Về số đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn

Mët trong nhúng v§n · ÷ñc nghi¶n cùu trong lþ thuy¸t sè â l sü ph¥n bè c¡c sè nguy¶n tè. Ng÷íi ta nhªn th§y r¬ng c¡c sè nguy¶n tè nhä n¬m t÷ìng èi g¦n nhau, trong khi c¡c sè nguy¶n tè c ng lîn th¼ c ng câ xu h÷îng c¡ch xa nhau hìn. Ta °t c¥u häi v· sü li¶n quan giúa mªt ë cõa c¡c sè nguy¶n tè vîi ë lîn cõa chóng. B¬ng c¡ch lªp b£ng sè nguy¶n tè v nghi¶n cùu mªt ë, Gauss th§y r¬ng “xung quanh x mªt ë cõa c¡c sè nguy¶n tè l x§p x¿ 1 log(x) ” theo 9. Ph¡t hi»n n y l ch¼a khâa º h¼nh th nh ành lþ sè nguy¶n tè. º chùng minh ph¡t hi»n n y, Gauss ¢ nghi¶n cùu h m ¸m sè nguy¶n tè: Gåi x l sè thüc d÷ìng, π(x) biºu thà sè c¡c sè nguy¶n tè nhä hìn ho°c b¬ng x. Tùc l ta câ π(x) = P p≤x 1. V¼ ng÷íi ta ¢ dü o¡n v· mªt ë c¡c sè nguy¶n tè quanh x l 1 log(x) , n¶n hå công dü o¡n r¬ng π(x) x§p x¿ vîi mët têng logarit ho°c mët t½ch ph¥n logarit. Chóng t÷ìng ùng ÷ñc cho bði: ls(x) := X 2≤n≤x 1 log(n) , li(x) := Z x 2 dt log(t) . Ta nâi hai h m f v g l hai h m t÷ìng ÷ìng n¸u th÷ìng sè cõa chóng f(x) g(x) ti¸n tîi 1 khi x ti¸n tîi væ còng. Ta sû döng kþ hi»u f(x) ∼ g(x) khi x → ∞. Vîi méi x ≥ 2, hi»u sè giúa ls(x) v li(x) bà ch°n bði 1 log(2) theo H» qu£ 1.5.1 trong 4. Do â, hai h m têng logarit v t½ch ph¥n logarit l t÷ìng ÷ìng. Hai h m n y công t÷ìng ÷ìng vîi x log(x) (H» qu£ 1.5.3 trong 4). ành lþ sè nguy¶n tè ÷ñc c£ Gauss (1792) v Legendre (1798) n¶u ra

Möc löc

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 4

1.1 Mët sè kh¡i ni»m 4

1.2 Tr÷íng húu h¤n 5

1.3 H m Mobius 7

Ch÷ìng 2 Sü t÷ìng tü giúa Fq[T ] v  Z 10 2.1 Mët sè t½nh ch§t chung cõa Fq[T ] v  Z 10

2.2 C¡c t½nh ch§t t÷ìng çng 12

Ch÷ìng 3 ¸m sè a thùc b§t kh£ quy 14 3.1 Sè a thùc b§t kh£ quy monic bªc n tr¶n Fq 14

3.2 Sè c¡c a thùc b§t kh£ quy vîi bªc ≤ n 18

3.3 T½nh li¶n töc 25

3.4 i·u ch¿nh h m ¸m 28

T i li»u tham kh£o 35

Líi c£m ìn

Luªn v«n n y ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc  ¤i håcTh¡i Nguy¶n v  ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Ngæ Thà Ngoan.T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c tîi ng÷íi h÷îngd¨n khoa håc cõa m¼nh, ng÷íi ¢ °t v§n · nghi¶n cùu, d nh thíi gianh÷îng d¨n v  tªn t¼nh gi£i ¡p nhúng th­c m­c cõa t¡c gi£ trong suèt qu¡tr¼nh l m luªn v«n

T¡c gi£ công ¢ håc tªp ÷ñc r§t nhi·u ki¸n thùc chuy¶n ng nh bê ½chcho cæng t¡c v  nghi¶n cùu cõa b£n th¥n T¡c gi£ xin b y tä láng c£m

