Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng hall trong dây lượng tử với hố thế hình chữ nhật cao vô hạn

PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CHO TENXO ĐỘ DẪN HALL, BIỂU THỨC TỪ TRỞ HALL CHO DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT...122.1 Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong d

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành tới GS.TS Đinh Quốc Vương, thầy đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện giúp đỡ

em hoàn thành luận văn này.

Thứ đến, em xin trân trọng cảm ơn thầy Nguyễn Văn Nghĩa, hiện đang giảng dạy tại trường Đại học Thuỷ Lợi, người đã giúp đỡ em rất nhiều trong những buổi đầu làm luận văn.

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Vật lý, bộ môn Vật lý

lý thuyết trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, các thầy cô

đã giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học tập tại Trường.

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn.

Luận văn được hoàn thành dưới sự tài trợ của đề tài nghiên cứu khoa học NAFOSTED (103.01 – 2011.18) và QGTD.12.01.

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn nhiều thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn.

Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 9 – 2014 Học viên: Nguyễn Vũ Thắng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……….1

CHƯƠNG 1 DÂY LƯỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ

VỀ HIỆU ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI… 41.1 Dây lượng tử……… 4

1.1.1 Khái niệm dây lượng tử……… 41.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật với thế

cao vô hạn… ……… 41.2 Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối……….5

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC

GIẢI TÍCH CHO TENXO ĐỘ DẪN HALL, BIỂU THỨC

TỪ TRỞ HALL CHO DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT 122.1 Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong dây lượng tử

hình chữ nhật. 122.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử

hình chữ nhật 132.3 Biểu thức giải tích cho tenxơ độ dẫn Hall 19CHƯƠNG 3 TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT

CHO DÂY LƯỢNG TỬ GaAs/GaAsAl 27

4

3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ……… 27

3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường ……… ……… 28

3.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật .28

KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

PHỤ LỤC……… .33

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài.

Cuối những năm 80 của thế kỷ 20 thành tựu của khoa học vật lý được đặctrưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn khối(bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều Đó là, các bán dẫn hai chiều(giếng lượng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng, …); bán dẫnmột chiều (dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật,…); bán dẫn khôngchiều (chấm lượng tử hình lập phương, chấm lượng tử hình hình cầu)

Ta biết rằng ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạngtinh thể (cấu trúc 3 chiều) Nhưng trong các cấu trúc thấp chiều (hệ hai chiều, hệmột chiều và hệ không chiều), ngoài điện trường của thế tuần hoàn gây ra bởi cácnguyên tử tạo nên tinh thể, trong mạng còn tồn tại một trường điện thế phụ Trườngđiện thế phụ này cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều sovới chu kỳ của hằng số mạng (hàng chục đến hàng nghìn lần) Tuỳ thuộc vào trườngđiện thế phụ tuần hoàn mà các bán dẫn thấp chiều này thuộc về bán dẫn có cấu trúchai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng), hoặc bán dẫn có cấu trúc một chiều (dâylượng tử) Nếu dọc theo một hướng nào đó có trường điện thế phụ thì chuyển độngcủa hạt mang điện sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt (hạt chỉ có thể chuyển động tự do theochiều không có trường điện thế phụ), phổ năng lượng của các hạt mang điện theohướng này bị lượng tử hoá Chính sự lượng tử hóa phổ năng lượng của các hạt tảidẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại lượng vật lý: hàm phân bố, mật độ dòng, tenxơ

độ dẫn, tương tác điện tử với phonon…, đặc tính của vật liệu, làm xuất hiện nhiềuhiệu ứng mới, ưu việt mà hệ điện tử ba chiều không có [1,2] Các hệ bán dẫn vớicấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị điện tử dựa trênnguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao, hiện đại có tính chất cách mạng trongkhoa học kỹ thuật nói chung và quang-điện tử nói riêng Nhờ những tính năng nổibật, các ứng dụng to lớn của vật liệu bán dẫn thấp chiều đối với khoa học công nghệ

và trong thực tế cuộc sống mà vật liệu bán dẫn thấp chiều đã thu hút sự quan tâmđặc biệt của các nhà vật lý lý thuyết cũng như thực nghiệm trong và ngoài nước.Trong nhiều năm, có rất nhiều nghiên cứu giải quyết vấn đề về sự ảnh hưởngcủa sóng điện từ lên bán dẫn thấp chiều Sự hấp thụ tuyến tính sóng điện từ yếu gây

