Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình (Đề chính thức)

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình (Đề chính thức) đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các em học sinh, giáo viên trong quá trình ôn luyện, củng cố, đánh giá năng lực Toán của học sinh lớp 12.

S  GDĐT NINH BÌNH Ở Đ  THI CH N H C SINH GI I L P 12 THPT Ề Ọ Ọ Ỏ Ớ

K  thi th  nh t ­ ỳ ứ ấ Năm h c 2012 – 2013ọ

MÔN: TOÁN

Ngày thi 09/10/2012

(Th i gian lam bai 180 phút)ờ ̀ ̀

Đ  thi g m 04 câu, trong 01 trang ề ồ

Câu 1 (5 đi m): ể

Gi i h  ph ả ệ ươ ng trình: 

Câu 2 (5 đi m): ể

Cho tam giác ABC vuông t i A có đ ạ ườ ng cao AH. G i P, Q l n l ọ ầ ượ t là tâm  

đ ườ ng tròn n i ti p các tam giác ABH và ACH. Các đ ộ ế ườ ng th ng AP, AQ l n l ẳ ầ ượ   t

c t BC t i D và E. Ch ng minh r ng đ ắ ạ ứ ằ ườ ng thăng AH, DQ, EP đông quy tai môt ̉ ̀ ̣ ̣   điêm ̉

Câu 3 (6 đi m): ể

Cho ph ươ ng trình ( n x, tham s  n nguyên d ẩ ố ươ ng):

4

a) Ch ng minh r ng v i m i s  nguyên d ứ ằ ớ ỗ ố ươ ng n ph ươ ng trình có 1 nghi m ệ  

d ươ ng duy nh t, kí hi u nghi m đó là  ấ ệ ệ x n

b) Ch ng minh r ng  ứ ằ lim xn 1

3

=   Câu 4 (4 đi m): ể

Cho t p S ậ n = {1; 2; 3;…; n} v i n là s  nguyên d ớ ố ươ ng l n h n 2. Có bao ớ ơ   nhiêu cách chia t p S ậ n thành ba t p con khác r ng (h p v i nhau b ng S ậ ỗ ợ ớ ằ n và đôi m t ộ   giao v i nhau b ng r ng) sao cho m i t p con không ch a hai s  nguyên liên ti p? ớ ằ ỗ ỗ ậ ứ ố ế

H T Ế

H  và tên thí sinh :  S  báo  ọ ố

danh 

Đ  THI CHÍNH TH C Ề Ứ

H  và tên, ch  ký: Giám th  1: ọ ữ ị

Giám th  2: ị

S  GD&ĐT NINH BÌNHỞ HƯỚNG D N CH M Đ  THI CH N HSG L P 12 THPTẪ Ấ Ề Ọ Ớ

K  thi th  nh t ­ ỳ ứ ấ Năm h c 2012 – 2013ọ

MÔN: TOÁN

Ngày thi 09/10/2012  (h ướ ng d n ch m  g m 04 trang) ẫ ấ ồ

1

5 đi mể

Ta có: 

x, y,z 1>

�

Gi  s  ả ử x max{x; y;z}= �(y ­1)2 =max{(x ­1) ;(y ­1) ;(z ­1) }2 2 2

y max{x; y;z}= �x y= �y z=  V y x = y = z.ậ

Khi đó ta có phương trình: 

x 2

=

�

V y h  có nghi m duy nh t (x; y; z) = (2; 2; 2).ậ ệ ệ ấ

1,0

1,0 1,5

1,0 0,5

2

5 đi mể

Cách 1:

2

2

Mà BP là đường phân giác góc ﾷABE BP  là đường trung tr c c aự ủ  

đo n AE ạ �PA PE=

1,0

1,0

1,0

B

A

C

D P

Q

M t khác ặ PAE PAH HAEﾷ ﾷ ﾷ 1(BAH HAC)ﾷ ﾷ 1BAC 45ﾷ 0

PAE

∆

�  vuông cân t i đ nh P ạ ỉ �EP AD⊥

Tương t : ự �DQ AE⊥ .

V y AH, DQ, EQ là các đậ ường cao c a tam giác  ADE suy ra AH, ủ

DQ, EP đ ng quy.ồ

Cách 2: 

Áp d ng tính ch t tia phân giác các góc trong tam giác:ụ ấ

PA PD

HD DB

EC HE

QE

QA= AB BD

AH AB

AC AH

CE

AC= CEBD

PA HD QE. . 1

�

AH, DQ, EP đ ng quy (Đ nh lí Ceva)ồ ị

1,0

1,0

2,0

1,5

0,5 1

3

(6 đi m)ể

a) 2 đi mể

n

3

f x x 2x 3x nx

4

          ' ( ) 2 2 2 2 n 1

n

f x = + 1 2 x 3 x + + + n x −

Ta có  ' ( )

n

f x > ∀ 0  x R f x  đ ng bi n, liên t c  trên R. n( ) ồ ế ụ

Mà  f 0n( ) < 0; f 1n( ) > 0

( )

n

f x = 0

�  có nghi m duy nh t và nghi m đó thu c  ệ ấ ệ ộ ( ) 0;1

0,5 0,5 0,5 0,5 b) 4 đi m ể

−

−

� � = + + � � + + � � −

� � = + � � + + − � � + � � −

* n

3 2n

2n 3 1

� � = + + � � + + � � − − = −

+

� � = − < ∀

� � Suy ra  n( )n

1

3

� � <

� �

� �  suy ra  xn 1

3

>  (do  f x  là hàm s  đ ng n( ) ố ồ

bi n trên R) ế

1,0

0,5

V i m i  ớ ọ n N , theo đ nh lý Lagrange, t n t i * ị ồ ạ n n

1

3

� �  sao  cho:  f (x ) f ( )n n n 1 f (c )(xn' n n 1 )

x

3 f (x ) 4.3

+

− =

x

3 f (c ) 4.3 4.3

� (vì  ' ( )

n

f x > ∀ 1  x (0; � + � ) )

Mà  lim 2 3 0

4.3n n

n

3

n

n x

+ =

0,5

1,0

1,0

4

4 đi mể

Kí hi u S(n) là s  cách chia t p S thành ba t p con khác r ng sao choệ ố ậ ậ ỗ  

m i t p con không ch a hai s  nguyên liên ti p. ỗ ậ ứ ố ế

Các kh  năng x y ra khi chia t p Sả ả ậ n+1 = {1; 2; 3; ; n; n+1}

Kh  năng 1: ả  {n+1} không là m t trong ba t p con c a Sộ ậ ủ n+1

Ta th c hi n cách chia nh  sau: Chia Sự ệ ư n thành 3 t p con (th a mãnậ ỏ  

đ  bài) và b  xung ph n t  (ề ổ ầ ử n 1+ ) vào m t trong hai t p không ch aộ ậ ứ  

ph n t  n. Do đó s  cách chia trong trầ ử ố ường h p này là 2S(n).ợ

Kh  năng 2: ả  {n+1} không là m t trong ba t p con c a Sộ ậ ủ n+1

Khi đó các ph n t  Sầ ử n ph i n m trong hai t p còn l i. ả ằ ậ ạ Có th  th yể ấ  

ngay ch  có m t cách chia th a mãn (m t t p ch a các s  ch n vàỉ ộ ỏ ộ ậ ứ ố ẵ  

m t t p ch a các s  l ). Do đó, s  cách chia trong trộ ậ ứ ố ẻ ố ường h p này làợ  

