(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông

(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông(Luận án tiến sĩ) Truyền thụ tri thức phương cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LA ĐỨC MINH

TRUYỀN THỤ TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LA ĐỨC MINH

TRUYỀN THỤ TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 62.14.01.11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS ĐÀO THÁI LAI

NGHỆ AN - 2015

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sựhướng dẫn khoa học của PGS TS Đào Thái Lai Các số liệu, kết quả nêutrong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ côngtrình nào khác.

Tác giả luận án

La Đức Minh

STT Chữ viết tắt Chữ viết đầy đủ

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 10

2 Mục đích nghiên cứu 13

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu 13

4 Giả thuyết khoa học 13

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 13

6 Phương pháp nghiên cứu 14

7 Những đóng góp của luận án 14

8 Các luận điểm đưa ra bảo vệ 14

9 Cấu trúc của luận án 15

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC TRUYỀN THỤ TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC

1.1 Tổng quan về tình hình nghiên cứu 16

1.1.1 Tình hình nghiên cứu và các vấn đề liên quan trên thế giới

1.1.2 Tình hình nghiên cứu và các vấn đề liên quan ở trong nước

1.1.3 Một số kết luận

1.2 Tri thức 21

1.2.1 Khái niệm

1.2.2 Các dạng tri thức trong dạy học môn Toán

1.2.3 Mối quan hệ giữa tri thức và tư duy trong quá trình dạy học

1.3 Tri thức phương pháp trong dạy học môn Toán 26

1.3.1 Tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động

1.3.2 Tri thức phương pháp thuộc phạm trù duy vật biện chứng

1.3.3 Tri thức trong tâm lý học liên tưởng

1.3.4 Vai trò của tri thức phương pháp trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông

1.3.5 Một số biểu hiện của tri thức phương pháp trong các lý thuyết dạy học

1.4 Truyền thụ tri thức phương pháp trong dạy học môn toán 50

1.4.1 Khái niệm

1.4.2 Các cách thức truyền thụ tri thức phương pháp

1.5 Thực trạng việc truyền thụ tri thức phương pháp cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông hiện nay 68

1.5.1 Mục đích

1.5.2 Đối tượng khảo sát

1.5.3 Nội dung

1.5.4 Phương pháp

1.5.5 Đánh giá kết quả khảo sát

1.6 Kết luận chương 1 73

Chương 2 CÁC BIỆN PHÁP TRUYỀN THỤ TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG THPT

2.1 Đặc điểm của chương trình môn toán THPT 74

2.2 Những tư tưởng chủ đạo của việc truyền thụ tri thức phương pháp 75

2.3 Các biện pháp truyền thụ tri thức phương pháp 76

2.3.1 Biện pháp 1: Kết hợp việc thông báo tường minh hệ thống tri thức phương pháp với tổ chức cho học sinh những hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp quy định trong chương trình

2.3.2 Biện pháp 2: Tạo các tình huống để học sinh luyện tập vận

dụng các tri thức phương pháp có tính thuật giải theo các

cấp độ tăng dần mức độ khó khăn

2.3.3 Biện pháp 3: Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động thông qua sử dụng bảng gợi ý của G.Pôlya về phương pháp tìm tòi lời giải bài toán

2.3.4 Biện pháp 4: Truyền thụ tri thức phương pháp gắn với bồi dưỡng cho học sinh một số loại hình tư duy

2.3.5 Biện pháp 5: Luyện tập cho học sinh khả năng huy động kiến thức nhờ hoạt động liên tưởng để hình thành tri thức phương pháp mới thông qua phát triển và mở rộng bài toán

2.3.6 Biện pháp 6: Xây dựng một số chuyên đề toán học ẩn chứa tri thức phương pháp cần truyền thụ để khai thác hiệu quả hoạt động tự học, hoạt động hợp tác nhằm bồi dưỡng khả năng sáng tạo và giải quyết vấn đề của học sinh

2.4 Kết luận chương 2 127

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 129

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 129

3.2 Thời gian và địa điểm và đối tượng thực nghiệm sư phạm 129

3.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 129

3.3.1 Phương pháp điều tra

3.3.2 Phương pháp quan sát

3.3.3 Phương pháp thống kê toán học

3.3.4 Xây dựng phương thức và tiêu chí đánh giá

3.4 Nội dung thực nghiệm sư phạm 131

3.4.1 Tài liệu thực nghiệm sư phạm

3.4.2 Nội dung 1: Điều tra GV và HS nhóm TN về các bài dạy

TNSP

3.4.3 Nội dung 2: Tổ chức dạy học theo các giáo án đã soạn

3.5 Kết quả thực nghiệm sư phạm 133

3.5.1 Kết quả thực nghiệm sư phạm vòng 1 (Học kỳ I, năm học 2013 - 2014)

3.5.2 Kết quả thực nghiệm sư phạm vòng 2 (năm học 2013 -2014)

3.6 Điều tra về các biện pháp sư phạm đã đề xuất thông qua các bài dạy của giáo viên và học sinh 153

3.6.1 Điều tra về giáo án đã soạn

3.6.2 Điều tra về kết quả của các giờ học TNSP

3.6.3 Điều tra về kết quả của các giờ học TNSP đối với HS

3.7 Kết luận chương 3 155

KẾT LUẬN 157

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN 159

TÀI LIỆU THAM KHẢO 160

PHỤ LỤC

Bảng 3.1 Thống kê kết quả học tập của HS nhóm TN và ĐC trước khiTNSP 134Biểu đồ 3.1 Đa giác đồ về chất lượng học tập của nhóm TN và ĐC 134Bảng 3.2 Phân bố điểm của nhóm TN và nhóm ĐC sau khi TN sư phạmvòng 1 137Bảng 3.3 Phân bố tần suất luỹ tích hội tụ lùi sau khi TN vòng 1 137Biểu đồ 3.2 Đường biểu diễn tần suất luỹ tích hội tụ lùi sau khi TN vòng 1 139Bảng 3.4 Kết quả học tập của HS nhóm TN, ĐC trước khi TNSP vòng 2 142Bảng 3.5 Phân bố điểm của nhóm lớp TN và nhóm lớp ĐC sau khi TNvòng 2 147Bảng 3.6 Phân bố tần suất luỹ tích hội tụ lùi của nhóm TN, ĐC sau TNvòng 2 147Biểu đồ 3.3 Đường biểu diễn tần suất luỹ tích hội tụ lùi của nhóm TN và

ĐC trong đợt TNSP vòng 2 149Bảng 3.7 Điều tra GV về nội dung dạy học TNSP 153Bảng 3.8 Điều tra GV về hiệu quả việc truyền thụ TTPP cho HS trong cáctiết học TNSP 154Bảng 3.9 Điều tra HS về các tiết học trong quá trình TNSP 155

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Trong quá trình tác động vào thế giới khách quan, con người phải

sử dụng những cách thức, những phương pháp (PP), những công cụ nhất định.Bằng hoạt động (HĐ) con người tạo ra sản phẩm về phía thế giới và sự thayđổi trong chính mình với tư cách là chủ thể thực hiện HĐ Thông qua HĐ conngười tồn tại và phát triển PP tác động vào đối tượng trong quá trình HĐ cóảnh hưởng đến kết quả HĐ Việc nắm được các PP thực hiện các HĐ là chìakhóa dẫn tới thành công của con người, dẫn tới sự phát triển

Trong các nghiên cứu về trí tuệ của con người, người ta chú ý đến hailoại tri thức (TT): TT về đối tượng được phản ánh và TT về phương thức phảnánh Trong hai loại TT này, loại TT thứ hai là TT về PP Con người không thểthực hiện các HĐ nếu không có hiểu biết về đối tượng HĐ Tuy nhiên, chỉ vớihiểu biết về đối tượng không đảm bảo cho sự thành công của con người trongquá trình tác động đến đối tượng Trong nhiều trường hợp, đặc biệt khi nhiệm

vụ cần thực hiện có những khó khăn nhất định, vai trò của tri thức phươngpháp (TTPP) càng có vai trò lớn đối với quá trình HĐ Việc bồi dưỡng cácnăng lực trí tuệ của con người cần phải chú ý bồi dưỡng cả hai loại hình TTnói trên

