Công thức black – scholes trong toán tài chính

Để đi tới phương trình giá và côngthức định giá, các tác giả của mô hình này đã giả thiết rằng sự biến đổi của giá chứng khoán cơ sở S t  theo thời gian t là một quá trình chuyển động

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-PHẠM QUANG KHẢI

CÔNG THỨC BLACK – SCHOLES

TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà nội – Năm 2013

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-PHẠM QUANG KHẢI

CÔNG THỨC BLACK – SCHOLES

TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS TRẦN HÙNG THAO

Hà nội – Năm 2013

2

LỜI MỞ ĐẦU

Trong việc định giá các gói tài sản tài chính trong một thị trường chứngkhoán thì mô hình Black – Sholes ra đời vào năm 1973 được đánh dấu nhưmột bước ngoặt có tính chất cách mạng, làm thay đổi hẳn quá trình tính toán

và đầu tư trên các thị trường tài chính Mỹ và Châu Âu kể từ đó

Mô hình định giá quyền chọn này được gắn liền với tên tuổi củaFischer Black, Myron Scholes và Merton Miller và là cơ sở cho một giảithưởng Nobel về kinh tế năm 1986 Để đi tới phương trình giá và côngthức định giá, các tác giả của mô hình này đã giả thiết rằng sự biến đổi của

giá chứng khoán cơ sở S t  theo thời gian t là một quá trình chuyển động

trong đó các hệ số  và  được định giả thiết là các hằng số,  biểu thị tốc

độ biến đổi trung bình của giá chứng khoán S t  còn  được gọi là độ

biến động, thể hiện mức độ tham gia của nhiễu ngẫu nhiên dW t

Trong quá trình ứng dụng về sau, mô hình Black – Sholes cổ điển tỏ

ra có nhiều hạn chế, chưa phản ánh tốt sự phát triển thực tế việc định giácác hợp đồng quyền chọn Các nhà nghiên cứu toán học và kinh tế tài chính

đã mở rộng mô hình này cho phù hợp hơn với thực tế

3

Sự mở rộng đã được phát triển theo hai hướng chính:

1 Hướng thứ nhất nhằm thay thế quá trình điều khiển Wiener (chuyển

động Brown) W t bởi một quá trình khác, chẳng hạn một quá trình khuếchtán có bước nhảy hay một quá trình Lévy, hay một quá trình tổng hợpnhiều loại chuyển động ngẫu nhiên hay một quá trình phân thứ Đã có rấtnhiều thành công theo hướng này, trong đó phải kể đến các công trình củaE.Eberlein, T.Bjork, D.Nualart…

2 Một khuynh hướng tự nhiên thứ hai là không xem tốc độ biến đổi 

và tốc độ biến động  của chứng khoán là hằng số nữa mà phải xem chúngbiến đổi hoặc theo thời gian t :    t ,    t , hoặc là các biến ngẫunhiên hoặc là các hàm ngẫu nhiên

Theo hướng này, gần đây đã xuất hiện công trình đặc biệt của hai tácgiả Richard J.Criego và Anatoly V.Swishchuk, nghiên cứu mô hình Black –Scholes với các hệ số  và  phụ thuộc vào một xích Markov: ở mỗi trạngthái của xích Markov này thì có thể xem giá chứng khoán tuân theo môhình Black – Scholes cổ điển, nhưng theo thời gian với sự chuyển trạngthái của xích Markov thì giá chứng khoán lại ứng với một mô hình Black –Scholes cổ điển khác Ta có thể nói một cách sơ lược rằng ta có một môhình Black – Scholes được “nhúng” trong một môi trường ngẫu nhiên tạo

ra bởi một xích Markov

Luận văn này đã tổng hợp một cách có hệ thống những kết quả chínhcủa công trình này Luận văn gồm 3 chương:

Chương I gồm các kiến thức mở đầu, trình bày một số khái niệm cơ

bản về Toán Tài Chính và Giải tích ngẫu nhiên liên quan đến đề tài luận văn như Quyền chọn, Trái phiếu và lãi suất, Toán tử sinh cực vi, công thức Feynman – Kac …

Chương II trình bày chung về các phương trình vi phân ngẫu nhiên mà

hệ số dịch chuyển (drift)  và hệ số khuếch tán (diffusion)

 phụ thuộc vào một xích Markov

4

Chương III trình bày mô hình Black – Scholes với các hệ số  và 

phụ thuộc vào một xích Markov, dẫn giải cách đi tìm công thức định giá Black – Scholes cho mô hình quyền chọn nàythông qua phương pháp Feynman – Kac

Phần cuối của luận văn, ngoài Kết luận còn có một Phụ lục liên quan tới

kĩ thuật tính toán trong nội dung của luận văn, đó là

Phụ lục 1 gồm Phương pháp độ đo xác suất rủi ro trung tính.

Phụ lục 2 gồm Các định lý Girsanov về biến đổi độ đo.

Luận văn này đã được hoàn thành sau một thời gian dài nỗ lực của tácgiả với sự hướng dẫn nhiệt tình và sự động viên liên tục của thầy hướngdẫn PGS – TS Trần Hùng Thao

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Trần Hùng Thao,người đã hết lòng chỉ bảo, động viên, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn.Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến trường Đại học Khoa học Tựnhiên nơi tác giả được học tập, nghiên cứu trong suốt quá trình học Caohọc và trong quá trình làm luận văn, cảm ơn trường Đại học Hàng hải ViệtNam nơi tác giả đang công tác đã luôn tạo điều kiện tốt nhất để tác giả cóthể tập trung học tập và hoàn thành luận văn này Tác giả cũng xin gửi lờicảm ơn đến gia đình, bạn bè, động nghiệp đã giúp đỡ và động viên tác giảtrong suốt thời gian qua

Tuy có nhiều cố gắng nhưng do khả năng còn hạn chế, thời giankhông dài nên luận văn này không tránh khỏi những sai sót Tác giả mong

nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp Hy vọng sau

luận văn này tác giả sẽ có cơ hội phát triển thêm những nội dung khoa họcthú vị trong luân văn

Ngày 30 tháng 10 năm 2013

Học viên

Phạm Quang Khải

5

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU

MỤC LỤC

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Trái phiếu, cổ phiếu, lãi suất

1.1.1 Trái phiếu

1.1.2 Cổ phiếu

1.1.3 Lãi suất

1.2 Thị trường đầy đủ và không đầy đủ

1.2.1 Cơ hội có độ chênh thị giá

1.2.2 Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ

1.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu

1.4 Quá trình Markov, xích Markov và toán tử sinh cực vi

1.4.1 Quá trình Markov

1.4.2 Xích Markov

1.4.3 Toán tử sinh cực vi

1.5 Quá trình Poisson và chuyển động Brown

1.5.1 Quá trình Poisson

1.5.2 Quá trình Poisson phức hợp

1.5.3 Chuyển động Brown ( hay quá trình Wiener )

1.6 Công thức Feynman – Kac

CHƯƠNG II QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ĐIỀU KHIỂN BẰNG XÍCH MARKOV……… 30

2.1 Quá trình ngẫu nhiên được điều khiển bởi xích Markov

2.2 Các kết quả

CHƯƠNG III MÔ HÌNH BLACK – SCHOLES ĐỐI VỚI THỊ TRƯỜNG KHÔNG ĐẦY ĐỦ (B,S,X)

6

3.1

Công thức Feynman-Kac cho quá trình tiến hóa ngẫu nhiên Z 39

3.2 Phương trình Black – Scholes cho thị trường chứng khoán không đầy đủ B , S , X   42

3.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu trong thị trường  B, S, X  44

3.4 Công thức Black – Sholes cho thị trường B , S , X  45

Kết luận 48

PHỤ LỤC 49

Tài liệu tham khảo 56

7

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản về Toán Tài chính và Giải tích ngẫu nhiên liên quan đến đề tài của luận văn.

