Các phương pháp tạo lưới tự động và ứng dụng trong tính toán cơ học

Cách tiếp cận thứ hai, áp dụng tiêu chuẩn Delaunay trên toàn miềntính toán, sau đó khôi phục lại biên ban đầu bằng cách bỏ đi các đơn hìnhnằm bên ngoài miền tính toán [1].Có rất nhiều th

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Mục lục

Lời cảm ơn

Lời mở đầu

1 Một số phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc

1.1.11.1.21.1.31.1.41.1.51.1.61.1.7

1.2.11.2.21.2.31.2.41.2.51.3 Phương pháp tạo lưới không cấu trúc sử dụng thuật toán chèn

điểm tự động và tái kết nối địa phương 1.3.1

1.3.2

1.4.11.4.2

2 Áp dụng trong một số bài toán cơ học

2.1 Bài toán 1 2.2 Bài toán 2 2.3 Bài toán 3

2.5 Bài toán 5

Tài liệu tham khảo

Lời mở đầu

Ngày nay phương pháp chia lưới tự động đã trở thành một công cụ khá phổbiến trong việc sử dụng nghiệm số của phương trình vi phân từng phần trên cácmiền có hình dạng bất kì Trong những năm gần đây, phương pháp chia lưới tựđộng đang được phát triển rộng rãi, đầu tiên trong cơ học kết cấu và cơ học vậtrắn, sau đó là trong tính toán động lực học chất lỏng Phương pháp chia lưới tựđộng đã cung cấp chìa khóa để giải quyết các vấn đề về hình dạng biên từphương pháp sai phân hữu hạn và được sử dụng trong việc xác định các điểmnút trong phương pháp phần tử hữu hạn Với mạng lưới như vậy tất cả cácthuật toán số, sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn đều thực hiện được trênmiền tính toán có hình dạng và đường biên bất kì

Các phương pháp chia lưới tự động bao gồm hai loại: phương pháp chialưới tự động có cấu trúc và phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc.Một ví dụ đơn giản nhất về lưới có cấu trúc là lưới ĐềCác Các nú t lưới

và ô lưới (hình chữ nhật) là giao của các đường lưới Lưới này được tạo ramột cách dễ dàng và nhanh chóng Tuy nhiên nếu miền tính toán có biêntrong và biên ngoài là các đường cong thì để giải trên lưới ĐềCác yêu cầ uphải xác định sơ đồ số ở gần các biên Điều này thường khá khó

Hình 1: (a) Lưới ĐềCác, (b) bodyfitted grid

Một loại khác của lưới có cấu trúc là bodyfitted (trùng khít v ới miền tínhtoán) Về cơ bản lưới này khá giống lưới ĐềCác nhưng các ô lưới tứ giác cóhình dạng phù hợp với biên Các phương pháp tính toán đã được phát triểncho lưới ĐềCác có thể được chỉnh sửa để áp dụng cho lưới bodyf itted thông

qua các ánh xạ lưới mà không làm thay đổi bản chất của chương trình số.Khó khăn trong việc thực hiện phương pháp này nằm trong việc tạo ra cácnút lưới nhất là khi có nhiều vật cản bên trong miền tính toán.

Không giống như lưới có cấu trúc, các nút lưới và các ô lưới của lướikhông cấu trúc không phải là giao của các đường thẳng song song Một ưuđiểm của lưới không cấu trúc là các điểm nút có thể đặt trên biên của miềntính toán vì vậy khi áp dụng các phương pháp số thì lưới không cấu trúc cho

độ chính xác cao hơn Hơn thế nữa, lưới không cấu trúc cho phép các phần

tử có kích thước khác nhau vì vậy có thể biểu diễn chính xác biên của miềntính toán mà không cần một số lượng quá lớn các nút lưới và ô lưới

Khi miền tính toán có hình dạng phức tạp thì so với lưới có cấu trúc, lướikhông cấu trúc có thể giúp cải thiện độ chính xác của nghiệm tổng thể, lướikhông cấu trúc cũng đã được chứng minh là có khả năng thích nghi cao hơntrong các bài toán biên chuyển dịch hoặc dòng nhất thời

Về nguyên tắc, lưới không cấu trúc có thể bao gồm các ô có hình dạngbất kỳ, được xây dựng bằng cách kết nối một điểm cho trước đến một số tùy

ý các điểm khác, nhưng nói chung là được hợp thành từ các tam giác và tứgiác trong không gian hai chiều, các tứ diện và lục giác trong không gian bachiều Ưu điểm của các lưới này là chúng có khả năng thích nghi bằng cáchcho phép chèn thêm các điểm mới vào, do đó chúng có thể làm việc với cácmiền tính toán có hình dạng phức tạp

Ở thời điểm hiện tại phương pháp chia lưới không cấu trúc đã được ápdụng trong không gian ba chiều Tuy nhiên phương pháp chia lưới không cấutrúc dựa trên tam giác Delaunay thường xuyên được sử dụng nhất và đãđược chứng minh là có khả năng thích nghi cao, phù hợp với các miền tínhtoán phức tạp Các lưới này cho phép bổ sung thêm các nút lưới mới vào hệtam giác đã tồn tại chỉ ảnh hưởng đến cấu trúc lưới địa phương mà khôngảnh hưởng đến cấu trúc lưới tổng thể

Trong luận văn này giới thiệu hai phương pháp chia lưới không cấu trúchay được sử dụng: phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation vàphương pháp tịnh tiến biên (Advancing Front method) Ngoài ra hai phươngpháp đang được phát triển: Phương pháp tạo lưới không cấu trúc sử dụngthuật toán chèn điểm tự động và tái kết nối địa phương và phương phápchồng tạo lưới tứ giác và lục giác cũng được trình bày trong luận văn

* Nội dung luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Một số phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc

Chương 2: Áp dụng trong một số bài toán cơ học

trống): Siêu cầu của mỗi đơn hình trong không gian n chiều được xác định bởi n + 1 điểm trong đó không có bất kỳ điểm nút nào khác của lưới Ví dụtrong không gian ba chiều, bốn đỉnh của một tứ diện xác định một mặt cầu vàmặt cầu này không chứa các điểm nút khác của lưới tứ diện Trong khônggian hai chiều, hệ tam giác thu được dựa trên tiêu chuẩn Delaunay được gọi

là hệ tam giác Delaunay Hệ tam giác này được áp dụng rất phổ biến trongthực hành vì chúng có các đặc điểm tối ưu sau:

• Các tam giác Delaunay là các tam giác xấp xỉ đều;

• Góc lớn nhất của tam giác được cực tiểu hóa;

• Góc nhỏ nhất của tam giác được cực đại hóa

Với các đặc điểm này hệ tam giác Delaunay sẽ không bị quá biến dạnghoặc quá méo mó Tiêu chuẩn Delaunay không đưa ra bất kỳ một sự chỉ dẫnnào như là các điểm lưới nên được định nghĩa và liên kết với nhau như thếnào? Một hạn chế nữa của tiêu chuẩn Delaunay đó là có khả năng không thể ápdụng tiêu chuẩn này trên toàn bộ miền tính toán với các tam giác biên xác địnhtrước Nhược điểm này đưa ra hai cách tiếp cận chia lưới tam giác có bảo toànliên kết biên và vẫn áp dụng tiêu chuẩn Delaunay Trong cách tiếp cận thứ nhấttiêu chuẩn Delaunay được bỏ qua tại các điểm gần biên và hệ quả

là biên của lưới trước vẫn còn nguyên vẹn Để kết hợp với kỹ thuật này, cácđiểm được thêm vào dưới dạng một sơ đồ để đảm bảo không xảy ra sự pháhủy biên Cách tiếp cận thứ hai, áp dụng tiêu chuẩn Delaunay trên toàn miềntính toán, sau đó khôi phục lại biên ban đầu bằng cách bỏ đi các đơn hìnhnằm bên ngoài miền tính toán [1].

Có rất nhiều thuật toán tạo lưới không cấu trúc dựa trên tiêu chuẩn Delaunay, chẳng hạn có một số thuật toán sử dụng phương pháp chia lưới cócấu trúc tạo ra sự phân bố các điểm nút lưới trước sau đó các điểm nút lướinày được kết nối để thu được các tam giác thỏa mãn các tiêu chuẩn hìnhhọc nào đó (tương đương với tiêu chuẩn Delaunay) Tuy nhiên thuật toánchúng ta hay sử dụng là thuật toán Bowyer Watson Thuật toán này có t hể

áp dụng với không gian n chiều bất kỳ Thuật toán bắt đầu từ một hệ tam

giác của một vài điểm, sau đó tiếp tục tại mỗi bước ta thêm các điểm mớivào hệ tam giác hiện tại và tái thiết lập hệ tam giác một cách địa phương.Quá trình này cho phép chúng ta cải thiện được chất lượng lưới trong khuônkhổ của tiêu chuẩn Delaunay Điểm khác biệt của thuật toán này là vị trí cácđiểm và các liên kết được tính toán một cách đồng thời

Gọi tất cả các điểm P l của tập P i , i = 1, , n + k nằm trên biên của S là

các đỉnh của ô lồi S

Một mặt m chiều của ô lồi n chiều

m + 1 đỉnh P l , và bao lồi này không chứa bất kỳ một đỉnh nào khác của S Ta

nói ô S là lồi mạnh nếu nó không có hai mặt bất kỳ cùng nằm trong mặt phẳng m chiều với mọi m < n

Nếu P là một điểm nằm trong ô lồi mạnh S với các đỉnh P1 , , P n +k thì

n+k

P =∑ α i P i ,

i=1

Hình 1.1: Ô lồi (bên trái) và ô tứ diện lồi mạnh (bên phải)

Đơn hình này là một ô lồi mạnh có các đỉnh là x1, , x n+1 Chẳng hạn một

đơn hình ba chiều là một tứ diện có các đỉnh là x1, x 2 , x3 , x4 , một đơn hình

hai chiều là một tam giác, đơn hình một chiều là một đoạn thẳng Mỗi mặt m chiều của đơn hình là một đơn hình m chiều được định nghĩa qua m + 1 đỉnh

Điểm x là một điểm trong của đơn hình nếu α > 0 với mọi i = 1, , n + 1

Trong thực hành, để rời rạc hóa miền tính toán, ta hay sử dụng các ô lồi cócác mặt biên là các đơn hình Những ô như vậy được gọi là các ô đơn hình

Gọi N i , i = 1, , n, là số mặt đơn hình i chiều của S, và N0 là số đỉnh của

S Ta có

• Tính nhất quán của lưới

Bằng một phép rời rạc phù hợp chúng ta thu được một tập hợp các điểm

V ∈ R n và một tập các ô lồi mạnh T thỏa mãn các điều kiện sau:

1. Tập hợp các đỉnh của các ô của T trùng với V;

2. Nếu hai ô khác nhau S1 và S2 giao nhau, thì miền giao nhau đó là mặtchung của cả hai ô

Hình 1.2: Các ô giao nhau chấp nhận được (a) và không chấp nhận được (b, c, d)

Tập hợp các ô của một phép rời rạc phù hợp tạo thành một miền kết nối

đơn giản n chiều.

Gọi N i , i > 0 là số lượng các mặt biên i chiều của miền rời rạc, N0 là số đỉnh của biên, theo định lý Euler ta có:

n−1

∑ (−1)i N i = 1 + (−1)n−1

i=0

biểu thức trên được sử dụng để xác định tính nhất quán của lưới

• Lưới tổ ong Dirichlet

Xét một tập tùy ý gồm các điểm P i , i = 1, 2, , N trong một miền xác định n chiều Với mỗi điểm P i chúng ta xác định một miền V(P i) trong R n bao gồm các điểm có khoảng cách tới P i nhỏ hơn tới các điểm P j khác

V i = x ∈ R n| d (x, P i)≤ d x, P j , i = j, j = 1, , N ,

trong đó d(a, b) là khoảng cách giữa hai điểm a , b Các miền V i này được gọi

là các khối đa diện Voronoi Do các khối đa diện là giao của các bán không gian nên chúng là các đa diện lồi, nhưng không cần thiết là bị chặn Mặt biên chung

của hai Voronoi của hai điểm V(P i) và V(P j) là một đa giác (n − 1) chiều Cặp

điểm P i và P j được gọi là cặp cấu hình nếu các khối đa diện Voronoi của

chúng có một mặt chung Bằng cách kết nối các điểm kề nhau ta sẽ thu được

một lưới Trong lưới này, tập hợp n + 1 điểm cùng kề với một điểm khác tạo

thành một đơn hình n chiều Tâm của bất kỳ một đơn hình nào cũng sẽ là

một đỉnh của sơ đồ Voronoi Siêu cầu của mỗi đơn hình là rỗng, có nghĩa làkhông có bất kỳ điểm nào ở bên trong siêu cầu vì nếu có một điểm nào đó ởbên trong siêu cầu thì điểm này sẽ gần tâm hơn các điểm khác của siêu cầu.

Do đó tập hợp các đơn hình được xây dựng từ lưới tổ ong Dirichlet theocách này tạo thành một lưới tổ ong mới thỏa mãn tiêu chuẩn Delaunay Biêncủa hệ tam giác Delaunay được xây dựng theo sơ đồ Voronoi là các bao lồi

của tập hợp các điểm P i

Ta có thể coi phép đặt tam giác Delaunay và lưới tổ ong Dirichlet là các

đối ngẫu hình học của nhau trong ý nghĩa là với mỗi đơn hình S i sẽ tồn tại

một đỉnh P i của lưới tổ ong và ngược lại, với mỗi miền Voronoi V(P j) cũng

tồn tại một đỉnh P j của hệ tam giác Thêm vào đó, với mỗi cạnh của hệ tamgiác sẽ tồn tại tương ứng (n − 1) phân đoạn của lưới tổ ong

1.1.3 Thiết lập hệ tam giác ban đầu

Vì các điểm lưới được đưa vào một cách tuần tự, nên lưới ban đầu rất thô,

số lượng các nút lưới ít và các phần tử lưới là các tam giác rất lớn Ví dụ trongkhông gian hai chiều chúng ta có thể tạo ra lưới ban đầu bằng cách chia mộthình vuông nằm trong miền tính toán (hoặc chứa miền tính toán) thành hai tamgiác Sau đó các điểm bên trong và các điểm biên được thêm vào một cách liêntiếp để xây dựng các tam giác liên tiếp cho đến khi miền xấp xỉ đạt được cácyêu cầu cần thiết Một trong các yêu cầu đó là hệ tam giác ban đầu phải bảotoàn biên, tức là tất cả các cạnh biên đều được chứa trong hệ tam giác banđầu Một cách tự nhiên để thỏa mãn yêu cầu trên là ta quy định trước các điểmnút trên biên bằng các phương tiện của thuật toán Bowyer Watson Tuy nhiênkhông có gì đảm bảo rằng hệ tam giác Delaunay xây dựng từ tập hợp các điểmbiên sẽ có biên được bảo toàn Để khắc phục vấn đề này ta lặp đi lặp lại việcchèn một điểm lưới mới tại trung điểm của các cạnh biên bị thiếu để thu đượccác tam giác biên Một cách khác để duy trì tính nguyên vẹn của biên là chúng

ta loại bỏ tất cả các điểm có thể làm cho liên kết biên bị phá vỡ

1.1.4 Thuật toán Bowyer Watson

Có nhiều thuật toán cho việc phân chia tam giác Delaunay chủ yếu trongtrường hợp hai chiều Tuy nhiên thuật toán được sử dụng phổ biến nhất trongthực hành là thuật toán Bowyer Watson [6] Thuật toán này thê m các điểm mộtcách tuần tự vào hệ tam giác Delaunay đã có, thường thì bắt đầu từ một hệ tamgiác rất đơn giản (chẳng hạn là một tam giác lớn) mà nó bao bọc tất cả các

điểm (giả sử có i điểm) sẽ được dùng để tạo hệ lưới tam giác Delaunay Gọi T i

là tập hợp các tam giác và B i là tập hợp các đường tròn ngoại tiếp các tam giác

đó Khi thêm một điểm mới x i+1 vào hệ tam giác Delaunay xảy ra

các trường hợp sau: x i+1 ∈ Ti ; x i+1 ∈/ Ti và x i+1 ∈ Bi ; trường hợp cuối cùng là

∈/ B i Sau đây ta sẽ xét lần lượt từng trường hợp một

• Trường hợp 1: x i+1 ∈ T i

Ta cần tìm tập S là tập hợp gồm các tam giác ∈ T i , có đường tròn ngoại tiếp

chứa điểm x i+ 1 , hệ tam giác mới thu được bằng cách xóa các cạnh bên trong của

các tam giác hợp thành S và nối điểm x i+ 1 với tất cả các đỉnh của S

Ví dụ ta có năm điểm x1, x2 , x3 , x4 , x5 như hình vẽ

Điểm mới chèn vào x6 nằm bên trong một tam giác và cũng nằm bên

trong hai đường tròn ngoại tiếp Trong trường hợp này S là tứ diện x2 x3 x4

x5 Xóa cạnh trong x2 x4 của S đi và nối x6 với bốn đỉnh của S.

• Trường hợp 2: x i+1 ∈/ T i và x i+1 ∈ B i

Ta cũng gọi S là tập hợp gồm các tam giác mà có đường tròn ngoại tiếp

chứa điểm x i+1 Nhưng trong trường hợp này ta chỉ xóa đi các cạnh của S gần

nhất với điểm x i+1 (và nhìn thấy được từ x i+1 ) Hệ tam giác mới thu được bằng

cách nối điểm x i+1 với tất cả các đỉnh của các tam giác ∈ S và với bất kì đỉnh nào của T i mà nhìn thấy được từ x i+1

Trong hình vẽ bên dưới, điểm mới chèn vào x6 nằm bên trong đường tròn

ngoại tiếp tam giác x1 x2 x5 (tập S chỉ có một tam giác) Cạnh x1 x2 có thể nhìn

x

i+1

thấy được từ x 6, vì vậy cạnh này bị xóa đi và hệ tam giác mới thu được

bằng cách nối x6 với các đỉnh của x1, x2 , x5 và x3

• Trường hợp 3: x i+1 ∈/ B i

Ta không cần bỏ đi bất cứ cạnh nào của T i mà chỉ cần xác định các cạnh

ngoài của T i có thể nhìn thấy được từ x i+1 Hệ tam giác mới thu được bằng

cách nối điểm x i+1 với mỗi đỉnh của các cạnh ngoài này

Trong hình vẽ trên điểm mới chèn vào x6 không nằm trong đường tròn

ngoại tiếp của bất kỳ tam giác nào Các cạnh x1 x2 và x2 x3 có thể nhìn thấy

được từ x6 , vì vậy hệ tam giác mới thu được bằng cách nối x6 với các đỉnh

x1 , x2 và x 3 Rõ ràng các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác x1 x2 x6

và x 2 x3 x6 không chứa ba điểm nút còn lại vì vậy tính chất đường tròn

ngoại tiếp được thỏa mãn

Khi thêm một điểm mới vào hệ tam giác Delaunay, hệ tam giác mới sẽđược đánh giá theo một vài tiêu chuẩn hình học và vật lý

12

• Tiêu chuẩn hình học: Các tam giác phải trơn, nhẵn và có kích thước, hình dạng tương tự nhau.

• Tiêu chuẩn vật lý: Mật độ điểm lưới trong miền tính toán phải ít hơn mật

độ điểm lưới là nghiệm của phương trình vi phân từng phần

1.1.5 Các phương pháp chèn điểm mới

Hệ tam giác Delaunay ban đầu dựa trên việc lựa chọn các điểm biên và

áp dụng thuật toán Bowyer Watson chèn các điểm một cách tuần t ự vào bêntrong miền tính toán tại các điểm được lựa chọn và xây dựng lại hệ tam giácbao gồm các điểm mới Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày hai cách tiếp cận đểchèn các điểm vào bên trong miền tính toán

• Thêm điểm mới vào tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Các điểm mới sẽ được thêm vào tại vị trí tâm của các đường tròn ngoạitiếp tam giác Một điểm mới được thêm vào không nên quá gần các điểm nút

đã tồn tại, vì vậy khi thêm điểm mới vào tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácthì ít nhất điểm này cũng cách đều ba đỉnh của tam giác đó Vấn đề đặt ra là

ta sẽ chọn tam giác nào để thêm điểm mới vào Trước khi áp dụng thuật toánnày ta cần sắp xếp các tam giác theo chất lượng của chúng, bắt đầu từnhững tam giác có chất lượng xấu nhất Một tam giác có chất lượng xấu nếu

nó là tam giác gầy, mỏng hoặc có góc tù Các tam giác này sẽ được nhậnbiết thông qua một tiêu chuẩn đó là tỉ lệ khía cạnh

Tỉ lệ khía cạnh A.R của tam giác ABC được định nghĩa là R/2r trong đó

r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC Diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:

Nếu tam giác là tam giác đều thì A.R = 1 Rõ ràng là nếu ba đỉnh của

tam giác càng gần như nằm trên một đường thẳng thì p sẽ càng gần bằng giá trị của a, b hoặc c và tỉ lệ khía cạnh càng lớn Với ý nghĩa đó tỉ lệ khía

cạnh đo độ gầy của một tam giác Như vậy ta có thể đưa ra danh sách cáctam giác có chất lượng xấu bằng cách

• Thêm vào danh sách các tam giác có diện tích lớn hơn 1.5 lần diện tíchcủa tam giác đều có cạnh là cạnh lớn nhất của tam giác đó Bước này

sẽ loại bỏ tất cả các tam giác có diện tích lớn

Hình 1.3: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

• Thêm vào danh sách các tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếplớn và tỉ lệ khía cạnh cao Như vậy các tam giác nhỏ nhưng có tỉ lệ khíacạnh cao ở gần biên sẽ được giữ lại

Tiêu chuẩn để đánh giá tỉ lệ khía cạnh cao là dựa vào kinh nghiệm,thông thường tỉ lệ khía cạnh tiêu chuẩn là 1.5 Đây là tỉ lệ khía cạnh của tamgiác cân có góc ở đỉnh nằm trong khoảng 24 − 104o

Sử dụng ý tưởng trên thuật toán thêm điểm mới vào tâm đường trònngoại tiếp tam giác được tiến hành theo các bước sau đây:

(i) Thiết lập hệ tam giác ban đầu sử dụng các điểm biên dữ liệu và thuật toán Bowyer Watson

(ii) Xắp xếp các tam giác theo chất lượng của chúng, chọn ra danh sách các tam giác có chất lượng xấu, bắt đầu từ tam giác có chất lượng xấu nhất.(iii) Lấy tam giác đầu tiên trong danh sách và thêm một điểm mới vào vị trí tâm đường tròn ngoại tiếp

(iv) Chia lại sử dụng thuật toán Bowyer Watson

(v) Thêm các tam giác mới vào danh sách chất lượng xấu nếu chúng không đủ tốt

Tuy nhiên khi sử dụng thuật toán này chèn điểm mới vào tâm đường trònngoại tiếp của tam giác được lựa chọn, có hai trường hợp sau đây cần phảiloại bỏ:

• Tâm của tam giác được lựa chọn không nằm bên trong miền tính toán

• Tâm của tam giác được lựa chọn qua gần biên của miền tính toán

Một hạn chế nữa của phương pháp trên là mật độ lưới của hệ tam giác mớithu được trên toàn miền bị ảnh hưởng bởi mật độ lưới dọc biên của miền, do đókích thước của các tam giác ở xa biên có thể làm cho nghiệm bằng số

của các phương trình vi phân trong miền không được đẹp Để khắc phục vấn

đề này ta đưa ra một hàm chỉ vị trí f ( x), hàm này cho ta giá trị của bán kính

đường tròn ngoại tiếp tại vị trí x trong miền Ta có thể thu được biểu thức của

hàm f ( x) bằng cách nội suy các giá trị nút quy định trên lưới nền thích hợp

Giả sử một tam giác có tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác lần

lượt là X, R, ta định nghĩa tham số α = R/ f (X) Ta sẽ thêm điểm mới vào

tam giác có giá trị α lớn nhất Sau một số vòng lặp tất cả các tam giác trong

hệ thu được đều có giá trị α ≤ 1, điều này có nghĩa là tất cả các tam giác đã

đạt được kích thước như mục tiêu đề ra

• Thêm điểm mới vào đoạn thẳng Voronoi.

Thay vì thêm điểm mới vào tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác

ta sẽ thêm điểm mới dọc theo một cạnh của đa giác Voronoi Khác với cách

tiếp cận trước, ở đây vị trí của điểm mới chèn vào sẽ được xác định trước và

kích thước của ô lưới yêu cầu đạt được sau một vài vòng lặp Kỹ thuật này

có thể tạo ra một hoặc một vài tam giác mới có kích thước phù hợp và kết

quả sau khi chèn điểm mới vào, ta thu được các tam giác xấp xỉ đều trên

toàn miền tính toán

Công thức của thuật toán:

Hệ tam giác Delaunay ban đầu được chia thành các tam giác ngoài và tam

giác trong Các tam giác ngoài chứa ít nhất một cạnh biên còn các tam giác

trong thì không Các tam giác trong được chia thành hai loại tam giác đã được

chấp nhận và chưa được chấp nhận Các tam giác đã được chấp nhận là các

tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp < 1.5 f ( X) (X là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác đó) Các tam giác còn lại là chưa được chấp nhận

Thuật toán bắt đầu bằng việc xét các tam giác chưa được chấp nhận, có

một cạnh chung với tam giác đã được chấp nhận và ta chọn tam giác có bán

kính đường tròn ngoại tiếp lớn nhất

Trong hình vẽ trên ta có tam giác ABD là tam giác chưa được chấp nhận

với bán kính đường tròn ngoại tiếp là R ABD và tam giác ABC là tam giác đã

được chấp nhận Cạnh chung AB được gọi là cạnh hoạt động Đoạn thẳng

Voronoi của hai tam giác này là đoạn EF (E, F lần lượt là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABD và ABC), EF⊥AB, EF ∩ AB ={M}

Bây giờ ta thêm điểm X vào vị trí nào đó trên đoạn EF sao cho tam giác ABD sẽ được thay thế bằng tam giác được chấp nhận ABX.

Kí hiệu f M là giá trị của f (X) tại M Đặt Nếu X

và B là p (đường tròn tâm M), do đó ta có:

+) Nếu f M ≤ p, chọn X sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp R ABX

15

Hình 1.4: Các tam giác chấp nhận được và không chấp nhận được

+) Nếu f M > p chọn vị trí của X sao cho

X A, X B sẽ là các cạnh hoạt động tiếp theo.

Giả sử tam giác D AX là tam giác chưa được chấp nhận, chúng ta sẽ tìm

vị trí điểm Y trên đường thẳng trực giao của AX sao cho tam giác AXY là tam

giác chấp nhận được chúng ta có thể đánh lại nhãn p là p0 và gọi N là trung

điểm của AX Đặt AN = p1 = p0 /√

Hình 1.5: Chèn điểm vào đoạn thẳng Voronoi

Nếu AY được chọn là cạnh hoạt động tiếp theo, chúng ta có:

(AY )2 = (2p2 )2 = (p1 )2 + (d1 )2

và sử dụng phương trình (2.1.3) ta thu được

Do chúng ta giả thiết p1 < f N <√

17

Nếu quá trình này được lặp lại với giả thiết f gần như bằng hằng số thì ta

có các bước tổng quát như sau:

(p n+ 1 )2 =

và

Giá trị của p n hội tụ đến giá trị p Theo (2.1.4) ta có

Nghiệm của phương trình trên là

mà các phần tử của nó là các tam giác đều

1.1.6 Hạn chế hình dạng của hệ tam giác Delaunay

Một cách để đảm bảo các tam giác biên vẫn còn nguyên vẹn trong quátrình tái kết nối lại hệ tam giác khi chèn thêm điểm mới vào là sử dụng mộtphiên bản hạn chế hình dạng của hệ tam giác Delaunay mà không ảnhhưởng đến các liên kết gần biên

Xét hệ tam giác T bất kì có thể chưa thỏa mãn tiêu chuẩn Delaunay P là

một điểm mới được chèn vào Kí hiệu (P) là tập hợp các tam giác có đường

tròn ngoại tiếp chứa điểm P ( P) được gọi là hố Delaunay Chú ý rằng P là

điểm duy nhất nằm trong (P) Thật vậy, giả sử A là một đỉnh của ít nhất mộttam giác trong (P) Nếu có một tam giác S ∈/ (P) nhận A là một đỉnh thì

A không phải là điểm trong của (P) Vì vậy chúng ta cần chỉ ra rằng tồn tại một tam giác như thế

Gọi {S i } là tập hợp các tam giác nhận A là một đỉnh và C i là đường tròn

ngoại tiếp tương ứng với tam giác S i S i ∈(P) nếu điểm mới chèn vào nằm

bên trong C i Vì vậy, một đỉnh A là điểm trong của (P) nếu các điểm P nằm

bên trong ∩C i Tuy nhiên nếu A là một điểm trong của (P) thì miền bên

Hình 1.6: Minh họa thành phần chủ yếu

trong của ∩C i là rỗng vì vậy A chỉ có thể là điểm nằm trên tất cả các đường

tròn của {S i } Vì vậy có ít nhất một tam giác của {S i } không nằm bên trong

(P) và A không phải là điểm trong của (P)

Trong trường hợp tổng quát, hố Delaunay không còn là các kết nối đơngiản nữa Với mục đích tái kết nối các tam giác, chúng ta xét miền kết nối

đơn giản lớn nhất của hố Delaunay có chứa điểm P Miền này được gọi là

thành phần chủ yếu của hố Delaunay và được kí hiệu là P

Rõ ràng là tất cả các cạnh biên của P đều có thể nhìn thấy được từ P Thật

vậy vì P không rỗng nên có ít nhất một tam giác chứa điểm P thuộc P Giả sử

tam giác đó là tam giác ABC , cho tam giác BCD nằm bên trong P , thì điểm P phải nằm bên trong đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Khi đó các điểm P , B,

C, D là bốn đỉnh của một tứ diện lồi, tất cả các cạnh của tứ diện này đều co thể nhìn thấy từ P Tiếp tục quá trình này đối với tất cả các tam giác của P , rõ ràng

là tất cả các cạnh của P đều có thể nhìn thấy từ P (hình 1.6).

• Xây dựng hệ tam giác bị hạn chế

Chúng ta giả thiết các tam giác nhất định của hệ tam giác Delaunay là cố định, đặc biệt là các tam giác liền kề biên Kí hiệu tập hợp các tam giác đó là ¯ Các

PPT P P chứa P Tương tự Υ P được gọi là thành phần chủ yếu của Υ(P), Υ P chỉ tồn tại nếu điểm không nằm bên trong bất kỳ một tam giác nào của ¯

Tương tự chúng ta cũng chứng minh được tất cả các cạnh biên của ΥP đều nhìn thấy từ P và các

đỉnh của ΥP đều được kết nối với P , do đó xây dựng được hệ tam giác hạn chế mà các tam giác cố định

của ¯ vẫn còn nguyên vẹn.

T

• Bảo toàn biên của hệ tam giác

19

Một yêu cầu quan trọng của quá trình tạo lưới là biên của miền tính toànđược bảo toàn Quá trình thiết lập hệ tam giác hạn chế giúp chúng ta giữđược một tập hợp con các tam giác biên được xây dựng từ các cạnh tạothành biên Các tam giác biên này có thể tạo ra bởi bất kỳ một quá trình phùhợp nào đó Vì vậy mà hệ tam giác thu được bảo toàn biên và các tam giácbên trong thỏa mãn tiêu chuẩn Delaunay.

Một cách tiếp cận khác được Weatherill và Hassan phát triển đó là: ápdụng tiêu chuẩn Delaunay để tạo ra lưới có biên phù hợp, bao gồm cả cáccạnh biên đã được khôi phục trong quá trình chia lưới Delaunay triangulation

và sau đó xóa tất cả các tam giác nằm bên ngoài miền tính toán

1.1.7 Phép chia lưới Delaunay triangulation trong không gian ba chiều

Trong không gian ba chiều, lưới không cấu trúc của phép đặt tam giácDelaunay thu được bằng cách liên kết các đỉnh của các khối đa diện Voronoi

mà có một mặt chung Mỗi đỉnh của khối đa diện Voronoi là tâm của khối cầu

đi qua bốn đỉnh tạo thành tứ diện và không có bất kỳ một điểm nào khác nằmbên trong khối cầu

Thuật toán chúng ta hay sử dụng để chia lưới Delaunay trong khônggian ba chiều là thuật toán dựa trên quá trình tuần tự Bowyer Watso n: Mỗiđiểm của lưới được đưa vào một hệ tam giác Delaunay đã tồn tại, phá vỡcác liên kết và tái kết nối để thu được một hệ tam giác Delaunay mới Trongtrường hợp tổng quát, các bước của thuật toán tương tự như trong khônggian hai chiều.Thuật toán bắt đầu với một hệ tam giác Delaunay được tạothành bởi một siêu tứ diện hoặc một siêu lập phương, phân chia thành năm

tứ diện chứa tất cả các điểm khác.Các điểm còn lại phát sinh trong quá trìnhhình thành lưới sẽ được đưa vào tại một thời điểm Sau khi mỗi điểm đượcthêm vào, thuật toán Bowyer Watson được áp dụng để tạo ra các hố Delaunay, sau đó tái kết nối để thu được hệ tam giác Delaunay mới

Thuật toán trên có một nhược điểm là không bảo toàn được bề mặt biêncủa miền tính toán Để khắc phục hạn chế này ta phải đưa ra các hạn chếđối với hệ tam giác Delaunay Các hạn chế đối với hệ tam giác Delaunaytrong không gian ba chiều cũng tương tự như trong không gian hai chiều

• Đối với cách tiếp cận thứ nhất: các tứ diện có các mặt hợp thành bề mặtbiên được giữ nguyên trong quá trình tái kết nối Các tứ diện biên nàyđược thiết lập ngay từ hệ phép đặt tam giác Delaunay ban đầu Cácbước tiếp theo là chèn điểm mới vào, xác định một hố hình sao có chứađiểm đó và tái kết nối các cạnh của hố đó Lưới thu được bảo toàn biên

và các tam giác nhỏ bên trong thỏa mãn tiêu chuẩn Delaunay

• Đối với cách tiếp cận thứ hai: Thuật toán bắt đầu bằng việc xác định cácđiểm nút trên biên, kết nối các điểm này để tạo ra bề mặt của hệ tam giác

biên Sau đó xây dựng hệ tam giác Delaunay mới bằng cách chèn cácđiểm bên trong và áp dụng thuật toán Bowyer Watson Sau bước n ày,các tứ diện cắt bề mặt biên sẽ được biến đổi để khôi phục lại biên Nếu

có một mặt biên không hiện diện ở phép đặt tam giác Delaunay mới, đó

là do các cạnh và các mặt của tứ diện của phép đặt tam giác Delaunaycắt mặt biên này Vì một mặt được tạo nên từ ba cạnh, nên để khôi phụclại một mặt ta phải khôi phục lại ba cạnh trước Quá trình khôi phục lạicạnh biên bao gồm các bước sau: Đầu tiên, ta tìm các tứ diện giao vớicác cạnh của mặt, sau đó, thiết lập tiêu chuẩn giao nhau của mỗi tứ diệnvới các cạnh biên, cho phép thực hiện các phép biến đổi trực tiếp đểkhôi phục lại cạnh biên Các tứ diện được biến đổi một cách địa phươngthành các tứ diện mới có hiện diện các cạnh yêu cầu Để khôi phục lạicác mặt biên ta cũng thực hiện quá trình tương tự

1.2.1 Giới thiệu

Trong một số bài toán, việc sử dụng phương pháp Delaunay Triangulation

có thể thu được lưới không thỏa mãn Chẳng hạn như bài toán xác địnhdòng chảy nhớt Bài toán này yêu cầu phải tạo ra các phần tử tam giác cóbán kính tỉ lệ cao ở vùng lớp biên Vì vậy trong trường hợp này nếu chỉ sửdụng phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation ta sẽ thu được lướikhông thỏa mãn Một vấn đề khác đối với phương pháp DelaunayTriangulation là các nút biên sẽ là các đỉnh của hệ tam giác cuối cùng, vì vậy

mà không có gì có thể đảm bảo là các cạnh biên giữa các nút sẽ trùng vớibiên của miền tính toán, nói cách khác là tính nguyên vẹn của biên khôngđược bảo toàn và cần thiết phải thực hiện thêm một số bước nữa

