Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann liên quan đến xác suất không giao hoán

Đại học quốc gia Hà Nộitrờng đại học khoa học tự nhiên ---Nguyễn Thị Thu Quyờn Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann liên quan đến xác suất không giao hoán Luận văn thạc sĩ k

Đại học quốc gia Hà Nội

trờng đại học khoa học tự nhiên

-Nguyễn Thị Thu Quyờn

Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann liên quan đến xác suất không giao hoán

Luận văn thạc sĩ khoa học

Hà Nội – 2013

Đại học quốc gia Hà Nội

trờng đại học khoa học tự nhiên

-Nguyễn Thị Thu Quyờn

Một số khái niệm cơ bản trong đại số von neumann liên quan đến xác suất không giao hoán

Chuyờn ngành: Lý thuyết xỏc suất và thống kờ toỏn học

Mó số: 60 46 15

Người hướng dẫn: PGS.TS Phan Viết Thư

Luận văn thạc sĩ khoa học

Hà Nội - 2013

Chương 2 Một số khái niệm cơ bản của đại số von Neumann dùng 12-38

trong xác suất không giao hoán-hay xác suất lượng tử

2 1 Mở đầu, hoán tập,hoán tập bậc hai- Định lý cơ bản của von 12

Neumann, không gian con A-bất biến

2.2 Phiếm hàm tuyến tính dương, biểu diễn GNS, trạng thái thuần túy 15

và biểu diễn bất khả quy

2.3 Biểu diễn GNS của Gelfand – Naimark – Segal (GNS – 16

representation)

2.4 Phép đẳng cự bộ phận, sự khai triển cực, sự tương đương của các 21

phép chiếu

2.6 Các lớp toán tử Hilbert – Schmidt và toán tử – vết, tiền đối ngẫu 26

của đại số von Neumann

2.7 Phiếm hàm tuyến tính dương chuẩn tắc, vết, phép metric hóa của 31

topo mạnh trong hình cầu đơn vị của đại số von Neumann

3.1 Nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong xác suất cổ điển 42

3.2 Các không gian xác suất không giao hoán 43

MỞ ĐẦU

Luận văn nhằm giới thiệu những khái niệm cơ bản của đại số von Neuman và xácsuất không giao hoán, đây là những khái niệm ra đời từ cơ học lượng tử, vì vậy ta có thểcoi xác suất không giao hoán là xác suất lượng tử

Cơ học lượng tử là một lý thuyết cơ học, nghiên cứu về chuyển động gần với vậntốc ánh sáng và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như năng lượng và xunglượng, của các vật thể nhỏ bé, ở đó lưỡng tính sóng hạt ( tính chất sóng và tính chất hạt)được thể hiện rõ Lưỡng tính sóng hạt được giả định là tính chất cơ bản của vật chất,chính vì thế cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô

tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thểgiải thích Quan điểm về xác suất được sử dụng rất nhiều trong cơ học lượng tử bởi vìtheo nguyên lý Heisenberg ta không thể xác định chính xác đồng thời vị trí và vận tốccủa hạt vi mô, không xác định được quỹ đạo của hạt chuyển động Thế nên người ta tìmcách tiên đoán xác suất để chúng ở trong một miền xác định nào đó

Cơ học lượng tử được hình thành vào nửa đầu thế kỷ 20 do Max Planck,Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger, Max Born,John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli và một số người khác tạo nên

Có nhiều phương pháp toán học mô tả cơ học lượng tử, chúng tương đương với nhau Một trong những phương pháp được dùng nhiều nhất đó là lý thuyết biến đổi, doPaul Dirac phát minh ra nhằm thống nhất và khái quát hóa hai phương pháp toán học trước đó là cơ học ma trận (củaWerner Heisenberg) và cơ học sóng (của Erwin

Schrödinger)

Theo các phương pháp toán học mô tả cơ học lượng tử này thì trạng thái lượng tử của

một hệ lượng tử sẽ cho thông tin về xác suất của các tính chất, hay còn gọi là các đại

lượng quan sát (đôi khi gọi tắt là quan sát), có thể đo được Các quan sát có thể là năng

lượng, vị trí, động lượng (xung lượng), và mô men động lượng Các quan sát có thể là liên tục (ví dụ vị trí của các hạt) hoặc rời rạc

Nói chung, cơ học lượng tử không cho ra các quan sát có giá trị xác định Thay vào

đó, nó tiên đoán một phân bố xác suất, tức là, xác suất để thu được một kết quả khả dĩ

từ một phép đo nhất định

Trong các công thức toán học rất chặt chẽ của cơ học lượng do Paul Dirac và Johnvon Neumann phát triển, các trạng thái khả dĩ của một hệ cơ học lượng tử được biểu

diễn bằng các véc tơ đơn vị (còn gọi là các véc tơ trạng thái) được thể hiện bằng các hàm số phức trong không gian Hilbert (còn gọi là không gian trạng thái) Không gian

trạng thái của vị trí và xung lượng là không gian của các hàm bình phương khả tích Mỗi

quan sát được biểu diễn bằng một toán tử tuyến tính Hermit xác định (hay một toán tử tự

liên hợp) tác động lên không gian trạng thái

Các nguyên tắc cơ bản của cơ học lượng tử rất khái quát Chúng phát biểu rằngkhông gian trạng thái của hệ là không gian Hilbert và các quan sát là các toán tử

Hermit tác dụng lên không gian đó

Cơ học lượng tử hiện đại được ra đời năm 1925, khi Heisenberg phát triển cơ học matrận và Schrödinger sáng tạo ra cơ học sóng và phương trình Schrödinger Sau đó,

Schrödinger chứng minh rằng hai cách tiếp cận trên là tương đương

Heisenberg đưa ra nguyên lý bất định vào năm 1927 và bắt đầu vào năm 1927, PaulDirac thống nhất lý thuyết tương đối hẹp với cơ học lượng tử Ông cũng là người tiênphong sử dụng lý thuyết toán tử, trong đó có ký hiệu Bra-ket rất hiệu quả trong các tínhtoán như được mô tả trong cuốn sách nổi tiếng của ông xuất bản năm 1930 Cũng vàokhoảng thời gian này John von Neumann đã đưa ra cơ sở toán học chặt chẽ cho cơ họclượng tử như là một lý thuyết về các toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert Nóđược trình bày trong cuốn sách cũng nổi tiếng của ông xuất bản năm 1932 Các lý thuyếtnày cùng với các nghiên cứu khác từ thời kỳ hình thành cho đến nay vẫn đứng vững vàngày càng được sử dụng rộng rãi

Không gian xác suất không giao hoán mà chúng ta sẽ đề cập là một cặp  ,  trong

đó là một đại số von Neumann (trên một không gian Hilbert khả ly), và phiếm hàmtuyến tính liên tục yếu  :  biến đơn vị thành đơn vị, gọi là vết thỏa mãn:

1 có tính dương:  X   0 nếu X là phần tử không âm, tức là X = Y * Y;

2 trung thành:  X * X   0 khi và chỉ khi X = 0;

3 có tính vết:  (XY) =  (YX)

Mối liên hệ của ý tưởng trên với "xác suất" được thông qua bởi định lý cơ bản sau:Với mỗi phân tử tự liên hợp X  , luôn tồn tại độ đo xác suất Borel X trên sao cho

 t t t n t  t X t dt t  t  t  t X n t 

Như vậy ta có các khái niệm xác suất không giao hoán tương ứng:

- đại lượng quan sát A  : đại lượng ngẫu nhiên (không giao hoán);

- trạng thái  : kì vọng, có tác dụng xác định phân phối;

- đại số von Neumann được trang bị trạng thái  thỏa mãn (1-2-3): không gian xác suất (không giao hoán)

Nội dung của luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức bổ trợ cho chương 2, bao gồm các định nghĩa, ví

dụ và các tính chất cơ bản cũng như mối quan hệ giữa ba dạng đại số định chuẩn: Đại số Banach, đại số C* và đại số von Neumann.

Chương 2: “Một số khái niệm cơ bản của đại số von Neumann dùng trong xác suất không giao hoán - hay xác suất lượng tử ”.

