Về nghiệm của một số lớp phương trình vi tích phân tự tham chiếu

Các phương trình vi-tích phân tự tham chiếu có cấu trúc đặc biệt, có độphi tuyến cao, nên sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm cũng như cácphương pháp tìm nghiệm gần đúng của chúng kh

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của GS.TSKH Phạm Kỳ Anh và PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn.Các kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kỳ công trình nào khác

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Thanh Lan

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tôi kính gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đếnGS.TSKH Phạm Kỳ Anh và PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Các Thầy hướngdẫn tôi rất tận tình, luôn động viên, chỉ bảo, cho tôi những lời khuyên vô cùng

bổ ích và những góp ý vô cùng quý báu, cũng như hỗ trợ kinh phí trong suốtquá trình tôi học nghiên cứu sinh

Tôi cũng kính gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến PGS.TSKH VũHoàng Linh và Ban Chủ Nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học đã tạo mọi điềukiện làm việc tốt nhất trong suốt quá trình học của tôi

Tôi kính gửi lời cảm ơn đến PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh, PGS.TS.Nguyễn

Hữu Điển, TS Nguyễn Trung Hiếu và các Thầy, Cô trong Bộ môn Toán họcTính Toán đã cho tôi nhiều góp ý quý báu để luận án của tôi được tốt hơn.Tôi kính gửi lời cảm ơn chân thành đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu đãluôn động viên tôi trong suốt quá trình tôi học tập ở đây Thầy cũng là người

đã tài trợ kinh phí trong thời gian đầu tôi ra Hà Nội học tập

Tôi kính gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau đại học của Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên thuộc Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trongsuốt quá trình tôi học tập tại đây

Tôi kính gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Trường Đại học SàiGòn đã hỗ trợ về mặt kinh phí và tạo điều kiện về thời gian cho tôi đi họcnghiên cứu sinh

Tôi kính gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Phạm Hoàng Quân và Ban Chủnhiệm Khoa Toán ứng dụng Trường Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiện thuậnlợi cho tôi trong việc hoàn thành chương trình học

Tôi cũng chân thành cảm ơn TS Vũ Tiến Dũng (Bộ môn Tin học), TS

Vũ Nhật Huy (Bộ môn Giải tích), NCS Đặng Văn Hiếu, NCS Phạm Thị Thảo

đã hỗ trợ và cho tôi những góp ý quý báu để luận án của tôi được tốt hơn.Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến Mẹ và chồng, những người luôn hỗ trợ, chia sẻ công việc gia đình và

không ngừng động viên tôi, cho tôi yên tâm học hành trong suốt quãng thờigian làm nghiên cứu sinh ở Hà Nội Và tôi kính xin dành tặng thành quả này

đến người Cha kính yêu đã khuất của tôi Một người mà dù khó khăn

cũng luôn mỉm cười, chia sẻ, khích lệ và tạo điều kiện hết sức có thể cho tôi

được học hành đến nơi đến chốn trong suốt quãng đời của mình.

Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng do kiến thức của bản thân còn nhiều hạnchế nên luận án khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sựchỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn khi đọc luận

án này Tôi xin chân thành cảm ơn

NCS Nguyễn Thị Thanh Lan

Đạo hàm riêng cấp một của hàm u(X ; t) theo biến t.

Đạo hàm riêng cấp hai của hàm u(X ; t) theo biến t.

Tích Descartes của R và [0 ; T0 ]

Tích Descartes của R và [0 ; +< ¥>)

II f || ¥ = supx2 [ab] | f(x)|; với f là hàm bị chặn trên [a ; b]

IIf ||0 = max x6 [a,b] | f (x)|; với f: [a ; b] ! R là hàm liên tục.

c([—1; 1] ; [—1 ; 1]) Không gian các hàm liên tục f : [—1; 1] ! [—1 ; 1]

C([-1; 1] ; R)

l.s.c

Không gian các hàm liên tục f : [ — 1; 1] ! R

Không gian các hàm thực liên tục Lipschitz trên R

Nửa liên tục dưới.

