ỨNG DỤNG của đạo hàm để xét TÍNH đơn điệu của hàm số

Trong các kỳ thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi cấp tỉnh, ngoài các câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải toán như: xét tính đơn điệu của hàm số, giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị ,.....Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thầy và trò trong các giờ lên lớp. Trong các giờ học các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn đề, chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng ứng dụng của đạo hàm vào giải toán, các em luôn đặt ra câu hỏi:“Tại sao nghĩ và làm được như vậy?’’. Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy, việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm số cho học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết. Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách lôgic bản chất của toán học. Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học môn Toán môn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên. Để toán học trở nên gần gũi và là sự yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê đối với các em học sinh .Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung khai thác ứng dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số .Vì vậy, tôi chọn đề tài “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ” để phần nào giúp các em học sinh có cái nhìn hệ thống, phát triển tư duy, trí tuệ và cách học tích cực hơn đối với dạng toán này

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ Tên chuyên đề: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU

CỦA HÀM SỐ

MỤC LỤC Trang Mục lục……… 2

Phần 1 : Mở đầu……… 3

Phần 2 : Nội dung……… 6

A Kiến thức cơ bản ……… 6

B Kỹ năng ……… 7

C Bài tập áp dụng 1 Bài tập nhận biết và thông hiểu ………

9 9 2 Bài tập vận dụng và vận dụng cao……… 11

3 Bài tập tự luận……… 18

D.Bài tập tự luyện tập………

Phần III Kết luận và kiến nghị………

23 22 Tài liệu tham khảo ……… 39

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình môn Toán bậc THPT, các em học sinh được học đạo hàm

từ cuối học kỳ 2 của lớp 11, nhưng đại đa số các em khi học xong những kiếnthức về đạo hàm thì chỉ biết vận dụng công thức để giải các bài toán về tính đạohàm, hoặc khảo sát hàm số, còn việc ứng dụng đạo hàm để khai thác và giải cácbài toán liên quan đến hàm số, phương trình , hệ phương trình thì lại tỏ ra lúngtúng, bỡ ngỡ

Trong các kỳ thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi cấp tỉnh, ngoài các câu hỏiliên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinhthường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải toánnhư: xét tính đơn điệu của hàm số, giải phương trình, bất phương trình ,tìm cựctrị , Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thầy và trò trong cácgiờ lên lớp Trong các giờ học các em thường bị động trong nghe giảng và rấtlúng túng vận dụng vào việc giải toán Nguyên nhân là do các em chưa hiểuđược bản chất của vấn đề, chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụngứng dụng của đạo hàm vào giải toán, các em luôn đặt ra câu hỏi:“Tại sao nghĩ

và làm được như vậy?’’ Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy, việc bồidưỡng năng lực tư duy hàm số cho học sinh thông qua các bài toán là một điềurất cần thiết Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháptruyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu, dẫn dắt học sinhtìm hiểu một cách lôgic bản chất của toán học Từ đó giúp các em có sự say mêtrong việc học môn Toán - môn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên

Để toán học trở nên gần gũi và là sự yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mêđối với các em học sinh

Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trungkhai thác ứng dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số Vì

vậy, tôi chọn đề tài “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU

CỦA HÀM SỐ” để phần nào giúp các em học sinh có cái nhìn hệ thống, phát

triển tư duy, trí tuệ và cách học tích cực hơn đối với dạng toán này

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Trong số các bài toán cơ bản là tìm khoảng đồng biến, nghịch biến thì cáchọc sinh trung bình có thể làm được còn một số bài toán có tính chất tư duy nhưbài toán vận dụng tìm giá m thoả mãn một số yếu tố hay áp dụng tính đồng biếnnghịch biến để giải phương trình , bất phương trình, hệ phương trình thì học sinhthường thụ động trong việc tiếp cận bài toán, không chú trọng đến bản chất chấtcủa bài toán ấy, một phần vì học sinh ngại bài toán khó, một phần vì giáo viênkhi dạy cũng chưa chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh

Nhằm giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp, kỹ năng để giải quyết cácbài toán tính đơn điệu hàm số một cách hiệu quả và kết quả tốt thì sau nhiềunăm giảng dạy dạng toán này, với kiến thức đã tích lũy và học hỏi được, tôi

mạnh dạn nêu ra đề tài ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU

CỦA HÀM SỐ ”để giúp học sinh và giáo viên tham khảo để đạt kết quả cao

hơn trong học tập và trong giảng dạy

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Trong đề tài này tôi đưa ra một số nhiệm vụ sau đây:

a) Nghiên cứu cơ sở lý luận của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

b) Vận dụng quan điểm dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy họcchủ đề ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số

IV ĐỐI TƯỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU

-Đề tài này được triển khai thực tiễn cho các em học sinh có lực học từ trungbình khá trở lên

-Các bài toán ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số ,trongchương trình Toán THPT mà trọng tâm là trong kì thi THPT Quốc gia

V PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Các dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số trong chương trình toán phổthông, đặc biệt là trong kỳ thi THPT Quốc gia, trong các kỳ thi chọn HSG cấp

tỉnh.

- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng.

- Thời gian dạy cho học sinh: 10 tiết

VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu dựa trên tài liệu

Nghiên cứu các tài liệu tâm lý học, giáo dục học, phương pháp bộ môn cùngvới các tài liệu có liên quan đến đề tài

- Phương pháp điều tra quan sát

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Phương pháp thống kê toán học

-Xử lí các số liệu thu được sau khi điều tra

VII CẤU TRÚC CỦA BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ

Phần I : Đặt vấn đề.

Phần II : Nội Dung.

Phần III: Kết luận và Kiến nghị

+ Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f x'( ) 0,  x K.

+ Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f x'( ) 0,  x K

3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm trên

khoảng K.

+ Nếu f x'( ) 0,  x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K

+ Nếu f x'( ) 0,  x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K

+ Nếu f x'( ) 0,  x K thì hàm số không đổi trên tập K

Chú ý :

+ Nếu K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sunggiả thiết “ Hàm số y=f(x ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.Chẳng hạn:Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn a b;  và có đạo hàm f x'( ) 0,  x K trênkhoảng a b;  thì hàm số đồng biến trên đoạn a b; 

+ Nếu f x'( ) 0,  x K ( hoặc f x'( ) 0,  x K ) và f x '( ) 0 tại một số hữu

hạn điểm của tập K thì hàm số đồng biến trên K (hoặc nghịch biến trên K).

B KỸ NĂNG

1 Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x)

Bước 1: Tìm nghiệm của biểu thức P(x) hoặc giá trị của x làm cho biểu thức

P(x) không xác định

Bước 2: Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn

Bước 3: Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu

2 Xét tính đơn diệu của hàm y=f(x) trên tập xác định

cx d





 thì : + Hàm số nghịch biến trên a b;   y' 0,  x ( ; )a b

0 ( ) 0,

f x   x R  

Chú ý : Nếu tìm bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

khoảng a b; :

Bước 1: Đưa bất phương trình f x '( ) 0(hoặcf x'( ) 0,  x ( ; )a b ) về dạng

( ) ( )

g x h m (hoặc g x( )h m( ), x ( ; )a b )

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên khoảng a b; 

Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần

tìm của tham số m

C BÀI TẬP ÁP DỤNG

1 Bài tập ở mức độ nhận biết và thông hiểu.

Câu 1 : Cho hàm số

1 1

x y

x





 Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng

A Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;1) (1; )

B Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1) (1; )

C Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;1);(1;)

D Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1);(1;)

Lời giải : Đạo hàm : 2

B Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (  ; 2)và hàm số nghịch biến trên khoảng

B Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;1);(1;)

C Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1)và hàm số nghịch biến trên khoảng

Lời giải: Hàm đa thức: y'3x26x 3 0,  x R nên Hàm số nghịch biến trên R.

( Học sinh vận dụng định lý dấu của tam thức bậc hai để làm các dạng toán

Hàm số y' 0,   x ( 3;1) nên hàm số nghịch biến trên (-3;1)

Câu 5 Với các giá trị nào của m thì hàm số

A m 0 B m 0 C Với mọi giá trị m D Không

Vậy: không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nhận xét:Bài toán tìm tham số để hàm số đồng biến trên khoảng, đoạn tức là

đạo hàm của hàm số đó không âm trên đoạn, khoảng đã cho Ở bài toán này là luôn đồng biến trên R và đạo hàm là hàm số bậc 2 và ta để ý thấy , a c trái dấu suy ra đạo hàm đó không thể luôn không âm suy ra không tồn tại m.

Câu 6 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

Câu 7.Cho hàm số f x  có đạo hàm f x'  xác định, liên

tục trên R và f x'  có đồ thị như hình vẽ bên Khẳng định

nào sau đây là đúng?

2 Bài tập ở mức độ vận dụng và vận dụng cao

Câu 1: Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số

3 2

3

x

y mx  mx m

luôn đồngbiến trên R

nguyên thì m = -1; m = 0; m = 1 có 3 giá trị m nguyên thoả mãn.

Câu 2: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

2 1

x m y

x

 



 nghịchbiến trên các khoảng xác định của nó

Lời giải: Hàm phân thức 2

 nghịch biến trên các khoảng xác định của nó

*Chú ý: Hàm phân thức thì hàm số nghịch biến trên a b;   y' 0,  x ( ; )a b , hàm số đồng biến trên a b;   y' 0,  x ( ; )a b

Câu 3: Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất sao cho hàm số

4

mx y

x m





 luôn nghịch biếntrên ( ;1)

A  2 m 2 B  2 m 1 C  2 m 1 D  2 m 2

Lời giải: Hàm phân thức

2

2 2

  nên y 0 có 2 nghiệm x1 x2

BPT g(x)  0 có sơ đồ miền nghiệm G là:

Ta có y x    0 đúng  x 2  2,  G

   2 

1 2

5 2

2 6

Chọn C Dựa vào đồ thị, suy ra ( )

é

ê = ê

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C

Chú ý: Dấu của g x¢( ) được xác định như sau: Ví dụ ta chọn

3 2 - x= 3 ¾¾ ¾¾ ¾®theo do thi 'f x( ) f¢ ( 3 2- x)=f¢ ( ) 3<0. Khi đó g¢( )0 =- f¢( )3 >0.

Nhận thấy các nghiệm của g x¢( ) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số

Lời giải: Tập xác định D R m \  Ta có đạo hàm

m

(*)Điều kiện: x m   0 xm

Do (*) nên không tồn tại giá trị m nguyên dường nào thảo mãn đầu bài.

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

4 (2 3) 2

yx  m x m nghịch biến trên khoảng (1; 2) là ;

p q

x 1

2 g’(x

) +

g(x)

11 2

5

2

Dựa vào bảng biến thiên

5 5

2 2

Ta đưa bài toán bất phương trình y' 0,  x   2 a2b2  0 a2b24

Câu 13: Cho hàm số f x có đạo hàm trênvà có đồ thịyf x như hình vẽ.Xét hàm số g x  f x 2  2

Mệnh đề nào sau đây sai?

C Hàm số g x nghịch biến trên0;2 D Hàm số g x đồng biến trên .

Lời giải Chọn A

Dựa vào đồ thị ta thấy f x  0 x    

2 0

x

f x x

2 2

x x x x

Bài toán 1: Cho hàm số : yx33(m1)x26mx4 ;(m C m)

a) Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên [1;+ )

b) Tìm m để hàm số luôn nghịch biến trên [-3;-2]

Nhận xét : Với bài toán dạng này học sinh theo chương trình sách giáo khoa

mới sẽ thực sự lúng túng vì không được trang bị các kiến thức về so sánh nghiệm với một số thực  của phần tam thức bậc hai, chính vì thế cần hướng dẫn học sinh đi theo 1 cách tiếp cận khác như sau :

m 

thì hàm số luôn nghịch biến trên [-3;-2]

Nhận xét : Với cách giải quyết bài toán này thì rõ ràng học sinh có thể hoàn

toàn chủ động để giải quyết các bài toán tương tự Và hơn nữa với cách giải này học sinh sẽ hạn chế được các sai sót trong quá trình tính toán Bên cạnh

đó khi giải quyết các bài toán dạng này sẽ làm nảy sinh 1 vấn đề ; Nếu tham

số m không cùng bậc để có thể nhóm và đưa về bất phương trình có dạng

f(x) g(m)  thì cần giải quyết như thế nào ? để trả lời câu hỏi này chúng ta xét bài toán sau :

Bài toán 2: Cho hàm số :

7 45 2

m 

ta được

7 45 2

Bài toán 4 Tìm m để

2

2x 1 m x 1 m y

m m

-Nhận xét: Qua các bài toán trên ta thấy nếu dùng đạo hàm lập bảng biến thiên

thì các dạng toán trên đều có thể giải quyết được mà không cần sử dụng kiến thức về tam thức bậc 2 đã giảm tải trong chương trình sách giáo khoa.

