Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan DHQG

Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan DHQG Trong Toán học, Cơ học, Vật lý và một số ngành kĩ thuật luôn cần giải những mối liên hệ giữa các đại lượng từ đơn giản cho đến phức tạp. Và hàm số luôn là đối tượng toán học xuất hiện trong những lĩnh vực khoa học nên luôn nhận được sự quan tâm theo nhiều khía cạnh khác nhau. Chính vì vậy, việc khảo sát các hàm số này cũng luôn được quan tâm đặc biệt. Khảo sát đồ thị hàm số và các dạng bài tập liên quan đến đồ thị hàm số là một nội dung rất quan trọng trong chương trình môn Toán ở bậc Trung học phổ thông. Nó luôn xuất hiện trong các đề thi đại học .Vì thế hàm số nhận được sự quan tâm đầu tư của các thầy cô giáo cũng như sự chú ý của học sinh. Mặc dù vậy, để nắm vững kiến thức về hàm số, các bài toán liên quan đến hàm số và vận dụng nó vào thực tế lại là một vấn đề hoàn toàn không đơn giản. Trong những năm học Trung học phổ thông, học sinh đã được làm quen và thực hành rất nhiều các bài toán khảo sát hàm số cũng như các bài toán liên quan đến hàm số. Mặc dù được làm rất nhiều và bài toán khảo sát cũng không khó nhưng học sinh còn nhầm lẫn nhiều. Đặc biệt là các bài toán liên quan đến hàm số. Nó có khá nhiều dạng với vô vàn các kiểu câu hỏi nên học sinh khó nhớ và có các bài toán cũng khá khó mà đối với học sinh học lực bình thường không làm được. Với mong muốn: Làm sao để học sinh dễ dàng ghi nhớ và làm được các bài toán về hàm số để có thể hoàn thành bài thi đaị học về phần này tốt nhất. Đặc biệt với mục đích đưa ra hệ thống kiến thức và phân dạng đầy đủ và chính xác nhất để thuận lợi cho học sinh trong quá trình học. Vì vậy, tôi đã

ĐỖ THỊ NHUNG

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC .ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN

Người hướng dẫn: TS Phạm Đức Hiệp Sinh viên thực hiện khóa luận: Đỗ Thị Nhung

HÀ NỘI - 2018

Qua khóa luận tốt nghiệp, em xin gửi lời tri ân tới các thầy cô giảng viên khoa Toán - Cơ - tin học của trường Đại học Khoa học Tự nhiên và các thầy

cô giảng viên tại trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy và trang bị cho em những kiến thức quan trọng trong suốt quá trình

em học tập tại trường và luôn tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình làm khóa luận này.Và qua đây, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS Phạm Đức Hiệp - người đã trực tiếp hướng dẫn em thực hiện khóa luận này Cảm ơn thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Khóa luận không tránh khỏi những sai sót, kính mong nhận được sự quan tâm, chỉ dẫn của các thầy cô để kết quả nghiên cứu được hoàn chỉnh hơn

Hà Nội, ngày 6 tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Đỗ Thị Nhung

DANH MỤC VIẾT TẮT

GTLN Giá trị lớn nhất GTNN Giá trị nhỏ nhất

d(M;TCĐ) Khoảng cách từ M đến tiệm cận

đứng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Bố cục của khóa luận 2

CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ VỀ HÀM SỐ 4

1.1 Các định nghĩa 4

1.1.1 Hàm số 4

1.1.2 Đồ thị hàm số 4

1.2 Các kiến thức bổ trợ cho các bài toán liên quan đến hàm số 4

1.2.1 Giới hạn hàm số 4

1.2.2 Quy tắc và cách tính đạo hàm 6

1.2.3 Dấu của tam thức bậc hai 6

1.2.4 Tính đơn điệu của hàm số 7

1.2.5 Cực trị của hàm số 8

1.2.6 Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của hàm số 10

1.2.7 Tiệm cận của đồ thị hàm số 10

1.2.7.1 Định nghĩa 10

1.2.7.2 Chú ý 11

CHƯƠNG 2: KHẢO SÁT HÀM SỐ 12

2.1 Khảo sát sự biến thiên của hàm số 12

2.1.1 Các bước để khảo sát sự biến thiên của một hàm số 12

2.1.2 Các hình dáng của đồ thị hàm số 13

2.1.3 Các ví dụ minh họa 14

CHƯƠNG 3: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ 21

3.1 Bài toán liên quan đến tính đơn điệu 21

3.1.1 Phương pháp chung 21

3.1.2 Các ví dụ minh họa 21

3.2 Bài toán liên quan đến tương giao 22

3.2.1 Phương pháp chung 22

3.2.2 Ví dụ minh họa 23

3.3 Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến 26

3.3.1 Phương pháp chung 26

3.3.2 Ví dụ minh họa 27

3.4 Các bài toán liên quan đến cực trị 29

3.4.1 Cực trị hàm bậc ba 29

3.4.1.1 Dạng 1: Tìm điều kiện của m để hàm số có hai cực trị 29

3.4.1.2 Dạng 2: Tìm m để hàm số có trị và đường thẳng qua hai cực trị song song hoặc vuông góc với d y: mxn 30

3.4.1.3 Dạng 3: Tìm m để hàm số có hai cực trị sao cho hai cực trị đối xứng nhau qua d y: axb 31

3.4.1.4 Dạng 4: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x x sao cho 1, 2 F x x( ,1 2)0 ……….32

3.4.1.5 Dạng 5: Tìm m để hàm số đạt cực trị biết diện tích một tam giác

chotrước………33

3.4.2 Cực trị hàm trùng phương 33

3.4.2.1 Dạng 1: Tìm m để hàm số có cực trị 33

3.4.2.2 Dạng 2: Tìm m để hàm số có ba cực trị lập thành tam giác đều 34

3.4.2.3 Dạng 3:Tìm m để hàm số có 3 cực trị lập thành tam giác vuông 35

3.4.2.4 Dạng 4: Tìm m để hàm số có 3 cực trị nhận 1 điểm là trọng tâm hoặc trực tâm……… 36

3.4.2.5 Dạng 5: Tìm m để hàm số có 3 cực trị lập thành tam giác có diện tích cho trước 37

3.4.2.6 Dạng 6: Tìm m để hàm số có ba cực trị lập thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp cho trước 38

3.5 Bài toán liên quan đến tiệm cận( chỉ dành cho hàm phân thức) 39

3.5.1 Ví dụ 1 39

3.5.2 Ví dụ 2 40

3.6 Bài toán GTLN-GTNN của hàm số 41

3.6.1 Dạng 1: Tìm GTLN-GTNN của hàm số y f x( ) trên một khoảng 41

3.6.1.1 Phương pháp chung 41

3.6.1.2 Ví dụ 41

3.6.2 Dạng 2: Tìm GTLN-GTNN của hàm số y f x( ) trên một đoạn 42

3.6.2.1 Phương pháp chung 42

3.6.2.2 Ví dụ 42

3.6.3 Dạng 3: Tìm GTLN-GTNN bằng phương pháp tìm miền xác định giá trị…… ………42

3.6.3.1 Phương pháp chung 42

3.6.3.2 Ví dụ 43

3.6.4 Dạng 4: Tìm GTLN-GTNN của hàm nhiều biến 43

3.6.4.1 Phương pháp chung 43

3.6.4.2 Ví dụ 43

3.7 Các bài toán về điểm đặc biệt trên đồ thị 45

3.7.1 Tìm điểm cố định mà hàm số luôn đi qua 45

3.7.1.1 Phương pháp chung 45

3.7.1.2 Ví dụ 45

3.7.2 Tìm các cặp điểm đối xứng trên đồ thị 46

3.7.2.1 Phương pháp chung 46

3.7.2.2 Ví dụ 46

3.7.3 Tìm điểm có tọa độ nguyên 47

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN 48

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

Khảo sát đồ thị hàm số và các dạng bài tập liên quan đến đồ thị hàm số là một nội dung rất quan trọng trong chương trình môn Toán ở bậc Trung học phổ thông Nó luôn xuất hiện trong các đề thi đại học Vì thế hàm số nhận được sự quan tâm đầu tư của các thầy cô giáo cũng như sự chú ý của học sinh Mặc dù vậy, để nắm vững kiến thức về hàm số, các bài toán liên quan đến hàm số và vận dụng nó vào thực tế lại là một vấn đề hoàn toàn không đơn giản

Trong những năm học Trung học phổ thông, học sinh đã được làm quen và thực hành rất nhiều các bài toán khảo sát hàm số cũng như các bài toán liên quan đến hàm số Mặc dù được làm rất nhiều và bài toán khảo sát cũng không khó nhưng học sinh còn nhầm lẫn nhiều Đặc biệt là các bài toán liên quan đến hàm số Nó có khá nhiều dạng với vô vàn các kiểu câu hỏi nên học sinh khó nhớ và có các bài toán cũng khá khó mà đối với học sinh học lực bình thường không làm được

Với mong muốn: Làm sao để học sinh dễ dàng ghi nhớ và làm được các bài toán về hàm số để có thể hoàn thành bài thi đaị học về phần này tốt nhất Đặc biệt với mục đích đưa ra hệ thống kiến thức và phân dạng đầy đủ và chính xác nhất để thuận lợi cho học sinh trong quá trình học Vì vậy, tôi đã

chọn đề tài ”Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan” cho khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài này là đưa ra các phương pháp để khảo sát hàm số Trên cơ sở đó, tổng hợp, chia dạng và đưa ra phương pháp giải cho các bài toán có liên quan đến đồ thị hàm số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến khảo sát hàm số và các dạng bài toán liên quan đến hàm số để rút ra phương pháp giải cho các dạng toán

- Nghiên cứu tài liệu về các kiến thức bổ trợ có thể có liên quan đến hàm số

để tổng hợp cho học sinh dễ ghi nhớ

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc các tài liệu, sách vở liên quan đến khảo sát hàm số và các bài toán liên quan đến hàm số để phân loại và hệ thống hóa các kiến thức

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu rút ra được kinh nghiệm đề khảo sát và giải các bài toán liên quan đến hàm số

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của khóa luận

5 Bố cục của khóa luận

- Giới hạn hàm số

- Quy tắc và cách tính đạo hàm

- Dấu của tam thức bậc hai

- Tính đơn điệu của hàm số

ví dụ minh họa để học sinh vận dụng vào làm

Chương 3: Các bài toán liên quan

Trong chương 3 phân loại các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số và phương pháp giải bài toán đó.Các dạng toán đó là

- Bài toán liên quan đến tính đơn điệu

- Bài toán liên quan đến tương giao

- Bài toán liên quan đến cực trị

- Bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

- Bài toán liên quan đến tiếp tuyến

- Bài toán liên quan đến tiệm cận (chỉ dành cho hàm số bất biến)

ứng với các dạng cũng có các bài tập ví dụ để vận dụng các kiến thức vào bài toán

- Bài toán tìm điểm đặc biệt trên đồ thị

 Phần kết luận

CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC BỔ TRỢ VỀ HÀM SỐ

1.1 Các định nghĩa

1.1.1 Hàm số

Trong toán học, ta giả sử cho 2 tập hợp (tập nguồn và tập đích),

mỗi phần tử của tập nguồn ứng với một và chỉ một phần tử thuộc

Nói cách khác, nếu x là một số thực và f là một hàm số thực thì đồ thị là sự

biểu diễn trực quan sinh động của tập hợp này trong hệ tọa độ Descartes

Có thể tổng quát hóa đồ thị hàm số về độ thị của một tương đối Ghi chú rằng mặc dù hàm số luôn luôn gắn liền với đồ thị của nó nhưng hàm số và đồ thị không đồng nhất với nhau, bởi vì có trường hợp hai hàm số có tập

đích (codomain) khác nhau nhưng đồ thị vẫn như nhau

Do hệ tọa độ Descartes dùng để biểu diễn các chiều không gian (biểu kiến), tối đa có 3 chiều kích thước, nên hệ tọa độ Descartes cũng chỉ biểu diễn được

đồ thị hàm số một biến và đồ thị hàm số 2 biến mà thôi

1.2 Các kiến thức bổ trợ cho các bài toán liên quan đến hàm số

Để làm được các bài toán liên quan đến hàm số cần rất nhiều các kiến thức

mà đã được học trước đó Sau đây là một số kiến thức cần thiết nhất để học sinh có thể vận dụng được vào các bài toán liên quan đến hàm số

Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực,giới hạn

  

1lim

  

2.Định lý Nếu

 Bảng công thức tính đạo hàm thường gặp trong khảo sát hàm số

2

u u

1.2.3 Dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai ax2 bxc a( 0).Ta cần nhớ các kết quả sau

a

af S

.2

a

af S

Tương tự cho điều kiện ( ) 0f x  , ( )f x 0,…

1.2.4 Tính đơn điệu của hàm số

y f x( ) đồng biến trên ( , )a b khi và chỉ khi f x'( )  0, x ( , )a b Dấu bằng

xảy ra tại một số hữu hạn điểm ( , ) a b

y f x( ) nghịch biến trên ( , )a b khi và chỉ khi '( ) 0, f x   x ( , )a b Dấu

bằng xảy ra tại một số hữu hạn điểm ( , ) a b

Nếu y  f x đồng biến trên ( )  a b, thì

1.2.5 Cực trị của hàm số

1.2.5.1 Định nghĩa

Cho hàm số y  f x liên tục trên ( ) và x0

Nếu có ( , )a b và x0( , )a b sao cho  x ( , ) :a b x x0 f x( ) f x thì ( )0

hàm f đạt cực đại tại x Lúc đó: 0

- x gọi là điểm cực đại của hàm f 0

- f x gọi là giá trị cực đại của hàm f ( )0

- Điểm ( ; ( ))x f x0 0 gọi là điểm cực địa của đồ thị hàm số

Nếu thay f x( ) f x thành ( )0 f x( ) f x thì ta có khái niệm cực tiểu ( )0

Điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số

Hàm số có 2 cực trị trái dấukhi và chỉ

khi phương trình 'y 0có 2 nghiệm

phân biệt trái dấu  ac0

Hàm số có cực trị cùng dấu khi và chỉ khi phương trình 'y 0có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu

khi và chỉ khi phương trình 'y 0có 2

nghiệm phân biệt cùng dấu dương

Hàm số có 2 cực trị cùng dấu âm khi

và chỉ khi phương trình 'y 0có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu âm

b ac

b

S x x

a c

b ac

b

S x x

a c

a b







a b







GọiA B C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số và, , A Oy (với  ab0,

ABC luôn cân tại A).Tọa độ của ba điểm đó là:

 Khi a0thì hàm số đạt GTLN bằng giá trị cực đại của hàm số

 Khi a0thì hàm số đạt GTNN bằng giá trị cực tiểu của hàm số

1.2.7 Tiệm cận của đồ thị hàm số

1.2.7.1 Định nghĩa

Đường thẳng xa là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f x( ) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim

cx d luôn có TCĐ x d

cvà TCN y  a

c

- Hàm phân thức có bậc tử nhỏ hoặc bằng bậc mẫu thì có TCN

- Hàm phân thức có nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử thì có TCĐ

CHƯƠNG 2 KHẢO SÁT HÀM SỐ 2.1 Khảo sát sự biến thiên của hàm số

2.1.1 Các bước để khảo sát sự biến thiên của một hàm số

Hàm số mà học sinh phải hay gặp trong đề thi là hàm số bậc ba, hàm trùng phương, hàm phân thức bậc nhất và hàm có chứa giá trị tuyệt đối Trừ hàm số

có chứa dấu trị tuyệt đối, ba hàm còn lại đều có thể làm theo các bước sau đây Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số

 Xác định giao với trục Ox,Oy

 Xác định tâm đối xứng của đồ thị

Đặc biệt: Đối với hàm số chứa dấu trị tuyệt đối, ta làm như sau:

- Đối với hàm trùng phương 4 2

Hàm số đồng biến trên (;0)(2 :); nghịch biến trên (0;2)

Hàm số đạt cực tiểu bằng 0 tại x2, cực đại bằng 4 tại x0

Vậy đồ thị đi qua điểm (2;0),( 1;0)

 Giao điểm của đồ thị với Oy: Cho x0, ta được y 4

Vậy đồ thị đi qua điểm (0;4)

 Đồ thị nhận (1: 2)làm tâm đối xứng

Vẽ đồ thị

 Giao Ox: Cho y 0, ta được: 4 2

2x 4x  3 0PT vô nghiệm Vậy đồ thị không cắt trục hoành

 Giao Oy: Cho x0, ta được: y3.Vậy đồ thị đi qua điểm (0;3)

 Giao Oy: Cho x0, ta có: y1.Vậy đồ thị đi qua điểm (0;1)

 Đồ thị nhận điểm (1;2) làm tâm đối xứng

2.1.3.4 Ví dụ 4

Vẽ đồ thị hàm số y 2x2|x2 2 |

Lời giải

Trước hết , ta vẽ đồ thị hàm số 4 2

y x  x theo cách làm như trên

Sau khi được đồ thị 4 2

Sau đó, ta giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy và lấy đối xứng phần còn lại qua Oy, ta được đồ thị hàm số y|x3| 6 x2 9 | |x

CHƯƠNG 3 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ

Có rất nhiều các bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị hàm số với vô vàn câu hỏi phong phú, đa dạng khiến học sinh rất khó nhớ.Vì vậy, em đã tổng hợp các dạng toán hay gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng sau đây

3.1 Bài toán liên quan đến tính đơn điệu

Vậy m 10 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán

3.2 Bài toán liên quan đến tương giao

3.2.1 Phương pháp chung

 Hàm số bậc ba: Số giao điểm của đồ thị y ax3 bx2cxd với đường thẳng y mxn chính bằng số nghiệm phương trình:

 Hàm số trùng phương: Số giao điểm của đồ thị y ax4 bx2 cvới đường thẳng yd chính bằng số nghiệm của phương trình ax4 bx2  c d Lưu ý: Số nghiệm phương trình trùng phương ax4bx2  c 0 (1) Đặt 2

S P

S ac

S P

Tìm m để hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A,B,C có hoành độ

lần lượt là x x x sao cho 1, 2, 3 3 3 3

1 2 3 9 0

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm x3 mx2 4x4m160 (1)

Để hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì (1) có 3 nghiệm phân biệt

Phương trình vô nghiệm

Vậy không có giá trị của m để thỏa mãn điều kiện bài toán

3.2.2.2 Ví dụ 2

Cho hàm số ( )C yx45x2 2

Tìm m để :y 2m1cắt ( )C tại 4 điểm phân biệt sao cho x1  x2 x3 x4

m m

Cho 2

1

x y

Mà m2 2m  9 0, m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

GọiA a( ; a m B b b), ( ; m), (a b là hai nghiệm của phương trình trên) ,Suy ra:AB b( a b; a)

Vậy m =1 thì cắt ( )C tại 2 điểm A,B phân biệt và AB ngắn nhất

3.3 Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến

3.3.1 Phương pháp chung

Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến của ( )C :y f x( )tại M x y( ;0 0) ( ) C

Phương trình tiếp tuyến tại M là:

- Nếu tiếp tuyến song song với  thì ka

- Nếu tiếp tuyến vuông góc với thì k 1

a

- Nếu tiếp tuyến tạo với Ox một góc  thì k tan

- Nếu tiếp tuyến tạo với  1 góc  thì tan

Loại 3: Lập phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(a;b) cho trước

- Giả sử phương trình tiếp tuyến y k x( a)b

Phương trình tiếp tuyến tại M: :y  ( m 2)(x 1) 2m3

Vì  tạo với d 1 góc 30nên ta có tan 30 2 2 1

m m

Vậy m  10 5 3thì thỏa mãn điều kiện bài toán

3.3.2.2 Ví dụ 2

Cho hàm số y  x4 2x2 1 và (0;17)

8

I Tìm tọa độ điểm M( )C sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với IM

Kết hợp điều kiện thì m0 không thỏa mãn

Vậy m 1 thì thỏa mãn điều kiện bài toán

3.3.2.3 Ví dụ 3