max {T0 ; T1 g Giá trị lớn nhất trong hai giá trị T0 ; T1

Mục lục

Trang

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt 4

Mở đầu 7

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 20

1.1 Một số không gian hàm 20

1.2 Điểm bất động của ánh xạ phi tuyến 21

1.3 Phương trình vi phân tự tham chiếu 23

Chương 2 Phương trình vi phân cấp một tự tham chiếu 25

2.1 Hệ phương trình vi phân cấp một tự tham chiếu 25

2.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương 26

2.1.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục 32

2.2 Hệ phương trình vi phân cấp một tự tham chiếu có trọng 37

2.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương 38

2.2.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục 45

2.2.3 Các ví dụ minh họa 50

2.3 Bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân tự tham chiếu 54

2.3.1 Thiết lập sự tồn tại nghiệm bằng Định lý Schauder 55

2.3.2 Sử dụng dãy lặp để chứng minh sự tồn tại nghiệm 57

2.4 Kết luận 60

Chương 3 Phương trình vi phân cấp hai tự tham chiếu 61

3.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương 61

3.2 Ví dụ minh họa 72

3.3 Kết luận 74

Kết luận 75

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 76

Tài liệu tham khảo 77

Mở đầu

Lý thuyết phương trình vi-tích phân có ứng dụng rộng rãi trong nhiềungành khoa học như Vật lí, Cơ học, Sinh học, và đã được các nhà toán họcnghiên cứu bằng các công cụ thích hợp Tuy nhiên, trong thực tế ứng dụng,

có những loại phương trình vi-tích phân phi tuyến mà hàm phải tìm lại là biếncủa chính nó, được gọi là các phương trình vi-tích phân tự tham chiếu Luận

án tập trung khảo sát các lớp phương trình vi-tích phân như thế

Các phương trình vi-tích phân tự tham chiếu có cấu trúc đặc biệt, có độphi tuyến cao, nên sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm cũng như cácphương pháp tìm nghiệm gần đúng của chúng không suy ra được từ nhữngkết quả đã biết trong lý thuyết phương trình vi phân thường Một trong các

mô hình thú vị, thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học, là các phương trìnhvi-tích phân ứng dụng trong di truyền học thuộc dạng tự tham chiếu Mô hìnhnày được Miranda và Pascali [14] mô tả dưới dạng phương trình toán tử nhưsau: Cho X ; Y là các không gian hàm, và giả sử A : X ! Y ; B: X ! Y là các toán

tử Xét phương trình

trong đó u = u(x ; t) là hàm cần tìm thỏa mãn điều kiện đầu tại t = 0; (X; t) 2

R X [0 ; +<¥>) ; A và B là các toán tử từ không gian hàm X vào không gian hàm Y

Mối quan hệ giữa X và Y phụ thuộc vào việc A ; B là toán tử vi phân hay tíchphân Bu được xem như toán tử di truyền, được biểu diễn dưới dạng vi phânhoặc tích phân, chẳng hạn như

(Bu)(X ; t ) u u(X ; s)ds ;

và (0.1) được xem là một mô hình của di truyền học.

Mô hình (0.1) đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Công trình quantrọng đầu tiên về phương trình vi-tích phân tự tham chiếu được Volterra [26]công bố vào năm 1962

Khi A là toán tử vi phân và B là toán tử đồng nhất, sử dụng định lý điểm bấtđộng Banach, ở [7], tác giả đã nhận được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệmcủa phương trình

với x(t 0 ) = xo , trong đó (to ,xo ) là một cặp số thực cho trước bất kỳ

Tiếp theo đó, có rất nhiều kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này Cụ thể nhưsau

Trong [18], các tác giả đã nghiên cứu phương trình tổng quát hơn (0.2) códạng

trong đó a = 1 và b = 0 là các số phức, và x: C ! C là hàm biến phức cần tìm

Ở đây, các tác giả sử dụng phương pháp chuỗi hội tụ để chứng minh sự tồntại duy nhất nghiệm của bài toán (0.3)

Trong trường hợp a = 0 và b = 1, phương trình (0.3) trở thành phương trình

(0.2) và sự tồn tại nghiệm dưới dạng giải tích cũng được chứng minh bằngđịnh lí điểm bất động Banach

thể được xây dựng trong một lân cận nào đó của số phức (ệ^aỉ , trong đó b

(H2) | b I = 1 ; với b không là căn bậc hai của đơn vị và

là một nghiệm dưới dạng giải tích của (0.3) trong một lân cận nào đó của Ị^aa

như trong định lý dưới đây

Định lý 0.1 (xem [18]) Giả sử số phức b thỏa mãn giả thiết (H1) hoặc (H2) Khi đó, phương trình (0.3) có nghiệm dưới dạng giải tích x(z) được biểu diễn bởi (0.6) trong một lân cận nào đó của /'1 a) ; trong đó y(z) là một nghiệm giải tích của phương trình