Chương 3: Trình bày về xác suất không giao hoán, trong đó nhắc lại một số khái niệm

cơ bản trong xác suất cổ điển và từ đó tiếp cận một cách tổng quan các kết quả về các không gian xác suất không giao hoán, không gian L P không giao hoán cho đại số von Neumann; ngoài ra là định nghĩa và một số kết quả về đại số L, F,,A, đại số giao hoán von Neumann cũng được giới thiệu trong chương này

Hoàn thành được luận văn này, trước tiên tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đếnngười hướng dẫn khoa học của mình là PGS.TS Phan Viết Thư, người thầy đã đưa ra đềtài và tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn Đồng thời tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô thuộc khoa Toán – Cơ – Tin học, Bộ môn Xác suất thống kê, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học – trường ĐHKHTN– ĐHQGHN và các thầy cô bên Viện Toán học đã tận tình giảng dạy và rèn luyện chotôi trong suốt thời gian tôi học tập, nghiên cứu tại trường

Cuối cùng, do khả năng và thời gian có hạn luận văn không tránh khỏi những saisót, vì vậy tôi rất mong nhận được những sự chỉ bảo, hướng dẫn của các thầy cô và sự góp ý của các bạn để bản luận văn này được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Học viên

Nguyễn Thị Thu Quyên

CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ BANACH, ĐẠI SÔ C* , ĐẠI SỐ VON NEUMANN

Chương này được coi như chương trình bày một số kiến thức bổ trợ, làm nền tảng để theo dõi các trình bày ở các chương sau Nội dung chính của chương nhằm giới thiệu định nghĩa, cùng một số ví dụ và tính chất cơ bản cùng với mối quan hệ giữa ba dạng đại số địnhchuẩn: Đại số Banach, đại số C* và đại số von Neumann Về bản chất có thể coi chúng là các không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, trên đó có định nghĩa thêm phép nhân

(thường không giao hoán) giữa các “vectơ” tương thích với tô pô sinh từ chuẩn

Khi đó, A được gọi là một đại số phức.

Hơn nữa, nếu A là một không gian Banach (với chuẩn , ) thỏa mãn các tính chất

Thật vậy, giả sử A là một không gian Banach thỏa mãn các tính chất 1 – 4 Ta xét

Ta đưa vào A1 cấu trúc tuyến tính thông thường, phép nhân và chuẩn được xác địnhnhư sau:

x ,   y ,     xy   y   x, 

 x, y   x  

Khi đó, các điều kiện 1 – 6 được thỏa mãn, trong đó phần tử đơn vị là 1 = (0,1) Với phép đẳng cấu các đẳng cự x(x, 0) của đại số A với một đại số con của đại số A1 , ta

có thể xem A là một đại số con của đại số A1 đó là đại số Banach

-Phép nhân là liên tục theo nghĩa: Nếu x n x y n y thì x n y n xy

1.1.3 Định nghĩa

Giả sử A, B là hai đại số phức Ta xét ánh xạ  :AB Nếu  tuyến tính và nhântính theo nghĩa xy xy thì  sẽ gọi là một đồng cấu Trường hợp  là đồng cấu khả nghịch thì  gọi là đẳng cấu

Nếu  thêm tính liên tục, A, B là các đại số Banach thì  được gọi là một đồng cấu (đẳng cấu nếu  khả nghịch) giữa hai đại số Banach

Chú ý: Trong nhiều trường hợp từ tính chất nhân tính suy ra tính chất liên tục

Khi đó C(k) là một đại số Banach giao hoán; đặc biệt khi card(K) = n thì C(k) n

- không gian phức n chiều

3 Giả sử H là không gian Hilbert A = B(H,H) = B(H) với phép cộng, nhân các

toán tử tuyến tính theo nghĩa thông thường

Đại số C* là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của giải tích hàm Một đại số C *

là một đại số Banach phức A của các toán tử mà trên đó có định nghĩa thêm phép toán *

( đối hợp) x x*

thỏa mãn điều kiện C* :

x  A : x*

x    x x* liên tục trên một không gian Hilbert phức với hai tính chất:

