Kinh tế lượng nâng cao - Bài giảng số 14

Nhược điểm của các mô hình cấu trúc là trước hết phải dự báo gía trị của biến giải thích, do đó sai số sẽ tăng nhanh khi dự báo quá xa.. Một khi chuỗi thời gian là dừng thì chúng ta có t

BÀI 6

DỰ BÁO

1 PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG DỰ BÁO

Để dự báo có thể xây dựng mô hình cấu trúc bao gồm các mô hình một phương trình và mô hình nhiều phương trình

Dự báo bằng các mô hình cấu trúc thường được gọi là dự báo nhân quả, bởi vì

mô hình đưa ra cách diễn giải biến dự báo căn cứ vào các biến khác Ví dụ, chúng

ta dự báo cổ tức mà công ty có thể trả căn cứ vào yếu tố mang lại cổ tức, đó là thu nhập của công ty

Nhược điểm của các mô hình cấu trúc là trước hết phải dự báo gía trị của biến giải thích, do đó sai số sẽ tăng nhanh khi dự báo quá xa Mặt khác sự thay đổi của biến phụ thuộc có khi không phải do các biến giải thích gây ra ( chẳng hạn do thay đổi chính sách)

Phương pháp phân tích ( còn gọi là phương pháp ARIMA) không dựa trên mô hình cấu trúc mà dựa trên phân tích tính ngẫu nhiên của một chuỗi thời gian Chuỗi thời gian có thể giải thích bằng hành vi ở hiện tại, quá khứ, các trễ và các yếu tố ngẫu nhiên Mô hình ARIMA không xuất phát từ bất kỳ lý thuyết kinh tế nào

2 MÔ HÌNH AR, MA VÀ ARIMA

Mô hình tự hồi quy (AR) và mô hình trung bình trượt (MA) là những mô hình

có thể mô tả chuỗi số dừng: là chuỗi không có xu thế Phần lớn các chuỗi số trong kinh tế đều có xu thế Song trong phần lớn các trường hợp, có thể chuyển đổi chúng thành chuỗi dừng bằng cách lấy sai phân Ví dụ nếu Yt là ln(GNP) Chuỗi

này có xu thế khá rõ, nhưng Yt (thay đổi của ln(GNP)) - tốc độ tăng trưởng lại là hằng số Tốc độ tăng trưởng dao động xung quanh một con số xác định Đôi khi chuỗi số vẫn còn có xu thế sau khi đã lấy sai phân 1 lần Giả sử, lấy sai phân của ln(P), trong đó P: là giá, là mức lạm phát Nhưng nếu lạm phát mà có xu thế tăng, chúng ta sẽ phải lấy sai phân của lạm phát, và đó sẽ là sai phân cấp 2 của ln(P) để biến nó thành chuỗi dừng Nói chung, chúng ta có thể lấy sai phân của một chuỗi d lần để chuyển nó thành một chuỗi dừng

Giả sử chuỗi thời gian chúng ta quan tâm là Yt

Sai phân cấp 1 là: Yt = Yt - Yt-1

Sai phân cấp 2 là: 2Yt = Yt - Yt-1

= Yt - Yt-1 – (Yt-1 - Yt-2) = Yt - 2Yt-1 + Yt-2

Như đã trình bày ở bài trước, nếu một chuỗi của một biến trở thành dừng sau khi lấy sai phân cấp 1 sẽ được gọi là liên kết bậc 1, ký hiệu I(1) Tương tự, nếu như chuỗi trở thành dừng sau khi được lấy sai phân cấp 2 thì là chuỗi I(2) Còn chuỗi của biến dừng là chuỗi I (0), đó là chuỗi dừng (sai phân cấp 0) Một khi chuỗi thời gian là dừng thì chúng ta có thể lập mô hình tự hồi quy và mô hình trung bình trượt

2.1 Quá trình tự hồi quy ( Autoregresive process- AR):

Giả sử ta có một biến đã thực hiện sai phân để trở thành chuỗi dừng, được gọi

là chuỗi dừng Yt Mô hình tự hồi quy giải thích giá trị hiện tại của biến thông qua trung bình có trọng số của các giá trị trong quá khứ cộng với sai số ngẫu nhiên

Chuỗi AR(p) có dạng:

t =  + 1t-1 + 2t-2 + + pt-p + u t

Điều kiện để AR(p) dừng là -1 i  1 i

2.2 Quá trình trung bình trượt ( Moving Average- MA).

Mô hình trung bình trượt giải thích biến t là số trung bình của biến cố "sốc" hiện tại và quá khứ Ví dụ một chuỗi MA(1):

t =  + ut + ut-1

Một chuỗi trung bình trượt bậc q - MA(q) có dạng:

t =  + ut + 1ut-1 + + qut-q

Điều kiện để Yt dừng là -1  i  1

2.3 Quá trình trung bình trượt và tự hồi quy

( Autoregressiv and Moving Average).