(0.5) Hơn nữa, khi (H1) thỏa mãn, tồn tại hằng số dương M sao cho

trong một lân cận nào đó của (b~a

Sau đó, các tác giả đã thiết lập một nghiệm dưới dạng giải tích của (0.3)

bằng biểu thức (0.6)

Ngoài ra, trong [28], các tác giả đã nghiên cứu phương trình

Trong [23], bằng phương pháp tương tự như trong [24], Stanek tiếp tụcnghiên cứu về các tính chất toàn cục của nghiệm giảm đối với phương trình

Nhóm nghiên cứu Miranda, Pascali, Si, Wang, Cheng cũng có nhiều kếtquả nghiên cứu về vấn đề này (xem [11, 12, 18, 27, 28])

Trong [14], Miranda và Pascali đã chứng minh được sự tồn tại và tính duynhất nghiệm địa phương của các bài toán giá trị đầu sau đây:

Tu(x , t) — U0(x) + ị u(Ị u(x , s)ds , tì dt ,

trong đó u0 2 C(R, R) Trước hết, các tác giả đã xét các giả thiết sau:

Giả thiết 1 Cho u0 2 C(R, R) và giả sử rằng

(1) Tồn tại L 0 > 0 sao cho với mọi x1 , x2 2 R ,

|u0 (xi ) - UG (X2 ) | < L0X1 - X2 |.

Nếu u 2 X tồn tại hàm liên tục L u : (0, +<¥>) ! [0, +<¥>) sao cho

(2) Với mọix1 ,x2 2 R , |u(x1 ,t) — u(x 2 , t)| < L u (t)|x1 — x2 |,

thì với bất kỳ x1 , x2 2 R ta có

[Tu(x 1 , t) - Tu(x 2 , t)| < |x1 -x2|( L0 + ^í [ L u (s)ds] ).

2 0

Giả thiết 2 Giả sử u , V 2 X sao cho

(1) Tồn tại hàm liên tục L V: (0 , +<¥>) ! [0 , +<¥>) thỏa mãn điều kiện

với mọix1 ,x2 2 R , với mọi t > 0 , |v(x1 ,t) — v(x2 ,t)| < L V (t)|x1 — x2 | (0.13)

(2) Tồn tại hàm liên tục A uv : (0 , +<¥>) ! [0 , +<¥>) sao cho

với mọix 2 R , với mọi t > 0 , |u(x,t) — v(x , t)| < A u , v (t) (0.14)

Khi đó, với mỗi t > 0 ta có

| Tu(x , t) - Tv(x , t)|< ^A u , v (t)+ L v (t)A u , v (s)d^dt ,

và

(0.12)

với mọi x 2 R

Ở đây, các tác giả đã thu được sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương chocác bài toán (0.10)-(0.12) Các kết quả này lần lượt được thể hiện trong cácđịnh lý 0.2, 0.3, 0.4 dưới đây

Định lý 0.2 (xem [14]) Với bất kỳ u o 2 Lip(R ,R) \L¥ (R , R) , tồn tại a > 0 và duy nhất hàm u = u(x , t) xác định, liên tục và bị chặn trên R X [0 , a], Lipschitz theo biến thứ nhất, đều theo biến thứ hai (tất nhiên u Lipschitz theo biến thứ hai, đều theo biến thứ nhất), thỏa mãn

ỹ j u(x , t) = u^R 0 u(x , s)ds ,ộ ,

u(x , 0) = u o (x) , x 2 R , 0 < t < a ,

{

hoặc tương đương

u(x , t) = u 0 (x) + Ị uự u(x , s)ds , T^ dt , x 2 R , 0 < t < a

Định lý 0.3 (xem [14]) Với bất kỳ u 0 2 Lip(R ,R) \L¥ (R , R) , tồn tại a > 0 và duy nhất hàm u = u(x , t) xác định, liên tục và bị chặn trên R X [0 , a], Lipschitz theo biến thứ nhất (đều theo biến thứ hai, tất nhiên u Lipschitz theo biến thứ hai, đều theo biến thứ nhất), thỏa mãn