Phương pháp tịnh tiến biên (AFT) được George đưa ra lần đầu tiên năm

1971 , là phương pháp tạo lưới không cấu trúc bảo toàn tính nguyên vẹn củabiên và có thể tạo ra các tam giác có bán kính tỉ lệ cao ở các vùng lớp biên Khi

sử dụng phương pháp này các đường biên ngoài và biên trong (nếu có) đượcrời rạc thành các đoạn thẳng bằng cách chọn phân bố các nút trên biên củamiền tính toán [6] Tập hợp các cạnh biên này hợp thành một ’front’ ban đầu.front sẽ di chuyển vào bên trong miền tính toán khi các điểm nút mới và cáccạnh mới được tạo thành Các phần tử tam giác được tạo thành bằng cách xóacác cạnh cũ đi Các đỉnh của một phần tử tam giác mới bao gồm hai nút củamột đoạn thẳng của một front và một nút khác hoặc là của front hoặc là mớiđược tạo ra Quá trình này tiếp tục cho đến khi không có cạnh nào còn lại trongfront, front không còn nữa và ta thu được các phần tử tam giác trong miền tínhtoán Chú ý là việc lựa chọn các điểm nút trên đường cong biên cần phụ thuộcchặt chẽ vào yêu cầu kích thước của các ô lưới vì các cạnh của front

ban đầu sẽ là các cạnh của hệ tam giác cuối cùng.

1.2.2 Điều khiển lưới

Khi sử dụng bất kì một phương pháp chia lưới nào ta cũng đều phảiquan tâm đến kích thước và hình dạng của ô lưới Đối với phương pháp tịnhtiến biên (trong không gian 2 chiều) để thu được các ô lưới với các đặc điểmyêu cầu ta thực hiện lần lượt hai bước sau:

• Định nghĩa các đặc điểm yêu cầu của ô lưới;

• Tạo ra một lưới nền ban đầu

Để thu được lưới với các đặc điểm yêu cầu, ta cần chỉ rõ sự phân bố không gian của các tham số lưới phù hợp trên lưới nền

Kích thước, hình dạng và hướng của ô lưới tam giác được mô tả bởi một tập hợp gồm 3 tham số độc lập:

Hình 1.7: Các tham số mô tả của phần tử tam giác

• Tham số kích thước δ ;

• Tham số kéo dãn s;

• Tham số định hướng Φ được liên hệ với 2 véctơ trực giao s và n

Để định nghĩa một ô lưới ta định nhập bốn tham số đầu vào(δ, s, n x , n y )

trong đó n x , n y lần lượt là hình chiếu vuông góc của n trên các trục ox, oy Các

giá trị của bốn tham số này cần được chỉ rõ tại mỗi nút của lưới nền Lưới nềnban đầu thường do người sử dụng tạo ra và có thể khá không mịn đặc biệt làđối với các miền tính toán phức tạp Ví dụ một lưới nền có thể chỉ gồm một

phần tử hoặc hai phần tử tam giác, tuy nhiên lưới nền cần phải thỏa mãn yêucầu về sự biến đổi tuyến tính của các tham số trong miền tính toán Lưới nềnkhông nhất thiết phải trùng khít với miền tính toán Trong trường hợp không cólưới nền được cung cấp thì một lưới nền mặc định sẽ được tạo ra dựa trên cácquy tắc thực nghiệm bao gồm hai phần tử tam giác yêu cầu đồng nhất mật độ

lưới Giá trị tham số kích thước δ được lấy bằng 5% chiều dài đường chéo của

lưới nền và lưới đầu tiên được tạo ra sẽ là lưới nền cho lưới tiếp theo

Để cải thiện phương pháp trong trường hợp biên của miền tính toán cóhình dạng phức tạp, với mục đích điều khiển lưới ta cần chỉ rõ các tham sốlưới trong một số khu vực biên thông qua sự phân bố của các nguồn, chẳnghạn miền tính toán là một chiếc máy bay thì ta cần chỉ rõ các tham số lưới

ở đầu và đuôi của máy bay Trong cách tiếp cận này sự phân bố kích thướckhông gian của các ô lưới sẽ được xác định như là một hàm của khoảngcách từ một điểm cho trước đến một điểm hoặc một đoạn thẳng của nguồn

Sự phân bố là đẳng hướng nếu nó chỉ phụ thuộc vào khoảng cách x dù lấy theo bất kỳ hướng nào tới nguồn Hàm nguồn đẳng hướng tại điểm nguồn S

được xác định như sau:

δ (x) =

trong đó δ1 , D, và x c là các tham số được đưa thêm vào để có thể điều

khiển sự biến đổi của kích thước tam giác δ tại S Hình 1.8 là đồ thị sự phụ thuộc của δ(x) vào các tham số δ1 , D, và x c

Hình 1.8: Sự phụ thuộc của δ(x) vào các tham số δ1, D, và x c

• Thuật toán tìm kiếm

Để nội suy các tham số lưới từ lưới nền (trong không gian hai chiều), ta

23

xác định bằng cách tính toán diện tích tọa độ của điểm đó Giả sử ta có mộttam giác có các đỉnh được đánh nhãn lần lượt là 1, 2, 3 Kí hiệu 123 là diệntích của tam giác này, diện tích của tam giác sẽ dương nếu thứ tự 1, 2, 3ngược chiều kim đồng hồ, và âm nếu ngược lại.

Hình 1.9: Các điểm 1, 2, 3 theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ

Hình 1.10: Các điểm 1, 2, P theo thứ tự cùng chiều kim đồng hồ

Diện tích tọa độ của điểm P được xác định bởi các tỉ lệ của các diện tích

sau:

l1 =

trong đó các diện tích nhận giá trị dương hoặc âm theo quy ước ngược hoặc

cùng chiều kim đồng hồ Vì vậy nếu điểm P nằm bên trong tam giác có diện tích

dương như hình (1.9) thì tất cả các diện tích đều dương Tuy nhiên nếu vị trí

của điểm P như trong hình (1.10) thì l1 > 0, l 2 > 0 nhưng l3 < 0 Như vậy nếu

điểm P nằm bên ngoài tam giác 123 thì có ít nhất một diện tích tọa độ âm.