1.2 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) ngày nay xem

việc học của học sinh (HS) là một quá trình HĐ Dạy học (DH) là việc tổchức một môi trường, tạo ra những tình huống làm bộc lộ những nhiệm vụcần giải quyết trước người học, kích thích họ HĐ và kết quả là HS thu nhậnđược TT, rèn luyện được các kỹ năng, phát triển được trí tuệ và hình thànhcác phẩm chất tâm lý khác Vì vậy, trong DH điều quan trọng là tổ chức cho

HS học tập trong HĐ và bằng HĐ Việc thiết kế các HĐ, tạo môi trường cho

HS được học tập trong HĐ và bằng HĐ là yêu cầu quan trọng của việc đổimới PPDH hiện nay

Lý luận DH hiện nay dựa trên quan niệm: mọi yếu tố tâm lý nói chung,

TT nói riêng, của con người đều được hình thành thông qua quá trình HĐ củachính người học Để hình thành TTPP cho HS cũng phải thực hiện dựa trênviệc thiết kế và tổ chức thực hiện các hệ thống HĐ từ đơn giản đến phức tạp

1.3 Dạy Toán là dạy HĐ toán học, HĐ toán học chủ yếu của HS phổ

thông là giải bài tập toán Nhằm nâng cao chất lượng DH toán ta luôn luôn phảihướng tới việc trang bị cho HS các PP giải toán Điều này có liên quan đếntrình độ sư phạm và nghệ thuật của từng giáo viên (GV) Theo Nguyễn Bá Kim

“Để dạy một tri thức nào đó, thầy giáo thông thường không thể trao ngay cho học sinh điều thầy muốn dạy; cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để HS chiếm lĩnh nó thông qua HĐ tự giác, tích cực và sáng tạo của bản thân” [51, tr 117] Theo chủ nghĩa kiến tạo trong

tâm lí học, học tập là một quá trình trong đó người học xây dựng kiến thức chomình bằng cách thích nghi với môi trường sinh ra những mâu thuẫn, những khókhăn và những sự mất cân bằng Tuy nhiên, như nhiều nhà lý luận DH củaPháp đã khẳng định, một môi trường không có dụng ý sư phạm là không đủ đểchủ thể (học sinh) kiến tạo TT theo đúng yêu cầu mà xã hội mong muốn Vìvậy, điều quan trọng là thiết lập những tình huống có dụng ý sư phạm để ngườihọc tập trong HĐ, học tập bằng thích nghi [51, tr 117]

1.4 Thực tiễn trong DH toán ở nhà trường phổ thông cho thấy TTPP

có vai trò quan trọng Tuy nhiên, TTPP được trình bày ở dạng tường minhkhông nhiều TTPP hiện hữu ở khắp nơi, trong mọi tình huống, trong mọi

HĐ và thường ở dạng không tường minh, thường "được giấu kín ở mặt hậu".Trong quá trình DH, người GV phải từng bước tập luyện cho HS những HĐphù hợp với các PP giải quyết vấn đề được đặt ra Làm cho HS nắm đượccác TTPP là chìa khóa giúp họ giải quyết tốt các bài toán đặt ra và dẫn đếnthành công của quá trình DH Tuy nhiên, việc làm cho HS lĩnh hội các TTPPtrong chương trình môn toán trung học phổ thông (THPT) vẫn đang là vấn

đề khó khăn Chính điều này đã làm cho chất lượng DH môn toán chưa đượcnhư mong muốn

Hiện nay, đã có nhiều công trình nghiên cứu về Lý luận và PPDH môntoán Một số trong những công trình này đã đề cập đến vấn đề phát triển nănglực tư duy (TD), năng lực toán học và năng lực giải quyết vấn đề của HStrong DH môn Toán và TTPP đã được đề cập đến Theo Nguyễn Bá Kim(2006), việc truyền thụ TT, đặc biệt là TTPP như là phương tiện và kết quảcủa HĐ Trong các PP toán học cần làm cho HS lĩnh hội được, ông quan tâmđến các PP có tính thuật toán và những PP mang tính tìm đoán Trong bộ baquyển sách (Giải một bài toán như thế nào?, Toán học và những suy luận có

lý và Sáng tạo Toán học) của mình, G Pôlya dành sự quan tâm nhiều đến việcgiúp HS tìm tòi, khám phá lời giải các bài toán và sáng tạo bài toán mới từcác bài toán đã giải Trong luận án của mình, Crutexki đã nghiên cứu cấu trúcnăng lực toán học của HS Trong luận án này ông đã coi trọng việc HS biếtcách thu nhận thông tin từ bài toán, biết cách biến đổi thông tin phục vụ choviệc giải bài toán và biết cách ghi nhớ, lưu trữ thông tin toán học là nhữngtiêu chí đánh giá năng lực toán học của HS Để giúp HS phát triển năng lực vàrèn luyện kỹ năng giải toán, nhóm tác giả Phan Đức Chính, Phan Văn Hạp,Nguyễn Văn Mậu, đã tập hợp, hệ thống hóa và biên soạn bộ sách Các PPchọn lọc giải các bài toán sơ cấp Trong bộ sách này nhiều TTPP trong lĩnhvực giải toán đã được đề cập đến GS Đào Tam, trong các công trình nghiêncứu của mình công bố trong những năm gần đây, đã nhấn mạnh đến vai tròcủa các HĐ biến đổi đối tượng, năng lực chuyển di các quan hệ giữa các đốitương trong các mối liên tưởng khi giải quyết các bài toán

Điểm qua một số công trình nghiên cứu ở trong nước và ở nước ngoàicho thấy vấn đề truyền thụ TTPP cho HS là vấn đề cần thiết và đã được quantâm Song thực tiễn DH hiện nay, nhiều HS vẫn còn gặp khó khăn khi lĩnh hội

và sử dụng các TTPP vào thực hiện các HĐ toán học Chúng tôi nhận thấyvấn đề này cần có những nghiên cứu thêm

Xuất phát từ các vấn đề trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu:

“Truyền thụ tri thức phương pháp cho học sinh trong dạy học môn toán ở trường Trung học phổ thông”.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận án là làm sáng tỏ khái niệm, vai trò ýnghĩa, các mức độ biểu hiện tri thức phương pháp và cách thức truyền thụ trithức phương pháp cho học sinh trong quá trình dạy học môn Toán ở trườngTHPT qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán

3 Đối tượng và khách thể nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Việc hình thành các tri thức phương pháp

cho HS trong DH môn Toán ở trường phổ thông

3.2 Khách thể nghiên cứu: Quá trình DH môn Toán ở trường THPT 3.3 Phạm vi nghiên cứu: Các tri thức phương pháp trong chương trình

môn toán ở THPT; Các biện pháp nhằm hình thành tri thức phương pháp cho

học sinh THPT trong quá trình DH môn Toán

4 Giả thuyết khoa học

Nếu đề ra được các biện pháp sư phạm một cách phù hợp trên cơ sởvận dụng các phương pháp dạy học tích cực, thì sẽ góp phần nâng caohiệu quả việc dạy học tri thức phương pháp trong DH môn Toán ở trườngTHPT

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

(1) Làm sáng tỏ nội hàm khái niệm tri thức phương pháp, vai trò vàcác dạng thể hiện chủ yếu của tri thức phương pháp trong chương trình mônToán THPT

(2) Điều tra khảo sát, thực trạng việc dạy học tri thức phương pháp cho

HS trong DH môn Toán ở trường THPT hiện nay

(3) Nghiên cứu quan điểm hoạt động trong dạy học môn Toán ở trườngTHPT nói chung và DH tri thức phương pháp nói riêng