^u(x , t) = u^ 1 Jo«(x,s)ds , ộ ,

u(x , 0) = u 0 (x) , x 2 R , 0 < t < a ,

{

hoặc tương đương

u(x , t) = u0(x) + I u( - I u(x , s)ds , T)d t, x 2 R , 0 < t < a.

và liên tục Lipschitz theo biến thứ nhất (đều theo biến thứ hai, tất nhiên u Lipschitz

theo biến thứ hai, đều theo biến thứ nhất), sao cho

Ậ u(x t ) = u \ ct f x + d ( s) u (X s)a x a.s t 1

Ị t u ( x 1 } — Ui Jo 2 S ( s ) Jx- S ( s ) u (( ? s ) a ^> as t

u(x 0) — u o (x) x 2 R t 2 [0 a].

hay tương đương

với x 2 R , 0 < t < a

Với các giả thiết thích hợp đối với điều kiện đầu u 0 (x) các tác giả [11] đãchứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán (0.10) Kết quả được thểhiện trong hai định lý sau

Định lý 0.5 (xem [11]) Giả sử u 0 là hàm thực không âm, không giảm, bị chặn và nửa liên tục dưới trên R Khi đó, tồn tại hàm không âm u : R X R ! R bị chặn trên tập

R X [0 T] không giảm lần lượt theo từng biến, Lipschitz theo t trên tập [0 T]; nửa liên tục dưới theo x với mỗi t cố định và u là nghiệm của phương trình

u(x t) — Iiì 0 l, x'i - j' u^Ị u(x s)ds T^ at t > 0 x 2 R (0.15)

Định lý 0.6 (xem [11]) Giả sử u 0 là hàm thực không âm, không giảm, bị chặn và nửa liên tục dưới, xác định trên R Khi đó, tồn tại hàm không âm u : R X R ! R bị chặn trên tập R X [0 T] không giảm lần lượt theo từng biến, Lipschitz theo t trên tập [0 T].

đều theo x nửa liên tục dưới theo x với mỗi t cố định và u là nghiệm của phương trình

u(x 0) — u 0 (x) v(x 0) — V 0 (x)

(0.16)

(0.17)

với các điều kiện đầu u 0 (x) và v 0 (x) là các hàm cho trước thỏa mãn các điều

kiện thích hợp Kết quả được phát biểu trong định lý dưới đây

Định lý 0.7 (xem [15]) Giả sử u 0 , V0 : R ! R bị chặn và liên tục Lipschitz Khi đó, tồn tại T 0 > 0 và hai hàm thực liên tục Lipschitz và bị chặn u ¥ , v ¥ : R X [0 , T0 ] ! R

$ j U ¥ (x , t) = u¥v¥ { J Q U ¥ ( X , s)ds , t) , t ,

ỹ~ t v™(x, t) = v<

u ^ (x , 0) = U 0 (x) , v M (x , 0) = V 0 (x) , với mọi x 2 R và với mọi t 2 [0 , TQ ] Hơn nữa, các hàm u ¥ , v¥là duy nhất.

Với bài toán (0.17), bằng các giả thiết thích hợp, các tác giả [12] đã thuđược nghiệm toàn cục Trước hết, tác giả đã đặt các giả thiết cho u 0 , v 0 nhưsau:

(A1 ) u 0 , v 0 không âm

(A2 ) U 0 , v 0 không giảm

(A 3 ) u 0 , v 0 bị chặn

(A4 ) u 0 , v 0 nửa liên tục dưới

Khi đó, định lý về nghiệm toàn cục được phát biểu như sau

Định lý 0.8 (xem [12]) Giả sử (A1) — (A4 ) được thỏa mãn Khi đó, tồn tại hai hàm

u , v : R X [0 , +< ¥>) ! R sao cho

(B1 ) u , v không âm.

(B 2 ) u , v không giảm lần lượt theo từng biến.

(B 3 ) u , v bị chặn trên tập R X [0 , +< ¥>)

(B4 ) u , v nửa liên tục dưới theo biến x , với mọi t cố định thuộc [0 , +<¥> )

(B5 ) u , v liên tục Lipschitz theo t 2 [0 , +< ¥>) , đều theo x2 R ,

thỏa mãn bài toán

Sau đó, tác giả chứng minh u , V thỏa mãn hệ phương trình (0.17).

Định lý 0.9 (xem [12]) Giả sử (A1) — (A4 ) được thỏa mãn Khi đó, tồn tại hai hàm

u , V : R X [0 , +<¥>) ! R thỏa mãn (B 1 ) — (B 5 ) , sao cho

ỹ j u(x , t) = uỵ VỈ J' 0 ) U(x , s)ds , t), t ,

■ ' *

J-v(x , t) = V í u(R 0 v(x , s)ds , t) , t u(x , 0) = U o (x) , v(x , 0) = V o (x) , với mọi x 2 R , hầu hết t 2 [0 , +< ¥>)

Giả sử X là không gian của các hàm liên tục u : R2 ! R và y : R ! R

Trong [15], các tác giả đã chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm địaphương của bài toán

Kết quả cụ thể được trình bày trong Định lý 0.10 dưới đây

Định lý 0.10 (xem [15]) Giả sử các hàm y và U0 liên tục Lipschitz, tức là tồn tại

d u(x ; t ) = ui J Q U ( X , s)ds + y (u(X ; t )); tj ; x 2 R ; t 2 [0 ; TQ ] ;

u(x ; 0) = UQ (X).

Hơn nữa, nghiệm u có thể kéo dài với mọi t > T Q

Bên cạnh đó, các tác giả trong [15] cũng chứng minh được Định lý 0.11

về sự tồn tại nghiệm địa phương cho phương trình

Định lý 0.11 (xem [15]) Giả sử a 2 L¥ (R ; R) \Lip(R ;R) và b 2 L(R; R) là các hàm cho trước, và 8 : R2 ! ]0 ; + <¥> [ là hàm thực và bị chặn, liên tục Lipschitz theo x

đều theo t ; nghĩa là tồn tại Ld > 0 sao cho

|8(x;t) — 8(y;t) | < Ld|x — y|; x ; y 2 R ; với mọi t Khi đó tồn tại T Q > 0 và tồn tại duy nhất hàm u : R X [0 ; TQ ] ! R liên tục, bị chặn và Lipschitz theo x đều theo t (và Lipschitz theo t đều theo x ) sao cho

Jo J Q \Jx-8(xs) d s j

hay

d'' nì V n II ( r^ 8 ^) d.ư Y f\dx 3? u ( x ; t ) = u \ Jx-8(x,s) dĩ u ( x ; t ) d x ; t ;

, ịu^x; 0) = b (x).

Hơn nữa, nghiệm u có thể kéo dài với mọi t > T Q

Ngoài hệ phương trình vi phân cấp một đã được xét ở trên, trong [13],Miranda và Pascali cũng đã xét bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phâncấp hai thuộc dạng tự tham chiếu như sau

trong đó, a (x) và b (x) là các hàm bị chặn và liên tục Lipschitz, k 1 và k 2 là các

số thực cho trước Khi đó, các tác giả đã chứng minh được sự tồn tại duy nhấtnghiệm địa phương của bài toán Các kết quả này có thể mở rộng khi kị là cáchàm số thực theo hai biến x và t thỏa mãn các điều kiện cho trước

Giả sử a , b 2 L ¥ (R , R) \ Lip(R , R) là các hàm cho trước Xét trường hợp

|k1 | = \k 2 \ = 1 Ký hiệu L a ,L ỊỊ là các hằng số Lipschitz của a và b và giả sử

(và Lipschitz theo t , đều theo x và liên tục theo cả hai biến) với đạo hàm cấp hai theo

t liên tục sao cho

u(x , t) = a(x) + tb(x)+ [ [ ku ^—2u(x , s) + k 2 u(x , s) , s]dsdT ,

Ngoài ra, phương trình vi-tích phân có trễ phụ thuộc vào nghiệm, phươngtrình tích phân dạng tự chập (autoconvolution) cũng gần gũi với phương trìnhvi-tích phân tự tham chiếu.