Nếu cơ chế sinh ra Yt bao gồm cả AR và MA thì ta có quá trình trung bình trượt tự hồi quy Yt là quá trình ARMA(1,1) nếu có thể biểu diễn dưới dạng:

Y t =  + 1 Y t-1 + u t + u t-1

Với u t là nhiễu trắng

Tổng quát, quá trình ARMA(p,q) có dạng

Y t =  + 1 Y t-1 + + p Y t-p + u t + 1 u t-1 + + q u t-q

2.4 Quá trình trung bình trượt, đồng liên kết, tự hồi quy ARIMA

( Autoregressiv, Integrated Moving Average).

Nếu chuỗi là liên kết bậc d, áp dụng mô hình ARMA(p,q) cho chuỗi sai phân bậc d của nó thì ta thu được quá trình ARIMA Như vậy trong mô hình này ta đưa vào đồng thời cả 3 yếu tố: phần tử tự hồi quy, bậc liên kết của chuỗi và phần tử trung bình trượt Mô hình viết tắt là ARIMA (p, d, q), trong đó:

p = mức trễ dài nhất của biến AR

d = cấp sai phân của biến để trở thành chuỗi dừng

q = mức trễ dài nhất của các phần tử trung bình trượt

Như vậy, mô hình AR(1) là ARIMA(1,0,0) Mô hình bước ngẫu nhiên là ARIMA(0,1,0) Mô hình MA(1) là ARIMA(0,0,1) Còn mô hình ARIMA(1,1,1)

có dạng:

t =  + t-1 + ut + ut-1

Khi chúng ta đã chọn mô hình ARIMA, trước hết cần xác định p, d và q Sau

đó, mô hình có thể ước lượng bằng phương pháp hợp lý tối đa Đối với mô hình

AR thì chỉ là ước lượng bình phương nhỏ nhất Việc chọn p, d và q (các chỉ số xác định mô hình) đòi hỏi phải có kinh nghiệm và biết đánh giá Tuy nhiên, mô hình ARIMA thường hữu dụng cho việc dự báo các biến số tài chính khi thị

trường hoặc nền kinh tế không tạo được chuỗi số kinh tế tốt

3 Phương pháp BOX - JENKINS (BJ)

Phương pháp BJ trước hết làm dừng chuỗi thời gian để tìm ra các giá trị p và q

Nó bao gồm các bước sau:

Bước 1 Định dạng mô hình, tức là tìm ra các giá trị p, d và q.

Bước 2 Ước lượng mô hình.

Bước 3 Kiểm định mô hình.

Ở bước này cần chọn được một mô hình phù hợp nhất với các số liệu hiện

có Đơn giản nhất là kiểm định tính dừng của các phần dư Như vậy phương pháp

BJ là một quá trình lặp cho đến khi tìm được mô hình thích hợp

Bước 4 Dự báo.

Một trong các lý do để mô hình ARIMA được sử dụng rộng rãi là các dự báo

thu được từ mô hình, đặc biệt là các dự báo ngắn hạn, tỏ ra thực tế hơn kết quả dự báo dựa trên cơ sở các mô hình kinh tế lượng truyền thống

3.1 Định dạng.

Định dạng mô hình tức là phải tìm được các giá trị p, q và d Để tìm được d

phải dùng kiểm định JB, kiểm định DF hoặc ADF Từ chuỗi dừng nhận được phải tìm p và q tức là phải định dạng mô hình ARMA Có nhiều phương pháp khác nhau để tìm p và q và không có phương pháp nào thật sự hoàn chỉnh Việc chọn được p và q thích hợp là một nghệ thuật hơn là một khoa học

a Dùng lược đồ tương quan dựa trên hàm tự tương quan ACF và hàm tự tương quan riêng PACF.

Trên lược đồ này vẽ ACF và PACF theo độ dài của trễ kèm theo đường phân giải chỉ khoảng tin cậy 95% của hệ số tự tương quan và hệ số tự tương quan riêng (  95%n)

Dựa vào lược đồ này ta biết được hệ số tự tương quan nào và hệ số tự tương

quan riêng nào là khác không Từ đó có thể đưa ra đoán nhận về p và q của quá trình AR(p) và MA(q)

Do kk đo mức độ kết hợp giữa Yt và Yt-k sau khi đã loại bỏ ảnh hưởng của

Yt-1, Yt-2, ., Yt-k+1 nên nếu kk =0 với k  p và i, i = 1,2, giảm dần theo hàm mũ hoặc hình sin thì ta có quá trình AR(p)

Nếu ii i = 1,2, giảm dần theo hàm mũ hoặc hình sin và k = 0 với k  q thì ta có quá trình MA(q)

b Tiêu chuẩn AKAIKE, SCHWARZ

Có nhiều tiêu chuẩn để lựa chọn mô hình thích hợp Hầu hết các tiêu chuẩn này đều xuất phát từ lược đồ tương quan, tức là giả thiết rằng d đã biết, từ đó chọn p và q thích hợp

Akaike đề xuất:

AIC (p,q) = ln( 2) + 2( p+q)/n

AIC (p1,q1) = min AIC (p,q) , p P , q  Q

Khi đó p1 và q1 là giá trị thích hợp

Schwarz đưa ra tiêu chuẩn tương tự:

BIC (p,q) = ln (2) + ( p+q)ln(n)/n

Trong hai tiêu chuẩn trên cả tập hợp P và Q đều chưa biết Hannan đã chỉ ra rằng nếu p0 và q0 là các giá trị đúng thì p1  p0 và q1  q0

Trên cơ sở hai tiêu chuẩn trên Jeffreys, Poskitt và Tremayne đưa ra ý tưởng

về xây dựng một lớp mô hình Cơ sở của ý tưởng này là dù p1 và q1 đã được

xác định nhưng chưa chắc đã là các giá trị thực của mô hình nên cần phải xem xét thêm bằng các tiêu chuẩn khác đối với các giá trị lân cận của p1 và q1 Các tác giả trên đã đưa ra tiêu chuẩn:

R = exp - (1/2)n BIC (p1,q1) - BIC (p,q)

Tremayne cho rằng nếu R  10 thì không đủ cơ sở để bác bỏ mô hình đã chọn bằng thủ tục Akaike và Schwarz Nếu với những cặp (p,q) mà 1  R 

10 thì các cặp này phải được xem xét giống như ( p1, q1) Như vậy có thể có một lớp các mô hình ARMA(p,q) mà 1 R  10 nên cần phải cân nhắc thêm bằng các tiêu chuẩn khác

c Kiểm định bằng nhân tử Lagrange.

Giả thuyết gốc là:

H0: Dạng của mô hình là ARMA(p,q)

Giả thuyết đối có hai loại sau:

H1a: Dạng của mô hình là ARMA(p+r,q)

H1b: Dạng của mô hình là ARMA(p,q+s)

Để kiểm định các cặp giả thuyết trên, trước hết cần ước lượng mô hình

ARMA(p,q) đối với chuỗi dừng Yt* ( Yt* là Yt nếu Yt là chuỗi dừng, còn nếu

Yt là không dừng thì Yt* là chuỗi sai phân tương ứng), từ đó thu được các phần

dư et

H0: Dạng mô hình là ARMA(p,q)

H1a: Dạng mô hình là ARMA(p+r,q)

Để kiểm định cặp giả thuyết trên ta ước lượng mô hình sau:

et =  + 0ut + 1ut-1 + + qut-q + 1Yt-1* + 2Yt-2* +

+ pYt-p* + 1Yt-p-1* + 2Yt-p-2* + + rYt-p-r* + t

kết quả thu được R2, nếu ( n-p-r)R2 2

(r) thì H0 bị bác bỏ

H0: Dạng của mô hình là ARMA(p,q)

H1b: Dạng của mô hình là ARMA(p,q+s)

Thì hồi quy mô hình:

et =  + 0ut + 1ut-1 + + qut-q + q+1ut-q-1 + + q+sut-q-s

+ 1Yt-1* + 2Yt-2* + + pYt-p* + t

kết quả thu được R2, nếu (n-q-s)R2 2

(s) thì H0 bị bác bỏ

Ngoài tiêu chuẩn 2 nói trên còn có thể dùng tiêu chuẩn F dựa trên mô hình hồi quy có điều kiện ràng buộc

3.2 Ước lượng mô hình.

Sau khi đã định dạng được mô hình, ta đã biết được d là bậc của sai phân đối với chuỗi xuất phát để thu được một chuỗi dừng Đối với chuỗi này ta cũng đã biết được p và q Do đó có thể dùng OLS để ước lượng mô hình ARIMA này

3.3 Kiểm định tính thích hợp của mô hình.

Nếu mô hình được chọn là thích hợp thì các sai số ngẫu nhiên là nhiễu trắng

Do đó để kiểm định tính thích hợp của mô hình ta phải kiểm định tính dừng của các phần dư Dùng ADF để kiểm định xem et có phải là nhiễu trắng hay không

Nếu et không phải là nhiễu trắng thì phải định dạng lại mô hình, và quá trình đó được tiếp tục cho đến khi tìm được một mô hình thích hợp Vậy phương pháp Box- Jenkins là một phương pháp lặp

3.4 Dự báo.

Giả sử chúng ta có mô hình ARIMA(1,1,0) và chúng ta ước lượng cho đến thời

kỳ T:

t = ˆ + ˆ t-1 + et t = 1 T

Ở đây, chúng ta dự báo mức thay đổi của t so với một hằng số và thay đổi trễ của t ,

(t-1 - t-2)

Dự báo thay đổi của t cho thời kỳ tiếp theo là:

fT+1 = ˆ + ˆT

Chúng ta đặt eT+1 bằng giá trị kỳ vọng của nó là 0 Trong trường hợp này, chúng ta dự báo cho một thời kỳ về sau, khi T và T đã biết (chúng là các giá trị hiện tại)

Về giá trị, ta có thể tính giá trị dự báo cho T+1 như sau:

fT+1 = T + f

T+1

Khi ta dự báo 2 thời kỳ về sau, ta sử dụng kết quả dự báo của thời kỳ trước (T +1)

fT+2 = ˆ + ˆ f

T+1

Và một lần nữa, chúng ta lại dự báo mức tuyệt đối của T+2

fT+2 = f

T+1 + f

T+1 = T + f

T+1 + f

T+2

Để có thể tính dự báo theo T và mức chênh lệch tương lai, ta thay thế f

T+1

bằng giá trị dự báo tính ra trên đây Kết quả dự báo mỗi thời kỳ sẽ bằng giá trị ban đầu của T cộng với dự báo thay đổi

Ngoài ra phương pháp dự báo trên còn có thể áp dụng cho một số chuỗi thời gian như sau

2 Dự báo với mô hình tĩnh với một phương trình

Giả sử chúng ta thực hiện ước lượng sau đây:

t = ˆ + ˆXt + et t = 1,T

Chúng ta muốn dự báo T+1 Trường hợp này khác với mô hình ARIMA vì bây giờ chúng ta cần dự báo giá trị XT+1 , chẳng hạn, Xf

T+1 để phục vụ dự báoT+1 Chúng ta sẽ có thể dự báo X bằng mô hình ARIMA hay đánh giá căn cứ vào các nguồn thông tin có được Nếu chúng ta tiến hành phân tích chính sách hoặc phải đưa ra quyết định về giải pháp chính sách, chúng ta phải giả định một giá trị XT+1

để dự báo giá trị YT+1 .Trong trường hợp đó, chúng ta cần biết giá trị Y vào thời kỳ T+1 nếu như giá trị X đã được giả định

Dự báo 1 thời kỳ tiếp tới, khi đó sẽ là:

Yf

T+1 = ˆ + ˆXf

T+1

Chúng ta lại phải đặt cho thành phần sai số giá trị kỳ vọng của nó là 0

Trong thực tế, các nhà dự báo kinh tế lượng thường thêm một số hạng điều

chỉnh vào dự báo được coi như sai số dự báo tại thời kỳ T+1 như sau:

Yt+1 = ˆ + ˆXf

T+1 + ef

T+1

Có một vài lý do cho việc bổ sung thành phần điều chỉnh này

1. Phương trình dự báo có thể còn chưa được hoàn toàn hợp lý Thêm vào hoặc bớt đi một chút ít có thể khiến cho nó trở nên hợp lý hơn

