Một số bài toán về tính bền vững của hệ động lực tuyến tính chịu nhiễu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---ĐỖ ĐỨC THUẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH BỀN VỮNG CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH CHỊU NHIỄU Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số TÓM TẮT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-ĐỖ ĐỨC THUẬN

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH BỀN VỮNG CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH CHỊU NHIỄU

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2012

Công trình được hoàn thành tại:

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn

Phản biện 1: GS TSKH Phạm Kỳ Anh

Phản biện 2: GS TSKH Vũ Ngọc Phát

Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Sinh Bảy

Luận án sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận án Tiến sĩ cấp nhà

nước họp tại

………

………

………

Vào hồi ……… giờ…… ngày……… tháng……… năm………

Có thể tìm hiểu luận án tại:

L˝I CAM OAN

Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr…nh nghi¶n cøu cıa ri¶ng tæi C¡c k‚tqu£, sŁ li»u trong lu“n ¡n l trung thüc v ch÷a tłng ÷æc ai cæng bŁtrong b§t cø cæng tr…nh n o

T¡c gi£ lu“n ¡n

i

L˝IC MÌN

D…u d›t tr¶n con ÷íng to¡n håc, luæn t⁄o ra nhœng thß th¡ch gióptæi tü håc häi, t…m tÆi v s¡ng t⁄o, â l nhœng g… tæi may m›n ÷æc ti‚pnh“n tł ng÷íi thƒy ¡ng k‰nh cıa m…nh, GS TSKH Nguy„n Khoa Sìn.Thƒy Sìn khæng nhœng ¢ h÷îng d¤n t“n t…nh m cÆn truy•n cho tæinhi•u kinh nghi»m quþ b¡u trong nghi¶n cøu khoa håc công nh÷ trongcuºc sŁng Tæi xin gßi ‚n Thƒy lÆng bi‚t ìn s¥u s›c nh§t

Tæi công b y tä lÆng bi‚t ìn ‚n GS TS Nguy„n Hœu D÷ Thƒy

câ nhœng ch¿ d¤n quþ b¡u trong chuy¶n mæn v trong nghi¶n cøukhoa håc ÷æc l m vi»c vîi Thƒy gióp tæi mð rºng vŁn ki‚n thøc cıam…nh v thu ÷æc mºt sŁ k‚t qu£ âng gâp v o trong lu“n ¡n

Tæi xin gßi tîi GS TSKH Ph⁄m Ký Anh, PGS TS Vô Ho ngLinh v c¡c Thƒy Cæ gi¡o trong Khoa To¡n - Cì - Tin håc tr÷íng ⁄i håcKhoa håc Tü nhi¶n - HQGHN lÆng bi‚t ìn s¥u s›c, nhœng ng÷íi ¢ d⁄y

dØ v ch¿ b£o t“n t…nh tæi, ¢ gióp ï r§t nhi•u ” tæi ‚n ÷æc con ÷íngto¡n håc nh÷ b¥y gií

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c Thƒy Cæ trong Hºi çng ph£n bi»n

nh“n x†t, gâp þ quþ gi¡ ” lu“n ¡n ÷æc tŁt hìn

Tæi công xin gßi líi c£m ìn tîi PGS TS Nguy„n Thà B⁄ch Kim,c¡c Thƒy Cæ gi¡o trong Khoa To¡n - Tin øng döng tr÷íng ⁄i håc B¡chKhoa H Nºi, nhœng ng÷íi luæn ıng hº nhi»t t…nh, t⁄o i•u ki»n thu“nlæi v sfin s ng gióp ï tæi trong thíi gian n y.

Lu“n ¡n n y ÷æc ho n th nh d÷îi sü ºng vi¶n, chia s·, gióp ï lîn laocıa BŁ, Mµ, ng÷íi th¥n v b⁄n b– Tæi xin gßi líi c£m ìn v d nh mân qu

n y cho t§t c£!

H Nºi, ng y 24 th¡ng 9 n«m

2011T¡c gi£

iii

Möc löc

1.1 To¡n tß a trà tuy‚n t‰nh 14

1.4 Sü Œn ành mô cıa h» ºng lüc tr¶n thang thíi gian 26

3.3 V‰ dö 64

3.4 Thu“t to¡n t‰nh to¡n 71

4.1 B¡n k‰nh to n ¡nh 764.2 B¡n k‰nh Œn ành hâa ÷æc 83

DANHMÖCC CKÞHI UV CHÚVI TT T

min[A] Gi¡ trà k… dà nhä nh§t cıa A

M— U

Trong thüc ti„n, câ nhi•u v§n • cıa kÿ thu“t, cì håc, v“t lþ, sinh håc,kinh t‚ ÷æc mæ t£ bði c¡c h» ºng lüc H» ºng lüc khi câ th¶m c¡cbi‚n i•u khi”n th… s‡ ÷æc gåi l h» i•u khi”n Lþ thuy‚t i•u khi”n ÷æcph¡t tri”n tł kho£ng 150 n«m tr÷îc ¥y khi c¡c i•u khi”n cì håc cƒn v câth” ÷æc mæ t£ mºt c¡ch to¡n håc C¡c t‰nh ch§t ành t‰nh cıa h» i•ukhi”n ÷æc quan t¥m nhi•u nh§t l t‰nh i•u khi”n ÷æc, t‰nh Œn ành vt‰nh Œn ành hâa ÷æc Nâi mºt c¡ch ìn gi£n, h» ÷æc gåi l i•u khi”n

÷æc n‚u tçn t⁄i mºt i•u khi”n ” chuy”n h» tł mºt tr⁄ng th¡i ban ƒu chotr÷îc sang mºt tr⁄ng th¡i mong muŁn cuŁi còng H» ÷æc gåi l Œn ànhti»m c“n n‚u måi quÿ ⁄o cıa nâ chuy”n dƒn v• tr⁄ng th¡i dłng khi thíigian ti‚n ra væ còng v h» ÷æc gåi l Œn ành hâa ÷æc n‚u tçn t⁄i mºti•u khi”n ng÷æc ( i•u khi”n phö thuºc v o bi‚n tr⁄ng th¡i) ” bi‚n nâ th nhmºt h» Œn ành ti»m c“n

Hi»n nay, v§n • ang ÷æc quan t¥m l t‰nh ch§t cıa c¡c h» ºng lücchàu £nh h÷ðng cıa nhi„u Phƒn lîn c¡c t‰nh ch§t "tŁt" cıa c¡c h» ºnglüc công nh÷ c¡c Łi t÷æng trong to¡n håc nâi chung •u b£o to n khi c¡ctham sŁ c§u tróc cıa h» ho°c Łi t÷æng chàu nhi„u b† V‰ dö: t‰nh i•ukhi”n ÷æc cıa mºt h» i•u khi”n tuy‚n t‰nh trong lþ thuy‚t i•u khi”n; t‰nh

Œn ành ti»m c“n cıa nghi»m trong ph÷ìng tr…nh vi ph¥n; t‰nh °tch¿nh (well-posedness) cıa mºt h» ph÷ìng tr…nh tuy‚n t‰nh, t‰nh hºi

tö cıa mºt thu“t to¡n trong gi£i t‰ch sŁ; t‰nh kh£ nghàch

1

cıa mºt ma tr“n vuæng trong ⁄i sŁ tuy‚n t‰nh; t‰nh ch‰nh quimetric cıa mºt ¡nh x⁄ trong gi£i t‰ch Sü b£o to n c¡c t‰nh ch§tành t‰nh n y d÷îi £nh h÷ðng cıa nhi„u ÷æc gåi l sü b•n vœng C¡c

nh to¡n håc mong muŁn t…m ÷æc mºt ành l÷æng nh‹m ¡nh gi¡ kh£n«ng b£o to n c¡c t‰nh ch§t ành t‰nh cıa h» thŁng d÷îi £nh h÷ðngcıa nhi„u, ÷æc gåi l c¡c b¡n k‰nh b£o to n

Łi vîi t‰nh Œn ành ti»m c“n cıa h» tuy‚n t‰nh, xu§t ph¡t tł hai b

i b¡o «ng tr¶n t⁄p ch‰ Systems & Control Letters [45, 46], c¡c t¡c gi£

D Hinrichsen v A.J Pritchard ¢ ph¡t tri”n mºt h÷îng nghi¶n cøu mîi

l h÷îng nghi¶n cøu Œn ành vœng cıa c¡c h» ºng lüc düa tr¶n bi”u di„ncıa h» trong khæng gian tr⁄ng th¡i v sß döng kh¡i ni»m b¡n k‰nh Œn ành.H÷îng nghi¶n cøu n y ¢ thu hót ÷æc sü quan t¥m cıa nhi•u nh to¡n håc v…t‰nh hi»u qu£ cıa nâ công nh÷ c¡c øng döng trong k¾ thu“t (xem [7, 13,

25, 26, 47, 49, 50, 52, 53, 55, 68, 74, 76, 84, 97]) D÷îi d⁄ng ìn gi£n nh§t,b¡n k‰nh Œn ành câ c§u tróc cıa mºt h» ph÷ìng

tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh Œn ành ti»m c“n x = Ax ÷æc ành ngh¾a l sŁ

lîn nh§t sao cho måi h» chàu nhi„u x = (A + D E)x v¤n cÆn Œnành ti»m c“n mºt khi k k < ; ð ¥y l ma tr“n nhi„u, D v E l c¡c ma

tr“n c§u tróc nhi„u v k k l mºt chu'n ma tr“n cho tr÷îc Mºt c¡ch t÷ìng

÷ìng, b¡n k‰nh Œn ành câ th” ÷æc ành ngh¾a bði

rK(A; D; E) = inffk k : 2 Kl q; A + D E khæng Œn ành ti»m c“ng:Khi K = C ta câ ành ngh¾a cıa b¡n k‰nh Œn ành phøc rC(A; D; E) v khi K = R ta câ ành ngh¾a cıa b¡n k‰nh Œn ành thüc rR(A; D; E) Tł ành ngh¾a ta th§y r‹ng rC(A; D; E) rR(A; D; E): Cæng thøc b¡n k‰nh

Œn ành phøc ÷æc D Hinrichsen v A.J Pritchard [46] ÷a ra n«m 1986

trong d⁄ng

1

Cæng thøc b¡n k‰nh Œn ành thüc khâ nghi¶n cøu hìn Ph£i m§t ‚nm÷íi n«m sau b i to¡n t…m b¡n k‰nh Œn ành thüc rR(A; D; E) mîi ÷æcgi£i quy‚t bði mºt nhâm t¡c gi£ d¤n ƒu l L Qiu v B Bernhardsson (xem[82]) Tuy nhi¶n cæng thøc b¡n k‰nh Œn ành thüc n y r§t phøc t⁄p

c¥u häi h‚t søc thó và ÷æc °t ra l : Câ hay khæng c¡c lîp h» ph÷ìng tr…nh viph¥n tuy‚n t‰nh m Łi vîi c¡c lîp h» n y c¡c b¡n k‰nh Œn ành thüc v phøcb‹ng nhau v câ th” t‰nh ÷æc b‹ng mºt cæng thøc ìn gi£n? C¥u tr£ líi ÷æc

÷a ra bði N.K Son v D Hinrichsen l trong tr÷íng hæp h» d÷ìng (h» câ tr⁄ngth¡i luæn khæng ¥m n‚u tr⁄ng th¡i ban ƒu l khæng ¥m) th… c¡c b¡n k‰nh

Œn ành thüc v phøc tròng nhau

v câ th” ÷æc t‰nh to¡n d„ d ng (xem [53, 54]) Sau â b¡n k‰nh Œn

ành cıa h» d÷ìng ÷æc nghi¶n cøu rºng hìn v s¥u hìn bði c¡c k‚t qu£ cıa N.K Son v P.H.A Ngoc (xem [85, 86]) Công ch‰nh hai t¡c gi£

n y ¢ khði x÷îng cho sü ph¡t tri”n cıa vi»c nghi¶n cøu c¡c b i to¡n v• b¡nk‰nh Œn ành d÷îi t¡c ºng cıa a nhi„u v cho c¡c lîp h» ºng lüc kh¡c nhau, °cbi»t l h» câ ch“m v h» ÷æc mæ t£ bði ph÷ìng tr…nh vi ph¥n phi‚m h m(xem [1, 72, 73, 74, 75]) Łi vîi c¡c h» tuy‚n t‰nh thíi gian bi‚n thi¶n, cængthøc b¡n k‰nh Œn ành ¢ ÷æc ÷a ra bði B Jacob [58] v sau â ÷æc N.H Du

v V.H Linh nghi¶n cøu ph¡t tri”n cho c¡c h» ºng lüc 'n thíi gian bi‚n thi¶n[27] B¡n k‰nh Œn ành cıa h»

ºng lüc trong khæng gian væ h⁄n chi•u công ¢ ÷æc nghi¶n cøu vîi r§tnhi•u k‚t qu£ cıa c¡c t¡c gi£ D Hinrichsen, A.J Pritchard, S Townley,

A Fischer, F Wirth, Y Latushkin, N.K Son, P.H.A Ngoc, B.T Anh,

3

D.C Khanh, D.D.X Thanh (xem [6, 8, 18, 32, 33, 34, 48, 75, 81,96]) Mºt sŁ h÷îng ti‚p c“n kh¡c Łi vîi t‰nh Œn ành b•n vœng cıa c¡ch» ºng lüc câ th” ÷æc t…m th§y trong c¡c k‚t qu£ cıa c¡c t¡c gi£ P.K.Anh [4] v V.N Phat [79] Câ th” nâi r‹ng ‚n nay vi»c nghi¶n cøu Œnành vœng cıa c¡c h» ºng lüc tuy‚n t‰nh ¢ ÷æc nghi¶n cøu kh¡ ƒy ı v

ho n thi»n vîi nhi•u k‚t qu£ r§t phong phó v s¥u s›c

Łi vîi b i to¡n t÷ìng tü cho t‰nh i•u khi”n ÷æc cıa c¡c h» i•u khi”nth… c¡c k‚t qu£ ch÷a câ nhi•u T‰nh i•u khi”n ÷æc cıa h» i•u khi”n ¢

÷æc khði x÷îng tł nhœng k‚t qu£ v þ t÷ðng quan trång cıa R.E.Kalman [59] n«m 1960 v M.L.J Hautus [39] n«m 1969, trong â ¢chøng minh c¡c ti¶u chu'n i•u khi”n ÷æc cho h» i•u khi”n tuy‚n t‰nh

Sü b•n vœng cıa t‰nh i•u khi”n ÷æc b›t ƒu ÷æc quan t¥m nghi¶ncøu tł nhœng n«m 1980 ƒu ti¶n, b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc (tøc

l kho£ng c¡ch tł mºt h» i•u khi”n ÷æc ‚n t“p c¡c h» khæng i•u khi”n

÷æc) ÷æc • c“p bði Paige trong [77] v ngay sau â v o n«m 1984, R.Eising [31] ¢ ÷a ra v chøng minh cæng thøc b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æckhæng câ c§u tróc cho h» tuy‚n t‰nh Công giŁng nh÷ b¡n

k‰nh Œn ành câ c§u tróc, b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc câ c§u tróc l sŁ lîn

nh§t sao cho måi h» chàu nhi„u x = Ax + Bu vîi [A; B] = [A; B] + D E

< ; ð ¥y l ma tr“n nhi„u,v¤n cÆn i•u khi”n ÷æc mºt khi k e

cho tr÷îc Mºt c¡ch t÷ìng ÷ìng, b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc câ th” ÷æcành ngh¾a bði

rKD;E(A; B) = inffk k: 2 Kl q; [A; B]+D E khæng i•u khi”n ÷æcg:

Vîi nhi„u khæng c§u tróc, khi D v E l c¡c ma tr“n ìn và v chu'n cıa

cıa c¡c v†c tì), th… k‚t qu£ ¢ nh›c ‚n ð tr¶n cıa Eising l

rC(A; B) := rCI;I (A; B) = inf min[A I; B];

2C

ð ¥y min[A I; B] l gi¡ trà k… dà nhä nh§t cıa ma tr“n [A I; B]:

Mºt sŁ cæng thøc b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc thüc d÷îi nhi„u khæng c§u

tróc rR(A; B) công ¢ ÷æc ÷a ra trong [22, 57] nh÷ng cæng thøc

kh¡ phøc t⁄p v khâ kh«n cho vi»c t‰nh to¡n N«m 2009, M Karow v

D Kressner [60] ¢ ÷a ra cæng thøc b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc d÷îi

nhi„u c§u tróc

ð ¥y W = [A I; B] v y ÷æc k‰ hi»u l gi£ nghàch £o Moore-Penrose

cıa ma tr“n Tuy nhi¶n cæng thøc n y Æi häi gi£ thi‚t ma tr“n E ph£i

câ h⁄ng ƒy ı theo cºt v chu'n cıa c¡c ma tr“n l chu'n phŒ V… v“y,

b i to¡n ÷æc °t ra l : Nghi¶n cøu t‰nh i•u khi”n ÷æc vœng cıa c¡c h»

i•u khi”n tuy‚n t‰nh d÷îi nhi„u c§u tróc trong tr÷íng hæp tŒng qu¡t vîi c¡c

ma tr“n ÷æc o bði chu'n to¡n tß tòy þ v t…m cæng thøc b¡n k‰nh i•u

khi”n ÷æc n y

Möc ‰ch ƒu ti¶n cıa lu“n ¡n l gi£i quy‚t b i to¡n n y v sau â ph¡t

tri”n mºt c¡ch ti‚p c“n chung cho v§n • nghi¶n cøu mºt sŁ b i to¡n b•n

vœng cıa c¡c h» ºng lüc K¾ thu“t m§u chŁt ” ti‚p c“n l sß döng lþ

thuy‚t to¡n tß a trà tuy‚n t‰nh trong vi»c bi”u di„n c¡c ph÷ìng tr…nh v

¡nh gi¡ chu'n cıa c¡c ma tr“n li¶n quan trong t‰nh to¡n Chóng tæi ÷a

ra cæng thøc b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc cıa h» tuy‚n

t‰nh (A; B) d÷îi nhi„u c§u tróc trong tr÷íng hæp tŒng qu¡t v c¡c ma

tr“n ÷æc o bði chu'n to¡n tß tòy þ

rCD;E(A; B) =

1sup 2C kEW5

ð ¥y W 1 ÷æc hi”u l nghàch £o ( a trà) cıa to¡n tß ìn trà W = [A I; B]:

Tł k‚t qu£ tŒng qu¡t n y, ta câ th” nh“n l⁄i ÷æc c¡c k‚t qu£ cıa Eising [31],

M Karow v D Kressner [60], Mengi [71], D.D.X Thanh et al [5], nh÷ l

c¡c h» qu£ Hìn nœa b‹ng vi»c sß döng lþ thuy‚t to¡n tß a trà tuy‚n t‰nh,

chóng tæi cÆn câ th” nghi¶n cøu b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc d÷îi a nhi„u

c§u tróc

[A; B] [A; B] = [A; B] + D i i E i ;

=1

ð ¥y Di; Ei l c¡c ma tr“n c§u tróc nhi„u v i; i 2 N = 1; N l c¡c nhi„u K‚t

qu£ nh“n ÷æc cho b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc l

Cn+m; i 2 N: K‚t qu£ n y ÷æc chøng minh b‹ng vi»c sß döng lþ thuy‚t

to¡n tß a trà tuy‚n t‰nh v h» qu£ cıa ành lþ Hahn-Banach Trong

tr÷íng hæp Ei = iE1 vîi måi i 2 N th… ta thu ÷æc flng thøc

Nh÷ tr¶n ¢ nâi sü b•n vœng cıa c¡c t‰nh ch§t "tŁt" d÷îi nhi„u nhä

khæng nhœng ch¿ óng vîi c¡c h» ºng lüc m công óng vîi c¡c Łi t÷æng

to¡n håc kh¡c, trong â °c bi»t l t‰nh to n ¡nh cıa mºt ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh

Vi»c nghi¶n cøu b¡n k‰nh b£o to n t‰nh to n ¡nh câ r§t nhi•u øng

döng trong i•u khi”n v tŁi ÷u (xem [30, 35, 60, 61, 65, 78, 83]) ƒu ti¶n,

n«m 1936, Eckart-Young [30] ¢ nghi¶n cøu b¡n k‰nh b£o to n t‰nh to

n ¡nh cho ma tr“n vuæng d÷îi nhi„u khæng c§u tróc Sau â, n«m 2005,

J Pena ¢ nghi¶n cøu b¡n k‰nh b£o to n t‰nh to n ¡nh cho

c¡c ¡nh x⁄ tuy‚n t‰nh d÷îi Łi vîi lîp nhi„u c§u tróc câ d⁄ng block tr¶n

÷íng ch†o, tuy nhi¶n cæng thøc nh“n ÷æc r§t phøc t⁄p v khâ t‰nh to¡n (xem [78]) Do v“y chóng tæi °t ra möc ‰ch nghi¶n cøu l ÷a ra c¡c cæng thøc b¡n k‰nh to n ¡nh d÷îi nhi„u c§u tróc, câ th” t‰nh to¡n ìn gi£n, rçi sau â øng döng v o ” t…m c¡c b¡n k‰nh i•u khi”n

÷æc, Œn ành, Œn ành hâa ÷æc cıa c¡c h» kh¡c nhau i•u thó và l c¡ck¾ thu“t düa tr¶n to¡n tß a trà tuy‚n t‰nh ti‚p töc ÷æc sß döng câ hi»u qu£ khi gi£i quy‚t b i to¡n n y Cho ma tr“n W 2 Kn m l to n ¡nh,

cö th” W Km = Kn; v ÷æc cho nhi„u c§u tróc trong d⁄ng

trong â W 1 ÷æc hi”u l nghàch £o ( a trà) cıa ma tr“n ìn trà W ¥y

÷æc xem nh÷ l mºt sü mð rºng cæng thøc ÷æc ÷a ra bði Young khi W l ma tr“n vuæng v lîp nhi„u khæng c§u tróc (D v E l c¡c

Eckart-ma tr“n ìn và) p döng k‚t qu£ tr¶n chóng tæi thu ÷æc c¡c b¡n k‰nh

Œn ành hâa ÷æc cıa h» tuy‚n t‰nh, b¡n k‰nh Œn ành cıa h» ºnglüc 'n tuy‚n t‰nh tr¶n thang thíi gian, b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc cıa c¡ch» descriptor, cö th”:

B¡n k‰nh Œn ành hâa ÷æc cıa h» i•u khi”n tuy‚n t‰nh x = Ax+Buvîi nhi„u c§u tróc trong d⁄ng [A;e Be] = [A; B] + D E ÷æc cho bði

7

B¡n k‰nh Œn ành cıa h» ºng lüc 'n tr¶n thang thíi gian F x = Ax

vîi nhi„u c§u tróc t¡c ºng tr¶n c£ hai v‚ [Fe ; Ae] = [F; A] + D E

Cæng thøc (1) câ th” xem nh÷ l sü ph¡t tri”n tł c¡c k‚t qu£ b¡n k‰nh i•u

khi”n ÷æc trong [31, 90] v sü mð rºng c¡c k‚t qu£ cıa b¡n k‰nh Œn ành

hâa ÷æc trong [57, 62] Cæng thøc (2) g›n k‚t giœa ríi r⁄c v li¶n töc,

tŒng qu¡t hâa r§t nhi•u c¡c k‚t qu£ v• b¡n k‰nh Œn ành tr÷îc ¥y (xem

[24, 28, 40, 46, 51, 52]) B‹ng vi»c nghi¶n cøu to¡n tß to n ¡nh

P

N

÷æc cho a nhi„u c§u tróc trong d⁄ng W Wf = W + i=1 Di iEi; chóng

tæi công thu ÷æc c¡c k‚t qu£ cho b¡n k‰nh to n ¡nh

ð ¥y y ÷æc k‰ hi»u l gi£ nghàch £o Moore-Penrose cıa ma tr“n v

H l mºt ma tr“n thäa m¢n kEixk kHxk vîi måi x 2 Cm; i 2 N Sß

8

döng c¡c ¡nh gi¡ n y, c¡c ch°n tr¶n v ch°n d÷îi ı tŁt ÷æc ÷a ra cho c¡c b¡n k‰nh Œn ành hâa ÷æc cıa h» tuy‚n t‰nh.

Mºt trong c¡c lîp h» i•u khi”n câ nhi•u øng döng trong thüc ti„n

cao nh§t khæng bi”u di„n ÷æc thæng qua c¡c ⁄o h m c§p th§p hìn Trongk¾ thu“t c¡c h» n y th÷íng ÷æc gåi l h» descriptor H» descriptor, tŒngqu¡t l h» descriptor c§p cao hay cÆn ÷æc gåi l h» khæng gian tr⁄ng th¡i,

÷æc sinh ra tł c¡c h» i•u khi”n cì håc câ r ng buºc, h» i•u khi”n i»n tł, h»i•u khi”n robot v r§t nhi•u h» trong v“t lþ kh¡c (xem [15, 21, 69, 70, 99])

Łi vîi c¡c h» descriptor câ nhi•u kh¡i ni»m i•u khi”n ÷æc, chflng h⁄n nh÷ i•ukhi”n ÷æc ho n to n (C-controllable), i•u khi”n ÷æc tr¶n t“p ⁄t ÷æc (R-controllable),

i•u khi”n ÷æc impulse (I-controllable) B i to¡n Œn ành vœng v i•u khi”n ÷æc vœng công ÷æc nghi¶n cøu cho lîp h» n y, tuy nhi¶n câ nhœng °c thò ri¶ng Trong [17], Byers ¢ ch¿ ra mºt h» descriptor c§p mºt F x = Ax + Bu l i•u khi”n ÷æc impulse th… nhi„u b† tòy þ t¡c ºng l¶n ma tr“n F câ th” ph¡ vï t‰nh i•u khi”n ÷æc n y v khi â b¡n k

‰nh i•u khi”n ÷æc impulse s‡ b‹ng khæng Do v“y Byers ¢ nghi¶n cøu b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc impulse d÷îi lîp nhi„u (khæng c§u tróc) ch§p nh“n ÷æc Sß döng b¡n k‰nh to n ¡nh, lu“n ¡n nghi¶n cøu v§n

• n y d÷îi c¡c gi£ thi‚t tŒng qu¡t hìn v chøng minh c¡c cæng thøc b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc d÷îi nhi„u c§u tróc cho c¡c kh¡i ni»m i•u khi”n

÷æc kh¡c nhau Cö th”, Łi vîi h» descriptor F x = Ax + Bu vîi nhi„u c§u tróc trong d⁄ng [Fe ; A;e Be] = [F; A; B] + D E, ta thu ÷æc

c¡c cæng thøc t‰nh b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc sau

Mºt âng gâp nœa cıa lu“n ¡n l nghi¶n cøu b¡n k‰nh i•u khi”n

÷æc cıa h» tuy‚n t‰nh câ r ng buºc vîi mi•n tham sŁ i•u khi”n chàunhi„u Trong thüc t‚ mi•n tham sŁ i•u khi”n cıa h» câ r ng buºc r§td„ bà thay Œi v do v“y vi»c t…m b¡n k‰nh b£o to n cıa mi•n tham

sŁ i•u khi”n s‡ câ þ ngh¾a ” ÷a ra ành ngh¾a b¡n k‰nh i•u khi”n

÷æc cıa mi•n tham sŁ i•u khi”n, ƒu ti¶n chóng tæi ph£i ÷a ra ànhngh¾a kho£ng c¡ch câ h÷îng giœa hai nân P v Q,

(P; Q) = sup d(x; Q) : x 2 P; kxk = 1 ;trong â d(x; Q) l kho£ng c¡ch tł i”m x ‚n nân Q Sau â chóng tæinghi¶n cøu mºt sŁ t‰nh ch§t cıa kho£ng c¡ch n y, chflng h⁄n nh÷ b§tflng thøc tam gi¡c v kho£ng c¡ch giœa hai nân li¶n hæp, ” thi‚t l“pcæng thøc cıa b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc cıa mi•n tham sŁ i•u khi”n.Lu“n ¡n công tr£ líi c¥u häi khi mi•n tham sŁ i•u khi”n bà nhi„u møcth… c¡c ma tr“n h» câ th” bà nhi„u ð møc bao nhi¶u ” cho h» v¤n i•u khi”n ÷æc

V§n • t‰nh to¡n b¡n k‰nh Œn ành phøc li¶n quan ‚n b i to¡n tŁi

÷u mºt bi‚n sŁ thüc N«m 1989, D Hinrichsen, B Kelb v A Linemann[49] ¢ ÷a ra mºt thu“t to¡n t‰nh to¡n b¡n k‰nh Œn ành phøc d÷îinhi„u c§u tróc N«m 1990, S Boyd v V Balakrishnan [12] ¢ ÷a rathu“t to¡n vîi tŁc º hºi tö b…nh ph÷ìng v sau â C He v G Watson[42] ¢ c£i ti‚n k‚t qu£ n y b‹ng c¡ch t“n döng c¡c t‰nh ch§t Łi xøng

°c bi»t cıa c¡c ma tr“n xu§t hi»n trong qu¡ tr…nh t‰nh to¡n C¡c thu“tto¡n cho b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc s‡ phøc t⁄p hìn so vîi c¡c thu“t to¡ncho b¡n k‰nh Œn ành v… nâ li¶n quan ‚n b i to¡n tŁi ÷u khæng lçi vîibi‚n sŁ phøc Cho ‚n nay a sŁ c¡c thu“t to¡n mîi ch¿ dłng l⁄i ð vi»c t‰nhto¡n b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc phøc d÷îi nhi„u khæng c§u tróc v

11

düa tr¶n cæng thøc cıa Eising (xem [16, 36, 37, 38, 41]) C¡c nghi¶ncøu trong [36, 41] sß döng k¾ thu“t t⁄o l÷îi trong khæng gian haichi•u v chi ph‰ cho vi»c t‰nh to¡n r§t tŁn k†m M Gu [37] ¢ • xu§tthu“t to¡n chia æi thæng qua vi»c ph¥n t‰ch c¡c t“p møc cıa gi¡ tràk… dà ” t‰nh to¡n b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc vîi º phøc t⁄p thu“t to¡n athøc Sß döng còng h÷îng ti‚p c“n, J.V Burke, A.S Lewis v M.L.Overton [16] c£i ti‚n thu“t to¡n chia æi th nh thu“t to¡n chia ba ” t‰nhto¡n b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc vîi º phøc t⁄p thu“t to¡n l O(n6) B‹ng vi»c

sß döng mºt sŁ k¾ thu“t ma tr“n nghàch £o xu§t hi»n trong qu¡ tr…

nh t‰nh to¡n, M Gu, E Mengi còng c¡c çng t¡c gi£ [38] ¢ c£i ti‚nthu“t to¡n n y vîi º phøc t⁄p cÆn O(n4): Düa v o cæng thøc b¡n k‰nhi•u khi”n ÷æc d÷îi nhi„u c§u tróc tŒng qu¡t ÷æc ÷a ra trong lu“n ¡n,chóng tæi s‡ sß döng h÷îng ti‚p c“n cıa M Gu ” ÷a ra thu“t to¡n t‰nhto¡n b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc d÷îi nhi„u c§u tróc trong mºt sŁ tr÷ínghæp °c bi»t Mºt c¥u häi tü nhi¶n công ÷æc °t ra l li»u câ th” sß döngcæng cö tŁi ÷u to n cöc (xem [95]) ” x¥y düng c¡c thu“t to¡n t‰nhto¡n b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc d÷îi nhi„u c§u tróc tŒng qu¡t v c¡c matr“n ÷æc o bði chu'n to¡n tß tòy þ V§n • n y s‡ l chı • nghi¶n cøu xahìn cıa chóng tæi

Ngo i phƒn mð ƒu, k‚t lu“n, danh möc cæng tr…nh v t i li»u thamkh£o, lu“n ¡n bao gçm câ bŁn ch÷ìng nh÷ sau:

Ch÷ìng 1: tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà

Ch÷ìng 2: nghi¶n cøu b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc cıa h» i•u khi”ntuy‚n t‰nh câ r ng buºc vîi mi•n tham sŁ i•u khi”n chàu nhi„u.C¡c k‚t qu£ trong ch÷ìng n y ¢ ÷æc «ng trong [88]

Ch÷ìng 3: nghi¶n cøu b¡n k‰nh i•u khi”n cıa h» i•u khi”n tuy‚n t

‰nh d÷îi nhi„u c§u tróc v a nhi„u c§u tróc C¡c k‚t qu£ trongch÷ìng n y ¢ ÷æc cæng bŁ trong [89, 90]

Ch÷ìng 4: nghi¶n cøu b¡n k‰nh to n ¡nh d÷îi nhi„u c§u tróc v anhi„u c§u tróc sau â ¡p döng ” ÷a ra c¡c cæng thøc b¡n k‰nh Œnành cıa h» tuy‚n t‰nh, b¡n k‰nh Œn ành cıa h» ºng lüc 'n tr¶nthang thíi gian, c¡c b¡n k‰nh i•u khi”n ÷æc cıa h» descriptor, h»descriptor c§p cao C¡c k‚t qu£ trong ch÷ìng n y ¢ ÷æc «ng trong[29, 91, 92, 93]

13

Ch֓ng 1

KI N THÙC CHU N BÀ

Ch÷ìng n y d nh ” tr…nh b y c¡c ki‚n thøc chu'n bà s‡ ÷æc sß döngtrong c¡c ch÷ìng sau Möc 1.1 tr…nh b y c¡c kh¡i ni»m cì b£n v mºt

sŁ t‰nh ch§t quan trång cıa to¡n tß a trà tuy‚n t‰nh ¥y l c¡c ki‚nthøc m§u chŁt ÷æc sß döng ” x¥y düng c¡c cæng thøc b¡n k‰nh i•ukhi”n ÷æc, Œn ành v Œn ành hâa ÷æc Hai möc ti‚p theo giîi thi»u v•c¡c kh¡i ni»m v c¡c k‚t qu£ quan trång ¢ bi‚t °c tr÷ng cho t‰nh i•ukhi”n ÷æc cıa h» tuy‚n t‰nh v h» tuy‚n t‰nh câ r ng buºc Möc cuŁicòng tr…nh b y v• sü Œn ành cıa h» ºng lüc tr¶n thang thíi gian ¥y

÷æc coi nh÷ l c¡ch ti‚p c“n thŁng nh§t v• t‰nh Œn ành giœa c¡c h»li¶n töc v ríi r⁄c

1.1 To¡n tß a trà tuy‚n t‰nh

Nºi dung cıa möc n y ÷æc tham kh£o trong [19] v [90] ” ng÷íi åcd„ theo dªi, mºt sŁ chøng minh ng›n gån c¡c t‰nh ch§t cıa to¡n tß atrà tuy‚n t‰nh s‡ ÷æc tr…nh b y ƒy ı

Cho K = C ho°c R l t“p hæp c¡c sŁ phøc ho°c thüc v n; m; k; l; q; N lc¡c sŁ nguy¶n d÷ìng Trong suŁt lu“n ¡n n y, chóng ta k‰ hi»u N =

1; N = f1; : : : ; Ng v Kn m thay cho t“p t§t c£ c¡c ma tr“n c§p n m Matr“n A 2 Km n l ma tr“n li¶n hæp cıa ma tr“n A 2 Kn m, Kn(= Kn 1) lkhæng gian v†c tì n - chi•u (khæng gian cıa c¡c v†c tì cºt n th nhphƒn trong K) ÷æc trang bà vîi chu'n v†c tì k k, khæng gian li¶n hæpcıa nâ câ th” çng nh§t vîi (Kn) = (Kn 1) = fu : u 2 Kng, (khæng giancıa c¡c v†c tì h ng n th nh phƒn trong K), ÷æc trang bà vîi chu'n li¶nhæp Vîi u 2 (Kn) chóng ta vi‚t u (x) = u x vîi måi x 2 Kn v vîi mºt t“p

M Kn, chóng ta ành ngh¾a M? = fu 2 (Kn) : u x = 0; 8x 2 Mg Cho

F : Kn Km l mºt to¡n tß a trà, n‚u ç thà cıa F ÷æc ành ngh¾a bði

gr F = (x; y) 2 Kn Km : x 2 Kn; y 2 F(x) ; (1.1)

l mºt khæng gian con tuy‚n t‰nh cıa Kn Km th… F ÷æc gåi l mºt to¡n

tß a trà tuy‚n t‰nh Mi•n x¡c ành v nh¥n cıa F ÷æc kþ hi»u t÷ìng øng

Bði ành

ngh¾a,F (0) l mºt khæng gian con tuy‚n t‰nh v vîi x 2dom F ,chóng ta câ flng thøc sau

Tł ành ngh¾a cıa to¡n tß a trà suy ra r‹ng

inf kyk kFkkxk vîi måi x 2 dom F;

y2F(x)

15

Vîi to¡n tß a trà tuy‚n t‰nh F : Kn Km th… to¡n tß li¶n hæp F :

(Km) (Kn) v to¡n tß nghàch £o F 1 : ImF Kn ÷æc ành ngh¾a t÷ìngøng bði

16

M»nh • 1.1.2 Cho F : Kn Km l mºt to¡n tß a trà tuy‚n t‰nh Khi â,

Do v“y ta thu ÷æc flng thøc thø hai (F ) 1 = (F 1) : ” chøng minh flngthøc cuŁi còng óng, ƒu ti¶n ta chøng minh ker F = (Im F)?; F (0) =(dom F)?; ker F = (Im F )?; F(0) = (dom F )?: Th“t

v“y, ta câ

v 2 ker F () (v ; 0 ) 2 gr F

() v y = 0 x = 0 vîi måi (x; y) 2 gr F() v y = 0 vîi måi y 2 Im F

() v 2 (Im F)?:

Tł â suy ra ker F = (Im F)? p döng flng thøc n y vîi F 1 ta ÷æc

F (0) = ker(F ) 1 = ker(F 1) = (Im F 1)? = (dom F)?:Ti‚p theo thay F b‹ng F v sß döng (F ) = F suy ra ker F = (Im F )?;F(0) = (dom F )?: B¥y gií, vîi mØi x 2 dom F; kxk = 1 ta s‡ ch¿ rar‹ng câ tçn t⁄i v 2 dom F ; kv k = 1 sao cho

d(0; F(x)) d(0; F (v )):

L§y y 2 F(x) th… bði (1.2), F(x) = y + F(0) v do v“y khæng m§t tŒngqu¡t ta câ th” gi£ sß kyk = d(0; F(x)) N‚u y 2 F(0) th… d(0; F(x)) =d(0; F(0)) = 0 v do v“y sü tçn t⁄i v hi”n nhi¶n óng Gi£ sß y 62 F(0):Khi â bði h» qu£ ành lþ Hahn-Banach, xem BŒ • 3.2.2, câ tçn t⁄i v 2F(0)? = dom F ; kvk = 1 thäa m¢n

jv yj = kv kkyk = kyk:

Suy ra vîi måi u 2 F (v ) th…

ku k = ku kkxk ju xj = jv yj = kyk = d(0; F(x)):

Do v“y d(0; F (v )) d(0; F(x)): Bði ành ngh¾a chu'n cıa to¡n tß a

trà tuy‚n t‰nh ta suy ra r‹ng kFk kF k: Trong b§t flng thøc n y, thay

F b‹ng F v sß döng (F ) = F ta thu ÷æc b§t flng thøc ng÷æc l⁄i

kFk v do v“y kFk = kF k: Chøng minh ÷æc ho n th nh 18

M»nh • 1.1.3 Cho F : Kn Km l mºt to¡n tß a trà tuy‚n t‰nh Khi â, F l

to n ¡nh (F(Kn) = Km) n‚u v ch¿ n‚u F l ìn ¡nh (F 1(0) = f0g) ho°c t÷ìng

Cho F : Kn Km; G : Km Kl l c¡c to¡n tß a trà tuy‚n t‰nh, khi

â to¡n tß GF : Kn Kl, ÷æc ành ngh¾a bði (GF)(x) = G(F(x)) vîimåi x 2 dom F, l mºt to¡n tß a trà tuy‚n t‰nh v ta câ m»nh • sau (xem H» qu£ II.3.13 trong [19] v Phö löc trong [90])

M»nh • 1.1.4 Cho F : Kn Km; G : Km Kl l c¡c to¡n tß a trà tuy‚n t‰nh Khi â,

F(0) dom G =) kGFk kGk kFk; (1.9)

Im F dom G =) (GF) = F G : (1.10) Chøng minh ƒuti¶n ta gi£ sß r‹ng F(0) dom G: Vîi mØi x 2 dom GF thäa m¢n kxk =

1 th… s‡ tçn t⁄i y 2 Km; z 2 Kl sao cho

y 2 F(x); z 2 G(y): V… F(0) dom G v bði (1.2), F(x) = y + F(0) n¶nF(x) dom G v do v“y khæng m§t tŒng qu¡t ta câ th” chån y 2 F(x)thäa m¢n kyk = d(0; F(x)): T÷ìng tü khæng m§t tŒng qu¡t ta câ th”chån z 2 G(y) thäa m¢n kzk = d(0; G(y)): Tł t‰nh ch§t tuy‚n t‰nh cıa

vîi måi x 2 dom GF thäa m¢n kxk = 1: Do v“y kGFk kFkkGk v ta nh“n

־c (1.9)

B¥y gií ta gi£ sß r‹ng Im F dom G: N‚u (u ; w ) 2 gr(F G ) th… (u ;

v ) 2 gr G v (v ; w ) 2 gr F Łi vîi v 2 G (u ) n o â Khi â w x = v y = u zvîi måi (x; z) 2 gr(GF); y 2 F(x): Tł i•u n y suy ra (u ; w ) 2 gr(GF) v

do â

” chøng minh bao h m thøc ng÷æc l⁄i, ta l§y (u ; w ) 2 gr(GF) b§t

k… Khi â vîi måi z 2 GF(0) th… u z = w 0 = 0: V… G(0) GF(0) n¶n

u z = 0 vîi måi z 2 G(0): i•u n y suy ra u 2 G(0)? = dom G : L§y mºtv†c tì v 2 G (u ) V… Im F dom G n¶n vîi mØi y 2 F(x) tçn t⁄i

N‚u F l mºt to¡n tß ìn trà tuy‚n t‰nh ÷æc ành ngh¾a bði F(x) =

FG(x) = Gx, ð ¥y G 2 Km n v x 2 Kn th… d„ th§y chu'n cıa FG ÷æcành ngh¾a bði (1.3) thüc sü l chu'n cıa ma tr“n G:

kFGk = kGk:

Do v“y khi l m vi»c vîi c¡c to¡n tß n y chóng ta s‡ sß döng kh¡i ni»m

FG(x) = G(x) D„ th§y r‹ng to¡n tß li¶n hæp (FG) : (Km) ! (Kn) công lmºt to¡n tß a trà tuy‚n t‰nh v ÷æc x¡c ành bði (FG) (v ) =

20

v G; 8v 2 (Km) ” cho ìn gi£n, chóng ta s‡ çng nh§t (FG) vîi G , v vi‚t

(FG) (v ) = G (v ) = v G; 8v 2 (Km) :Chó þ r‹ng G v thæng th÷íng ÷æc hi”u l t‰ch cıa ma tr“n G 2 Kn m vv†c tì cºt v 2 Km v chóng ta câ (G v) = G (v ):

1.2 T‰nh i•u khi”n ÷æc cıa h» tuy‚n t‰nh

hœu h⁄n chi•u

C¡c ki‚n thøc trong möc n y ÷æc l§y tł phƒn I, ch÷ìng 1 trong cuŁns¡ch "Mathematical Control Theory: An Introduction" cıa JerzyZabczyk [100] v trong c¡c t i li»u tham kh£o [2, 39, 59]

B i to¡n i•u khi”n ÷æc xu§t ph¡t tł ph÷ìng tr…nh vi ph¥n

2 K

>

:vîi K = C ho°c R, A : Kn ! Kn; B : Km ! Kn l c¡c to¡n tß tuy‚n t‰nh, u(t)

l h m kh£ t‰ch àa ph÷ìng, tøc l u(t) 2 L1[0; T ; Km] vîi måi

T > 0 Ta ¢ bi‚t ph÷ìng tr…nh (1.12) câ nghi»m duy nh§t

21

Quy ÷îc: Tr⁄ng th¡i a ⁄t ÷æc tł a trong thíi gian T = 0.

ành ngh¾a 1.2.2 Tr⁄ng th¡i b ÷æc gåi l ⁄t ÷æc tł tr⁄ng th¡i a haytr⁄ng th¡i a dàch chuy”n ÷æc ‚n tr⁄ng th¡i b n‚u b ⁄t ÷æc tł a trong thíigian T > 0 n o â

ành ngh¾a 1.2.3 H» (1.12) ÷æc gåi l i•u khi”n ÷æc trong thíi gian

T > 0 n‚u b v a l hai tr⁄ng th¡i b§t k… th… b câ th” ⁄t ÷æc tł a trong thíigian T:

ành ngh¾a 1.2.4 H» (1.12) ÷æc gåi l i•u khi”n ÷æc n‚u b v a l haitr⁄ng th¡i b§t k… th… b câ th” ⁄t ÷æc tł a:

ành lþ sau ÷a ra c¡c i•u ki»n t÷ìng ÷ìng cho mºt h» l i•u khi”n ÷æc

ành lþ 1.2.5 C¡c i•u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng

(i) Måi tr⁄ng th¡i b 2 Kn ⁄t ÷æc tł 0

(ii) H» (1.12) l i•u khi”n ÷æc

(iii) H» (1.12) l i•u khi”n ÷æc ð thíi gian T > 0 n o â.

(iv) Ma tr“n QT l khæng suy bi‚n ð T > 0 n o â.

(v) Ma tr“n QT khæng suy bi‚n vîi måi T > 0.

i•u ki»n (vi) trong ành lþ tr¶n ÷æc gåi l i•u ki»n h⁄ng Kalman

ành lþ 1.2.6 ( i•u ki»n h⁄ng Hautus [39]) H» (1:1) l i•u khi”n ÷æc khi

v ch¿ khi

V‰ dö 1.2.7 X†t h» i•u khi”n x = Ax + Bu vîi

: 4

i•u ki»n h⁄ng Hautus h» n y l i•u khi”n ÷æc.

1.3 T‰nh i•u khi”n ÷æc cıa h» câ r ng

buºc i•u khi”n

C¡c ki‚n thøc cıa möc n y ÷æc l§y trong c¡c t i li»u tham kh£o [14,

ð ¥y l mi•n tham sŁ i•u khi”n câ r ng buºc Ta ¢ bi‚t nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh vi ph¥n tr¶n câ d⁄ng

x(t) = eAtx0 +Chóng ta câ th” coi tr⁄ng th¡i ban ƒu x0 b‹ng 0: Khi â, k‰ hi»u

T = fu( ) 2 Lp[0; T ; Rm]; p 1 : u(t) 2 ; hƒu kh›p nìig

v t“p ⁄t ÷æc tł 0 trong thíi gian T l

ành ngh¾a 1.3.2 H» (1.13) ÷æc gåi l i•u khi”n ÷æc àa ph÷ìng n‚u

0 l i”m trong cıa Z, ho°c 0 2 int(Z)

ành ngh¾a 1.3.3 H» (1.13) ÷æc gåi l i•u khi”n ÷æc to n cöc n‚u

Khi â, n‚u F C C vîi måi 2 I th… tçn t⁄i v†c tì kh¡c khæng

Sau ¥y l c¡c k‚t qu£ ch‰nh v• t‰nh i•u khi”n ÷æc àa ph÷ìng v i•u khi”n ÷æc to n cöc cıa h» tuy‚n t‰nh câ r ng buºc

ành lþ 1.3.5 Gi£ sß l t“p lçi chøa 0 vîi phƒn trong khæng rØng Khi

â h» (1.13) l i•u khi”n ÷æc àa ph÷ìng khi v ch¿ khi

(i) H» khæng câ r ng buºc x = Ax+Bu; u 2 Rm li•u khi”n ÷æc ho°c t÷ìng ÷ìng rank[AjB] = n;

(ii) Khæng tçn t⁄i v†c tì ri¶ng f t÷ìng øng vîi gi¡ trà ri¶ng thüc cıa A thäa m¢n

hf; Bui 0; 8u 2 :H» qu£ 1.3.6 ChoRn thäa m¢n 0 2 int( ) Khi â, h» (1.13) l i•u khi”n

÷æc àa ph÷ìng khi v ch¿ khi rank[AjB] = n:

ành lþ 1.3.7 Cho l mºt nân lçi trong Rm vîi ¿nh ð 0 câ phƒn trongkh¡c rØng Khi â h» (1.13) l i•u khi”n ÷æc to n cöc khi v ch¿ khi

(i) H» khæng câ r ng buºc x = Ax+Bu; u 2 Rm li•u khi”n ÷æc ho°c t÷ìng ÷ìng rank[AjB] = n;

(ii) Khæng tçn t⁄i v†c tì ri¶ng f t÷ìng øng vîi gi¡ trà ri¶ng thüc cıa

A thäa m¢n

hf; Bui 0; 8u 2 :

25

1.4 Sü Œn ành mô cıa h» ºng lüc tr¶n

thang thíi gian

C¡c ki‚n thøc cıa möc n y ÷æc l§y trong t i li»u tham kh£o [10, 29, 43].Mºt thang thíi gian l mºt t“p con âng khæng rØng cıa t“p sŁ thüc

R v thæng th÷íng chóng ta k‰ hi»u nâ bði T C¡c v‰ dö phŒ bi‚n nh§t

v• thang thíi gian l T = R v T = Z Gi£ sß r‹ng thang thíi gian

T ÷æc trang bà tæpæ c£m sinh tł tæpæ thæng th÷íng trong t“p c¡c

sŁ thüc Chóng ta ành ngh¾a to¡n tß b÷îc nh£y ti‚n & : T ! T bði &(t)

= inffs 2 T : s > tg ( ÷æc bŒ sung th¶m inf ; = sup T) v to¡n tß b÷îcnh£y lòi % : T ! T bði %(t) = supfs 2 T : s < tg ( ÷æc bŒ sung th¶msup ; = inf T) H m h⁄t d÷ìng : T ! R+ [ f0g ÷æc cho bði (t) = &(t) t.Trong phƒn n y, chóng ta s‡ gi£ sß r‹ng thang thíi gian T l khæng bàch°n, cö th” sup T = 1

ành ngh¾a 1.4.1 (Delta ⁄o h m) Mºt h m f : T ! R ÷æc gåi l deltakh£ vi ð t n‚u tçn t⁄i mºt væ h÷îng f (t) thäa m¢n vîi måi > 0

jf(&(t)) f(s) f (t)(&(t) s)j j&(t) sjvîi måi s 2 (t ; t + ) \ T v gåi l

delta ⁄o h m cıa f ð t

vîi > 0 n o â Væ h÷îng f (t) ÷æc

N‚u T = R th… delta ⁄o h m l f0(t); tł gi£i t‰ch li¶n töc; n‚u T = Z th… delta ⁄o h m l to¡n tß sai ph¥n ti‚n f; tł gi£i t‰ch ríi r⁄c

Mºt i”m t 2 T ÷æc gåi l right-dense n‚u &(t) = t, right-scattered n‚u

&(t) > t, left-dense n‚u %(t) = t v left-scattered n‚u %(t) < t Mºt

right-dense v giîi h⁄n tr¡i tçn t⁄i ð måi i”m left-dense Vîi b§t k…

26

h m rd-li¶n töc p( ) tł T v o R, nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh ºng lüc x =p(t)x; vîi i•u ki»n ban ƒu x(s) = 1, ành ngh¾a mºt h m mô Chóng tak‰ hi»u h m mô n y bði ep(t; s) Łi vîi c¡c t‰nh ch§t cıa h m mô ep(t;s), ng÷íi åc quan t¥m câ th” xem trong [10] v [11].

K‰ hi»u T+ = [t0; 1) \ T X†t ph÷ìng tr…nh ºng lüc tr¶n thang thíigian T

ð ¥y f : T Rd ! Rd l mºt h m rd-li¶n töc v f(t; 0) = 0 Łi vîi sü tçn t⁄i, duynh§t v th¡c tri”n cıa nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (1.14) chóng ta câ th”tham kh£o trong [10] Mºt h m f tł T v o R ÷æc gåi l tho¡i lui d÷ìng n‚u1+ (t)f(t) > 0 vîi måi t 2 T K‰ hi»u R+ l t“p t§t c£ c¡c h m tho¡i luid÷ìng tł T v o R Vîi b§t k… 2 T+, °t x(t) = x(t; ; x0)

l nghi»m cıa (1.14) vîi i•u ki»n ban ƒu x( ; ) = x0 2 Rd Chóng ta sßdöng kh¡i ni»m sau cho sü Œn ành mô cıa h» ºng lüc tr¶n thang

thíi gian, ÷æc ÷a ra bði S Hilger [43, 44], J J DaCunha [20]:

ành ngh¾a 1.4.2 (˚n ành mô) Ph÷ìng tr…nh ºng lüc (1.14) ÷æc gåi l Œn ành mô n‚u i•u ki»n

vîi måi 2 T+ câ tçn t⁄i mºt N = N( ) 1 thäa m¢n

vîi måi t ; t 2 T+ v x0 2 Rd , ð ¥y x(t; ; x0) l nghi»m cıa (1.14) vîi i•u ki»n ban ƒu x( ; ) = x0

óng vîi > 0; 2 R+ n o â N‚u h‹ng sŁ N câ th” ÷æc chån ºc l“p vîi 2

T+ th… ph÷ìng tr…nh ºng lüc (1.14) ÷æc gåi l Œn ành mô •u