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu các phương trình vi-tích phân

tự tham chiếu được tổng quát hóa từ các bài toán (0.10), (0.11), (0.16), (0.17),

(0.26) và (0.30) Những vấn đề được chúng tôi nghiên cứu bao gồm:

•Sự tồn tại nghiệm,

•Tính duy nhất nghiệm,

•Sự hội tụ của phương pháp lặp cho bài toán Cauchy cũng như bài toánbiên,

đối với phương trình vi-tích phân tự tham chiếu

Đối với phương trình vi phân phi tuyến, chúng ta có thể giải gần đúng bằngnhiều phương pháp khác nhau như phương pháp sai phân, phương pháp biếnphân, phương pháp trùng khớp, vv Nhưng phương trình vi phân tự thamchiếu có độ phi tuyến cao nên chúng ta không thể sử dụng những phương phápgiải số quen thuộc được Vì thế, chúng tôi đã kế thừa và phát triển phươngpháp nghiên cứu của Miranda, Pascali và các tác giả khác cho một lớp bàitoán tổng quát hơn Mặt khác, theo hiểu biết của chúng tôi, bài toán biên haiđiểm cho phương trình vi phân tự tham chiếu lần đầu tiên được khảo sát trongbản luận án này Trong quá trình nghiên cứu, chúng tôi đã sử dụng một sốcông cụ của giải tích hàm và lý thuyết phương trình vi phân như phương pháplặp, định lí điểm bất động, để chứng minh sự tồn tại nghiệm, cũng như đểxây dựng nghiệm gần đúng Nội dung luận án được chia làm ba chương:

• Chương 1 trình bày một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị

•Trong Chương 2, chúng tôi xét các phương trình vi phân cấp một tự thamchiếu cho bài toán Cauchy, đặc biệt là các phương trình có trọng, và bàitoán giá trị biên hai điểm Chúng tôi đã sử dụng các phương pháp lặpđiểm bất động để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương và

sự tồn tại nghiệm toàn cục Bên cạnh đó, chúng tôi cũng xây dựng một

số ví dụ minh họa

• Trong Chương 3, chúng tôi khảo sát phương trình vi phân cấp hai tự thamchiếu cho bài toán giá trị đầu, đồng thời đưa ra một số ví dụ cụ thể.

Chương 1

Một sô kiên thức chuân bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị, baogồm một số không gian hàm, các định lý điểm bất động Banach và Schauder

và định lý Picard-Lindelof tổng quát

1.1 Một sô không gian hàm

Cho W c Rn, n > 1 , là một tập mở, giới nội và liên thông Với mỗi vectơ

C m ( W ) = fv 2 C(W): 3 «V 2 C( W ); | « l < m g

Như đã biết, C m ( W ) là không gian Banach với chuẩn ||v||C m(W) = max |« |<m|| 3 « v||C(W)

Giá của hàm V trên W là supp(v) = f x 2 W : v(x) = 0g.

Hàm V: W ! R được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c.) tại điểm x 2 W nếu với

mọi dãy {x n} c W hội tụ đến x thì v(x) < liminfn! ¥v(x n )

Hàm số V xác định trên W được gọi là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng

số không âm c sao cho

|v(x) - v(y)| < c||x-y||, với mọi x,y 2 W ,

trong đó ||x - y|| là khoảng cách Euclid giữa hai điểm x,y 2 W . Giá trị c nhỏ

nhất trong hệ thức trên được gọi là hệ số Lipschitz của hàm số v :

L := sup {|v( ix) 2v(y) |: x ; y2 W ; x =y}.

||x - yH

Trong R hàm liên tục Lipschitz thì liên tục tuyệt đối và do đó khả vi hầu

khắp nơi

Các không gian hàm thường sử dụng trong luận án là:

• C([a , b] , [c,d])- không gian các hàm liên tục trên đoạn [a , b] nhận giá trị

trên đoạn [c, d].

• C([a , b] ,R)- không gian các hàm liên tục v : [a , b] ! R

•Lip(R , R)- không gian các hàm thực liên tục Lipschitz trên R

• L¥ (R , R)- không gian các hàm thực bị chặn cốt yếu trên R với chuẩn

||v||

¥ = esssu P x 2R| v(x) |

1.2 Điểm bất động của ánh xạ phi tuyến

Cho T là một ánh xạ đưa không gian metric (X , d) vào không gian metric

(Y , p) Ta nói T thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu:

Tồn tại c > 0 : với mọi x , y 2 X , p(T(x) , T(y)) < cd(x , y) (1.1)

Hệ số c > 0 nhỏ nhất trong (1.1) được gọi là hệ số Lipschitz của T Ánh xạ T

được gọi là co (hoặc không giãn) nếu hệ số Lipschitz của nó nhỏ hơn 1 (hoặctương ứng bằng 1)

Cho (X ; d) ; (Y ; p) là hai không gian metric Ánh xạ T : X ! Y được gọi là:

•liên tục tại x 0 2 X ; nếu với mọi e > 0 ; tồn tại 8 = 8(e ; x o ) : d(x , x o ) < 8 )

p(T(x) ; T(xo )) < e

• giới nội, nếu T đưa mọi tập giới nội C c X vào tập giới nội T (C) c Y

•compact, nếu T đưa mọi tập giới nội C c X vào tập compact tương đối

Nhắc lại, tập C trong không gian (tuyến tính) định chuẩn được gọi là tậplồi, nếu

với mọi x , y 2 C; với mọi l 2 [0 ; 1] : lx + (1 — l )y 2 C

Đinh lý Schauder Cho C là tập lồi, đóng khác rỗng trong không gian Banach

X Khi đó mọi ánh xạ liên tục, compact T : C ! C có ít nhất một điểm bấtđộng, tức là tồn tại x* 2 C sao cho T (x*) = x*.

Để thiết lập tính compact của toán tử T, ta cần chứng minh tính compacttương đối của tập T(C) , trong đó C là tập giới nội tùy ý Định lý sau đây chođiều kiện cần và đủ để một tập hợp trong không gian các hàm liên tục làcompact tương đối

Định lý Arzela-Ascoli Giả sử tập S c C(D) ; trong đó D c RK là tập đóng, giớinội khác rỗng, có các tính chất sau:

• S giới nội đều, tức là tồn tại c > 0 ; với mọi f 2 S; 11 f 1| ¥ < c

• S liên tục đồng bậc, tức là với mọi e > 0 ; tồn tại 8 = 8 (e) > 0 ; với mọi x , y 2

D : ||x-y|| < 8 ; với mọi f 2 S ) If (x) - f (y)| < e

Khi đó S là tập compact tương đối trong C(D)

Định lý Schauder được sử dụng để thiết lập sự tồn tại nghiệm của phươngtrình toán tử, song nó không giúp cho việc tìm xấp xỉ nghiệm Nguyên lýánh xạ co, còn gọi là Định lý điểm bất động Banach sau đây cho phép ta tìmnghiệm xấp xỉ của phương trình với độ chính xác tùy ý cho trước

Định lý điểm bất động Banach Cho C là tập đóng, khác rỗng trong không gian

metric đủ (X ; d) Giả sử T : C ! C là ánh xạ co với hệ số q 2 [0 ; 1) Khi đó,

• T có điểm bất động duy nhất trên C , ký hiệu là x*

• Mọi dãy lặp x n + 1 = T(x n ) , với x 0 2 C chọn tùy ý, đều hội tụ tới X* và có

ước lượng sau:

*\ q n d(x n , x ) < d(x i , x0 )

1 - q

d(x n , x*) < i_ q d(x n , x n-1)

Dựa vào Định lý điểm bất động Banach, người ta chứng minh được sự tồntại, duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thườngtrong không gian Banach X :

u'(t) = f (t , u(t)) \t - t o \ < a ,

u(t o ) = z ,

trong đó z 2 X và ánh xạ f: [to - a, t0 + a] X X ! X là liên tục

Đặt Q b := {(t,u) 2 R XX : \ t — t o \ < a; \\ u — z\\ < b}.

Định lý Pỉcard-Linđelõf tổng quát Giả sử ánh xạ f: Q b ! X liên tục và liên tục

Lipschitz đều theo biến thứ hai, tức là

\\f(t , u) - f(t , v)|| < L \\ u - v||, với mọi (t, u), (t, v) 2 Q b

Đặt M := max(t , u )2 Q b\\f (t , u) \\ và a 0 := min{a,b = M } Khi đó bài toán Cauchy

(1.2) có duy nhất nghiệm u * (t) khả vi liên tục trên đoạn [t 0 - a 0 , t 0 + a0 ] và phéplặp

u n+ 1(t)= z +/ f (s , u n (s)ds \ t - t 0 \ < a 0 ; u 0 (t)= z

Jt0

hội tụ, nghĩa là max \t _ í0 \\\ u n (t) -u*(t)\\ ! 0 khi n ! ¥ .

