Đầu tư tối ưu trong trường hợp có chi phí giao dịch với nhiều tài sản rủi ro luận văn ths toán học60 46 01 06

Luận văn Thạc sĩ Khoa họcLỜI NÓI ĐẦU Thị trường tài chính là sản phẩm tất yếu của nền kinh tế thị trường, đó là nơidiễn ra các hoạt động mua bán những sản phẩm phát hành bởi những cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

NCVCC.TS.Nguyễn Hồng Hải

Hà Nội – Năm 2014

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG TOÁN

TÀI CHÍNH5 1.1 Một số khái niệm cơ bản về thị trường tài chính 5

1.1.1.Cấu trúc của thị trường tài chính 5

1.1.2.Mô hình động của giá các loại cổ phiếu và trái phiếu 8

1.1.3.Bài toán phân bổ vốn đầu tư, tính chất không cơ lợi và tính đầy đủ của một thị trường tài chính 10

1.2 Một số khái niệm xác suất trong toán tài chính 14

1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục 14

1.2.2 Quá trình chuyển động Brown 16

1.2.3 Martingale với thời gian liên tục 17

1.2.4 Vi phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô 19

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI PHÍ GIAO DỊCH ………21

2.1 Mô hình 21

2.1.1 Thị trường vốn 21

2.1.2 Bài toán của nhà đầu tư. 21

2.2 Chính sách tối ưu trong trường hợp không có chi phí giao dịch 23 2.3 Các trường hợp riêng. 25

2.3.1 Trường hợp chỉ có chi phí giao dịch tỉ lệ. 25

2.3.2 Trường hợp chỉ có chi phí giao dịch cố định. 32

2.4 Trường hợp có cả chi phí cố định và chi phí tỉ lệ 38

2.5.Chi phí cố định và phí tỉ lệ với lợi suất tài sản tương quan

2.6.Phân tích các chính sách tối ưu

2.6.1.Các giới hạn tối ưu 70

2.6.2.Tần số giao dịch

2.6.3 Lượng tiền trung bình đầu tư vào cổ phiếu 81

KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT MỞ RỘNG

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

LỜI NÓI ĐẦU

Thị trường tài chính là sản phẩm tất yếu của nền kinh tế thị trường, đó là nơidiễn ra các hoạt động mua bán những sản phẩm phát hành bởi những cơ sở tàichính như: các công ty, nhà xưởng, ngân hàng, nhà nước…Sự xuất hiện và tồntại của thị trường này xuất phát từ yêu cầu khách quan của việc giải quyếtmâu thuẫn giữa nhu cầu và khả năng cung ứng vốn trong nền kinh tế pháttriển Trong nền kinh tế luôn tồn tại hai trạng thái trái ngược nhau giữa mộtbên là nhu cầu và một bên là khả năng về vốn Mâu thuẫn này ban đầu đượcgiải quyết thông qua hoạt động của ngân hàng với vai trò trung gian trongquan hệ vay mượn giữa người có vốn và người cần vốn Khi kinh tế hàng hóaphát triển cao, nhiều hình thức huy động vốn mới linh hoạt hơn nảy sinh vàphát triển, góp phần tốt hơn vào việc giải quyết cân đối giữa cung và cầu vềcác nguồn lực tài chính trong xã hội, làm xuất hiện các hình thức huy độngvốn như trái phiếu, cổ phiếu của các doanh nghiệp, trái phiếu chính phủ…-Đó

là những loại giấy tờ có giá trị, gọi chung là các loại chứng khoán Và từ đóxuất hiện nhu cầu mua bán, chuyển nhượng giữa các chủ sở hữu của các loạichứng khoán khác nhau Điều này làm xuất hiện một loại thị trường để tổnghòa các mối quan hệ cung cầu về vốn trong nền kinh tế là thị trường tài chính.Thị trường tài chính phát triển góp phần thúc đẩy mạnh mẽ sự phát triển kinh

tế của một quốc gia

Toán học tài chính (Financial mathematics) ra đời hơn 100 năm nay, nhưngđặc biệt phát triển trong thời gian gần đây và ngày càng tỏ ra hữu ích trongthực tiễn đời sống kinh tế của các quốc gia Nó là một ngành ứng dụng toánhọc để nghiên cứu thị trường tài chính nhằm phân tích một cách khoa họcnhững sự kiện tăng trưởng, rủi ro, lạm phát, khủng hoảng tài chính, bảo hiểm,

… vốn là những vấn đề tài chính có tính thời sự Trong những năm gần đâyngành tài chính đã thực sự trở thành một ngành công nghiệp then chốt có tác

Trang 1

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

dụng điều chỉnh và thúc đẩy mọi hoạt động của ngành kinh tế và đã trở thànhnơi hội tụ của các ý tưởng xuất phát từ các lĩnh vực tri thức và ứng dụng thực

tế khác nhau Hiện nay chúng ta đang chứng kiến một sự cộng tác chặt chẽgiữa các nhà toán học, các nhà kinh tế và các nhà tài chính trong việc ứngdụng các thành tựu toán học hiện đại vào việc nghiên cứu các mô hình kinh tế,phân tích và thấu hiểu các quy luật chi phối các hoạt động kinh tế, từ đó cónhững hành động và quyết sách hợp với quy luật Một số mô hình toán tàichính nổi tiếng như: “Mô hình về định giá các tài sản vốn” của W.Sharpe(1964), mô hình Markowitz, mô hình Black – Scholes, mô hình khuếch tán…Tại Việt Nam,nền công nghiệp tài chính đã có nhiều thành tựu và việc ra đờicủa thị trường chứng khoán đòi hỏi các nhà quản lý phải có những hiểu biếtsâu sắc về các hoạt động cũng như các quy luật chi phối thị trường đó.Toánhọc tài chính sẽ là công cụ không thể thiếu để các chuyên gia kinh tế và tàichính điều hành hữu hiệu mọi hoạt động của thị trường này

Trước đây, các nhà toán học nghiên cứu các mô hình theo kiểu ghép giá vàchi phí giao dịch vào làm một Tức là chi phí giao dịch đã bị tính lẫn vào giá.Tuy nhiên chi phí giao dịch có tính cố định và đã biết còn giá có tính ngẫunhiên nên điều này dẫn đến việc ghép những thông tin đã biết vào cái chưabiết làm thông tin bị đánh mất Bây giờ chi phí giao dịch được biết trước nêncần tách riêng chúng ra Luận văn này làm về một mô hình có tính đến chi phígiao dịch như vậy Đây là một mô hình giúp ta đưa ra kết quả sâu sắc và xácthực cho bài toán tài chính có tính đến chi phí giao dịch

Với việc nghiên cứu như vậy cấu trúc luận văn như sau:

Chương I : Kiến thức cơ sở về toán tài chính

Chương này nhằm trình bày những khái niệm cơ bản về thị trường tài chính,các bộ phận tạo nên thị trường tài chính và lý thuyết hiện đại về toán học ngàynay được áp dụng trong thị trường tài chính Ngoài ra còn giới thiệu một số

Trang 2

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

mô hình và bài toán cơ bản trong tài chính cũng như những kiến thức cơ sở vềxác suất được dùng trong toán tài chính như: quá trình Wiener, Mactingal vàtích phân Itô

Chương II : Đầu tư tối ưu trong trường hợp có chi phí giao dịch Chương nàydành cho việc xây dựng một mô hình toán tài chính để giải quyết bài toán đầu

tư và tiêu thụ tối ưu với thời gian liên tục cho một nhà đầu tư phải chịu cả hailoại chi phí giao dịch là: chi phí giao dịch cố định (Constant Absolute RiskAversion(CARA)) và chi phí giao dịch tỉ lệ (Constant Relative RiskAversion(CRRA)) trong việc giao dịch (n+1) tài sản bao gồm một tài sảnkhông rủi ro (gọi là trái phiếu(Bond)) và n tài sản rủi ro (gọi là cổ

phiếu(Stoke)) ( n 1) Với mục đích so sánh, trước tiên chúng ta sẽ trình bày

một số kết quả về chính sách đầu tư tối ưu trong trường hợp không có chi phigiao dịch Tiếp đến ta xét trường hợp chỉ có một loại chi phí giao dịch là chiphí giao dịch tỉ lệ hoặc chi phí giao dịch cố định Sau cùng chúng ta trình bàycác kết quả về chính sách đầu tư tối ưu trong trường hợp có cả chi phí giaodịch cố định và chi phí tỉ lệ để từ đó đưa ra những phân tích tổng

quan nhất cho các chính sách tối ưu trong đầu tư

Trong nghiên cứu này, kết quả đầu tiên mà chúng ta tìm ra được là chínhsách giao dịch tối ưu trong trường hợp nhiều loại tài sản rủi ro phải chịu cácchi phí giao dịch cố định và lợi suất của các tài sản rủi ro không tương quan(lợi suất tài sản không tương quan nên chúng ta có thể tách những tính toán vềcác loại tài sản rủi ro thành phép tính cho mỗi loại tài sản riêng biệt) Khi đóchính sách đầu tư tối ưu với mỗi tài sản rủi ro đó là nhà đầu tư giữ lượng vốnđầu tư vào tài sản giữa hai mức cố định đó là hai hằng số mà ta có thể tínhtoán bằng một công thức rõ ràng Khi lượng vốn này đạt đến một trong haingưỡng nhà đầu tư sẽ giao dịch để đạt mục tiêu tối ưu

Trang 3

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

Đóng góp thứ hai của nghiên cứu này đó là chúng ta sẽ tiến hành phân tíchtổng quan chiến lược kinh doanh tối ưu Chúng ta cung cấp được một cáchthức đơn giản để tính toán các giới hạn của miền không giao dịch và giới hạnmục tiêu Chúng ta sẽ phân tích những ảnh hưởng của sự ác cảm rủi ro, phí rủi

ro và tính dễ biến động trên miền không giao dịch, lượng tiền mục tiêu và tần

số giao dịch Chúng ta cũng rút ra được dạng đóng của sự phân bổ ổn địnhcủa lượng tiền đầu tư vào tài sản rủi ro đồng thời ta cũng kiểm tra được lượngtiền trung bình ổn định đầu tư vào tài sản

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình củaNCVCC.TS Nguyễn Hồng Hải Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành

và sâu sắc tới người thầy của mình!

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã giảng dạy và giúp đỡ emtrong quá trình học tập và nghiên cứu tại khoa Toán-Tin trường Đại học KhoaHọc Tự Nhiên-Đại học Quốc Gia Hà Nội!

Xin cảm ơn gia đình và bạn bè những người đã động viên và giúp đỡ emtrong suốt thời gian qua!

Do thời gian nghiên cứu và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránhkhỏi những hạn chế và thiếu sót, kính mong các thầy cô giáo và các bạn chỉdẫn và góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội,năm 2014Tác giảNguyễn Văn Tráng

Trang 4

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ TRONG TOÁN

TÀI CHÍNH1.1 Một số khái niệm cơ bản về thị trường tài chính

Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về thịtrường tài chính cũng như các kiến thức xác suất cơ sở cần thiết cho việcthiết lập mô hình toán tài chính chúng ta sẽ xây dựng và nghiên cứu trongluận văn này

1.1.1.Cấu trúc của thị trường tài chính

Thị trường tài chính là thị trường mà ở đó diễn ra các hoạt động mua bán,trao đổi, chuyển nhượng quyền sử dụng các tài sản tài chính thông qua nhữngphương thức giao dịch và công cụ tài chính nhất định

Cấu trúc cơ bản của thị trường tài chính bao gồm các bộ phận sau đây:

1) Các cá nhân: những cá nhân hoạt động riêng lẻ, các bà nội trợ…

2) Các hãng: các hãng kinh doanh, các công ty, các liên doanh…

3) Thị trường các chứng từ có giá trị: thị trường vốn, thị trường tiền tệ…

4) Các cấu trúc trung gian: các nhà băng, các ngân hàng công thương,

ngân hàng đầu tư, các công ty bảo hiểm…

Bốn bộ phận đó liên kết chặt chẽ với nhau trong đó thị trường các chứng từ

có giá trị đóng vai trò then chốt Ta hãy làm rõ hơn hoạt động của các bộ phậnnói trên:

1) Các cá nhân: trong hoạt động tài chính của họ có một vấn đề trung tâm

đó là các vấn đề về tích lũy vốn và tiêu dùng Gắn liền với vấn đề này có bài toán tối ưu về tiêu dùng và tích lũy (bài toán về phân bổ đầu tư) Dựa trên nguyên lý của Von Neumann – Morgenstern về sự hoạt động hợp lý của các

Trang 5

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

cá nhân trong các điều kiện bất định người ta đã tìm cách tốt nhất để xác địnhviệc phân bổ vốn, xác định quan hệ giữa tích lũy và tiêu dùng sao cho hàm lợiích đạt cực đại

2) Các hãng : đó là một tổ chức có đất đai, nhà máy, công xưởng và các

loại tài sản có giá trị khác như chợ, các phát minh… Hoạt động của các hãng

là tổ chức, điều hành các hoạt động sản xuất, kinh doanh để đạt lợi nhuận caonhất

3) Các cấu trúc trung gian ( cấu trúc về các phương diện tài chính): đó là

các ngân hàng công thương, ngân hàng tín dụng, các hãng bảo hiểm…

4) Thị trường các chứng từ có giá trị: đó là tập hợp các thị trường có tổ

chức để mua bán, trao đổi những chứng từ (các hợp đồng) đã được tiêu chuẩnhóa như: trái phiếu (bonds), cổ phiếu (stocks), quyền lựa chọn (options), cáchợp đồng trong tương lai (futures) … Như sau này ta sẽ thấy thị trường tráiphiếu và thị trường các quyền lựa chọn là hai thị trường quan trọng nhất.Dựa trên các thị trường này các hãng có thể tăng vốn của họ để phát triểnsản xuất kinh doanh, các cá nhân có cơ hội và phương tiện để hoạt động tàichính

Ngoài các chức năng hoạt động của nó, thị trường các chứng từ có giá trịđóng một vai trò quan trọng trong việc cung cấp các thông tin về giá cổ phiếu,lãi suất, các chỉ số tài chính… có thể sử dụng được trong các lĩnh vực kinh tế,các cá nhân có thể sử dụng các thông tin đó để thực thi các quyết định về các

dự án đầu tư về phương diện tài chính

Người ta quan tâm đến các hoạt động trong thị trường các chứng từ có giátrị Vì vậy ta cũng nên tìm hiểu về các loại chứng từ đó

a) Trái phiếu: đó là một loại hợp đồng dài hạn được phát hành bởi chính

phủ, các ngân hàng, các công ty tín dụng và các thể chế tài chính khác với mục tiêu là tích lũy vốn

Trang 6

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

Như thường lệ các trái phiếu có liên quan đến các loại chứng từ có giá trịdài hạn có lãi suất xác định hoặc lãi suất thay đổi Một ví dụ về trái phiếu đó

là tín phiếu kho bạc Ở các nước phương Tây còn có các loại trái phiếu sauđây: trái phiếu kho bạc, trái phiếu của các hãng lớn, zero coupon bonds,…

b) Cổ phiếu: đó là một loại chứng từ có kỳ hạn được phát hành bởi các

hãng nhằm tích lũy vốn Giá của một loại cổ phiếu được xác định như trạng thái hiện hành của thị trường vốn cũng như hoạt động sản xuất tương ứng của hãng

Người sở hữu cổ phiếu nói chung có quyền tham gia vào các hoạt động của hãng theo nguyên tắc “số phiếu bầu = số tiếng nói” và được hưởng cổ tức

c) Quyền lựa chọn hoặc hợp đồng về quyền lựa chọn: đó là một loại

chứng từ có giá trị mà người sở hữu nó có quyền mua hoặc bán một tài sảnnào đấy ( ví dụ: cổ phần của một công ty ) theo các điều khoản đã ghi trên hợpđồng

Quyền lựa chọn được chia làm hai loại: loại Châu Âu và loại Châu Mỹ

- Quyền lựa chọn loại châu Âu có thời hạn kết thúc xác định (gọi là thời hạnđáo hạn)

- Quyền lựa chọn loại châu Mỹ cho phép người sở hữu có quyền mua hoặcbán tại thời điểm bất kỳ trước hoặc ngay tại thời hạn đáo hạn Hiện nay quyềnlựa chọn loại Châu Mỹ chiếm đa phần trong các loại hợp đồng về quyền lựachọn

Cần lưu ý rằng không phải quyền lựa chọn loại Châu Âu chỉ có ở Châu Âu

và loại Châu Mỹ chỉ có ở Châu Mỹ Hơn nữa mỗi quyền lựa chọn ChâuÂu,Châu Mỹ lại chia làm hai loại:

- Quyền lựa chọn mua (call option) : cho phép người sở hữu nó mua một loại tài sản nào đấy

Trang 7

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

- Quyền lựa chọn bán (put option) : cho phép người sở hữu bán một loại tài sản nào đấy (cổ phiếu hoặc trái phiếu… )

- Warrant là một loại chứng từ có giá trị được phát hành bởi các hãng về mộtloại cổ phần đặc biệt nào đấy để thay đổi cái hiện có Người sở hữu hợpđồng này có thể mua một số các tài sản nào đấy đã thỏa thuận trước vớimột giá trị nhất định tại thời điểm bất kỳ trước một thời điểm xác định

- Hợp đồng tương lai (future) về việc mua hoặc bán một tài sản nào đấy tại một thời điểm nhất định trong tương lai theo một giá đã thỏa thuận

- Voucher: đó là điều khoản về tiền tệ của nhà nước cho phép người sở hữu

có quyền mua một cổ phần tùy ý theo quy định của nhà nước

1.1.2.Mô hình động của giá các loại cổ phiếu và trái phiếu

Xét một tài sản tài chính S, giá của nó tại mỗi thời điểm t được kí hiệu là

( )hoặc Giácác biến động giá cả các sản phẩm khác, các xu hướng tăng trưởng hoặc suythoái của nền kinh tế thế giới, các diễn biến về nhu cầu tiêu dùng trong vàngoài nước, tiềm lực sản xuất, các diễn biến chính trị, các chính sách của nhànước,các diễn biến tâm lý nhà đầu tư…Ta gom các yếu tố ngẫu nhiên đó củatất cả các sản phẩm tài chính trên thị trường vào một tập hợp cơ bản kí hiệu là

Ω mà mỗi phần tử ω của nó biểu thị một yếu tố ngẫu nhiên nào đó Mỗi sự

kiện xảy ra trong thị trường là một tập hợp nào đó gồm một số các yếu tốngẫu nhiên Để đo lường một cách định lượng khả năng xảy ra các sự kiện đó

ta dùng một loại thước đo là độ đo xác suất

kiện thuộc về một lớp

đại số), mỗi sự kiện A thuộc về lớp này (A

Trang 8

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

nhiên và giá trị đo lường khả năng xảy ra của sự kiện A đó chính là xác suất P(A).

Vậy ta có không gian xác suất (Ω,ℱ,P) mà mỗi tài sản tài chính S(t) là một quá trình ngẫu nhiên xác định trên đó: với mỗi t, S(t) còn phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên ω: S=S(t,ω)

Vào năm 1900 trong luận án tiến sĩ “Théorie de la speculation” của mình,

L.Bachelier đã chỉ ra rằng sự thay đổi của giá mỗi loại chứng khoán có dạng:

∆ = ( +∆)− ( )≈0(√∆)Đến năm 1923, N.Wiener đã xây dựng quá trình Wiener có tính chất:

rằng hiệu quả đã được

Như vậy về trung bình

nhận xét bởi Bachelier tỏ ra hợp lý nếu giá trị chịu tácđộng của nhân tố ngẫu nhiên Wiener là tổng hợp của vô số tác nhân kinh tế vôcùng nhỏ bé như mô hình dưới đây:

= () + () () (1)Năm 1965, P.Samuelson theo sáng kiến của L.Savage đã nhận xét rằng nếugiá chứng khoán tuân theo mô hình (1) thì nó có thể âm và điều đó là khôngphù hợp với thực tế Vì vậy ông đã đề xuất mô hình chuyển động Brown hìnhhọc để mô tả động học của giá:

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

Đối với trường hợp thời gian rời rạc, J.Cox,R.A.Ross, M.Rubinstein đã đưa

ra mô hình di động ngẫu nhiên rời rạc để mô tả động học của dãy giá các

chứng khoán:

trong đó

trong đó

và xuống

Hiện nay người ta đã xét nhiều mô hình tổng quát nhưng phức tạp hơn

nhiều,kể cả các mô hình khuếch tán có bước nhảy

Một trong các mô hình đơn giản thuộc loại các mô hình nói trên là mô hình

về giá của một tài khoản ngân hàng (bank account) với lãi suất không đổi

hoặc thay đổi

a)Chiến lược phân bổ vốn đầu tư:

Xét k+1 quá trình ngẫu nhiên

+ 1

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

Ta qui ước ( ) là quá trình giá của chứng khoán không có rủi ro (còn gọi là

trái phiếu) tại thời điểm t ( ) thỏa mãn phương trình sau:

1) Một chiến lược phân bổ vốn đầu tư là một quá trình vecto dự đoán được

(khi biết tất cả các thông tin về thị trường cho đến thời điểm t) ℎ( ) =

chỉnh tài chính hoặc tự tài trợ nếu:

( , ℎ) = ℎ ( ) ( ) ho cặ ( ) ℎ ( ) = 0

Tức là nhà đầu tư muốn tăng đầu tư của mình vào tài sản này thì phải giảm

đầu tư vào tài sản kia

b)Yêu cầu tài chính và điều kiện để cho thị trường không có độ chênh thị

giá:

Để hiểu rõ khái niệm yêu cầu ngẫu nhiên của sự đầu tư ta hãy xét một ví dụ

sau:

Trang 11

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

Giả sử một người muốn mua một lượng trái phiếu năm năm với lãi suất

12% một năm để sau năm năm có được số vốn là 10 triệu đồng (đó là mục

tiêu cần đạt được) thì người đó phải đầu tư một lượng vốn ban đầu là

hạ n thì vốn ban đầu cần phải thỏa mã n điề u kiệ n

10 /(1 + 0.12)

M (60) = 10

vị thời gian là tháng) và khi đó yêu cầu (ngẫu nhiên) của anh ta là

(để đơn giản ta giả thiết rằng (0) = 1)

(60)

Định nghĩa 1:

1) Một biến ngẫu nhiên không âm H được gọi là một yêu cầu tài chính hoặc

quyền tài chính.

2) Một chiến lược đầu tư

lược có cơ lợi hoặc có độ

điều chỉnh tài chính và hàm giá trị tương ứng với nó có tính chất:

(0)=0, ( )≥0, { ( )>0}>0,

tức là chiến lược không cần vốn ban đầu mà vẫn có thu nhập Chiến lược cơ

lợi là chiến lược kiếm lời nhờ chênh lệch giá.

3) Nếu mô hình (còn được gọi là một thị trường) { , , … } đối với nó không

tồn tại chiến lược ℎ có cơ lợi được gọi là thị trường không có cơ lợi hoặc thị

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

Khi đó nếu

, đến hạn≤sản

không cần vốn ban đầu bởi vì ta luôn có

có 4

khoản

ngân hàng người ta sẽ thu được một khoản lời

<đến vốn ban đầu

Với thị trường này,người ta có thể chứng minh rằng:thị trường đó là lànhmạnh khi và chỉ khi

Định nghĩa 3:

thể đạt

Giả sử

lược tự điều chỉnh tài chính

giá hợp lý của yêu cầu

là chiến lược đảm bảo yêu cầu tài chính.

Các bài toán cơ bản đặt ra khi nghiên cứu thị trường chứng khoán là:

1) Khi nào một thị trường là lành mạnh?

2) Khi nào một yêu cầu H có thể đạt được? Thực chất là bài toán khi

nào một thị trường là đầy đủ,tức là khi nào một yêu cầu bất kỳ có thể đạt được?

3) Xác định giá hợp lý của yêu cầu H và chiến lược đảm bảo tài chính

tương ứng?

4) Khi có nhu cầu tiêu dùng hoặc có nguồn vốn bổ sung hãy xác định vốntối thiểu ban đầu và chiến lược đảm bảo tài chính và tiêu dùng?

Trang 13

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

1.2 Một số khái niệm xác suất trong toán tài chính

Trong phần này ta nêu một số kiến thức xác suất cơ bản như:quá trình ngẫu

nhiên, quá trình Wiener, Martingale với thời gian liên tục và tính toán

vi tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình Wiener Đây là những kiến thức rất

cần khi nghiên cứu về các thị trường tài chính với thời gian liên tục

1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục

Cho không gian xác suất (Ω,ℱ,P).

Véc tơ ngẫu nhiên n chiều:

Một ánh xạ

ℬ

vé c

với

tơ ngẫu nhiên n chiều) Ta cũng nói X là

Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục:

Với mỗi T ∈

và là một hàm đo được với(t,

-ω ) → X(t, ) R ω ∈ngẫu nhiên với thời gian liênσ

trong ,hàm đó∈ Ω

Trang 14

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

2) Một quá trình ngẫu nhiên có thể coi như một ánh xạ từ

các biến ngẫu nhiên

quá khứ của quá trình X=

tự nhiên của quá trình X , {

tin của quá trình X.

Không gian xác suất được lọc: Bộ (Ω,ℱ,

gian xác suất được trang bị lọc với lọc {ℱ } r

Thời điểm Markov và thời điểm dừng:

Một biến ngẫu nhiên τ được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi ≥ 0

{ ∈Ω: ( )≤ }∈ℱ

chắc chắn, tức là: { ( ) }

Trang 15

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

1.2.2 Quá trình chuyển động Brown

Một trong các quá trình ngẫu nhiên quan trọng là quá trình chuyển động

Brown Quá trình này được sử dụng để xây dựng phần lớn các mô hình chứng

Chuyển động Brown n chiều:

Quá trình ngẫu nhiên n chiều chuyển động Brown n chiều

, , … , ) r được gọi là {ℱ } r nếu mỗi M r( =

Trang 16

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

1, … , ) là một chuyển động Brown và các thành phần của là độc lập với

(Khai triển Doob-Mayer:

thì X có = {

Nếu

một biểu diễn duy nhất dưới dạng:

Trang 17

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

Trong đó

quá trình tăng và thích nghi với {ℱ }

Ứng dụng của lý thuyết Martingale trong toán tài chính:

Trong toán tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ sở như: giá cổ phiếu

giá trái phiếu , giá của các tài sản phái sinh tài chính

các quá trình ngẫu nhiên Nói chung chúng không phải là những Martingal

đối với trường thông tin

không phải là một

Nên ta có thể tính được giá

Có ha i cách để thực hiệ n sự biế n đổi nói trê n

Cách 1: Áp dụng khai triển Doob-Meyer.

Giả sử

Nếu tìm được cụ =

thể quá trình tăngthành một martingle, cụ thể:

Nế u là một mart ingale trê n t hì

quả tương tự

Cách 2: Thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất.

Khi ta nói: nói chung

xác suất ban đầu P đã cho Bây giờ ta giả sử tìm được một độ

Trang M( ) = 0 ⇔

mới tương đương với độ đo xác suất P18

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

một phép biến đổi quá trình

mới này thì X t

Giả sử ta biết

Gọi φ là phép biến đổi từ sang X t

được tài sản

Ta lưu ý hai điều quan trọng:

1) Thông thường phép biến đổi đó là một phép chiết khấu không rủi ro sao

cho: X t

=

T là thời

điểm đáo hạn.Vì

trung hòa và kí hiệu lại là Q.

Người ta chứng minh được rằng : Nếu thị trường đang xét không có độchênh thị giá thì tập độ đo trung hòa khác rỗng

1.2.4 Vi phân ngẫu nhiên Itô và công thức Itô

Vi phân Itô:

1) Hầu hếtGiả sử rằng

2) Hầu chắc chắn

Trang 19

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

Trong đó h và f là các quá trình ngẫu nhiên đo được sao cho các tích phân trong biểu diễn tồn tại thì ta nói rằng X là một quá trình Itô và có vi phân Itô dX.

Vi phân dX là một biểu thức hình thức và được viết như sau:

Khi đó quá trình ngẫu nhiên

Itô cho bởi:

Trang 20

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG TRƯỜNG HỢP CÓ CHI PHÍ GIAO DỊCH2.1 Mô hình:

2.1.1 Thị trường vốn:

Cho không gian xác suất (Ω,

này phát sinh từ một chuyển

Có n+1 tài sản mà nhà đầu tư có thể giao dịch Tài sản đầu tiên là tài khoảnthị trường tiền tệ tăng trưởng ở một mức cố định, với lãi suất kép là > 0 (còngọi là trái phiếu) n tài sản còn lại là các tài sản rủi ro (ta còn gọi là cổ

phiếu) Nhà đầu tư có thể mua cổ phiếu i với giá

(1− ) ()

đầu tư phải trả một khoản phí môi giới cố định

khi giao dịch cổ phiếu i.

1.2 Bài toán của nhà đầu tư

Theo Merton(1971), chúng ta giả sử rằng nhà đầu tư thu được lợi nhuận từ

lượng tiêu thụ với thời gian liên tục c=c(t) của tài khoản thị trường tiền tệ Chúng ta kí hiệu C để chỉ không gian tiêu thụ chấp nhận được của nhà đầu tư,

Trang 21

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

[0, ∞)

∈

Ngoài ra, tương tự như Merton(1971),Vayanos(1998) và Lo et al (2001)

chúng ta giả thiết rằng mỗi nhà đầu tư chịu chi phí giao dịch cố định đều có

một hàm lợi ích đối với thời điểm chiết khấu là:

hệ số rủi ro β > 0 và tham số chiết khấu thời

biểu thị cho lợi nhuận mà nhà đầu tư thu được từ sự tiêu thụ của tài khoản thị trường tiền tệ Chúng ta cũng giả thêm rằng việc ngừng tích

lũy, giao dịch cổ phiếu và thanh toán chi phí giao dịch đều được thông qua tài

sản của thị trường tiền tệ

Gọi x là số tiền đầu tư vào trái phiếu (tài sản không rủi ro), là lượng tiền

đầu tư vào cổ phiếu thứ i (tài sản nrủi ro) và

biểu thị cho tài sản được thanh khoản tại thời điểm t.

Trong đó J và J lần lượt là giá bán và giá mua cổ phiếu i.

Mô hình của chúng ta là xét trong thị trường lành mạnh, do đó để loại trừ cơ

hội mua bán để hưởng chênh lệch giá, chúng ta hạn chế tập hợp các chính

sách kinh doanh phải thỏa mãn điều kiện:

Trang 22

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

t

Chúng ta sử dụng kí hiệu ( x , y) để biểu thị tập hợp các chiến lược kinh

doanh chấp nhận được (I,D,c) sao cho

thỏa mãn điều kiện (2.5) với điều kiện ban đầu là:

Bài toán của nhà đầu tư là phải lựa chọn một

để tối đa hóa mục tiêu của mình Do đó nhà đầu tư phải lựa chọn chiến lược

kinh doanh chấp nhận được (I,D,c) để E u ( c t , t ) dt đạt giá trị lớn nhất Để

2.2 Chính sách tối ưu trong trường hợp không có chi phí giao dịch

Với mục đích so sánh, trong phần này

chính cho trường hợp không tính

chúng ta sẽ trình bày những kết quảđến chi phí giao dịch (tức là:

α 1 , 2 , , n 0 và F F1 , F2 , , F n 0) mà không chứng minh (xem Merton(1971)).Khi không có chi phí giao dịch, quá trình mua, bán, tích lũy của cổ phiếu có thểbiến thiên vô hạn và trong trường hợp này tài sản được

Trang 23

Luận văn Thạc sĩ Khoa học

Hơn thế nữa ta có hàm giá trị là:

Do đó,khi không tính đến chi phí giao(dịch,,) = −

số tiền không đổi

chúng ta biểu diễn

này,

Trang 24