(4) Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm nâng cao hiệu quả việctruyền thụ tri thức phương pháp cho HS trong DH môn Toán ở trường THPT

(5) Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi, tínhhiệu quả của các biện pháp đã đề xuất

6 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu về DH tích cực, quan điểm

hoạt động trong DH, các phương thức tiếp cận vấn đề trong DH và nghiêncứu khoa học Nghiên cứu chương trình môn Toán THPT,

- Điều tra, quan sát: Sử dụng phiếu điều tra để tìm hiểu về thực trạng

DH nói chung, thực trạng việc truyền thụ TTPP nói riêng Tìm hiểu thực tếcách tạo tình huống để HS tiếp cận nguồn TT môn toán hiện được GV sửdụng trong các trường THPT Trao đổi với GV và dự giờ DH môn Toán ởtrường THPT để tìm hiểu thực tế DH môn Toán của GV và HS

- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính

khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp truyền thụ TTPP cho HS trong DHtoán ở trường THPT đã được đề xuất

- Phân tích, đánh giá: Sử dụng PP phân tích định tính, phân tích định

lượng nhằm rút ra những kết luận liên quan đến các nội dung được xem xét.Đánh giá kết quả bằng PP thống kê toán học trong khoa học giáo dục

(1) Việc truyền thụ tri thức phương pháp cho HS có vai trò quan trọngtrong DH môn Toán ở trường THPT.

(2) Trong quá trình truyền thụ đã quan tâm hợp lý đến việc bồi dưỡngcho HS khả năng hình thành TTPP

(3) Các biện pháp sư phạm nhằm truyền thụ tri thức phương pháp cho

HS trong DH môn Toán ở trường THPT đưa ra trong luận án là có hiệu quả vàkhả thi

9 Cấu trúc của luận án

Luận án gồm phần Mở đầu, Kết luận và 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc truyền thụ tri thức

phương pháp cho học sinh trong dạy học

Chương 2 Các biện pháp truyền thụ tri thức phương pháp cho học

sinh trong dạy học môn toán THPT

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VIỆC TRUYỀN THỤ TRI THỨC PHƯƠNG PHÁP

CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC

1.1 Tổng quan về tình hình nghiên cứu

1.1.1 Tình hình nghiên cứu và các vấn đề liên quan trên thế giới

Từ thời xa xưa TTPP chưa được đề cập đến một cách tường minh, nhưngliên quan đến TTPP các nhà Toán học Ấn Độ đã biết khảo sát số âm dương và

dùng khái niệm cụ thể lỗ và lãi Chẳng hạn Bra-ma-gup-ta viết: “Tổng của hai

số lãi là số lãi, tổng của hai số lỗ là số lỗ, tổng của hai số lãi và số lỗ là hiệu của chúng và nếu hai số đó bằng nhau thì tổng bằng không” Kha-ska-ra đã đi

đến quy tắc: a+ =0 a, 0− = −a a, 0+ =a a, Bra-ma-gup-ta Cho quy tắc tổng

quát để giải PT bậc hai Kha-ska-ra khảo sát những biểu thức vô tỉ loại a+ b

và thực hiện phép biến đổi loại: 10+ 21+ 40 + 60 = 2+ 3+ 5 đưavào cách khử căn ở mẫu số, giải một số trường hợp đặc biệt của PT bậc cao Bra-ma-gup-ta và Kha-ska-ra còn cho PP tổng quát giải PT dạng: ax2 + =b cy2vàax

xy= +by c+ [11, tr 20].

Sự phát triển Toán học ở Châu Âu là do ảnh hưởng rất lớn của nhữngcông trình Toán học Ấn Độ, Trung Á và Cận Đông Nhưng theo thời gian, thì rấtnhiều vấn đề Toán học xuất hiện trước tiên ở Trung Quốc Vào thế kỷ 18 đến thế

kỷ 3 trước công nguyên có hai cuốn sách toán cổ của Trung Quốc là “Chu bễ toán kinh” và “Cửu chương thuật toán” [11, tr 21] “Chu bễ toán kinh” là loại sách toán của Trung Quốc vào thời nhà Chu Còn cuốn “Cửu chương thuật toán” là loại sách toán gồm có 9 chương, trong cuốn sách này có nêu nguyên tắc

lấy căn bậc hai và bậc ba của số nguyên, mà ngày nay chúng ta đang dạy kiếnthức đó ở các trường Có rất nhiều bài toán được giải bằng PP khử ẩn số trong hệ

PT, ngoài ra dùng quy tắc cộng trừ các số âm Điều này theo Nguyễn Bá Kim[51, tr 143] đó chính là TTPP thực hiện những HĐ tương ứng với những nộidung Toán học cụ thể

G Pôlya (1975), Giải bài toán như thế nào Đây là công trình sư

phạm của G Pôlya hết sức đồ sộ, bao quát hầu hết các lĩnh vực lý luận DHToán ở bậc THPT Trong các công trình của mình, ông đã đề xuất nhiều quanđiểm sư phạm đặc sắc Một số quan điểm sư phạm cơ bản được ông giới

thiệu cô đọng trong báo cáo “Dạy học qua bài tập” (dẫn theo [61, Tr 37]).

Với một bài toán để tìm lời giải phải có những câu hỏi và lời khuyên xácđáng G.Pôlya [71, tr 14] đã đưa ra bản gợi ý quy trình 4 bước trong quátrình giải một bài toán:

Bước 1: Trước hết phải hiểu rõ bài toán là phải tìm cái gì?

Bước 2: Phải nắm được mối quan hệ giữa các yếu tố khác nhau của bàitoán, giữa cái chưa biết và những cái đã biết để tìm thấy cái ý của cách giải,

để vạch ra được một chương trình (dự kiến)

Bước 3: Thực hiện chương trình đó

Bước 4: Nhìn lại cách giải đã thu được một lần nữa, nghiên cứu nó.Đây là bảng gợi ý mà GV thường sử dụng trong DH toán, mà nhất làđược sử dụng hiệu quả trong việc tìm tòi lời giải bài toán

M.Alêcxêep, V.Onhisuc, M.Crugliăc (1976), Phát triển tư duy học sinh

(Hoàng Yến dịch, Nguyễn Ngọc Quang hiệu đính), Nxb Giáo dục Trong công

trình này V.Onhisuc đã trình bày việc lĩnh hội TT dưới ánh sáng của tâm lý học vàloogic học [1, tr 4] V.Onhisuc khẳng định rằng, thông hiểu TT đó là con đườngtiến tới lĩnh hội TT [1, tr 48] Cũng trong công trình Phát triển này, M.Crugliăc đềcập TT và TD gắn bó với nhau như sản phẩm đi đôi với một quá trình Lĩnh hội

TT về một đối tượng nào đó thì đấy là sản phẩm, là kết quả của một quá trình triểnkhai lôgic của hiện tượng ấy trong TD Vì vậy không thể tách rời TT với TD, TTđược bộc lộ ra và hình thành trong TD Mặt khác, những TT đã chiếm lĩnh đượclại tham gia vào quá trình TD như là một yếu tố của TD để tiếp thu TT mới khác

[1, tr 64] Nói về truyền thụ TTPP, M.Crugliăc cho rằng HS tiếp thu TT không chỉtrực tiếp qua sự truyền đạt đơn giản mà còn thông qua con đường vòng nhờ nhữnghành động trí tuệ và thao tác TD cần thiết mà HS vận dụng tìm ra điều chưa biết[1, tr 82].

