Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức luận án ths toán học 60 46 01 13

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thứcLời nói đầu Bất đẳng thức là một chuyên đề khá thú vị trong chương trình toán học phổ thông và cũng có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực kh

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thứ c

TRƯỜNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - -

PHẠM THỊ LAN ANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

SĨ

KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2013

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Huy Khải

HÀ NỘI - 2013

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Mục lục

Lời nói đầu

Chương 1: Mở đầu 1

1.1 Định nghĩa: 1

1.2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 1

Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy 2

2.1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản 2

2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy: 2

2.1.2 Bất đẳng thức Cauchy cơ bản: 2

2.1.3 Các bài toán minh họa 2

2.1.4 Một số bài tập tương tự 7

2.2 Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy 8

2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy: 8

2.2.2 Các bài toán minh họa 8

2.2.3 Một số bài toán tương tự 16

2.3 Phương pháp thêm bớt hằng số 17

2.3.1 Phương pháp: 17

2.3.2 Các bài toán minh họa: 17

2.3.3 Một số bài toán tương tự 23

2.4 Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến 24

2.4.1 Phương pháp: 24

2.4.2 Các bài toán minh họa: 24

2.4.3 Một số bài toán tương tự 38

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

2.5 Phương pháp nhóm các số hạng 40

2.5.1 Phương pháp thứ 1 40

2.5.1.1 Nội dung phương pháp: 40

2.5.1.2 Các ví dụ minh họa: 40

2.5.2 Phương pháp thứ 2 44

2.5.2.1 Nội dung phương pháp 44

2.5.2.2 Các ví dụ minh họa 44

2.5.3 Một số bài toán tương tự 50

2.6 Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cô-si ngược dấu 50

2.6.1 Phương pháp: 50

2.6.2 Các bài toán minh họa: 50

2.6.3 Các bài tập tương tự: 52

Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số 53

3.1 Nội dung phương pháp 53

3.2 Các bài toán minh họa 53

3.3 Các bài tập tương tự 55

Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa 56

4.1 Nội dung phương pháp 56

4.2 Các ví dụ minh họa 56

4.3 Bài tập tương tự: 62

Chương 5: Phương pháp dùng chiều biến thiên hàm số 63

5.1 Nội dung phương pháp: 63

5.2 Các bài toán minh họa: 63

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

5.3 Các bài tập tương tự 69

Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học 70

6.1 Nội dung phương pháp 70

6.2 Các bài toán minh họa 70

6.3 Các bài tập tương tự 74

Kết luận 75

Tài liệu tham khảo 76

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Lời nói đầu

Bất đẳng thức là một chuyên đề khá thú vị trong chương trình toán học phổ thông và cũng có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học Trong các đề thi chọn học sinh giỏi hay đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng những năm gần đây thì bài toán bất đẳng thức thường xuất hiện như một dạng đề quen thuộc và thường được hiểu như là một bài toán để lấy điểm tối đa vì việc giải quyết trọn vẹn bài toán này không phải là đơn giản với phần lớn học sinh.

Lý thuyết về bất đẳng thức được trình bày ở rất nhiều cuốn sách khác nhau và

từ đó các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cũng được đề cập để giải quyết các bài toán bất đẳng thức đó Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày và tổng hợp một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức quen thuộc để giải quyết các bài toán của chương trình phổ thông, phục vụ quá trình dạy và học môn toán.

Trong luận văn này ngoài phần lời nói đầu và kết luận thì bố cục được trình bày như sau:

đẳng thức cũng như các tính chất của bất đẳng thức.

pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy, trong đó đưa ra các phương pháp như:

 Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy.

 Phương pháp thêm bớt hằng số.

 Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến.

 Phương pháp nhóm các số hạng.

 Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu.

từ miền giá trị của biến số để tìm ra miền giá trị của hàm số, từ đó xác định

được điểm cực trị của hàm số trong miền giá trị để chứng minh bất đẳng thức.

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

- Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa Chương này trình bày phương pháp sử dụng các hệ thức lượng giác hoặc biến đổi bất đẳng thức trở thành các hệ

thức lượng giác quen thuộc để chứng minh bất đẳng thức.

trình bày phương pháp lựa chọn hàm số từ bất đẳng thức để từ đó qua đạo hàm

ta thấy được chiều biến thiên trong một khoảng xác định để chứng minh bất đẳng thức ban đầu.

phương pháp biến đổi bất đẳng thức trở thành các biểu thức chứa các yếu tố hình học, từ các bất đẳng thức hình học quen thuộc ta chứng minh được bất đẳng thức ban đầu.

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS Phan Huy Khải, thầy

đã hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này, xin chân thành cảm ơn Thầy.

Tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô giáo khoa Toán – Tin và các cán bộ giáo viên khoa sau đại học trường ĐH KHTN-ĐH QG HN cùng các bạn bè lớp cao học toán khóa 2011-2013, những người đã dạy dỗ, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Sau cùng tôi xin gửi lời tri ân tới cha mẹ, người thân đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành chương trình thạc sĩ này.

Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2013

Phạm Thị Lan Anh

Nếu a > 1 ì > > 0 ⟺ loga c > loga d.

1.2.10 Các bất ẳng thức với dấu giá trị tuyệt ối: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Cho α > 0 ó: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

A<−

1

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Dấu “ = “ xảy ra khi x = x = y = z ⟺ x = y = z

Tương tự ta ược: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z.

3

4

mâu thuẫn giả thiết a, b, c dương.

⟹ Dấu “ = “ không xảy ra do ó ta có đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

A+B A−B C A−B C

6

Áp dụng bất ẳng thức Cauchy cơ bản ta có: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Hay ∆ABC ều đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Bài 5: Chứng minh rằng: trong mọi ∆ABC ta có ∶ ab + bc + ca ≥ 4 3S

với S là diện tích ∆ABC

2.2 Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy

Dấu “ = “ xảy ra khi a1 = a2 = ⋯ = an

2.2.2 Các bài toán minh họa

Dấu “ = “ xảy ra khi 1 = z3 = x3 ⟺ z = x = 1.

Cộng 2 vế các bất ẳng thức ta có ∶đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Áp dụng bất ẳng thức đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

9

Khi ó bài toán ã cho trở thành:đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

10

11

Cộng từng vế các bất ẳng thức trên ta có:đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

x = 2

.

Theo giả thiết 2 ≥ 2.

12

Cộng từng vế các bất ẳng thức ta ược: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

14

Do ó cộng các vế bất ẳng thức ta có ∶đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

15

Mà trong mọi ABC ta luôn dễ dàng chứng minh ược các hệ thức lượng sau: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 1 + cos A cos B cos C

Thay vào bất ẳng thức ta có:đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

sin A + sin B + sin C sin2 A + sin2 B + sin2 C ≥ 9 sin A sin B sin C.

Trong ABC ta luôn có: sin A, sin B, sin C > 0

Áp dụng bất ẳng thức Cauchy ta có: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

sin A + sin B + sin C ≥ 33 sin A sin B sin C .

sin2 A sin2 B sin2 C

Nhân 2 vế ta ược iều cần chứng minh.đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Dấu “ = “ xảy ra khi sin A = sin B = sin C ⟺ A = B = C hay ABC ều đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

16

2 sin 2 sin 2 sin 2

2.3.1 Phương pháp:

Nhiều bài ta nhìn ra ngay bất đẳng thức Cauchy mà phải thêm bớt hằng số để

xuất hiện bất đẳng thức Cauchy.

2.3.2 Các bài toán minh họa:

3 ca ≤ 1 c + a + 1 Dấu “ = “ xảy ra khi c = a = 1.

Ta biến ổi vế trái: VT = x +đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: xy + 3 xyz = x + +

Theo bất ẳng thức Cauchy ta có: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

18

+ + 1 ≥ a

21

22

2.3.3 Một số bài toán tương tự:

Bài1: Cho 3 số dương x, y, z và x + y + z = 1.

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

2.4.1 Phương pháp:

Như phương pháp trong mục III điều khác là thay cho hằng số thì việc thêm

bớt vào bất đẳng thức cần chứng minh ở đây là các biểu thức chưa biến.

2.4.2 Các bài toán minh họa:

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

c 3 + c 3 + b 3 ≥ 3c 2 b.

Cộng các vế ta có 3 a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3 a 2 c + b 2 a + c 2 b

a 3 + b 3 + c 3 ≥ a 2 c + b 2 a + c 2 b Dấu “ = “ xảy ra khi a = b = c

Do ó: S + a đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: 3 + b 3 + c 3 ≥ S + ab 2 + bc 2 + ca 2 ≥ 2 a 3 + b 3 + c 3

Vậy S ≥ a 3 + b 3 + c 3 Dấu “ = “ xảy ra khi a = b = c.

Theo chứng minh trên ta có

Cộng 2 bất ẳng thức ta có đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

= a + b

a + b 2

27

Bài toán ã cho trở thành: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

30

Ta sẽ chứng minh bất ẳng thức thứ 2 đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Theo bất ẳng thức Cauchy ta có: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

sin A, sin B, sin C > 0

⇒ tan A 2 tan B 2 tan C 2 > 0 .

Áp dụng bất ẳng thức Cauchy ta có: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

6sin A sin B 8 tan 2 tan 2 = 16 2 sin 2 cos 2 2 sin 2cos 2 = 4sin 2sin 2

Thay vào bất ẳng thức trên ta ược: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Mặt khác, ta dễ dàng chứng minh ược ∶ đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

34

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

tan 2 tan 2 + tan 2 tan 2 + tan 2 tan 2 = 1

Thay vào ta có ược iều phải chứng minh đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Dấu “ = “ xảy ra khi:

2 + 2 sin 2 sin 2 + 2 sin 2 sin 2 + sin 2 sin 2

⇔ cos 2 A 2 − sin 2 A 2 + cos 2 B 2 − sin 2 B 2 + cos 2 C 2 − sin 2 C 2

A B B C C A

≥ 2 sin 2 sin 2 + 2 sin 2 sin 2 + sin 2 sin 2

AB BC CA ⇔ cos A + cos B + cos C ≥ 2 sin 2 sin 2 + 2 sin 2 sin 2 + sin 2 sin 2 Bây giờ ta sẽ chứng minh bất ẳng thức trên: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

B + C B − C C+A C−A A+B A−B

37

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

cos A 2

cos B2

cos B

2

cos C2

cos A2

cos B = 2 cosA2

Ccos

2

cos A = 2 cosC2

A B C cos 2 = cos 2 = cos 2

⇔ A = B = C Hay ABC ều đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

2.4.3 Một số bài toán tương tự

Bài 1: Cho 3 số dương a, b, c. a5 b5 c

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Trong phần này ta xét 2 phương pháp sau:

2.5.1 Phương pháp thứ 1.

Có những bài chứng minh bất đẳng thức ta phải sử dụng nhiều bất đẳng thức phụ,

để dấu “=” trong bất đẳng thức chính xảy ra đồng thời có dấu bằng trong tất cả các bất đẳng thức phụ Việc nhóm các số hạng trong biểu thức của bất đẳng thức phải đảm bảo tiêu chí này.

42

43

2.5.2.1 Nội dung phương pháp

Trong khi nhóm các số hạng của biểu thức trong bất ẳng thức cần chứng minh, đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

giống như trong phương pháp 1, việc nhóm úng có vai trò quyết ịnh đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Việc nhóm này thường dựa vào giả thiết của ầu bài và dĩ nhiên tuân thủ theo đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

yêu cầu ề ra trong phương pháp 1 đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

2.5.2.2 Các ví dụ minh họa.

Bài toán 1.

44

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

⇔ a 2 + b 2 ≥ 2 a 2 + b 2 + 2ab 4

⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab (luôn úng với mọi a, b ) đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Do ó ta có: a đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: 2 + b 2 ≥ 2

a + b 2

với mọi a, b 2

Hơn nữa ta thấy:

chiều lại và cho kết quả tốt hơn nhiều các biến đổi dài dòng, đó chính là nguyên

lý của một phương pháp mà một số người gọi là kĩ thuật Cô-si ngược dấu.

2.6.2 Các bài toán minh họa:

Bài toán 1 Với a+b+c=3 Chứng minh rằng:

50

Mà ta dễ dàng chứng minh ược ab + bc + ca ≤ 3 đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

nên ta có iều phải chứng minh đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

51

52

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số

3.1 Nội dung phương pháp.

Giả sử ta phải chứng minh một bất đẳng thức có dạng: α ≤ f x ≤ β với x ∈ D.

Khi ó ể sử dụng phương pháp miền giá trị hàm số chứng minh bất ẳng thức trên ta làm như sau: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Gọi m là giá trị tùy ý của f x trên miền x ∈ D Khi ó phương trình đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

f x = m có nghiệm, và từ ó ta có iều kiện ể phương trình có nghiệm x ∈ D đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Ở đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: ây P x , Q x là các a thức của x đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

3.2 Các bài toán minh họa.

Điều ó có nghĩa là phương trình ẩn t sau có nghiệm.đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

⇔ m − 2 t 2 + 2 m − 6 t + 3m = 0.

(3)

3

∗ Nếu m = 2 Phương trình trên ⇔ −8t + 6 = 0 ⇔ t = 4

Vậy m = 2 là một giá trị của hàm f t

∗ Nếu m ≠ 2 Do phương trình 3 có nghiệm nên

Với m = 2 ta có cos x = 5 = 1 ⇒ có nghiệm

Với m ≠ 2 ể phương trình có nghiệm thì: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa

4.1 Nội dung phương pháp.

Bằng phép biến đổi lượng giác thích hợp như (x = sin t, x = tan t … ) ta đưa bất đẳng thức ban đầu về bất đẳng thức trong đó biểu thức của nó có dạng lượng giác, dưới dạng này các bất đẳng thức sẽ dễ chứng minh hơn Các bất đẳng thức dạng này thường có dấu hiệu:

− Trong biểu thức chứa x2 + y2, 1 + x2 …

− Điều kiện của bất ẳng thức có dạng x đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: 2 + y2 = a2 …

− Biểu thức gắn liền với một hệ thức lượng giác nào ó.đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

4.2 Các ví dụ minh họa Bài toán 1:

Do x2 + y2 = 1 nên có thể ặt x = sin t , y = cos t đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

Bất ẳng thức ã cho có dạng tương ương như sau:đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

iều này chứng tỏ phương trình

đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

57

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Ta có:

sin 5t = sin 2t cos 3t + sin 3t cos 2t

= 2 sin t cos t 4 cos3

t − 3 cos t + 3 sin t − 4 sin3

t 1 − 2 sin2

t

= 2 sin t cos2 t 4 cos2 t − 3 + 3 sin t − 10 sin3 t + 6 sin5 t

= 2 sin t 1 − sin2 t 1 − 4 sin2 t + 3 sin t − 10 sin3 t + 6 sin5 t

= 16 sin5 t − 20 sin3 t + 5 sin t

= 16x5 − 20x3 + 5x.

Biến ổi tương tự ta có:đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

cos5t = 16y5 − 20y3 + 5y

Thay vào biểu thức ban ầu ta có:đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit: