Momen từ dị thường của electron và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong điện động lực học lượng tử

Ví dụ như sự dịchchuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc mômen từ dịthường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng nhauvới độ chính x

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Giáo viên hướng dẫn khoa học:

GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội - 2012

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON

1.1.Phương trình Pauli

1.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính

1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli

CHƯƠNG 2: CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON ……… 20

2.1.S-ma trận

2.2.Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thường

2.3.Hệ số dạng điện từ

CHƯƠNG 3: BỔ CHÍNH CHO MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG

3.1 Bổ chính cho mômen từ dị thường trong gần đúng một vòng

3.2 Mômen từ dị thường cùng với các bổ chính lượng tử

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC A

PHỤ LỤC B

PHỤ LUC C

1

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1 Chương I……… 21

Hình 2 Phụ luc A……… 43Hình 3 Phụ lục A……… 45

2

MỞ ĐẦU

Lý thuyết lượng tử về tương tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi làđiện động lực học lượng tử QED, đã được xây dựng khá hoàn chỉnh Sự phát triểncủa QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J Schwinger, R Feynman.Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc tái chuẩnhóa khối lượng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành công các quátrình vật lý qua tương tác điện từ, cả định tính lẫn định lượng Ví dụ như sự dịchchuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc mômen từ dịthường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng nhauvới độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/

Phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, tương tác củaelectron với trường điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tương tác từ tính mới Cường độcủa tương tác này được mô tả bằng mômen từ electron  , và nó bằng

 e0  e Rsẽ dẫn đến sự đóng góp bổ sung, mà nó được gọi là mômen từ dị thường

Lưu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị được lấy từ thực nghiệm

Tuy nhiên, thực nghiệm đo được mômen từ của electron bằng  1, 003875  0 , giátrị này được gọi là mômen từ dị thường của electron J Schwinger /13/ là người đầutiên tính bổ chính cho mômen từ dị thường của electron vào năm 1948 và ông thuđược kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ chính cho mômen từ của electron khi tínhcác giản đồ bậc cao cho QED, sai số tính toán với thực nghiệm vào khoảng

3

1010 % ) Biểu thức giải tích của mômen từ dị thường electron về mặt lý thuyết đã thu được

Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng chomômen từ dị thường của electron trong QED Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trìnhtính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, đangđược sử dụng rộng rãi trong lý thuyết trường lượng tử

Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, kếtluận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục

Chương 1 Phương trình Pauli và mômen từ của electron Phương trình Pauli

và mômen từ dị thường có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất phát từ

phương trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu được phương trình

Pauli với số hạng tương tác của mômen từ electron với trường ngoài /1/ Mục 1.2 dànhcho việc nhận phương trình Pauli bằng việc lấy gần đúng phi tương đối tính phươngtrình Dirac ở trường điện từ ngoài trong gần đúng v

c , v – là vận tốccủa hạt, còn c là vận tốc ánh sáng Các bổ chính tương đối tính tiếp theo cho phươngtrình Pauli ở gần đúng bậc cao hơn v

c thu được bằng việc sử dụng phép

biến đổi Fouldy-Wouthuyen ở mục 1.3

4

Chương 2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thường

của electron Xuất phát từ Lagrangce tương tác của electron với trường ngoài ta nêu

vắn tắt các xây dựng S-matrận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trườngđiện từ ngoài Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng mộtvòng đóng góp cho mômen từ dị thường của electron Mục 2.3 dành cho việc thảo luận

ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đối tính

Chương 3 Mômen từ dị thường của electron trong gần đúng một vòng.

Trong mục 3.1 sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ta tách phần hữu hạn vàphần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng Việc tính biểu thức bổchính cho mômen từ dị thường trong gần đúng một vòng được tiến hành ở mục 3.2.Lưu ý, việc tính mômen từ dị thường của electron là bài toán phức tạp, trong Luận vănnày bước đầu ta đã thực hiện một loạt những động tác để đơn giản bài toán bằng việc

bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng photon, bỏ qua việc tái chuẩn hóakhối lượng, điện tích của electron, hàm sóng của electron và trường điện từ ngoài liênquan tới các đường ngoài trong giản đồ Feynman, và tính toán tới phần đóng góp chủyếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman cho mômen từ dị thường của electron.Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu được và thảo luận việc tổng quáthóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tương tự

Trong Bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử c1và

metric Feynman Các véctơ phản biến

thì các véctơ tọa độ

trong đó

Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3

5

CHƯƠNG 1 - PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON

Phương trình Pauli và số hạng tương tác giữa mômen từ của electron với trườngđiện từ ngoài có thể thu được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trình Schrodingerbằng cách kể thêm spin của electron và tương tác của mômen từ với trường ngoài đượcgiới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, thựchiện phép gần đúng phi tương đối tính ở gần đúng bậc v

c

ta có phương trình Pauli cho electron với mômen từ Nghiên cứu các bổ chính tươngđối tính cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng phép biến đổiFouldy-Wouthuyen

1.1 Phương trình Pauli

Phương trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện từ ngoàivới điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng Phương trình Pauli có dạngphương trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm song 

trong phương trình Pauli không phải là một vô hướng có một thành phần r , t phụ

6

Hamiltonian của phương trình Schrodinger có dạng

ở đây r, là thế vô hướng và thế véc tơ của trường điện từ Phương trình (1.6)

là phương trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích được hiệu ứng Zeemann

1.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính

Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở dạng chính tắc tacó:





7

Như vậy, phương trình (1.7) sẽ biến thành hệ phương trình

Điều này có nghĩa như sau: trong trường hợp nghiệm dương thì spinor  d liên hệ với

 u và trong trường hợp nghiệm âm thì spinor  u liên hệ với  d thừa số v

c Thay(1.11) và (1.12) vào phương trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm dương ta có

c2trùng với phương trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trường điện từ ngoài Thật

đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tương đối tính hóa của phương trình

Dirac ở trường ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tương tác MB giữa mômen từ (hayspin ) của hạt với từ trường ngoài, trong đó electron có mômen từ đúng khác với tỉ số

từ hồi chuyển đúng đắn

M ( e) 

Ngược lại trong phương trình Pauli

tượng luận – “đưa vào bằng tay”

9

Đối với hạt không phải là cơ bản, như các proton hay các neutron quá trình giới hạntrên dẫn đến các kết quả sai p   Rõ ràng trongnhững trường hợp

nàyMeS/m p c

liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trường điện từ ngoài Chính vì vậy để chonhững hạt này, chúng ta có thể nhận được phương trình phi tương đối tính với cácmômen từ đúng đắn phải bằng cách hiện tượng luận là cộng “bằng tay” các số hạngmômen.(xem them bài tập 11 và 22)

Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểu thức để cho mật độ xácsuất và mật độ dòng xác suất tương ứng với phương trình (1.16) với độ chính xác

1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli

Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ở trườngđiện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc v2

c2 và sai sót trong Hamilton ởbậc v3

c3 Trong giới hạn này H n r là chéo nhưng các nghiệm âm và dương là hoàn

toàn “phân ly ” Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao hơn một cách hệ thống,thì ta phải kể thêm các bổ chính tương đối tính, bằng cách sử dụng phép biến đổiFouldy –Wouthuyen cho phương trình Dirac

Để đơn giản ta bắt đầu tử bậc v/c và phương trình Dirac ở dạng

cùng với

10

và

ở đây 

đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó  cao hơn và cao hơn bậc v/c

không động chạm đến điều nó sẽ đƣa đến chéo hóa toán tử K đung đắn tới bậc v/ c

Nhƣ vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta cần thu đƣợc

m c 2 K   0,0

và tiếp tục Lựa chọn tốt nhất cho phép biến đổi đầu tiên là

Chúng ta có thể nghiên cứu lại phép khai triển Baker-Hausdorff (1.60) cũng nhƣ công

thức (1.62) cùng với phép thay thế cho việc tính toán 3 cho việc tính toán kết quả

K Điều này sẽ dẫn đến

K   

Cùng với

11

Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán

biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với K

tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép cùng

(1.35)

(1.36)

Tất cả ở đây, ta thấy việc chéo hóa thành công của toán tử Dirac Hamilton cho những

bậc cao hơn có thể thực hiện v/c Vậy ta đã giả thiết một số điểm sau đây

14

- Khi các S , S , là tự liên hợp, thì các ma trận biến đổi Fouldy –Wouthuyen

U , U , cũng là những phép biến đổi unita Điều này có nghĩa bất biến của giá trị trung

- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac phép biến đổi Fouldy –

Wouthuyen đã cung cấp phương pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bất kỳ hữu hạnnào đấy Viết phương trình Dirac (1.7) dưới dạng

m c 2 K (0)  (0) 0

15

-Electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện Để kết thúc ta trở lại phương trình

(2.98) Phương trình này có thể dẫn đến dạng quen thuộc bằng việc xem xét trường

hợp electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện

Thành phần thứ tư ở vế phải là bổ chính tương đối tính cho thế năng Thành phần thứ

năm là bổ chính tương đối tính cho trường xuyên tâm mà ta biết Darwin term và có

thể gia tốc chuyển động lắc của electron Thành phần cuối cùng chứa năng lượng

tương tác giữa spin của electron (hoặc là mômen từ ) và mômen góc quỹ đạo Nhận

thấy rằng trong thành phần này được lấy một cách chính xác bằng thừa số 4 trong mẫu

số1 Trong trường hợp của thế Coulomb VrZe2 /r hai thành phần cuối cùng là

 Ze2 2

2m 2 c2

0

Ở đây số hạng Dawin chỉ ảnh hưởng tới các s-trạng thái

1Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính số hạng này được giải thích cổ điển như sau:

Ltrong hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trường ở vị trí của electron và tương tác với spin

của nó Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý do xem xét

thì số hạng này quá lớn và lớn hơn 2

16

 v / c Đối với phần chẵn của toán tử được chéo hóa và toán tử Hamilton tự liên hợp là

đúng đắn đến bậc được nghiên cứu v/c , mà từ đây ta thu được lý thuyết một hạt để cho hạt và cho phản hạt

- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen, tương tự như phép biến đổi Villars, là

Feshbach-phép biến đổi không định xứ và bị “loang ra ” của biến số tọa độ một độ dài có thể so sánh với bước sóng Compton

- Phương pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ thích hợp cho các trường hợp, thứ nhất phép khai triển v/c là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạt được chấp nhận

Hamiltonian của phương trình có dạng

-Mômen từ dị thường trong QED và giản đồ Feynman

Theo lý thuyết Dirac mômen từ của electron có dạng

 0 2e mc - magneton Bohr

17

Theo thực nghiệm phát hiện mômen từ dị thường của electron

 0 1 a

0 a - gọi là phần dị thường – không thể giải thích trong cơ học lượng tử, vì chân

không ở đây là chân không toán học - không có gì Trong QED ta xem xét dưới đây là chân không vật lý - chân không có hạt ảo và kể thêm tương tác của hạt với chân khôngvật lý

18

CHƯƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN

TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON

Xuất phát từ Lagrance tương tác của electron với trường ngoài ta viết S-matrậntương ứng ở mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từ ngoài Aext x Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng cho đónggóp vào mômet từ dị thường của electron Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật

lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đối tính

2.1 S-ma trận

Chúng ta xem xét quá trình tán xạ electron với trường ngoài Nếu trường ngoài

là rất yếu, ta xem xét những bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, nhưng về nguyên tắc ta có thể xem xét bổ chính ở tất cả các bậc Quá trình tán xạ được mô tả bằng S-

 p2 | p1  ieT p2| N A ext x d 4

x | p1 

trong đó p1 , p2 là các xung lượng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối của electron

Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý thuyếtnhiễu loạn hiệp biến Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a) theo điện tích e,

và các giản đồ Feynman tiếp theo mô tả các bậc cao (bổ chính) cho quá trình tán xạ này

(xem Hình 1).

(a)

(b3) (b4)

Hình 1 Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý

thuyết nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng

đường electrontrường điện từ ngoài

20

đường photon

trường điện từ bị tán xạ bay ra với xung lượng p2 ở gần đúng bậc thấp nhất Các giản

đồ mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của electron với chân không vật lý- chân

không của trường điện từ và chân không của trường electron-pozitron

Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và (b1) cho

đóng góp vào mômen từ dị thường của electron, còn ba giản đồ còn lại (b2), (b3), (b4)

liên quan đến việc chuẩn hóa khối lượng của electron, chuẩn hóa điện tích của

electron, các hàm sóng của electron và hàm sóng của trường điện từ ngoài Ngoài ra ta

còn bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng photon, và chỉ giữ lại phần

đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman (b1) cho mômen từ dị

thường của electron

Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với giản

đồ Hình 1.(a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:

22

Thay (2.6b) vào (2.4) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của

electron ở trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :

và được gọi là biên độ tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài tĩnh (trường thế

Coulomb) trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo electron

2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thường

Để kể thêm các bổ chính bậc cao, thì chúng ta cần thay u2  u1 bằng đại lượng tổng

quát hơn mà nó tương ứng với các giản đồ Feynman mà ta gọi là các giản đồ đỉnh

23

Những giản đồ này được chia làm hai loại: loại giản đồ đích thực và loại giản đồ

không đích thực 2 Các giản đồ đích thực trước đây được gọi là « một hạt bất khả quy

» được kết nối với nhau mà ta không thể tách làm hai phần bằng việc cắt bỏ một

đường trong Các giản đồ không đích thực được lồng vào các đường ngoài của giản

đồ và chúng cho đóng góp vào việc tái chuẩn hóa lại khối lượng của các đường ngoài,

tương ứng với các hạt ngoài

Lấy tổng các giản đồ đỉnh đích thực, bỏ qua các hàm sóng ngoài, ta xác định « phần

2Tiếng Anh là từ « proper » và « improper » - tiếng Nga gọi là « Compact » và « không Compact », có thể gọi « thích hợp » hay « không thích hợp ».

24