Edgarmorin (2006), Tri thức về tri thức (Lê Diên dịch), Nxb Đại học

Quốc gia Hà Nội Nói về TT tác giả Edgarmorin đề cập đến TT vừa là HĐvừa là sản phẩm của HĐ ấy [26, tr 380]

1.1.2 Tình hình nghiên cứu và các vấn đề liên quan ở trong nước

Ở Việt Nam trong lĩnh vực PPDH có rất nhiều tác giả nghiên cứu và cónhững công trình liên quan đến TTPP, trong đó phải kể đến:

Nguyễn Bá Kim trong các công trình nghiên cứu về PPDH toán [51], đềcập đến 4 loại TT: TTSV, TTPP, TT chuẩn, TT giá trị Đặc biệt TTPP địnhhướng trực tiếp cho HĐ và ảnh hưởng quan trọng đến việc hình thành kỹnăng” Đồng thời đưa ra 3 cấp độ DH TTPP, bao gồm: DH tường minh TTPPđược phát biểu một cách tổng quát; thông báo TTPP trong quá trình HĐ; tậpluyện những HĐ ăn khớp với TTPP

Trong công trình “Một số PP chọn lọc giải các bài toán sơ cấp” của

nhóm tác giả Phan Đức Chính, Phan Văn Hạp, Nguyễn Văn Mậu, đã đề cậpđến các PP tam thức bậc hai, sử dụng các PP giải các bài toán dựa trên lýluận về tam thức bậc hai; PP giải một số bài toán hình học; các phương phápđịnh hình, định tính và định lượng các hàm số sơ cấp; các bài toán về bấtđẳng thức, bất PT,…

Bùi Văn nghị trong công trình [63]: “Vận dụng tư duy thuật toán vào việc xác định hình để giải các bài toán Hình học không gian ở trường trung học phổ thông” (1996), đề ra 6 quy trình có tính chất thuật toán: Xác định

giao tuyến của hai mặt phẳng; xác định giao điểm của đường thẳng và mặtphẳng; xác định hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt phẳng; xácđịnh thiết diện của một đa diện bởi mặt phẳng chứa đường thẳng song songvới đường thẳng kia (trong đó 2 đường thẳng này song song với nhau); xác

định thiết diện của một đa diện bởi mặt phẳng đi qua một điểm và song songvới 2 đường thẳng chéo nhau; xác định thiết diện của một đa diện bởi mặtphẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng.

Vương Dương Minh trong công trình [62]: “Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông”

(1996) xây dựng 8 tình huống điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng tính toán vàphát triển TDTG khi DH các hệ thống số

Trần Luận (1996), Vận dụng tư tưởng sư phạm của G Pôlya xây dựng nội dung và phương pháp dạy học trên cơ sở các hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm phát huy năng lực sáng tạo của học sinh chuyên Toán cấp II [61], tác giả đã vận dụng tư tưởng sư phạm của G Pôlya, đề xuất các định hướng cơ

bản và các biện pháp sư phạm DH theo chủ đề kiến thức bằng hệ thống bàitập cho HS các lớp chuyên toán THCS của nước ta

Trong công trình [44], Nguyễn Thái Hòe (1997), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội đã đề cập đến các PP tìm tòi lời

giải bài toán Đây là dạng TTPP mang tính tìm đoán đã được tác giả trình bày

Nguyễn Văn Thuận (2004), Góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic

và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp trung học phổ thông trong dạy học đại số [98], đã đưa ra định hướng và xây dựng 7 biện

pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực TD lôgic và sử dụng chínhxác ngôn ngữ toán học cho HS lớp 10 trong DH Đại số Trong đó quan tâmđến việc bồi dưỡng HĐ dự đoán, mò mẫm của HS để giải quyết bài toán

Trong công trình Phương pháp dạy học Toán ở trường trung học phổ thông (các tình huống dạy học điển hình) (2005), Nxb Quốc gia TPHCM của

tác giả Lê Văn Tiến đề cập đến 2 loại tri thức: TTSV và TTPP và nêu ra cấp

độ DH TTPP, bao gồm: DH một cách tường minh TTPP, Thông báo tườngminh TTPP trong quá trình HĐ, truyền thụ ngầm ẩn thông qua việc tập luyệnnhững HĐ ăn khớp với TTPP [85]

Trong công trình Cái và Cách (2010), Nhà xuất bản Giáo dục Việt Namcủa tác giả Hồ Ngọc Đại đã đề cập đến cái chính là cái máy bay, cái xe máy,

và cách chính là cách vận hành nó Gắn với toán học, cái và cách chính làTTSV và TTPP

Đào Tam trong công trình (2010): “Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông”[84] nói về các dạng TTPP

cần luyện tập cho HS và cần phát hiện thông qua HĐ giải toán: Những TTPPđịnh hướng cho HĐ nhận thức Nhưng tựu chung TTPP có hai dạng chủ yếu:những TTPP có tính chất thuật toán; Những PP có tính chất tìm đoán

Chu Trọng Thanh [96] nói về TT đề cập đến sự chuyển hóa từ TTSVthành TTPP trong môn toán Trong khi tổ chức cho HS HĐ giải quyết cácnhiệm vụ nhận thức cần làm rõ sự phối hợp giữa suy luận có lí và quá trìnhhuy động, vận dụng từng nhóm kiến thức Việc làm này có tác dụng hìnhthành cho HS TTPP mang tính chất tìm đoán Những TT này có vai trò địnhhướng HĐ giải quyết vấn đề và khám phá, sáng tạo TT mới, sáng tạo PP mớitrong giải toán

Nguyễn Hữu Hậu (2012), Khai thác và tập luyện cho học sinh các hoạt động nhằm phát triển khả năng chiếm lĩnh tri thức trong dạy học Đại số - Giải tích ở bậc THPT [41], đã đưa ra định hướng để khai thác, tập luyện các

HĐ nhằm nâng cao khả năng chiếm lĩnh TT cho HS

Ngoài ra có một số tác giả đã nghiên cứu luận văn Thạc sĩ về tri thức

phương pháp như: Nguyễn Thị Mai Liên (2008), Dạy học tri thức phương pháp cho học sinh qua chủ đề giải toán có ứng dụng đạo hàm” ở lớp 12 THP,

đã đề xuất 3 biện pháp tăng cường truyền thụ TTPP trong dạy học giải toán có

ứng dụng đạo hàm; Lê Phi Hùng (2011), Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp như là phương tiện và kết quả của hoạt động trong dạy học Toán cho học sinh lớp 10 chuyên Toán, đã đề xuất 05 biện pháp sư phạm

nhằm truyền tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp trong dạy học Toán 10

cho học sinh chuyên Toán; Nguyễn Quỳnh Nga (2011), Dạy học tri thức

phương pháp theo hướng vận dụng lí thuyết kiến tạo thể hiện qua chủ đề biến hình ở trường THPT, đã đề xuất 03 phương thức bồi dưỡng tri thức phương

pháp thông qua dạy học biến hình theo hướng vận dụng lý thuyết kiến tạo

1.1.3 Một số kết luận

Nền giáo dục Việt Nam ở mỗi giai đoạn lịch sử khác nhau, đều có sựquan tâm đến việc đổi mới PPDH, đó chính là việc làm nâng cao chất lượng

DH Đối với trường phổ thông, dạy toán là dạy HĐ toán học mà chủ yếu là

HĐ giải toán, việc giải toán thì mấu chốt là yếu tố PP Chính vì vậy việc quantâm truyền thụ TTPP là việc làm cần thiết Có nhiều tác giả quan tâm nghiêncứu về TTPP và những vấn đề liên quan đến TTPP trong DH toán ở trườngTHPT như đã nêu trên Trong các công trình đó, điển hình là trong các tài liệucủa Nguyễn Bá Kim (2006) đã dành sự quan tâm cho sự truyền thụ tri thức,đặc biệt là TTPP Quan điểm HĐ trong PP dạy học toán do ông nêu ra đãđược trình bày thể hiện qua 4 tư tưởng chủ đạo Một trong số 4 tư tưởng chủđạo đó là truyền thụ TT đặc biệt là TTPP như là phương tiện và kết quả của

HĐ [51] Bên cạnh đó G.Pôlya [71] với tác phẩm giải bài toán như thế nàocũng đã trình bày quy trình 4 bước và bảng gợi ý, cách đặt câu hỏi cho HSsuy nghĩ và tìm tòi Các công trình đó thực sự có ý nghĩa, tuy nhiên về vấn đềnày tôi thấy cần có nghiên cứu thêm làm sáng tỏ về nội hàm TTPP và cáchthức truyền thụ cho HS

từ những TT sơ đẳng đầu tiên sang những TT sâu sắc hơn [1, tr 65]

