Lý thuyết số mũ lyapunov cho nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính

Phép tính vitích phân là một công cụ lý tưởng để mô tả các quá trình tiến hóa. Thông thường, mỗi quá trình tiến hóa được biểu diễn bởi các phương trình vi phân thường. Bằng việc nghiên cứu (định tính hoặc định lượng) nghiệm của phương trình, người ta có thể biết trạng thái hiện thời cũng như dự đoán được dáng điệu ở quá khứ hay tương lai của quá trình đó. Tuy nhiên, các hiện tượng hay gặp trong cuộc sống có tính chất phụ thuộc vào lịch sử. Đối với các hiện tượng này, việc ngoại suy dáng điệu của nó tại một thời điểm tương lai từ quá khứ phụ thuộc cả vào quan sát địa phương lẫn toàn bộ quá khứ. Hơn nữa, sự phụ thuộc nói chung cũng không giống nhau ở tất cả các thời điểm. Phương trình vi phân phân thứ là một trong các lý thuyết ra đời để đáp ứng những yêu cầu đó. Bài toán quan trọng trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm. Đối với trường hợp phương trình tuyến tính thuần nhất hệ số hằng, dáng điệu các nghiệm được mô tả đầy đủ thông qua phần thực các giá trị riêng của ma trận hệ số và bội của chúng. Với phương trình tuyến tính thuần nhất có hệ số tuần hoàn, lý thuyết Floquet được sử dụng để mô tả cặn kẽ dáng điệu của tất cả các nghiệm, xem 1. Đối với các hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số biến thiên, phương pháp số mũ đặc trưng được đề xuất bởi Lyapunov, xem 1,6, là một công cụ rất hữu hiệu. Ý tưởng chính của phương pháp này là so sánh độ tăng trưởng hay suy giảm của nghiệm với hàm mũ. Độ tăng trưởng (suy giảm) được xác định thông qua số mũ đặc trưng (ngày nay gọi là số mũ Lyapunov cổ điển). Người ta biết rằng một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Euclide Rd có nhiều nhất d số mũ Lyapunov phân biệt. Tập tất cả các số mũ này cùng với bội của chúng được gọi là phổ Lyapunov.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

————————————

TỐNG THU TRANG

LÝ THUYẾT SỐ MŨ LYAPUNOV CHO NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG THẾ TUẤN

THÁI NGUYÊN - 2020

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Lý thuyết số mũ Lyapunov cho nghiệmcủa phương trình vi phân phân thứ tuyến tính" không có sự sao chép củangười khác Khi viết luận văn tôi có tham khảo một số tài liệu, tất cả đều cónguồn gốc rõ ràng và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Hoàng ThếTuấn Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung luận văn này

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 6 năm 2020

Tác giả luận văn

Tống Thu Trang

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình tôi Những người luôn yêu thương và ủng

hộ tôi vô điều kiện

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 6 năm 2020

Người thực hiện

Tống Thu Trang

Mục lục

1.1.1 Tích phân phân thứ 11.1.2 Đạo hàm phân thứ 2

phân thứ tuyến tính 4

phân thứ tuyến tính 11

phân thứ tuyến tính 19

mặt cầu đơn vị trong không gian Euclide Rd 23

phân phân thứ tuyến tính hệ số hằng hai chiều 27

Lời nói đầu

Phép tính vi-tích phân là một công cụ lý tưởng để mô tả các quá trình tiếnhóa Thông thường, mỗi quá trình tiến hóa được biểu diễn bởi các phương trình

vi phân thường Bằng việc nghiên cứu (định tính hoặc định lượng) nghiệm củaphương trình, người ta có thể biết trạng thái hiện thời cũng như dự đoán đượcdáng điệu ở quá khứ hay tương lai của quá trình đó Tuy nhiên, các hiện tượnghay gặp trong cuộc sống có tính chất phụ thuộc vào lịch sử Đối với các hiệntượng này, việc ngoại suy dáng điệu của nó tại một thời điểm tương lai từ quákhứ phụ thuộc cả vào quan sát địa phương lẫn toàn bộ quá khứ Hơn nữa, sựphụ thuộc nói chung cũng không giống nhau ở tất cả các thời điểm Phươngtrình vi phân phân thứ là một trong các lý thuyết ra đời để đáp ứng những yêucầu đó

Bài toán quan trọng trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân lànghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm Đối với trường hợp phương trìnhtuyến tính thuần nhất hệ số hằng, dáng điệu các nghiệm được mô tả đầy đủthông qua phần thực các giá trị riêng của ma trận hệ số và bội của chúng Vớiphương trình tuyến tính thuần nhất có hệ số tuần hoàn, lý thuyết Floquet được

sử dụng để mô tả cặn kẽ dáng điệu của tất cả các nghiệm, xem [1] Đối với các

hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số biến thiên, phương pháp số mũ đặctrưng được đề xuất bởi Lyapunov, xem [1,6], là một công cụ rất hữu hiệu Ýtưởng chính của phương pháp này là so sánh độ tăng trưởng hay suy giảm củanghiệm với hàm mũ Độ tăng trưởng (suy giảm) được xác định thông qua số mũđặc trưng (ngày nay gọi là số mũ Lyapunov cổ điển) Người ta biết rằng một

nhiều nhất d số mũ Lyapunov phân biệt Tập tất cả các số mũ này cùng với bộicủa chúng được gọi là phổ Lyapunov Nhiều tính chất quan trọng của phương

trình như tính ổn định, tính hyperbolic, tính rẽ nhánh, v.v, có thể được đặctrưng bởi phổ Lyapunov của nó.

Tuy nhiên, đối với phương trình vi phân phân thứ tuyến tính, người ta đãchứng minh được rằng số mũ Lyapunov của các nghiệm không tầm thường luônkhông âm Do đó, số mũ này không thể được dùng để đặc trưng cho tốc độ tăngtrưởng hay suy giảm nghiệm của các loại phương trình này Nó dẫn đến đòi hỏi

là phải xây dựng một lý thuyết số mũ mới phù hợp cho các phương trình phânthứ Trong năm 2014, các tác giả Nguyễn Đình Công, Đoàn Thái Sơn, HoàngThế Tuấn và Stefan Siegmund đã giải quyết được vấn đề nói trên và công bốcác kết quả mới của họ trong bài báo [3,4] Mục đích của luận văn này là trìnhbày lại kết quả trong [3,4] Chúng tôi chia luận văn ra làm hai chương

Chương 1: Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị Cụ thể như sau: Phần 1.1 giớithiệu những nét cơ sở về phương trình vi phân phân thứ tuyến tính; Phần 1.2

đề cập về cơ sở của lý thuyết số mũ Lyapunov cho các phương trình vi phân cổđiển; Phần 1.3 thảo luận số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của các phươngtrình vi phân phân thứ tuyến tính

Chương 2: Trình bày về lý thuyết số mũ Lyapunov phân thứ cho các phươngtrình vi phân phân thứ tuyến tính Chương này gồm ba phân chính Thứ nhất,trong Phần 2.1, chúng tôi nói về số mũ Lyapunov phân thứ, cách tính số mũ này,một số tính chất cơ bản của số mũ Lyapunov phân thứ, phổ Lyapunov phân thứcho các phương trình phân thứ tuyến tính và mối liên hệ giữa phổ Lyapunov vớitính ổn định của các hệ này Tiếp đến, trong Phần 2.2, chúng tôi thảo luận vềcấu trúc phổ Lyapunov phân thứ cho các nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vịcủa hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Cuối cùng, chúng tôi tính số

mũ Lyapunov phân thứ cho các nghiệm của một số phương trình vi phân phânthứ tuyến tính hai chiều hệ số hằng, xem Phần 2.3

Do thời gian và năng lực có hạn, một số điểm trình bày trong luận văn cóthể còn thiếu xót Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các côcũng như của các bạn đồng nghiệp

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các kiến thức cơ sở của luận văn Nội dung của chươnggồm ba phần chính Phần 1.1 giới thiệu những nét cơ sở về phương trình vi phânphân thứ tuyến tính Phần 1.2 đề cập về cơ sở của lý thuyết số mũ Lyapunovcho các phương trình vi phân cổ điển Phần 1.3 thảo luận số mũ Lyapunov cổđiển cho nghiệm của các phương trình vi phân phân thứ tuyến tính

1.1 Phương trình vi phân phân thứ tuyến tính

Phần này được dành để giới thiệu sơ lược về phương trình vi phân phân thứtuyến tính Nội dung chính của nó gồm bốn mục chính Mục 1.1.1 nhắc lại kháiniệm tích phân phân thứ Riemann–Liouville và một số tính chất của nó Mục1.1.2 nói về đạo hàm Riemann–Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo và các tínhchất cơ bản Mục 1.1.3 thảo luận về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của cácphương trình vi phân phân thứ tuyến tính Cuối cùng, Mục 1.1.4 liên quan tớicác hàm Mittag-Leffler và dáng điệu tiệm cận của chúng

ở đây hàm Gamma Γ : (0, ∞) →R>0 có biểu diễn

Γ(α) :=

0

tα−1exp(−t) dt,

xem [5, Definition 2.1, p 13] Khiα = 0, chúng ta quy ướcIa+0 := I với I là toán

tử đồng nhất Dễ thấy trong định nghĩa ở trên, vớiα ∈ (0, 1), nếu xkhả tích trênđoạn[a, b], tức làRab|x(t)| dt < ∞, thì tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp

α của x tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] Hơn nữa, chính bản thân tích phân nàycũng là một hàm khả tích

Bổ đề 1.1.1 ([5, Theorem 2.1]) Giả sử x : [a, b] →R là một hàm khả tích trên[a, b] Khi đó, tích phân Ia+α x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b] Hơn nữa, Ia+α x cũng

là một hàm khả tích trên [a, b]

Dưới đây là tích phân của một số hàm đơn giản

Ví dụ 1.1.2 (i) Cho x(t) = t2, ở đây t > 0 Chúng ta có

với mọi t > 0

1.1.2 Đạo hàm phân thứ

Cùng với tích phân phân thứ, đạo hàm phân thứ là một trong hai khái niệmquan trọng của phép tính vi–tích phân phân thứ Có nhiều khái niệm đạo hàmphân thứ đã được xây dựng Tuy nhiên, đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàmCaputo được dùng rộng rãi hơn cả Sau đây chúng ta nhắc lại định nghĩa củahai loại đạo hàm này

Cho trước một số thực dương αvà một khoảng [a, b] ⊂R Người ta định nghĩa

đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] →R là

Dαa+x(t) := DmIa+m−αx(t), t ∈ (a, b],

ở đây m := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dm = dtdm là đạo

hàm x(t) được định nghĩa là

C

Da+α x(t) := Ia+m−αDmx(t), t ∈ (a, b],

xem [5, Chapter 3, p 49] Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1(t), , xd(t))T, đạo

C Dαa+x(t) := (CDαa+x1(t), ,CDa+α xd(t))T.

nghĩa Riemann–Liouville hoặc Caputo) chính là đạo hàm thông thường cấp

α Trong trường hợp α = 0, chúng ta quy ước D0a+ (hoặcCDa+0 ) là toán tửđồng nhất

(ii) Nếu x là một hàm liên tục tuyệt đối trên[a, b], tức x ∈ AC1([a, b];R), thì cácđạo hàm phân thứ Riemann–Liouville và Caputo của hàm này tồn tại hầukhắp nơi trên [a, b], xem [5, Lemma 2.12, p 27]

(iii) Khác với đạo hàm thông thường, đạo hàm phân thứ không có tính chất nửanhóm Cụ thể, cho α1, α2 là các hằng số dương bất kì và x là một hàm liêntục tuyệt đối trên đoạn [a, b] Khi đó, nói chung chúng ta có

với hầu hết t ∈ [a, b]

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ nói chung không là toán tử nghịch đảo phảicủa tích phân phân thứ

Bổ đề 1.1.5 ([5, Lemma 2.23]) Cho α ∈ (0, 1), và I0+1−αx ∈ AC1[a, b] Khi đó,

Ia+α Dαa+x(t) = x(t) −(t − a)

α−1 Γ(α) τ →a+lim Ia+1−αx(τ ).

Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville và Caputo có quan hệ sau

Bổ đề 1.1.6 ([5, Theorem 3.1]) Cho α ∈ (0, 1) Với bất kì x ∈ AC1([a, b];R),chúng ta có

C

Dαa+x(t) = Dαa+(x(t) − x(a))

với hầu hết t ∈ [a, b]

Tương tự như đối với đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng ta cũng

có những tính chất sau đối với đạo hàm phân thứ Caputo

Bổ đề 1.1.7 ([5, Theorem 3.7, 3.8])

(i) Cho α ∈ (0, 1) Khi đó, với mọi x ∈ C([a, b];R), chúng ta có

C Da+α Ia+α x(t) = x(t)

với mọi t ∈ [a, b]

(ii) Cho α ∈ (0, 1) và giả sử rằng x ∈ AC1([a, b];R) Khi đó,

Ia+α CDαa+x(t) = x(t) − x(a)

với mọi t ∈ [a, b]

1.1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân phân thứ

Để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1)–(1.2), người ta thường chuyển nó thành một phương trình tích phân tương đương.Điều này thực hiện được nhờ kết quả sau đây.

Định lý 1.1.8 Hàm liên tục φ(·, x 0 ) : [0, T ] →Rd là nghiệm của (1.1), x(0) = x 0

khi và chỉ khi nó thoả mãn phương trình tích phân sau

φ(t, x0) = x0+ 1

Γ(α)

Z t 0 (t − τ )α−1A(τ )φ(τ, x0) dτ, ∀t ∈ [0, T ]. (1.3)Chứng minh Xem [5, Lemma 6.2, p 86]

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.1)–(1.2) trênđoạn [0, T ] được suy ra từ định lý sau

liên tục trên [0, T ] ×Rd×d Khi đó, với mọi x0 ∈ Rd, bài toán giá trị ban đầu(1.1)–(1.2) có duy nhất nghiệm trên đoạn [0, T ]

Người ta có thể chứng minh Định lý 1.1.9 bằng cách sử dụng một chuẩn cótrọng mũ và Định lý điểm bất động Banach Người đọc quan tâm có thể xemtrong [2] Ngoài ra, ánh xạ φ(t, ·) với mỗi t ∈ [0, T ] là tuyến tính, tức là,

φ(t, ax 1 + bx 2 ) = aφ(t, x 1 ) + bφ(t, x 2 ) với a, b ∈R, x 1 , x 2 ∈Rd.

1.1.4 Hàm Mittag-Leffler và bất đẳng thức Gronwall suy rộng

Trường hợp đơn giản nhất của hệ phương trình vi phân phân thứ (1.1) là

Ở đây, với mọi α, β ∈R, hàm Mittag-Leffler hai tham số Eα,β(·) : Cd×d → Cd×d

được định nghĩa bởi

với mọi A ∈ Cd×d Trong trường hợp β = 1, để đơn giản chúng ta viết Eα(·)

thay vì Eα,β(·) Hàm Mittag-Leffler đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu lýthuyết định tính của phương trình vi phân phân thứ giống như hàm mũ trongphương trình vi phân cổ điển Sau đây chúng ta nhắc lại một số tính chất quantrọng của hàm này

(i) Cho z ∈C với |arg(z)| ≤ απ/2, ta có

−1−p ),

khi |z| → ∞

Chứng minh Xem [7, Theorems 1.3, 1.4, pp 33–34]

tăng Hơn nữa, sử dụng Bổ đề 1.1.10, chúng ta có

lim z→∞ Eα(z) = ∞ và lim

Bổ đề 1.1.11 (Bất đẳng thức Gronwall suy rộng) Cho α ∈ (0, 1) và T, K, L > 0

là các hằng số dương tùy ý Hơn nữa, giả sử rằng δ : [0, T ] →R là một hàm liên

tục, thỏa mãn bất đẳng thức

|δ(t)| ≤ K + L

Γ(α)

Z t 0 (t − τ )α−1|δ(τ )| dτ

với mọi t ∈ [0, T ] Khi đó, với mọi t ∈ [0, T ]

|δ(t)| ≤ KEα(Ltα).

1.2 Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của phương trình vi

Định nghĩa 1.2.1 Cho t0 ∈ R và f : [t0,R) → R Số mũ Lyapunov của hàm f

là đại lượng được định nghĩa bởi

χ(f ) := lim sup

t→∞

1

t log |f (t)|.

Số mũ Lyapunov của một hàm cho chúng ta biết về tốc độ tăng trưởng của

nó trong sự so sánh với hàm mũ Dưới đây là số mũ của một số hàm đơn giản

1 χ(f ) = χ(|f |).

2 χ(cf ) = cχ(f ), c 6= 0

3 Nếu |f (t)| ≤ |F (t)| với t ≥ a, thì

χ(f ) ≤ χ(F ).

Để tính số mũ Lyapunov của một hàm, bổ đề sau đóng một vai trò quan trọng

Bổ đề 1.2.2 Cho t0 ∈R và f : [t0, ∞) →R Khi đó, χ(f ) = α 6= ±∞ nếu và chỉnếu với bất kỳ ε > 0 những điều kiện sau được thỏa mãn:

1 limt→∞exp((α+ε)t)|f (t)| = 0;

2 lim supt→∞exp((α−ε)t)|f (t)| = ∞

Kết quả trên có trong [1, Lemma 2.1.1] Tuy nhiên, để người đọc dễ dànghình dung được đặc trưng của các số mũ Lyapunov, chúng tôi trình bày ở dướiđây chứng minh của nó

Chứng minh Bổ đề 1.2.2 Điều kiện cần: Cho χ(f ) = α Tồn tại ε > 0 và T > 0

sao cho

1

t log |f (t)| < α +

ε 2

đúng với mọi t ≥ T Nói cách khác,

|f (t)| < exp((α + ε

2)t).

Vì vậy, chúng ta có

lim t→∞

1

tk log |f (tk)| = α.

Chúng ta tìm được N > 0 sao cho

log |f (tk)| > (α − ε/2)tk

với mọi k > N Vì vậy,

lim k→∞

|f (tk)|

exp((α − ε)tk) = limk→∞ ( |f (tk)|

exp((α − ε/2)tk)exp((ε/2)tk))

≥ lim k→∞ exp((ε/2)tk) = ∞,

điều kiện 2 ở trên được thỏa mãn

Điều kiện đủ: Từ điều kiện 1 ở trên, với t đủ lớn, |f (t)| < exp((ε + ε)t), và bởi vì

ε > 0 tùy ý, chúng ta có

χ(f ) ≤ α.

Cho dãy tk, tk → ∞ khi k → ∞ mà

lim sup k→∞

Vì vậy χ(f ) ≥ α Điều kiện đủ được chứng minh xong

Sau đây là những tính chất sâu hơn của các số mũ Lyapunov

Chứng minh Xem [1, Theorem 2.1.2]

Để kết thúc mục này, chúng ta giới thiệu định nghĩa số mũ Lyapunov chohàm nhận giá trị véc-tơ Cho t0 ∈R và f : [t0,R) → Rd Số mũ Lyapunov của f

được định nghĩa bởi

χ(f ) = max

1≤i≤d χ(fi(·)).

Bổ đề sau dẫn đến một định nghĩa khác của số mũ Lyapunov cho hàm nhận giátrị véc-tơ.