1) A là tập đóng trong topo chuẩn của toán tử

2) A là đóng đối với phép lấy liên hợp của toán tử

C * - đại số được biết đến như là đối tượng toán học hàng đầu dùng trong cơ học lượng tử để mô hình hóa đại số của các đối tượng vật lý quan sát được Hướng nghiên cứu này bắt đầu bởi Heisenberg với cơ học ma trận, và phát triển dưới dạng toán học bởiPascual Jordan năm 1933

Tiếp theo đó John von Neumann tiếp tục phát triển mạnh mẽ hướng nghiên cứu đãxây dựng một lớp đặc biệt của C* - đại số mà sau này gọi là đại số von Neumann Định nghĩa trừu tượng của C* - đại số được đưa ra năm 1943 bởi Gelfand và Neimark:

3) Với mọi   , x  A:  x*

 x*4) Với mọi x  A : x*

x    x x* Đẳng thức cuối cùng này gọi là đẳng thức C* , nó tương đương với:

1.2.2 Ví dụ C* - đại số của các toán tử.

Một ví dụ quan trọng của C* - đại số là đại số B(H) của các toán tử tuyến tính bị chặn (tương đương với liên tục) định nghĩa trên không gian Hilbert phức H, ở đây x* ký hiệu toán tử liên hợp của toán tử x:HH

Định lý Gelfand – Naimark nói rằng: mọi C* - đại số A là * - đẳng cấu với một đại số con của B(H) đóng đối với chuẩn và đóng đối với lấy liên hợp với H là một khônggian Hilbert thích hợp

1.2.3 Ví dụ C* - đại số giao hoán.

Cho X là một không gian Hausdorff compact địa phương Không gian C0 (X)

của các hàm giá trị phức, liên tục trên X và triệt tiêu ở vô cùng lập thành một C* - đại

số, C 0 ( X ) với phép cộng và nhân hai hàm sốf,g C 0 ( X ) theo điểm (theo cách thôngthường) Phép liên hợp là lấy liên hợp phức theo từng điểm

1.3 Đại số von Neumann

Đại số von Neumann còn gọi là đại số W* ( W* - đại số trước năm 1960) làdạng đặc biệt của đại số C* Nó đòi hỏi phải đóng đối với topo toán tử yếu, là topoyếu hơn topo chuẩn toán tử

C*

- đại số và lý thuyết trường lượng tử.

Trong cơ học lượng tử, người ta mô tả một hệ thống vật lý bởi một C* - đại số A

với phần tử đơn vị Các phần tử tự liên hợp của A ( x  A với x*

 x ) được coi là các

đại lượng quan sát được, là đại lượng đo được của hệ thống (giá trị quan sát được là một

điểm thuộc phổ của x, lúc đó là một số thực vì x là tự liên hợp) Một trạng thái của

hệ thống là một phiếm hàm tuyến tính dương trên A (là một ánh xạ - tuyến tính

 : A sao cho u*u 0 với mọi u  A - khi đó u *u  A ) sao cho 1 1 Giá trị

kỳ vọng của đại lượng quan sát được x  A là   x , nếu hệ thống ở trong trạng thái  Tất cả các khái niệm này đều dẫn đến ý tưởng xây dựng không gian xác suất không giaohoán gọi là C* - không gian xác suất hay W* - không gian xác suất

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA ĐẠI SỐ VON NEUMANN DÙNG TRONG

XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN – HAY XÁC SUẤT LƯỢNG TỬ

2 1 Mở đầu, hoán tập,hoán tập bậc hai- Định lý cơ bản của von Neumann, không

gian con A-bất biến

2.1.1 Các định nghĩa và ký hiệu

Cho H là một không gian Hilbert, B(H) là đại số của tất cả các toán tử tuyến tính

bị chặn trên H Một đại số Von Neumann là 1 đại số con A của B(H) mà có tính chất tự

liên hợp (tức với xA kéo theo x*

A ), chứa 1 (toán tử đồng nhất) và đóng trong topo toán tử yếu A là ký hiệu nón gồm tất cả các phần tử dương của A projA dùng để chỉ

tập tất cả các phép chiếu trực giao trong A Với họ ( pi )iI  projA, ta đặt:

