Điểm bất động và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và ứng dụng 62 46 01 06

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRUỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---PHẠM THẾ ANH ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SI TOÁN HỌC Hà Nộ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRUỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-PHẠM THẾ ANH

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ

HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SI TOÁN HỌC

Hà Nội-2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRUỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SI TOÁN HỌC

NGUỜI HUỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2015

L˝I CAM OAN

Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr…nh nghi¶n cøu cia tæi C¡c k‚t qu£ n¶u

trong lu“n ¡n l ho n to n trung thüc v ch÷a tlng ÷æc ai cæng bL trong

b§t cø mºt cæng tr…nh n okh¡c

NCS Ph/m Th‚ Anh

i”m tròng nhau cia c¡c to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n 47

3 Ùng döng v oph÷ìng tr…nh to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n 603.1

Ùng döng cia c¡c ành lþ i”m tròng nhau 603.2

Ùng döng cia c¡c ành lþ i”m b§t ºng .66

1

K‚t lu“n v ki‚n nghà

73

C¡c k‚t qu£ ch‰nh cia lu“n ¡n 73H÷îng nghi¶n cøu ti‚p theo 73Danh möc cæng tr…nh khoa håc cia t¡c gi£ li¶n quan ‚n lu“n

DANH MÖC CC KÞ HIU V CHÚ VIT TT

Kho£ng c¡ch Hausdorff giœa hai t“p hæp âng A; B

Graph(T)ç thà cia to¡n tß ng¤u nhi¶n T

i”m b§t ºng Schauder [51] (1930) C¡c k‚t qu£ n y ¢ ÷æc mð rºng

Li vîi c¡c lîp ¡nh x/ kh¡c nhau, trong c¡c khæng gian kh¡c nhau v ¢

÷æc øng döng trong nhi•u l¾nh vüc cia to¡n håc Ta câ th” th§y øng

döng cia c¡c nguy¶n lþ i”m b§t ºng trong vi»c gi£i quy‚t v§n • tçnt/i líi gi£i cia ph÷ìng tr…nh (to¡n tß, vi ph¥n, t‰ch ph¥n, ), trong c¡c

b i to¡n x§p x¿ nghi»m,

Ti‚p theo c¡c k‚t qu£ trong tr÷íng hæp khæng ng¤u nhi¶n, r§t nhi•uk‚t qu£ v• b i to¡n i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n ¢ ÷æc nghi¶n cøu V ogiœa th“p ni¶n 1950, O Hans v A Spacek ð tr÷íng /i håc TŒng hæp

Prague ¢ khði x÷îng nhœng nghi¶n cøu ƒu ti¶n v• i”m b§t ºng ciato¡n tß ng¤u nhi¶n v c¡c v§n • li¶n quan (xem [28, 53]) C¡c t¡c gi£

¢

÷a ra c¡c i•u ki»n i ban ƒu ” to¡n tß ng¤u nhi¶n câ i”m b§t ºng

ng¤u nhi¶n Sau c¡c cæng tr…nh cia O Hans v A Spacek, mºt sL d/ng

t÷ìng tü cia c¡c ành lþ i”m b§t ºng t§t ành nŒi ti‚ng kh¡c cho tr÷ínghæp ng¤u nhi¶n công ¢ ÷æc chøng minh Còng vîi vi»c nghi¶n cøu c¡c

v§n • v• i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n, c¡c v§n • v• ph÷ìng tr…nh to¡n

tß ng¤u nhi¶n công ¢ ÷æc quan t¥m ‚n C¡c nghi¶n cøu v• ph÷ìngtr…nh to¡n tß ng¤u nhi¶n l sü mð rºng, ng¤u nhi¶n hâa lþ thuy‚t ph÷ìng

tr…nh to¡n tß t§t ành Tuy nhi¶n, phƒn lîn c¡c k‚t qu£ /t ÷æc cia lþ4

thuy‚t ph÷ìng tr…nh to¡n tß ng¤u nhi¶n t“p trung v ovi»c ÷a v• b ito¡n i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n ” ch¿ ra sü tçn t/i v duy nh§t nghi»mng¤u nhi¶n.

Lþ thuy‚t ph÷ìng tr…nh to¡n tß ng¤u nhi¶n v i”m b§t ºng ng¤u

nhi¶n thüc sü ÷æc quan t¥m nghi¶n cøu sau sü ra íi cuLn s¡ch Random

integral equations (1972) v b i b¡o tŒng k‚t Fixed point

Schauder

d/ng ng¤u nhi¶n Tl â, nhi•u t¡c gi£ ¢ th nh cæng trong vi»c mð rºngc¡c k‚t qu£ v• i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n ¢ câ ho°c chøng minh d/ngng¤u nhi¶n cia c¡c ành lþ i”m b§t ºng cho to¡n tß t§t ành (xem

[11, 21, 32, 37, 60]) V onhœng n«m 1990, mºt sL t¡c gi£ nh÷ H K Xu,

K K Tan, X Z Yuan, ¢ chøng minh c¡c ành lþ i”m b§t ºng ng¤unhi¶n tŒng qu¡t, trong â c¡c t¡c gi£ ch¿ ra r‹ng vîi mºt sL i•u ki»n nh§t

ành, n‚u c¡c quÿ /o cia to¡n tß ng¤u nhi¶n câ i”m b§t ºng t§t ànhth… to¡n tß ng¤u nhi¶n câ i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n (xem [14, 54, 60])

Gƒn ¥y, mºt sL t¡c gi£ nh÷ N Shahzad, D O’Regan, R P Agarwal

¢ ÷a ra mºt sL ành lþ i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n tŒng qu¡t mð rºngc¡c k‚t qu£ cia c¡c t¡c gi£ tr÷îc v tr¶n cì sð â d/ng ng¤u nhi¶n cianhi•u ành lþ i”m b§t ºng cho to¡n tß t§t ành ¢ ÷æc chøng minh(xem [47, 50]) °c bi»t, trong b i b¡o [57] c¡c t¡c gi£ D H Thang v T

N Anh ¢ chøng minh c¡c k‚t qu£ tŒng qu¡t v• sü t÷ìng ÷ìng tçn t/inghi»m cia ph÷ìng tr…nh t§t ành vîi ph÷ìng tr…nh ng¤u nhi¶n, sü tçn

t/i i”m b§t ºng cia to¡n tß t§t ành v to¡n tß ng¤u nhi¶n

Ti‚p theo b i to¡n i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n, b i to¡n i”m b§t ºng

ng¤u nhi¶n chung cia nhi•u to¡n tß ng¤u nhi¶n công ¢ ÷æc nghi¶n cøu

mºt c¡ch kÿ l÷ïng Tuy nhi¶n, i•u ki»n ” nhi•u to¡n tß câ i”m b§t ºngchung th÷íng l phøc t/p, do â b i to¡n i”m tròng nhau ng¤u nhi¶n ¢

÷æc quan t¥m nghi¶n cøu B i to¡n i”m tròng nhau ng¤u nhi¶n ÷æcnghi¶n cøu nhi•u Li vîi c¡c to¡n tß a trà, giœa c°p to¡n tß ìn trà v

to¡n tß a trà (xem [17, 20, 22, 25, 33, 34, 36, 41, 42, 45, 46, 47, 48, 49, 52]).

Mºt c¡ch tŒng qu¡t, câ th” xem to¡n tß ng¤u nhi¶n nh÷ mºt ¡nh x/bi‚n mØi phƒn tß cia khæng gian metric th nh mºt bi‚n ng¤u nhi¶n B¶n

c/nh â, ta coi mØi phƒn tß cia khæng gian metric nh÷ l mºt bi‚n ng¤u

nhi¶n suy bi‚n nh“n gi¡ trà l phƒn tß â vîi x¡c su§t 1 Vîi c¡ch quanni»m nh÷ v“y, ta câ th” çng nh§t khæng gian metric X nh÷ t“p con

nh“n gi¡ trà trong khæng gian metric Sß döng c¡c t‰nh to¡n thuƒn tóy

x¡c su§t, c¡c t¡c gi£ ¢ chøng minh ÷æc mºt sL k‚t qu£ ban ƒu t÷ìng

tü nh÷ cia O Hadzic v E Pap v• i”m b§t ºng cia to¡n tß ho n to nng¤u nhi¶n

Nºi dung cia lu“n ¡n bao gçm ành lþ v• sü th¡c tri”n to¡n tß ng¤unhi¶n th nh to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n, l cì sð ” x†t ‚n c¡c b i

6

to¡n v• i”m b§t ºng, i”m tròng nhau v b i to¡n v• ph÷ìng tr…nh to¡n

tß ho n to n ng¤u nhi¶n Ngo i ra lu“n ¡n • c“p ‚n c¡c k‚t qu£ nghi¶ncøu v• i”m b§t ºng, i”m tròng nhau cia c¡c to¡n tß ho n to n ng¤unhi¶n, tl â ¡p döng c¡c ành lþ i”m b§t ºng v ành lþ i”m tròng

nhau ” t…m nghi»m cia ph÷ìng tr…nh to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n

Lu“n ¡n gçm 3 ch÷ìng

Ch÷ìng 1 tr…nh b y tŒng quan v• c¡c kh¡i ni»m v k‚t qu£ ¢ bi‚tcia c¡c t¡c gi£ kh¡c li¶n quan ‚n ành lþ i”m b§t ºng v i”m tròng

nhau ng¤u nhi¶n cia c¡c to¡n tß ng¤u nhi¶n C¡c k‚t qu£ cia ch÷ìng

n y ÷æc tr‰ch d¤n v bä qua chøng minh chi ti‚t

Ch÷ìng 2 tr…nh b y kh¡i ni»m to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n, ành

lþ th¡c tri”n to¡n tß ng¤u nhi¶n th nh to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n,t‰nh li¶n töc theo x¡c su§t cia to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n Ti‚p theo,

ch÷ìng n y tr…nh b y c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu v• i”m b§t ºng cia mºt

sL d/ng to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n CuLi còng, mºt sL k‚t qu£ v•

i”m tròng nhau cia c¡c to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n ÷æc • c“p ‚n.Nºi dung ch‰nh cia ch÷ìng n y c¡c ành lþ v• sü tçn t/i i”m b§t ºng

v i”m tròng nhau cia to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n

Ch÷ìng 3 tr…nh b y k‚t qu£ nghi¶n cøu v• øng döng c¡c ành lþ i”mb§t ºng, i”m tròng nhau cia c¡c to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n C¡cøng döng â l chøng minh sü tçn t/i nghi»m cia ph÷ìng tr…nh to¡n tß

ho n to n ng¤u nhi¶n v sß döng ành lþ i”m tròng nhau ng¤u nhi¶n

” chøng minh sü tçn t/i i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n Nºi dung ch‰nh ciach÷ìng n y l c¡c ành lþ v• sü tçn t/i nghi»m ph÷ìng tr…nh to¡n tß hon

to n ng¤u nhi¶n

C¡c k‚t qu£ cia lu“n ¡n ¢ ÷æc tr…nh b y t/i Seminar cia Bº mæn7

X¡c su§t - ThLng k¶, Khoa To¡n - Cì - Tin håc, Tr÷íng /i håc KHTN

- HQGHN, t/i Hºi th£o X¡c su§t ThLng k¶ mlng thå GS Nguy„n DuyTi‚n 70 tuŒi (H Nºi, 18/08/2012), t/i /i hºi To¡n håc Vi»t Nam lƒnthø 8 (Nha Trang, 10-14/08/2013), v ÷æc cæng bL trong c¡c b i b¡o

[1, 2, 3] trang 77 cia lu“n ¡n

Lu“n ¡n ÷æc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¤n cia GS TSKH °ng

Hòng Th›ng T¡c gi£ xin b y tä lÆng k‰nh trång v bi‚t ìn s¥u s›c v ch¥n th nh tîi GS TSKH °ng Hòng Th›ng, Thƒy ¢ quan t¥m h÷îngd¤n v ch¿ b£o t¡c gi£ trong suLt nhœng n«m cuLi /i håc, qu¡ tr…

nh håc

cao håc v trong qu¡ tr…nh nghi¶n cøu sinh

T¡c gi£ xin b y tä lÆng bi‚t ìn c¡c thƒy cæ trong Khoa To¡n Cì Tin håc ¢ cung c§p nhi•u b i gi£ng v giîi thi»u cho t¡c gi£ nhi•u t ili»u bŒ ‰ch

-T¡c gi£ xin c£m ìn c¡c th nh vi¶n tham dü Seminar To¡n tß ng¤unhi¶n cia bº mæn X¡c su§t - ThLng k¶ ¢ t/o i•u ki»n cho t¡c gi£ ÷æctr…nh b y v gióp ï t¡c gi£ ki”m tra c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu

T¡c gi£ xin c£m ìn c¡c c§p l¢nh /o, c¡c çng nghi»p trong cì quanHåc vi»n Kÿ thu“t Qu¥n sü v o n 871 Bº QuLc PhÆng ¢ t/o i•uki»n cho t¡c gi£ ÷æc håc t“p v nghi¶n cøu

CuLi còng, t¡c gi£ xin b y tä lÆng bi‚t ìn gia …nh, b/n b– ¢ luænºng vi¶n, chia s· gióp ï ” t¡c gi£ câ th” ho n th nh ÷æc qu¡ tr…nhhåc t“p cia m…nh

H Nºi, ng y 10 th¡ng 03 n«m 2015

Nghi¶n cøu sinh

Ph/m Th‚ Anh

8

Ch֓ng 1

KIN THÙC CHUN BÀ V T˚NG QUAN

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nh›c l/i c¡c kh¡i ni»m cì b£n v tr…nh

b y mºt c¡ch tŒng quan c¡c k‚t qu£ v• i”m b§t ºng, i”m tròng nhaucia c¡c to¡n tß ng¤u nhi¶n m chóng tæi s‡ sß döng l m ti•n • ” x¥ydüng c¡c k‚t qu£ trong c¡c phƒn sau cia lu“n ¡n C¡c k‚t qu£ ÷æc tr

1

S

n=1

tß cia -/i sL F ÷æc gåi l mºt t“p o ÷æc C°p (; F) gåi l mºt

khæng gian o ÷æc nh x/ P : F ! [0; 1] ÷æc gåi l º o x¡c su§tn‚u thäa m¢n P(;) = 0, P() = 1 v P

= n Vîi mØi A 2 F; P(A) gåi l º o

x¡c su§t cia t“p A -/i sL F gåi l ƒy i vîi º o x¡c su§t P n‚u

måi t“p con cia t“p câ x¡c su§t 0 l t“p o ÷æc Bº ba (; F; P) gåi

l khæng gian x¡c su§t Mºt khæng gian x¡c su§t gåi l ƒy i n‚u F l -/i sL ƒy i Khæng gian metric kh£ ly v ƒy i ÷æc gåi l khænggian Polish (xem [29])

Cho X l mºt khæng gian metric, -/i sL Borel B(X) cia X l -/i

sL nhä nh§t chøa t§t c£ c¡c t“p mð cia X Trong to n bº lu“n ¡n, khinâi ‚n -/i sL c¡c t“p con cia khæng gian metric ta hi”u â l -/i sLBorel

Cho (X; A) v (Y; B) l c¡c khæng gian o ÷æc Khi â -/i sL tr¶n

X Ykþ hi»u bði A B ÷æc x¡c ành l -/i sL nhä nh§t chøa c¡c

t“p A B, trong â A 2 A, B 2 B Vîi hai khæng gian tæpæ X; Y b§t ký

ta câ B(X Y ) chøa B(X) B(Y ) Tuy nhi¶n n‚u X v Y l c¡c khænggian Polish th… B(X Y ) = B(X) B(Y ) (xem [54])

Cho (; F) l khæng gian o ÷æc v X l khæng gian metric nh x/ : ! X gåi l F-o ÷æc n‚u

(1.1)

vîi måi B 2 B(X) N‚u (; F; P) l khæng gian x¡c su§t, : ! X

l ¡nh x/ F-o ÷æc th… ÷æc gåi l mºt bi‚n ng¤u nhi¶n nh“n gi¡ tràtrong X hay bi‚n ng¤u nhi¶n X-gi¡ trà T“p hæp t§t c£ c¡c lîp t÷ìng

trang bà tæ pæ hºi tö theo x¡c su§t

ành ngh¾a 1.1.1 nh x/ f : X ! Y ÷æc gåi l to¡n tß ng¤u

nhi¶n tl X v oY n‚u vîi mØi phƒn tß x 2 X ¡nh x/ ! 7!f(!; x) l mºtbi‚n ng¤u nhi¶n Y -gi¡ trà To¡n tß ng¤u nhi¶n tl X v oX ÷æc gåi l to¡n tß ng¤u nhi¶n tr¶n X To¡n tß ng¤u nhi¶n tl X v oR ÷æc gåi l phi‚m h m ng¤u nhi¶n

Vîi mØi x cL ành, f(!; x) l mºt bi‚n ng¤u nhi¶n nh“n gi¡ trà trong

Y Do â ta câ th” coi to¡n tß ng¤u nhi¶n tl X v oY nh÷ mºt quy t›ccho t÷ìng øng mØi phƒn tß x 2 X mºt bi‚n ng¤u nhi¶n nh“n gi¡ trà trong

Y Nâi c¡ch kh¡c, to¡n tß ng¤u nhi¶n tl X v oY ch‰nh l ¡nh x/ tl X

ành ngh¾a 1.1.3 Cho f; g : X ! Y l hai to¡n tß ng¤u nhi¶n.

To¡n tß ng¤u nhi¶n f gåi l mºt b£n sao cia to¡n tß ng¤u nhi¶n g n‚uvîi måi x 2 X

f(!; x) = g(!; x)h.c.c.:

(1.2)

Ta th§y t“p c¡c ! m f(!; x) 6

= g(!; x) nâi chung phö thuºc v ox

Theo quan i”m x¡c su§t, n‚u hai bi‚n ng¤u nhi¶n b‹ng nhau h.c.c th…

câ th” coi l tròng nhau V… c£ to¡n tß ng¤u nhi¶n v b£n sao cia nâx¡c

th” çng nh§t to¡n tß ng¤u nhi¶n vîi b£n sao cia nâ

ành ngh¾a 1.1.4.1 To¡n tß ng¤u nhi¶n f : X ! Y ÷æc gåi l

o ÷æc n‚u ¡nh x/ f : X ! Y l F B(X)-o ÷æc

2 To¡n tß ng¤u nhi¶n f : X ! Y ÷æc gåi l li¶n töc n‚u vîi mØi

! quÿ /o f(!; :) cia f l ¡nh x/ li¶n töc tl X v oY

3 To¡n tß ng¤u nhi¶n f: X ! Y÷æc gåi l Lipschitz (ng¤unhi¶n) n‚u tçn t/i bi‚n ng¤u nhi¶n khæng ¥m k(!) sao cho vîi måix; y 2 X

d(f(!; x); f(!; y)) k(!)d(x; y):

(1.3)

4 To¡n tß ng¤u nhi¶n f : X ! Y ÷æc gåi l co (ng¤u nhi¶n) n‚u

f l to¡n tß Lipschitz vîi k(!) 2 [0; 1); 8! 2

ành lþ 1.1.5 ([29, ành lþ 6.1]) Cho X; Y l c¡c khæng gian Polish v

f : X ! Y l to¡n tß ng¤u nhi¶n li¶n töc Khi â f l to¡n tß ng¤u

nhi¶n o ÷æc Hìn nœa n‚u : ! X l bi‚n ng¤u nhi¶n th… ¡nh x/

! 7!f(!; (!)) l mºt bi‚n ng¤u nhi¶n Y -gi¡ trà

11

Nh“n x†t 1.1.6 Tl ành lþ 1.1.5 ta th§y vîi to¡n tß ng¤u nhi¶n, t‰nh

Lipschitz suy ra t‰nh li¶n töc, t‰nh li¶n töc suy ra t‰nh o ÷æc

ành ngh¾a 1.1.7 (i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n) Bi‚n ng¤u nhi¶n : ! X gåi l i”m b§t ºng (ng¤u nhi¶n) cia to¡n tß ng¤u nhi¶n f :

X ! X n‚u

f(!; (!)) = (!)h.c.c

(1.4)

N‚u : ! X l ¡nh x/ n oâ (khæng o ÷æc) thäa m¢n (1.4),

th… cÆn ÷æc gåi l i”m b§t ºng t§t ành cia f Ta nh“n th§y n‚u

f : X ! X câ i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n th… f câ i”m b§t ºng

t§t ành Ng÷æc l/i khæng óng ” ìn gi£n, trong c¡c phƒn sau ta hi”ui”m b§t ºng l i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n, trl trong c¡c k‚t qu£ câ nâi

rª v• i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n v t§t ành

ành ngh¾a 1.1.8 Ph÷ìng tr…nh to¡n tß ng¤u nhi¶n ìn trà l ph÷ìngtr…nh câ d/ng

f(!; x) = g(!; x)

(1.5)

vîi f; g : X ! Y l c¡c to¡n tß ng¤u nhi¶n tl X v oY

ành ngh¾a 1.1.9.1 Ph÷ìng tr…nh (1.5) ÷æc gåi l câ nghi»m t§t

ành vîi hƒu h‚t n‚u tçn t/i t“p D câ x¡c su§t 1 sao cho vîi mØi

! 2 D tçn t/i phƒn tß u(!) 2 X sao cho

f(!; u(!)) = g(!; u(!)):

(1.6)

Khi â u(!) gåi l nghi»m t§t ành cia ph÷ìng tr…nh (1.5)

2 Ph÷ìng tr…nh (1.5) ÷æc gåi l câ nghi»m ng¤u nhi¶n n‚u tçn t/i bi‚n

ng¤u nhi¶n : ! X sao cho

f(!; (!)) = g(!; (!))

h.c.c

(1.7)

12

Khi â gåi l nghi»m ng¤u nhi¶n cia ph÷ìng tr…nh (1.5).

1.2 i”m b§t ºng cia to¡n tß ng¤u nhi¶n

Làch sß ph¡t tri”n cia b i to¡n i”m b§t ºng b›t ƒu tl c¡c ành lþ

i”m b§t ºng cia L E J Brouwer, S Banach v J Shauder ƒu ti¶n,

ta xem x†t b i to¡n i”m b§t ºng cia to¡n tß li¶n töc tŒng qu¡t v ciato¡n tß thäa m¢n c¡c i•u ki»n co V oƒu th‚ k¿ 20, L E J Browder

¢ ghi d§u §n ƒu ti¶n b‹ng vi»c ÷a ra ành lþ i”m b§t ºng cho h mli¶n töc tl h…nh cƒu âng v och‰nh nâ Sau â l nguy¶n lþ ¡nh x/ cocia S Banach ÷æc chøng minh n«m 1922 ([7]) v ành lþ i”m b§t ºng

J Shauder n«m 1930 ([51])

Li vîi i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n, n«m 1957 trong b i b¡o cia m…nh

O Hans ([28]) ¢ b÷îc ƒu ÷a ra c¡c i•u ki»n £m b£o mºt ¡nh x/

ng¤u nhi¶n câ i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n d÷îi d/ng x§p x¿ ‚n nghi»mcia ph÷ìng tr…nh ng¤u nhi¶n

Còng vîi sü ph¡t tri”n cia c¡c ành lþ i”m b§t ºng trong tr÷íng

hæp t§t ành, c¡c ành lþ i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n công ¢ b›t ƒu ÷æcnghi¶n cøu nhi•u sau b i b¡o cia O Hans N«m 1976 trong b i b¡o tŒng

quan cia m…nh, t¡c gi£ A T Bharucha-Reid ([16]) ¢ chøng minh ành

lþ i”m b§t ºng cho to¡n tß co ng¤u nhi¶n

ành lþ 1.2.1 ([16, ành lþ 7]) Cho T : X ! X l to¡n tß co ng¤u

nhi¶n, X l khæng gian Banach kh£ ly Khi â T câ i”m b§t ºng duynh§t

Công trong b i b¡o [16], t¡c gi£ A T Bharucha-Reid ¢ x†t ‚nph÷ìng tr…nh gi¡ trà ri¶ng ng¤u nhi¶n d/ng (T(!)

I)x = y(!) (t¡c

13

gi£ kþ hi»u T(!; x) bði T(!)x) v ÷a ra i•u ki»n ” ph÷ìng tr…nh cânghi»m.

ành lþ 1.2.2 ([16, ành lþ 8]) Cho T(!) l to¡n tß co tl khæng gianBanach kh£ ly X v och‰nh nâ, k(!) l bi‚n ng¤u nhi¶n khæng ¥m nh“n

gi¡ trà thüc bà ch°n h.c.c Khi â vîi mØi sL thüc 6

ành lþ 1.2.3 ([16, ành lþ 10]) Cho E l t“p compact, lçi trong khænggian Banach kh£ ly X v T(!; x) l to¡n tß ng¤u nhi¶n li¶n töc tr¶n E.Khi â tçn t/i bi‚n ng¤u nhi¶n E-gi¡ trà (!) l i”m b§t ºng cia T

N«m 1979 trong b i b¡o [31], t¡c gi£ S Itoh ¢ chøng minh h» qu£v• i”m b§t ºng cho to¡n tß ng¤u nhi¶n compact

H» qu£ 1.2.4 ([31, H» qu£ 2.2]) Cho E l t“p compact (ho°c kh£ ly

v

âng) trong khæng gian Banach X, T : E ! E l to¡n tß ng¤u nhi¶ncompact theo ngh¾a T(!; :) l compact vîi måi ! 2 Khi â T câ i”mb§t ºng

‚n n«m 1993 trong b i b¡o [54], c¡c t¡c gi£ K K.Tan v X Z Yuan

¢ câ nhœng chøng minh ƒu ti¶n v• mLi li¶n h» giœa i”m b§t ºng t§tành v i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n Khæng gian Suslin l khæng gian tæpæ

Hausdorff v l £nh li¶n töc cia khæng gian Polish T“p con Suslin cia

khæng gian tæpæ l khæng gian con cia khæng gian tæpæ v công l khæng

14

gian Suslin Kþ hi»u I v J lƒn l÷æt l t“p c¡c d¢y con væ h/n v hœuh/n

cia t“p sL nguy¶n d÷ìng Gåi G l hå c¡c t“p hæp n oâ v F : J ! G l

F (=n) ÷æc gåi l nh“n ÷æc tl G b‹ng to¡n tß Suslin

Tl â, n‚u måi t“p con nh“n ÷æc tl G theo c¡ch nh÷ tr¶n công thuºc

G, th… G gåi l hå Suslin Sß döng ph÷ìng ph¡p h m chån, c¡c t¡c gi£ ¢

thu ÷æc c¡c k‚t qu£ sau

ành lþ 1.2.5 ([54, ành lþ 2.3]) Cho (; ) l khæng gian o, l

sß

i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n khi v ch¿ khi T câ i”m b§t ºng t§t ành, tøc

ành lþ 1.2.6 ([54, ành lþ 2.5]) Cho (; ) l khæng gian o, l hå

sß

ºng ng¤u nhi¶n khi v ch¿ khi T câ i”m b§t ºng t§t ành, tøc l vîi

N«m 1995, t¡c gi£ B S Choudhury trong [18] ¢ sß döng d¢y l°pIshikawa ” ch¿ ra sü tçn t/i i”m b§t ºng cia to¡n tß ng¤u nhi¶n n‚ud¢y l°p hºi tö trong khæng gian Hilbert

ành lþ 1.2.7 ([18, ành lþ 1]) Cho X l khæng gian Hilbert kh£ ly,

T : X ! X l to¡n tß ng¤u nhi¶n li¶n töc sao cho tçn t/i ¡nh x/ u : ! X (khæng y¶u cƒu o ÷æc) thäa m¢n jjT(!; x)u(!)jj 6 jjxu(!)jj

15

d¢y bi‚n ng¤u nhi¶n (n(!)) x¡c ành bði d¢y l°p Ishikawa

ng¤u nhi¶n co y‚u

ành lþ 1.2.8 ([12, ành lþ 5.2]) Cho F l t“p con lçi, âng cia khænggian Banach kh£ ly X, v T : F ! F l to¡n tß ng¤u nhi¶n co y‚utheo ngh¾a vîi b§t ký x; y 2 F

kT (!; x)T (!; y)k 6 kxykf (kxyk) 8! 2

(1.8)

trong â f : [0; +1) ! [0; +1) l h m li¶n töc, khæng gi£m, f(t) = 0

Công trong b i b¡o [12], c¡c t¡c gi£ I Beg v M Abbas ¢ chøngminh ành lþ v• qu¡ tr…nh l°p ‚n i”m b§t ºng cia to¡n tß ng¤u nhi¶n

N«m 2010 trong b i b¡o [57], c¡c t¡c gi£ D H Thang v T N Anhb‹ng ph÷ìng ph¡p h m chån ¢ chøng minh k‚t qu£ sau Li vîi ph÷ìngtr…nh to¡n tß ng¤u nhi¶n.

ành lþ 1.2.10 ([57, ành lþ 2.3]) Cho X; Y l c¡c khæng gian Polish

v f; g : X ! Yl c¡c to¡n tß ng¤u nhi¶n o ÷æc Khi â ph÷ìng

tr…nh ng¤u nhi¶n f(!; x) = g(!; x) câ nghi»m ng¤u nhi¶n khi v ch¿ khi

ph÷ìng tr…nh câ nghi»m t§t ành vîi hƒu h‚t ! 2

Hìn nœa n‚u vîi hƒu h‚t ! 2 ph÷ìng tr…nh f(!; :) = g(!; :) câduy nh§t nghi»m t§t ành, th… ph÷ìng tr…nh f(!; x) = g(!; x) câ duy nh§t

nghi»m ng¤u nhi¶n

Tl ành lþ n y, c¡c t¡c gi£ ¢ thu ÷æc k‚t qu£ sau ch¿ ra mLi li¶n h»giœa sü tçn t/i i”m b§t ºng t§t ành v i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n

ành lþ 1.2.11 ([57, ành lþ 3.1]) Cho X l c¡c khæng gian Polish,

f : C ! X l to¡n tß ng¤u nhi¶n o ÷æc Khi â f câ i”m b§t ºng

ng¤u nhi¶n khi v ch¿ khi vîi hƒu h‚t ! 2 , ¡nh x/ f(!; :) câ i”m b§tºng t§t ành

ành lþ 1.2.11 cho th§y Li vîi tr÷íng hæp to¡n tß ng¤u nhi¶n o

÷æc, v§n • tçn t/i i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n t÷ìng ÷ìng vîi sü tçn

t/i i”m b§t ºng t§t ành cho hƒu h‚t ! M°t kh¡c v§n • i”m b§t

ºng t§t ành ¢ ÷æc nghi¶n cøu gƒn nh÷ ƒy i, vîi sL l÷æng r§t lînc¡c cæng tr…nh Nh÷ v“y tr÷îc khi câ b i b¡o [57], vi»c chøng minh sü

tçn t/i i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n cia to¡n tß ng¤u nhi¶n o ÷æc m

17

sß döng k‚t qu£ trong tr÷íng hæp t§t ành k‚t hæp vîi ành lþ h m chån

‚n ¥y khæng cÆn nh“n ÷æc nhi•u sü quan t¥m nœa V… th‚, ” ÷a

ra c¡c k‚t qu£ v• i”m b§t ºng cho to¡n tß ng¤u nhi¶n o ÷æc, c¡c

t¡c gi£ th÷íng chøng minh trüc ti‚p thæng qua ph÷ìng ph¡p d¢y l°p

m

khæng sß döng c¡ch chøng minh düa tr¶n ành lþ h m chån nh÷ tr÷îc

‚n b¥y gií nhi•u d/ng d¢y l°p ¢ ÷æc sß döng, i”n h…nh l c¡c d¢yl°p Picard, d¢y l°p Mann, d¢y l°p Ishikawa, d¢y l°p ba b÷îc, d¢y l°p 'n,

Sß döng ph÷ìng ph¡p l°p, sL c¡c k‚t qu£ v• i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n

÷æc chøng minh phong phó hìn r§t nhi•u so vîi sß döng ph÷ìng ph¡p

h m chån

1.3 i”m tròng nhau cia c¡c to¡n tß ng¤u

nhi¶n

Ti‚p theo sü xu§t hi»n b i to¡n i”m b§t ºng cia to¡n tß ng¤u nhi¶n,

b i to¡n i”m tròng nhau cia c¡c to¡n tß ng¤u nhi¶n công ¢ ÷æc quan

t¥m ‚n Lƒn l÷æt c¡c cæng tr…nh [11] n«m 1994, [17] n«m 1995, [45] n«m

2000, [46] n«m 2000, [40] n«m 2003, [47] n«m 2004, [33] n«m 2004 ,[41]

n«m 2005, [48] n«m 2005, [49] n«m 2006, [34] n«m 2006, [22] n«m 2006,

[35] 2007, [36] n«m 2008, [42] n«m 2010, [20] n«m 2010, [57] n«m 2010,

[25] n«m 2011 ¢ ÷a ra nhi•u k‚t qu£ quan trång v• i”m tròng nhaucia c¡c to¡n tß ng¤u nhi¶n

nhi¶n Bi‚n ng¤u nhi¶n : ! X gåi l i”m tròng nhau (ng¤u nhi¶n)

(1.10)

18

ành ngh¾a 1.3.2 nh x/ o ÷æc : ! X ÷æc gåi l i”m tròng

nhau (ng¤u nhi¶n) cia to¡n tß ng¤u nhi¶n f: X! X v to¡n

tß ng¤u nhi¶n a trà T: X ! CB(X) n‚u vîi måi ! 2 ta câf(!; (!)) 2 T(!; (!))

vîi måi x; y 2 X, måi ! 2 v : ! (0; 1) l ¡nh x/ o ÷æc Khi â

tçn t/i duy nh§t i”m tròng nhau cia S; T v f

Düa tr¶n ph÷ìng ph¡p l°p, n«m 1994 c¡c t¡c gi£ I Beg, N Shahzad

¢ chøng minh ành lþ v• i”m tròng nhau cia mºt to¡n tß ng¤u nhi¶n

v mºt to¡n tß ng¤u nhi¶n a trà

Cho (X; d) l khæng gian Polish nh x/ T: X ! CB(X) v f :

19

limn f xn 2 limn T xn (n‚u c¡c giîi h/n tçn t/i) th… limn H(f T xn; T f xn) =

0 To¡n tß ng¤u nhi¶n f : X ! X v T : X ! CB(X) gåi l

t÷ìng th‰ch n‚u f(!; :) v T(!; :) l t÷ìng th‰ch vîi måi ! 2 (xem [8],[9])

b y

mºt c¡ch tŒng quan c¡c k‚t qu£ ¢ nh“n ÷æc trong qu¡ tr…nh h…nh

th nh

v ph¡t tri”n cia b i to¡n i”m b§t ºng v i”m tròng nhau cia c¡c

to¡n tß ng¤u nhi¶n

20

Ch÷ìng 2 IM BT ¸NG V IM TRÒNG NHAU

CÕA CC TON TÛ HON TON NGU NHIN

To¡n tß ng¤u nhi¶n f : X ! Ycâ th” coi l mºt t¡c ºng bi‚n

phƒn tß x trong X th nh ƒu ra ng¤u nhi¶n f(!; x) nh“n gi¡ trà trong

Y Trong mºt sL tr÷íng hæp, ngay c£ ƒu v ocông bà £nh h÷ðng bðimæi

tr÷íng ng¤u nhi¶n, mºt t¡c ºng bi‚n c¡c phƒn tß ng¤u nhi¶n nh“n gi¡trà trong X th nh ƒu ra ng¤u nhi¶n nh“n gi¡ trà trong Y÷æc gåi l to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n tl X v oY

Ch÷ìng n y tr…nh b y k‚t qu£ v• sü th¡c tri”n to¡n tß ng¤u nhi¶n

th nh to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n Ti‚p theo â, c¡c k‚t qu£ v• i”mb§t ºng v i”m tròng nhau cia c¡c to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n ÷æcx†t ‚n Chó þ r‹ng ành lþ i”m b§t ºng v i”m tròng nhau cia c¡c

to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n khæng ÷æc suy ra mºt c¡ch trüc ti‚p tlc¡c ành lþ t÷ìng øng trong tr÷íng hæp t§t ành, hay trong tr÷íng hæpng¤u nhi¶n

Nºi dung ch÷ìng n y bao gçm c¡c möc: 2.1 To¡n tß ho n to n ng¤unhi¶n, 2.2 i”m b§t ºng cia to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n, 2.2 i”m

tròng nhau cia c¡c to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n C¡c k‚t qu£ trong

ch÷ìng n y ÷æc cæng bL trong c¡c b i b¡o [1, 2, 3] trang 76 cia lu“n

¡n

2.1To¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n

Trong c¡c ch÷ìng ti‚p theo, chóng tæi x†t X l khæng gian Banach kh£ ly

v (; F; P) l khæng gian x¡c su§t ƒy i Gi£ sß f : X ! X l to¡n

tß ng¤u nhi¶n li¶n töc Theo ành lþ 1.1.5, n‚u f l to¡n tß ng¤u nhi¶n

21

li¶n töc th… vîi måi bi‚n ng¤u nhi¶n u : ! X, ¡nh x/ ! 7!f(!; u(!))

o ÷æc v công l bi‚n ng¤u nhi¶n Do â ta câ th” x†t

Khi â câ th” coi X l t“p con c¡c bi‚n ng¤u nhi¶n suy bi‚n (bi‚n

ng¤u nhi¶n nh“n mºt gi¡ trà cö th” cL ành vîi x¡c su§t 1) cia t“p c¡c

tß ng¤u nhi¶n f Tl â, ta nh“n ÷æc l sü mð rºng cia f l¶n to n bº

trong

vîi nhi•u metric kh¡c nhau (sü hºi tö theo c¡c metric â t÷ìng ÷ìngvîi sü hºi tö theo x¡c su§t) Khi â ta câ th” coi nh÷ l mºt ¡nh x/giœa hai khæng gian metric Tuy nhi¶n ð ¥y chóng tæi x†t ‚n gâc ºx¡c su§t cia to¡n tß , vîi c¡c gi£ thi‚t düa tr¶n c¡c bi”u thøc x¡c su§t

0()

Sau ¥y l ành ngh¾a to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n

ành ngh¾a 2.1.1 ([1, ành ngh¾a 3.3.1]) Cho X; Y l c¡c khæng gian

(un) thuºc LX

h.c.c

3 To¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n ÷æc gåi l li¶n töc theo x¡c su§t

ành lþ 2.1.3 Cho f : X ! Y l to¡n tß ng¤u nhi¶n câ b£n sao li¶n

0() !

g(!; u(!)) = h(!; u(!))h.c.c

(2.16)

23

Do X l khæng gian kh£ ly, tçn t/i d¢y (xn) trò m“t trong X Vîi mØi

hºi tö ‚n u(!) Tl t‰nh li¶n töc cia ¡nh x/ x 7!g(!; x) v ¡nh x/

Tl (2.15) d„ d ng chøng minh ÷æc to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n

l li¶n töc v l mð rºng cia f

to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n

1 ÷æc gåi l k(!)-Lipschitz n‚u tçn t/i bi‚n ng¤u nhi¶n nh“n gi¡

0()

ku(!)v(!)k 6 k(!)ku(!)v(!)kh.c.c

(2.19)

Chó þ r‹ng t“p bä ÷æc phö thuºc v ou; v

2 ÷æc gåi l k(!)-Lipschitz theo x¡c su§t n‚u tçn t/i bi‚n ng¤u

4 ÷æc gåi l k(!)-co theo x¡c su§t n‚u l k(!)-Lipschitz theo x¡csu§t vîi k(!) < 1, 8! 2

5 ÷æc gåi l khæng gi¢n n‚u l 1-Lipschitz

6 ÷æc gåi l khæng gi¢n theo x¡c su§t n‚u l 1-Lipschitz theo x¡csu§t

Nh“n x†t 2.1.5 N‚u l k(!)-Lipschitz th… l k(!)-Lipschitz theo x¡csu§t

Sau khi th¡c tri”n to¡n tß ng¤u nhi¶n th nh to¡n tß ho n to n ng¤unhi¶n, b i to¡n t…m i•u ki»n ” to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n li¶n töc,li¶n töc theo x¡c su§t ÷æc x†t ‚n T‰nh ch§t li¶n töc cia to¡n tß ho n

to n ng¤u nhi¶n ÷æc sß döng trong qu¡ tr…nh chuy”n qua giîi h/n cia

d¢y l°p ‚n i”m b§t ºng cia to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n

khæng hºi tö ‚n u theo x¡c su§t Khi â tçn t/i t > 0; > 0 v d¢y

v suy ra m¤u thu¤n.

k(!)-Lipschitz theo x¡c su§t th… li¶n töc theo x¡c su§t

Chøng minh Khflng ành ƒu ti¶n d„ d ng chøng minh, ta chøng minh

n¶n to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n khæng gi¢n theo x¡c su§t l li¶n töc

theo x¡c su§t

26

2.2i”m b§t ºng cia to¡n tß ho n to n

ng¤u nhi¶n

Cho f : X ! X l to¡n tß ng¤u nhi¶n, bi‚n ng¤u nhi¶n X-gi¡ trà

l i”m b§t ºng ng¤u nhi¶n cia to¡n tß ng¤u nhi¶n f n‚u

Ti‚p theo, ta chøng minh ành lþ i”m b§t ºng cia to¡n tß ho n

to n ng¤u nhi¶n co y‚u ành lþ i”m b§t ºng cia to¡n tß ho n to nng¤u nhi¶n co y‚u l mð rºng cia ành lþ v• i”m b§t ºng cia to¡n tß

ho n to n ng¤u nhi¶n co Tr÷îc h‚t, ta câ c¡c ành ngh¾a sau.ành ngh¾a 2.2.2 Cho f : [0; +1) ! [0; +1) l ¡nh x/ sao chovîi mØi ! 2 , f(!; t) = 0 khi v ch¿ khi t = 0 v vîi måi t 2 [0; +1)27

th… f(!; t) 6 t h.c.c To¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n : LX

0()

0()

ku(!)v(!)k 6 ku(!)v(!)kf (!; ku(!)v(!)k)h.c.c (2.23)

Nh“n x†t 2.2.3 N‚u l k(!)-co th… l f(!; t)-co y‚u vîi f(!; t) =(1

k(!))t

ành ngh¾a 2.2.4 Cho f : [0; +1) ! [0; +1) l ¡nh x/ sao cho f(t) =

0 khi v ch¿ khi t = 0 v f(t) 6 t vîi måi t thuºc [0; +1) To¡n tß ho n

N‚u l f(t)-co y‚u theo x¡c su§t th… l khæng gi¢n theo x¡c su§t,

do â li¶n töc theo x¡c su§t

Tl (2.23), vîi mØi c°p (i; j)

28

Do â tçn t/i t“p D câ x¡c su§t 1 sao cho vîi mØi ! 2 D v vîi måi c°p(i; j)

°c bi»t, vîi mØi ! 2 D v vîi måi c°p (i; j)

Ta chøng minh r‹ng L(!) = 0 vîi måi ! 2 D

vîi mØi i

CL ành ! 2 D Vîi mØi > 0 cho tr÷îc, tl khflng ành 1 tçn t/i N

l d¢y Cauchy vîi mØi ! 2 D, i•u â d¤n ‚n khflng ành 2

V… l li¶n töc, tl (2.25) cho n ! 1 ta nh“n ÷æc = h.c.c Do

â l i”m b§t ºng cia

30

Gi£ sß r‹ng l i”m b§t ºng kh¡c cia Khi â tçn t/i t“p D0 vîi

V‰ dö 2.2.8 Gi£ sß (; F; P) l khæng gian x¡c su§t vîi = [0; 1], F

l -/i sL Lebesgue c¡c t“p con cia [0; 1] v P l º o Lebesgue tr¶n

ku(!)v (!)k 6 ku (!)v (!)kf(!; ku (!)v (!)k)h.c.c.

(2.29)

31

Chån bi‚n ng¤u nhi¶n v(!) = 0; 8! 2 , ta câ v = 0 Tl â, (2.29) suyra

khæng ph£i l to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n co y‚u

” ch¿ ra sü tçn t/i i”m b§t ºng cia c¡c to¡n tß ho n to n ng¤u

nhi¶n d/ng f(t)-co y‚u, ta x†t th¶m i•u ki»n °t l¶n h m f(t)

i•u ki»n (A) Cho h m sL f : [0; +1) ! [0; +1) thäa m¢n f(t) = 0

khi v ch¿ khi t = 0 v f(t) < t, 8t > 0 H m sL f(t) gåi l thäa m¢n i•uki»n (A) n‚u h m sL h(t) x¡c ành bði

h (t) = inf

st

f (s) s

> 0; 8t > 0:

Sau ¥y ta chøng minh ành lþ v• i”m b§t ºng cia to¡n tß ho n

to n ng¤u nhi¶n co y‚u theo x¡c su§t

ành lþ 2.2.9 Cho l to¡n tß ho n to n ng¤u nhi¶n f(t)-co y‚u theox¡c su§t vîi h m f(t) thäa m¢n i•u ki»n (A) Khi â

Trong tr÷íng hæp n y, câ duy nh§t i”m b§t ºng

(2.33)32