1 cách

V y ta thu đậ ược công th c truy h i:ứ ồ

S n 1+ =2S n +1

S n 1 1 2 S n+ + = +1

Đ t  ặ un =S n( ) +1 �un 1+ =2un. V y  ậ ( )u   là m t c p s  nhân cón ộ ấ ố  

công b i b ng 2.ộ ằ

M t khác, ta th y ặ ấ S 3( ) =1 v y nên ta có ậ S n( ) =2n 2 − − ∀1, n 3

V y s  cách chia th a mãn yêu c u bài toán là ậ ố ỏ ầ S n( ) =2n 2 − − ∀1, n 3

1,5

1,0

0,5

1,0

­­­­­­­­­­­H t­­­­­­­­­­­ế

S  GDĐT NINH BÌNH Ở Đ  THI CH N H C SINH GI I L P 12 THPTỀ Ọ Ọ Ỏ Ớ  

K  thi th  nh t ­ ỳ ứ ấ Năm h c 2012 – 2013ọ

MÔN: TOÁN

Ngày thi 10/10/2012

(Th i gian lam bai 180 phút)ờ ̀ ̀

Đ  thi g m 04 câu, trong 01 trang ề ồ

Câu 1 (5 đi m): ể

Cho cac s  th c x, y, z, t tho  mãn:  ́ ố ự ả

z t 4z 2t 1 0

Tim gia tri l n nhât cua biêu th c: P = (x – z)(y – t) ̀ ́ ̣ ơ ́ ́ ̉ ̉ ư ́

Câu 2 (5 đi m): ể

Ch ng minh r ng ph ứ ằ ươ ng trình   x 2 y 2 6

có vô s  nghi m nguyên ố ệ  

d ươ ng. 

Câu 3 ( 5 điêm) ̉

Cho tam giác ABC n i ti p đ ộ ế ườ ng tròn tâm O, các đ ườ ng cao AM, BN  

Đi m D trên cung  ể BC  không ch a A c a đ ứ ủ ườ ng tròn (O) và khác B, C. Hai đ ườ   ng

th ng DA và BN c t nhau t i Q, hai đ ẳ ắ ạ ườ ng th ng DB và AM c t nhau t i P. G i I ẳ ắ ạ ọ  

là trung đi m c a PQ. Ch ng minh r ng ba đi m M, N, I th ng hàng ể ủ ứ ằ ể ẳ

Câu 4 (5 đi m): ể

Tìm t t c  các hàm s   ấ ả ố f : ﾷ ﾷ  th a mãn đi u ki n: ỏ ề ệ

( )

f x f y+ =4x f y 6x f (y)+ +4x f (y) + f (y) + −f x  v i m i  ớ ọ x, y ﾷ

H T Ế

Đ  THI CHÍNH TH C Ề Ứ

H  và tên thí sinh :  S  báo  ọ ố

danh 

H  và tên, ch  ký: Giám th  1: ọ ữ ị

Giám th  2: ị

S  GD&ĐT NINH BÌNHỞ HƯỚNG D N CH M Đ  THI CH N HSG L P 12 THPTẪ Ấ Ề Ọ Ớ

K  thi th  nh t ­ ỳ ứ ấ Năm h c 2012 – 2013ọ

MÔN: TOÁN

Ngày thi 10/10/2012  (h ướ ng d n ch m  g m 03 trang) ẫ ấ ồ

1

05 

đi mể

Cách 1: 

Đ t a = x ­ 2, b = y ­ 1, c = z ­ 2, d = t ­ 1, ta có:  ặ

P (x z)(y t) (a c)(b d) (a c)(b d)

2(a c )2(b d ) 2 (a c )(b d )

= + + + �

Đ ng th c x y ra khi và ch  khi: ẳ ứ ả ỉ

(a c)(b d) 0

= =

= −

= +

= +

= −

= −

ho c  ặ

= −

= −

= +

= +

V y  ậ MaxP 8 =

Cách 2: 

∃α β

� � th a mãn:  ỏ x 2 2cos ; y 1 2sin

z 2 2cos ; y 1 2sin

2

1 2

1 4 ) sin(

2

2 sin 2

2 sin

=8

Đ ng th c x y ra  ẳ ứ ả �sin 2α =sin 2β = −sin(α + β =) 1 

0,5

1 1 1

1,5

0,5

1

2 0,5

k 4

4

π

α = + π π

β = + π − + π    (k, m

Z)

= +

= +

= −

= −

     ho c     ặ

2 2

2 2

2 1

2 2

t z y

x

V y  ậ MaxP 8 =

0,5

0,5

2

5 đi mể

x 2 y 2 6

 x2 ­ 2(3y­1)x + y2 + 2y = 0   (*)

Xét dãy s  {x ố n} xác đ nh b i công th c:  ị ở ứ 0 1

n 2 n 1 n

Ta có: {xn} tăng và  * *

n

x �N n N∀ � . 

V i m i  ớ ọ n N ta có: xn 2+ =6xn 1+ −xn−2�xn 2+ +xn =6xn 1+ −2     (1)

*

n 2 n n 2 n n 1 n 1

n 2 n n n n 1 n 1 n­1 n 1

n 2 n n 1 n 1 n 1 n­1 n n

n 2 n n 1 n 1 2 0 1 1

2

n 2 n n 1 n 1

� n N       (2)

T  (1), (2) suy ra ừ x , xn n 2+  là hai nghi m c a phệ ủ ương trình:

n 1 n 1 n 1

n n 1 n n 1 n 1

Suy ra (x , xn n 1+ ) là nghi m c a phệ ủ ương trình (*) ∀n N

Do đó ta có đi u ph i ch ng minh.ề ả ứ

0,5

0,5

0,5 0,5 0,5

0,5

0,5

0,5 0,5

0,5 3

5đi mể

H I Q

P M

N

C B

A

D

G i H là tr c tâm tam giác ọ ự

Tam giác ANH và BMH đ ng d ng nên:  ồ ạ AN = BM

NH MH     (1)

Tam giác ANQ và BMP đ ng d ng nên:  ồ ạ AN = BM

NQ MP     (2)

T  (1) và (2) suy ra  ừ NQ = MP

NH MH   

NQ MH IP . . 1

NH MP IQ =

Ba đi m M, I, N th ng hàng (Đ nh lí Menelaus) ể ẳ ị

1

1

1

1

1 4

5đi mể

( )

f x f y+ =4x f y 6x f (y)+ +4x f (y) + f (y) + − ∀f x x,y R   (1)

+ Nh n xét: ậ f x( ) 0  th a mãn yêu c u bài toán.ỏ ầ

+ Xét trường h p: ợ f x( ) 0  Đ t a = f(0).ặ

Thay  x 0=  vào (1) ta được  ( ( ) ) ( ( ) )4

f f y = f y + ∀a, y ﾷ       (2)

Ti p t c thay x b i ế ụ ở (−f (x)) vào (1) ta được

( )

( ) 3 ( ) 2 2 3 4 ( )

f f y f (x) 4(f (x)) f y 6(f (x)) (f (y)) 4f (x)(f (y)) (f (y)) f f (x)

x,y        

( ) ( )

( ) ( ( ) ( ) )4 ( ( ) ) ( ( ) )4

f f y −f x = f y −f x +f f x − f x     x, y∀

T  (2) và (3) suy ra ừ ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )4

f f y −f x = f y −f x +a    x, y∀ ﾷ   (4)

Gi  s  ả ử x0 ﾷ  th a mãn ỏ f x( )0 0. Thay y x= 0 vào (1) ta thu được:

( )

( ) ( ) 3 ( ) 2( )2 ( ) (3 )4

f x f x+ − − =f x 4x f x +6x f(x ) +4x f (x ) + f(x ) ∀x R

V  ph i là đa th c b c ba theo bi n x nên nó là hàm s  có t p giá tr  làế ả ứ ậ ế ố ậ ị  

ﾷ  V y nên, v  trái cũng là m t hàm s  có t p giá tr  là ậ ế ộ ố ậ ị ﾷ  

x

∀ ﾷ  đ u t n t i ề ồ ạ u, v ﾷ  đ  ể f u( ) ( )−f v =x

Do đó t  (4) suy ra:ừ  

( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )4 4

f x =f f u −f v = f u −f v + =a x + ∀a, x ﾷ

Th  l i d  th y: ử ạ ễ ấ f x( ) =x4+ ∀a, x ﾷ  (v i a là h ng s ) th a mãn (1)ớ ằ ố ỏ

V y  ậ f x( ) 0   và  f x( ) =x4+ ∀a, x ﾷ   (v i a là h ng s ) là các hàm sớ ằ ố ố 

0,5

0,5

1 0,5

0,5 0,5 0,5

0,5 0,5

c n tìm.ầ

­­­­­­­­­­­H t­­­­­­­­­­­ế