Về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN o0o -ĐỖ THỊ HƯỜNG VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN o0o

-ĐỖ THỊ HƯỜNG

VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA

CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN

HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN o0o

-ĐỖ THỊ HƯỜNG

VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA

CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN

HILBERT

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - 2014

Mục lục

1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong

1.1 Toán tử Volterra và ứng dụng cho các PTVP tuyến tính trong

không gian Banach 5

1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính thuần nhất 10

1.1.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính không thuần nhất 11

1.2 Phương trình tiến hóa và tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu 11

1.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong không gian Banach 11

1.2.2 Họ toán tử tiến hóa và phương trình tiến hóa 15

1.2.3 Ví dụ 19

1.2.4 Các phương trình so sánh tích phân được 20

2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân trong không gian Hilbert 23 2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert 23

2.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm 23

2.1.2 Một số khái niệm ổn định nghiệm 25

2.2 Tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân với dạng tam giác trên trong tôpô yếu 29

2.2.1 Không gian L(H) và các khái niệm tôpô yếu, tôpô mạnh và tôpô đều 29

2.2.2 Khái niệm tính chính quy 30

2.2.3 Sự rút gọn về phương trình dạng tam giác trên 32

2.2.4 Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân dạng tam giác trên trong không gian Hilbert 34

2.3 Phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Hilbert 37

2.3.1 Khái niệm hàm Lyapunov trong không gian Hilbert 37

1

2.3.2 Sử dụng định lí Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định

nghiệm của một lớp các PTVP trong không gian Hilbert 402.4 Một số ví dụ áp dụng 45 Kếtluận 54 Tài liệu tham khảo 55

2

Mở Đầu

Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiêm của các phương trình vi phân(PTVP) trong không gian Hilbert có ý nghĩa hết sức quan trọng trong lý thuyếtđịnh tính các phương trình vi phân và trong các bài toán ứng dụng (xem [3]).Trong thời gian gần đây, lý thuyết PTVP trong không gian Banach nói chung vàPTVP trong không gian Hilbert được phát triển khá mạnh mẽ vì nó đáp ứngđược nhiều đòi hỏi đặt ra trong các mô hình ứng dụng Đặc biệt là các bàitoán mô tả bằng toán học các hiện tượng chuyển động của vật thể, quá trìnhsinh trưởng và phát triển của các loài sinh vật (xem[6]) Trong bản luận vănnày, tôi sẽ trình bày lại một cách hệ thống một số kết quả liên quan tới sự tồntại nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu và tính chất nghiệmcủa chúng Phương pháp nghiên cứu cơ bản của tôi là sử dụng tính chất củatoán tử Volterra kết hợp với việc sử dụng chuẩn Bielecki trong không gianHilbert để nghiên cứu sự tồn tai duy nhất nghiệm của các PTVP ở dạngphương trình toán tử trong không gian hàm Để nghiên cứu tính chất nghiệmcủa PTVP trong không gian Hilbert, tôi đã sử dụng phương pháp xấp xỉ thứnhất của Lyapunov cho các PTVP dạng tam giác trên trong không gian Hilbert Trong phần cuối của luận văn, tôi đã trình bày lại phương pháp hàm Lyapunov

để nghiên cứu tính ổn định của các PTVP phi tuyến và một số ví dụ ứng dụng

Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương: chương một trình bày dángđiệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Banach,chương hai trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phântrong không gian Hilbert và một số ví dụ áp dụng

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS TS.Đặng Đình Châu Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy,người đã dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡtôi trong việc hoàn thành bản luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban lãnh đạo và các thầy côtrong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về

3

các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tậptại trường Đồng thời, tôi xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học đã tạo nhữngđiều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luậnvăn.

Tôi muốn gửi lời cám ơn tới các thầy và các bạn trong seminar Phương trình

vi phân về những sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bảnthân tôi trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa vữngchắc về tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập để tôi

có thể hoàn thành xong bản luận văn này

Mặc dù, tôi đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Đỗ Thị Hường

4

Chương 1

Dáng điệu tiệm cận nghiệm của

phương trình vi phân trong không

gian Banach

1.1 Toán tử Volterra và ứng dụng cho các PTVP tuyến tính trong

không gian Banach

Giả sử (X, ||.||) là một không gian Banach Xét PTVP trong không gian

dx

x(t0) = x0

trong đó t ∈ [a; b], x : [a, b] → X là hàm (trừu tượng) phải tìm, hàm f : [a, b] ×X

→ X liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz tức là tồn tại L : [a, b] → R+ khả tíchđịa phương sao cho với mọi x, y ∈ X ta có

||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L(t)||x − y||

Để chứng minh định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của (1.1) sau đâychúng ta sẽ trình bày khái niệm toán tử Volterra và chuẩn Bielecki

Định nghĩa 1.1 Toán tử Volterra

Toán tử tích phân Volterra là toán tử V : C([a, b], X) → C([a, b], X) xác định bởi

Kí hiệu C([a, b], X) là tập hợp tất cả các hàm liên tục từ [a; b] vào

X Kí hiệu chuẩn Bielecki

t L(s)ds

||x(t)||, p > 0

sup e a≤t≤b

Ta dễ dàng thấy rằng nếu x = x(t), t ∈ [a; b] là nghiệm của (1.1) thì

t

t 0 t

Kí hiệu V [x(t)] = x0+ f (τ, x(τ ))dτ

t 0

Khi đó , ta có toán tử Volterra V : C([a, b], X) → C([a, b], X)

Bổ đề 1.1 Trong không gian C([a, b], X) toán tử Volterra V : C([a, b], X) →C([a, b], X) thỏa mãn điều kiện sau

Do đó

||V (x) − V (y)||B,p = sup

a≤t≤b

= supa≤t≤b

≤ supa≤t≤b

≤ supa≤t≤b

= supa≤t≤b

−p a t L(s)ds

||f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s)||dse

a t

−p a t L(s)ds

L(s)||x(s) − y(s)||dse

a

e−p

t L(s)ds

t 0

Bổ đề 1.2 a) Tương ứng V là một ánh xạ từ ([t0− α; t0+ α], G0) vào ([t0− α; t0+ α], G0)

b) ||V [x(t)] − V [y(t)]|| ≤ 1

p||x(t) − y(t)||

7

Chứng minh.

t

||V [x(t)] − V [x0]|| = ||x0 + f (τ, x(τ ))dτ − x0||

t 0 t

Do đó

||V (x) − V (y)||B,p = sup

a≤t≤b

= supa≤t≤b

≤ supa≤t≤b

≤ supa≤t≤b

= supa≤t≤b

−p a t L(s)ds

||f (t, s, x(s)) − f (t, s, y(s)||dse

a t

−p a t L(s)ds

L(s)||x(s) − y(s)||dse

a

e−p

t L(s)ds

8

với 0 < L < 1 Khi đó, phương trình x˙ = Ax có nghiệm duy nhất

tx(t) = x0 + Ax(τ )dτ

t 0

Định lý 1.1 (Định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm)

Giả sử f : [a, b] × X → X là hàm liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2) Khi

đó, phương trình vi phân (1.1) có nghiệm duy nhất

Chứng minh Xét phương trình

tx(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ

Xét phương trình vi phân

x˙(t) = f (t, x)x(t0) = x0

Định lý 1.2 Xét f : [a, b] × G → X liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2)

||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L(t)||x − y||

trong đó L(t) : [a, b] → R+ khả tích địa phương mà sup |L(t)| ≤ L0 < +∞, G là

a≤t≤b

một miền mở trong X Khi đó , phương trình vi phân (1.4) có nghiệm duy nhất.

9

tx(t) = x0 + A(τ )x(τ )dτ

Khi đó, áp dụng định lí (1.1) ta có điều cần chứng minh.

1.1.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính không thuần nhất

Trong X xét phương trình

x˙(t) = A(t)x + f (t)x(t0) = x0

với t ∈ R+, x : R+→ X là hàm cần tìm, A(t) : R+→ L(X) là toán tử bị chặn và

f (t) : R+ → X là hàm đo được mạnh và khả tích Bochner

Lấy T > 0, trên đoạn [0; T ] xét trên C([0, T ], X) phương trình

1.2 Phương trình tiến hóa và tính chất nghiệm của phương trình vi

phân tuyến tính có nhiễu

1.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu

trong không gian Banach

Xét phương trình

x˙(t) = A(t)x + f (t, x)

với A(t) là toán tử tuyến tính liên tục và liên tục theo t và f (t, x) : [a, b] × X → X

là hàm thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2)

11

Hệ quả 1.3 Phương trình vi phân (1.9) luôn có nghiệm duy nhất

Chứng minh Đặt F (t, x) = A(t)x + f (t, x) Ta có:

||F (t, x) − F (t, y)|| = ||A(t)x + f (t, x) − A(t)y − f (t, y)||

Giả sử hàm x(t), A(t) ∈ L(X) nhận giá trị trong X với X là đo được mạnh vàkhả tích Bochner trên tập con hữu hạn của R+

Nghiệm của phương trình tích phân

với x0= x(t0) là nghiệm của (1.10)

Nếu f (t) liên tục và A(t) là liên tục mạnh thì nghiệm của (1.11) là khả viliên tục tại mọi t ∈ I và thỏa mãn (1.10) với mọi t ∈ I

Xét phương trình vi phân tổng quát

tx(t) = g(t) + A(τ )x(τ )dτ

t 0 t

với g(t) = x0+ f (τ )dτ , ta sẽ chỉ ra rằng (1.12) có một nghiệm liên tục trên

t 0

đoạn hữu hạn [a; b] bất kì nằm trong I

Đặt C(X; [a; b]) là không gian Banach các hàm liên tục trên [a; b] nhận giátrị trong X và chuẩn

|||x||| = max ||x(t)||

t∈[a;b]

12

13

14

3 Ta có t1 t0||A(t)||dt ≤ M1 nên theo cách chứng minh phần 2 ta có:

Ta có ||U(t, s)|| ≤ 1 + ||A(τ )||.||U(τ, s)||dτ Sử dụng bổ đề Gronwall - Belman ta

s

được

||U(t, s)|| ≤ e st ||A(τ )||dτ

Ta có thể dễ dàng kiểm tra toán tử U(t) được định nghĩa ở trên là liên tục

trong L(X) khả vi hầu khắp nơi , thỏa mãn phương trình

dt = A(t)U

dUU(t0) = I

(1.15)

15

trong đó U(t) : Z → AtZ − BrZ = A(t)Z − ZB(t) là toán tử tuyến tính Khi đó,phương trình (1.15) có duy nhất một nghiệm khả vi liên tục Z(t) mà thỏa mãnđiều kiện Z(t0) = Z0 , được biểu diễn bởi công thức

có nghiệm duy nhất thỏa mãn Z2(t) ≡ I

Ta xét bài toán Cauchy của phương trình vi phân không thuần nhất

y(t 0 ) = x 0

16

Việc xây dựng toán tử U(t) không phụ thuộc vào việc chọn giá trị t0 Ta kíhiệu U(t) = U(t, 0) là toán tử Cauchy Khi đó, sử dụng toán tử tiến hóa nghiệmcủabài toán Cauchy cho phương trình thuần nhất dx

dt = A(t)x, x(τ ) = xτ có thểviết dưới dạng

x(t) = U(t, τ )xτ

và nghiệm của phương trình không thuần nhất là

tx(t) = U(t, t0)x0 + U(t)U(t, τ )f (τ )dτ

17

Tương ứng với phương trình (1.23) và (1.24), ta có thể xét phương trình toán

tử

tU(t, τ ) = I + A(θ)U(θ, τ )dθ)U(θ)U(θ, τ )dθ, τ )dθ)U(θ, τ )dθ (1.25)

τ

Khi đó, U(t, τ ) có thể viết dưới dạng

tU(t, τ ) = I + [dF (θ)U(θ, τ )dθ)]U(θ)U(θ, τ )dθ, τ )

τ

với F (t) = A(t)dt

tU(t, τ ) = I + [S1(θ)U(θ, τ )dθ)dF (θ)U(θ, τ )dθ)S2(θ)U(θ, τ )dθ)]U(θ)U(θ, τ )dθ, τ ) (1.26)

τ

phương trình (1.26) có thể viết dưới dạng

tU(t, τ ) = exp[S1(θ)U(θ, τ )dθ)dF (θ)U(θ, τ )dθ)S2(θ)U(θ, τ )dθ)] (1.27)

τ

Khi đó , nghiệm của (1.25) được viết dưới dạng

tU(t, τ ) = exp A(θ)U(θ, τ )dθ)dθ)U(θ, τ )dθ

τ

Giả sử UB(t, τ ) là toán tử tiến hóa của phương trình

dx

= B(t)xdt

với B(t) ∈ L(X) là đo được mạnh và khả tích Bochner Đặt

Đạo hàm hai vế theo t, ta được

(d/dt)U(t, τ )X = A(t)UA(t, τ ).X.UB (τ, t) − UA(t, τ ).X.UB (τ, t)B(t)

Từ đó ta có U(τ, τ )X = X và (1.28) là nghiệm toán tử của phương trình (1.18)

Do đó, nghiệm của phương trình

dX/dt = A(t)X − XB(t) + F (t)

18

có thể viết dưới dạng

tX(t) = U(t, t0)X(t0) + U(t, τ )F (τ )dτ

t 0

1.2.3 Ví dụ

Trong phần này, ta sẽ xét một số ví dụ về phương trình vi phân thuần nhất

và không thuần nhất Giả sử X là không gian hữu hạn chiều X = Cn Gọi e1, ,

en là cơ sở trực chuẩn và đặt xk =< x, ek > (k = 1, 2, , n) theo thứ tự là vector

x ∈ Cn và ajk =< Aek, ej > là ma trận của toán tử A trong cơ sở này

Phương trình (1.10) tương đương với hệ phương trình

= ajk(t)xk, (j = 1, 2, , n)dt

k=1Toán tử tiến hóa U(t, τ ) được cho bởi ma trận ||u jk (t, τ )|| thỏa mãn hệ phương

k=1 k=1 t 0

19

1.2.4 Các phương trình so sánh tích phân được

Giả sử trên nửa khoảng [0; ∞) , xét hai phương trình

dx

= Ak(t)x (k = 1, 2)dt

Ta nói 2 phương trình này có thể so sánh tích phân được nếu :

Trước tiên, ta sẽ xây dựng toán tử Volterra.

Với s ∈ R+, ta xét dãy dãy Vn(t) như sau:

V0(t) = U(t, s)

t

V1(t)x = U(t, τ )B(τ )V0(τ )xdτ

s t

V2(t)x = U(t, τ )B(τ )V1(τ )xdτ

s

Chứng minh Lấy τ ∈ R+ Kí hiệu τ0= (t; s)/t, s ∈ R+; 0 ≤ s ≤ t ≤ τ0

Xét phương trình (1.35) Từ tính chất của họ toán tử tiến hóa, ta suy ra

(U(t, s))t≥slà bị chặn mũ, tức là tồn tại Mi0và ωi0sao cho

0n!

21

có nghiệm duy nhất là y(t) = W (t, t0)y0

Chứng minh: Tính duy nhất nghiệm được suy ra trực tiếp từ bổ đề 1.1 và 1.3

Nhận xét 1.1 W (t; s) : X → X với (t; s) ∈ τ0 là họ các toán tử bị chặn mũ thỏamãn các điều kiện của định lí 1.3

22

Chương 2

Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương

trình vi phân trong không gian Hilbert

2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert

2.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm

Cho H là không gian Hilbert tách được với cơ sở trực chuẩn là {en}∞1 Khi

Trong đó, f : [a; b] × H → H với t ∈ [a; b], x ∈ H

Như vậy, trong cơ sở trực chuẩn này thì PTVP (2.1) có thể viết đượcdưới dạng hệ vô hạn các PTVP như sau

23

Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm của (2.1) lànghiệm theo nghĩa cổ điển như sau:

Định nghĩa 2.1 Hàm trừu tượng x = x(t) với x : [a; b] → H xác định trên [a; b],khả vi liên tục theo t ∈ [a; b] được gọi là nghiệm của (2.1) nếu dx

Tương ứng với phương trình (2.3), ta xét phương trình dạng tích phân

tx(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ

Tương tự như đối với PTVP trong không gian Banach, ta có các định lí sau:

Định lý 2.1 (Tính duy nhất nghiệm địa phương)

Giả sử tồn tại lân cận đóng của (t0, x0) sao cho trong lân cận đó hàm f (t, x)

liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz ||f (t, x2) − f (t, x1)|| ≤ M.||x2 − x1||

với M là hằng số dương hữu hạn Khi đó, tồn tại lân cận của x0 mà trong lâncận đó (2.3) có duy nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện x(t0) = x0

Nhận xét: Định lí trên chỉ ra rằng nghiệm x(t) chỉ tồn tại và duy nhất trên |t

− t0| ≤ ε, ||x − x0|| ≤ η với ε, η đủ nhỏ Định lí sau đây sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệmtrên toàn đoạn [a, b]

Định lý 2.2 (Tính duy nhất nghiệm toàn cục)

Giả sử tồn tại miền [a, b] × H mà trên đó hàm f (t, x) liên tục theo t và thỏamãn điều kiện Lipschitz Khi đó, với mọi (t0, x0) ∈ [a, b] × H thì bài toánCauchy có nghiệm duy nhất x = x(t, t0, x0) xác định trên [a, b]

24

Định lý 2.3 (Sự kéo dài nghiệm trong không gian Hilbert)

Giả sử với ||x|| < ∞, t ≤ t0, hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||),

Lấy tích phân dọc đường cong x = x(t) từ điểm x0= x(t0) đến điểm x theo

chiều tăng của t ta được

L(||x||)dt

nghiệm có thể thác triển ra vô hạn

Sau đây, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm về tính ổn định nghiệm

của phương trình vi phân

2.1.2 Một số khái niệm ổn định nghiệm

Giả sử H là không gian Hilbert tách được và

D = {(t, x) ∈ (a, b) × H : |t − t0| ≤ T ; ||x − x0|| ≤ r}

Xét phương trình vi phân

dx

= f (t, x)dt

25

trong đó, t ∈ R+, x ∈ H, f : D → H là một hàm liên tục thỏa mãn f (t, 0) = 0 vàthỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là tồn tại L > 0 sao cho

∃L > 0, ∀(t, x1), (t, x2) ∈ D : ||f (t, x1) − f (t, x2)|| ≤ L||x1 − x2||

Kí hiệu G = {x : x ∈ H, ||x|| ≤ h ≤ r < ∞} ; x(t) = x(t, t0, x0) là nghiệm của (2.6) ;

x(t0) = x0, x0∈ G

Định nghĩa 2.2 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi

là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu ∀ε > 0, t0∈ R+∃δ = δ(t0, ε) > 0, ∀x0∈

G, ||x0|| ≤ δ → ||x(t, t0, x0)|| < ε, ∀t ≥ t 0

Định nghĩa 2.3 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi

là ổn định đều theo Lyapunov khi t → +∞ nếu

∀ε > 0, t0 ∈ R+, ∃δ = δ(ε) > 0 : ∀x0 ∈ G, ||x0|| ≤ δ → ||x(t, t0), x0|| < ε, ∀t ≥ t0

Định nghĩa 2.4 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi

là ổn định tiệm cận khi t → +∞ nếu:

(i) nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định

(ii) Tồn tại = Δ(t0) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ G và ||x0|| < thì

lim ||x(t, t0, x0)|| = 0t→∞

Định nghĩa 2.5 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi

là ổn định tiệm cận đều khi t → +∞ nếu:

(i) nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định

(ii) Tồn tại> 0 (không phụ thuộc vào t0) sao cho với mọi x0 ∈ G và

||x0|| < thì

lim ||x(t, t0, x0)|| = 0t→∞

Định nghĩa 2.6 Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi

là ổn định mũ khi t → +∞ nếu đối với mỗi nghiệm x(t) = x(t, t0, x0) của (2.6) ởtrong miền nào đó t0≤ t < ∞, ||x|| ≤ h < M thỏa mãn bất đẳng thức