BÀI TOÁN cực TRỊ CỦA HÀM số CHỨA dấu GIÁ TRỊ TUYỆT đối

Cho hàm số có đồ thị (C). Khi đó, với số thực a > 0 ta có: • Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oy lên trên a đơn vị. • Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oy xuống dưới a đơn vị. • Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Ox qua trái a đơn vị. • Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Ox qua phải a đơn vị.

CHUYÊN ĐỀ

BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Đối tượng học sinh bồi dưỡng: Lớp 12

Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 8 tiết (5 ca)

BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phần I CƠ SỞ LÝ THUYẾT.

1.Các phép biến đổi đồ thị

a.Các phép tịnh tiến đồ thị

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị (C) Khi đó, với số thực a > 0 ta có:

 Hàm sốyf x( )acó đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục Oylên trên a đơn vị

 Hàm sốyf x( ) a có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục

Oy xuống dưới a đơn vị

 Hàm sốyf x a(  ) có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục

Ox qua trái a đơn vị

 Hàm sốyf x a(  ) có đồ thị (C’) là tịnh tiến của (C) theo phương của trục

Ox qua phải a đơn vị

b Các phép biến đổi đồ thị khác

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị (C) Khi đó, với số a > 0 ta có:

 Hàm số y f x( ) có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Ox

 Hàm số yf(x) có đồ thị (C’) là đối xứng của (C) qua trục Oy

 Hàm số

( ) khi x 0 (| |)

- Bỏ phần đồ thị của( )C nằm bên trái trục Oy

- Lấy đối xứng phần đồ thị ( )C nằm bên phải trục Oy qua trục Oy

- Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox qua trục Ox

- Bỏ phần đồ thị của (C) nằm dưới trục Ox

2 Khái niệm cực trị của hàm số

PHẦN II : NỘI DUNG DẠNG 1: Các bài toán cực trị của hàm số y f x( )

Để giải quyết các bài toán cực trị của hàm số y f x( ) ta có dùng một trong

ba cách sau:

Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số y= f x( )

Cách 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị

Ta có

( ) khi (f(x) 0) ( )

+ Bỏ phần đồ thị của (C) phía dưới trục hoành

Cách 3: Sử dụng kết quả của nhận xét sau:

Nhận xét 1:

Gọi k là số điểm cực trị của hàm số y = f(x); h là số nghiệm đơn của phương trình f(x) = 0; e là số nghiệm bội lẻ của phương trình f(x) = 0, thì số điểm cực trị của hàm số g x( ) f x( ) bằng k + h + e

Để chứng minh nhận xét trên, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề: Nếu x0 là điểm tới hạn của hàm số y = f(x) thì x0 cũng là điểm tới hạn của hàm số g(x)=| f(x)|

f x không xác định Vậy g x'( ) 0 không xác định.(**)

Từ (*), (**) suy ra x0 cũng là điểm tới hạn của hàm số g(x)=| f(x)|

Nhận xét 2: Số điểm cực trị của hàm số yf(axb)c bằng số điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Hay số điểm cực trị của hàm số yf(axb)c bằng số điểm cực trị của hàm số

+ Phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm đơn

+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy số điểm cực trị của hàm số y| ( ) |f x bằng 2+3+0 = 5

Bài 2: Cho hàm số yf x( ) có đồ thị (C) như hình vẽ Tìm

Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm đơn

Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy số điểm cực trị của hàm số y f x( ) bằng 3 + 2 + 0 = 5

Lời giải + Đồ thị hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.

+ Phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm đơn

+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy số điểm cực trị của hàm số 2 + 1 + 0 = 3

Bài 4: Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như hình vẽ Đồ thị hàm số

 

y f x có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải

+ Đồ thị hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị

+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm đơn (Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm bội chẵn)+ Phương trình f(x) = 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy số điểm cực trị của hàm số y f x  là 3 + 0 + 0 = 3

Bài 5: Hàm số yx4  4x2 3 có bao nhiêu điểm cực trị?

+ Phương trình x4  4x2   3 0 có 3 nghiệm đơn

+ Phương trình x4 4x2  3 0 có 0 nghiệm bội lẻ Suy ra số điểm cực trị của hàm

+ Phương trình x4 4x2 2 0  có 2 nghiệm đơn.

+ Phương trình x4  4x2  2 0  có 0 nghiệm bội lẻ

Suy ra, số điểm cực trị của hàm số yx4 4x2 2 là 5

Các điểm cực đại của đồ thị hàm số là A( 2;6), B( 2;6)

Tổng các giá trị cực đại của hàm số yx4 4x2 2 là 12

Bài 7: Biết đồ thị hàm số y= ax3bx2cx d cắt trục hoành tại đúng 2 điểm.Hàm số y= ax3bx2 cx d có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

+ Vì đồ thị hàm số y= ax3bx2 cx d cắt trục hoành tại đúng 2 điểm nên hàm

số y=ax3bx2cx d có hai điểm cực trị x x1 , 2

+ Mặt khác ax3bx2cx d a x x(  1 ) (2 x x 2 ) Do đó phương trình

ax bx cx d  0(a 0)có 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép

Vậy số điểm cực trị của hàm số y= ax3bx2cx d bằng 2 + 1 = 3

Bài 8: Biết đồ thị hàm số

y= ax bx cx d có hai điểm cực trị nằm về hai phía

so với trục hoành Số điểm cực trị của hàm số y= ax3bx2cx d

f   f  f  Hàm sốy f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Theo giả thiết ta có

( 1) 0 (0) 0 (1) 0 lim ( )

x

x

g x f

f f

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

yf x phải có 3 điểm cực trị Vì vậy, hàm số y f x( ) có 4 + 3 = 7 điểm cực trị

Bài 10: Tính tổng các giá trị của tham số m để hàm số

m

yf x 

với trục hoành là 3 Để số giao điểm của đồ thị   2

Bài 11: (HSG Vĩnh Phúc 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

để hàm số yx3 3x2 m 2 có đúng năm điểm cực trị

Lời giải Xét hàm số

Vậy với 2<m<6 thì hàm số đã cho có đúng 5 điểm cực trị.

Bài 12: (Câu 43 đề minh họa 2018 của Bộ GD&ĐT).

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y3x4 4x3 12x2m

Để đồ thị hàm sốy3x4 4x312x2 m có 7 điểm cực trị Û phương trình f(x) =

0 có đúng 4 nghiệm phân biệt:

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 13: Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

Tính được

2 (1) (1) (1) (3)

1 ( )

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số g x( ) có 3 điểm cực trị

+ Phương trình f x   0có 4 nghiệm đơn

+ Phương trình f x   0có 0 nghiệm bội lẻ

Suy ra, hàm sốy| f x |có 3 + 4 = 7 điểm cực trị

+ Vì số điểm cực trị của hàm số y| (x-1) |f bằng số điểm cực trị của hàm số

Vậy hàm số y| ( ) |f x có nhiều nhất 3 + 4 = 7 điểm cực trị

Vậy hàm số y| (2019f  x) | có nhiều nhất 3 + 4 = 7 điểm cực trị

Bài 3 : Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

 Hàm số f x m  có 5điểm cực trị với mọi m

Vậy có vô số giá trị m để hàm số g x f x m   có 5 điểm cực trị

1.3.Bài toán mở rộng 2: “Cho hàm số yf x( ) Hỏi số điểm cực trị của hàm số y= f ax b( + +) c ”

Bài 1: Cho đồ thị của hàm số yf x  như hình vẽ

Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x 2 :

Lời giải

Cách 1: Từ đồ thị của hàm số yf x  suy ra đồ thị hàm

số yf x  2

+ Phương trình f(x) + 2 = 0 có 2 nghiệm đơn.

+ Phương trình f(x) + 2 = 0 có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy số điểm cực trị của hàm số y f x 2 bằng 3 + 2 + 0 = 5

Bài 2: Cho hàm số

( )

y=f x có đồ thị như hình bên dưới

Tính tổng các tung độ của các điểm cực trị của đồ thị hàm

số g x( )= f x( )+4

Lời giải

Đồ thị hàm số g x( )= f x( ) 4+ có được bằng cách

- Tịnh tiến đồ thị hàm số y=f x( )theo phương Oy lên 4 đơn vị ta được f x ( ) 4

- Lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox của đồ thị hàm số

( ) 4

f x  qua trục Ox tađược g x( )= f x( )+4

Dựa vào đồ thị hàm số g x( )= f x( )+4suy ra tọa độ các điểm cực trị là (-1 ;0),(0 ;4), (2 ;0) Vậy tổng tung độ các điểm cực trị bằng 0 + 4 + 0 = 4

Bài 3: Cho hàm số yf x( ) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên như

hình vẽ Hỏi đồ thị hàm số g x( ) | ( f x 2017) 2018 | có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải

Đồ thị hàm số u x( )f x(  2017) 2018 có được từ đồ thị f x( ) bằng cách tịnh tiến

đồ thị yf x( ) sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị

Suy ra bảng biến thiên của

+ Hàm số y = u(x) có 2

điểm cực trị

+ Phương trình f x ( 2017) 2018 0  có 1 nghiệm đơn

+ Phương trình f x ( 2017) 2018 0  có 0 nghiệm bội lẻ

Vậy số điểm cực trị của hàm số g x( ) | ( f x 2017) 2018 | bằng 2 + 1 + 0 = 3

+ Đồ thị hàm sốu x( )f x  3 có 1 điểm cực trị A(3;-4) nên đồ thị hàm số

 

g x  f x 

có 1 điểm cực trị là A’(3;4) Phương trình f x   3 0 có 3 nghiệm đơn nên đồ thị hàm số y f x  3 có 3điểm cực trị đều có tung độ là 0

Vậy số điểm cực trị của hàm số y f x  3 bằng 1+ 3 + 0 = 4

Suy ra tung độ các điểm cực trị là 4 + 0 + 0 + 0 = 4

Bài 5: Cho hàm số yf x( ) thỏa mãn f( 2) f(2) 0 và có đạo hàm

2 '( ) (4 ),

f x x  x  x R Hàm số y| (2f  x) 3 | có bao nhiêu điểm cực trị?

+ Bảng biến thiên

+ Phương trình f x ( ) 0 có 0 nghiệm đơn

+ Phương trình f x ( ) 0 có 0 nghiệm bội lẻ

0 2018

a

a c

thuộc khoảng (0;1) h x( ) 0 có 4 nghiệm phân biệt (dáng điệu của hàm trùng

phương) Vậy hàm số g x( ) | ( ) 2018 | f x  có 7 điểm cực trị

Cách 2:Với bài tập trắc nghiệm ta có thể tìm đáp số theo cách sau:

Chọn

1

4 2019

( ) 1 0

f x y

 f x  ( ) 1 0vô nghiệm Vậy hàm số g x( ) f x( ) 1 có 3 cực trị

Cách 2: (Trong bài trắc nghiệm để tìm nhanh kết quả ta nên đặc biệt hóa bài toán)

Ta cho m = 0, ta được hàm số

g x f x  x  x  Ta đi tìm số điểm cựctrị của hàm sốy| ( ) |g x

Đặt f x   1x4 4x216  g x  4x3 8x; g x  0  4x3 8x0

0 2 2

x x x

Do đồ thị hàm sốyf x( ) 1 nằm hoàn toàn bên trên trục hoành nên đồ thị hàm

số y| ( ) 1|f x  cũng chính là đồ thị của hàm số yf x( ) 1 Khi đó số điểm cựctrị của hàm số y| ( ) 1|f x  là 3

Bài 8: Cho hàm sốyf x  có đồ thị như hình vẽ Tìm tất

cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

Tịnh tiến đồ thị f x theo phương Oy lên trên một đoạn có độ dài nhỏ hơn 3đơn vị

BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1

Câu 1: Đồ thị hàm số yx42x29 có bao nhiêu điểm cực trị?

là:

A 5 B 6 C 7 D 4

DẠNG 2: Các bài toán cực trị của hàm số yf x( )

Để giải quyết các bài toán cực trị của hàm số yf x( ) ta dùng một trong ba cách sau:

Cách 1: Lập bảng biến thiên của hàm số yf x( )

Cách 2: Sử dụng phép biến đổi đồ thị: Từ đồ thị yf x( ) suy ra đồ thị

( )

Cách 3: Để giải quyết các bài toán trên ta vận dụng nhận xét sau:

Nhận xét: Gọi k là số điểm cực trị dương của hàm số yf x( ) thì số điểm cực

trị của hàm số yf x( )bằng 2k + 1

Thật vậy

( ) khi x 0 ( )

+ Vì đồ thị yf x( )và yf( x)

đồ thị đối xứng nhau qua Oy  f '(x) 0 có k

nghiệm âm

+ Vì đồ thị hàm số yf x( )

và đồ thị hàm số yf(x) đối xứng nhau qua trục

Oy nên f’(x) đổi dấu khi qua điểm x = 0

Vậy số điểm cực trị của hàm số yf x( ) bằng 2k + 1

2.1 Bài toán cơ bản “Cho đồ thị của hàm số yf x( ) Hỏi số điểm cực trị của

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung

Theo cách giải 3, suy ra số điểm cực trị của hàm số yf x  là 2.2 + 1 = 5

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f x'( ) ( x 1) (4 x 2) (5 x3)3 với  x R

Hàm số y = f(x) có 1 điểm cực trị dương nên g x( )f x( ) có 3 điểm cực trị

Bài 4: Có bao nhiêu số nguyên m  ( 10;10) để hàm số

2.2 Bài toán mở rộng 1 “Cho đồ thị của hàm số yf x( ) Hỏi số điểm cực trị

của hàm số yf ax b(|  |)

Bài 1: Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ bên

Hàm số yf x  1có bao nhiêu điểm cực trị?

1 0

x x

x

x x x x

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 7 điểm cực trị

Bài 4: Cho hàm số đa thức bậc bốn yf x( ) có 3 điểm cực trị x1;x2;x3

Có bao nhiêu số nguyên m  ( 10;10)để hàm số yf x m(  ) có 7 điểm cực trị

2.3 Bài toán mở rộng 2 “Cho đồ thị của hàm số yf x( ) Hỏi số điểm cực trị

của hàm số yf ax b c(|  | )d

Bài 1: Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình bên dưới

Đồ thị hàm số h x( )f x(| |) 2 có bao nhiêu điểm cực trị ?

Lời giải

Cách 1:

+ Từ đồ thị hàm số yf x( ) suy ra đồ thị hàm số

+ Giữ nguyên phần đồ thị hàm số yf x( ) ở bên phải

trục tung (kể cả những điểm nằm trên trục tung)

+ Bỏ phần đồ thị hàm số

( )

yf x ở bên trái trục tung

+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số yf x( ) ở bên phải trục tung quatrục tung

Từ đồ thị yf x( ) suy ra đồ thị yf x(  2) bằng cách:

Tịnh tiến đồ thị hàm số yf x( ) theo phương trục Ox sang phải 2 đơn vị

Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số h x( )f x(| | 2) có 5 điểm cực trị

Bài 3: Cho hàm số yf x( )có đồ thị như hình vẽ Đồ thị

hàm số g x( )f x(|  2 |) 1 có bao nhiêu điểm cực trị ?

| 2 | 1

2 1 3 2

x x

x x

Dựa vào BBT của hàm số g x( ) f x  2 1ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị

Bài 4 : Cho hàm số f x( )liên tục trên và có bảng xét dấu như hình vẽ:

7 / 2 1/ 2

x x x x

5 2

7 2

2.4 Bài toán mở rộng 3 “Cho đồ thị của hàm số yf x( ) Hỏi số điểm cực trị

của hàm số y| (| |) |f x

Bài 1: Cho hàm sốyf x  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên nhưhình vẽ

sẽ có tối đa 7 điểm cực trị

Bài 2: Biết rằng phương trình 2x3bx2 cx 1 có đúng hai nghiệm thực dương

phân biệt Hỏi đồ thị hàm số

Vì phương trình 2x3 bx2 cx 1 có đúng hai nghiệm thực

dương phân biệt nên đồ thị hàm số y2x3bx2cx1 ( )C

phải cắt Ox tại đúng hai điểm có hoành độ dương Trong đó

điểm cực đại của đồ thị hàm số là một trong hai điểm đó

x y

Bài 3: Cho hàm số bậc ba f x( ) ax 3bx2cx d có đồ thị nhận hai điểm A(0;3)

và B(2; -1) làm hai điểm cực trị Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số

( ) ax

g x  x bx c x d

Lời giải

Hàm số yf x( ) có 1 điểm cực trị dương x = 2 nên đồ thị hàm số

f x  bx c x dcó 3 điểm cực trị Đó là A(0;3), B(2; -1) và C(-2;-1)(Điểm A ở trên trục hoành, điểm B, C ở dưới trục hoành)

Suy ra hàm số g x( )ax2 x bx2 c x d có 7 điểm cực trị

BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 2

Câu 1: Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ bên

Số điểm cực trị của hàm sốyf x(  5) là:

A 5 B 7 C 3 D 1

Câu 2: Cho hàm sốyf x  có đồ thị như hình bên

dưới Đồ thị hàm số h x f x  2018 có bao nhiêu

Câu 8: Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm f x   x 12x2 m2  3m 43x 35

với mọi x   Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

   

g x f x có 3 điểm cực trị?

A.3 B.4 C.5 D.6.

Câu 9: Hàm số yf x( )có đồ thị như hình vẽ Hàm số yf x( 1 2) 2 

đạt cực đại tại điểm nào?