Trước tiên, ta nêu ra khái niệm về các tài sản cơ sở là trái phiếu và cổ

phiếu trên cơ sở đó tạo ra các gói tài sản mà nhà đầu tư muốn thiết lập.Các

gói tài sản này gọi là các tài sản phái sinh Tài sản phái sinh đặc biệt mà ta

đề cập tới ở đây là một loại hợp đồng tài chính mà ta gọi là các quyền chọn, gồm quyền chọn mua và quyền chọn bán Và mô hình Black-Scholes chính

là một mô hình cho phép định giá quyền chọn mua (hoặc bán) mà ta sẽ nóitiếp theo ở chương này và được phát triển ở các chương sau với sự thamgia của một xích Markov Phần sau của chương nói về xích Markov vànhững vấn đề liên quan đến luận án,

1.1 Trái phiếu, cổ phiếu, lãi suất.

1.1.1 Trái phiếu

Trái phiếu là một loại chứng khoán quy định nghĩa vụ của người phát

hành (người vay tiền) phải trả cho người nắm giữ chứng khoán (ngườicho vay) một khoản tiền xác định, thường là trong những khoảng thờigian cụ thể, và phải hoàn trả khoản cho vay ban đầu khi nó đáo hạn

b Trái phiếu thể hiện quan hệ chủ nợ – con nợ giữa người phát hành và người đầu tư

Phát hành trái phiếu là đi vay vốn Mua trái phiếu là cho người pháthành vay vốn và như vậy, trái chủ là chủ nợ của người phát hành Là chủ

nợ, người nắm giữ trái phiếu (trái chủ) có quyền đòi các khoản thanh toántheo cam kết về khối lượng và thời hạn, song không có quyền tham gia vàonhững vấn đề của bên phát hành

c Lãi suất của các trái phiếu rất khác nhau, được quy định bởi các yếu tố:

Cung cầu vốn trên thị trường tín dụng Lượng cung cầu vốn đó lạituỳ thuộc vào chu kỳ kinh tế, động thái chính sách của ngân hàng trungương, mức độ thâm hụt ngân sách của chính phủ và phương thức tài trợthâm hụt đó

Mức rủi ro của mỗi nhà phát hành và của từng đợt phát hành Cấu trúcrủi ro của lãi suất sẽ quy định lãi suất của mỗi trái phiếu Rủi ro càng lớn,lãi suất càng cao

Thời gian đáo hạn của trái phiếu Nếu các trái phiếu có mức rủi ro nhưnhau, nhìn chung thời gian đáo hạn càng dài thì lãi suất càng cao

1.1.2 Cổ phiếu

Cổ phiếu là chứng chỉ do công ty cổ phần phát hành hoặc bút toán ghi

sổ xác nhận quyền sở hữu một hoặc một số cổ phần của công ty đó Cổphiếu có thể ghi tên hoặc không ghi tên Cổ phiếu phải có các nội dung chủyếu sau đây:

Tên, địa chỉ trụ sở chính của công ty;

Số và ngày cấp Giấy chứng nhận đăng ký kinh

doanh; Số lượng cổ phần và loại cổ phần;

9

Mệnh giá mỗi cổ phần và tổng mệnh giá số cổ phần ghi trên cổ phiếu;

Họ, tên, địa chỉ thường trú, quốc tịch, số Giấy chứng minh nhân dân,

Hộ chiếu hoặc chứng thực cá nhân hợp pháp khác của cổ đông là cá nhân;tên, địa chỉ thường trú, quốc tịch, số quyết định thành lập hoặc số đăng kýkinh doanh của cổ đông là tổ chức đối với cổ phiếu có ghi tên;

Tóm tắt về thủ tục chuyển nhượng cổ phần;

Chữ ký mẫu của người đại diện theo pháp luật và dấu của công ty;

Số đăng ký tại sổ đăng ký cổ đông của công ty và ngày phát hành cổphiếu;

Các nội dung khác theo quy định dưới đây đối với cổ phiếu của cổphần ưu đãi

1.1.3 Lãi suất

Lãi suất là tỷ lệ của tổng số tiền phải trả so với tổng số tiền vay trongmột khoảng thời gian nhất định Lãi suất là giá mà người vay phải trả đểđược sử dụng tiền không thuộc sở hữu của họ và là lợi tức người cho vay

có được đối với việc trì hoãn chi tiêu

Có nhiều loại lãi suất như: lãi suất tiền vay; lãi suất tiền gửi; lãi suất táicấp vốn; lãi suất liên ngân hàng, v.v

Theo John Maynard Keynes lãi suất là một hiện tượng tiền tệ phản ánhmối quan hệ giữa cung và cầu về tiền Cung tiền được xác định một cáchngoại sinh, cầu tiền phản ánh các nhu cầu đầu cơ, phòng ngừa và giao dịch

về tiền

Trái với Keynes, các nhà kinh tế học cổ điển trước đó đã coi lãi suất làmột hiện tượng thực tế, được xác định bởi áp lực của năng suất - cầu vềvốn cho mục đích đầu tư - và tiết kiệm

Tác động tới nền kinh tế

Thông qua vay nợ

10

Lãi suất tăng làm giảm vay nợ Cá nhân giảm đi vay và tăng gửi tiếtkiệm, do đó giảm tiêu dùng và tác động tiêu cực tới tổng cầu Doanhnghiệp giảm vay mới và do đó giảm đầu tư mới, nên tác động tiêu cực tớitổng cầu Mặt khác, lãi suất tăng còn có nghĩa là giá cả các khoản vay hiệnthời của doanh nghiệp tăng, có nghĩa là giá vốn tăng hay chi phí sản xuấttăng Điều này làm giảm lợi nhuận của doanh nghiệp, khiến doanh nghiệp

có xu hướng thu hẹp sản xuất; do đó tác động tiêu cực tới tổng cầu Giãnthợ còn làm giảm thu nhập của người lao động Điều này khiến họ giảmtiêu dùng Tổng cầu lại chịu tác động tiêu cực

Đối với hoạt động vay cầm cố, khi lãi suất tăng người ta sẽ giảm nhucầu vay để xây hay mua nhà, do đó đầu tư xây nhà giảm, ảnh hưởng tiêucực tới tổng cầu Nó còn khiến cho việc trả nợ các khoản vay cầm cố hiệnthời trở nên khó khăn hơn khiến người đi vay phải giảm tiêu dùng để còntrả nợ Tổng cầu vì thế chịu tác động tiêu cực

Lãi suất trong nước tăng tương đối so với lãi suất ở nước ngoài sẽkhiến cho dòng vốn từ nước ngoài tăng cường chảy vào trong nước Điềunày làm cho tỷ giá hối đoái giữa nội tệ với ngoại tệ giảm xuống Xuất khẩuròng vì thế giảm đi, khiến cho tổng cầu giảm theo

1.2 Thị trường đầy đủ và không đầy đủ

1.2.1 Cơ hội có độ chênh thị giá

Cho một thị trường, giả sử là một thị trường chứng khoán nào đó.Một phương án đầu tư trong thị trường là tổ hợp của một số hữu hạn cácchứng khoán với các trọng số nào đó Giả sử có n+1 chứng khoán với các

giá trị tại thời điểm t là X it ,0  i  n Mỗi phương án đầu tư là mỗi cách

chọn ra i t  chứng khoán Xi, 0  i  n tại mỗi thời điểm t để đầu tư Vì

vậy có thể hiểu rằng

Định nghĩa 1

11

Một phương án đầu tư trong thị trường X t  t0,T

Tại một thời điểm t, phương án đầu tư có thể được cân đối lại, tức là

điều chỉnh lại việc mua và bán các chứng khoán X i 0  i  n Điều đó cónghĩa là thay đổi các trọng số của phương án đầu tư từ it sang

 it ,0  i  n Nếu sau sự cân đối lại đó, giá của của phương án

thì ta gọi sự cân đối lại đó là sự cân đối tự tài trợ Phương án đầu tư  t

 khi đó gọi là phương án đầu tư tự tài trợ

Điều này có nghĩa là  t sẽ là phương án đầu tư tự tài trợ nếu

dV t   t dX t .Thật vậy, giả sử ta đang xét mô hình thị trường với thời gian rời rạc.Khi đó nếu có X t   X t   X s, 0  s  t , là sự thay đổi giá cả vào

12

thời điểm t, tlà phương án đầu tư tại thời điểm t, vậy sự thay đổi giá

trị của phương án đầu tư cho bởi:

V t  V t  V s   t .X t 

tức là không có nguồn tiền nào được thêm vào cũng như rút ra từ hệ thống,

cũng có nghĩa là phương án đầu tư của ta là tự tài trợ

Mô hình thời gian liên tục được hiểu là giới hạn của mô hình thị

trường với thời gian rời rạc khi t – s dần tới 0, do đó, theo định nghĩa của

tích phân Itô, ta có (1.3).

Nhận xét:

i) Nếu phương án đầu tư  là tự tài trợ đối với X t  thì  cũng là tự

tài trợ đối với thị trường chuẩn X t  , trong đó: X t  X 0t 1 X t 

Thật vậy, giả sử  là phương án đầu tư tự tài trợ đối với thị trường X t 

Gọi V t  là quá trình giá của  đối với thị trường chuẩn Khi đó:

13

Một phương án đầu tư tự tài trợ được gọi là một phương án đầu tư

chấp nhận được nếu quá trình giá tương ứng của nó là t, bị chặn dưới

hầu chắc chắn, tức là tồn tại K  K    sao cho V  t,K với hầu

hết t,  0,T 

(Điều kiện này có thể được hiểu là cần phải có một giới hạn cho số

tiền nợ nhà đầu tư có khả năng thanh toán)

Định nghĩa 5

Một phương án đầu tư tự tài trợ gọi là một cơ hội có độ chênh thị giá

nếu quá trình giá V t của nó thỏa mãn:

14

i) PV0 01

ii) P V t  0 1, t > 0, P V  t  0  0

Như vậy, một cơ hội có độ chênh thị giá là một phương án đầu tư có sốvốn ban đầu bằng 0 mà kiếm được lợi nhuận vào thời điểm kết thúc Đó làđiều mà các nhà đầu tư không mong muốn

Giả thiết “không có độ chênh thị giá” được gọi là nguyên lý AAO

( Absence of Arbitrage Opportunity)

Định nghĩa 7

Gọi X là một biến ngẫu nhiên bất kì FT - đo được Một hợp đồng tàichính chỉ thực thi tại thời điểm đáo hạn T với giá trị là X T được gọi là mộttài sản phái sinh kiểu châu Âu và được kí hiệu là X

1.2.2 Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ.

Định nghĩa 8

Chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn X T tại thời

điểm đáo hạn T là một phương án đầu tư tự tài trợ  sao cho

tức là sao cho giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với

giá trị đáo hạn X T đã định trước và đã ghi trong hợp đồng

Quá trình V t   của phương án ấy được gọi là quá trình đáp ứng Kíhiệu X là lớp tất cả các phương án đầu tư  đáp ứng cho phái sinh X

15

Trong hợp đồng phái sinh người ta đã định trước giá đáo hạn X T rồi,phương án đầu tư phải được lựa chọn thế nào để giá trị cuối cùng phải đáp

ứng được điều kiện (1.6) Điều kiện (1.6) được gọi là nguyên lý đáp ứng.

Một tài sản phái sinh X được gọi là đạt được trong thị trường M nếu

có ít nhất một phương án đáp ứng cho nó Điều đó cũng có nghĩa là  X 

 Định nghĩa 10 Thị trường đầy đủ.

Một thị trường M được gọi là đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh X đềuđạt được trong M, hay nói một cách tương đương, nếu với mọi biến ngẫunhiên X đo được đối với FT thì tồn tại ít nhất một phương án đầu tư

  sao cho V T   XT

Ngược lại, một thị trường không thỏa mãn điều kiện trên được gọi làthị trường không đầy đủ

Người ta cũng chứng minh được rằng: Một thị trường là đầy đủ nếu

và chỉ nếu tồn tại một độ đo xác suất rủi ro trung tính duy nhất.

1.3 Quyền chọn mua kiểu Châu Âu

Hợp đồng quyền chọn mua (Call option) là một loại hợp đồng tài chính

diễn ra giữa hai bên, cho phép người mua hợp đồng có quyền mua một sốlượng xác định cổ phần của một chứng khoán, chỉ số chứng khoán nào đó

ở một mức giá ấn định trước, gọi là giá thực thi (strike price hoặc exercise

price) - vào hoặc trước ngày đáo hạn của hợp đồng Đổi lại, người mua

hợp đồng (holder) phải trả cho người bán hợp đồng quyền chọn (writer) một khoản lệ phí (call premium) Lúc mua bán hợp đồng này ban đầu

không hề diễn ra việc chuyển giao chứng khoán thực tế mà đúng hơn chỉ là

sự trao quyền mua một loại tài sản tài chính để đổi lại một khoản phí

16

Nếu giá chứng khoán tăng như dự đoán thì người mua hợp đồng sẽ thuđược lợi nhuận trong khi chỉ phải đầu tư một khoản nhỏ (phí hợp đồng)hơn là phải bỏ tiền ra mua toàn bộ số chứng khoán đó, trường hợp nàyngười ta nói hợp đồng quyền chọn mua có lãi (in-the-money call option),ngược lại hợp đồng quyền chọn mua bị lỗ (out-of-the money call option).

Về phía người bán, anh ta cũng thu thêm được một khoản lợi tức phụtương ứng

Nếu hợp đồng được thực hiện thì người bán sẽ phải từ bỏ quyền sởhữu với số chứng khoán đã xác định trong hợp đồng Nếu người mua hợpđồng cảm thấy không có lợi anh ta có thể từ chối việc thực thi hợp đồng.Trong hợp đồng quyền chọn mua, người mua bao giờ cũng kì vọnggiá chứng khoán tăng trong khi người bán kì vọng giá chứng khoán đứnghoặc giảm hoặc cũng có trường hợp là do người bán sẵn sàng từ bỏ khoảnlợi nhuận từ giá chứng khoán tăng để đổi lấy khoản phí thực hiện hợp đồng(được thanh toán ngay) cùng với cơ hội có được một khoản lợi nhuận =(giá ấn định - giá hiện tại của chứng khoán) Do có những nguồn thông tinkhác nhau, cách phân tích, đánh giá khác nhau cho nên mới nảy sinh những

kì vọng khác biệt giữa người mua và người bán, dẫn đến việc các hợpđồng quyền chọn (call option, put option) như thế này diễn ra

Có 2 kiểu hợp đồng quyền chọn mua chính là:

Quyền chọn mua kiểu Châu Âu - European call option: theo đó ngườimua chỉ có thể thực hiện quyền mua của mình vào ngày đáo hạn đã địnhtrước và cũng không bắt buộc phải thực thi vào ngày đó

Quyền chọn mua kiểu Mỹ (American call option): theo đó người mua

có thể thực hiện quyền chọn mua của mình bất cứ lúc nào không vượt quángày đáo hạn hợp đồng

17

1.4 Quá trình Markov, xích Markov và toán tử sinh cực vi

1.4.1 Quá trình Markov

Một quá trình ngẫu nhiên X   X t ,t 0gọi là quá trình Markov nếuvới mọi thời điểm t bất kì: 0 t0t1 t n , ta có:

P X t n  x n | X t1  x1 , , X t n1  x n 1 P X t n  x n | X t n1  x n1

Đặc tính của quá trình Markov là đặc tính mất trí nhớ, tức là diễn biến

tương lai của quá trình khi biết hiện tại thì không phụ thuộc vào diễn biếncủa quá trình đó trong quá khứ

1.4.2 Xích Markov

Trong toán học, một xích Markov (thời gian rời rạc), đặt theo tên nhàtoán học người Nga Andrei Andreyevich Markov, là một quá trình ngẫu

nhiên với thời gian rời rạc và có tính Markov (mà ta sẽ định nghĩa dưới

đây) Trong một quá trình như vậy, quá khứ không liên quan đến việc tiênđoán tương lai mà tương lại chỉ phụ thuộc vào những thông tin về hiện

tại.Người ta gọi tính chất này là tính chất mất trí nhớ hay tính Markov.

Dãy các biến ngẫu nhiên X0 , X1 , X 2 ,

được gọi là xích Markov nếu với mọi dãy trạng thái i0 ,i1, ,i n1 thì

PX n 1  i n 1 | X0 i0 , X1 i1 , , X n  i n   PX n1  i n1 | X n  i n

(1.7) Nói một cách khác, xác suất để chuyển từ trạng thái thứ n là i n sang trạng

thái thứ n 1 là i n1 không phụ thuộc gì vào cách thức nào mà trước đó hệ đã

chuyển tới trạng thái thứ n , tức là không phụ thuộc gì vào i0 1, ,i n1

Các xác suất có điều kiện

PX n1 j | X n  i

được gọi là các xác suất chuyển.

18

Nếu xác suất này không phụ thuộc vào n thì ta nói xích Markov có xác

suất chuyển dừng và ta kí hiệu

19

Gọi P n là xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j qua

1.4.3 Toán tử sinh cực vi

Cho X t , t  0 là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục

nhận giá trị nguyên không âm X t  là một xích Markov nếu s ,t  0 và với mọi số nguyên không âm i, j, x(u),0  u  s chúng ta có

điều này có nghĩa là T i là một quá trình không có trí nhớ Dĩ nhiên T i cũng

là không âm, liên tục và do đó T i phải có phân phối mũ Thật vậy:

21

E T i  te  

t dt 

0

Vậy ta có các tính chất của xích Markov với thời gian liên tục:

1) Khoảng thời gian mà quá trình ở lại trạng thái i là một biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với trung bình i

2) Quá trình chuyển từ trạng thái i đến trạng thái j với xác suất chuyển

pij

Vì vậy một xích Markov với thời gian liên tục là là quá trình chuyển từtrạng thái này tới trạng thái khác phù hợp với một một xích Markov cókhông gian trạng thái rời rạc, nhƣng thời gian dừng lại tại mỗi trạng thái lại

có phân phối mũ

Ta sẽ bắt đầu xem xét một xích Markov với thời gian liên tục có không

gian trạng thái hữu hạn đó là X t 0, , N

Gọi Pij PX t  i | X 0 j , khi đó thì tính chất Markov đảm bảo rằng

Ta kí hiệu P tPij là ma trận xác suất chuyển tại thời điểm t, vì vậy P

là một ma trận mà các phần tử đều là hàm của t

22

Bây giờ c) có thể được viết Pt  s   Pt Ps, t, s  0 và d*) tươngđương với điều kiện limh0 Ph  I trong đó I là ma trận đồng nhất Tính

chất d*) nghĩa là ma trận P t  là liên tục phải tại t  0 , tức là các phần tử của nó đều liên tục phải tại t  0 Bây giờ

23

Các tốc độ q i và qij dưới đây cho ta một cách thứ hai để mô tả xích

Markov gọi là phương pháp mô tả cực vi:

24

Chúng ta cần tính A n , ta có:

Vậy A n 

Có

Một quá trình N N t ,t là một quá trình Poisson với tham

số   0 nếu có những tính chất sau đây:

25

iv) Đối với một quá trình Poisson N thì tồn tại một bộ lọc

tiêu chuẩn Ft  xác định bởi

Ft   N s ,0  s  t với t  

Vì bộ lọc chứa các tập P không của Ft nên ta có Ft  Ft+

Ta luôn luôn dùng bộ lọc này

1.5.2 Quá trình Poisson phức hợp

1 Định nghĩa 12

Cho X1 , X 2 , , X n , là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập

cùng phối Cho N   N t ,t   là một quá trình Poisson với cường

trong đó N t là một số ngẫu nhiên xác định bởi quá trình Poisson N nói trên

tại thời điểm t

Vậy (1.9) xác định nên một quá trình ngẫu nhiên Y N   Y N

(t),t  0 Quá trình ngẫu nhiên này được thiết lập từ hai nguồn ngẫu nhiên:một

nguồn ngẫu nhiên từ dãy và một nguồn ngẫu nhiên từ quá trình

Poisson N Quá trình Y N được gọi là quá trình ngẫu nhiên phức hợp

Hàm phân phối của Y N được xác định bởi:

27

trong đó  là cường độ của quá trình Poisson.

Định lý 1 Giả sử Y N (t) là một quá trình Poisson phức hợp thì khi đó

Một quá trình B   B t ,t   được gọi là một chuyển động Brown

trong nếu nó có tính chất sau đây:

i) Với 0s t,B tB s là một biến ngẫu nhiên phân phối

chuẩn với trung bình 0 và phương sai t  s , B t  Bs0,t  s

ii) Với 0 t0 t1t2 t l thì B t0 , B t k  B t k1 , k 1,2, ,l là

một tập hợp các biến ngẫu nhiên độc lập

Một chuyển động Brown trong d là một bộ lọc d  quá trình một chiều

28

B   B t   B t1 , B t2 , , B t d,t  

trong đó mỗi B t i  B t i,t ,i1, ,dlà một chuyển động Brown trong

và các B t i là độc lập với nhau

Ta sẽ kí hiệu P x và E x là xác suất và kì vọng của một chuyển động Brown

B sao cho B0  x (xuất phát từ x ).

1/ Từ tính chất i) ta suy ra rằng phân phối của B t  B s chỉ phụ thuộc vào

phân phối B t s Tính chất này được gọi là tính chất thuần nhất theo thời

gian hay là tính dừng Vậy số gia B t

2/ Nếu B0  x hầu chắc chắn thì xác suất chuyển là

P tx , A  P xB t  A 

với mọi t  0, x  d và tập Borel A trong d

Hệ quả

P tx0 x, x0 A  P tx, A 

Đó là tính chất thuần nhất theo không gian

3/ Tính chất ii) trong định nghĩa trên gọi là tính chất có số gia độc lập

Tính chất này vẫn đúng cho chuyển động Brown d  chiều.

4/ Mọi chuyển động Brown đều có một bản sao liên tục Ta sẽ sử dụngbản sao này Chuyển động Brown cũng có lọc tự nhiên xác định bởi:

FtB   B s , s  t  với mọi t

5/ Một tính chất cơ bản của chuyển động Brown là tính chất Markovmạnh Tính chất này nói lên một điều sau đây: cho trước diễn biến chuyểnđộng Brown B tới một thời điểm dừng hữu hạn  , thì dáng điệu của B sau

29

đó chỉ phụ thuộc vào  và trạng thái B Nói chính xác, nếu f : d  là một hàm đo đƣợc Borel và  là một thời điểm dừng thì