2. Người dự báo có thể đã có thêm một số thông tin có khả năng sẽ xảy ra mà chưa đưa vào được mô hình, ví dụ như thông tin về cuộc đình công hay sự thay đổi chính sách Chính phủ

3 Người dự báo có thể tin rằng những sai số hiện tại sẽ tiếp tục tiếp diễn trong tương lai, do đó: đặt ef

T+1 bằng giá trị sai số của thời kỳ trước đó hoặc bằng trung bình của mức sai số hiện tại

2 Dự báo với mô hình kinh tế lượng động với một phương trình

Giả sử chúng ta thực hiện ước lượng:

t = ˆ + ˆXt + ˆYt-1 + et t = 1 T

Dự báo YT+1 cũng thực hiện đúng hệt như cách đã làm với mô hình tĩnh

Yf T+1 = ˆ + ˆXf

T+1+ ˆYT

Nhưng khi chúng ta dự báo cho thờì kỳ T+2 và thời kỳ tiếp theo, chúng ta sử dụng kết quả dự báo của thời kỳ trước đó như ta đã làm với mô hình AR:

YˆfT+2 = ˆ + ˆXf

T+2+ ˆ Yf

T+1

Phương trình được coi là mô hình dự báo động vì nó sử dụng kết quả dự báo

của thời kỳ trước đó ở bên vế phải.

3.5 SAI SỐ DỰ BÁO.

Có 4 nguồn gốc của sự sai số trong mô hình dự báo kinh tế lượng

* Chúng ta xây dựng phương trình sai số trong dự báo T+1 , đặt kỳ vọng của nó bằng 0 hay một giá trị bất kỳ theo chủ ý của ta Trên thực tế, sai số có thể khác 0

* Trong dự báo, ta sử dụng các hệ số ước lượng ˆ,ˆ v.v chứ không phải giá trị thực của chúng  ,  v.v vì ta không khi nào biết được giá trị thực của chúng

Do đó, sai số của mẫu sẽ nằm trong các kết quả ước lượng và khiến cho kết quả dự báo có thể sai

* Dự báo XT+1 cũng có sai số nhất định

* Mô hình của ta có thể định dạng sai

Chúng ta có thể lượng hoá được mức độ của 2 sai số đầu Đối với mô hình dạng:

t =  + Xt + et

Phương sai của dự báo (bình phương của sai số chuẩn) tính theo công thức sau:

f2 =







































T

t t

T

X X

X X

T

1

2

2 1 2

) (

) (

1 1



Trong đó, 2 là bình phương của sai số chuẩn của đường hồi quy, X là giá trị trung bình mẫu của X Ta nhận thấy là XT+1 càng xa giá trị trung bình thì phương sai của dự báo (f2) lại càng lớn Dự báo dựa trên các giá trị X càng sai lệch so với các giá trị quan sát thì sẽ càng có sai số tiêu chuẩn lớn

3.6 ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ DỰ BÁO

Trong thực tế, chúng ta tìm ra những thiếu sót chỉ sau khi đã thực hiện dự báo

Để đánh giá mô hình dự báo của chúng ta phù hợp đến mức nào trước khi đưa kết quả dự báo từ chính mô hình đó vào sử dụng người ta có thể lưu lại một số quan sát gần nhất của mẫu để đánh giá kết quả dự báo, sau đó dựa theo một số tiêu chuẩn để đánh giá

Giả sử chúng ta dự báo từ thời kỳ T+1 đến thời kỳ T+p, và bây giờ là thời kỳ T+p + 1 Chúng ta có thể thấy kết quả dự báo của mình có tốt hay không Sai số

dự báo chính là quan sát thực tế trừ đi kết quả dự báo

ef T+i = YT+i - Yf

T+i i = 1, p

1 Trung bình của sai số dự báo tính theo công thức

Trong đó: p là số kết quả dự báo và số quan sát thực tiễn Thời kỳ T+5, p = 4

Đó là phép kiểm định ban đầu về độ chệch hay sai số có tính chất hệ thống Nếu các sai số mang dấu khác nhau, chúng sẽ triệt tiêu lẫn nhau và giá trị trung bình sẽ

là 0, thậm chí dù từng sai số có giá trị lớn

 

p

p 1 i

1 T f