ìn s¥u s­c tîi c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o ¢ tham gia gi£ng d¤y lîp Cao håcTo¡n K12A7; Nh  tr÷íng v  c¡c pháng chùc n«ng cõa Tr÷íng; Khoa To¡n

 Tin, tr÷íng ¤i håc Khoa håc  ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ quan t¥m v gióp ï t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp t¤i tr÷íng

T¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn s¥u s­c tîi Trung t¥m Nghi¶n cùu v Ph¡t triºn gi¡o döc H£i Pháng ¢ gióp ï, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñigióp tæi câ thº ho n th nh luªn v«n n y

T¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn tîi tªp thº lîp Cao håc To¡n K12A7

¢ luæn ëng vi¶n v  gióp ï t¡c gi£ r§t nhi·u trong qu¡ tr¼nh håc tªp v 

Mð ¦u

Mët trong nhúng v§n · ÷ñc nghi¶n cùu trong lþ thuy¸t sè â l  süph¥n bè c¡c sè nguy¶n tè Ng÷íi ta nhªn th§y r¬ng c¡c sè nguy¶n tè nhän¬m t÷ìng èi g¦n nhau, trong khi c¡c sè nguy¶n tè c ng lîn th¼ c ng câ

xu h÷îng c¡ch xa nhau hìn Ta °t c¥u häi v· sü li¶n quan giúa mªt ëcõa c¡c sè nguy¶n tè vîi ë lîn cõa chóng B¬ng c¡ch lªp b£ng sè nguy¶n

tè v  nghi¶n cùu mªt ë, Gauss th§y r¬ng “xung quanh x mªt ë cõa c¡c

g(x) ti¸n tîi 1 khi x ti¸n tîi væ còng Ta sû döng kþ hi»u f (x) ∼ g(x) khi

x → ∞ Vîi méi x ≥ 2, hi»u sè giúa ls(x) v  li(x) bà ch°n bði 1

log(2) theoH» qu£ 1.5.1 trong [4] Do â, hai h m têng logarit v  t½ch ph¥n logarit

l  t÷ìng ÷ìng Hai h m n y công t÷ìng ÷ìng vîi x

log(x) (H» qu£ 1.5.3trong [4])

ành lþ sè nguy¶n tè ÷ñc c£ Gauss (1792) v  Legendre (1798) n¶u ra

gi£ thuy¸t r¬ng h m ¸m sè nguy¶n tè π(x) t÷ìng ÷ìng vîi c¡c h m n y.

Nâ ÷ñc tr¼nh b y d÷îi d¤ng

π(x) ∼ x

Mët tr«m n«m sau v o n«m 1896 ành lþ n y ÷ñc chùng minh bði c£Hadamard v  La Vall²e Muffsin mët c¡ch ëc lªp C£ hai chùng minhcõa hå ·u düa tr¶n h m zeta Riemann, mët mð rëng gi£i t½ch cõa têng

lþ sè nguy¶n tè

C¡c gi¡ trà x§p x¿ cõa ls(x) v  li(x) tèt hìn x

log(x) do â chóng th÷íng

÷ñc ÷u ti¶n hìn khi nghi¶n cùu c¡c ph¦n sai sè èi vîi c¡c ph¦n sai sè,

ta sû döng kþ hi»u O: Vîi hai h m f v  g b§t ký, ta câ f (x) = O(g(x))

n¸u tçn t¤i h¬ng sè C sao cho vîi x õ lîn, gi¡ trà tuy»t èi cõa f (x) bàch°n bði Cg(x)

V¼ ls(x) v  li(x) ch¿ kh¡c nhau mët sè bà ch°n, n¶n ph¦n sai sè công

óng vîi ls(x) B¬ng c¡ch sû döng h m ζ khæng câ nghi»m tr¶n ÷íngth¯ng Re(s) = 1, theo ành lþ 5.1.8 trong [4] ¢ chùng minh ÷ñc tçn t¤ih¬ng sè c sao cho:

Θ = supζ(s)=0 Re(s) l  cªn tr¶n óng cõa c¡c ph¦n thüc c¡c nghi»m cõa

ζ Khi â theo [5] ta câ:

π(x) = li(x) + O xΘlog(x)
(3)Riemann ¢ cho r¬ng t§t c£ c¡c nghi»m khæng t¦m th÷íng cõaζ n¬m tr¶n

Trong luªn v«n n y, ta s³ t¼m hiºu v· mët sü t÷ìng tü ành lþ sè nguy¶n

tè nh÷ng ÷ñc ph¡t biºu trong v nh Fq[T ] l  v nh c¡c a thùc mët bi¸n

T vîi c¡c h» sè thuëc tr÷íng húu h¤n Fq Ta s³ nghi¶n cùu c¡c h m t÷ìng

÷ìng vîi h m ¸m sè c¡c a thùc b§t kh£ quy v  câ sü so s¡nh c¡c k¸tqu£ n y vîi h m ¸m sè nguy¶n tè π(x) Mët trong nhúng lñi th¸ khi l mvi»c vîi Fq[T ] l  cæng thùc cõa Gauss, mët cæng thùc trüc ti¸p v· sè l÷ñng

a thùc monic b§t kh£ quy bªc n ¥y l  mët cæng cö r§t m¤nh º nghi¶ncùu c¡c h m t÷ìng ÷ìng h m ¸m

Luªn v«n ÷ñc chia th nh ba ch÷ìng Ch÷ìng 1 bao gçm mët sè ki¸nthùc chu©n bà v· tr÷íng húu h¤n v  ành lþ nghàch £o Mobius Nhúngki¸n thùc n y phöc vö cho vi»c tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«ntrong nhúng ch÷ìng sau Ch÷ìng 2 n¶u l¶n nhúng t½nh ch§t cì b£n, chóngcho ta th§y sü t÷ìng tü giúa hai mi·n nguy¶n Z v  Fq[T ] Ch÷ìng 3 tr¼nh

b y v· h m ¸m sè a thùc b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng húu h¤n q ph¦n tû,

çng thíi công cho ta th§y sü t÷ìng tü vîi ành lþ v· h m ¸m sè nguy¶n

tè trong v nh c¡c sè nguy¶n

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

Trong ph¦n n y, ta s³ tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· c¡c tr÷íng húu h¤n

v  kh¡i ni»m h m Mobius Nhúng k¸t qu£ n y s³ ÷ñc sû döng º chùngminh cæng thùc cõa Gauss v· sè a thùc b§t kh£ quy ành chu©n bªc n v 

÷ñc sû döng trong c¡c ch÷ìng sau cõa luªn v«n

1.1 Mët sè kh¡i ni»m

Ta nh­c l¤i, mët tr÷íng F l  mët v nh giao ho¡n kh¡c khæng v  måiph¦n tû kh¡c khæng ·u kh£ nghàch Mët tr÷íng câ húu h¤n ph¦n tû ÷ñcgåi l  mët tr÷íng húu h¤n

ành ngh¾a 1.1.1 Tr÷íng F ÷ñc gåi l  mët tr÷íng nguy¶n tè n¸u nâkhæng câ tr÷íng con n o ngo i b£n th¥n nâ

Nhªn x²t 1.1.2

(i) Cho F l  tr÷íng nguy¶n tè Khi â ch¿ câ thº x£y ra mët trong haitr÷íng hñp: n¸u F câ °c sè 0 th¼ F ∼= Q; n¸u F câ °c sè p th¼ F ∼= Zp

Tr÷íng hñp F ∼= Zp ta th÷íng k½ hi»u Fp thay cho F

(ii) Cho E l  mët tr÷íng tòy þ, khi â n¸u gåi F l  giao cõa måi tr÷íngcon cõa E th¼ F công l  mët tr÷íng con cõa E, rã r ng F l  tr÷íng connhä nh§t cõa E, do â F l  tr÷íng nguy¶n tè Trong tr÷íng hñp n y, tanâi F l  tr÷íng con nguy¶n tè cõa E Nh÷ vªy, måi tr÷íng ·u chùa mëttr÷íng con nguy¶n tè

