Thuật toán tách cho bài toán cân bằng

MÐ †U Cho C l mët tªp hñp, f : C×C → R l mët h m thäa m¢n f(x, x) = 0. B i to¡n: t¼m x¯ ∈ C sao cho f(¯x, y) ≥ 0 vîi måi y ∈ C ÷ñc gåi l b i to¡n c¥n b¬ng, x¯ ÷ñc gåi l iºm c¥n b¬ng. B i to¡n n y âng vai trá quan trång c£ v· m°t l½ thuy¸t l¨n thüc t¸. Nâ bao gçm nhi·u b i to¡n trong lþ thuy¸t tèi ÷u nh÷ nhúng tr÷íng hñp °c bi»t. Vi»c ch¿ ra i·u ki»n º b i to¡n câ nghi»m v vi»c t¼m ra thuªt to¡n º t½nh nghi»m âng vai trá quan trång. Thuªt ngú c¥n b¬ng ¢ tø l¥u ÷ñc sû döng rëng r¢i trong c¡c ng nh khoa håc nh÷ vªt lþ, hâa håc, k¾ thuªt, kinh t¸. . . d÷îi c¡c h¼nh thùc kh¡c nhau, tòy thuëc v o c¡c mæ h¼nh to¡n håc kh¡c nhau. Trong thíi gian g¦n ¥y, b i to¡n c¥n b¬ng ¢ thu hót ÷ñc r§t nhi·u sü quan t¥m nghi¶n cùu cõa c¡c nh to¡n håc, c£ v· ph÷ìng di»n lþ thuy¸t l¨n thuªt to¡n. V· ph÷ìng di»n lþ thuy¸t, ¢ câ kh¡ nhi·u nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i nghi»m, t½nh ên ành, sü mð rëng cõa b i to¡n c¥n b¬ng. C¡c thuªt to¡n hi»n nay cì b£n düa tr¶n c¡c k¾ thuªt t¼m nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u nh÷ thuªt to¡n chi¸u, thuªt to¡n chi¸u t«ng c÷íng, ph÷ìng ph¡p h m ¡nh gi¡,. . . .Ph¦n lîn c¡c b i to¡n thuëc lîp c¡c b i to¡n ¤t khæng ch¿nh, muèn gi£i ÷ñc th¼ ta ph£i ÷a b i to¡n °t ch¿nh. Vi»c ¡p döng c¡c thuªt to¡n chi¸u, ho°c chi¸u t«ng c÷íng º gi£i mët b i to¡n c¥n b¬ng hi»u ch¿nh câ thº g°p khâ kh«n trong t½nh to¡n khi song h m hi»u ch¿nh câ c§u tróc phùc t¤p hìn so vîi tøng song h m f. Vi»c n y d¨n ¸n nhu c¦u gi£i b i to¡n c¥n b¬ng khi song h m c¥n b¬ng câ thº t¡ch th nh têng cõa hai hay nhi·u h m kh¡c v méi h m câ nhúng t½nh ch§t tèt hìn ho°c d¹ t½nh to¡n hìn. Möc ½ch cõa luªn v«n l tr¼nh b y mët thuªt to¡n t¡ch cho b i to¡n c¥n b¬ng. Luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y theo hai ch÷ìng:

TRẦN THỊ HỒNG NHUNG

THUẬT TOÁN TÁCH CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020

TRẦN THỊ HỒNG NHUNG

THUẬT TOÁN TÁCH CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Xuân Tấn

THÁI NGUYÊN - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kì công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020

Tác giả luận văn

Trần Thị Hồng Nhung

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tác giả xin được trân trọng bày tỏ lòng biết ơn chân thành và

sự kính trọng sâu sắc đến GS.TS Nguyễn Xuân Tấn, người thầy đã nghiêm túc hướng dẫn, tận tâm chỉ bảo cho tác giả những kinh nghiệm trong học tập, nghiên cứu khoa học và sáng tạo, định hướng đúng đắn để tác giả hoàn thành tốt luận văn

Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian học tập tại trường

Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán cùng các thầy

cô đã tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè và những người thân trong gia đình

đã ủng hộ, động viên, giúp đỡ và đồng hành cùng tác giả trong suốt thời gian học Cao học cũng như trong thời gian tác giả thực hiện luận văn này

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2020

Học viên

Trần Thị Hồng Nhung

1.2 Bài toán cân bằng giả đơn điệu 13

Chương 2 Bài toán cân bằng tách 29

2.3 Sự hội tụ của thuật toán 31

MÐ †U

Cho C l  mët tªp hñp, f : C×C → Rl  mët h m thäa m¢n f(x, x) = 0

B i to¡n: t¼m ¯x ∈ C sao cho f(¯x, y) ≥ 0 vîi måi y ∈ C ÷ñc gåi l  b i to¡nc¥n b¬ng, ¯x ÷ñc gåi l  iºm c¥n b¬ng B i to¡n n y âng vai trá quantrång c£ v· m°t l½ thuy¸t l¨n thüc t¸ Nâ bao gçm nhi·u b i to¡n trong

lþ thuy¸t tèi ÷u nh÷ nhúng tr÷íng hñp °c bi»t Vi»c ch¿ ra i·u ki»n º

b i to¡n câ nghi»m v  vi»c t¼m ra thuªt to¡n º t½nh nghi»m âng vai tráquan trång

Thuªt ngú c¥n b¬ng ¢ tø l¥u ÷ñc sû döng rëng r¢i trong c¡c ng nhkhoa håc nh÷ vªt lþ, hâa håc, k¾ thuªt, kinh t¸ d÷îi c¡c h¼nh thùc kh¡cnhau, tòy thuëc v o c¡c mæ h¼nh to¡n håc kh¡c nhau Trong thíi giang¦n ¥y, b i to¡n c¥n b¬ng ¢ thu hót ÷ñc r§t nhi·u sü quan t¥m nghi¶ncùu cõa c¡c nh  to¡n håc, c£ v· ph÷ìng di»n lþ thuy¸t l¨n thuªt to¡n V·ph÷ìng di»n lþ thuy¸t, ¢ câ kh¡ nhi·u nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i nghi»m,t½nh ên ành, sü mð rëng cõa b i to¡n c¥n b¬ng C¡c thuªt to¡n hi»n nay

cì b£n düa tr¶n c¡c k¾ thuªt t¼m nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u nh÷ thuªt to¡nchi¸u, thuªt to¡n chi¸u t«ng c÷íng, ph÷ìng ph¡p h m ¡nh gi¡, .Ph¦nlîn c¡c b i to¡n thuëc lîp c¡c b i to¡n ¤t khæng ch¿nh, muèn gi£i ÷ñcth¼ ta ph£i ÷a b i to¡n °t ch¿nh Vi»c ¡p döng c¡c thuªt to¡n chi¸u,ho°c chi¸u t«ng c÷íng º gi£i mët b i to¡n c¥n b¬ng hi»u ch¿nh câ thºg°p khâ kh«n trong t½nh to¡n khi song h m hi»u ch¿nh câ c§u tróc phùct¤p hìn so vîi tøng song h m f Vi»c n y d¨n ¸n nhu c¦u gi£i b i to¡nc¥n b¬ng khi song h m c¥n b¬ng câ thº t¡ch th nh têng cõa hai hay nhi·u

h m kh¡c v  méi h m câ nhúng t½nh ch§t tèt hìn ho°c d¹ t½nh to¡n hìn.Möc ½ch cõa luªn v«n l  tr¼nh b y mët thuªt to¡n t¡ch cho b i to¡n c¥nb¬ng

Luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y theo hai ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc cì b£n cõa gi£i t½ch lçi v  b i to¡n c¥nb¬ng gi£ ìn i»u m¤nh công nh÷ sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬nggi£ ìn i»u m¤nh

Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y thuªt to¡n t¡ch cho b i to¡n c¥n b¬ng

Th¡i Nguy¶n, ng y 15 th¡ng 6 n«m 2020

T¡c gi£

Tr¦n Thà Hçng Nhung

Ch֓ng 1

B i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u m¤nh

Trong ch÷ìng n y, tæi tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc cì b£n v· gi£i t½ch lçi v  mët

sè bê · c¦n thi¸t s³ ÷ñc sû döng trong chùng minh sü tçn t¤i nghi»mcông nh÷ sü hëi tö cõa nhúng thuªt to¡n gi£i b i to¡n c¥n b¬ng trong c¡cch÷ìng sau Nhúng k¸t qu£ trong luªn v«n cán câ thº óng cho c¡c khænggian têng qu¡t hìn nh÷ng º thuªn ti»n cho vi»c tr¼nh b y, ta ch¿ giîi h¤ntrong khæng gian Hilbert

1.1 C¡c ki¸n thùc cì sð v· gi£i t½ch lçi

1 Khæng gian Hilbert

Cho H l  khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n R T½ch væ h÷îng tr¶n H l  ¡nhx¤ h., i : H × H →R, (x, y) → hx, yi thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:

(a) hx, xi ≥ 0 vîi måi x ∈ H, hx, xi = 0 ⇔ x = 0

(b) hx, yi = hy, xi vîi måi x, y ∈ H

(c) Vîi x ∈ H cè ành th¼ h m hx, i : H →R l  tuy¸n t½nh

(d) Vîi y ∈ H cè ành th¼ h m h., yi : H → R l  tuy¸n t½nh

N¸u h., i l  mët t½ch væ h÷îng tr¶n H th¼ ¡nh x¤ x →p

hx, xi vîi x ∈ H l mët chu©n tr¶n H, k½ hi»u l  ||.|| v  ¡nh x¤ (x, y) → ||x − y|| vîi x, y ∈ H

l  kho£ng c¡ch tr¶n H, k½ hi»u l  d(x, y) Ta nâi c°p (H, h., i) l  khænggian Hilbert n¸u khæng gian ành chu©n t÷ìng ùng ¦y õ

2 Tªp lçi

Cho hai iºm a, b ∈ H Khi â

• ÷íng th¯ng i qua hai iºm a, b l  tªp hñp câ d¤ng:

dC(u) = inf {d(u, y) : y ∈ C} = inf {||u − y|| : y ∈ C}

N¸u câ iºm p ∈ C sao cho ||u − p|| = dC(u) th¼ p ÷ñc gåi l  mët h¼nhchi¸u cõa u tr¶n C N¸u måi iºm trong H ·u câ duy nh§t mët h¼nh chi¸utr¶n C th¼ C ÷ñc gåi l  tªp Chebyshev Trong tr÷íng hñp n y, quy t­cùng vîi méi iºm trong H mët h¼nh chi¸u duy nh§t cõa nâ tr¶n C cho tamët to¡n tû gåi l  to¡n tû chi¸u tr¶n C, ÷ñc k½ hi»u l  PC

Ta câ mët k¸t qu£ cì b£n quen thuëc cho h¼nh chi¸u cõa mët iºm tr¶nmët tªp lçi âng kh¡c réng sau.

ành lþ 1.1.1 Cho C l  mët tªp con lçi âng kh¡c réng cõa H Khi â

C l  mët tªp Chebyshev v  vîi måi u v  p trong H,

p = PC(u) ⇐⇒ p ∈ C v  (∀y ∈ C)hu − p, y − pi ≤ 0

ành ngh¾a 1.1.3 Cho C l  mët tªp con lçi âng kh¡c réng cõa H,

x ∈ H Nân ph¡p tuy¸n cõa C t¤i x, k½ hi»u l  NCx, ÷ñc x¡c ành bði

ành ngh¾a 1.1.4 Mët d¢y {xn} trong H ÷ñc gåi l 

(i) hëi tö m¤nh ¸n iºm x n¸u ||xn − x|| → 0 khi n → ∞, k½ hi»u l 

xn → x;

(ii) hëi tö y¸u ¸n iºm x n¸u vîi måi u ∈ H, hxn− x, ui → 0 khi n → ∞,k½ hi»u l  xn → x

Bê · 1.1.1 Cho {xn}n≥0 v  {un}n≥0 l  c¡c d¢y trong H, x v  u l  c¡c

iºm trong H Gi£ sû xn → x, un → ∞ Khi â hxn, uni → hx, ui khi

• ç thà cõa f l  tªp: graf = {(x, ξ) ∈ C ×R | f (x) = ξ}.

• Tr¶n ç thà cõa f l  tªp: epif = {(x, ξ) ∈ C ×R | f (x) ≤ ξ}

• Tªp d÷îi mùc cõa f t¤i ξ ∈ R l  tªp: lev≤ξf = {x ∈ C | f (x) ≤ ξ}

• H m f ÷ñc gåi l  ch½nh th÷íng n¸u −∞ /∈ f(C) v  domf 6= ∅

ành ngh¾a 1.1.6 Mët h m f : C → [−∞, +∞] ÷ñc gåi l  lçi tr¶n Cn¸u tr¶n ç thà cõa nâ l  mët tªp lçi H m f gåi l  lãm n¸u −f l  h m lçi.Trong tr÷íng hñp h m f ch½nh th÷íng th¼ f lçi tr¶n C n¸u v  ch¿ n¸uvîi måi x, y ∈ C, vîi måi λ ∈ [0, 1], ta câ

k=1

λkxk) ≤

nX

k=1

λkf (xk)

(B§t ¯ng thùc Jensen)

H m ch½nh th÷íng f ÷ñc gåi l  lçi m¤nh vîi h» sè τ > 0 tr¶n tªp lçi

C n¸u vîi måi x, y ∈ C v  vîi måi λ ∈ [0, 1], ta câ

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − τ (1 − τ )

2 ||x − y||2

H m f ÷ñc gåi l  tüa lçi n¸u vîi méi c°p x, y ∈ C v  vîi måi α ∈ [0, 1],

ta câ

f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y)},

v  ÷ñc gåi l  tüa lçi ch°t n¸u nâ l  tüa lçi v  vîi méi c°p x, y ∈ C saocho f(x) 6= f(y) v  vîi måi α ∈ (0, 1), ta câ

f (λx + (1 − λ)y) < max{f (x), f (y)}

Giîi h¤n d÷îi cõa d¢y {ak}k≥0 trong [−∞, +∞] l 

lim ak = lim

k→∞infn≥kan,

v  giîi h¤n tr¶n cõa d¢y {ak}k≥0 trong [−∞, +∞] l 

lim ak = lim

k→∞supn≥k

an

ành ngh¾a 1.1.7 Cho C l  mët tªp con cõa H Mët h m f : C →

R∪ {+∞} ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc d÷îi (nûa li¶n töc d÷îi y¸u) t¤i iºm

H m f ÷ñc gåi l  b¡n li¶n töc tr¶n ð tr¶n C n¸u vîi måi x, y ∈ C v 

α ∈ [0, 1], h m sè τ(α) = f [αx + (1 − α)y] l  nûa li¶n töc tr¶n t¤i 0+

Do â sau ¥y ta câ thº x²t vîi h m x¡c ành tr¶n to n khæng gian

ành ngh¾a 1.1.8 Cho f : H → R∪ +∞ l  h m ch½nh th÷íng, x ∈ domf

v  y ∈ H N¸u tçn t¤i giîi h¤n

limα↓0

f (x + αy) − f (x)

αth¼ giîi h¤n n y ÷ñc gåi l  ¤o h m cõa f t¤i x theo h÷îng y, k½ hi»u l 

f0(x; y)

N¸u h m f câ ¤o h m t¤i x theo måi h÷îng v  f0

(x; ) l  mët ¡nh x¤tuy¸n t½nh li¶n töc tr¶n H th¼ f ÷ñc gåi l  kh£ vi Gaateaux t¤i x v  theobiºu di¹n Riesz-Frechet, tçn t¤i duy nh§t mët v²c tì 5f(x) ∈ H sao cho

(∀y ∈ H)f0(x; y) = hy, 5f (x)i

N¸u câ

lim06=y→0

f (x + y) − f (x) − hy, 5f (x)i

th¼ ta nâi f l  kh£ vi Frechet t¤i x v  5f(x) ÷ñc gåi l  ¤o h m Frechetcõa f t¤i x

Mët h m câ thº khæng kh£ vi t¤i mët iºm, khi â trong nhi·u b i to¡n

ta câ thº sû döng kh¡i ni»m d÷îi vi ph¥n cõa h m t¤i mët iºm º nghi¶ncùu, ¡nh gi¡

ành ngh¾a 1.1.9 Cho f : H →R∪ {+∞} l  h m ch½nh th÷íng

(i) Mët vectì p ∈ H ÷ñc gåi l  d÷îi ¤o h m cõa f t¤i x ∈ H n¸u

f (x) + hp, y − xi ≤ f (y), ∀y ∈ H

Tªp t§t c£ c¡c d÷îi ¤o h m cõa f t¤i x ÷ñc gåi l  d÷îi vi ph¥n cõa

f t¤i x, k½ hi»u l  ∂f(x) H m f ÷ñc gåi l  kh£ vi d÷îi vi ph¥n t¤i

x n¸u ∂f(x) 6= ∅

(ii) Cho sè thüc d÷ìng , mët vectì p ∈ H ÷ñc gåi l  mët -d÷îi ¤o

h m cõa f t¤i iºm x ∈ H n¸u

f (x) + hp, y − xi −  ≤ f (y), ∀y ∈ H

Tªp t§t c£ c¡c -d÷îi ¤o h m cõa f t¤i x ÷ñc gåi l  -d÷îi vi ph¥ncõa f t¤i x, k½ hi»u l  ∂f (x)

H m ch¿ cõa tªp C, k½ hi»u l  ιC, ÷ñc x¡c ành bði

ιC(x) =

(

0 n¸u x ∈ C ,+∞ n¸u x /∈ C

N¸u C l  mët tªp con lçi kh¡c réng cõa H, th¼ ta câ ∂ιC(x) = NC(x).Ti¸p theo ¥y l  mët sè kh¡i ni»m v· ¡nh x¤ trong khæng gian Hilbert

ành ngh¾a 1.1.10 Cho C l  mët tªp con kh¡c réng cõa H v  ¡nh x¤

(ii) T ÷ñc gåi l  b¡n li¶n töc tr¶n C n¸u vîi x ∈ C, y ∈ H v  x+tny ∈ C, ð

â {tn}l  mët d¢y sè d÷ìng sao cho lim

hT y, x − yi ≥=⇒ hT x, x − yi ≥ 0;

(v) ìn i»u m¤nh ng÷ñc (çng bùc, khæng gi¢n vúng) vîi h» sè β > 0tr¶n C n¸u

hT x − T y, x − yi ≥ β||T x − T y||2 ∀x, y ∈ C

T÷ìng tü ta câ mët sè kh¡i ni¶m v· ¡nh x¤ a trà

Cho F : H → 2H l  mët ¡nh x¤ a trà Tªp x¡c ành cõa F , k½ hi»u l domF, ÷ñc x¡c ành bði

b∈B

infa∈A||a − b||

nh x¤ F ÷ñc gåi l  li¶n töc Lipschitz tr¶n C vîi h» sè L > 0 n¸u

dH(F (x), F (y)) ≤ L||x − y|| ∀x, y ∈ C

ành ngh¾a 1.1.12 Cho F l  mët ¡nh x¤ a trà, C ⊆ domF nh x¤ F

÷ñc gåi l 

(i) ìn i»u m¤nh tr¶n C vîi h» sè β > 0 n¸u

hy − y0, x − x0i ≥ β||y − x||2, ∀x, x0 ∈ C, ∀y ∈ F (x), ∀y0 ∈ F (x0);(ii) ìn i»u tr¶n C n¸u

hy − y0, x − x0i ≥ 0, ∀x, x0 ∈ C, ∀y ∈ F (x), ∀y0 ∈ F (x0);

(iii) ìn i»u cüc ¤i n¸u F ìn i»u v  vîi måi (x, u) ∈ H × H

(x, u) ∈ graF ⇔ ∀(y, v) ∈ graF : hx − y, u − vi ≥ 0

Ph¦n cuèi trong möc n y l  mët sè kh¡i ni»m cho song h m.

ành ngh¾a 1.1.13 Cho song h m f : H × H → R D÷îi vi ph¥n ÷íngch²o cõa f t¤i x ∈ H, k½ hi»u l  ∂2f (x, x) l  tªp:

∂2f (x, x) = {g ∈ H : f (x, x) + hg, y − xi ≤ f (x, y), ∀y ∈ H}

Cho  > 0, -d÷îi vi ph¥n ÷íng ch²o cõa f t¤i x ∈ H, k½ hi»u l 

∂2f (x, x) l  tªp:

∂2f (x, x) = {g ∈ H : f (x, x) + hg, y − xi −  ≤ f (x, x), ∀y ∈ H}.Ti¸p theo ta s³ x²t ¸n t½nh ch§t ìn i»u cõa song h m f

ành ngh¾a 1.1.14 câ c¡c mèi quan h» nh÷ sau:

• t½nh ìn i»u m¤nh k²o theo t½nh ìn i»u v  t½nh ìn i»u k²o theot½nh gi£ ìn i»u;

• t½nh ìn i»u m¤nh k²o theo t½nh gi£ ìn i»u m¤nh v  t½nh gi£ ìn

i»u m¤nh k²o theo t½nh gi£ ìn i»u

Tuy nhi¶n, t½nh gi£ ìn i»u khæng suy ng÷ñc ra ÷ñc t½nh ìn i»u haygi£ ìn i»u m¤nh, çng thíi ta công khæng câ k¸t luªn n o v· mèi quanh» giúa t½nh ìn i»u v  t½nh gi£ ìn i»u m¤nh C¡c v½ dö sau ch¿ ra i·u

f (x, y) := hAx, y − xi

D¹ th§y, f(x, y) + f(y, x) = 0, ∀x, y ∈ C n¶n f ìn i»u tr¶n C nh÷ngkhæng ìn i»u m¤nh tr¶n C v  do â khæng gi£ ìn i»u m¤nh tr¶n C.X²t song h m

º ch¿ ra f l  gi£ ìn i»u m¤nh tr¶n C, ta gi£ thi¸t r¬ng f(x, y) ≥ 0.Khi â, do h(x, y) ≤ 0, ta suy ra g(x, y) ≥ 0 Do t½nh ìn i»u m¤nh cõa

g, k²o theo g(y, x) ≤ −β||x − y||2 Tø â, theo ành ngh¾a cõa f(y, x) tacâ

f (y, x) = h(y, x) + (R − ||y||)g(y, x) ≤ −(R − r)β||y − x||2∀x, y ∈ C

Do â f l  gi£ ìn i»u m¤nh h» sè (R − r)β tr¶n C

Song h m f khæng ìn i»u tr¶n C v¼ tø gi£ thi¸t (ii) ta ÷ñc

f (0, y0) + f (y0, 0) = h(0, y0) + Rg(0, y0) + h(y0, 0) + (R − ||y0||)g(y0, 0) > 0.Mët v½ dö cö thº v· c¡c h m g v  h thäa m¢n c¡c i·u ki»n (i) v  (ii) l 

g(x, y) := hx, y − xi + m(||y||2 − ||x||2) vîi m > 0

v 

h(x, y) := (x − y)TA(y − x)vîi A : H → H l  mët to¡n tû tuy¸n t½nh thäa m¢n h(x, y) ≥ 0 vîi måi

1.2 B i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u

Trong möc n y, tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ s³ ÷ñc dòng trong chùngminh sü tçn t¤i nghi»m công nh÷ sü hëi tö cõa c¡c thuªt to¡n gi£i b ito¡n c¥n b¬ng ð nhúng ch÷ìng sau

1 B i to¡n tèi ÷u

Cho f : H → R∪ {+∞} l  h m ch½nh th÷íng, ¯x ∈ H Khi â ¯x ÷ñcgåi l  mët cüc iºm cüc trà cõa f n¸u f(¯x) ≤ f(x) vîi måi x ∈ H v  f(¯x)

÷ñc gåi l  gi¡ trà cüc tiºu cõa f, ta vi¸t f(¯x) = minHf Tªp c¡c iºm cüctiºu cõa f ÷ñc k½ hi»u l  argminf.

Cho C l  mët tªp con cõa H sao cho C ∩ domf 6= ∅ iºm ¯x ∈ C ÷ñcgåi l  mët iºm cüc tiºu cõa f tr¶n C n¸u f(¯x) ≤ f(x) vîi måi x ∈ C v 

f (¯x) ÷ñc gåi l  gi¡ trà cüc tiºu cõa f tr¶n C, ta vi¸t f(¯x) = minCf Tªpc¡c iºm cüc tiºu cõa f tr¶n C ÷ñc k½ hi»u l  argminCf

Chó þ r¬ng minCf = minH(f + ιC), ð â ιC l  h m ch¿ cõa tªp C

ành ngh¾a 1.2.1 Cho C ⊂ H l  mët tªp lçi âng, kh¡c réng, f :

C × C →R l  mët h m sè thäa m¢n f(x, x) = 0 B i to¡n: t¼m ¯x ∈ C saocho f(¯x, y) ≥ 0 vîi måi y ∈ C ÷ñc gåi l  b i to¡n c¥n b¬ng, ¯x ÷ñc gåi

l  iºm c¥n b¬ng

B i to¡n c¥n b¬ng câ þ ngh¾a quan trång trong kinh t¸ v  nhi·u l¾nhvüc kh¡c, nâ bao h m ÷ñc r§t nhi·u b i to¡n kh¡c: b i to¡n tèi ÷u, b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

ành ngh¾a 1.2.2 Cho C ⊂ H l  tªp lçi âng kh¡c réng v  f : C×C → R

x¡c ành tr¶n C Khi â, b i to¡n tèi ÷u ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: T¼m

X²t b i to¡n c¥n b¬ng

T¼m ¯x ∈ C : f(¯x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C (EP )

B i to¡n èi ng¨u cõa (EP) l  b i to¡n

T¼m ¯x ∈ C : f(y, ¯x) ≤, ∀y ∈ C (DEP )Tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng (EP) v  b i to¡n èi ng¨u cõa nâ(DEP) ÷ñc k½ hi»u l¦n l÷ñt l  (SEP) v  (SDEP) Ta câ mèi li¶n h» giúahai tªp nghi»m (SEP) v  (SDEP) nh÷ sau

Bê · 1.2.2 (a) N¸u f gi£ ìn i»u th¼ (SEP ) ⊆ (SDEP );

(b) N¸u f(., y) b¡n li¶n töc tr¶n v  f(x, ) l  tüa lçi ch°t vîi måi x, y ∈ Cth¼ (SDEP ) ⊆ (SEP )

Do â, n¸u song h m f l  gi£ ìn i»u tr¶n C v  f(., y) nûa li¶n töctr¶n ð tr¶n C th¼ ta câ (SEP ) = (SDEP )

Cho ¡nh x¤ T : H → H, tªp c¡c iºm b§t ëng cõa T , k½ hi»u l  F ixT ,

l  tªp:

F ixT = {x ∈ H : T x = x}

Bê · 1.2.3 Cho C l  mët tªp lçi âng kh¡c réng cõa H, T : C → H l mët ¡nh x¤ khæng gi¢n, {xk}k≥0 ⊂ C v  x l  mët ph¦n tû trong H Gi£ sûr¬ng xk * x v  xk− T (xk) → 0 Khi â x ∈ F ixT

Bê · 1.2.4 Cho C l  mët tªp lçi âng kh¡c réng trong H v  T : C → H

l  ¡nh x¤ khæng gi¢n Khi â F ixT l  tªp lçi âng

Bê · 1.2.5 Gi£ sû tªp iºm b§t ëng chung S cõa c¡c ¡nh x¤ khænggi¢n Tj, j = 1, , N khæng réng °t T (x) := PN

j=1µjTj(x) vîi 0 < µj <

1, j = 1, , N v  PN

j=1µj = 1 Khi â T l  ¡nh x¤ khæng gi¢n v  S tròngvîi tªp iºm b§t ëng cõa T

Chùng minh Tr÷îc h¸t, d¹ th§y T l  ¡nh x¤ khæng gi¢n v  S ⊆ F ix(T )

º chùng minh F ix(T ) ⊆ S, ta l§y x ∈ F ix(T ) v  ch¿ ra r¬ng x ∈ S Thªtvªy, l§y u ∈ S, ta câ:

||x − u||2 = ||

NX

j=1

µjTj(x) − u||2

= ||

NX

j=1

µj[Tj(x) − Tj(u)] ||2

=

NX

j=1

µj|| [x − u] ||2 − X

1≤j<k≤N

µjµk|| [j(x) − Tk(x)] ||2

µkTk(x) = T (x) = x, ∀j = 1, 2, , N

i·u â câ ngh¾a x ∈ F ix(Tj) ∀j = 1, 2, , N, tùc l  x ∈ S

Bê · 1.2.6 Gi£ sû {αk} l  d¢y sè khæng ¥m thäa m¢n

αk+1 ≤ αk + σk n = 0, 1, 2, ,

ð â d¢y {σk} thäa m¢n P∞

k=1|σk| < ∞ Khi â d¢y {αk} câ giîi h¤n

Bê · 1.2.7 Gi£ sû {αk} l  d¢y sè khæng ¥m thäa m¢n

P n i=1 ri Gi£ sû tçn t¤i mët tªp lçi âng kh¡c réng S ⊂ Hthäa m¢n:

(i) Vîi måi u ∈ S, lim

n→∞||xn − u|| tçn t¤i;

(ii) Måi iºm tö y¸u cõa d¢y {¯xn} ·u thuëc v o S

Khi â {¯xn} hëi tö y¸u ¸n mët ph¦n tû ¯x ∈ S

Ti¸p theo, ta ch¿ ra vîi mët sè i·u ki»n, b i to¡n c¥n b¬ng luæn cânghi»m n¸u song h m c¥n b¬ng l  gi£ ìn i»u m¤nh v  nghi»m â l  duynh§t.

2 B i to¡n c¥n b¬ng gi£ ìn i»u m¤nh

B i to¡n c¥n b¬ng ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: Cho C l  mët tªp hñp,

f : C × C →R l  mët h m sè thäa m¢n f(x, x) = 0, vîi måi x ∈ C, khi â

f l  song h m c¥n b¬ng T¼m ¯x ∈ C sao cho f(¯x, y) ≥ 0, vîi måi y ∈ C

ành ngh¾a 1.2.3 Gi£ sû f : C × C →R∪ {+∞} l  song h m c¥n b¬ng.Khi â h m f ÷ñc gåi l :

(i) ìn i»u m¤nh tr¶n C vîi h» sè λ > 0, n¸u:

Tø ành ngh¾a tr¶n ta câ ìn i»u m¤nh th¼ ìn i»u v  gi£ ìn i»u,

ìn i»u th¼ gi£ ìn i»u Sau ¥y ta s³ ch¿ ra r¬ng b i to¡n c¥n b¬ng gi£