ra bởi sự giam giữ các điện tử trong bán dẫn thấp chiều, được nghiên cứu tỉ mỉ bằngcách sử dụng phương pháp Kubo - Mori [3,4] Những tính toán về hệ số hấp thụkhông tuyến tính sóng điện từ mạnh được sử dụng phương trình động lượng tử chođiện tử trong bán dẫn khối [5], trong bán dẫn siêu mạng hợp phần [6, 7] và trongdây lượng tử [8] cũng được báo cáo Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối với sự cómặt của sóng điện từ được nghiên cứu rất chi tiết bằng việc sử dụng phương phápphương trình động lượng tử [9 – 13]

Như chúng ta đã biết, những vấn đề của hiệu ứng Hall trong hệ hai chiều ởnhiệt độ tương đối cao, đặc biệt là với sự có mặt của trường laser đang được nghiêncứu Trong một nghiên cứu, hiệu ứng Hall trong hố lượng tử với hố thế Parabol chỉđược tính đến sự có mặt của từ trường với chuyển động của điện tử là tự do nhưngtrong trường hợp trường điện từ trực giao trong mặt phẳng của chuyển động tự docủa electron không được tính đến Thời gian gần đây cũng đã có một số công trìnhnghiên cứu về Hiệu ứng Hall trong các bán dẫn thấp chiều Do đó, trong luận văn

này trình bày các kết quả nghiên cứu với đề tài: “Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng

Hall trong Dây lượng tử với hố thế hình chữ nhật cao vô hạn”.

2. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử.Chúng ta viết Hamiltonian cho hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình chữnhật với trục siêu mạng được giả thiết theo phương z, sự có mặt của một từ trườngđặt dọc theo trục Ox:

E1) trường laser như trường điện

biên độ và tần số của trường laser) Sau đó, chúng ta xây dựng phương trìnhHamiltonian cho hệ điện tử -phonon và giải phương trình để tìm ra biểu thức giảitích cho ten xơ độ dẫn Hall và hệ số Hall Biểu thức này chỉ ra rằng độ dẫn Hall

8

phụ thuộc vào từ trường, nồng độ pha tạp, tần số sóng điện từ Điều đó thể hiện rõràng qua đồ thị bằng cách và sử dụng chương trình Matlab để tính toán số cho dâylượng tử hình chữ nhật Đây là phương pháp phổ biến để nghiên cứu bán dẫn thấpchiều.

Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Tính toán độ dẫn Hall và hệ số Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật để làm rõ hơn các tính chất đặc biệt của bán dẫn thấp chiều

 Đối tượng nghiên cứu: dây lượng tử hình chữ nhật

 Phạm vi nghiên cứu: Tính toán độ dẫn Hall và hệ số Hall trong dây lượng tử

hình chữ nhật với trường hợp tán xạ chủ yếu là tán xạ điện tử phonon quang

Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn này đượcchia làm ba chương:

CHƯƠNG 1: Dây lượng tử và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán

dẫn khối

CHƯƠNG 2: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích cho tenxo độ

dẫn Hall, hệ số Hall cho dây lượng tử hình chữ nhật

CHƯƠNG 3: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho dây lượng

tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl.

CHƯƠNG 1DÂY LƯỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG

HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI

Trong chương đầu tiên này, chúng tôi sẽ giới thiệu sơ lược về dây lượng tử và

hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối theo quan điểm lượng tử Từ Hamiltonnian của hệ

điện tử - phonon, bằng phương pháp phương trình động lượng tử, đưa ra công thức

tenxo độ dẫn Hall, công thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn khối

1.1 Dây lượng tử.

1.1.1 Khái niệm dây lượng tử.

Dây lượng tử (quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều Trong đó,

chuyển động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều (kích thước cỡ 100 nm), chỉ có

một chiều được chuyển động tự do (trong một số bài toán chiều này thường được

gọi là vô hạn); vì thế hệ điện tử còn được gọi là khí điện tử chuẩn một chiều Trên

thực tế chúng ta đã chế tạo được khá nhiều dây lượng tử có các tính chất khá tốt

Dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hóa

hữu cơ kim loại MOCVD Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên

một transistor hiệu ứng trường, bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn

trên hệ khí điện tử hai chiều

1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật với

hố thế cao vô hạn.

Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được

đề cập đến trong các công trình mang tính lý thuyết Để tìm phổ năng lượng và hàm

sóng điện tử trong dây lượng tử có thể tìm được kết quả nhờ việc giải phương trình

Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều



H Ψ=  −

Trong đó, U(r) là thế năng tương tác giữa các điện tử, V(r) là thế năng giam

giữ điện tử do sự giảm kích thước Với mô hình dây lượng tử hình chữ nhật có kích

10

thước ba trục được giả thiết lần lượt là L x,L y, L z(L z,L x,L y) Ta luôn giả thiết z là

chiều không bị lượng tử hóa (điện tử có thể chuyển động tự do theo chiều này), điện

tử bị giam giữ trong hai chiều còn lại(x và y trong hệ tọa độ Descarte); khối lượng

hiệu dụng của điện tử là m*

Và phổ năng lượng của điện tử:

+ Khi chưa có từ trường:

+ Khi có từ trường:

εn

Trong đó:

n, l: là các số lượng tử của hai phương bị lượng tử hoá x và y; r

k =(0,0, kz): là véc tơ sóng của điện tử

Lx, Ly: là các kích thước của dây theo hai phương Ox, Oy

1.2 Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối.

Trong phần này chúng tôi giới thiệu tổng quát về ảnh hưởng của sóng điện từ

lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối

Trong bán dẫn khối, nếu ta đặt một dòng điện theo phương Ox, một từ trường

theo phương Oz thì thấy xuất hiện một điện trường theo phương Oy Hiện tượng này

11

Ở đây, để có ảnh hưởng

khối ta xét bán dẫn khối đặt

góc với nhau Sự có mặt của

điện trường E= (E 0 sin Ω t, 0, 0)

sóng điện từ)

của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong bán dẫntrong điện trường và từ trường không đổi, vuôngsóng điện từ mạnh đặc trưng bởi vecto cường độ với

Eo và Ω tương ứng là biên độ và tần số của

Trước hết, ta xây dựng phương trình độnglượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi cómặt trường sóng điện từ Sử dụngHamiltonnian của hệ điện tử - phonon trongbán dẫn khối:

(b quur +

b−+quur)(1.5)

12

Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối có dạng:

Chứng minh tự tương ta nhận được phương trình đối với hàm

đó t = −∞ Tương tácđiện tử -phonon sẽđược cho làyếu vànghiên cứunhư nhiễu

đó phần bên phải có thể đưa đến sự tách và để lại giá trị trung bìnhchéo

r

n p

Giải phương trình thu được ở trên với điều kiện ban đầu:

8)

ta th

u được:ur

ĩa mật độ dòng “riêng” được chuyển dời bởi các electron với năng

lượng ε Đại lượng này liên hệ với mật độ dòng bởi hệ thức:

σ im =

(1.18)

c T

( ε

F + Ω ) εikl h l + ωc T 2 ( εF + Ω ) h i h k) }×{δkm− ωc T ( εF) εkmn h n+ωc T 2 ( εF)h k h m

}

(1.19)Trong đó:

15

∆ 7 =

Ở đây D kr là hằng số tương tác của điện tử và phonon (với các cơ chế tán xạ

của tương tác điện tử và phonon khác nhau thì D kr có giá trị khác nhau) Và dựa

vào đó ta sẽ xác định được các thông số a0,b0, b1,b2,b3 trong biểu thức Từ đó

ta có công thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn khối:

R =

H

Bằng phương pháp phương trình động lượng tử, ta thu nhận được biểu thức

tenxo độ dẫn Hall từ đó xác định được công thức hệ số Hall trong bán dẫn khối

Theo (1.19)và (1.20)ta có nhận xét: dưới ảnh hưởng của trường sóng điện từ hệ số

Hall RH phụ thuộc vào biên độ E0, tần số Ω, bên cạnh đó hệ số Hall còn phụ thuộc

vào từ trường B, tỉ lệ nghịch với B2 và phụ thuộc vào điện trường không đổi E1

17

-2.1 Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong dây lƣợng tử hình chữ nhật.

urNếu ta đặt vào dây lượng tử một điện trường dọc theo trục Oz: E1=(0, 0, E1) ,

urmột từ trường không đổi theo phương Ox: B1=(B1, 0, 0) và một điện trường biếnthiên

