Động học của phương trình komogorov chịu nhiễu markov luận văn ths toán học 60 46 15

2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện 2.3 Nửa nhóm và tính ổn định trong phân bố.. Lời nói đầu.Đối với các hệ sinh thái trong sinh học, sinh thái

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ MINH THU

ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ THỊ MINH THU

ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU

NHIỄU MARKOV

Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TS Nguyễn Hữu Dư

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1 Kiến thức chuẩn bị.

1.1Phương trình Kolmogorov tất định .1.2Toán tử sinh của quá trình Markov thời gian liên tục

2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện

2.3 Nửa nhóm và tính ổn định trong phân bố

3 Ứng dụng.

Kết luận

Tài liệu tham khảo

i

Lời nói đầu.

Đối với các hệ sinh thái trong sinh học, sinh thái học và quần thể học gồm có hai loài, người ta thường mô tả chúng bằng mô hình toán học dưới dạng các hệ phương trình vi phân:

x˙ = x f (x;y);y˙ = yg (x;y);

trong đó x(t) và y(t) là mật độ quần thể của từng loài tại thời điểm t và f (x;y);g (x;y)

là tốc độ tăng trưởng bình quân của từng loài Thông thường, các hệ như vậyđược gọi là các hệ Kolmogorov

Các hệ kiểu Kolmogorov là các mô hình thông dụng nhất để mô tả sự phát triển của quần thể trong một hệ mà tốc độ tăng trưởng bình quân của mỗi loài phụ thuộc vào quy mô quần thể của cả hai loài Mô hình kiểu Kolmogorov quan trọng vì mỗi quỹ đạo xuất phát trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng thì luôn nằm trong mặt phẳng này (tức là nếu x (0) > 0;y (0) > 0) thì x (t) > 0;y (t) > 0) với mọi t > 0) Nói cách khác miền trong của góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng là bất biến đối với hệ (1) Đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về động lực học quần thể thông qua nghiên cứu các nghiệm dương, chẳng hạn như là tính bền vững đều, sự diệt vong hay và sự giới nội toàn cục (xem [10, 13, 20, 11])

Cách mô tả hệ theo các phương trình trên đều dựa vào giả thiết các loài sống trong một môi trường không thay đổi Do đó, tốc độ tăng trưởng f (x;y);g (x;y) là các hàm tất định Tuy nhiên, rõ ràng rằng điều đó nói chung không phù hợp trong thực tế bởi vì chúng ta phải tính đến sự các biến động của môi trường mà có thể gây những tác động mạnh đến tính động lực học cũng như sự phát triển bền vững của quần thể Sự biến đổi của môi trường có thể được thể hiện như là các yếu tố ngẫu nhiên và điều quan trọng là chúng ta phải mô tả chúng ở dạng phương trình ngẫu nhiên Tuy vậy, trong khi hệ Kolmogorov tất định (1) đã được nghiên cứu với một lịch sử lâu dài thì hệ Kolmogorov ngẫu nhiên lại chưa đề cập nhiều trong các tài liệu toán học và hầu như không có công trình nào nghiên cứu về phương diện thống kê Ở đây, chúng tôi đề cập đến một trong những nỗ lực đầu tiên theo hướng này, đó là báo báo rất hay của Arnold [5], trong đó các tác giả đã sử dụng các lý thuyết về quá trình chuyển động Brown

để nghiên cứu các quỹ đạo mẫu của phương trình Đối với các mô hình phân nhánh trong một môi trường biến thiên, chúng ta có thể tham khảo [2, 3, 18, vv ] Một cách trình bày tương

MỤC LỤC

hưởng của cả hai loại nhiễu là quá trình chuyển đổi Markov và ồn trắng tác động lên hệ

(1), A Bobrowski trong [8] sử dụng nửa nhóm Markov để nghiên cứu sự ổn định của phân phối dừng của các hệ ngẫu nhiên (1); W Shen, Y Wang trong [19] nghiên cứu các hệ Kolmogorov cạnh tranh ngẫu nhiên thông qua các phương pháp tích lệch

Trong trường hợp đơn giản nhất, chúng ta giả sử điều kiện môi trường có thểchuyển đổi ngẫu nhiên giữa hai trạng thái, ví dụ: trạng thái nóng và lạnh, trạng tháikhô và ướt Như vậy, chúng ta có thể giả sử có một nhiễu điện báo ảnh hưởngđến trên mô hình bằng cách chuyển đổi hai trạng thái trong một tập hợp E = f+; g

có hai phần tử Với các trạng thái khác nhau, động lực học của hệ trong mô hình

là khác nhau Sự chuyển đổi ngẫu nhiên của điều kiện môi trường khiến cho môhình thay đổi từ hệ trong trạng thái + với hệ trong trạng thái và ngược lại

Trong [7], các tác giả đã nghiên cứu các hệ cạnh tranh cổ điển với nhiễu điện báo Các tác giả chỉ ra rằng tập w-giới hạn của các nghiệm đối với các hệ là rất phức tạp và đã thành công trong việc mô tả một số tập hợp con của tập w- giới hạn Mục đích của chúng tôi là khái quát những kết quả này bằng cách xét một hệ tổng quát và sẽ mô tả đầy đủ tất

cả các tập w- giới hạn của các nghiệm của phương trình Chúng tôi cũng chứng minh rằng các tập w- giới hạn của tất cả các nghiệm dương là như nhau và nó hấp thụ tất cả các nghiệm dương khác Hơn nữa, chúng tôi muốn đi xa hơn bằng cách nghiên cứu một

số tính chất của phân phối dừng Chúng tôi chỉ ra rằng phân phối dừng (nếu nó tồn tại) sẽ

có mật độ và mật độ này hút tất cả các phân phối khác.

Để làm được điều đó, chúng tôi đưa ra 2 tham số l1;l2 như là ngưỡng pháttriển của hệ Mặc dù chưa đưa ra được biểu thức hiển để tìm các giá trị l1;l2,nhưng chúng ta có thể dễ dàng ước lượng chúng bằng phương pháp mô phỏngthông qua các hệ số Các tham số này đóng một vai trò quan trọng trong thực tế vìbằng cách phân tích các hệ số, chúng ta hiểu được dáng điệu động học của hệ.Luận văn được chia làm 3 chương:

Chương I: Các kiến thức chuẩn bị

Nội dung của chương này là đưa ra một số khái niệm cơ bản về mô hình cạnhtranh của hệ Kolmogorov tất định cũng như các tính chất quan trọng của quá trìnhMarkov hữu hạn trạng thái với thời gian liên tục

Chương II: Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorovchịu nhiễu Markov

Chương này chủ yếu dựa trên nội dung của bài báo [23] Trong chương này,chúng tôi mô tả quỹ đạo động học của các nghiệm dương đối với các loại hệ cạnhtranh chịu sự tác động của tiếng ồn điện báo Nó cho thấy rằng các tập w- giớihạn hấp thụ tất cả các nghiệm dương Chúng tôi cũng xét 3 trường hợp cụ thể vềdáng điệu của các nghiệm của hệ Kolmogorov chịu nhiễu Markov

2

MỤC LỤC

Chương III: Ứng dụng vào mô hình hệ phương trình cạnh tranh cổ điển

Chương này đề cập đến dáng điệu của các nghiệm của hệ phương trình cạnhtranh cổ điển Lotka- Volterra dưới tác động của nhiễu Markov Các mô hình cổđiển này có thể xem là thí dụ cụ thể minh họa các kết quả trong Chương II

Lời cảm ơn

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và chỉbảo tận tình của GS TS Nguyễn Hữu Dư Thầy đã dành nhiều thời gian hướngdẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôimuốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình

Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại họcKhoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham giagiảng dạy lớp cao học Toán khóa 2010- 2012, đặc biệt là thầy Nguyễn Hải Đăng,giảng viên khoa toán sinh thái học môi trường, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối vớicông lao dạy dỗ, chỉ dẫn nhiệt tình trong suốt khóa học và thời gian làm luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các anh chị em học viên đồng khóa và các emsinh viên năm cuối khoa Toán- Cơ- Tin của trường đã giúp đỡ rất nhiệt tình để tôihoàn thành bản luận văn này

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điềukiện, động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Hà nội, tháng 12 năm 2012

Người làm luận văn

Lê Thị Minh Thu

4

Hệ (1.1) được gọi là hệ Kolmogorov.

Trong toàn bộ Luận văn này, chúng tôi luôn đưa ra giả thiết là f , g cùng với đạo hàm bậc nhất của chúng xác định và liên tục với mọi giá trị không âm của x và y và phương trình (1.1) luôn tồn tại nghiệm xác định trên [0;¥) (do đó là duy nhất) Nhờ tính duy nhất nghiệm của hệ, dễ dàng thấy rằng góc phần tư thứ nhất R2+ = f(u;v) : u > 0;v > 0g của mặt phẳng R2 là bất biến Tức là nếu x(0) > 0;y(0) > 0 thì x(t) > 0;y(t) > 0 với mọi t > 0 Tương tự như vậy phần trong int R2+ = f(u;v) : u > 0;v > 0g cũng sẽ bất biến.

Tùy theo từng bài toán cụ thể chúng ta sẽ đưa ra các điều kiện bổ sung cụ thể cho hai hàm

f và g

Mối quan hệ giữa các loài có thể có chia làm ba loại chính:

a)Loài thứ nhất gặp khó khăn, loài thứ hai gặp thuận lợi, do có sự hiện diện của một yếu tố nào đó khác (quan hệ loài săn mồi với con mồi),

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

b) Cả hai loài đều gặp khó khăn bởi sự hiện diện của một loài còn lại (mô hình cạnh

tranh),

c) Cả hai loài đều gặp thuận lợi bởi sự hiện diện của một loài khác (mô hình cộng sinh).

Trong toàn bộ Luận văn này chúng ta chỉ xét các mô hình cạnh tranh Đó là trường hợp

mà cả hai loài sống trong một vùng lãnh thổ và cạnh tranh nhau về nguồn thức ăn hay môi trường Mô hình toán học đầu tiên nghiên cứu hiện tượng này được đưa ra bởi Volterra (1927) và đã đưa ra nhiều kết luận bổ ích về sự phát triển của từng loài Ở đây chúng tôi xét

mô hình cạnh tranh tổng quát hơn (1.1) và cố gắng đạt được kết luận tương tự.

Để mô tả mô hình có tính chất cạnh tranh, chúng ta đưa ra các giả thiết sau vềcác hàm f và g :

a) Sự gia tăng của một trong hai quần thể tạo ra một sự sụt giảm về tốc độ tăngtrưởng của cả hai quần thể; do đó ta có

f (0;0) > 0 và g (0;0) > 0

c) Mỗi quần thể, ngay cả khi rất nhỏ, cũng không thể tăng thêm nếu đạt đến

một kích cỡ nhất định, do đó, tồn tại A và C sao cho f (0;A) = g (C;0) = 0

d) Mỗi quần thể không thể làm tăng kích thước nhất định ngay cả khi số lượng

cá thể trong đó rất nhỏ, do đó tồn tại B và D sao cho f (B;0) = g (0;D) = 0

Nói chung, hai đường cong f = 0 và g = 0 có thể có bất kỳ số lượng điểm chung Khi

đó, góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ (x;y) sẽ được chia thành 3 khu vực: khu vực I có

f > 0;g > 0; khu vực II có f < 0;g < 0 và khu vực III có f :g < 0 Những khu vực đó được biểu diễn bởi biểu đồ trong hình 1

Tất cả các đường cong tích phân xuất phát từ khu vực I và II cuối cùng đi vào khu vực III Khu vực III được hình thành bởi các đường cong f = 0 , g = 0, bởi các điểm bên trong bị chặn bởi hai đường cong đó và đoạn AD và BC Tùy thuộc vào đồ thị của các hàm f và g, các điểm trong khu vực này ít hơn các điểm trên biên Khu vực III này có thể được chia thành một hoặc nhiều tập con, mỗi tập này cộng với những điểm biên tạo thành một khu vực con; tất cả các đường cong tích phân trong khu vực con kết thúc tại một điểm cân bằng của nó x = maximum;y = minimum, hoặc tương ứng x = minimum;y = maximum, tùy thuộc vào

6

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

Hình 1

việc những điểm trong của khu vực con là f > 0;g < 0 hoặc f < 0;g > 0 Ví dụ, trongtrường hợp của hình 1, D là một điểm cân bằng của một khu vực con và R là mộtđiểm cân bằng của một khu vực con khác Có thể, nhưng không chắc chắn, một vàiđiểm của khu vực III không thuộc vào nhóm các khu vực con này, điều này xảy ra khi

mà đường cong f = 0 và g = 0 có đoạn trùng nhau Trong trường hợp này, đườngcong tích phân xuất phát từ khu vực I và II đến đoạn trùng nhau này thì dừng lại.Một ví dụ minh họa đơn giản có thể cho ta biết rất nhiều thông tin về dáng điệugiới hạn của đường cong tích phân Ví dụ như những đường cong trong hình 1 đượcsao chép trong hình 2, ở đây dấu của các hàm f và g được biểu diễn bởi 2 véc tơ đơn

vị song song với các trục Trong khu vực I, chúng ta có f > 0 và g > 0 và do đó, vớithời gian ngày càng tăng, các đường cong tích phân trong khu vực này được giới hạntrong góc phần tư xác định bởi 2 véc tơ đơn vị như thể hiện trong hình 2

Để minh họa cụ thể, ta hãy xét khu vực con được giới hạn bởi điểm Q và R; rõ ràng từ các véc tơ ta thấy, Q là một điểm cân bằng không ổn định và R là một điểm cân bằng ổn định Chú

ý rằng, đường cong tích phân bất kỳ đi qua khu vực hình chữ nhật xq1Q¥ và cuối cùng phải kết thúc tại điểm R Các đường cong tích phân đi qua khu vực hình chữ nhật yq 2 Q ¥ không bao giờ đến được R, nhưng đến D Dáng điệu của các đường cong tích phân trong các khu vực còn lại của góc phần tư thứ nhất phải được xác định bằng cách phân tích chi tiết.

Kết luận, khi các đường cong f = 0 và g = 0 không giao nhau, một loài sẽ tồn tại, cụ thể

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

Hình 2

là, loài thứ nhất tồn tại nếu B > C hoặc loài thứ hai tồn tại nếu B < C Khi các đường cong

f = 0 và g = 0 cắt nhau tại một điểm, khi đó nếu B > C thì chỉ có một trong hai loài sống sót, tùy thuộc vào các điều kiện ban đầu; còn nếu B < C thì cả hai loài cùng sống sót Khi các đường cong f = 0 và g = 0 cắt nhau tại nhiều điểm, có thể cả hai loài đều có khả năng sống sót cao tùy thuộc vào các điều kiện ban đầu Nhìn chung, các giao điểm giữa các đường cong f = 0 có cùng hoặc lớn hơn về độ dốc (trong giá trị tuyệt đối) so với các giao điểm giữa các đường cong g = 0, những điểm đó cùng nhau tồn tại.

Khả năng sống sót của cả hai loài có mâu thuẫn với nguyên tắc cạnh tranh loạitrừ của Volterra hay không? Trong ý nghĩa toán học, nếu hai loài tương tác theocác điều kiện của Volterra, khi đó chỉ có một loài sống sót Tuy nhiên, mô hìnhVolterra là đơn giản nhất, và khi xem xét một hình thức chung của các phươngtrình tăng trưởng dân số thì ta thấy có một loạt các phương thức cho sự phát triểncủa hai loài cạnh tranh Thực tế, không khó khăn để tìm được một mô hình chỉ hơiphức tạp hơn Volterra mà cho phép cả hai loài tồn tại Đó là mô hình Kolmogorov

cục, có nghĩa là, (x ;y ) ổn định và với mọi nghiệm duy nhất (x (t);y (t)) xác định trên [0;¥)

8

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

thỏa mãn limt!¥ (x (t);y (t)) = (x ;y ) Khi đó, đối với tập compact K R2 bất kỳ , với lân cận U bất kỳ của (x ;y ), tồn tại một số T > 0 sao cho (x (t;x0;y0);y (t;x0;y0)) 2 U,

với bất kỳ t > T ;(x0;y0) 2 K

Chứng minh Theo giả thiết, tồn tại một lân cận mở V của (x ;y ) sao cho

(x (t;x0;y0);y (t;x0;y0)) 2 U;8t > 0;(x0;y0) 2 V:

Hơn thế nữa, với mỗi (x;y) 2 K , có một Tx;y > 0 sao cho

(x (t;x;y);y (t;x;y)) 2 V;8t > Tx;y:

Theo (1.2) và tính liên tục của nghiệm trong điều kiện ban đầu, tồn tại một lân cận

mở Ux;y của (x;y) sao cho

8(u;v) 2 Ux;y;(x (Tx;y;u;v);y (Tx;y;u;v)) 2 V;

kéo theo (x (t;u;v);y (t;u;v)) 2 U;8t > Tx;y

Ta thấy (x (t;x0;y0);y (t;x0;y0)) 2 U, với bất kỳ t > T ;(x0;y0) 2 K

1.2.1 Quá trình Markov.

Mục đích của phần này là trình bày vắn tắt về quá trình Markov

Giả sử (W;F;(Ft )t>0;P) là một không gian xác suất với lọc thỏa mãn cácđiều kiện thông thường, tức là (Ft )t>0 là dòng tăng các s đại số con của Fvà F làđầy đủ theo P Một quá trình ngẫu nhiên d chiều fXt ;t > 0g là một tập hợp các biếnngẫu nhiên, xác định trên (W;F;P), lấy giá trị trong Rd với d > 1 Chỉ số t được gọi

là thời gian Như thế một quá trình ngẫu nhiên có thể xem là một ánh xạ

X: W [0;¥) ! Rd sao cho với mỗi t ta có Xt là F- đo được:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

Nếu với xác suất 1, các quỹ đạo mẫu của (Xt ) là các hàm liên tục thì ta gọi nó

là quá trình ngẫu nhiên liên tục

Nếu với xác suất 1, các quỹ đạo là những hàm hằng từng khúc thì ta gọi (Xt )

là quá trình bước nhảy

Nếu với mỗi t, biến ngẫu nhiên Xt là Ft - đo được thì quá trình (Xt ) được gọi là

Ft phù hợp

Quá trình ngẫu nhiên (Xt ) được gọi là có tính markov (gọi tắt là quá trình Markov) nếu

nó thỏa mãn điều kiện sau

P(Xt 2 BjFs) = P(Xt 2 BjXs); 80 6 s < t; 8 B 2 Bd :Tính Markov (1.3) có thể được phát biểu một cách hình thức như sau:

Nếu trạng thái của quá trình tại một thời điểm cụ thể s (hiện tại) đã biết, thì thông tin bổ sung về dáng điệu của quá trình tại thời điểm r < s (quá khứ) không ảnh hưởng đến xác suất của quá trình tại thời điểm t > s (trong tương lai).

Đặt

P(s;x;t;B) = P(Xt 2 BjXs = x); 80 6 s < t; 8 B 2 Bd :

và gọi nó là hàm xác suất chuyển của quá trình markov Xt

Quá trình Markov (Xt ) được gọi là thuần nhất nếu P(s;x;t;B) chỉ phụ thuộc vàohiệu số thời gian t s, có nghĩa là

P(Xt+h 2 BjXt ) = P(Xh 2 BjX0); 80 6 t;h; 8B 2 Bd :Cho (Xt ) là một quá trình Markov thuần nhất với phân bố ban đầu n0 Khi đó,phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Xt tại thời điểm t được cho bởi

(i) x 7!P (s;x;B) đo được với s 2 [0;¥) cố định và B 2 Bd cố định

(ii) B 7!P (s;x;B) là một độ đo xác suất với s 2 [0;¥) cố định và x 2 Rd cố định

(iii) P 0;x;Rd nfxg = 0 với mọi x 2 Rd

(iv) Thỏa mãn phương trình Chapman- Komogorov

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

Ta nói rằng quá trình Markov (Xt ) có phân phối dừng m, nếu

Z

P (t;x;B) m (dx) = m (B); 8t 2 [0;¥); 8B 2 Bd :

R d

Từ (1.4) ta thấy nếu quá trình markov (Xt ) có phân phối dừng m và X0 cũng có phân phối

m thì Xt có phân phối xác suất m với mọi t Hơn nữa, trong trường hợp này quá trình (Xt )

sẽ là quá trình dừng, tức là với mọi 0 6 t1 < t2 < < tn và h > 0 ta có biến ngẫu nhiên n chiều (Xt1 +h ;Xt2 +h ;:::;Xtn +h ) có cùng phân phối với biến ngẫu nhiên (Xt1 ;Xt2 ;:::;Xtn ):

1.2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm các toán tử Markov.

Mỗi một quá trình Markov thuần nhất có thể gán một nửa nhóm các toán tửMarkov fTt ;t > 0g, được định nghĩa bởi

Miền xác định DL của toán tử L là một tập con của không gian các hàm vô hướng

đo được bị chặn xác định trên Rd để cho giới hạn trong (1.8) tồn tại

1.2.3 Toán tử sinh của xích Markov với thời gian liên tục.

Giả sử fxt ;t > 0g là một xích Markov thời gian liên tục, tức nó chỉ nhận giá trịtrong một tập không quá đếm được J Khi đó thay hàm xác suất chuyển P(t;x;B)với x 2 Rd ;B 2 Bd ta chỉ cần biết hàm pi;j(t) = P(t;i;f jg); i; j 2 J vì khi đó P(t;i;B) =

åj2B pi;j(t); i 2 J Hơn nữa, trong trường hợp này

Tt u(i) = å pi;j(t) f ( j); i 2 J:

j2J

Phân phối xác suất m( ) là phân phối dừng nếu nó thỏa mãn phương trình

m( j) = å pi;j(t)m(i); j 2 J:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

Trong trường hợp này, để xác định toán tử sinh L ta chỉ cần biết đại lượng

ai;j = lim

t#

trong đó di;j là ký hiệu Kronecker.

Nếu ký hiệu P(t) là ma trận xác suất chuyển, P(t) = (pi;j(t)), khi đó

Toán tử L xác định trên tất cả các hàm xác định trên J, nhận giá trị trên R

Phân phối dừng đối với xích Markov hữu hạn trạng thái luôn tồn tại Nếu ký

hiệu phân phối dừng là f = ff(i) : i 2 J thì nó là nghiệm của phương trình đại số

å ai jf(i) = 0;f( j) > 0; với mọi j 2 J; åf(i) = 0:

Trong đó xt là quá trình Markov lấy giá trị trong tập đếm được J với ma trận chuyển trạng thái (ai j) và f (x;i) là hàm thỏa mãn điều kiện Lipchitz theo x, đều theo i 2 J Khi đó người

ta đã chứng minh rằng quá trình (Xt ;xt ) là một quá trình Markov với toán tử sinh

L u(x;i) = f (x;i)du

+ å ai ju(x; j);

dx j2Jxác định trên lớp hàm u(x;i), khả vi liên tục theo x

Phân phối dừng của quá trình (Xt ;xt ) nếu tồn tại và có hàm mật độ f(x;i) khả vithì nó sẽ thỏa mãn phương trình Focker-Planck

0 = L f(x;i) =

12

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.

1.2.5 Quá trình Markov hai trạng thái.

Cho (W;F;P) là một không gian xác suất thỏa mãn các điều kiện thông thường và (xt )t>0

là một quá trình Makov, xác định trên (W;F;P), lấy giá trị trong tập hợp gồm 2 phần tử, kí

hiệu E = f+; g Giả sử rằng (x t ) có cường độ xác suất chuyển từ + ! và

a > 0;b > 0 Quá trình (xt ) có phân phối dừng:

p = lim

t!¥Pfx

t

Quỹ đạo của (xt ) là những hàm hằng từng khúc và liên tục phải Giả sử

là các bước nhảy của quá trình xt

Đặt

s1 = t1

s 1 = t 1 là lần đầu tiên (x t ) đi ra từ trạng thái ban đầu, s 2 là thời gian tiếp theo mà quá trình (x t )

di chuyển từ trạng thái đầu tiên Người ta chứng minh được (sk)¥k=1 là dãy độc lập với

điều kiện biết được chuỗi (x t )¥= Chú ý rằng nếu ta biết được x 0 thì sẽ biết được x t vì quá

trình (xt ) chỉ lấy 2 giá trị Do đó, (xk)¥n=1 là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập

có điều kiện, lấy giá trị trong [0;¥) Hơn thế nữa, nếu x0 = + thì s2n+1 có phân phối

mũ với mật độ a1[0;¥)e at và s2n có phân phối mũ với mật độ b 1[0;¥)e bt Ngượclại, nếu x0 = thì s2n có phân phối mũ với mật độ a1[0;¥)e at và s2n+1 có phân phối

mũ với mật độ b 1[0;¥)e bt (xem [12]) Trong đó:

Chương 2

Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Cho (xt ) là quá trình Markov 2 trạng thái nhận giá trị trong tập E = f+;g

trình Kolmogorov:

8 x˙(t) = xa (xt ;x;y)

Dưới tác động của tiếng ồn (x t ), hệ phương trình (2.1) chuyển đổi qua lại giữa hai hệ

Ta cũng giả thiết rằng trong cả 2 hệ (2.2) và (2.3), các hệ số a ( ;x;y);b ( ;x;y) thỏamãn các giả thiết sau:

14

Chương 2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Giả sử hệ (2.2) có một nghiệm duy nhất (x+ (t;x0;y0);y+ (t;x0;y0)), kí hiệu là (x+

(t);y+ (t)) (tương tự với (2.3) có nghiệm duy nhất (x (t;x0;y0);y (t;x0;y0)), kí hiệu: (x (t);y (t))), bắt đầu từ (x0;y0) 2 R2+

Trong suốt bản luận văn này, giả thiết rằng những nghiệm đó xác định trên [0;¥) Hơn nữa, giả sử rằng,

Giả thiết 2.2 Tồn tại tập compact D R+2 bất biến đối với cả hai hệ

nữa, 8(x;y) 2 R+2, tồn tại T > 0 sao cho (x+ (t);y+ (t)) 2 D;(x (t);y

Ta chú ý rằng Giả thiết 2.2 sẽ được thỏa mãn nếu a ( ;x;y) < 0;b ( ;x;y) < 0 khi xhoặc y đủ lớn

Để thuận tiện cho lập luận, chúng tôi giả sử x0 = + Đầu tiên, chúng ta xét hai

Chương 2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Mật độ dừng (m+; m ) của (x t ;u (t)) có thể được tìm thấy từ phương trình Fokker–Planck

m+ (u) =Trong đó:

F (u) = exp

u

q = Zu+

Như vậy, quá trình (xt ;u (t)) có một phân phối dừng duy nhất với mật

độ (m+; m chi tiết trong [4])

Hơn nữa, với hàm liên tục bất kỳ f : E R ! R với

trong đó

16

Chương 2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Hơn nữa, theo giả thiết 2.1, với jej đủ nhỏ (e có thể âm), tồn tại duy nhất u+e

thỏa mãn a (+;u+e;0) = e và ue thỏa mãn a ( ;ue ;0) = e Để đơn giản, ta viết u+(hoặc u ) thay cho u+0 (hoặc u0 ) Xét phương trình:

Chứng minh Do a (+;x;0) là một hàm giảm, khả vi liên tục và u+e là nghiệm của

phương trình a (+;u+e;0) = e, nên u+e liên tục giảm trong e và trong lân cận của 0

Để đơn giản, chúng tôi chứng minh bổ đề này cho trường hợp e > 0 Trường hợp

e < 0 chứng minh tương tự

Cho M > 0 là một số dương sao cho D [0;M) [0;M)

và cho

m = max

17

Chương 2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Với mọi e0 > 0 tồn tại một e1 < e0 sao cho u+

Hơn nữa, do hàm

Với mọi u 2 (u+e;u0), trong đó K là một hằng số dương thích hợp Do đó,

u++e 0

Z ue+

Chương 2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu

nhiễu điện báo

tương tự như vậy

19

Chương 2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Chứng minh Dễ dàng chứng minh được ý (a) với trường hợp u+ = u

Cho u+ 6= uvà l1 > 0 Cho M là một số được cho trong chứng minh của bổ đề 2.1.1 và

Khi đó, tồn tại một T > 0 sao cho x (t;x 0 ;y 0 ) < d 1 với mọi t > T

Tính chất này kéo theo jb (xt ;x (t);y (t))b (xt ;0;y (t))j < d1L 6 e Do

đó, y (b (xt ;0;y (t)) e) < y˙(t) = yb (xt ;x (t);y (t)) < y (b (xt ;0;y (t))

Hơn nữa,

ja (xt ;0;y (t)) a (xt ;0;v (t))j 6 L jy (t) v (t)j < L (v e (t) ve (t));

ja (xt ;x (t);y (t)) a (xt ;0;y (t))j 6 Lx (t);8t > T:

20

Chương 2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu

nhiễu điện báo

Từ những bất phương trình trên và (2.13), ta được

= a (xt ;x;y) a (xt ;0;y) + a (xt ;0;y)

t ¥

lim sup

T

a (xt ;0;v) = a (xt ;0;v);

e (s) lim L Zt(v

t!¥ t

Điều này mâu thuẫn với giả thiết Như vậy, lim supt!¥ x (t) > d1 h.c.c.

Ý (b) chứng minh tương tự Định lý được chứng minh

Từ bây giờ, giả sử rằng l1 > 0;l2 > 0 Bằng giả thiết a ( ;0;0) > 0;b ( ;0;0) > 0 vàđịnh lý 2.1.2, tồn tại một số d > 0 sao cho lim sup x (t) > d ;lim sup y (t) > d và a ( ;x;y)

> 0;( ;x;y) > 0 nếu 0 < x;y 6 d Thực tế, a ( ;x;y) > 0;( ;x;y) > 0 nếu 0 < x;y 6 d kéo theotồn tại một T > 0 sao cho một trong hai x (t) > d hoặc y (t) > d ;8t > T Vì vậy, khôngmất tính tổng quát, giả sử rằng x (t) > d hoặc y (t) > d ;8t > 0

Bổ đề 2.1.3 Với xác suất 1, tồn tại vô số các sn = sn (w) > 0 sao cho sn > sn

và x (sn ) > d ;y (sn) > d ;8n 2 N.

Chứng minh Ta xây dựng 2 chuỗi ngẫu nhiên (tn)

và với n

2 Nvới quy ước rằng inf ?

và do x (tn) > d ;y (tn0) > d ; n N:

Do lim sup x (t) > d ;lim sup y (t) > d

Nếu y (tn) > d thì ta chọn sn = tn Trong trường hợp, nếu y (tn) < d thì ta đặt sn

= inf ft > tn : y (t) > d g Do y (t0) > d ;sn 6 tn0, hơn nữa, y (t) < d ;8tn 6 t < sn kéotheo x (t) > d ;8tn 6 t < sn

Do đó, x (sn) > d ;y (sn) > d :

Bổ đề được chứng minh

21

Chương 2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Từ các khái niệm trong [6], ta định nghĩa (ngẫu nhiên) tập w- giới hạn của cácquỹ đạo bắt đầu từ tập B đóng như sau

\ [W(B;w) = (x (t;:;w);y (t;:;w))B:

tả gần đúng dáng điệu quỹ đạo của nghiệm với giá trị ban đầu đã cho Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng dưới một số điều kiện, W(x0;y0;w) là tất định, có nghĩa là, nó là hằng số gần như chắc chắn Hơn nữa, nó cũng độc lập với giá trị ban đầu (x0;y0).

Để biết thêm về dáng điệu của các nghiệm của hệ (2.1), chúng ta xét một sốtrường hợp cụ thể

Giả thiết 2.3 Trên miền trong của góc phần tư R2+ , cả hai hệ (2.2),(2.3) có

những trạng thái dương ổn định toàn cục tương ứng là x+;y+ ; x ;y

Bổ đề 2.2.1 Cho giả thiết 2.3 được thỏa mãn và cho M là một số được cho trong chứng

minh của bổ đề 2.1.1 Khi đó, với e > 0, tồn tại s (e) sao cho x (t) > s (e);y (t) > s (e);8t >

0;(x (0);y (0)) 2 He;M:

Chứng minh Theo bổ đề 1.1.1, tồn tại T > 0 sao cho

22

Chương 2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Đặt s (e) :=

trong đó K = min 0;a (i;x;y);b (i;x;y) : i 2 E;(x;y) 2 H0;M :

Dễ dàng thấy được rằng x (t) > s (e);y (t) > s (e);8t > 0:

Bổ đề 2.2.2 Giả sử giả thiết 2.3 được thỏa mãn Khi đó, với d được nói đến ở trên, với

N Đặt kn := max fk : tk 6 sng Từ bổ đề 2.2.1, ta thấy rằng xkn +1 > s (d );ykn +1 > s (d ):

Áp dụng Bổ đề 2.2.1 một lần nữa, ta được xkn +2 > s (s (d ));ykn +2 > s (s (d )).

Rõ ràng, tập fkn + 1 : n 2 NgS

fkn + 2 : n 2 Ng chứa vô hạn các số lẻ Bổ đề 2.2.2được chứng minh

2.2.2 Trường hợp 2: Một hệ ổn định và một hệ song ổn định.

Giả thiết 2.4 Hệ (2.2) có trạng thái dương ổn định toàn cục x+;y+ Còn (u ;0);(0;v ) là những trạng thái ổn định địa phương của hệ (2.3).

Bổ đề 2.2.3 Cho giả thiết 2.4 được thỏa mãn Khi đó,

a.Với mỗi e > 0;x+ (t) > s (e);y+ (t) > s (e);8t > 0;

với (x+ (0);y+ (0)) 2 He;M; ở đó s (e) là một số đã được cho trong bổ đề 2.2.1 b.Với mỗi 0 < e 6 d , tồn tại s (e) > 0 sao cho

nếu x (0) < s (e);y (0) > d thì x (t) < e;y (t) > d ;8t > 0;

nếu x (0) > d ;y (0) < s (e) thì x (t) > d ;y (t) < e;8t > 0:

Chứng minh Ý (a) đã được chứng minh trong 2.2.1.

Chúng ta chứng minh ý (b) Cho 0 < e 6 d , do điểm (0;v ) là ổn định địa phương, tồntại d1 > 0 sao cho nếu (x (0);y (0)) 2 [0;d1) (v d1;v + d1) thì (x (t);y (t)) 2[0;e) (v e;v + e);8t > 0 Hơn nữa từ tính chất b ( ;0;y) > 0 khi 0 < y < v và

b ( ;0;y) < 0 khi v < y, suy ra

lim v (t) = v

t!¥

ở đó v (t) là một nghiệm của phương trình v˙ (t) = v (t)b ( ;0;v (t)), với v (0) > 0:

Vì vậy, do sự phụ thuộc liên tục của nghiệm trong điều kiện ban đầu, với mỗi d 6 v 6

M, tồn tại các số dv > 0;Tv > 0 sao cho nếu (x (0);y (0)) 2 [0;dv) (v dv;v + dv) thì(x (Tv);y (Tv)) 2 [0;d1) (v d1;v + d1) Điều này kéo theo (x (t);y (t)) 2 [0;e) (v e;v + e);8t > Tv:

Chương 2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu

nhiễu điện báo

Do [d ;M] là compact, theo định lý Heine- Borel, tồn tại một tập hữu hạn fv1;v2;:::;vng

Lặp lại quá trình trên và sử dụng tính phụ thuộc liên tục của các nghiệm trong điều

kiện ban đầu, ta được 0 < s

ta có x (t) < d1;8t 6 maxi Tv i Hơn nữa, x (t) < e;y

Đặt s (e) = min fs (e);s (e)g, ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 2.2.4 Nếu giả thiết 2.4 được thỏa mãn thì, với xác suất 1, tồn tại vô số các k = k (w) 2

N sao cho x2k+1 > e;y2k+1 > e, ở đó e = min fs (d );s (d )g:

Chứng minh Ta chú ý rằng e 6 s (d ) 6 d : Bổ đề 2.1.3 nói rằng có một dãy (sn) %

¥ sao cho x (sn) > d ;y (sn) > d ;8n 2 N Nếu t2k 6 sn 6 t2k+1 ta có x (t2k+1) > s (d );y

(t2k+1) > s (d ) theo ý (a:) của bổ đề 2.2.3 Nếu t2k+1 6 sn 6 t2k+2 thì xs n = Nó xảy

ra từ ý (b:) của bổ đề 2.2.3 rằng x (t2k+1) > s (d );y (t2k+1) > d hoặc x (t2k+1) > d ;y

(t2k+1) > s (d ) Trong kết luận, ta nhận được x2k+1 > e;y2k+1 > e:

Bổ đề được chứng minh

2.2.3 Trường hợp 3: Một hệ ổn định toàn cục và một hệ triệt tiêu.

Giả thiết 2.5 Hệ (2.2) có trạng thái dương ổn định toàn cục x

hoặc trạng thái (0;v ) là ổn định và hút tất cả các nghiệm (x+

các giá trị ban đầu x (0) > 0 và y (0) > 0 (để thuận tiện, ta giả sử (u ;0) có tính chất

này).

Bổ đề 2.2.5 Cho giả thiết 2.5 được thỏa mãn Khi đó,

a.Với mỗi e > 0, ta có x+ (t) > s (e);y+ (t) > s (e);8t > 0, với (x+ (0);y+ (0)) 2 He;M

và nếu x (0) > e thì x (t) > s (e).

b.Với mỗi 0 < e 6 d , tồn tại s (e) > 0 sao cho nếu x (0) > d ;y (0) 6 s (e) thì x (t) >

d ;y (t) < e;8t > 0:

24

Chương 2 Tính chất tiệm cận của hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo.

Chứng minh Ta chứng minh bổ đề này tương tự như chứng minh bổ đề 2.2.1 và 2.2.3.

Bổ đề 2.2.6 Nếu giả thiết 2.5 được thỏa mãn thì, với xác suất 1, tồn tại vô số các k = k (w) 2

N sao cho x2k+1 > e;y2k+1 > e, ở đó e = min fs (s (d ));s (s (d ))g:

Chứng minh Theo bổ đề 2.1.3, tồn tại một dãy (sn) % ¥ sao cho x (sn) > d ;y (sn) >

Tiếp tục quá trình này, chúng ta hoặc tìm được một số lẻ 2m + 1 > n sao cho

x2m+1 > e;y2m+1 > e hoặc được y (t) < d ;8t > t2k

Điều này mâu thuẫn với bổ đề 2.1.3

Bổ đề được chứng minh

Hiện tại chúng ta đang mô tả quỹ đạo dáng điệu động học của các nghiệm của hệ

(2.1) Để đơn giản, ta ký hiệu pt+ (x;y) = (x+ (t;x;y);y+ (t;x;y)) là nghiệm của hệ (2.2) (tương

tự pt (x;y) = (x (t;x;y);y (t;x;y)) là nghiệm của hệ (2.3)) với giá trị ban đầu (x;y) Đặt

S = n

(x;y) = ptrn (n)

:::ptr1

ở đó r (k) = ( 1)k :

Định lí 2.2.7 Giả sử rằng (2.2) có một trạng thái ổn định toàn cục

M sao cho e < x2n+1;y2n+1 < M xảy ra thường xuyên vô hạn với xác suất 1.

(a) Với xác suất 1, tập đóng S của S là một tập con của tập w – giới hạn W(x0 ;y 0

(b) Nếu tồn tại t0 > 0 sao cho điểm (x¯0;y¯0) = pt 0

@

b (+;x¯0;y¯0) b ( ;x¯0;y¯0)A 6