Bổ đề 1.2.5 χ(f (·)) = χ(kf (·)k)

Chứng minh Xem [1, Corollary 2.2.1]

1.2.2 Phổ Lyapunov của các hệ phương trình vi phân tuyến tính

Cho t 0 ∈ R và A : [t 0 , ∞) → Rd×d là một hàm nhận giá trị ma trận liên tục.Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính

d

Định lý 1.2.6 ([1, Theorem 2.3.1]) Giả sử supt≥t0kA(t)k ≤ M Khi đó mọi



x(t),dx(t)

dt



≤ 2M kx(t)k2.

Vì vậy,

−2M ≤ dkx(t)k

2 /dt kx(t)k 2 ≤ 2M.

Điều này dẫn tới

−2M (t − t 0 ) ≤ 2 log kx(t)k − 2 log kx(t 0 )k ≤ 2M (t − t 0 ).

Chia các đại lượng trên cho t và cho t → ∞, chúng ta được

−M ≤ χ(kx(·)k) ≤ M.

Định lý được hoàn thành

Nói chung, mỗi hệ phương trình vi phân tuyến tính d-chiều có không quá d

số mũ Lyapunov phân biệt

Định lý 1.2.7 ([1, Corollary 2.3.1]) Các nghiệm không tầm thường của một

hệ tuyến tính d-chiều có không quá d số mũ Lyapunov phân biệt

Từ đây, chúng ta có định nghĩa sau về phổ Lyapunov của hệ (1.6)

Định nghĩa 1.2.2 Tập tất cả các số mũ Lyapunov khác nhau của các nghiệmcủa (1.6) được gọi là phổ Lyapunov của nó

Phổ Lyapunov có vai trò quan trọng trong nghiên cứu dáng điệu tiệm cậnnghiệm của các phương trình vi phân qua định lý đơn giản dưới đây

Định lý 1.2.8 Xét hệ (1.6) Nếu phổ Lyapunov của hệ này chỉ chứa các số

mũ âm thì hệ này ổn định tiệm cận

1.3 Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của phương trình vi

phân phân thứ tuyến tính

Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận về số mũ Lyapunov cho các nghiệmkhông tầm thường của các phương trình vi phân phân thứ tuyến tính

Cho d ≥ 1và A : [0, ∞) → Rd×d là một hàm liên tục nhận giá trị ma trận Xét

hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính cấp α ∈ (0, 1)

C Dα0+x(t) = A(t)x(t), ∀t ∈ (0, ∞), (1.7)

Như đã chỉ ra ở trên, hệ (1.7)–(1.8) có nghiệm duy nhất trên [0, ∞) Một điềuđáng ngạc nhiên được chỉ ra trong bài báo [3] rằng mọi nghiệm không tầmthường của bài toán giá trị đầu (1.7)–(1.8) luôn không âm

Bổ đề 1.3.1 [3, Lemma 3.1] Xét hệ (1.7)–(1.8) Giả sử M := supt∈R≥0kA(t)k <

Khi đó, tồn tại K > 0 và T > 0 mà

kΦ(t, x0)k < Keλ2 t với t ≥ T. (1.10)Tuy nhiên chúng ta sẽ chỉ ra lim supt→∞kΦ(t, x 0 )k = kx 0 k, một điều mâu thuẫnvới (1.9) Thật vậy, từ (1.10) và supt∈R≥0kA(t)k ≤ M, ta có

Z t T (t − s)α−1A(s)Φ(s, x0) ds

... Xét hệ (1.6) Nếu phổ Lyapunov hệ chứa số

mũ âm hệ ổn định tiệm cận

1.3 Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình vi< /h3>

phân phân thứ tuyến tính< /h3>

Trong... phân thứ tuyến tính< /h3>

Trong phần thảo luận số mũ Lyapunov cho nghiệmkhông tầm thường phương trình vi phân phân thứ tuyến tính

Cho d ≥ 1và A : [0, ∞) →... Lyapunov khác nghiệmcủa (1.6) gọi phổ Lyapunov

Phổ Lyapunov có vai trị quan trọng nghiên cứu dáng điệu tiệm cậnnghiệm phương trình vi phân qua định lý đơn giản

Định lý 1.2.8 Xét