V p = phép chiếu lên không gian con p(H)

2.1.2 Định lý

Một không gian con tuyến tính đóng Y của H là bất biến đối với A nếu và chỉ nếu

PY A' và ta có 1 P Y  h  01P Y , điều này có nghĩa là Y = H

Do vậy h là tuần hoàn đối với A

'

yxh  xyh 0 Do vậy y triệt tiêu trên Y  H  y  0 Nghĩa là h tách A'

Phần tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh một trong những tính chất đặc trưng nhấttrong định lý của đại số von Neumann

2.1.4 Định lý (Hoán tập bậc hai của von Neumann)

Nếu A là 1 đại số Von Neumann thì A"

 n g

là baođóng của tập xgˆ ; x  A

Giả sử p là phép chiếu (trực giao) lên A

2.2 Phiếm hàm tuyến tính dương, biểu diễn GNS, trạng thái thuần túy và biểu diễn bất khả quy.

2.2.1 Định nghĩa Một phiếm hàm tuyến tính  trên A được gọi là dương nếu

 x   0 x  A

Phiếm hàm  được gọi là trung thành (faithful) nếu  x0x0xA

Dễ dàng thử lại rằng nếu  là 1 phiếm hàm tuyến tính dương trên A thì   x*

* Mọi hàm tuyến tính dương  đều bị chặn và      1

Một phiếm hàm tuyến tính dương  trên A được gọi là một trạng thái nếu  11

2.2.2 Mệnh đề Cho h H và  là một phiếm hàm tuyến tính dương trên A sao cho:

, ta định nghĩa trên không gian con  xh : x  A 

bán song tuyến tính Hecmit dương với chuẩn  1; vì vậy tồn tại một toán tử Hecmit

z0 trong không gian Y sao cho:  y*

x  xh, z0 yh, z0  1 Với x, y ,wA , ta có:

2.3 Biểu diễn GNS của Gelfand – Naimark – Segal (GNS – representation).

2.3.1 Định nghĩa Một ánh xạ tuyến tính  của đại số von Neumann A lên đại số B(K)

của các toán tử tuyến tính bị chặn tác động trong một không gian Hilbert K gọi là một *

- biểu diễn của A (trong K) nếu:

x , y A

nói cách khác, một * - biểu diễn của A là một cặp ,K gồm một không gian Hilbert K

và một * - đồng cấu  của A vào

Ta nói rằng ,K là một biểu diễn tuần hoàn nếu  một vectơ tuần hoàn trong K cho

  A

2.3.2 Định lý Gelfand – Naimark – Segal (GNS)

Với mỗi phiếm hàm tuyến tính dương  trên A tồn tại một biểu diễn tuần hoàn

, Kcủa A với một vectơ tuần hoànsao cho:

x  A , định nghĩa toán tử trong A của phép nhân trái bởi x (tức là: yxy ), bằng cách

chuyển qua không gian thương là một phép toán tuyến tính x trong A/M

Từ bất đẳng thức này suy ra rằng phép toán x có chuẩn  1

Thật vậy: Với y A, ta có:

BK

Do đó x mở rộng thành một toán tử tuyến tính lien tục    tác động trong

K Dễ dàng kiểm tra rằng x   là một *- đồng cấu sao cho 1H 1K

-Biểu diễn K ,   được xây dựng ở trên được gọi là biểu diễn tuần hoàn liên kết với 

Nó cũng được ký hiệu là K    để chỉ vectơ tuần hoàn  

2.3.3 Định nghĩa Một trạng thái  trên một đại số von Neumann được gọi là thuần túy

nếu các phiếm hàm tuyến tính dương  được làm trội bởi  (tức là:

Giả sử trái lại thì tồn tại một trạng thái 

   1  1   2, vậykhông là cực biên (mâu thuẫn)

Chứng tỏ  là một trạng thái thuần tuý

2.3.4 Định nghĩa.