Như vậy, khi có con người thì đồng thời xuất hiện TT, nó là kết quả củaquá trình con người nhận thức thực tại khách quan đã được kiểm nghiệm quathực tiễn, là phản ánh trung thực thực tại khách quan trong ý thức con người

và TT là kết quả của quá trình TD tích cực Muốn có TT, con người phải tiếnhành HĐ nhận thức Sự phát triển của TT trong quá trình nhận thức được tiếnhành theo con đường chính xác hoá chúng, bổ sung, đào sâu đem lại chochúng tính hệ thống và khái quát Chẳng hạn, khi ta nói đến TT như: Tựnhiên, xã hội, kinh tế, y học, giáo dục,… TT đó thường được mã hóa dướidạng văn bản, tài liệu,…; Khi nói đến con người có TT về lĩnh vực nào đó thì

đó là điều am hiểu của họ có được thông qua giáo dục hoặc là nhờ trải nghiệmcuộc sống, chẳng hạn như: Kinh nghiệm của đồng bào dân tộc khi nhìn lênbầu trời, dựa vào thời tiết thì biết được hiện tượng lũ ống, lũ quét, sạt lởđất, ; HS có khả năng cảm nhận văn học tốt hoặc khả năng giải một bài toánbằng nhiều cách Đó là TT ẩn trong HS ấy Có nhiều sự phân loại về TT, trongluận án này chúng tôi quan tâm đến TT trong nhà trường, đặc biệt là TT trong

DH môn toán

1.2.2 Các dạng tri thức trong dạy học môn Toán

* Theo Nguyễn Bá Kim [51, tr 41] người ta thường phân biệt bốndạng TT phổ biến sau trong DH Toán: Tri thức sự vật (TTSV); tri thứcphương pháp (TTPP); tri thức chuẩn; tri thức giá trị Có thể phân tích cụ thểnhư sau:

- Tri thức sự vật: “Tri thức sự vật trong môn Toán thường là một khái niệm, một định lí, cũng có khi là một yếu tố lịch sử, một ứng dụng Toán học,

…” [51, tr 42] Chẳng hạn khái niệm vectơ, định lý hàm số cosin, lịch sử hình

thành và phát triển lượng giác, ứng dụng Toán học vào cuộc sống,… Như vậy,TTSV là TT về toàn bộ những yếu tố và quá trình được sắp xếp theo một trật

tự nhất định, cấu thành sự vật hoặc hiện tượng Các TTSV nói trên là những

TT cụ thể trong DH Toán phải được truyền thụ cho HS thông qua quá trìnhHĐDH Toán

- Tri thức phương pháp: TTPP liên hệ với hai loại PP khác nhau về

bản chất: những PP là những thuật giải và những PP có tính chất tìm tòi[51, tr 42] Chẳng hạn như: giải PT bậc hai một ẩn, PP tổng quát của G.Pôlya để giải bài tập toán,… Chúng tôi sẽ đề cập sâu về TTPP ở trong

mục 1.2

- Tri thức chuẩn: là những TT liên quan đến những chuẩn mực nhất

định, những quy định giúp cho việc học tập và giao lưu TT Chẳng hạn, nhưquy định về những đơn vị đo lường, quy ước về làm tròn số cho các giá trịgần đúng… hoặc các chuẩn mực của việc trình bày giả thiết, kết luận, trìnhbày chứng minh của bài toán…

- Tri thức giá trị: có nội dung là những mệnh đề đánh giá, bình

luận… khi xem xét một nội dung nào đó Chẳng hạn, chúng ta có thể đánhgiá: "Bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong Toánhọc" hoặc " PP đặt ẩn phụ giải quyết hiệu quả một số bài toán";…

* Theo cấu trúc trí tuệ của N.A Menchinxcaia, TT gồm hai thànhphần: cái được phản ánh và phương thức phản ánh [65, tr 44] Có thể vậndụng cấu trúc này trong DH môn toán như sau:

- TT về đối tượng: TT về đối tượng phản ánh được coi là nguyên liệu,

phương tiện của HĐ trí tuệ Như vậy, TT về đối tượng trong DH môn toán làcông cụ để tiến hành HĐ trí tuệ, HĐ nhận thức TT đó như: định nghĩa theoquy trình, định lý,

- TT về các thủ thuật trí tuệ: Thủ thuật trí tuệ là một hệ thống các thao

tác, được hình thành để giải quyết nhiệm vụ theo một kiểu nhất định Chẳnghạn, việc vận dụng định nghĩa theo quy trình, vận dụng định lý, để giảimột số dạng toán

1.2.3 Mối quan hệ giữa tri thức và tư duy trong quá trình dạy học

TD là một khái niệm khá quen thuộc trong đời sống xã hội của conngười Nói đến TD người ta nghĩ ngay đến một quá trình suy nghĩ, nhận thứcnào đó Trong đó, nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống

tâm lý của con người, cung cấp những vật liệu cho các HĐ tâm lí cao hơn.Tuy nhiên, chỉ đơn thuần nhận thức cảm tính sẽ không thể giải quyết đượcnhiều vấn đề thực tế đặt ra Muốn hiểu biết và cải tạo được thế giới, conngười phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lý tính hay còngọi là TD.

“TD có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội Người ta dựa vào TD để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những quy luật đó trong HĐ thực tiễn của mình” (dẫn theo [98, tr 13]).

Theo Nguyễn Văn Thuận, quá trình TD là một hành động trí tuệ: quátrình TD được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhấtđịnh Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào một quá trình TD cụ thể với tưcách một hành động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, kháiquát hoá, [98, tr 13]

Theo M.Crguliăc "Chỉ có thể thực sự lĩnh hội được TT khi TD tích cực của bản thân HS được phát triển và nhờ sự hướng dẫn của GV các em biết phân tích và khái quát tài liệu có nội dung sự kiện cụ thể và rút ra được những kết luận cần thiết" [1, tr 64].

Nhờ TD mà có thể chuyển được từ những TT sơ đẳng đầu tiên sangnhững TT sâu sắc hơn, chuyển từ hiện tượng sang bản chất và từ bản chấtsang bản chất bậc hai… Nguyên nhân là do TT về bản chất không nằm trên

bề mặt của hiện tượng, chỉ trong quá trình phân tích mới có thể phát hiện

và tìm ra được chúng TD càng phát triển mạnh bao nhiêu thì càng có nhiềukhả năng lĩnh hội TT một cách có kết quả sâu sắc và càng có nhiều khảnăng vận dụng những TT ấy trong HĐ thực tế bấy nhiêu TT và TD gắn vớinhau như sản phẩm đi đôi với quá trình Lĩnh hội TT về một đối tượng nào

đó thì đấy là sản phẩm, là kết quả quá trình triển khai lôgic của hiện tượng

ấy trong TD Vì vậy không thể tách rời TT khỏi TD, TT được bộc lộ ra vàhình thành trong TD Mặt khác những TT lĩnh hội được lại tham gia vàoquá trình TD như là một yếu tố của TD để tiếp thu những TT mới khác

Dựa vào cái đã biết và nhờ TD con người suy ra được những TT mới TTtrong khi là kết quả của TD lại đồng thời là một trong những điều kiện của

TD Kỹ năng TD và việc lĩnh hội TT - thống nhất biện chứng với nhau [1,

tr 65]

Trong quá trình DH, tính hiệu quả của việc DH không chỉ là kết quảcủa thông tin HS thu nhận được từ lời nói của thầy, từ bài vở trong SGK, màcòn là sản phẩm của những hành động tìm tòi, của TD tích cực đối với bảnthân các em Như vậy, TT là sản phẩm của TD, nhờ có TD mà trong quátrình DH người GV có thể giúp cho HS chiếm lĩnh được TT và từ những TTnếu GV quan tâm tập luyện cho HS các thao tác TD thì sẽ hình thành cho HSđược TT mới

Ví dụ 1.1: Trong mặt phẳng cho 15 điểm A A A1, , , ,2 3 A , trong đó có15

5 điểm thẳng hàng và trong 10 điểm còn lại không có bất kỳ 3 điểm nào thẳnghàng Hỏi có thể dựng được bao nhiêu tam giác từ các điểm đã cho?