Vì vậy, nếu cho trước một điểm P(x P , y P), chúng ta sẽ lấy một tam giác

(chẳng hạn là tam giác cuối cùng vừa mới được tạo ra) của lưới nền, và tính

toán các diện tích tọa độ của điểm P tương ứng với tam giác đó Nếu chúng

ta tìm được một diện tích tọa độ âm thì hướng tìm kiếm sẽ chuyển sang tam

giác tiếp theo ví dụ trong hình (1.10) vì l3 < 0 nên chúng ta sẽ kiểm tra tamgiác đối diện với đỉnh 3, có chung cạnh 12 Chúng ta sẽ tiếp tục quá trình nàycho đến khi tìm được tam giác có tất cả các diện tích tọa độ đều dương

1.2.3 Thuật toán AFT

Đặc điểm chính của thuật toán AFT đó là sự sinh ra đồng thời của cácnút lưới và các ô lưới tam giác Mỗi một tam giác mới ngay khi vừa sinh ra

sẽ được kiểm tra một cách địa phương Dưới đây là các bước của thuật toánAFT:

1 Thiết lập một ’front’ lưới ban đầu và một tập hợp các đoạn thẳng định

hướng liên kết các điểm đã được chọn trên biên Nội suy các tham số lướicho tất cả các nút trên front Tất cả các nút trên front hiện tại được gọi là cácnút hoạt động

2 Lựa chọn mặt ngắn nhất của front với chiều dài l Giá trị của δ là trung

bình các giá trị nội suy của δ tương ứng với hai nút.

3 Xác định vị trí của điểm lý tưởng K ideal trên đoạn thẳng trực giao của mặt

này sao cho một tam giác đều được tạo thành với K ideal là một đỉnh

4.Dựng đường tròn tâm K ideal , bán kính r được lấy theo kinh nghiệm r =0.8 ∗ δ′, trong đó

′

2.0 ∗ l δ> 2.0 ∗ l

và δ nhận giá trị địa phương của nó Công thức này giúp chúng ta tránh được

việc tạo ra các tam giác bị méo mó và đảm bảo tính tương thích hình học

5 Tìm các nút hoạt động nằm bên trong đường tròn này và tính khoảng

cách của các nút tới K ideal Điểm nào gần K ideal nhất được chọn là đỉnh thứ

ba của tam giác tiếp theo

6 Nếu không có các nút hoạt động thì tam giác đều có một đỉnh là K ideal

cần phải được kiểm tra theo các yêu cầu sau:

• Điểm K ideal không nằm bên trong một phần tử tam giác khác

• Các mặt của tam giác mới không giao với bất kì một mặt đã tồn tại của front hoạt động

Nếu tam giác không thỏa mãn các điều kiện trên, ta tìm một nút hoạt động cho một tam giác có hình dạng tốt nhất

7 Nếu bước 6 thất bại, xắp xếp lại trật tự của front, lấy mặt hoạt động ngắn thứ hai và quay trở lại bước 3.

8 Nếu bước 5 và 6 thành công, một tam giác mới được sinh ra và làm mới

lại front (mặt ngắn nhất được chọn đã bị xóa bỏ) Trong trường hợp bước 6

thành công với K ideal là một đỉnh (đồng thời K ideal cũng trở thành một nút hoạt

động của front mới) Nội suy tham số lưới tổng quát cho điểm mới này

9 Sau khi làm mới front, quay trở lại bước 3 và lặp lại quá trình, tiếp tục

cho đến khi không có cạnh nào còn lại trong front Khi đó tất cả các cạnh đềutrở thành không hoạt động và miền tính toán đã tạo thành hệ tam giác đầyđủ

• Ví dụ.

Chúng ta xét một ví dụ đơn giản trong không gian hai chiều, miền tínhtoán là hình vuông ABCD bị khuyết một nửa đường tròn như hình vẽ

Lưới nền gồm hai tam giác ACD, ABD và tham số lưới của lưới nền

được xác định là δ = 1, s = 1, n x = 1, n y = 0, tại mỗi nút A, B, C, D Tiếp theo

ta sẽ trình bày một cách đơn giản từng bước một của quá trình tạo lưới.Chọn các nút từ 1 đến 8 và front ban đầu như hình vẽ trên Một trong

hai mặt ngắn nhất (12) được chọn và dựng đường tròn tâm K id bán kính δ′

Đường tròn này không chứa điểm nút nào bên trong, tam giác đều K id 12

chấp nhận được nên điểm K id được chọn là điểm mới, front được làm mớilại và ta có:

• Các nút hoạt động: 1, 9, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

• Các mặt hoạt động: 19, 92, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 81

• Các nút không hoạt động: Không

• Các mặt không hoạt động: 12

• Tổng số điểm nút: 9

• Tổng số phần tử được tạo ra: 1

• Tổng số điểm nút còn lại: 9

Tiếp theo mặt 23 được chọn, ta tiến hành tương tự như bước trướ c

Điểm K ideal chấp nhận được và trở thành nút mới, front được làm mớinhư hình vẽ dưới đây

• Tổng số phần tử được tạo ra: 2

• Tổng số điểm nút còn lại: 10

Ở bước tiếp theo ta chọn mặt 103, nhưng điểm K id không nằm trong

miền tính toán, tam giác đều không được chấp nhận Vì vậy điểm K id khôngthỏa mãn

Chúng ta sử dụng nút hoạt động đã tồn tại là nút 4 và chọn mặt 104 là mặt mới front được làm mới lại và có các đặc điểm sau:

• Tổng số phần tử được tạo ra: 3

• Tổng số điểm nút còn lại: 9

Tiếp theo mặt 210 đã được chọn, nhưng đường tròn tâm K id có chứa nút

9, vì vậy nút 9 được chọn là đỉnh của phần tử tiếp theo

Front được làm mới lại với các đặc điểm:

• Tổng số phần tử được tạo ra: 4

• Tổng số điểm nút còn lại: 7

Tiếp theo ta chọn mặt 89 Lần này điểm K id được tìm thấy bên ngoài miền tính toán và bị loại bỏ vì một cạnh của tam giác mới tạo thành cắt biên

Đường tròn tâm K id có chứa nút 7, vì vậy nút 7 được chọn và front được làm mới lại với các đặc điểm:

Tiếp theo mặt 79 được chọn, tam giác đều mới được chấp nhận Vì vậy

điểm K id trở thành điểm mới

Front được làm mới lại:

Tiếp theo mặt 119 được chọn Tam giác đều vừa được xây dựng cắt mặt

910 của front, vì vậy điểm K id không được thỏa mãn