ρ

= E0 sin Ω tE

n, l, k

hωqr : Năng lượng của phonon quang với vecto sóng

18

an+ , l ,kr và an , l ,kr : Toán tử sinh và toán tử hủy của điện tử

b qr + và b qr là toán tử sinh và toán tửu hủy của phonon quang

r

A(t ): Thế vecto của trường điện từ

2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử

(2.8)

19

Giả thiết

t = -

∞ hệ

ở trạn

g thái cân bằngnhiệtđộng:

br

q

nghiệm

của

phương

trìnhvi

Thay (2.13) vào (2.16) ta được:



Đối số của hàm Bessel nhỏ Ωλ

<< 1 Trong khi phân tích hàm Bessel theo đối

số ta chỉ giữ lại những số hạng tỷ lệ đến bậc một của Ωλ

Trong đó τ là thời gian phục hồi xung của điệntử

Như vậy,phương trình(2.28) là phươngtrình động lượng tửcủa điện tử trongdây lượng tử hìnhchữ nhật với hố thếcao vô hạn Để tìmđược biểu thức giảitích cho tenxơ độdẫn Hall và từ trởHall, ta đi giảiphương trình(2.28) ở điều kiệnnhiệt độ cao với cơchế tán xạ điện tử -phonon quang

2.3 Biểu thức giải tích cho tenxơ độ dẫn Hall

Nhâ

n

2 vế

phương

(2.30c)

Giải (2.30) ta tìm được

r

1r

R( ε )đóng vai trò mật độ dòng riêng ứng với trạng thái có năng lượng ε Nó

chính là mật độ dòng mang bởi điện tử có năng lượng ε

Ta có mật độ dòng toàn phần:

urThay (2.31) vào (2.32) ta thu được biểu thức của mật độ dòng toàn phần j i

cũng như độ dẫn Hall σij Để làm được điều này, ta coi rằng chỉ có tương tác điện tử

- phnon quang lớn:

j= L0(Q) +

rVới L0 (A)=

Trong đó



26

Giả thiết khi điện tử không suy biến, hàm phân bố điện tử có dạngr

Tính chất hàm deta chỉ có điện tử thỏa mãn điều kiện k ≥

vào tích phân; nói một cách khác chỉ có điện tử thỏa mãn bất đẳng thức này mới

tham gia vào hiệu ứng:

(2.41)

28

bố điện

tử códạng:

Ta rút ra:

(

Trong tính toán này ta giả thiếtVậy:

(2

54)

b =∑

n,l,n ′ ,l ′

31

2π hThay σzz, σzy

R

32

TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT

Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ, từ trường và

chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl với hố thế cao vô hạn Các

thông số được sử dụng trong quá trình tính toán này như sau:

χ

∞

n = 1, n′ = 1, l = 1, l ′ = 1, τ= 10 −12 s , ρ= 5320 kgm−3

3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ.

Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ khi thay đổi cảm

ứng từ: B=4.0T; B=4.4T; B=4.6T, chiều dài dây lượng tử L=9.10-7m, hai kích thước

dây lượng tử Lx=8.10-9m, Ly=7.10-9m ta thu được kết quả đồ thị thị 3.1:

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ

Hình 3.1 thể hiện sự phụ thuộc hệ số Hall theo tần số sóng điện từ cho dây

lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl với cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang Từ

đồ thị ta nhận thấy, ban đầu hệ số Hall tăng nhanh khi tần số tăng, sau đó đạt cựcđại tại một giá trị của tần số rồi giảm mạnh Và khi tần số sóng điện từ

thì hệ số Hall lại đạt giá trị không đổi Ở những giá trị từ trường khác nhau, hìnhdạng đồ thị khác nhau, các giá trị cực đại của hệ số Hall không có sự khác nhiều

3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường

Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường khi thay đổi nhiệt độ:

T=50K; T=100K; T=150K, chiều dài dây lượng tử L=9.10-7m, hai kích thước dâylượng tử Lx=8.10-9m, Ly=7.10-9m, ta thu được kết quả đồ thị thị 3.2:

3.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật.

Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall theo chiều dài dây lượng tử khi thay đổinhiệt độ: T=120K; T=230K; T=350K, từ trường B=2T, hai kích thước dây lượng tửLx=8.10-9m, Ly=7.10-9m, ta thu được kết quả đồ thị thị 3.3:

34