1.2 Tr÷íng húu h¤n

Gi£ sû p l  sè nguy¶n tè, v nh Z/pZ l  mët tr÷íng câ óng p ph¦n tû

¥y l  tr÷íng húu h¤n duy nh§t (sai kh¡c ¯ng c§u) câ óng p ph¦n tû.N¸uL l  mët tr÷íng vîip ph¦n tû, gåi p0 l  °c sè cõa L Khi â Z/p0Z l 

¯ng c§u cõa mët tr÷íng con cõa L, n¶n p0 chia h¸t p i·u n y ch¿ óngn¸u p0 = p do â L ∼= Z/pZ Ta kþ hi»u Fp := Z/pZ.

Têng qu¡t hìn, n¸u q l  lôy thøa cõa mët nguy¶n tè, th¼ tçn t¤i mëttr÷íng duy nh§t vîi q ph¦n tû, kþ hi»u Fq

Bê · 1.2.1 (C§u tróc tr÷íng húu h¤n)

(i) Cho F l  tr÷íng húu h¤n câ q ph¦n tû Khi â tçn t¤i sè nguy¶n tè p

sao cho q = pn vîi sè tü nhi¶n n n o â

(ii) Vîi méi sè nguy¶n tè p v  sè tü nhi¶n n 6= 0, tçn t¤i duy nh§t mëttr÷íng húu h¤n câ pn ph¦n tû (sai kh¡c mët ¯ng c§u tr÷íng)

Chùng minh

(i)Gåi pl  °c sè cõa tr÷íngF, khi â pl  sè nguy¶n tè Gåi Fp l  tr÷íngcon nguy¶n tè cõa F, khi â Fp ∼=

Zp Ta bi¸t r¬ng F l  Fp−khæng gianvectì húu h¤n chi·u Gi£ sû dimFp(F ) = n < ∞, khi â F câ mët cì

sð l  {e1, , en} v  v¼ th¸ méi ph¦n tû cõa F câ d¤ng x =

â ch½nh l  tªp hñp c¡c nghi»m cõaf (x) Khi â K l  mët tr÷íng con cõa

E Thªt vªy, vîi måi α, β ∈ K ta câ

(α − β)q = αq− βq = α − β, (αβ)q = αqβq = αβ

Do â α − β, αβ ∈ K N¸u α ∈ K∗ th¼ (α−1)q = (aq)−1 = α−1 suy ra

α−1 ∈ K Ngo i ra, rã r ng 1q = 1 n¶n 1 ∈ K Cuèi còng, ta th§y r¬ngmåi a ∈ Fp ·u thäa m¢n ap = a do â aq = apn = a chùng tä Fp ⊆ K

Nh÷ vªyK ch½nh l  tr÷íng ph¥n r¢ cõaf (x) tr¶n Fp, tr÷íng n y câ q = pn

ph¦n tû (l÷u þ r¬ng a thùc f (x) khæng câ nghi»m bëi)

T½nh duy nh§t cõa tr÷íng câ q = pn ph¦n tû Gi£ sû Fq l  tr÷íng câ

q = pn ph¦n tû Khi â Fq câ °c sè l  p (gi£ sû p1 l  °c sè cõa Fq th¼theo (i) suy ra q = pn10; do â pn = pn10 v¼ th¸ p = p1) V¼ F∗

q = Fq \ {0}

l  nhâm vîi ph²p nh¥n n¶n αq−1 = 1 vîi måi α ∈ F∗q; do â αq = α vîimåi α ∈ Fq Chùng tä måi ph¦n tû cõa Fq ·u l  nghi»m cõa a thùc

f (x) = xq − x ∈ Fp[x] vîi Fp l  tr÷íng nguy¶n tè cõa Fq Suy ra tr÷íng

Fq ch½nh l  tr÷íng ph¥n r¢ cõaf (x) tr¶n Fp i·u â kh¯ng ành t½nh duynh§t cõa Fq sai kh¡c mët ¯ng c§u tr÷íng

Ta nh­c l¤i, mët mð rëng tr÷íng E/F (F ⊂ E) l  mët mð rëng Galoisn¸u nâ l  mð rëng chu©n t­c v  t¡ch ÷ñc (Ch÷ìng 2 t i li»u [1]) Ta câk¸t qu£ sau:

Bê · 1.2.2 Cho E/F l  mët mð rëng húu h¤n khi â c¡c kh¯ng ànhsau t÷ìng ÷ìng:

(i) E/F l  mð rëng Galois;

(ii) N¸u p(x) ∈ F (x) l  a thùc b§t kh£ quy tr¶n F câ mët nghi»m trong

E th¼ nâ t¡ch ÷ñc v  câ måi nghi»m trong E (tùc l  p(x) t¡ch ÷ñc

v  ph¥n r¢ tr¶n E);

(iii) E l  tr÷íng ph¥n r¢ cõa mët a thùc t¡ch ÷ñc f (x) ∈ F [x]

ành lþ 1.2.3 Cho q l  lôy thøa cõa mët sè nguy¶n tè v a, b l  sè nguy¶nd÷ìng N¸u a l  ÷îc cõa b, th¼ Fq a l  tr÷íng con cõa Fq b Hìn núa, mðrëng tr÷íng Fq b/Fqa l  mð rëng Galois Måi a thùc b§t kh£ quy tr¶n Fq a

·u t¡ch ÷ñc v  n¸u nâ câ nghi»m trong Fq b th¼ måi nghi»m cõa nâ ·uthuëc Fq b

Chùng minh Gi£ sû a, b l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng sao choa l  ÷îc cõa b pdöng lªp luªn nh÷ trong chùng minh cõa Bê · 1.2.1, tr÷íng ph¥n r¢ cõa

P (T ) = Tqb − T tr¶n Fq a câ óng qb ph¦n tû v  ¯ng c§u vîi Fq b Tr÷íngph¥n r¢ n y công chùa Fq a, v  do â Fq a l  mët tr÷íng con cõa Fq b Hìnnúa, v¼ P (T ) l  a thùc t¡ch ÷ñc, Fq b l  tr÷íng ph¥n r¢ cõa P (T ) tr¶n

tr÷íng Fq a, n¶n mð rëng tr÷íng Fq b/Fqa l  mð ræng Galois Do â, ¡p döng

Bê · 1.2.2 Ta câ måi a thùc b§t kh£ quy tr¶n Fq a ·u t¡ch ÷ñc v  n¸u

nâ câ mët nghi»m trong Fq b th¼ ph¥n r¢ ho n to n tùc l  câ måi nghi»mtrong Fq b

1.3 H m Mobius

H m sè håc l  mët h m x¡c ành tr¶n tªp sè nguy¶n d÷ìng v  nhªn gi¡trà trong tªp sè phùc C : f : Z>0 → C Ð ¥y ta c¦n sû döng ¸n mët

h m quan trång â l  h m Mobius µ

ành ngh¾a 1.3.1 H m Mobius µ l  mët h m sè håc ÷ñc x¡c ành bðicæng thùc

(−1)k n¸u n l  t½ch cõa k sè nguy¶n tè kh¡c nhau,

0 n¸u n chia h¸t cho b¼nh ph÷ìng cõa mët sè nguy¶n tè

Chó þ 1.3.2 (i) H m Mobius µ cán câ c¡ch biºu di¹n kh¡c nh÷ sau: Cho

ta câ i·u ph£i chùng minh.

ành lþ 1.3.4 (Nghàch £o Mobius) èi vîi t§t c£ c¡c h m sè håc f, g :

µ(e)f

 nde



k|n

f nk



I(k) = f (n)

Ta câ ành lþ sau li¶n quan ¸n têng cõa c¡c h¤ng tû µ(n)/n

ành lþ 1.3.5 Vîi måi x ≥ 1, ta câ

X

n≤x

µ(n)n

P

n≤x

µ(n)n

≤ 1

ký a, b ∈ Z vîi b 6= 0, tçn t¤i duy nh§t k, r ∈Z sao cho a = kb + r, trong

â 0 ≤ r < |b| T÷ìng tü, ta công câ ph²p chia Euclide trong Fq[T ] Vîi

a thùc f ∈ Fq[T ] ta ành ngh¾a chu©n cõa f vîi |f | = qdeg(f) n¸u f = 0

ta quy ÷îc |f | = 0) Ta câ:

ành lþ 2.1.1 (Ph²p chia Euclide) Cho hai a thùc f, g ∈ Fq[T ] vîi

g 6= 0, tçn t¤i duy nh§t c°p a thùc k, r ∈ Fq[T ] sao cho

f = kg + r v  |r| < |g|

ành lþ ÷ñc chùng minh b¬ng c¡ch düa v o t½nh ch§t måi ph¦n tû kh¡c

0 cõa Fq ·u câ nghàch £o °t d = deg(g), khi â, b§t ký sè h¤ng fnTn

vîi n ≥ d câ thº ÷ñc lo¤i bä b¬ng ph²p trø f (T ) − fn

gdTn−dg(T ), ch¿ ºl¤i c¡c h¤ng tû câ bªc nhä hìn d

V¼ c£ Z v  Fq[T ] l  c¡c mi·n Euclide (tùc câ ph²p chia Euclide), n¶nchóng ·u l  mi·n ideal ch½nh v  mi·n nh¥n tû hâa

Sè nguy¶n tè v  a thùc monic b§t kh£ quy

N¸u trong v nh Z câ kh¡i ni»m sè nguy¶n tè th¼ t÷ìng tü trong v nh

Fq[T ] câ kh¡i ni»m a thùc b§t kh£ quy Trong mët mi·n nguy¶n D tòy

þ, mët ph¦n tû p ∈ D, p 6= 0, p khæng kh£ nghàch ÷ñc gåi l  ph¦n tû b§tkh£ quy n¸u p = ab, (a, b ∈ D) th¼ a ho°c b kh£ nghàch Vîi a, b ∈ D n¸utçn t¤i ph¦n tû kh£ nghàch u ∈ D sao cho a = bu th¼ ta nâi r¬ng a, b li¶nhñp Khi â n¸u p b§t kh£ quy th¼ måi ph¦n tû li¶n hñp vîi p công b§tkh£ quy

Nhªn x²t 2.1.2 (i) Nhâm nh¥n trong v nh Z l  Z∗ = {−1; 1} (nâi c¡chkh¡c, tªp c¡c ph¦n tû kh£ nghàch trong Z l  {1; −1}), do â ph¦n tû

p = ab, (p ∈ Z) l  b§t kh£ quy n¸u a ho°c b b¬ng ±1 N¸u a = ±1, th¼

b = ±p Do â, p ch¿ câ c¡c ÷îc l  ±1, ±p N¸u ta x²t p d÷ìng, th¼ ¥y

l  ành ngh¾a sè nguy¶n tè Do â, c¡c sè nguy¶n tè trong Z l  sè nguy¶nd÷ìng v  b§t kh£ quy Hìn núa, mët sè nguy¶n ¥m l  b§t kh£ quy khi v ch¿ khi sè èi cõa nâ l  b§t kh£ quy V¼ vªy, chóng ta ch¿ ph£i nghi¶n cùuc¡c sè nguy¶n tè º nghi¶n cùu t½nh b§t kh£ quy cõa t§t c£ c¡c sè nguy¶n.(ii) Nhâm nh¥n trong Fq[T ] l  F∗

q = Fq \ {0}, (v¼ n¸u f g = 1 th¼deg(f ) = deg(g) = 0 n¶n f, g ∈ F∗q) Vîi mët a thùc ¢ cho f ∈ Fq[T ]

tªp hñp c¡c li¶n hñp cõa f l  {af : a ∈ F∗

q} Cho an l  mët h» sè ¦ucõa f th¼ a−1n f l  li¶n hñp cõa f l  monic, tùc l  nâ câ h» sè ¦u b¬ng 1.Vªy måi a thùc ·u ch¿ câ duy nh§t mët li¶n hñp l  monic Do â, côngnh÷ vi»c ch¿ x²t c¡c sè nguy¶n tè, chóng ta ch¿ c¦n nghi¶n cùu c¡c a thùcmonic º nghi¶n cùu t½nh b§t kh£ quy cõa t§t c£ c¡c a thùc

Vîi méi sè n > 0 câ húu h¤n sè nguy¶n a ∈ Z sao cho |a| ≤ n Ngo i ravîi méi a ∈Z ta câ |Z/(a)| = |a| T÷ìng tü vîi måi sè n > 0 câ húu h¤n

a thùcf ∈ Fq[T ]sao cho |f | ≤ n, cö thº â l  to n bë a thùc câ bªc nhähìn ho°c b¬ng logq(n) Ngo i ra, måi c¡c lîp th°ng d÷ trong Fq[T ]/(f )

t÷ìng ùng vîi mët ¤i di»n duy nh§t g trong â deg(g) < deg(f ) V¼ vªy

|Fq[T ]/(f )| = |{g ∈ Fq[T ] : deg(g) <deg(f )}| = qdeg(f) = |f |

|a|, gi¡ trà tuy»t èi |f | = q deg(f)

B£ng 2.1: Mèi quan h» giúa Z v  F q [T ]

ành lþ 2.2.1 Cho p ∈ Z l  sè nguy¶n tè Khi â vîi méi sè nguy¶n

a ∈ Z, ta câ

ap ≡ a(modp) (2.1)Chùng minh N¸u p|a th¼ ành lþ luæn óng L÷u þ r¬ng p = |Z/pZ| V¼

p l  sè nguy¶n tè, Z/pZ l  mët tr÷íng Khi â |(Z/pZ)∗| = p − 1 N¸u

a ∈ Z m  p -a suy ra (a, p) = 1, khi â

a ∈ (Z/pZ)∗ suy ra (a)p−1 = 1

hay ap−1 = 1 ⇔ ap−1 ≡ 1( modp), v  do â ap ≡ a(modp)

Vîi mët sè i·u ch¿nh nhä, chùng minh n y câ thº ¡p döng º chùngminh ành lþ t÷ìng tü trong Fq[T ]:

ành lþ 2.2.2 Cho q l  lôy thøa cõa mët sè nguy¶n tè v  P ∈ Fq[T ] l mët a thùc b§t kh£ quy Vîi måi a thùc f ∈ Fq[T ], ta câ

v  do â f|P | ≡ f (mod P )

Mët v½ dö thó và l  ành lþ cuèi cõa Fermat, ta câ ành lþ sau t÷ìng tütrong Fq[T ]:

ành lþ 2.2.3 Cho q l  lôy thøa cõa sè nguy¶n tè p N¸u n ≥ 3 v  p- n,th¼ khæng tçn t¤i ba a thùc X, Y, Z ∈Fq[T ] nguy¶n tè còng nhau æi mëtsao cho XY Z 6= 0 v  X0, Y0, Z0 khæng çng thíi b¬ng khæng thäa m¢n

max(deg(A), deg(B), deg(C)) ≥ deg(rad(ABC))

th¼ A0 = B0 = C0 = 0 (Trong â vîi a thùc f ∈ K[T ] ta k½ hi»u rad(f )

l  t½ch cõa c¡c ÷îc b§t kh£ quy ph¥n bi»t cõa f ∈ K[T ])

Chùng minh ành lþ 2.2.3 Gi£ sû tçn t¤i ba a thùc X, Y, Z nguy¶n tècòng nhau æi mæt thäa m¢n Xn + Yn = Zn vîi n ≥ 1, v  p - n Khi â

Xn+ Yn− Zn = 0 v  (Xn)0, (Yn)0, (Zn)0 khæng çng thíi b¬ng khæng Tø

ành lþ Mason ta câ:

nmax(deg(X),deg(Y ),deg(Z)) < deg(rad((XY Z)n))

⇔ max(deg Xn, deg Yn, deg Zn) < deg(rad((XY Z)n))

= deg(rad(XY Z))

≤ deg(XY Z)

≤ 3max(deg(X),deg(Y ),deg(Z))

hay n < 3 Vªy n¸u n ≥ 3v  p - n, th¼ khæng tçn t¤i ba a thùc X, Y, Z ∈

Fq[T ] sao cho XY Z 6= 0 v  X0, Y0, Z0 khæng çng thíi b¬ng khæng thäam¢n Xn+ Yn = Zn

π(q; n) = #{f ∈Fq[T ] : f monic, b§t kh£ quy v  deg(f ) = n}.