Một tập M của những toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert H được

gọi là bất khả quy nếu các không gian con đóng của H là bất biến dưới tác động của M

chỉ gồm các không gian con tầm thường 0 và H

Một biểu diễn của đại số von Neumann A được gọi là bất khả quy nếu tập

  Alà bất khả quy trên H

2.3.5 Định lý.

Cho  là một trạng thái trên đại số von Neumann A Khi đó biểu diễn tuần hoàn

H ,  ,  của A liên kết với là bất khả quy nếu và chỉ nếu là một trạng thái

thuần tuý

Chứng minh

Giả sử rằng H ,  ,   là không bất khả quy, khi đó tồn tại một không gian

con A bất biến không tầm thường của H Theo định lý 2.1.2, phép chiếu p lên không

gian con này thuộc   A' (tập giao hoán) và p < 1

Nghĩa là  làm trội  Do đó  không là một trạng thái thuần tuý (bởi vì 

không là một bội số của  )

Bây giờ giả sử rằng  không phải là một trạng thái thuần tuý thì tồn tại một hàmtuyến tính dương  sao cho   x*

xác định trù mật trên H  H và tồn tại một phép toán tuyến tính bị chặn duy nhất trên

chiếu H lên không gian con không tầm thường Y của H Theo định lý 2.1.2, Y là

một không gian con (không tầm thường) của H trong đó H là một  - bất biến, vì vậy   không bất khả quy.□

2.4 Phép đẳng cự bộ phận, sự khai triển cực, sự tương đương của các phép chiếu

Ta biết rằng biến ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất thông thường (ánh xạ đo được) là giới hạn của dãy các hàm đơn giản đo được (tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm chỉ tiêu đo được) Tích phân của hàm chỉ tiêu của tập đo được A , là độ đo của tập A: 1Adμ = μ(A) từ đó có thể định nghĩa của tích phân của hàm đơn giản.

Còn kỳ vọng toán học hay tích phân của một biến ngẫu nhiên nói chung có thểđịnh nghĩa bởi giới hạn của tích phân của các hàm đơn giản

Khi đó trong xác suất lượng tử, tương ứng với biến ngẫu nhiên là toán tử (quan sát được) trong một không gian Hilbert phức, hay phần tử của đại số von Neumann, còn ứng với hàm chỉ tiêu là phép chiếu lên một không gian con còn tương ứng với hàm đơn giản là tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các phép chiếu Tương ứng với tích phân là trạng thái (state) hoặc vết (trace) Dưới đây ta sẽ thấy những tính chất của các đối tượngnày trong xác suất không giao hoán

2.4.1 Định nghĩa Một toán tử u trên H được gọi là một đẳng cự bộ phận nếu u*

Do đó toán tử u ánh xạ p  H  đẳng cự lên q  H  và 1 p  H  tới 0

Phép chiếu p gọi là phép chiếu bắt đầu của u và q là phép chiếu kết thúc của nó

2.4.2 Định nghĩa Cho x B  H  Ký hiệu N  x là phép chiếu lên không gian không

hạch của x (tức là: tập tất cả h H sao cho xh 0 ) Phép chiếu S  x   1  N  x được gọi

là giá của x

Rõ ràng x1 Sx 0 và xS  x   x , S  x là nhỏ nhất trong các phép

chiếu p trong B  H  thoả mãn xp x

Cho R  x là phép chiếu lên không gian con xH  (bao đóng của x  H )

Rõ ràng, R  x là nhỏ nhất trong các phép chiếu p trong BH sao cho px  x

Ta có: R  x   S  x*

.Điều này suy trực tiếp từ h, x*

g    xh, g    R  x  xh, g  h, x*

R  x  g  h, g

H

Đặc biệt, với một toán tử tự liên hợp x ta có R  x   S  x

2.4.3 Định lý (Khai triển cực của một toán tử).

Với mỗi x  A có một phép đẳng cự bộ phận duy nhất u  A sao cho u*

Sử dụng biểu diễn phổ của x , ta kiểm tra được rằng un hội tụ mạnh tới một phần tử

nào đó của A, giả sử là u với upu , và un x  x  0  Vì vậy ta có  x  u x

v  S  x thì nhân từ bên phải của đẳng thức u x v x x

và lấy giới hạn khi n ta có uup vp v □

Từ những kết quả đã chứng minh kéo theo sự khai triển cực của x*

2.4.4 Định nghĩa: Ta nói, 2 phép chiếu p, q trong đại số von Neumann là tương đương,

p q nếu có 1 đẳng cự riêng uAsao cho u*

u  p và uu*

 q

Theo mục bên trên, nếu xA thì R  x R  x*  và S  x  S  x*

Ta viết:

nếu p q1  q (với phép chiếu con q1 nào đó của q).

2.5 Tôpô lồi địa phương trên B(H).

2.5.1 Định nghĩa (Một vài tôpô lồi địa phương Hausdorff quan trọng).

1) Tôpô đều trong B(H) được cho bởi chuẩn toán tử:

x    x    sup xh

h H

h  1

2) Tôpô toán tử mạnh được định nghĩa bởi họ nửa chuẩn:

x  xh trong đó h chạy trên H.

3) Tôpô  -mạnh (hay siêu mạnh) mạnh (hay siêu mạnh) được cho bởi họ nửa chuẩn:

ở đó hi  là dãy bất kỳ các phần tử của H sao cho:  h

Topo  -mạnh mịn hơn topo mạnh Cả 2 tôpô đó trùng nhau trên hình cầu đơn vị

B1 H  của B  H  Phép nhân x, y   xy liên tục trên B1 H   B  H   B  H

 trong những tôpô đó Nếu H là vô hạn chiều thì phép nhân không liên tục đồng thời

trên toàn B  H , và ánh xạ đối hợpxx*

không liên tục

Chứng minh

Sự tương đương của các topo mạnh và  -mạnh suy từ nửa chuẩn định nghĩa cho

topo  -mạnh là giới hạn đều của các nửa chuẩn liên tục mạnh Sự gián đoạn của xx*

được minh họa bởi ví dụ tiếp sau:

Cho e n là một cơ sở trực chuẩn của H Đặt x n h h, e ne1

Khi đó x n 0  -mạnh x*

n e1  e n 0  -mạnh (mạnh).

2.5.3 Định lý Topo  -yếu mịn hơn tôpô yếu Cả 2 topo đó trùng nhau trên hình cầu

đơn vị B1 H  Các ánh xạ x xy xyx và x x*

là liên tục trong tôpô này Nếu

H có chiều vô hạn thì phép nhân không đồng thời liên tục

2.5.4 Từ ánh xạ đối hợp xx*

không liên tục trong những tôpô mạnh và -mạnh đây

là lí do để giới thiệu 2 tôpô lồi địa phương khác là tôpô mạnh * và  - mạnh * Các

tôpô này được định nghĩa bởi họ nửa chuẩn có dạng:

“<” nghĩa là “mịn hơn” và nếu H có chiều vô hạn thì “<” có thể đọc là “mịn ngặt hơn”

2.6 Các lớp toán tử Hilbert – Schmidt và toán tử – vết, tiền đối ngẫu của đại số von Neumann.

2.6.1 Định nghĩa Một toán tử xBH được gọi là toán tử Hilbert – Schmidt nếu

với hệ trực chuẩn đầy đủ e nào đó của H ta có:



Chuẩn (Hilbert – Schmidt) không phụ thuộc vào cách chọn đặc biệt của e 

Thật vậy, cho  là một hệ trực chuẩn đầy đủ khác của H Khi đó:

Ta ký hiệu KH là tập tất cả các toán tử Hilbert – Schmidt trong H.

Khi đó: xKH,yBH kéo theo xy ,yxKH và yx  y x

Do đó KH là ideal hai phía của BH Dễ dàng kiểm tra được rằng x  x

2

K là một không gian Hilbert dưới tích vô hướng: x , y     y * xe ,e  Điều này

đủ



để chỉ ra sự đầy đủ dưới chuẩn

2

Cho x nlà một dãy Cauchy trong KH nó cũng là dãy Cauchy theo

Cho x n  x (trong tôpô đều), với 0, có n0 sao cho:

compact, do đó tồn tại một hệ cơ sở trực chuẩn

e i và i  0 với i   sao cho x