Bài toán 5 Tìm m để y  4m 5 cos  x  2m 3 x m 2  3m 1 giảm với ∀x∈R

Giải: Yêu cầu bài toán ⇔y ,=(5−4 m)sin x+2 m−3, ∀ x∈R

Bài toán 6 Tìm m để hàm số y mx sinx14sin 2x19sin 3x tăng với mọi x∈R

Giải: Yêu cầu bài toán  ymcosx12cos 2x13cos 3x  0, x ¡

Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4

Giải Xét y  m 1 x2  2 2  m 1 x  3m 2   0 Do    7m2 m  3 0 nên y 0 có

2 nghiệm x1 x2 Khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4

m m

m 

Nhận xét: các bai toán trên có thể giải theo phương pháp tam thức bậc hai nhưngdài và phức tạp học sinh hay bỏ quyên trường hợp Dùng theo phương pháp hàm số thì bài toán đơn giản hơn rất nhiều.

D.BÀI TẬP TỰ GIẢI

I BÀI TẬP MỨC ĐỘ 1

Câu 1: Cho hàm y x2 6x5 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng 5;. B Hàm số đồng biến trên

x y x

x y x





 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng    ; 

Câu 5: Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 D Hàm số đồng biến trên

khoảng  ;1

Câu 6: Cho hàm số y x 4 2x22 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (2;) B Hàm số nghịch biến trên

2 1 1

x y x





  Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên D B Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1

và 1;  

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và 1;   D Hàm số đồng

biến trên R\ 1 

Câu 10: Cho hàm số f x  có đạo hàm trên khoảng a b;  Trong các mệnh đề

sau, mệnh đề nào sai?

A Nếu f x  0 với mọi x thuộca b;  thì hàm số f x  nghịch biến trên a b; 

B Nếu hàm số f x  đồng biến trên a b;  thì f x   0 với mọi x thuộc a b; 

C Nếu hàm số f x  đồng biến trên a b;  thì f x '  0 với mọi x thuộca b; 

D Nếu f x  0 với mọi x thuộca b;  thì hàm số f x  đồng biến trên a b; 

Câu 11 Hàm số y 2x x 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A  ;1.

B 1; 2 C 1;  D 0;1

II BÀI TẬP MỨC ĐỘ 2

Câu 12 Kết quả của m để hàm số sau 2

x m y

m 

1 3

m 

4 3

m 

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

2 1

x m y

x





 đồngbiến trên khoảng xác định của nó

Câu 17 Cho hàm số yx3 mx24m9x5, với m là tham số Có bao nhiêu

giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên   ; ? A 5 B.

Câu 18: Cho hàm số yf x  xác định, liên tục trên R và có đạo hàm f x .Biết rằng f x  có đồ thị như hình vẽ bên Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số yf x  đồng biến trên 2;0 B Hàm số yf x  nghịch biến trên khoảng 0;

C Hàm số yf x  đồng biến trên  ;3 D Hàm số yf x  nghịch biến trên khoảng 3; 2 

Câu 19: Cho yf x  có đạo hàm f x   x1 2 1 x x  3 Mệnh đề nào dướiđây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên các khoảng 3; 1  và 1;  C Hàm số nghịch

biến trên khoảng 3;1

B Hàm số đồng biến trên các khoảng   ; 3 và 1;  D Hàm số đồng biến

Câu 22: Tìm m để hàm số y x 3 3mx23 2 m1 1 đồng biến trên R

A Không có giá trị m thỏa mãn B m 1 C m 1 D Luôn thỏa mãn với

mọi m

mx y

m 

B m 0 C

1 2

m 

D

1 0

x y

m  

C

1 2

x y





 đồng biến trên khoảng 4 2;

mx y





 nghịch biếntrên khoảng

1

; 4

x y

x m





 nghịchbiến trên 0;2

x m





 đồng biến trên

Câu 41: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y x2 1 mx1

đồng biến trên khoảng   ; 

IV BÀI TẬP MỨC ĐỘ 4

Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

sin 3cos sin 1

y x x m x đồng biến trên đoạn 0;2

1 2

3

x x

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 0