Moment từ dị thường của electron và phương pháp pauli villars trong điện động lực học lượng tử

Ví dụ như sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc moment từ dị thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng nhau với độ chí

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-TRẦN ANH BÌNH

MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON

VÀ PHƯƠNG PHÁP PAULI-VILLARS TRONG

ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-TRẦN ANH BÌNH

MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON

VÀ PHƯƠNG PHÁP PAULI-VILLARS TRONG

ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành:

Vật lý lý thuyết và Vật Lý toán 60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TSKH NGUYỄN XUÂN HÃN

Hà Nội - 2012

2

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH PAULI-VILLARS 8

1.1 Phương trình Pauli-Villars 8

1.2 Phương trình Dirac 9

1.3 Các bổ chính 12

CHƯƠNG 2 CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN 20

2.1 S-Ma trận 20

2.2 Các giản đồ Feynman 24

2.3 Hệ số dạng điện từ 25

CHƯƠNG 3 BỔ CHÍNH CHO MOMENT 28

3.1 Bổ chính cho moment 28

3.2 Moment từ dị thường 37

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

PHỤ LỤC A 42

PHỤ LỤC B 46

3

MỞ ĐẦU

Lý thuyết lượng tử về tương tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là

điện động lực học lượng tử QED, đã được xây dựng khá hoàn chỉnh Sự phát triển

của QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J Schwinger, R Feynman

Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc tái chuẩn

hóa khối lượng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành công các quá

trình vật lý qua tương tác điện từ, cả định tính lẫn định lượng Ví dụ như sự dịch

chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc moment từ dị

thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng nhau

với độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/

Phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, tương tác của

electron với trường điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tương tác từ tính mới Cường độ

của tương tác này được mô tả bằng moment từ electron µ , và nó bằng

0electron, µ 0 - gọi là magneton Bohr) Các hiệu ứng phân cực của chân không– khi

tính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho moment từ

electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lượng electron (m0 →m R) và điện tích electron

 e0 → e R)sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ xung, mà nó được gọi là moment từ dị

thường

nghiệm

Tuy nhiên, thực nghiệm đo được moment từ của electron bằng

=1, 003875 µ0 , giá trị này được gọi là moment từ dị thường của electron J

Schwinger /13/ là người đầu tiên tính bổ chính cho moment từ dị thường của

electron vào năm 1948 và ông thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ

chính cho moment từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai

4

số tính toán với thực nghiệm vào khoảng 10−10% ) Biểu thức giải tích của moment

từ dị thường electron về mặt lý thuyết đã thu được

Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng chomoment từ dị thường của electron trong QED Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trìnhtính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phương pháp điều chỉnh Pauli-Villars

Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, Kết luận,một số phụ lục và tài liệu tham khảo

Chương 1 Phương trình Pauli và moment từ của electron Phương trình

Pauli và moment từ dị thường có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất phát

từphương trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu được phương trình

Pauli với số hạng tương tác của moment từ electron với trương ngoài /1/ Mục 1.2 dànhcho việc nhận phương trình Pauli bằng việc lấy gần đúng phi tương đối tính phương

trình Dirac ở trường điện từ ngoài trong gần đúng (v

Chương 2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thường

của electron Xuất phát từ Lagrangce tương tác của electron với trường ngoài ta

nêu vắn tắt các xây dựng S-matrận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với

5

trường điện từ ngoài Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gầnđúng một vòng đóng góp cho moment từ dị thường của electron Mục 2.3 dành choviệc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phitương đối tính.

Chương 3 Moment từ dị thường của electron trong gần đúng một vòng.

Trong mục 3.1 sử dụng phương pháp Pauly-Villars ( P-V ) ta tách phần hữu hạn vàphần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng Việc tính biểu thức

bổ chính cho moment từ dị thường trong gần đúng một vòng được tiến hành ở mục3.2

Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu được và thảo luận việc tổngquát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tương tự Trong Bản luận văn này chúngtôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử = c =1và metric Feynman.Các véctơ phản

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ ELECTRON

Phương trình Pauli và số hạng tương tác giữa moment từ của electron vớitrường điện từ ngoài có thể thu được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trìnhSchrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tương tác của moment từ vớitrường ngoài được giới thiệu ở mục $1.1; ii/ Từ phương trình Dirac cho electron ởtrường điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính ở gần đúng bậc

 v c ) ta có phương trình Pauli cho electron với moment từ Nghiên cứu các bổ

chính tương đối tính cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụngphép biến đổi Fouldy-Wouthuyen

1.1 Phương trình Pauli

Phương trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện từngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng Phương trìnhPauli có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm sóng

ψ trong phương trình Pauli không phải là một vô hướng có một thành phần

ψ(r , t ) phụ thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số spin

ψ = ψ (r , s z

Vì hạt có spin nên nó có momen từ Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann momen từ của hạt với spin bằng 2

Nếu hạt ở trong trường điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế dưới

đây trong phương trình Schrodinger

ở đây ϕ(r), A( r) là thế vô hướng và thế véc tơ của trường điện từ Phương trình

(1.6) là phương trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích được hiệu ứng Zeemann

1.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương

Điều này có nghĩa như sau: trong trường hợp nghiệm dương thì spinor ψ d

với ψu và trong trường hợp nghiệm âm thì spinor ψu liên hệ với ψd thừa số





Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phương trình Dirac

(1.15)

Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phitương đối tính hóa của

phương trình Dirac ở trường ngoài sẽ tự động dẫnđến số hạng tương tác −MB giữa moment từ (hayspin ) của hạt với từ trường ngoài, trong đó electron

có moment từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyểnđúng đắn

M ( e) =

Ngược lại trongphương trình Pauli

số hạng này đưavào phương trìnhtheo kiểu hiệntượng luận – “đưavào bằng tay”

Đối với hạt khôngphải là cơ bản, như

các proton hay các neutron quá trình giới

hạn trên dẫn đến các kết quả sai

10

Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểu thức để cho mật độxác suất và mật độ dòng xác suất tương ứng với phương trình (1.16) với độ chínhxác (v2

c2)

†

ρ = ψ ψ , j =Chúng liên hệ với nhau bằng phương trình liên tục ∂ρ/ ∂t + ∇j= 0 và trong trườnghợp nghiệm dương , các biểu thức này trùng với công thức của lý thuyết phi tươngđối tính

1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli

Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ở trường

điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc (v2

c2 ) và sai sót trongHamilton ở bậc (v3

c3) Trong giới hạn này H n r là chéo nhưng các nghiệm âm và

dương là hoàn toàn “phân ly ” Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao hơnmột cách hệ thống, thì ta phải kể thêm các bổ chính tương đối tính, bằng cách sửdụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho phương trình Dirac

Để đơn giản ta bắt đầu tử bậc (v/c) và phương trình Dirac ở dạng

ở đây ε và (β + ε)

mục đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó ω cao hơn và cao hơn bậc (v/ c)

sao cho không động chạm đến điều nó sẽ đƣa đến chéo hóa toán tử K đúng đắn tới

bậc (v/c) Nhƣ vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta thu đƣợc

Chúng ta có thể nghiên cứu lại phép khai triển Baker-Hausdorff (1.60) cũng nhƣ

công thức (1.62) cùng với phép thay thế cho việc tính toán τ 3 → β cho việc tính

toán kết quả K Điều này sẽ dẫn đến

ω′′=−

Như ta đã thấy ω′ bây giờ đã nâng lên hai bậc (v/c) Từ đây chúng ta nhận được toán tử K′ =β+ε đúng đến bậc (v3

c3), đúng trong phương trình Pauli (1.16)

Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với K′ cùng

Sử dụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen ta tính một số công thức sau

[ω,ε]= −

=



 ie [α p ,α E]

- Khi cácS , S′, là tự liên hơp , thì các ma trận biến đổi Fouldy –Wouthuyen

U , U ′, cũng là những phép biến đổi unita Điều này có nghĩa bất biến của giá trị

trung bình nhƣ phép biến đổi

- Để cho toán tử Dirac – Hamilton, điều này có nghĩa ∂A/ ∂t = 0khi sự biến đổi

15

- Phương pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý trong

vùng đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy –Wouthuyen là hội tụ

chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bất kỳ hữu hạn nào đấy Viết phương trình Dirac

(1.7) dưới dạng

m c 2 K (0)ψ (0) 0

- Để kết thúc ta trở lại phương trình (2.98) Phương trình này có thể dẫn đến dạng

quen thuộc bằng việc xem xét trường hợp electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện

16

Thành phần thứ tư ở vế phải là bổ chính tương đối tính cho thế năng Thành phần thứnăm là bổ chính tương đối tính cho trường xuyên tâm mà ta biết Darwin term và có thểgia tốc chuyển động lắc của electron Thành phần cuối cùng chứa năng lượng tươngtác giữa spin của electron (hoặc là moment từ ) và moment góc quỹ đạo Nhận thấyrằng trong thành phần này ? được lấy một cách chính xác bang thừa số

4 trong mẫu số1 Trong trường hợp của thế Coulomb V(r)= −Ze2 /r hai thành phầncuối cùng là

- Nói chung khác với trường hợp tự do, toán tử Dirac –Hamilton là toán tử chéo chỉ

là gần đúng Điều này có thể đạt được bằng cách sử dụng phương pháp Fouldy –Wouthuyen mà trong đó toán tử Hamilton được chéo hóa thành công ở các bậc caohơn (v / c) Đối với phần chẵn của toán tử được chéo hóa và toán tử Hamilton tựliên hợp là đúng đắn đến bậc được nghiên cứu (v / c) , mà từ đây ta thu được lýthuyết một hạt để cho hạt và cho phản hạt

1Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính số hạng này được giải thích cổ điển như sau:Ltrong hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trường ở vị trí của electron và tương tác vớispin của nó Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý doxem xét thì số hạng này quá lớn và lớn hơn 2

17

- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen, tương tự như phép biến đổi Feshbach-Villars ,

là phép biến đổi không định xứ và bị “loang ra ” của biến số tọa độ một độ dài cóthể so sánh với bước sóng Compton

