt tham gia quá trình m ® e + n% + n

e

kể thêm phần đóng góp của tương tác điện từ, có nghĩa các hạt tích điện trong quá

trình phân rã, đồng thời lại tham gia tương tác với trường bức xạ điện từ

Hamintonian tương tác

(bức xạ và hấp thụ photon) sẽ làm các biểu thức biên độ bất biến T của phép dời

chuyển và biểu thức cho tốc độ phân rã xuất hiện phân kỳ hồng ngoại [13,17], ở

vùng năng xung lượng thấp Các photon thực cũng như hạt ảo có năng xung lượng

rất nhỏ so với năng xung lượng của hạt tham gia quá trình phân rã, thì người ta coi

chúng là photon ” mềm”

Phân kỳ hồng ngoại liên quan trực tiếp đến các trường mà lượng tử của nó có

khối lượng nghỉ bằng không Ví dụ, như photon trong QED, graviton trong hấp dẫn

lượng tử Các đặc trưng cho kỳ dị hồng ngoại xuất hiện không chỉ cho hàm Green,

mà còn ở các yếu tố ma trận, nếu chúng được xác định bằng các phương trình của lý

thuyết trường lượng tử Khó khăn này chúng ta đã gặp phải ngay cả khi nghiên cứu

các bài toán bức xạ hấp thụ các photon với năng lượng nhỏ trong điện động lực học

cổ điển [9] Các kết quả nghiên cứu đã chứng minh rằng: Sự bức xạ hay hấp thụ một

photon có xác suất lớn hơn sự bức xạ hay hấp thụ hai, hay một số lượng lớn các

photon [4] Chính vì vậy trong luận văn này ta mới chỉ tính đóng góp bổ chính của

13

tương tác điện từ vào quá trình phân rã hạt muon trong gần đúng một photon thực

mềm

Việc tách phân kỳ hồng ngoại trong biểu thức của biên độ của phép dời chuyển

ở đây được tiến hành đồng thời bằng hai cách: phương pháp l min [11, 17] và phương

pháp điều chỉnh thứ nguyên

Trong chương này ta tính đến biên độ của phép dời chuyển tương ứng với quá

trình phân rã điện yếu, xảy ra đồng thời do hai tương tác: tương tác yếu và tương tác

điện từ Đây là bài toán rất phức tạp, trong giới hạn bản luận văn này ta chỉ giới hạn

tương tác điện yếu trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo hằng số

tương tác yếu (G) và gần đúng bậc nhất theo hằng số tương tác điện từ (e), đồng

thời ta chỉ xem xét các photon thực “mềm” Giản đồ Feynman tương ứng với phân

rã điện yếu muon trong gần đúng bậc nhất như đã trình bày, có thể biểu diễn trong

(Hình 2.1) Cụ thể, quá trình phân rã có thể viết như sau:

Các photon thực được hấp thụ hay bức xạ đều liên quan tới dòng muon –

electron Biên độ dời chuyển tương ứng với hai giản đồ (Hình 2.1) của quá trình

(2.1), có dạng sau:

trong đó /e và /e* là các vector phân cực của photon

Viết gọn lại dưới dạng:

Chúng ta nhận thấy rằng biên độ T chứa hai thừa số: thừa số thứ nhất là

biên độ của phép dời chuyển không có bức xạ photon, còn thừa số thứ hai là dòng

của phép dời chuyển J r em Biểu thức để cho J r em là dạng biểu thức duy nhất thỏa

mãn phương trình liên tục kJ= 0 có cực điểm tại k= 0 , và nó là nguyên nhân của

phân kỳ hồng ngoại

fi ,g

Sau đây chúng ta sẽ áp dụng hai phương pháp để khử phân kỳ này đó

là phương pháp l min [11, 17], và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên.

2.2 Phương pháp l

Trong lý thuyết trường (trong QED) ta hay gặp phải các phân kỳ hồng ngoại(khi đó các tích phân sẽ không hội tụ ở các vùng năng lượng thấp) Muốn cho các

hàm truyền (k 2+l min2)- 1 , trong đó l min2< <m 2 , và m là khối lượng của các hạtlepton (electron, hay muon) Điều này tương đương với việc cắt tích phân ở giới hạn

dưới nào đấy khi k » l min và trong kết quả cuối cùng ta cho l min ® 0

Để tiện cho tiện thảo luận kết quả trong mục 2.3 ta viết lại công thức trong (2.15) và ký hiệu là (2.16) Tích phân chứa phân kỳ hồng ngoại có dạng:

17

d k

-ò

R

để cho tích phân (2.16) là phân kỳ hồng ngoại Nếu p 2

thay (2.23) vào (2.22), lấy tích phân theo góc j , kết quả thu được:

19

r 2

= m p

L ( x ) =

2.3 Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên cho quá trình

m ® e + n% +

Ta thấy rằng: Sự bảo toàn năng lượng và xung lượng đã đặt ra các liên kết khác

nhau lên sự phụ thuộc năng lượng-góc của các photon mềm kết hợp với quá

Trước khi thảo luận các vấn đề này tỉ mỉ ta rút ra một số nhận xét: Ở đây có haichiến lược khả dĩ trong việc thực hiện phép lấy tích phân, mà chúng đã được tổngquát hóa Trong hệ nghỉ của hạt phân rã, biểu thức dưới dấu tích phân bao gồm sựđóng góp các photon mềm cho quá trình phân rã này, đã kéo theo các tích vô hướng

là vector bốn chiều nên p2 K = p2 k trong đó k là vector bốn chiều chỉ kéo theo các

thành phần bốn chiều K Lúc đó ta có thể chọn hai cách tiếp cận khác nhau trongviệc đưa vào các tọa độ cực:

hoặc p2 K = p2 k =

gian vật lý Cả hai cách tất nhiên là tương đương nhưng chúng ta có thể tìm thấy; thứnhất phương trình (2.42) dẫn đến sự xem xét đơn giản Phương pháp thứ hai dựa trên

(xem mục 2.2) và lúc đó không có sự ưu việt lắm trong tính toán, nhưng có lợi trongviệc lĩnh hội sự tương đương của nó với cách tính truyền thống

25

Trong khi tính tốc độ phân rã, hàm delta của định luật bảo toàn năng xung lượng được sử dụng để lấy tích phân trong không gian pha của các neutrino.

Tích phân phân kỳ hồng ngoại có dạng:

26

Þ k

Trong đó E

m

loại trừ điểm E 2 = Em , nó luôn luôn dương để chia vùng lấy tích phân thành các

khoảng 0 £ k £ e và e£ k£k , trong đó e là đẳng hướng, có nghĩa không

max

phụ thuộc vào hướng Phân kỳ hồng ngoại chỉ cần xét thảo luận vùng thứ nhất là đủ

Ta sẽ coi tích phân photon mềm là đại lượng đẳng hướng như I ( e) Trong phương

pháp truyền thống I (e) được cho trước với ý nghĩa sau: việc quy cho photon một

Trong đó n là tham số điều chỉnh và ký hiệu e

vùng 0 £ K 0 = K £ e Trong hệ muon đứng yên phương trình (2.47) có:

( e) d K

n

27

suy ra: I n(e) = ò

r

trong đó, b = p2 / E 2 và phương trình (2.42) đã được sửdụng Chọn trục thứnhất

r

dọc theo p2, q được đồng nhất với q1 (xem phụ lục A.2) Sau đó ta có thể lấy tích

phân theo những góc còn lại

30

Để kết thúc chương này chúng ta dẫn bảng so sánh kết quả tách phân kỳ nhận

được bằng hai phương pháp khác nhau: phương pháp l min

Tốc độ phân rã cho quá trình m ® e + n%

0

biểu thức này là hữu hạn

Bằng phương pháp l min : thay (2.39) vào (2.14), thu được tốc độ phân rã cho

quá trình m ® e + n%

W = W e

phân kỳ khi l min

Bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên: thay (2.63) vào (2.14), thu được tốc

độ phân rã cho quá trình m ® e + n% + n + g

tách phân kỳ này ta đã áp dụng hai cách khử phân kỳ (phương pháp l min và phương

pháp điều chỉnh thứ nguyên) và tiến hành so sánh kết quả nhận được Hai kết quảtrùng nhau, nếu trong các công thức (2.65) và (2.66) ta thực hiện phép thay thế

các giản đồ cùng bậc chứa photon thực và photon ảo, các phân kỳ sẽ triệt tiêu Vấn

đề này sẽ được tiếp tục trong thời gian tới

32

KẾT LUẬN

Trong bản luận văn thạc sĩ này quá trình phân rã điện yếu muon thành

electron, phản neutrino - e và neutrino - muy m ® e + n% + n đã được nghiên cứu

ở bậc thấp nhất (bậc một theo G- hằng số tương tác yếu và bậc một theo

e - hằng số tương tác điện từ) của lý thuyết nhiễu loạn và tính tốc độ phân rã của

quá trình này

Luận văn đã đạt được một số kết quả sau:

1 Ta đã tìm được biểu thức cho tốc độ phân rã của quá trình

phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Biểu thức cho tốc độ phân rã của

3 So sánh kết quả cho biểu thức tốc độ phân rã của quá trình có bổ chính,rút ra được sự liên hệ những tham số của hai cách khử trên

33

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

[1] Nguyễn Ngọc Giao (2001), Hạt cơ bản, nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh

[2] Nguyễn Xuân Hãn (1996), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà nội

kê

Tiếng Anh

[4] A.I Akhiezer and V.B.Berestetskii, Quantum

Electrodynamics, New you, 1995

[5] M Bilenky, J Hosek, Glashow-Weinberg-Salam Theory

of Electroweaks Interactions and the Neutral Currents, Phys

Rep, 90C(1982)73

[6] D Bailin, Weak Interactions, Adam Hilger, Ltd Brisol, 1982

[8] K.E Erikson, Nuovo Cimento 19 (1961) 1010

[9] R Gastmans and R Meuldermans, Nucl Phys B63(1973)277

[10]G ’t Hoof and M.Veltman, Nucl Phys B44(1972) 189

[11] J.M Jauch and F.Rohrlich, Theory of Photons and

Electrons(Addison-Wesley reading, Mass.1955) ch.16

[12] T Kinoshita, J.Math,Phys, 3(1962)650

T.D Lee and M.Nauenberg, Phys.Rev.133(1964)B1549

Quantum Electrodynamics; Reduction of Cohenrentstates and Cross

Section Fromulae, NYU preprint TR17/74 and References therein

[14] W Marciano, Nucl.Phys.B84(1975)132.

Electromagnetic and Strong Interactions, Rev Mod Phys 46(1974)255

[16] T-Y Wu and W-Y Pauchy Hwang, Relativistic Quantum and Quantum Fiels, World Sienticfic, 1990

[17] D.R Yeine, S.Cfraustchi and H.Suura, Ann Of Phys

13(1961)379 and Referencestherein

35

PHỤ LỤC A PHƯƠNG PHÁP KHỬ PHÂN KỲ BẰNG ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN

A.1 Những luận điểm cơ bản

Phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên lần đầu tiên năm 1972được G’t Hoof và Veltman[10] sử dụng để chứng minh tính tái chuẩn hóa được củacác lý thuyết trường chuẩn không Abel

Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên bao gồm các bước sau[3]:

1 Tích phân theo đa tạp 4- chiều của các xung lượng ảo được thay bằng các

tích phân ký hiệu tương ứng và việc lấy tích phân theo không gian n = 4 - 2e

chiều Trong đó e được coi là đại lượng dương xác định, phép lấy tích phân ở đây được thực hiện trong đó n là số không nguyên

Trong phép lấy giới hạn ở đây chúng ta có ngầm định:

bằng điều chỉnh thứ nguyên có nghĩa:

Ở đó thể tích W(n ) là hình cầu đơn vị trong không gian n chiều được ngoại

suy từ hàm Gamma Euler:

Tham số m có thứ nguyên như thứ nguyên của khối lượng được đưa vào ở đây

là do suy luận từ sự bảo toàn thứ nguyên chung

2 Các phép biến đổi tham số Feynman: