Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm cho MARTINGALE

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---Trần Văn Huyến LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CHO MARTINGALE TÓM TẮT LUẬN VĂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 201

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-Trần Văn Huyến

LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM CHO MARTINGALE

TÓM TẮT LUẬN VĂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

Líi nâi ƒu

Câ l‡ mºt trong nhœng th nh tüu to lîn nh§t cıa x¡c su§t hi»n ⁄i

l lþ thuy‚t thŁng nh§t v• giîi h⁄n cıa tŒng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p(BNN L) Thüc t‚ l , thŁng k¶ to¡n håc th÷íng ÷æc xem l b›t nguçn tł r§tsîm vîi c¡c lu“t giîi h⁄n cıa Bernoulli v Moivre Lþ thuy‚t to¡n v• lu“t sŁ lîn

v lu“t giîi h⁄n trung t¥m cho martingale câ th” ÷æc xem

l sü mð rºng cıa lþ thuy‚t ºc l“p v nâ công câ nguçn gŁc tł c¡c k‚t qu£giîi h⁄n trong tr÷íng hæp ºc l“p, nh÷ lu“t y‚u sŁ lîn cıa Khinchin, cıaLiapounov v cıa Lolmogorov, v c¡c ành lþ giîi h⁄n trung t¥m cıa

Bernstein v cıa Levy

°t fSn; Fn; n Ng l mºt martingale trung b…nh khæng v b…nhph÷ìng kh£ t‰ch v °t Xn = Sn Sn 1; n 2, v X1 = S1 bi”u di„n mar-tingalehi»u Levy ÷a ra kh¡i ni»m ph÷ìng sai i•u ki»n cho martingale

Doob ¢ ÷a ra h m °c tr÷ng ” chøng minh c¡c k‚t qu£ cıa Levy.Billlingsley, v ºc l“p vîi Ibragimov, ¢ thi‚t l“p ành lþ giîi h⁄n trung t¥m choc¡c martingale vîi c¡c hi»u ÷æc gi£ thi‚t dłng v thäa m¢n gi£ thi‚tergodic C¡c martingale nh÷ v“y câ ph÷ìng sai ti»m c“n h‹ng sŁ

C¡c k‚t qu£ mð rºng hìn nœa ¢ ÷æc ph¡t tri”n v chøng minh bðiRos†n, Dvoretzky, Loynes v Bergstrom v sau â l Mcleish , Ganssler atal: Scott

Trong lu“n v«n n y, t¡c gi£ ¢ tr…nh b y mºt c¡ch chi ti‚t v câ h» thŁngc¡c k‚t qu£ quan trång cıa lu“t sŁ lîn v ành lþ giîi h⁄n trung t¥mmartingale nh÷ l mºt tr÷íng hæp mð rºng cıa tŒng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n

Líi nâi ƒu

ºc l“p, v l m s¡ng tä mºt sŁ k‚t qu£ trong chøng minh mºt sŁ ành lþ giîih⁄n martingale Vîi nhœng möc ‰ch v þ t÷ðng nh÷ v“y, t¡c gi£ ¢ tr…nh

b y nºi dung cıa • t i khâa lu“n l m ba ch÷ìng

Ch÷ìng 1 l nhœng ki‚n thøc chu'n bà cıa lu“n v«n Trong phƒn ƒucıa ch÷ìng n y, t¡c gi£ nh›c l⁄i nhœng kh¡i ni»m v k‚t qu£ cì b£n v•martingale, c¡c d⁄ng hºi tö, v mºt sŁ ành lþ hºi tö quan trång cıa mar-tingale chflng h⁄n ành lþ hºi tö Doob, h m °c tr÷ng v mŁi quan h» cıachóng vîi h m ph¥n phŁi

Ch÷ìng 2 ¥y l mºt trong nhœng nºi dung ch‰nh cıa ch÷ìng Trong ânºi dung quan trång nh§t cıa ch÷ìng xoay quanh hai v§n •; lu“t y‚u sŁlîn v lu“t m⁄nh sŁ lîn cho martingale, ÷æc t¡c gi£ tr…nh b y trong möc2.3 v 2.4 B¶n c⁄nh â t¡c gi£ cÆn tr…nh b y chi ti‚t hai ành lþ â

l : ành lþ b§t flng thøc h m b…nh ph÷ìng, ¥y l b§t flng thøc r§t quantrång l m cì sð cho vi»c ¡nh gi¡ v nghi¶n cøu c¡c ành lþ giîi h⁄n, nh÷lu“t sŁ lîn v lu“t giîi h⁄n trung t¥m, v ành lþ 2.5.2 dòng ” x§p x¿ t÷ìng

÷ìng giœa c¡c ph÷ìng sai i•u ki»n v tŒng b…nh ph÷ìng, m â l mºt trongnhœng phƒn lþ thuy‚t ch‰nh ” nghi¶n cøu c¡c martingale

Ch÷ìng 3 ¥y l phƒn ch‰nh cıa • t i n y — ¥y t¡c gi£ ¢ tr…nh

b y nhœng k‚t qu£ ch‰nh c¡c lu“t giîi h⁄n trung t¥m cho martingale nh÷

sü mð rºng cıa tŒng c¡c ⁄i l÷æng ng¤u nhi¶n ºc l“p, v k‚t qu£ d⁄ngRaikov ¥y l mºt ph¡t hi»n quan trång trong vi»c nghi¶n cøu c¡c mar-tingale thæng qua c¡c tŒng b…nh ph÷ìng c¡c hi»u cıa chóng

Qua ¥y, t¡c gi£ xin ÷æc gßi líi c£m ìn s¥u s›c ‚n ng÷íi thƒy, ng÷íih÷îng d¤n khoa håc cıa m…nh, GS.TSKH °ng Hòng Th›ng, ng÷íi ¢ ÷a

ra • t i v t“n t…nh h÷îng d¤n, ch¿ b£o trong suŁt qu¡ tr…nh nghi¶n cøucıa t¡c gi£ çng thíi t¡c gi£ công ch¥n th nh c£m ìn c¡c thƒy cæ trongkhoa To¡n - Cì - Tin håc tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n, ⁄i håc QuŁcgia H Nºi, ¢ t⁄o måi i•u ki»n cho t¡c gi£ v• t i li»u v thı töc h nh ch‰nh ”t¡c gi£ ho n th nh b£n lu“n v«n n y T¡c gi£ công gßi líi c£m ìn r§t nhi•u

‚n b⁄n b–, °c bi»t l b⁄n b– trong nhâm X¡c su§t v thŁng k¶ to¡n, lîp Caohåc 07 - 09, ¢ ºng vi¶n gióp ï t¡c gi£ v• t i li»u tham kh£o v kÿ thu“t bi¶nso⁄n Latex

Do thíi gian v tr…nh º cÆn h⁄n ch‚, ch›c ch›n b£n lu“n v«n khængth” tr¡nh khäi nhœng thi‚u sât, t¡c gi£ r§t mong nh“n ÷æc sü ch¿ b£ot“n t…nh cıa c¡c thƒy cæ v b⁄n b– çng nghi»p, t¡c gi£ xin ch¥n th nhc£m ìn!

H Nºi, n«m 2012Håc vi¶n

ii

Líi nâi ƒu

Trƒn V«n Huy‚n

Möc löc

1 Ki‚n thøc chu'n bà

1.1 Martingale

1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.2 C¡c d⁄ng hºi tö

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 C¡c ành lþ v• sü hºi tö martingale

1.4 H m °c tr÷ng

1.4.1 1.4.2 2 C¡c B§t flng Thøc V 2.1 C¡c b§t flng thøc cì b£n

2.2 B§t flng thøc h m b…nh ph÷ìng

2.3 Lu“t y‚u sŁ lîn

2.4 Lu“t m⁄nh sŁ lîn

2.5 Sü hºi tö trong Lp

3 ành Lþ Giîi H⁄n Trung T¥m 3.1 ành Lþ Giîi H⁄n Trung T¥m

3.2 K‚t Qu£ d⁄ng Raikov 3.2.1

3.2.2

MÖC LÖC

T i li»u tham kh£o

vi

(iii’) vîi m n; m; n 2 N ; E(XnjAm) Xm; P - hƒu ch›c ch›n.

martingale ( Łi vîi An; n 2 N), n‚u c¡c i•u ki»n (i), (ii) ÷æc thüc hi»n, v

(iii’) vîi m n; m; n 2 N ; E(XnjAm) = Xm; P - hƒu ch›c ch›n

chó þ

Ch÷ìng 1 Ki‚n thøc chu'n bà

1. Tł ành ngh¾a ký vång câ i•u ki»n, ta câ:

i•u ki»n (iii) t÷ìng ÷ìng vîi

2 ành ngh¾a v• martingale d÷îi, martingale tr¶n, martingale t÷ìng

÷ìng vîi: Gi£ sß N = 0; 1; 2; : : : ; N; ( ; A; P ) l khæng gian x¡c su§t,

n = 1; 2; : : :

E(XnjAnNhœng nh“n x†t tr¶n chøng minh ÷æc d„ d ng düa v o c¡c t

‰nh ch§t cıa ký vång câ i•u ki»n

2

l d¢y martingale Łi vîi An = ( 0; ; n): Th“t v“y, do Xn 1 2 An 1

v t‰nh ºc l“p cıa n Łi vîi An 1;

E(XnjAn 1) = E(Xn 1 njAn 1) = Xn 1 E n = Xn 1:

V‰ dö 1.1.4 Gi£ sß X l bi‚n ng¤u nhi¶n n o â câ EjXj < 1 v fAn; n 2

Ng l d¢y khæng gi£m cıa A Khi â d¢y

Xn = E(XjAn)

l d¢y martingale Łi vîi An; n 2 N: Th“t v“y, v… An 1 An ta câ

Xn 1 = E(XjAn 1) = E(E(XjAn)jAn 1) = E(XnjAn 1):

V‰ dö 1.1.5 Gi£ sß Y0; Y1; l d¢y c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p còng ph¥n phŁi sao cho E(Yn) = 0 v EYn2 < 1 Th… d¢y

Zn =

l mºt martingale, Łi vîi tr÷íng An = (Y0; Y1; ; Yn): Th“t v“y, dot‰nh o ÷æc cıa c¡c Yj Łi vîi An 1; vîi måi 1 j n 1 v t‰nh ºc

l§y gi¡ trà 1) Ta nâi r‹ng l n‚u

! N [ f1g l bi‚n ng¤u nhi¶n (câ th” thíii”m Markov Łi vîi fAn; n 2 Ng;

f! : (!) = ng 2 An; 8n 2 N:

N‚u gi£ thi‚t th¶m r‹ng P ( < 1) = 1, th… ÷æc gåi l thíi i”m dłng

4

S = fSn; An; n 2 Ng

l martingale trong â

S0 = X0; Sn = X0 + + Xn:Chflng h⁄n, mØi d¢y fXn; n 2 Ng c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p câ ký vång 0

l hi»u martingale Łi vîi tr÷íng Xn Trong â;

X

n = n = (fXm; m ng); m; n 2 N; gåi l tr÷íng tü nhi¶n, ltr÷íng sinh ra tł X = fXn; n 2 Ng

ành ngh¾a 1.1.9 D¢y M = fMn; An; n 2 Ng ÷æc gåi l martingale b…

nh ph÷ìng kh£ t‰ch, n‚u: EjMn2j < 1 vîi måi n 2 N:

Chó þ: Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t, ta câ th” gi£ thi‚t, M0 = 0, v…n‚u cƒn thi‚t ta x†t Mn M0 thay cho Mn Khi â, M = fMn2; An; n 2 Ng lmartingale d÷îi

Ch÷ìng 1 Ki‚n thøc chu'n bà

Sü hºi tö hƒu ch›c ch›n (n‚u tçn t⁄i) l duy nh§t theo ngh¾a: n‚u

Zn ! Z v Zn ! Z th… P (Z = Z ) = 1:

ành ngh¾a 1.2.2 Ta nâi r‹ng, d¢y c¡c ⁄i l÷æng ng¤u nhi¶n fZng hºi tö

theo x¡c su§t ‚n ⁄i l÷æng ng¤u nhi¶n Z (v vi‚t Zn !P Z) n‚u:

Ta ÷a ra mºt ành lþ sau ¥y th” hi»n mŁi quan h» giœa hºi tö theo

x¡c su§t v hºi tö hƒu ch›c ch›n

ành lþ 1.2.3

P

b) N‚u Zn !

ành ngh¾a 1.2.4 (T‰nh kh£ t‰ch •u) Gi£ sß fZi; i 2 Ig l hå c¡c ⁄i

l÷æng ng¤u nhi¶n câ ký vång hœu h⁄n, tøc l fZi; i 2 Ig L1: Ta nâi r‹ng

hå n y l kh£ t‰ch •u n‚u

a!+1 i2Ilim sup

ành ngh¾a 1.2.5 (Hºi tö trung b…nh) Gi£ sß r‹ng fZng 2 Lp; Z 2 Lp v

p 2 (0; +1): Ta nâi r‹ng, d¢y fZL ng hºi tö trung b…nh c§p p ‚n Z v

6

ành lþ 1.2.8 Gi£ sß fZng 2 Lp; p 2 (0; +1) v Z 2 L0: Khi â hai i•u ki»n

sau l t÷ìng ÷ìng vîi nhau:

ành ngh¾a 1.2.10 Ta nâi r‹ng d¢y c¡c ⁄i l÷æng ng¤u nhi¶n Zn hºi tö

theo ph¥n phŁi ‚n d¢y c¡c ⁄i l÷æng ng¤u nhi¶n Z 2 L0 , n‚u Fn(x)! F (x)

vîi måi i”m li¶n töc cıa h m F , kþ hi»u Zn !d Z:

ành lþ 1.2.11 N‚u d¢y c¡c ⁄i l÷æng ng¤u nhi¶n fZng; Z còng x¡c ành

tr¶n mºt khæng gian x¡c su§t v Zn !P Z th… Zn !d Z:

ành lþ 1.2.12 N‚u Zn !d Z v Z suy bi‚n th… Zn !P Z

th… fXng hºi tö hcc tîi bi‚n ng¤u nhi¶n X1 n o â, vîi EjX1j < 1:

H» qu£ 1.3.2 Gi£ sß fXng l d¢y c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p, v °t fSng l d

¢y c¡c tŒng ri¶ng cıa nâ, tøc l :

S0 = X0; Sn = X0 + X1 + + Xn:Khi â c¡c i•u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng

(i) fSng hºi tö hcc

(ii) fSng hºi tö theo x¡c su§t;

(iii) fSng hºi tö theo ph¥n phŁi

ành lþ 1.3.3 (Sü hºi tö trong Lp) Gi£ sß 1 < p < 1 N‚u fXn; An; n 2 Ng lmartingale v Lp bà ch°n, tøc l ,

supEjXnjp < 1;

n

th… d¢y Xn hºi tö trong Lp; çng thíi hºi tö hcc tîi bi‚n ng¤u nhi¶n X1 vîi EjX1jp < 1

ành lþ 1.3.4 (Hºi tö trong L1) N‚u fXn; An; n 2 Ng l martingale

v d¢y fXng kh£ t‰ch •u th… d¢y fXng hºi tö trong L1; çng thíi hºi tö hcc tîi bi‚n ng¤u nhi¶n X1 vîi EjX1j < 1:

Nh÷ chóng ta ¢ th§y ð v‰ dö (1.1.4) °t p 1, X 2 Lp , th… Xn =E[XjFn] l mºt martingale

ành lþ 1.3.5 Gi£ sß r‹ng p > 1, fXng l mºt d¢y martingale bà ch°ntrong Lp tøc l supn jjXn jjp < 1, th… câ tçn t⁄i mºt bi‚n ng¤u nhi¶n X 2 Lpsao cho Xn = E[XjFn]; n 1 v jjXn Xjjp ! 0 khi n! 1

8

Ch÷ìng 1 Ki‚n thøc chu'n bà

1.4 H m °c tr÷ng

ành ngh¾a 1.4.1 H m °c tr÷ng cıa bi‚n ng¤u nhi¶n X ho°c cıa h m

ph¥n phŁi FX l mºt h m gi¡ trà phøc ÷æc x¡c ành nh÷ sau:

Z

’X (t) = E eitX = eitxdF = E [cos(tX) + isin(tX)]

Ta s‡ li»t k¶ mºt sŁ t‰nh ch§t cıa h m °c tr÷ng sau ¥y m khæng

Ch÷ìng 1 Ki‚n thøc chu'n bà

ành lþ 1.4.2 (Cæng thøc ng÷æc) N‚u X câ h m °c tr÷ng ’X (t), th… vîimåi kho£ng (a; b), ta câ,

P [a < x < b] +

H» qu£ 1.4.3 N‚u H m °c tr÷ng cıa hai bi‚n ng¤u nhi¶n X v

nhau th… chóng câ còng h m ph¥n phŁi

ành lþ 1.4.4 ( ành lþ li¶n töc) N‚u Xn câ h m °c tr÷ng ’n(t) th… Xn hºi

tö y‚u n‚u v ch¿ n‚u tçn t⁄i mºt h m ’(t) li¶n töc t⁄i t = 0 sao cho ’n(t) ! ’(t);8t (Trong tr÷íng hæp n y ’ l h m °c tr÷ng cıa bi‚n ng¤u nhi¶n giîi h⁄n X.)

10

Ch÷ìng 2 C¡c B§t flng Thøc V Lu“t SŁ Lîn

= E[SnI(E)]:

H» qu£ 2.1.2 N‚u fSi; Fi; 1 i ng l mºt martingale, th… vîi p 1

v > 0;

ành lþ 2.1.3 (B§t flng thøc Doob) N‚u fSi; Fi; 1 i ng l mºt martingale

th… vîi p > 1,

jj njjp S

ð â p 1 + q 1 = 1

Chøng minh Hi”n nhi¶n b§t flng thøc ƒu l tƒm th÷íng Ta ch¿ cƒnchøng minh b§t flng thøc thø hai, tł ành lþ 2:1:1 v ¡p döng b§t flng thøcHolder, ta câ:

q E S

tł â ta suy ra i•u cƒn chøng minh

12

Ch÷ìng 2 C¡c B§t flng Thøc V Lu“t SŁ Lîn

2.2 B§t flng thøc h m b…nh ph÷ìng

B§t flng thøc h m b…nh ph÷ìng âng vai trÆ quan trång trong

nghi¶n cøu c¡c martingale, chóng nâi n¶n mŁi quan h» giœa vi»c xß lþ

mºt mar-tingale v c¡c b…nh ph÷ìng cıa hi»u

°t X1 = S1 v Xi = Si Si 1; 2 i n; bi”u di„n hi»u cıa d¢y fSi; 1 i ng:

” phöc vö chøng minh ba ành lþ tr¶n, chóng tæi xin ÷a ra 3 bŒ •

BŒ • 2.2.4 Gi£ sß r‹ng fSi; Fi; 1 i ng l mºt martingale L1 bà ch°n ho°c

martingale d÷îi khæng ¥m Vîi > 0, ta ành ngh¾a thíi gian dłng bði

>n + 1

:

13

hai b§t flng thøc cuŁi suy ra tł chó þ r‹ng jS

martingale d÷îi Łi vîi

BŒ • 2.2.5 Gi£ sß fSi; Fi;

°t

14

Tł ¥y ta suy ra r‹ng sŁ h⁄ng thø hai trong (2:4) ÷æc l m trºi bði

P

0v u

u

@t

Ch÷ìng 2 C¡c B§t flng Thøc V Lu“t SŁ Lîn

2E(Tn)2E[SnI(Y > )];

(— ¥y ta câ jXvj max(Sv 1; Sv) ; v Pr

Ch÷ìng 2 C¡c B§t flng Thøc V Lu“t SŁ Lîn

BŒ • 2.2.6 Gi£ sß X v Y l c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n khæng ¥m v gi£ sß r‹ng

> 1; > 0; v > 0 sao cho vîi måi > 0,

P(X> ; Y) P(X> ):

Th… n‚u 0 < p < 1 v < p, ta câ

E(Xp)Chøng minh Tł (2:7) ,

pq (kTnkp + kUnkp)

17

V‚ ph£i cıa (2:1) suy ra tł b§t flng thøc 2:9.

Chøng minh ành lþ 2:2:2 ành lþ s‡ ÷æc suy ra trüc ti‚p tł bŒ •

2:2:5 n‚u chóng ta thi‚t l“p ÷æc b§t flng thøc (2:7) vîi

tł â ta suy ra (2:7) V ta câ i•u ph£i chøng minh.

Chøng minh ành lþ 2:2:3 V‚ ph£i cıa b§t flng thøc ÷æc suy ra trüc ti‚p

tł ành lþ 2:2:2, b¥y gií chóng ta chøng minh v‚ tr¡i Ta thła nh“n mºt k‚t

qu£ sau ¥y (C.C.Heyde A.8, P.3)

19

Tr÷îc h‚t chóng ta cƒn nh›c l⁄i mºt sŁ k‚t qu£ cŒ i”n cıa lu“t y‚u sŁ lîn

trong tr÷íng hæp ºc l“p cıa d¢y c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n fXig

Lu“t y‚u sŁ lîn cıa Khinchin Gi£ sß X1; X2; ; Xn l c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n

ºc l“p, còng ph¥n phŁi, câ ký vång hœa h⁄n EX, v câ ph÷ìng sai hœu

h⁄n DX Lu“t y‚u sŁ lîn khflng ành r‹ng: vîi måi sŁ thüc > 0, x¡c su§t ”

kho£ng c¡ch giœa trung b…nh t‰ch lôy Sn = (X1 + X2 + + Xn)=n v ký

vång EX lîn hìn l ti‚n v• 0 khi n ti‚n v• væ cüc, tøc l ,

n!+1

lim P

ng¤u nhi¶n ºc l“p (khæng nh§t thi‚t còng ph¥n phŁi), câ ký vång hœa

h⁄n EXk = k v thäa m¢n, vîi 0 < 1

fbng l mºt d¢y c¡c h‹ng sŁ d÷ìng vîi bn " 1 khi n ! 1: Ta kþ hi»uP

Xni = XiI(jXij bn); 1 i n; khi â ta câ Sn=bn ! 0 khi n ! 1 n‚u

Chøng minh °t Snn =

bnP

v k‚t hæp vîi (iii) ta suy ra i•u ph£i chøng minh

Nh“n x†t 2.3.2 Trong tr÷íng hæp c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n X i ºc l“p i•u ki»n (iii) luæn tü ºng thäa m¢n, i•u ki»n (ii) câ ngh¾a l b n1Pn

21

v khi n ! 1, th… (i) khæng thäa m¢n tr÷íng hæp tr¶n.

22

Ch÷ìng 2 C¡c B§t flng Thøc V Lu“t SŁ Lîn

2.4 Lu“t m⁄nh sŁ lîn

Tr÷îc ti¶n chóng ta công cƒn nh›c l⁄i k‚t qu£ cŒ i”n cıa lu“t m⁄nh sŁlîn Gi£ sß X1; X2; ; Xn l c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n ºc l“p, còng ph¥n phŁi x¡csu§t,v câ ký vång hœa h⁄n EX th… trung b…nh t‰ch lôy Sn = (X1 + X2+ + Xn)=n hºi tö hƒu ch›c ch›n v• EX, ngh¾a l

P lim S n = EX = 1:

n!1

TŒng qu¡t hìn ta câ:

Lu“t m⁄nh sŁ lîn Kolmogorov Gi£ sß X1; X2; ; Xn l c¡c bi‚n ng¤u

nhi¶n ºc l“p (khæng nh§t thi‚t còng ph¥n phŁi), câ ký vång hœu h⁄n

EXk = k v câ ph÷ìng sai DXk thäa m¢n

Chøng minh Ta chøng minh düa v o bŒ • Toeplitz °t bo = 0; ai =

fSv ^n ; Fv ^n; n 1g l mºt martingale Hìn nœa ta câ,

â lim sup Sn = +1 hcc tr¶n t“p fSn

minh t÷ìng tü b‹ng c¡ch thay Sn bði

H» qu£ 2.4.4 Gi£ sß fZn; n 1g l mºt d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n, sao cho 0 Zn

1, v fFn; n 1g l mºt d¢y t«ng c¡c tr÷íng sao cho mØi Zn l

24

11 I(An) = 1g; trong khi â

Tł ành lþ hºi tö martingale ta ÷æc S ^n hºi tö hcc khi n ! 1: Nh÷ v“y Sn

hºi tö hcc tr¶n t“p f = 1g v khi cho K ! 1 ta thu ÷æc i•u cƒn chøng minh

B¥y gií ta x†t ành lþ ba chuØi, tr÷îc khi x†t trong tr÷íng hæp

mar-tingale, chóng ta nh›c l⁄i k‚t qu£ cıa ành lþ ba chuØi Kolmogorov trong

tr÷íng hæp c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n Xi ºc l“p

ành lþ ba chuØi Kolmogorov Gi£ sß Xi; i 1 l c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n

a) N‚u chuØi tr¶n hºi tö hƒu ch›c ch›n th… vîi mØi 0 < c < +1 ba

chuØi sau hºi tö:

P (jXij > c) ;

b) Ng÷æc l⁄i, n‚u vîi c n o â 0 < c < +1 ba chuØi tr¶n hºi tö, th…

chuØi ban ƒu hºi tö hƒu ch›c ch›n

B¥y gií ta x†t ti¶u chu'n ba chuØi trong tr÷íng hæp tŒng qu¡t hìn

fFnành lþ 2.4.6

26

X i

(ii) E[XiI(jXij c)jFi 1

=1 1

X

i

(iii) fE[Xi2I(jXij c)jFi

=1

H» qu£ 2.4.7 Trong tr÷íng hæp c¡c bi‚n Xi ºc l“p, th… c¡c i•u ki»n (i),

(ii) v (iii) l cƒn v ı cho Sn hºi tö hcc

Trong tr÷íng hæp tŒng qu¡t k‚t lu“n cıa h» qu£ (2:4:6) l

( 1

X i

Yi = XiI(jXij c) E[XiI(jXij c)jFi 1];

27

Ch÷ìng 2 C¡c B§t flng Thøc V Lu“t SŁ Lîn

Ta câ fP1

E(Yi2jFi 1) = E[Xi2I(jXij c)jFi 1] [E(XiI(jXij c)jFi 1)]2;

j X

i jpjF i 1 ]

; c p

trong khi â (ii) óng v… sß döng t‰nh ch§t cıa martingale,

jE[XiI(jXij c)jFi 1]j = jE[XiI(jXij > c)jFi 1]j

E[jXijI(jXij > c)jFi 1]

E(jX

ijpjF

i 1) :

B¥y gií ta ti‚n h nh kh¡i qu¡t hâa mºt sŁ k‚t qu£ ð tr¶n ” d¤n ‚n c¡c øng döng trüc ti‚p hìn

l mºt martingale Trong tr÷íng hæp 1 p 2 th… 2.10 suy ra trüc ti‚p tł

ành lþ 2:4:9 trong khi â 2.11 ÷æc suy ra tł 2.10 v ¡p döng bŒ •

V (2.10) suy ra tł ¡p döng ành lþ 2:4:7 trong khi (2.11) suy ra tł (2.10) v

bŒ • Kronecker

29

Ti‚p theo chó þ r‹ng

1

30

Ch÷ìng 2 C¡c B§t flng Thøc V Lu“t SŁ Lîn

do â fXng v fYng l hai d¢y t÷ìng ÷ìng, v do â tł (2.13)

Ta l⁄i câE

v fE(XnjFn)g l c¡c d¢y dłng, ta cƒn sß döng mºt k‚t qu£ cıa ành lþ

Ergodic, nh÷ng tr÷îc h‚t ta cƒn ành ngh¾a ¡nh x⁄ b£o to n º o

ành ngh¾a 2.4.12 N‚u f ; F; P g l mºt khæng gian x¡c su§t, mºt ¡nh x⁄

o ÷æc T : ! ÷æc gåi l b£o to n º o n‚u P (T 1A) = P (A) vîi måi t“p A 2 F

Mºt qu¡ tr…nh dłng b§t ký câ th” ÷æc xem l ÷æc t⁄o ra bði mºt ph†pbi‚n Œi b£o to n º o, theo ngh¾a l tçn t⁄i mºt bi‚n ng¤u nhi¶n

X x¡c ành tr¶n khæng gian x¡c su§t ( ; F; P ), v mºt ¡nh x⁄ b£o to n

º o T : ! , sao cho d¢y fXn0g ÷æc x¡c ành bði X00 = X

v Xn0(!) = X(T n!); n 1; ! 2 , câ còng ph¥n bŁ vîi fXng N‚u T l ph†p b£o

to n º o, mºt t“p A 2 F ÷æc gåi l b§t bi‚n, n‚u T 1(A) = A

Lîp cıa c¡c t“p b§t bi‚n l mºt tr÷íng con cıa F, ÷æc gåi l mºttr÷íng b§t bi‚n, v T ÷æc gåi l ergodic n‚u t§t c£ c¡c t“p trong câ x¡c su§t l 0 ho°c 1 Ta thła nh“n bŒ • sau (C.C.Heyde P.IV )

BŒ• 2.4.13 ( ành lþ Ergodic) N‚u T l mºt ph†p bi‚n Œi b£o to n º o v X

l mºt bi‚n ng¤u nhi¶n vîi EjXj < 1; th…

vîi hƒu h‚t c¡c ! 2 , v