1.3 Phương trình vi phân tự tham chiếu

Cho X , Y là các không gian hàm, và giả sử A : X ! Y , B : X ! Y là các toán

tử Phương trình vi phân tự tham chiếu là phương trình có dạng

(Au)(x , t) = u( (Bu)(x , t), /),

(1.2)

(1.3)

trong đó u = u(x , t) là hàm cần tìm thỏa mãn điều kiện đầu tại t = 0, x 2 R ,

t 2

Mối quan hệ giữa X và Y phụ thuộc vào việc A , B là toán tử vi phân hay tích phân.

Phương trình (1.3) cho ta thấy sự biến động của u (hay còn gọi là sự tiếnhóa của u) theo thời gian Sự tiến hóa của u phụ thuộc vào lịch sử của chính

nó nên (1.3) được gọi là phương trình tự tham chiếu Mô hình (1.3) được xem

là một mô hình của di truyền học, trong đó Bu có thể là toán tử vi phân hoặctích phân và được xem như toán tử di truyền Trong trường hợp đặc biệt,

Nghiệm của phương trình tự tham chiếu (1.3) là hàm u = u(x , t), với x 2

R , t > 0 thỏa phương trình (1.3) trong không gian hàm thích hợp

Nghiệm địa phương của phương trình (1.3) là nghiệm xác định trên W , với

W c R X [0 , +< ¥>) trong không gian hàm thích hợp

Giả sử W c R X [0 , + ¥ là một tập cho trước Khi đó, nghiệm toàn cục của

(1.3) là nghiệm xác định trên W trong không gian hàm thích hợp

trong đó, a , b là các hệ số không âm; u 0 (x) , v 0 (x) là các hàm cho trước, và

(x , t) 2 R X R + Bài toán (2.1)-(2.2) được xem là tổng quát hơn các bài toán

(2.2)

(0.17) trong [15] và các bài toán tương ứng trong [7], [14], [16] và [18] Kếtquả này được trích từ bài báo N.M.Tuan, N.T.T.Lan (2010), "On Solutions of

a System of hereditary and self-referred partial-differential equations", Numer Algor. (SCIE), 55, pp 101-113 (bài số [3] trong "Danh mục công trình khoahọc của tác giả liên quan đến luận án") Bằng các giả thiết thích hợp, chúngtôi thu được sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương và sự tồn tại nghiệm toàncục của bài toán (2.1)-(2.2)

2.1.1 Sự tồn tại duy nhât nghiệm địa phương

Trước tiên, chúng tôi đưa bài toán (2.1)-(2.2) về hệ phương trình tích phân

Định lý 2.2 Giả sử u o (x) ; v o (x) là các hàm liên tục Lipschitz và bị chặn trên R Khi

đó, tồn tại một số dương T ? sao cho bài toán (2.1)-(2.2) có nghiệm liên tục Lipschitz

và bị chặn lần lượt theo từng biến x 2 R , t 2 [0 ; T? ] , ký hiệu là u ? (x , t) và v ? (x, t) Hơn nữa, các hàm u ? (x , t) , v ? (x , t) này là duy nhất trong lớp các hàm bị chặn và liên tục Lipschitz trên [0 , T? ] , trong đó T ?? < T ?

Chứng minh Trước hết, ta có hai bổ đề sau.

Bổ đề 2.3 Giả sử u o (x) , v o (x) là các hàm bị chặn và liên tục Lipschitz trên R Khi đó, với mọi n > 1 , tồn tại hai hàm liên tục trên R + , ký hiệu là L n (t) , M n (t) , sao cho các bất đẳng thức sau thỏa mãn với mọi x , y 2 R :

\ u n (x , t) - U n (y , t)\ < L n (t) |x - y\,

\ v n (x , t) - v n (y , t)| < M n (t) |x - y|.

Hơn nữa, tồn tại hằng số dương T 0 sao cho các dãy hàm { L n (t)}n> i, { M n (t)}n> i bị

chặn đều với mọi t 2 [0 , T o ] , nghĩa là, tồn tại hằng số K 0 > 0 sao cho

0 < L n (t),M n (t) < K 0 , với mọi t 2 [0 , T 0 ] , n > 1

Chứng minh Với n = 0, do u 0 (x) , v 0 (x) là liên tục Lipschitz nên tồn tại các

hằng số P 0 > 0 , Q 0 > 0 (là các hằng số Lipschitz của u 0 , v 0 ) sao cho