Đánh giá tác động và tính dễ bị tổn thương do biến đổi khí hậu đối với sản xuất nông nghiệp và nuôi trồng thủy sản tại huyện quảng ninh, tỉnh quảng bình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---BÙI TRỌNG NGUYỆN XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-BÙI TRỌNG NGUYỆN

XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP

DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-BÙI TRỌNG NGUYỆN

XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP

DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số:

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - Năm 2014

MỞ ĐẦU

Toán học là một môn khoa học đóng vai trò rất quan trọng trong cácngành khoa học Trong đó, bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thứchay và thú vị nhất của toán học đặc biệt của toán sơ cấp Việc nghiên cứu vềbất đẳng thức giúp tăng cường tính sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề vàphát triển tư duy Lý thuyết cũng như các bài tập về bất đẳng thức rất phongphú và đa dạng Trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi toán, các bất đẳng thứcđều được đề cập và thuộc loại toán khó hoặc rất khó Nhiều bất đẳng thức đãtrở thành công cụ đắc lực để giải quyết các bài toán đó như bất đẳng thứcCauchy, Bunhiacopxki, Jensen… trong khi đó bất đẳng thức Bernoulli thường

ít được quan tâm Là một người cũng rất say mê bất đẳng thức sơ cấp nhưngtác giả cũng biết không nhiều về bất đẳng thức này Vì vậy, tác giả đã lựa

chọn đề tài "Xây dựng một số bất đẳng thức sơ cấp dựa trên bất đẳng thức

Bernoulli" với mong muốn tìm ra nhiều vẻ đẹp của bất đẳng thức này để có cái

nhìn tổng quan và đầy đủ hơn về bất đẳng thức sơ cấp cũng như để cung cấpthêm một tài liệu tham khảo bổ ích về toán học trong các trường THPT hiệnnay

Với ý nghĩa đó trong quá trình làm luận văn, tác giả đã xây dựng và lựachọn các bài toán hay nhằm làm nổi bật lên mặt mạnh của bất đẳng thứcBernoulli Luận văn được chia thành ba chương

Chương 1 Bất đẳng thức Bernoulli Trong chương này tác giả trình bày về bấtđẳng thức Bernoulli và các dạng phát biểu khác cùng một số ví dụ thể hiệncác kỹ thuật cơ bản của bất đẳng thức Bernoulli

Chương 2 Một số bất đẳng thức được xây dựng dựa trên bất đẳng thức

Bernoulli Tác giả trình bày ý tưởng xây dựng bài toán từ bất đẳng thức

Bernoulli thông qua các ví dụ cụ thể Từ đó trình bày hệ thống bài tập

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trongluận văn không tránh khỏi thiếu sót, em mong muốn nhận được sự góp ý củacác thầy cô giáo và các bạn.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo của thầyPGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Em xin chân thành cảm ơn thầy về sự giúp đỡnhiệt tình từ khi xây dựng đề cương, viết và hoàn thành luận văn

Em xin chân thành cảm ơn khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội, nơi em đã nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô để có một học vấn sau đại học căn bản

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và góp những

ý kiến quý báu để em hoàn thiện hơn luận văn của mình

Em xin chân thành cảm ơn trường THPT Trưng Vương, Hưng Yên, nơi

em công tác, đã tạo điều kiện cho em đi học hoàn thành chương trình

Cuối cùng, em xin gửi lời chúc đến tất cả các thầy các cô, kính chúc thầy côluôn luôn mạnh khỏe và hạnh phúc

Chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014

Người thực hiệnBùi Trọng Nguyện

2

Chương 2

Một số bất đẳng thức được xây dựng dựa trên bất đẳng thức

2.3 Xây dựng một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng thức 2  1  2 51

Chương 1

Bất đẳng thức Bernoulli

1.1 Bất đẳng thức Bernoulli

Jacob Bernoulli (1654-1705) là nhà toán học nổi tiếng người Thụy Sĩ Bất

đẳng thức Bernoulli được dạy trong trường phổ thông mang tên này để vinh

danh ông Bất đẳng thức Bernoulli cho phép tính gần đúng lũy thừa của (1+x),

được phát biểu như sau

Theo bảng biến thiên của hàm số, ta suy ra

f (x)  f (0)  0, hay 1  x   1  .x với mọi x  1

Đẳng thức xảy ra khi a 1 hoặc  1

2 Nếu  là một số thực thỏa mãn 0   1 thì

a    1  .a , với mọi a  0

Đẳng thức xảy ra khi a 1 hoặc  1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1

Để sử dụng bất đẳng thức Bernoulli cho trường hợp đảm bảo chắc chắn rằngđẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  x0 , với x0 là một số dương cho trước, ta

5

Định lí 1.4Giả sử cho trước x0 >0 và cặp số ,  thỏa mãn điều kiện

1.2 Một số ví dụ

1.2.1 Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa.

Các dạng toán đặc trưng của bất đẳng thức Bernoulli rất dễ nhận ra vì đó là

bất đẳng thức với những số mũ vô tỉ dương hay sự chuyển đổi số mũ vô tỉ Kỹ

thuật chủ yếu để xử lí dạng toán đó là kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy

thừa Xét các ví dụ điển hình sau đây

Ví dụ 1.2.1 Giả sử a, b là hai số thực dương Chứng minh rằng

Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế, ta được

  1, với mọi a, b  0.

abb(a  b) a(a  b)

 b(a  b)    b) 

Bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b

Ví dụ 1.2.2 Giả sử a, b, c là ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c.

Ví dụ 1.2.3 Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a  b  c 



8

3c

3 a  b a  b  2Cộng các bất đẳng thức trên theo vế, ta được

    

Mặt khác

10

n b  c n c  a n a  b 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c 

Ví dụ 1.2.5 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp, ha , hb , hc là độ dài đường cao

tương ứng với đỉnh của tam giác ABC



Tương đương với

Ví dụ 1.2.6 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

2

  3 

sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  3    

Lời giải Phát biểu của bài toán gợi cho ta nhớ đến kết quả quen thuộc sau

sin2 A  sin2 B  sin2 C  9

4 , với mọi ABC

Như vậy ta đánh giá thông qua số mũ 2 Vì A, B, C là ba góc của tam giácABC nên sin A  0, sin B  0, sinC  0 Ta suy ra

2sin A  0,

2

sin B  0,

2sin C  0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

Ví dụ 1.2.7 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với mọi số thực 0  k 1,

3 2 3 2 3 2

Áp dụng Định lí 1.2, ta được

14

 2cos

A k

 k  1 

2.kcos

A

B

C

a

Ta suy ra

ab  a  a

b Tương tự, ta cũng có

ba  a  b

b Cộng các bất đẳng thức trên theo vế

16

17

1.2.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi.

Khi áp dụng bất đẳng thức Bernoulli thì việc áp dụng sao cho đẳng thức xảy

ra là điều quan trọng, đặc biệt là bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Đó

chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Bernoulli

Ví dụ 1.2.11 Giả sử x, y  0 thỏa mãn x2  y2 1 Chứng minh rằng

2 2y3  1

2  3y2.Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế, ta được

4x4  y4 2  4x2  y2  4

Từ đó suy ra

x4  y4  1

2 Bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 1.2.12 Giả sử x, y  0 thỏa mãn x2  2y2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

2 N  xn  yn , với n  3 cho trước

19

Lời giải 1 Giả sử tồn tại x

20

  

  Hay

Ví dụ 1.2.13 Giả sử x, y  0 thỏa mãn x  y  2 Tìm giá trị nhỏ nhất

n  2 ) thỏa mãn x1x 2 xn n và a1 , a2 , , an là các hằng số dương cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Lời giải Giả sử tồn tại x 01, x02, , x 0n0 thỏa mãn x01x 02 x 0n

n để C  a1x1m  a2 x2m   an xnm đạt giá trị nhỏ nhất tại đó Ta suy ra

26

Dựa vào bất đẳng thức Bernoulli có thể xây dựng một số hàm đơn điệu dạng

lũy thừa rất thú vị Sau đây ta xét một số bài toán như thế

Ví dụ 2.1.1 Giả sử a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c

Nhận xét Vế trái và vế phải của bất đẳng thức trong Ví dụ 2.1.1 được biểu thị

Từ đó, ta có một ý tưởng để xây dựng bất đẳng thức về hàm đơn điệu qua Ví

Ta cần chứng minh F(t) là một hàm số đơn điệu tăng trên (0;) hay với mọi

  a  b  t

1      2c  

29

Nhận xét Vì bất đẳng thức đúng với mọi ,  (0;) sao cho    nên

bằng phương pháp đặc biệt hóa ta sẽ xây dựng được rất nhiều bất đẳng thức

trong các trường hợp riêng

Ví dụ 2.1.3 Giả sử a, b, c là số đo ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng

30

 8 (p  a).(p  b).(p  c)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c

Từ ví dụ trên ta xây dựng bất đẳng thức mới qua Ví dụ 2.1.4 sau

Ví dụ 2.1.4 Giả sử a, b, c là số đo ba cạnh một tam giác và ,  là hai số

thực thỏa mãn    1 Chứng minh rằng

Ví dụ 2.1.5 (IMO-2001) Giả sử a, b, c là ba số thực dương Chứng minh

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức (AM-GM), ta có

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế, ta thu được bất đẳng thức cần chứngminh Từ đó ta có bài toán sau.

Ví dụ 2.1.6 Giả sử a, b, c là các số thực dương và ,  là hai số thực thỏa

mãn    1 Chứng minh rằng

34

Ta chứng minh F(t) là một hàm số đơn điệu tăng trên 1; hay với mọi t1 ,t2  1;  ,t1  t2 thì

35

Ví dụ 2.1.7 (Japan MO 2002) Giả sử a, b, c là ba số thực dương Chứng

Cộng các bất đẳng thức trên theo vế, ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Từ đó ta có bài toán sau

Ví dụ 2.1.8 Giả sử a, b, c là các số thực dương và ,  là hai số thực thỏa

37

Lời giải Nhận thấy rằng với a, b, c là các số thực dương và với mọi t 1, ta

Ta chứng minh F(t) là một hàm số đơn điệu tăng trên 1;

Hay với mọi t1 ,t2  1;  , t1  t2 thì

38

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c

Một số bài tập về xây dựng hàm đơn điệu.

Bài 2.1.1 Giả sử a, b, c là số đo cạnh của một tam giác và ,  là hai số thực

Bài 2.1.5 Giả sử a, b, c là các số dương,    1 Chứng minh rằng

Dựa trên bất đẳng thức Bernoulli và các bài toán cụ thể, ta có thể xây dựng

được nhiều bài toán tổng quát Từ đó bằng phương pháp đặc biệt hóa để được

Lời giải 1 Ta có

3Tương đương với

40

Tương đương với

1  a 2   a n 

Tương đương với

2

a



2





a

na

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 a n.

Một vài trường hợp đặc biệt

Mệnh đề 2.2.2 Giả sử a, b là hai số thực dương Khi đó ta luôn có

(với m N, m  2 ).

n  3, r  m Từ đó ta có một

số

44

Ví dụ 2.2.2 Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

6a  b  c  abc 2 Nên

1  27.abc2

Từ đó, suy ra P  0

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 0 khi và chỉ khi a  b  c 

1.3

Ví dụ 2.2.3 Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a  b  c 1

Chứng minh rằng

Từ bất đẳng thức (1.4), bằng cách biến đổi tương đương, ta được một

dạng khác của bất đẳng thức Bernoulli như sau

Mệnh đề 2.2.5 Với mọi số thực dương x, x0 và  1 Ta luôn có

x  x

0  .x

01(x  x0 ) Đẳng thức xảy ra khi x  x0

Cách xây dựng bài toán.

+ Cho   2,x0  3, ta suy ra x2  32  2.3(x  3)

+ Cho  2, y 0 1, ta suy ra y2  32  2.3(y 1)

Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế, ta được



Như vậy, nếu cho x  3, x  y  4 thì x2  y2  32 12 Từ đó ta có bài

toán Ví dụ 2.2.4 Giả sử x  3, x  y  4 Chứng minh rằng

x2  y2 10 46

Lời giải Bài toán trên xây dựng dựa trên bất đẳng thức Bernoulli, nhưng

ngoài cách chứng minh sử dụng bất đẳng thức Bernoulli, ta có thể giải bằng

47

Ví dụ 2.2.7 Giả sử a, b, c là các số dương thỏa mãn a  5, a  b 

8, a  b  c  9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a 3  b 3  c 3 5 3  3 3  1 3   3.A Trong đó

Vậy giá trị nhỏ nhất của P  5 3  3 3 1 khi a  5, b  3, c 1.

Ví dụ 2.2.8 Giả sử a, b là các số thực dương thỏa mãn a  b, a  3, a  b 

4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Pa 2014 b 2014 .

Lời giải Đây là một cách nữa để xây dựng bài toán mới từ bất đẳng

thức Bernoulli, kỹ thuật làm ngược chiều bất đẳng thức Bernoulli.

Ta có thể đánh giá như sau

3 2014  a 2014   2014.a 2014 1 3  a ;

1 2014  b 2014   2014.b 2014 1 1  b.Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên, ta được

Một số bài toán được xây dựng theo cách trên.

Bài 2.2.11 Giả sử ba số thực x, y, z thỏa mãn

x  2, x  y  3, x  y  z  4

Chứng minh rằng

x3  y3  z3 10

Bài 2.2.112 Giả sử ba số thực x, y, z thỏa mãn

x  2, x  y  3, 2x  2y  z  9 Chứng minh rằng

x4  y4  z4  2483

Bài 2.2.15 Giả sử a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a  6, a  b

11, a  b  c  14, a  b  c  d 15 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

50

Bài 2.2.19 Giả sử a, b, c là số đo ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng 3

Bài 2.2.21 Giả sử bốn số thực a, b, c, d  0 thỏa mãn a  b  c  d 1 Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

Mệnh đề 2.3 Giả sử  là số thực thỏa mãn 0   1 Chứng minh

rằng 2 1 2Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   0 hoặc  1

51

Chứng minh. • Với   0 , bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Từ đó ta suy ra

2 1 2 Đẳng thức xảy ra khi  1

Mệnh đề được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   0 hoặc  1

2.3.1 Một số bài toán trong tam giác

Ví dụ 2.3.1 Cho tam giác ABC có hai góc A, B nhọn và thỏa mãn điều kiện

sin2 A  sin2 B  3 sin C Chứng minh rằng

2sin A 2sin B 2sin C 5.

Lời giải Vì sin C0,1 nên 3 sin C  sin2 C

52

Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế, ta được

2sin A  2sin B  2sin C  3   sin2 A  sin2 B  sin2 C.Mặt khác, với mọi tam giác ABC, ta luôn có

sin2 A  sin2 B  sin2 C  2  2cosAcosBcosC

Với mọi tam giác ABC không tù, ta luôn có

2sin A 2sin B 2sin C 5.

53

Ví dụ 2.3.2 Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn điều kiện

sin3 A  sin3 B  sin3 C Chứng minh rằng

1 2 sin A 23 sin B 24 sin C 5

 1 sin A  1 sin B  1sin C

3 sin A  sin B  sin Csin A   sin A  sin B  sin Csin B 

Lời giải Trước tiên ta chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn Ta

có sin3 A  sin3 B  sin3 C Tương đương với

a2  b2  c2

2ab

54

Do đó góc C nhọn Vì C là góc lớn nhất trong tam giác ABC nên hai góc A, B

cũng là góc nhọn

1 Do sin A,sin B,sin C0,1 nên

2 sin A  23 sin B  24 sin C 2sin A 2sin B 2sin C 5

2 Vì 0  sin A, sin B, sinC 1 nên

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn nên theo kết quả Ví dụ 2.3.1 ta có

2sin A 2sin B 2sin C 5.

3 Vì 0  sin A, sin B, sinC 1 nên

sin A  sin B  sinC  sin2 A  sin2 B  sin2 C  2  2cosAcosBcosC 

2

Do đó

 sin A  sin B  sin Csin A   sin A  sin B  sin Csin B 

Suy ra

55

 sin A  sin B  sin Csin A   sin A  sin B  sin Csin B 

  sin A  sin B  sin Csin C  5

 cos cos  sin cos    cos cos  sin cos   0

Tương đương với

56

Do tam giác ABC không tù nên

Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế, ta được

2tan A2 2tan B2 2tan C2 3tan2 A

2tan2 B

2tan2 C

2.Mặt khác

2cos x  2s inx  3, với mọi xR

Lời giải Vì cos x , sinx 0,1 nên áp dụng Mệnh đề 2.3, ta có

2cos x  1  cos2x ;

2 s inx  1  sin 2 x Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế, ta được

2cos x  2s inx  2  cos2 x  sin2x  3

59

Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế, ta được

2cos  1  2 s in 1 cos  2  2s in 1 s in 2

2 cos  1  2s in 1 cos  2  2s in 1 s in 2  4

cos2  sin  cos

2cos  1  2s in 1 cos  2  2 s in 1 s in 2 cos  3  2 s in 1 s in 2 s in 3  5

Ví dụ 2.3.6 (Bài toán mở rộng) Chứng minh rằng

2cos 1  2s in1 cos  2  2 s in1 s in 2 cos 3   2 s in1 s in 2 s in n1cosn

Với mọi n  2, n ¥

 2 s in 1 s in 2 .s in n 1 sin  n  n  2

Lời giải Áp dụng Mệnh đề 2.3, với chú ý

60

cos2  sin  cos

2.4.1.Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh BĐT AM-GM suy

rộng Mệnh đề 2.4.1 Giả sử a,b  0; ,  > 0 và    1 Chứng minh

rằng

Chứng minh Xét a  0 hoặc b  0 , bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Xét a,b > 0.

+ Với a  b Bất đẳng thức hiển nhiên đúng

+ Với a  b Vì a,b > 0 nên a  0 , a  1