Các bất đẳng thức, đẳng thức trong tam giác và ứng dụng

Với sự cố định một và một thỏa mãn Thì tất cả những tam giác , , là đồng dạng... những điểm nằm trên cung OM trừ hai điểm đầu đều thuộc tập G tương ứngvới vô hạn những tam giác, mà chú

Đ I H C QU C GIA HÀ N I ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ỐC GIA HÀ NỘI ỘI

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN ẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Ự NHIÊN

-HÀ TR NG H U ỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ẬU

CÁC B T Đ NG TH C, Đ NG TH C TRONG ẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG ẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG ỨC, ĐẲNG THỨC TRONG ẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG ỨC, ĐẲNG THỨC TRONG

TAM GIÁC VÀ NG D NG ỨC, ĐẲNG THỨC TRONG ỤNG

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C ẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Đ I H C QU C GIA HÀ N I ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ỐC GIA HÀ NỘI ỘI

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN ẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Ự NHIÊN

-HÀ TR NG H U ỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ẬU

CÁC B T Đ NG TH C, Đ NG TH C TRONG ẤT ĐẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG ẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG ỨC, ĐẲNG THỨC TRONG ẲNG THỨC, ĐẲNG THỨC TRONG ỨC, ĐẲNG THỨC TRONG

TAM GIÁC VÀ NG D NG ỨC, ĐẲNG THỨC TRONG ỤNG

́

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C ẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:I HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:NG D N KHOA H C:ẪN KHOA HỌC: ỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

M CL C ỤNG ỤNG

́ .

5 M ĐAU ỞĐAU L I C M N ỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 7 NH NG KÍHI U DÙNG TRONG 8

LU N VAN ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 8 Ch ng 1: ương pháp toán sơ cap 9 ́ ́ .

9 KIEN TH C CHUAN B ỨC CHUAN BỊ ỊNH 1.1 Đ nh líhàm so ịnh líhàm so sin: 9

1.2 Đ nh líhàm so ịnh líhàm so cos: 9

1.3 Đ nh líhàm so ịnh líhàm so tan: 9

1.4 Cong th c tính di n tích tam giác: 10

1.5 Cong th c tính bán kính: 10

́ 11 1.6 Cong th c đ ư ng trung tuyen :

1.7 Cong th c pha n giác trong: 11

́ 11 1.8 Cong th c hình chieu:

́ ́ 11 1.9 M t so đang th c c b n trong tam giác ơng pháp toán sơ cap 1.10 M t s b t đ ng th c c b n ội – Năm 2013 ố: ơng pháp toán sơ cap 17 1.10.1 B t đ ng th c Cauchy 17

1.10.2 B t đ ng th c Bunhiacopxki (B.C.S) 17

1.10.3 B t đ ng th c TrêB Sep ư 18 Ch ng 2: ương pháp toán sơ cap 20 TÌM MÓI LIEN H CHO NH NG Đ I L ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Ư! NG TRONG TAM GIÁC 20

2.1 Đ a v{o nh ng thông s thích h p cho tam gi|c ư " ố: # 20 2.1.1 Đ a thong so ư m i vào tam giác $ 20

2.1.2 Nh ng đ i l " % ư# ng bi u di n công th c (2.1.4) th a m~n nh ng b t ph ểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trình ễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trình ỏa m~n những bất phương trình " ương pháp toán sơ cap ng trình (2.1.1) 22

2.1.3 Nh ng mi n con c a G, t " ) ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ương pháp toán sơ cap ng ng v i nh ng tam gi|c tù, tam gi|c nh n v{ tam $ " gi|c vuông 24

2.1.4 Tìm bi u th c c a nh ng đ i l ểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trình ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam " % ư# ng c b n trong tam gi|c thông qua thông s p,x,y ơng pháp toán sơ cap ố: 26

2.1.5.Tìm m i liên h gi a nh ng đ i l ố: + " " % ư# ng trong m t tam gi|c ội – Năm 2013 28 ́ ́ 35 2.2 Ph ương pháp toán sơ cap ng trình b c ba theo các yeu to trong tam giác %

35 2.2.1 Ph ương pháp toán sơ cap ng trình b c ba theo yeu to c nh c a tam giác % % ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam

Ch ng 3: ương pháp toán sơ cap 60

CÁC PH Ư NG PHÁP CH NG MINH B T Đ NG TH C TRONG TAM GIÁC ỨC CHUAN BỊ ẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC ẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC ỨC CHUAN BỊ 60

3.1 Ph ương pháp toán sơ cap ng ph|p ch ng minh b t đ ng th c d a v{o mi n gi| tr c a h{m s cos v{ sin ựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sin ) ịnh líhàm so ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ố: 60

́

M ĐA ỞĐA ̀

U

Trong ho t đ ng d y v{ h c c a nh{ tr% ội – Năm 2013 % ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ư ng, v n đ tìm tòi đúc k t n}ng ) ết n}ng

t m gi i to|n theo h3 ư$ng t ng qu|t, t đó l{m rõ n i dung nh ng b{i to|nổng qu|t, từ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n ừ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n ội – Năm 2013 "

ở d ng đ c bi t, giúp cho vi c d y có đ nh h% ặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người + + % ịnh líhàm so ư$ng c th , logic, ng0 ểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trình ư i

h c d ti p thu v{ có nhi u c h i s|ng t o, đó cũng chính l{ đ i m i phễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trình ết n}ng ) ơng pháp toán sơ cap ội – Năm 2013 % ổng qu|t, từ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n $ ương pháp toán sơ capng

L{ gi|o viên gi ng d y b môn to|n trung h c ph thông, chúng tôi đ~% ở ội – Năm 2013 ổng qu|t, từ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n

g p nhi u tr c tr trong công t|c gi ng d y nhi u d ng to|n b c ph ặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người ) ắc trở trong công t|c giảng dạy nhiều dạng to|n ở bậc phổ ở % ) % ở ậc phổ ổng qu|t, từ đó l{m rõ nội dung những b{i to|nthông trung h c Vì m i b{i to|n có nhi u c|ch gi i kh|c nhau, m i c|ch ỗi b{i to|n có nhiều c|ch giải kh|c nhau, mỗi c|ch ) ỗi b{i to|n có nhiều c|ch giải kh|c nhau, mỗi c|ch

gi i th hi n kh|i ni m to|n h c c a nó Trong c|c c|ch gi i kh|c nhau đó,ểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trình + + ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam

có c|ch gi i th hi n tính h p lí trong d y h c, có c|ch gi i th hi n tính ểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trình + # % ểu diễn công thức (2.1.4) thỏa m~n những bất phương trình +s|ng t o c a to|n h c.% ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam

Nh ng van đe lie n quan đen tam giác luon làvan đe hay

́ "

vàkhó pho ở

́

đẻ

́

Lu n va n đ% ư#c chia làm ba chương pháp toán sơ capng:

Ch ương 1: KIen thức chuân bị ng 1: KIen th c chuân b ức chuân bị ị

- Chương pháp toán sơ capng này h thon l i các đ nh lí,cong th c vàm t sóđan th c, baǵ lại các định lí,cong thức vàmọt sóđang̉ thức, bat́ % ịnh líhàm so g tđan th c c b n nha c a tam giác nh đ nh líhàm sósin, hàm sócos,…,g ơng pháp toán sơ cap t ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ư ịnh líhàm so

- Pha 1.9 h thon l i nh ng đan th c vèyeú tógóc c b n trong tam@ ǵ lại các định lí,cong thức vàmọt sóđang̉ thức, bat́ % " g ơng pháp toán sơ capgiác

- Phan 1.10 ne u l i m t so bat đang th c c b n dùng trong lu n

van đe

Ch ương 1: KIen thức chuân bị ng 2: Tìm m i liên h cho nh ng đ i l ối liên hệ cho những đại lượng trong tâm giác ệ cho những đại lượng trong tâm giác ững đại lượng trong tâm giác ại lượng trong tâm giác ượng trong tâm giác ng trong tâm giác

giác

Cách th hai làch ra các yéu tótrong tam giác lànghi m c a phA ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ương pháp toán sơ capng trình

b c ba t% ương pháp toán sơ capng ng t đód a vào tính chát nghi m tìm ra các h th c trong ừ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n ựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sintam giác

2.1 Đ â vào nh ng thông s thích h p cho tâm giác ư ững đại lượng trong tâm giác ối liên hệ cho những đại lượng trong tâm giác ợng trong tâm giác

́ 2.2 Ph ương 1: KIen thức chuân bị ng trình b c bâ theo c c yeu to trong tâm gi c ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc ấc yeu to trong tâm giấc ấc yeu to trong tâm giấc

Các yéu tótrong tam giác cóth bién đ i theo ba đ i lẻ ỏa m~n những bất phương trình % ư#ng, cóth g i làẻ

ba đ i l % ư# ng c b n c a tam giác đólà ơng pháp toán sơ cap ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam R, r, p Ta sẽch ra ran các yeú tó A g

c a tam giác (c nh, đủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam % ư ng cao, hàm sólư#ng giác c a các góc…) làủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam

nh mien giátr c a hàm sin, hàm cos, bat đang th c Cauchy, bat đangư ịnh líhàm so ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam

́

các bát đ ng th c trong tam giác Phan này làđúc rút c a chúng toi qua ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tamquátrình bòi dưỡng , dạy on thi Đại học vàhọc sinh giỏi.ng , d y on thi Đ i h c vàh c sinh gi i.% % ỏa m~n những bất phương trình

L I C M N ỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ẢM ƠN ƠN

Lu n va n đ% ư#c hoàn thành dư$ ựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sin ư$i s h ng dañ t n tình c a Thaỳ, Ts Lê% ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tamĐình Đ nh Thaỳ đãhe lòng giúp đ ,d y b o, đ ng vie n trong suo quáịnh líhàm so t ỡng , dạy on thi Đại học vàhọc sinh giỏi % t

́Toi xin bày t l i c m n cha n thành đen tat c các thay co trong khoaỏa m~n những bất phương trình ơng pháp toán sơ captoán – c – tin c a trơng pháp toán sơ cap ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ư ng ĐHKHTN – ĐHQGHN đãch b o t n tình trongA %

́

́Nha n d p này, cho toi bày t lòng biet n t i gia đình, c m n t i b n bèịnh líhàm so ỏa m~n những bất phương trình ơng pháp toán sơ cap $ ơng pháp toán sơ cap $ %

́

đãco vũ,đ ng vie n toi trong suot quátrình h c

Do th i gian cóh n, trình đ b n tha n còn h n chéne n lu n va n khong% % %

ýkien c aủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam

c m n.ơng pháp toán sơ cap

Vĩnh Phúc, 10\05\2013

NH NG KÍHI U DÙNG TRONG ỮNG KÍHIẸU DÙNG TRONG ẸU DÙNG TRONG

LU N VĂN ẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

A, B, C : Các đ nh c a tam giác hay sóđo góc trong tam giác ABCA ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam

: Đ dài bán kình đ ư ng tròn ngo i tiép % ∆

: Đ dài bán kính đ ư ng tròn n i tiép ∆

, , : Đ dài bán kính đ ư ng tròn bàng tiép trong các góc A, B, C c a ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ∆

: Di n tích tam giác

Ch ương 1: KIen thức chuân bị ng 1:

́ KIEN TH C CHUAN B ỨC, ĐẲNG THỨC TRONG Ị

1.1 Đ nh líh m so ị ầm so sin:

1.4 Công th c tính di n tích tâm gi c: ức chuân bị ẹn tích tâm giấc: ấc yeu to trong tâm giấc

1.5 Công th c tính b n kính: ức chuân bị ấc yeu to trong tâm giấc

́ 1.6 Công th c đ ức chuân bị ường trung tuyen : ng trung tuyen :

1.9M t so đâng th c c b n trong tâm gi c ọt so đâng thức cơ bẩn trong tâm giấc ức chuân bị ơng 1: KIen thức chuân bị ẩn trong tâm giấc ấc yeu to trong tâm giấc

Bài t p 1.9.1 ập 1.9.1 Ch ng minh rang trong m i ∆ ta luon có:

1.9.1.2 2+ 2+ 2=4

Ch ng minh ứng minh

Cách ch ng minh c a bón bài làtủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ương pháp toán sơ capng t nhau, ta ch ng minh bàiựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sin

1.9.2.3 các bài còn l i t% ương pháp toán sơ capng t ựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sin

Bài 1.9.3.2 ; 1.9.3.3 ; 1.9.3.4: lan lư#t làbài tong quát c aủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam bài1.9.1.2;

1.9.1.4; 1.9.1.5 cách ch ng minh tương pháp toán sơ capng tựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sinbài1.9.3.1.

Bài 1.9.3.5 làbài t ng quát c aỏa m~n những bất phương trình ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam bài1.9.2.4

+

.

Bài 1.9.3.6 làbài t ng quát c aỏa m~n những bất phương trình ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam bài 1.9.2.1 ch ng minh tương pháp toán sơ capng tựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sin

bài1.9.3.5.

Bài 1.9.3.7 làbài t ng quát c aỏa m~n những bất phương trình ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam bài 1.9.2.2

Bài t p 1.9.4.2 ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc Ch ng minh tương pháp toán sơ capng tựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sinbài1.9.4.1.

Bài t p 1.9.4.3 ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc Ta có + + − ( + + )

(++) ( + )

( + )

=

(+) (+) (+)

(++)

Bài t p 1.9.4.4 ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc tương pháp toán sơ capng tựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sinbài1.9.4.3.

Nh n xét : ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc Thay{ , , } trong các cong th c c a bài t pủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam % 1.9.4 b i ở { , , }; {(2 +1) ,(2 +1) ,(2 +1) };

{2 ,2 ,2 };

V i $ , , làba góc trong tam giác làm t sónguye n ta đ ư# c các cong th c c a ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam bài t p ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc 1.9.1; bài t p ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc 1.9.2; bài t p ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc

1.9.3.

1.10 M t s b t đ ng th c c b n ột số bất đẳng thức cơ bản ối liên hệ cho những đại lượng trong tâm giác ấc yeu to trong tâm giấc ẳng thức trong ức chuân bị ơng 1: KIen thức chuân bị ản

1.10.1 B t đ ng th c Cauchy ấc yeu to trong tâm giấc ẳng thức trong ức chuân bị

1.10.2 B t đ ng th c Bunhiacopxki (B.C.S) ấc yeu to trong tâm giấc ẳng thức trong ức chuân bị

Cho n c p s b t kỳ ặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người ố: 1 , 2 , … , ; 1 , 2 , … ,

1.10.3 B t đ ng th c TrêB Sep ấc yeu to trong tâm giấc ẳng thức trong ức chuân bị ư

Cho hai d~y s s p th t gi ng nhau:ố: ắc trở trong công t|c giảng dạy nhiều dạng to|n ở bậc phổ ựa v{o miền gi| trị của h{m số cos v{ sin ố:

th c Jenxen ức chuân bị

Bat đang th c Jenxen làbat đang th c áp d ng cho hàm so loi

1.10.4.1 Cho hàm só = ( ) xác đ nh tre nịnh líhàm so

tre n đóneú th a mãn đieù ki n sau đay :ỏa m~n những bất phương trình

1.10.4.3 Bat đang th c Jenxen

= 1 Ch ng minh rang

Ch ương 1: KIen thức chuân bị ng 2:

TÌM M I LIÊN H CHO NH NG Đ I L ỐI LIÊN HỆ CHO NHỮNG ĐẠI LƯỢN TRONG Ệ CHO NHỮNG ĐẠI LƯỢN TRONG ỮNG KÍHIẸU DÙNG TRONG ẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ƯỢN TRONG N TRONG

TAM GIÁC

2.1 Đ â vào nh ng thông s thích h p cho tâm giác ư ững đại lượng trong tâm giác ối liên hệ cho những đại lượng trong tâm giác ợng trong tâm giác

Ta ký hiệu và là độ dài tương ứng cạnh lớn nhất và nhỏ nhất của một tam

2.1.2 Nh ng đ i l ững đại lượng trong tâm giác ại lượng trong tâm giác ượng trong tâm giác ng bi u di n công th c (2.1.4) th â mãn ểu diễn công thức (2.1.4) thỏâ mãn ễn công thức (2.1.4) thỏâ mãn ức chuân bị ỏâ mãn

nh ng b t ph ững đại lượng trong tâm giác ấc yeu to trong tâm giấc ương 1: KIen thức chuân bị ng trình (2.1.1)

8 hoặc là vì (2.1.3) và (2.1.5) có dạng + 1 > , nó có thể viết lại

1

Thông qua 2.1.1 và 2.1.2ta đã thiết lập quan hệ giữa những cặp số (a,b,c) và

(x,y, p) thỏa mãn (2.1.1) và (2.1.3) Mối quan hệ này là tương ứng một - một.

Ta có thể nói p bằng nửa chu vi tam giác là phần tử tuyến tính Thông số và

là những đại lượng góc Với sự cố định một và một thỏa mãn

Thì tất cả những tam giác ( , , ) là đồng dạng Bất đẳng thức (2.1.10) xác định trong hệ tọa độ một miền giới hạn bởi đường thẳng = và parabol = 2 − 2, nhưng không tính những điểm nằm trên đoạn OM, còn

những điểm nằm trên cung OM trừ hai điểm đầu đều thuộc tập G tương ứng

với vô hạn những tam giác, mà chúng đồng dạng với cùng một tam giác

Những điểm của miền G xác định tất cả những tam giác với những lớp đồngdạng

2.1.3 Nh ng mi n con c â G, t ững đại lượng trong tâm giác ền con củâ G, tương ứng với những tâm giác tù, ủâ G, tương ứng với những tâm giác tù, ương 1: KIen thức chuân bị ng ng v i nh ng tâm giác tù, ức chuân bị ớivào tâm giấc ững đại lượng trong tâm giác

tâm

giác nh n và tâm giác vuông ọt so đâng thức cơ bẩn trong tâm giấc

− 2 2

Và suy ra tam giác tù , tam giác nhọn , tam giác vuông phụ thuộc vào biểu thức 2 + 2 − 2> 0, = 0 hoặc< 0.

hiện như một cung đường cong T, mà nó cắt đường parabol = 2 − 2 tại điểm M và P( 3- 2 2 , 8 2 - 11).

1 Những tam giác vuông nhận được với tất cả những điểm trong miền

3−2 2≤ <1,=−

( −3) 2

Với những điểm trên cung PM của T trừ điểm M

2 Những tam giác tù nhận được từ những điểm trong miền

(x−3) 2

nghĩa là tất những điểm giới hạn bởi đường cong T, đường thẳng = , và parabol = 2 − 2.

3 Những tam giác nhọn nhận được từ những điểm trong miền

< ≤ 2 − 2 (2.1.13)

( −3) Nghĩa là tất cả những điểm giới hạn bởi đường T và cung PQM của parabol =2−2.

4 Ta tìm những điểm trong G tương ứng với những tam giác cân:

Từ = , ta tìm được 1 − 3 = 2 + 10 + 1 − 8 , mà nó chỉ có khả năng với x ≤ 1 Bình phương 2 vế đẳng thức trên, ta nhận được

Kết luận, tất cả những tam giác cân tương ứng với những điểm trên cung parabol OM Điểm Q tương ứng với

điểm P.

2.1.4 Tìm bi u th c c a nh ng đ i l ểu diễn công thức (2.1.4) thỏâ mãn ức chuân bị ủâ G, tương ứng với những tâm giác tù, ững đại lượng trong tâm giác ại lượng trong tâm giác ượng trong tâm giác ng c b n trong tâm giác ơng 1: KIen thức chuân bị ản

thông quâ thông s p,x,y ối liên hệ cho những đại lượng trong tâm giác

2.1.4.1.Diện tích S của tam giác theo công thức Heron

2.1.5.Tìm m i liên h gi a nh ng đ i l ối liên hệ cho những đại lượng trong tâm giác ệ cho những đại lượng trong tâm giác ững đại lượng trong tâm giác ững đại lượng trong tâm giác ại lượng trong tâm giác ượng trong tâm giác ng trong m t tâm giác ột số bất đẳng thức cơ bản

Qua những thông số ta đưa vào có thể tìm ra hang loạt mối liên hệ giữa nhữngđại lượng của một tam giác Hoặc dung các thông số để chứng minh hàng

loạt các đẳng thức và bất đẳng thức giữa các đại lượng của một tam giác một

cách giải tích Chú ý rằng khi sử dụng x và y chúng phải thỏa mãn (2.1.10).

Hãy chứng minh rằng trong mọi tam giác đều thỏa mãn những bất đẳng thức

(3 − 4) ≤ 0, mà nó hiển nhiên đúng, đẳng thức chỉ xảy ra khi = 1

Trong trường hợp này vế phải của (2 1.24) có giá trị

5 , như vậy đẳng thức công thức ta chứng minh chỉ xảy ra khi tam giác đều.

Nhưng bất đẳng thức này tương đương với 1 − 2 > 0 và hiển nhiên đúng.

Với > 7, bất đẳng thức đúng nếu bất đẳng thức sau đúng

Với < 7 , bất đẳng thức (2.1.26) được thỏa mãn nếu bất đẳng thức sau đúng

2 − 2 ≤

Nhưng bất đẳng thức này biến đổi vào dạng tương đương

(1 − )(3 − 1)2 ≥ 0 và hiển nhiên đúng Dễ thấy rằng bất đẳng thức ban đầu trở thành đẳng thức khi tam giác đó đều.

Ví dụ 2.1.4.

1 +

1 +

Với = 35 , bất đẳng thức dễ dàng kiểm tra đúng.

Với > 3 , bất đẳng thức đúng nếu bất đẳng thức sau đúng

(x – 4x − 1+4y) + 3 (x − 1) t ≥ 0 và hiển nhiên đúng Đẳng thức xảy ra khi và thỏa mãn hai phương trình – 4 − 1 + 4 = 0, +10 + 1 −

Ví dụ 2.1.6 5 – ≥ 3.

Bất đẳng thức (2.1.30) đúng nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức sau:

9 − 14 2 – + + 5 ≥ 4 ( vì có (2.1.28)(2.1.31)

Nhưng bất phương trình này biến đổi về dạng (2.1.26) và như vậy

đúng, đẳng thức chỉ xảy ra khi tam giác đều

bất đẳng thức này chứng minh như bất đẳng thức (2.1.24)

ví dụ 2.1.8 Trong những tam giác tù bất đẳng thức sau đúng:

Ta cần chứng minh bất đẳng thức (2.1.32) đúng với mọi x và y, mà chúng thỏa mãn (2.1.12).

Với 0 < < 3 − 2 2 bất đẳng thức (2.1.32) đúng nếu bất phương trình sau đúng:

<1(2+2 −45+32 2 )

Nhưng bất đẳng thức sau cùng biến đổi tương đương vào dạng [3(3−2 2 − +4 3 2 −4 ](3−2 2 − )>0

Với = 3 − 2 2 bất đẳng thức (2.1.32) đưa về dạng < 8 2 − 11 và hiển nhiên đúng

Với > 3 − 2 2 bất đẳng thức (2.1.32) đúng, nếu bất phương trình sau đúng

( −3) 22

nhưng bất đẳng thức sau cùng biến đổi tương đương vào dạng

Bài tập áp dụng

Bài tập 2.1.1 Chứng minh những đẳng thức sau:

a 2 + 2 +2= 4 ( + + );

Bài tập 2.1.2 Chứng minh rằng

2 + 2 + 2 = 8R 2 là điều kiện cần và đủ để một tam giác là vuông.

Bài tập 2.1.3 Hãy chứng minh những bất đẳng thức sau:

f (tan 2 )2 + (tan 2 )2 + (tan 2 )2 ≥ 1;

́ 2.2Ph ương 1: KIen thức chuân bị ng trình b c bâ theo c c yeu to trong tâm gi c ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc ấc yeu to trong tâm giấc ấc yeu to trong tâm giấc

ba đ i l % ư# ng c b n c a tam giác đólà ơng pháp toán sơ cap ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam R, r, p Ta sẽch ra ràng các yéu tó c a tam giác (c nh, đ A ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam % ư ng cao, hàm sól ư# ng giác c a các góc…) là ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam

nghi m c a phủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ương pháp toán sơ capng trình b c ba màh sotheo ba yeu to c b n c a tam% ơng pháp toán sơ cap ủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tamgiác

́ 2.2.1 Ph ương 1: KIen thức chuân bị ng trình b c bâ theo yeu to c nh c â tâm gi c ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc ủâ G, tương ứng với những tâm giác tù, ấc yeu to trong tâm giấc

2.2.1.1 Ph ương 1: KIen thức chuân bị ng trình b c bâ c â bâ c nh tâm gi c ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc ủâ G, tương ứng với những tâm giác tù, abc ậc bâ theo cấc yeu to trong tâm giấc ấc yeu to trong tâm giấc

Theo cong th c di n tích thìS= 4R = pr → abc = 4pRr.

T hai phừ đó l{m rõ nội dung những b{i to|n ương pháp toán sơ capng trình (2.1.1.1) và(2.1.2.2) vàs d ng tích chát vè / 0

nghi m c a phủa G, tương ứng với những tam gi|c tù, tam gi|c nhọn v{ tam ương pháp toán sơ capng trình b c ba ( theo đ nh líVi-et), ta thu đ% ịnh líhàm so ư#c các h

th c sau trong m t tam giác

Đ ng th c 1 ẳng thức trong ức chuân bị