- Phương pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ thích hợp cho các trường hợp, thứ nhất phép khai triển (v/c) là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạt được chấp nhận.Hamiltonian của phương trình có dạng

- Moment từ dị thường trong QED và giản đồ Feynman

Theo lý thuyết Dirac moment từ của electron có dạng

µ 0 =2e mc - magneton BohrTheo thực nghiệm phát hiện moment từ dị thường của electron

=µ0(1+ a)

µ0 a - gọi là phần dị thường – không thể giải thích trong cơ học lượng tử, vì chân

không ở đây là chân không toán học - không có gì Trong QED ta xem xét dưới đây làchân không vật lý - chân không có hạt ảo và kể thêm tương tác của hạt với chân khôngvật lý

18

quá trình tán xạ này (xem Hình 1).

(a)

(b3) (b4)

Hình 1 Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý

thuyết nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng

đường electrontrường điện từ ngoài

đường photon

Giải thích hình vẽ 1: Giản đồ (1a) electron có xung lượng p1 bay vào vùng

có trường điện từ bị tán xạ bay ra với xung lượng p2 ở gần đúng bậc thấp nhất

Các

20

giản đồ mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của electron với chân không vậtlý- chân không của trường điện từ và chân không của trường electron-pozitron.

Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và (b1)cho đóng góp vào moment từ dị thường của electron, còn ba giản đồ còn lại (b2),(b3), (b4) liên quan đến việc chuẩn hóa khối lượng của electron, chuẩn hóa điệntích của electron, các hàm sóng của electron và hàm sóng của trường điện từ ngoài

Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng vớigiản đồ Hình 1 (a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:

∞

p2 | S1 | p1 = −e0 ∫d4xb p2 | N (ψ ( x )γµψ ( x ) )Aµext ( x ) | p1 (2.4)

−∞

Vì trường ngoài Aµext( x) không phải là toán tử mà là hàm số thông thường nên ta

có thể bỏ ra ngoài N-tích và p2 | | p1 , đồng thời khai triển các toán tử ψ ( x) và

Khi chuyển các toán tử sinh electron c+( p1) từ phải sang trái và chuyển các

toán tử hủy electron c ( p2) từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ

tư của (2.6) bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma trận

Thay (2.6) vào (2.3) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của

electron ở trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :

p2 | S1 | p1 = − e0(

trong đó: u ( p1): spinor của electron ở trạng thái đầu ; u ( p2)= u (+ )( p2) γ 4 ;

là thế điện từ ngoài.

22

Chú ý, ta có thể viết yếu tố ma trận (2.7) dưới dạng tương tự:

trong đó Rfi được xác định bằng công thức:

R

và được gọi là biên độ tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài tĩnh (trường

thế Coulomb) trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo electron

2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thường

Để kể thêm các bổ chính bậc cao, thì chúng ta cần thay u2γ µu1 bằng đại lượng

tổng quát hơn mà nó tương ứng với các giản đồ Feynman mà ta gọi là các giản đồ

đỉnh Những giản đồ này được chia làm hai loại: loại giản đồ đích thực và loại giản

đồ không đích thực 2 Các giản đồ đích thực trước đây được gọi là « một hạt bất

khả quy » được kết nối với nhau mà ta không thể tách làm hai phần bằng việc cắt

bỏ một đường trong Các giản đồ không đích thực được lồng vào các đường ngoài

của giản đồ và chúng cho đóng góp vào việc tái chuẩn hóa lại khối lượng của các

đường ngoài, tương ứng với các hạt ngoài

Lấy tổng các giản đồ đỉnh đích thực, bỏ qua các hàm sóng ngoài, ta xác định

2Tiếng Anh là từ « proper » và « improper » - tiếng Nga gọi là « Compact » và « không

Compact », có thể gọi « thích hợp » hay « không thích hợp ».

23

lập bất biến mà ta chọn là k2 Định luật bảo toàn dòng

24

 1

u  F P µ+ F iσµν k u 2m 2  E Mν  1

Hai thừa số dạng F E = F1 ; F M = F1 + F2

(2.19)

(2.20)(2.21)

tươn

g ứn

g vớ

i vớ

i hệ

số dạngđiệnvàhệ

số dạngtừ.YếutốS-mat

rận để cho tương tác với trường ngoài yếu cùng với tất cả bổ

chính

có dạng

〈 p2 | S | p1〉 = −ie0 N ∫d 4 x e ikx

Để cho trường tĩnh công thức này có dạng

Để làm rõ ý nghĩa vật lý của các hệ số dạng, chúng ta xem xét

trường hợp tán xạ phía trước ở gần đúng phi tương đối tính mà

trong đó

→ 0,

k

Nhận thấy số hạng trong phần đỉnh Sử dụng khai triển Gordon để viết lại

ta có thể viết giới hạn phi tương đối tính dưới dạng

u khôn

g ch

o đónggó

p và

o gi

ới hạ

n

vì Sốhạngth

ứ ha

i cóth

ể biếnđổ

i nh

ư sau

A iσij k j

F2 σ µν