Đứng trước yêu cầu cần giải quyết đòi hỏi GV phải rèn luyện cho HSnắm vững được các thao tác: phân tích, tổng hợp, giúp HS nắm vững kiếnthức, HS nhìn rõ đối tượng dưới nhiều góc độ, khía cạnh khác nhau Đó chính

là cơ sở để HS tìm tòi, vận dụng sáng tạo giải nhiệm vụ đặt ra

Bước 1: Phân tích từ 15 điểm đã cho có C153 cách chọn ra 3 điểm Tuy nhiên trong C153 cách chọn đó GV không quên lưu ý HS rằngtồn tại cả 3 điểm thẳng hàng và 3 điểm không thẳng hàng để HS tiếp tụcphân tích: từ 5 điểm thẳng hàng có C35 cách chọn ra 3 điểm Dĩ nhiên C35

cách chọn 3 điểm này không thẳng hàng Từ HĐ phân tích này HS tiếnhành tổng hợp

Bước 2: Tổng hợp số tam giác dựng được từ các điểm đã cho

15 5

Sau khi tiến hành các HĐ phân tích, tổng hợp GV yêu cầu HS trình bàycách giải bài toán và đề xuất bài toán tương tự đối với n điểm Đó chính làviệc rèn luyện cho HS khả năng khái quát hóa.

1.3 Tri thức phương pháp trong dạy học môn Toán

1.3.1 Tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động

1.3.1.1 Khái niệm

Theo Từ điển Tiếng Việt, PP là cách nhận thức, nghiên cứu hiện tượngcủa tự nhiên và đời sống xã hội; là hệ thống các cách để tiến hành một HĐnào đó [76, tr 782] Theo Nguyễn Bá Kim, PP thường được hiểu là conđường, là cách thức để đạt được những mục tiêu nhất định [51, tr 103] TTPPnhư phương tiện và kết quả của HĐ Đặc biệt, TTPP định hướng cho HĐ vàảnh hưởng quan trọng tới việc rèn luyện kỹ năng [51, tr 143] Như vậy, PP làcách thức, con đường để đạt tới mục đích nhất định trong nhận thức và trongthực tiễn Hiểu theo nghĩa HĐ thì, TTPP vừa là điều kiện vừa là kết quả của

HĐ và TTPP là TT về PP để tiến hành giải quyết một kiểu nhiệm vụ nào đó,

PP đó được thực hiện dựa trên hệ thống các nguyên tắc, hệ thống các thao tácnhằm thực hiện mục đích xác định Hệ thống các nguyên tắc, các thao tác nóitrên được rút ra từ TTSV, từ TT về các quy luật khách quan để con người điềuchỉnh HĐ nhận thức và HĐ thực tiễn TTPP có liên hệ với hai loại PP, đó là:những PP có tính chất thuật giải như: PP tìm UCLN của hai số tự nhiên, PPgiải PT bậc hai,… và những PP có tính chất tìm đoán, chẳng hạn PP tổng quátcủa G Pôlya để giải bài tập Toán học

Từ việc phân tích, xem xét tri thức phương pháp theo quan điểm hoạtđộng của Nguyễn Bá Kim, chúng tôi quan niệm: Tri thức phương pháp là trithức chứa đựng cách thức, con đường giải quyết một nhiệm vụ nào đó Là trithức tham gia trực tiếp vào quá trình định hướng, điều chỉnh hoạt động pháthiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức Hiểu như vậy, tri thức phương phápgồm: tri thức phương pháp có tính chất thuật giải, tri thức phương pháp cótính chất tìm đoán, tri thức phương pháp thuộc phạm trù phương pháp luậnnhận thức, tri thức sự vật chuyển hóa thành tri thức phương pháp

TTPP được rút ra trong bài toán này: Vế trái PT x4 + y4 +z4 =3 trong

hệ (1) là bình phương vô hướng của ur =( ; ; )x y z2 2 2 Vế trái của PT

1.31.2 Các loại hình tri thức phương pháp

* Xét về mặt cơ sở định hướng cho HĐ thì trong chương trình môntoán THPT có những TTPP thường gặp sau:

+ Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động toán học

cụ thể: Những TT về PP tiến hành những HĐ toán học cụ thể là những HĐ

được thực hiện tương thích với nội dung toán học cụ thể, nó có tác động gópphần kiến tạo hoặc củng cố, ứng dụng những TT được bao hàm trong nội dung

đó Chẳng hạn như: Giải PT lượng giác (dạng cơ bản sinx=a, cosx a= ,

tan x=a, cot x a= ; PT bậc 2, bậc 3 đối với một hàm số lượng giác; PT bậc

nhất đối với sinx và cos x ; PT đối xứng đối với sinx và cos x ; PT đẳng cấp

bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cos x ); tìm giới hạn dạng 0 , ,0

Ví dụ 1.3: TTPP giải PT lượng giác cơ bản ( sinx=a,cosx a= ) thì quytrình giải được thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Xem a >1hay a ≤1

+ Nếu a >1 thì PT sinx=a,cosx a= vô nghiệm

+ Nếu a ≤1, đặt sinϕ =a ( cosϕ =a ) thì PT sinx a= có nghiệm là

Ví dụ 1.4: Dùng định nghĩa tìm giới hạn của hàm số sau:

2 2( )

để hàm số có đạo hàm,…

Những TT về PP tiến hành những HĐ trí tuệ phổ biến phải được GV càiđặt trong những tình huống cụ thể: vấn đề ngược lại nó như thế nào? PT đó cónghiệm hay không? Có giải được hay không? Các trường hợp xảy ra đã triệt

để chưa, còn trường hợp nào khác không? Hỏi như vậy không phải là kiểu hỏibâng quơ mà từ đó HS có thể nhìn nhận và giải quyết bài toán một cách cóhiệu quả

Vấn đề phân chia trường hợp là rất quan trọng Đối với bài toán kiểu nhưtrên thì việc phân chia quyết định chất lượng giải toán Trong phân chiatrường hợp phải tuân theo một số quy tắc nhất định: Sự phân chia phải triệt

để, không được bỏ sót; Sự phân chia (phân loại) không được trùng lặp; Cùngmột lúc không được đưa vào các dấu hiệu khác nhau để phân chia; Phân chiaphải liên tục [98, tr.74]

giải quyết, đó chính là dạng bất PT logarit khi mũ hóa thì khả năng cơ số cóthể lớn hơn 1 hoặc thuộc (0;1) Như vậy đối với bài toán này thì phải xét 2trường hợp.

x x

hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ Tổng hợp là liên kết những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ

thống Phân tích và tổng hợp là hai HĐ trí tuệ trái ngược nhau nhưng là hai

HĐ trí tuệ cơ bản của quá trình TD Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm

bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, nó phụ thuộc vào mục đích

và hành động Còn khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang

một tập hợp lớn hơn chứa tất cả các tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một

số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát và trừu tượnghóa là điều kiện cần của khái quát hóa Như vậy, tất cả các HĐ trí tuệ chungđều diễn ra trên nền tảng phân tích, tổng hợp Việc khớp các trường hợpriêng vào biểu thức tổng quát là trừu tượng hóa

Ví dụ 1.6: Tìm 2

3lim

1

x

x x

→∞

++

Có HS tìm giới hạn như sau: 2

2

313

∞ này, khi tiến hành chia cả tử và mẫu cho x mà

HS không chú ý hình thức chia phải được thực hiện trên cơ sở xem xét x nằm

trong căn thức, nên đã dẫn tới sai lầm Việc chia đó phải xem xét đến yếu tố

x > và x<0 Từ đó tiến hành phân tích

2 2

2

31113

3

11

1

x

x x

→∞

++ Ta có 2

2

3 13

11

11

+ Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động ngôn ngữ

logic: Đây là HĐ được thực hiện khi GV yêu cầu HS phát biểu, giải thích một

định nghĩa, một mệnh đề nào đó,… mà sự thể hiện đó đặc biệt bằng lời lẽ củamình, hoặc biến đổi tương đương từ dạng này sang dạng khác Chẳng hạnnhư: Thể hiện định nghĩa giới hạn hàm số bằng các cách khác nhau, địnhnghĩa hàm số liên tục,

Theo Nguyễn Bá Kim môn toán có tiềm năng to lớn trong việc rèn luyện

TD lôgic cho HS, mà TD không thể tách rời ngôn ngữ, ngôn ngữ được hìnhthành nhờ TD Vì vậy việc phát triển TD lôgic gắn liền với việc rèn luyệnngôn ngữ chính xác [51, tr 45] Như vậy, ngôn ngữ thể hiện trình độ TD.Theo Nguyễn Văn Thuận, khi dạy định lý ta thường xuyên phải lưu ý để

HS không nhầm lẫn điều kiện cần với điều kiện đủ, thì khi dạy định nghĩa, lại

cần làm cho họ hiểu rằng, cách phát biểu của định nghĩa có cấu trúc lôgic theokiểu điều kiện cần và đủ [98, tr 86].

Việc làm cho HS thấy rằng, muốn phát biểu một định nghĩa nào đó dưới

một dạng thức khác, thì trong dạng thức ấy, phải bao gồm những điều kiện tương đương với các điều kiện nêu trong định nghĩa ban đầu.

Ví dụ 1.7: Khi HS đã được trang bị định nghĩa hàm số ( )f x liên tục tại

điểm x GV yêu cầu HS phát biểu định nghĩa dưới dạng tương đương Khi đó0

HS có cơ hội để diễn đạt, trình bày, có thể sự trình bày đó chưa đạt đến mức

độ hoàn chỉnh, chẳng hạn: Hàm số ( )f x xác định trên khoảng ( )a b được gọi;

là liên tục tại điểm x0 ⇔ ∈x0 ( )a b; và lim ( )0 ( )0

x x f x f x

Nếu HS chưa thể phát biểu được định nghĩa tương đương GV có thể định

hướng bằng câu hỏi:

lim ( ) ( )

x x f x f x

→ = có thể được thay thế bằng một đẳng

thức về giới hạn phải và giới hạn trái được không? nếu được em hãy nêu đẳng

thức đó, khi đó HS sẽ tự chỉ ra được ngay là:

Lúc này người GV phải chỉ dẫn để định nghĩa đó được khắc sâu trong HS

* Xét về mặt tính chất thì trong chương tình môn toán THPT có nhữngTTPP thường gặp sau:

+ Tri thức phương pháp có tính chất thuật giải: Trong chương trình

toán THPT có rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp Đối với một số bàitoán, tồn tại những quy tắc xác định mô tả quá trình giải Thuật giải theonghĩa trực giác được hiểu như một dãy những chỉ dẫn thực hiện được mộtcách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổithông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thành thông tin ra (OUTPUT) mô

tả lời giải của lớp bài toán đó Thực tiễn DH, ta cũng thường gặp một số quytắc chưa mang đầy đủ các đặc điểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng một sốđặc điểm đó tỏ ra có ích trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán Đó chính

là những quy tắc tựa thuật giải, được hiểu như một dãy hữu hạn chỉ dẫn thựchiện theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bàitoán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó [51, tr 379] Chẳnghạn, quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f x( ) Trong môn toán THPT, có

nhiều dạng toán được giải quyết nhờ thuật giải Trong thực tế giảng dạynhững bài toán, những dạng toán có thuật giải, có qui tắc giải, có sự phân chiathành các bước để giải thì HS dễ tiếp thu lĩnh hội Có thể xác định TTPP cóthuật giải gồm: Xét tính chẳn, lẻ của hàm số, chứng minh hàm số chẵn, hàm

số lẻ; xét tính tuần hoàn của hàm số; chứng minh hàm số tuần hoàn; giải PTlượng giác cơ bản: ( sinx=a, cosx a= , tanx=a, cot x a= ); giải PT bậc nhấtđối với một hàm số lượng giác; giải PT bậc 2, bậc 3 đối với một hàm số lượng

giác; giải PT bậc nhất đối với sinx và cos x ; giải PT đối xứng đối với sin x và cos x ; giải PT đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sin x và cos x ; chứng minh dãy

số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn; tìm đạo hàm của hàm số; PT tiếp tuyếncủa đồ thị hàm số, TTPP phản chứng, TTPP quy nạp toán học;…

Ví dụ 1.8: Giải PT sin cos - (sinx - cos ) 1x x x = (*)

Đây là bài toán thuộc lớp bài toán có thuật giải Tuy nhiên, GV cầnquan tâm khơi gợi để HS thấy được mối liên hệ giữa các đối tượng xuất hiệntrong bài toán Từ đó, bồi dưỡng cho họ khả năng hình thành thuật giải Việclàm đó giúp cho HS hình thành và chiếm lĩnh TTPP một cách chủ động, sángtạo Như vậy, dưới sự định hướng của GV thì HS có thể thực hiện giải nhưsau:

Bước 1: Đặt sinx - cosx t= −,( 2≤ ≤t 2) sin x cos 1 2

+ Tri thức phương pháp có tính chất tìm đoán: Cùng với những thuật

giải và quy tắc tựa thuật giải, ta cũng không được lãng quên một số quy tắc,

PP có tính chất tìm đoán như quy lạ về quen, khát quát hóa, tương tự hóa, PPtìm tòi lời giải bài toán,… [51, tr 386] Trong chương trình môn toán THPT,ngoài những bài toán có thuật giải cụ thể thì cũng có nhiều bài toán chưa cóthuật giải rõ ràng mà việc giải quyết nó phải thông qua quá trình tìm đoán Cóthể xác định TTPP chưa có thuật giải gồm: Tìm tập xác định của hàm số; tìmtập giá trị của hàm số; tìm GTLN, GTNN của hàm số; chứng minh biểu thức

không phụ thuộc vào đối số x ; tìm giá trị của biểu thức; chứng minh hệ thức

lượng trong tam giác; nhận dạng tam giác; giải một số PT lượng giác khác;giải PT, bất PT liên quan đến: , k, k

x x

Đây là bài toán chưa có thuật giải, để HS giải được bài toán này người

GV cho HS nghiên cứu và nhận dạng bài toán với những câu hỏi mang tínhgợi mở, chẳng hạn: PT này có phải là dạng cơ bản nào mà các em đã học? đểgiải PT này em sẽ làm như thế nào? Với câu hỏi kiểu như vậy, HS có thểkhông trả lời được để giải PT này ta phải đưa về dạng PT cơ bản Bởi vì, việc

đưa PT trên về dạng PT cơ bản như thế nào thì đó là câu hỏi khó Cái mấuchốt ở đây GV có thể định hướng cho HS: Em hãy xem PT đã cho có yếu tốnào đặc biệt không? giữa tan( )

x−π không? Em hãy hãy phân

tích thử Việc hỏi như vậy, hướng đến việc HS trả lời được:

os2 (sin os ) (sin x cos )(sin x cos )

2sin(x- ) 2sin(x+ )= -2sin(x- ) os(x- )

− = − , lẽ dĩ nhiên PT đã cho tương

đương với PT: tan( ) tan( )

TTPP trong bài toán này chính là dấu hiệu để giải bài toán bằng cáchđặt ẩn phụ: đối với bài toán giải PT, bất PT,… mà biểu thức của nó có thểphân tích thành nhóm các số hạng và giữa chúng có mối liên hệ cho bởi các

hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua nhau thì có thể giải được bằng