Gauss ¢ t¼m ra cæng thùc º t½nh π(q; n) cán gåi l  cæng thùc Gauss m 

ta s³ tr¼nh b y sau ¥y, tr÷îc h¸t ta c¦n bê · sau:

Bê · 3.1.1 Gåi q = pk l  lôy thøa cõa mët sè nguy¶n tè pv  cho n ≥ 1.Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành:

(i) Måi a ∈ Fqn tçn t¤i duy nh§t mët a thùc monic b§t kh£ quy f ∈ Fq[T ]

sao cho a l  mët nghi»m cõa f v  deg(f ) l  ÷îc cõa n

(ii) Méi a thùc monic b§t kh£ quy f ∈ Fq[T ] vîi bªc l  ÷îc cõa n câ måinghi»m ·u thuëc Fq n v  l  a thùc t¡ch ÷ñc

Chùng minh Cho a ∈ Fqn, v¼ Fq n l  mët mð rëng húu h¤n cõa Fq, n¶n a l 

¤i sè tr¶n Fq Gåi f ∈ Fq[T ] l  a thùc cüc tiºu cõa a Khi âf l  a thùcduy nh§t b§t kh£ quy, monic nhªn a l  nghi»m Hìn núa Fq(a) l  tr÷íngtrung gian giúa Fq n v  Fq n¶n [Fqn : Fq(a)].[Fq(a) : Fq]= [Fqn : Fq] = n Do

â deg(f ) = [Fq(a) : Fq] l  ÷îc cõa [Fqn : Fq] = n

Ng÷ñc l¤i, cho f ∈ Fq[T ] l  mët a thùc monic b§t kh£ quy câ bªc l 

÷îc cõa n Khi â, ta câ |Fq[T ]/(f )| = deg(f ) V¼ c¡c tr÷íng húu h¤n l duy nh§t sai kh¡c ¯ng c§u n¶n ta suy ra Fq[T ]/(f ) ∼= Fqdeg(f) Chó þ r¬ng

T l  mët khæng iºm cõa f trong tr÷íng Fq[T ]/(f ) Nh÷ vªy f câ mët

nghi»m trong Fq deg(f) Theo ành lþ 1.2.3, mð rëng tr÷íng Fq deg(f)/Fq l  mðrëng Galois, tùc l  mð rëng chu©n t­c v  t¡ch ÷ñc, v¼ vªy f l  a thùct¡ch ÷ñc v  câ t§t c£ c¡c nghi»m trong Fq deg(f) M°t kh¡c deg(f ) l  ÷îccõa n do â (theo ành lþ 1.2.3) Fq deg(f) l  tr÷íng con cõa Fq n Tø â ta

câ i·u ph£i chùng minh

ành lþ 3.1.2 (Cæng thùc Gauss) °t q = pk l  lôy thøa cõa mët sènguy¶n tè p Khi â sè a thùc b§t kh£ quy monic bªc n tr¶n Fq ÷ñc chobði



, (3.1)

trong â, µ l  h m Mobius

Chùng minh °t M (q; n) = {f ∈ Fq[T ] : f b§t kh£ quy monic v deg(f )|n} Theo Bê · 3.1.1 ta câ:



Chia c£ hai v¸ cho n ta ÷ñc i·u c¦n chùng minh

V½ dö 3.1.3 (i) Sè c¡c a thùc d¤ng chu©n b§t kh£ quy trong Fq[x] câbªc 20 ÷ñc cho bði cæng thùc

Vợi mội số n > cõ hỳu hÔn số nguyản a ∈ Z cho |a| ≤ n Ngo i ravỵi méi a Z ta cõ |Z/(a)| = |a| Tữỡng tỹ vợi mồi số n... nguy¶n tè v  a thực monic bĐt khÊ quy< /p>

Náu vnh Z cõ khĂi niằm số nguyản tố thẳ tữỡng tỹ vnh

Fq[T ] câ kh¡i ni»m a thùc b§t kh£ quy Trong mởt miÃn nguyản D tũy

ỵ,