PP đặt ẩn phụ Tuy nhiên, có những bài toán sau khi đặt ẩn phụ nhưng cácbiểu thức trong bài toán vẫn còn chứa ẩn ban đầu Chẳng hạn: Giải PT

(4sin x 1)− t=2t +2sinx−1⇔2t2 −(4sinx−1)t+2sinx− =1 0

PT này có nghiệm t =2sinx−1 Như vậy sin2 x+ =1 2sinx−1 PT

này dễ dàng giải được

* Xét về mặt nội dung DH thì trong chương trình môn Toán THPT cónhững TTPP thường gặp sau:

+ Tri thức phương pháp trong các chủ đề tập hợp, lôgic và thống kê

Trong chủ đề tập hợp lôgic có thể xác định một số TTPP như sau: PP(cách) cho một tập hợp; PP lập một mệnh đề mới từ mệnh đề cho trước; PPrút ra một kết luận đúng từ các tiền đề cho trước; PP chứng minh quy nạp toánhọc; PP chứng minh phản chứng; PP chứng minh quy nạp hoàn toàn; PP lậpmột tập hợp mới từ các tập hợp cho trước; PP chứng minh hai tập hợp bằngnhau; PP suy ngược để tìm phép chứng minh một kết luận; PP suy xuôi đếnphủ định một kết luận; PP kiến thiết để chứng minh sự tồn tại hay phủ địnhmột kết luận có sử dụng lượng từ phổ biến; PP sử dụng sự tương giao của cáctập hợp vào giải toán dựng hình, giải các hệ PT, hệ bất PT và hệ hỗn hợp; PPchứng minh bằng cách sử dụng phép tương đương; PP lập bảng số liệu thống

kê và đọc thông tin thống kê; Các quy tắc đếm cấu hình tổ hợp; các nguyên lý

tổ hợp;

+ Tri thức phương pháp trong phân môn Đại số

Trong phân môn Đại số có thể xác định một số TTPP như sau: PP giải

và biện luận PT dạng bậc nhất một ẩn số; PP giải và biện luận PT bậc hai một

ẩn số; PP giải và biện luận hệ PT bậc nhất hai ẩn số; PP giải và biện luận một

số loại hệ PT bậc hai có hai ẩn số; PP giải toán bậc nhất; PP giải toán bậc hai;

PP giải và biện luận PT, hệ PT vô tỷ; PP giải và biện luận PT, hệ PT lượnggiác; PP giải và biện luận PT, hệ PT mũ và lôgarit; PP sơ cấp khảo sát hàm sốbậc nhất, bậc hai; PP chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; PP phân tích đathức thành nhân tử; PP giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; PP tamthức bậc hai; PP hệ số bất định; PP tính một số tổng liên quan đến dãy số; PPlượng giác hóa giải toán đại số;

+ Tri thức phương pháp trong phân môn Giải tích

Trong phân môn Giải tích thể xác định một số TTPP như sau: PP (cách)cho dãy số; PP tìm giới hạn dãy số; PP khử các dạng vô định trong tìm giớihạn dãy số; PP cho hàm số; PP tính giới hạn của hàm số; PP xét tính liên tụccủa hàm số; PP tính đạo hàm của hàm số; PP xét tính khả vi của hàm số; PPkhảo sát hàm số bằng đạo hàm; PP tính nguyên hàm của hàm số; PP tính tíchphân của hàm số trên một đoạn; PP tính tích phân suy rộng; PP tính diện tích,thể tích bằng tích phân; PP lượng giác hóa giải toán giải tích;…

+ Tri thức phương pháp trong phân môn Hình học

Trong phân môn Hình học có thể xác định một số TTPP như sau: PPtiên đề trong xây dựng hình học; PP giải toán tìm tập hợp điểm; PP giải toánquỹ tích; PP diện tích; PP tọa độ trong mặt phẳng; PP tọa độ trong không gian;

PP biến hình; PP dựng hình; PP vẽ hình biểu diễn các hình hình học; PP tách

bộ phận phẳng trong bài toán hình học không gian; PP đại số trong hình học;

…

+ Tri thức phương pháp trong chủ đề số phức

Trong chủ đề số phức có thể xác định một số TTPP như sau: các hệthống số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỷ và số thực; các hệ thống số phức

1.3.2 Tri thức phương pháp thuộc phạm trù duy vật biện chứng

1.3.2.1 Tri thức về mối quan hệ nhân quả

Mối quan hệ nhân quả là mối quan hệ sản sinh ra nhau giữa các sự vật,hiện tượng trong hiện thực khách quan Nguyên nhân chỉ sự tác động lẫn nhaugiữa các mặt trong một sự vật hoặc giữa các sự vật với nhau, tạo nên một sựbiến đổi nhất định nào đó Kết quả là những biến đổi xuất hiện do tác độnglẫn nhau giữa các mặt trong một sự vật hoặc giữa các sư vật với nhau gây ra.

Như vậy, mối quan hệ nhân quả có tính khách quan, có tính tất yếu vàtính phổ biến Một nguyên nhân có thể có nhiều kết quả khác nhau và ngượclại một kết quả có thể do nhiều nguyên nhân

Trong DH toán thì những TT là một chuỗi mắt xích liên kết chặt chẽvới nhau, các TT đã biết sẽ tạo tiền đề và giải thích cho sự xuất hiện của một

TT mới, và đôi khi một TT mới hình thành sẽ giải thích căn nguyên của sự tồntại của các TT cũ Vì vậy, cần xác định TT “cội nguồn” liên quan tới đốitượng nghiên cứu để phát hiện đúng cách huy động TT hay các nhóm TT đã

có để giải thích tình huống mới, nhận thức đối tượng mới

Ví dụ 1.10: Cho tam giác ABC , có độ

dài các cạnh lần lượt là , ,a b c Gọi AD là

đường phân giác trong của góc A Chứng

Cần nhận thức rõ bài toán chứng minh này liên quan tới các hệ thức về

độ dài; tích các độ dài, bình phương độ dài, độ lớn góc được suy ra từ TT “cộinguồn” là tích vô hướng Vì vậy, chứng minh hệ thức về độ dài của đườngphân giác theo tính chất của đường phân giác như sau:

1.3.2.2 Tri thức về mối liên hệ giữa cái chung riêng

Khi ta hiểu cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng có nghĩa là những thuộctính, tính chất, các mối liên hệ đúng trong cái chung thì đúng cho mọi cáiriêng Như vậy, những tính chất của cái riêng phong phú hơn những tính chấtcủa những đối tượng có “ngoại diên” rộng hơn; chẳng hạn: hình chữ nhật,hình vuông có nhiều tính chất phong phú hơn hình bình hành Chẳng hạn cáchình chữ nhật, hình vuông nội tiếp trong đường tròn còn hình bình hànhkhông có tính chất đó Vì vậy ta nói cái riêng là cái toàn bộ đa dạng hơn

Như vậy, TT về mối liên hệ giữa cái chung cái riêng bộc lộ trong HĐkhảo sát những tính chất có mặt trong một số trường hợp riêng sau đó mởrộng cho tập hợp các đối tượng có “ngoại diên” rộng hơn để phát hiện TTmới Chẳng hạn, trong DH Toán nhiều khi để chứng minh một mệnh đề nào

đó trong trường hợp cụ thể thì người ta tìm cách chứng minh trong trườnghợp tổng quát rồi sau đó đặc biệt hoá hoặc chứng minh một vấn đề toán họcnào đó cũng có thể thông qua chứng minh trường hợp cụ thể rồi khái quát

nó lên Vì vậy, vận dụng mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng vào pháttriển nhận thức cho HS trong DH Toán có thể thông qua việc tổ chức cho

HS HĐ khảo sát các trường hợp riêng thông qua HĐ phát hiện để tìm cáichung - TT mới tổng quát hơn Việc làm đó có thể khái quát thành các bước

cụ thể như sau: