Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng và sóng rayleigh trong các bán không gian đàn hồi được phủ một lớp vật liệu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN VŨ THỊ NGỌC ÁNH PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN BIÊN HIỆU DỤNG VÀ SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI ĐƯỢC PHỦ MỘT LỚP VẬT LIỆU L

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN

VŨ THỊ NGỌC ÁNH

PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN BIÊN HIỆU DỤNG VÀ SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI ĐƯỢC PHỦ MỘT LỚP VẬT LIỆU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN

VŨ THỊ NGỌC ÁNH

PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN BIÊN HIỆU DỤNG VÀ SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI ĐƯỢC PHỦ MỘT LỚP VẬT LIỆU

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn

Mã số: 9440109.02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS TS Phạm Chí Vĩnh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu vàkết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kỳ công trình nào khác

Nghiên cứu sinh

Vũ Thị Ngọc Ánh

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của

GS TS Phạm Chí Vĩnh Thầy luôn tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức,kinh nghiệm cho tôi, để tôi có được thành quả này Tôi xin được bày tỏ lòngbiết ơn vô cùng sâu sắc đến Thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tựnhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học,các cán bộ Phòng sau đại học và đặc biệt là các thầy cô giáo Bộ môn Cơ học

đã tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận án Tôi cảm ơn các thành viêntrong nhóm xêmina do thầy Phạm Chí Vĩnh làm trưởng nhóm, đã chia sẻ kinhnghiệm, tạo một môi trường nghiên cứu khoa học tốt nhất cho bản thân tôi

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi đã luôn luôngiúp đỡ, động viên và ủng hộ tôi trong suốt quá trình làm luận án

Nghiên cứu sinh

Vũ Thị Ngọc Ánh

phương pháp điều kiện biên hiệu dụngphương trình tán sắc

Mục lục

1.1 Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng 4

1.1.1 Ý tưởng và mục tiêu của phương pháp 4

1.1.2 Sự phát triển của phương pháp trước luận án 5

1.1.3 Sự phát triển của phương pháp trong luận án 8

1.2 Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi được phủ một lớp vật liệu 11

1.2.1 Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ một lớp mỏng 11

1.2.2 Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ một lớp có độ dày tùy ý 14

1.3 Các vấn đề được nghiên cứu trong luận án 15

2 PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIÊN BIÊN HIỆU DỤNG 17 2.1 Các bước thực hiện của phương pháp điều kiện biên hiệu dụng 18

2.1.1 Trường hợp lớp mỏng 18

2.1.2 Trường hợp lớp vật liệu có độ dàyhữu hạn 22

2.2 Điều kiện biên tiền hiệu dụng 23

2.2.1 Lớp vật liệu mỏng thuần nhất 23

2.2.2 Lớp vật liệu mỏng không thuần nhất 30

2.2.3 Lớp vật liệu có độ dày hữu hạn 33

2.3 Điều kiện biên hiệu dụng 38

2.3.1 Lớp vật liệu mỏng thuần nhất với liên kết gắn chặt và liên kết trượt 38 2.3.2 Lớp vật liệu mỏng không thuần nhất với liên kết gắn chặt 45

2.3.3 Lớp vật liệu có độ dày hữu hạn với liên kết gắn chặt, liên

kết trượt và liên kết lò xo 45

2.4 Kết luận chương 2 47

3 SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI PHỦ LỚP MỎNG 49 3.1 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được phủ lớp mỏng trực hướng không nén được với liên kết gắn chặt 50

3.2 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén được với liên kết gắn chặt 54 3.3 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén được với liên kết trượt 58

3.4 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng nén được phủ lớp mỏng trực hướng không nén được với liên kết trượt 62

3.5 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được phủ lớp mỏng trực hướng nén được với liên kết trượt 64

3.6 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được phủ lớp mỏng trực hướng không nén được với liên kết trượt 67

3.7 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được phủ lớp mỏng đẳng hướng nén được, không thuần nhất 69

3.8 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được phủ lớp mỏng đẳng hướng nén được 71

3.8.1 Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết gắn chặt 72 3.8.2 Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết trượt 74

3.9 Ví dụ về ảnh hưởng của tính không nén được lên vận tốc sóng 77 3.10 Kết luận chương 3 79

4 SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI PHỦ MỘT LỚP VẬT LIỆU CÓ ĐỘ DÀY TÙY Ý 81 4.1 Sóng Rayleigh trong bán không gian trực hướng nén được phủ lớp trực hướng nén được 82

4.1.1 Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kếtlò xo 82

4.1.2 Liên kết giữa lớp và bán không gian là gắn chặt 85

4.1.3 Liên kết giữa lớp và bán không gian là trượt 86

4.1.4 Dạng thứ hai của phương trình tán sắc 86

4.1.5 Trường hợp đẳng hướng 88

4.2 Phương pháp giới hạn không nén được 90

4.3 Sóng Rayleigh trong bán không gian trực hướng không nén được phủ lớp trực hướng không nén được 93

4.3.1 Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kếtlò xo 94

4.3.2 Liên kết giữa lớp và bán không gian là gắn chặt 95

4.3.3 Liên kết giữa lớp và bán không gian là trượt 95

4.4 Sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được phủ lớp trực hướng nén được 96

4.4.1 Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết lò xo 96

4.4.2 Liên kết giữa lớp và bán không gian là gắn chặt 97

4.4.3 Liên kết giữa lớp và bán không gian là trượt 97

4.5 Sóng Rayleigh trong bán không gian trực hướng nén được phủ lớp trực hướng không nén được 97

4.5.1 Liên kết giữa lớp và bán không gian là liên kết lò xo 98

4.5.2 Liên kết giữa lớp và bán không gian là gắn chặt 99

4.5.3 Liên kết giữa lớp và bán không gian là trượt 99

4.6 Ví dụ số 99

4.7 Kết luận chương 4 102

Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 106

PHỤ LỤC

Danh sách hình vẽ

2.1 Mô hình bán không gian đàn hồi phủ lớp đàn hồi 173.1 Mô hình bán không gian đàn hồi phủ lớp đàn hồi 493.2 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)

của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG nén được phủ LM khôngnén được, liên kết gắn chặt 533.3 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG không nén được phủ LM

nén được, liên kết gắn chặt 573.4 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)

của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG nén được phủ LM nénđược, liên kết trượt 613.5 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG nén được phủ LM không

nén được, liên kết trượt 643.6 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG không nén được phủ LM

nén được, liên kết trượt 663.7 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)

của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG không nén được phủ LMkhông nén được, liên kết trượt 683.8 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG đẳng hướng, nén được phủ

LM không thuần nhất với ổ = 0.1, liên kết gắn chặt 723.9 Đường cong xấp xỉ (nét đứt) và đường cong chính xác (nét liền)của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG đẳng hướng, nén được phủ

LM không thuần nhất với ổ = —0.1, liên kết gắn chặt 73

3.10 Các đường cong xấp xỉ: Bovik (nét đứt có chấm), bậc bốn (nétđứt) và đường cong chính xác (nét liền) của vận tốc sóng Rayleightrong BKG đẳng hướng nén được phủ LM đẳng hướng nén được,

liên kết gắn chặt 753.11 Đường cong xấp xỉ bậc bốn (nét đứt) và đường cong chính xác

(nét liền) của vận tốc sóng Rayleigh trong BKG đẳng hướng nénđược phủ LM đẳng hướng nén được, liên kết trượt 763.12 Ảnh hưởng của tính không nén được của lớp lên vận tốc sóng

Rayleigh BKG là nén được 773.13 Ảnh hưởng của tính không nén được của lớp lên vận tốc sóng

Rayleigh BKG là không nén được 783.14 Ảnh hưởng của tính không nén được của BKG lên vận tốc sóng

Rayleigh Lớp là nén được 793.15 Ảnh hưởng của tính không nén được của BKG lên vận tốc sóng

Rayleigh Lớp là không nén được 794.1 Mô hình bán không gian trực hướng phủ lớp trực hướng có độ

dày h 814.2 Đường cong vận tốc của sáu mode đầu tiên của sóng Rayleightrong BKG trực hướng nén được phủ lớp trực hướng nén được độ

dày tùy ý, liên kết lò xo 1004.3 Đường cong vận tốc của bốn mode đầu tiên của sóng Rayleigh

với liên kết lò xo BKG và lớp là trực hướng nén được 1004.4 Đường cong vận tốc của bốn mode đầu tiên của sóng Rayleighvới liên kết gắn chặt (nét liền) và liên kết trượt (nét đứt) BKG

và lớp là trực hướng nén được 1014.5 Sự phụ thuộc của vận tốc sóng Rayleigh các mode 0, 1, 2 vào độmềm pháp cN (nét liền) và độ mềm tiếp c T (nét đứt), trường hợplớp trực hướng nén được có độ dày tùy ý trên BKG trực hướng

nén được 102

MỞ ĐẦU

Tính thời sự của đề tài luận án

Nhiều bài toán thực tế dẫn đến bài toán biên của lý thuyết đàn hồi trênmiền Q gồm một số miền con (thành phần) liên kết với nhau Để giải các bàitoán biên này, cần tìm nghiệm tổng quát trên từng miền con, sau đó cho chúngthỏa mân các điều kiện biên, điều kiện đầu và điều kiện liên kết Khi Q gồmnhiều miền con, số ẩn hàm cần tìm lớn Để giảm số ẩn cần tìm của bài toán, cầngiảm số thành phần của Q Để bảo toàn tương tác cơ học, ảnh hưởng của cácthành phần đưa ra khỏi kết cấu Q lên phần còn lại Q* sẽ được thay thế bằng cácđiều kiện trên biên của Q*, được gọi là các điều kiện biên hiệu dụng (ĐKBHD) Phương pháp này, do vậy, được gọi là phương pháp điều kiện biên hiệu dụng

(PPĐKBHD) Vì tác dụng làm giảm số ẩn của một bài toán biên, PPĐKBHD

có phạm vi ứng dụng lớn, rất cần được nghiên cứu và phát triển

Cấu trúc “một lớp (đàn hồi) dày phủ một lớp (đàn hồi) mỏng”, mô hình hóanhư bán không gian (BKG) đàn hồi phủ một lớp đàn hồi, đang được sử dụngrộng râi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ hiện đại Việc đánh giácác tính chất cơ học của cấu trúc trước và trong quá trình sử dụng, do vậy, làhết sức cần thiết và có ý nghĩa Trong nhiều phương pháp đánh giá, phươngpháp truyền sóng Rayleigh được sử dụng rộng râi bởi nó không phá hủy vậtliệu, thời gian kiểm tra ngắn, giá thành rẻ Khi sử dụng sóng Rayleigh để đánhgiá, phương trình tán sắc (PTTS) dạng hiện của nó là cơ sở toán học để thiếtlập bài toán ngược: xác định các đặc trưng cơ học của cấu trúc từ các giá trị đođược của vận tốc sóng Do vậy, nghiên cứu bài toán truyền sóng Rayleigh trong

các BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi, để tìm ra các PTTS dạng hiện của sóng,

là đòi hỏi cấp bách, có ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực đánh giá không pháhủy và khoa học vật liệu

Để tìm ra các PTTS dạng hiện của sóng Rayleigh truyền trong các BKGđàn hồi phủ một lớp đàn hồi, PPĐKBHD được sử dụng Toàn bộ ảnh hưởngcủa lớp lên BKG được thay thế bằng ĐKBHD tại mặt biên của BKG (tức làbiên phân chia giữa BKG và lớp) Sau đó, sóng Rayleigh trong BKG phủ lớp vật

liệu được xét như sóng Rayleigh truyền trong BKG không bị phủ, chịuĐKBHD.

Mục tiêu của luận án

Mục tiêu của luận án là phát triển PPĐKBHD và tìm ra các PTTS dạng hiệncủa sóng Rayleigh truyền trong các BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi

Đối tương nghiên cứu

Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ một lớp đàn hồi

Phạm vi nghiên cứu

Cấu trúc bán không gian đàn hồi đẳng hướng (trực hướng) nén được (khôngnén được) phủ một lớp đàn hồi đẳng hướng (trực hướng) nén được (không nénđược) với liên kết gắn chặt, liên kết trượt, liên kết lò xo

Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng “phương pháp điều kiện biên hiệu dụng”, “phương pháp matrận chuyển”, “phương pháp giới hạn không nén được” để tìm ra các phươngtrình tán sắc dạng hiện của sóng Rayleigh

Những đóng góp mới của luận án

1 Phát triển PPĐKBHD cho kết cấu BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi với liênkết trượt và liên kết lò xo

2 Phát triển phương pháp giới hạn không nén được

3 Áp dụng PPĐKBHD và phương pháp giới hạn không nén được để tìm ra cácPTTS dạng hiện xấp xỉ và chính xác của sóng Rayleigh truyền trong các bánkhông gian đàn hồi phủ một lớp vật liệu với liên kết gắn chặt, liên kết trượt,liên kết lò xo

Các kết quả chính của luận án đã đươc công bố trên 09 bài báo quốc

tế thuộc danh mục ISI (04 SCI-Q1; 02 SCI-Q2, 01 Q1, 02 Q2), 01 bài báo quốc gia uy tín (Vietnam Journal of Mechanics), 01 báo cáo Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII.

SCIE-Cấu trúc của luận án

Luận án gồm phần mở đầu, kết luận và bốn chương:

Chương 1: Tổng quan.

Chương này trình bày ý tưởng của PPĐKBHD và tổng quan sự phát triển của

nó, tổng quan tình hình nghiên cứu bài toán truyền sóng Rayleigh trongcác

BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi

Chương 2: Phương pháp điều kiện biên hiệu dụng.

Sau khi trình bày các bước thực hiện của PPĐKBHD, chương này thiết lập cácđiều kiện biên hiệu dụng cho lớp đàn hồi trực hướng (nén được và không nén

được) liên kết gắn chặt, trượt, lò xo với BKG đàn hồi Chú ý rằng, các ĐKBHD

thu được không chỉ để sử dụng nghiên cứu bài toán truyền sóng Rayleigh, mà

có thể sử dụng cho bài toán động bất kỳ đối với liên kết gắn chặt, cho bài toán truyền sóng phang tùy ý đối với liên kết trượt và liên kết lò xo.

Chương 3: Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng.

Sử dụng các ĐKBHD thu được ở chương 2 cho trường hợp lớp mỏng, chươngnày thiết lập các PTTS xấp xỉ (bậc cao) dạng hiện cho sóng Rayleigh truyềntrong các BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi mỏng (thuần nhất và không thuầnnhất)

Chương 4: Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ một lớp vật

liệu có độ dày tùy ý

Sử dụng các ĐKBHD thu được ở chương 2 cho trường hợp lớp có độ dày tùy

ý, kết hợp với phương pháp giới hạn không nén được, chương này thiết lập cácPTTS chính xác dạng hiện cho sóng Rayleigh truyền trong các BKG đàn hồiphủ một lớp đàn hồi có độ dày tùy ý

Chương 1

TỔNG QUAN

1.1 Phương pháp điều kiên biên hiệu dụng

1.1.1 Ý tưởng và mục tiêu của phương pháp

Trong không gian Euclide ba chiều Ox1x2x3, xét một vật thể đàn hồi tuyếntính Q gồm n (> 2) thành phần (đặc trưng bởi các hằng số đàn hồi khác nhau)

Qk (k = 1; 2; ; n) Liên kết giữa các thành phần Qk có thể là liên kết gắn chặt,liên kết trượt hay liên kết lò xo

Xét bài toán biên của lý thuyết đàn hồi tuyến tính trên miền Q: tìm cácthành phần chuyển dịch uk (x 1 ;X 2 ;X 3 ;t) (k = 1; 2; 3) thỏa mân các phương trình

chuyển động (bỏ qua lực khối):

c(k)Ur -= /, (k ’U: i = 1 2 3 k = 1 2 n (11)

và các điều kiện biên, điều kiện đầu và điều kiện liên kết Trong phương trình(1.1), cjp q, p(fc) tương ứng là các hằng số đàn hồi, mật độ khốilượng của vật thể

Qk, dấu “,” chỉ đạo hàm theo biến xk, dấu “.” chỉ đạo hàm theo biến thời gian t.

Để giải bài toán biên trên, ta phải tìm nghiệm (tổng quát) của hệ phươngtrình (1.1) trong từng miền con Qk (k = 1; 2, ,n), sau đó cho chúng thỏa mânđiều kiện biên, điều kiện đầu và điều kiện liên kết

Khi miền Q gồm nhiều miền con, số ẩn hàm cần tìm lớn, việc giải bài toán,

do vậy trở nên rất khó khăn Để giảm số ẩn cần tìm của bài toán, cần giảm sốthành phần của Q Để bảo toàn tương tác cơ học của kết cấu, ảnh hưởng củacác thành phần đưa ra khỏi kết cấu Q lên phần còn lại Q* phải được thay thế(một cách tương đương) bằng các điều kiện trên biên của Q* Các điều kiện nàyđược gọi là các “điều kiện biên hiệu dụng (ĐKBHD)”, như đâ nói ở phần mởđầu

Ta phải tìm các điều kiện biên hiệu dụng để giải bài toán biên trên miền Q*.Như sẽ thấy ở các chương sau, chúng là các hệ thức tuyến tính giữa các thànhphần chuyển dịch, các thành phần ứng suất và các đạo hàm riêng của chúng(theo xk và t).

Như vậy, ý tưởng của phương pháp điều kiện biên hiệu dụng là: Bỏ bớt một

số thành phần của kết cấu và thay thế một cách tương đương ảnh hưởng của chúng lên phần còn lại bằng các điều kiện biên hiệu dụng.

Ý nghĩa của phương pháp: Giảm số ẩn cần tỉm của các bài toán biên của lý

thuyết đàn hồi đối với các kết cấu nhiều thành phần.

Mục tiêu của phương pháp: Tỉm ra các điều kiện biên hiệu dụng.

1.1.2 Sự phát triển của phương pháp trước luận án

Người đầu tiên sử dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng là Tiersten

[73] (1969) Ong áp dụng cho kết cấu bán không gian phủ lớp mỏng, mô hình

toán học của một lớp dày phủ một lớp mỏng Kết cấu này đang được sử dụngrộng rãi trong công nghệ hiện đại Vật liệu của bán không gian và lớp đều là đànhồi đẳng hướng Liên kết giữa chúng là liên kết gắn chặt Tiersten bỏ lớp mỏng

và thay thế ảnh hưởng của nó lên bán không gian bằng các điều kiện biên hiệudụng xấp xỉ bậc nhất Để rút ra các điều kiện biên hiệu dụng, Tiersten thay thế(một cách gần đúng) lớp mỏng bằng một bản mỏng và sử dụng lý thuyết bảnbậc nhất, sau đó xấp xỉ chuyển dịch tại biên phân chia giữa lớp và bán khônggian bằng chuyển dịch tại mặt giữa của bản Các điều kiện biên hiệu dụng thuđược có thể sử dụng cho mọi bài toán động của lý thuyết đàn hồi Tiersten đã

sử dụng chúng để nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trong bán không gianđàn hồi đẳng hướng phủ lớp mỏng đàn hồi đẳng hướng Phương trình tán sắcdạng tường minh của sóng đã được tìm ra khá dễ dàng bằng cách khai triểnmột định thức cấp hai Trong khi đó, nếu sử dụng phương pháp truyền thống,phải khai triển một định thức cấp sáu Trước Tiersten, phương trình tán sắccủa sóng Rayleigh đối với cấu trúc này đã được tìm ra nhưng vẫn ở dạng địnhthức (cấp sáu), nên không thuận tiện khi sử dụng

Tuy nhiên:

(i) Cách tiệm cận của Tiersten phụ thuộc vào sự phát triển của lý thuyếtbản Đây là một lý thuyết xấp xỉ, bậc một hoặc bậc ba (thiết lập gần đây), xâydựng chủ yếu cho vật liệu đàn hồi đẳng hướng

(ii) Khi vật liệu của lớp là dị hướng, các phương trình của bản (nếu đã đượcthiết lập) trở nên phức tạp, quá trình rút ra các điều kiện biên hiệu dụng theo

(iii) cách tiệm cận của Tiersten do vậy gặp nhiều khó khăn.

(iv) Hơn nữa, với cách tiệm cận của Tiersten, không thể rút ra các điều kiệnbiên hiệu dụng bậc cao, vì khi đó giả thiết chuyển dịch tại biên phân chia giữalớp và bán không gian (xấp xỉ) bằng chuyển dịch tại mặt giữa của bản khôngcòn phù hợp

Với các lý do nêu trên, phương pháp điều kiện biên hiệu dụng không đạtđược sự phát triển nào trong một thời gian dài

Đến năm 1996, Bovik [8] đưa ra cách tiếp cận mới cho phương pháp điềukiện biên hiệu dụng Cũng như Tiersten, Bovik giả thiết lớp và bán không gian

là đàn hồi đẳng hướng, liên kết gắn chặt với nhau, và cũng đã tìm ra điều kiệnbiên hiệu dụng bậc một Để tìm ra điều kiện biên hiệu dụng, Bovik thực hiệncác bước sau:

(i) Khai triển Taylor các thành phần ứng suất tại mặt trên của lớp theo độdày của nó đến cấp một

Các khai triển này chứa các đạo hàm cấp một theo hướng pháp tuyến (vuônggóc với lớp), lấy tại biên phân chia, đối với các thành phần ứng suất của lớptrên các mặt phẳng song song với lớp Để sử dụng sự liên tục của chuyển dịch

và ứng suất tại biên phân chia giữa lớp và bán không gian (do liên kết gắn chặtgây ra), cần biểu diễn các đạo hàm theo hướng pháp tuyến nói trên qua các đạohàm theo hướng tiếp tuyến (song song với lớp) và đạo hàm theo thời gian, lấytại mặt dưới của lớp, của các thành phần chuyển dịch và các thành phần ứngsuất của lớp trên các mặt phẳng song song với lớp Chú ý rằng, từ sự liên tụccủa chuyển dịch và ứng suất qua biên phân chia suy ra sự liên tục của đạo hàmtheo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian, nhưng không suy ra sự liêntục của đạo hàm theo hướng pháp tuyến

(ii) Từ các liên hệ ứng suất-biến dạng (định luật Hooke) và các phương trìnhchuyển động, biểu diễn đạo hàm (cấp một) theo hướng pháp tuyến của các thànhphần ứng suất của lớp trên các mặt phẳng song song với lớp qua các đạo hàmtheo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian của các thành phần chuyểndịch và các thành phần ứng suất của lớp (trên các mặt phẳng song song với lớp).(iii) Sử dụng biểu diễn của đạo hàm theo hướng pháp tuyến (thu được ở bước(ii)) vào khai triển Taylor (thu được ở bước (i)) cùng với điều kiện tự do đối vớiứng suất (tại mặt trên của lớp) và điều kiện liên kết gắn chặt giữa lớp và bánkhông gian, điều kiện biên hiệu dụng được suy ra

Chú ý rằng, trong ba bước nêu trên, bước (ii) là quan trọng nhất

Chú ý 1.1: Tiersten [73] và Bovik [8] đều tìm ra các điều kiện biên hiệu

dụng bậc một cho lớp mỏng đàn hồi đẳng hướng gắn chặt với một bánkhông

gian đàn hồi đẳng hướng Tuy nhiên, chúng không trùng nhau So sánh

Bovik là bậc một thừa, bậc hai thiếu

Khác với Tiersten, Bovik xuất phát từ các phương trình cơ bản (các phươngtrình chuyển động và định luật Hooke) chính xác của lý thuyết đàn hồi tuyếntính đối với của lớp, do vậy không cần giả thiết: chuyển dịch tại biên phân chiagiữa lớp và bán không gian bằng chuyển dịch tại mặt giữa của bản Hơn nữa,với cách tiếp cận của Bovik, các điều kiện biên hiệu dụng bậc cao có thể đượctìm ra bằng cách khai triển Taylor các thành phần ứng suất tại mặt trên củalớp đến cấp cần thiết

Tuy nhiên, do Bovik sử dụng các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồidưới dạng thành phần, nên việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng bậc cao (đểtăng độ chính xác của mô hình xấp xỉ) là rất khó khăn, đặc biệt khi mở rộngcho vật liệu đàn hồi dị hướng Vì những vật liệu này đang được sử dụng rộngrãi trong công nghệ hiện đại, việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng bậc caocho chúng là hết sức có ý nghĩa, về cả lý thuyết lẫn ứng dụng thực tế

Để khắc phục hạn chế nêu trên của Bovik, Vĩnh và Linh [48] (2012) đã pháttriển phương pháp điều kiện biên hiệu dụng dựa trên phương trình ma trận của

lý thuyết đàn hồi tuyến tính và khai triển Taylor Cụ thể, để thu được điều kiệnbiên hiệu dụng Vĩnh và Linh [48] tiến hành các bước sau:

(i) Thiết lập phương trình ma trận của lý thuyết đàn hồi tuyến tính từ cácphương trình cơ bản dưới dạng thành phần của nó

Véctơ hàm cần tìm của phương trình này gồm hai véctơ hai thành phần:véctơ chuyển dịch và véctơ ứng suất trên các thiết diện (mặt phẳng) song songvới lớp, được gọi là véctơ trạng thái (bốn thành phần) Phương trình ma trận códạng một phương trình vi phân (theo hướng pháp tuyến), tuyến tính cấp mộtcủa véctơ trạng thái Ma trận (toán tử) của phương trình này phụ thuộc vàocác đạo hàm tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian (và các tham số vật liệu) Cóthể xem phương trình này như là biểu diễn của đạo hàm pháp tuyến của véctơ

trạng thái qua các đạo hàm tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian của nó.

Chú ý rằng, các phương trĩnh ma trận còn được sử dụng trong các bài toán

khác nhau của lý thuyết đàn hồi tuyến tính, nên việc tĩm ra chúng có ý nghĩa

quan trọng về phương diện lý thuyết

(ii) Khai triển Taylor véctơ ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dày của

nó đến cấp cần thiết

Các hệ số của khai triển này là các đạo hàm các cấp theo hướng pháp tuyếncủa véctơ ứng suất lấy tại mặt dưới của lớp

(iii) Sử dụng phương trình ma trận, biểu diễn các hệ số của khai triển Taylor

ở bước (ii) qua các đạo hàm theo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian(lấy tại mặt dưới của lớp)

(iv) Rút ra điều kiện biên hiệu dụng (cấp cần thiết) bằng cách thay các kếtquả thu được ở bước (iii) vào khai triển Taylor và sử dụng điều kiện tự do đốivới ứng suất tại mặt trên của lớp, điều kiện liên kết gắn chặt giữa lớp và bánkhông gian

Chú ý rằng, dưới dạng ma trận, điều kiện biên hiệu dụng là một hệ thức tuyến tính giữa véctơ chuyển dịch và véctơ ứng suất của bán không gian (không phải của lớp) tại biên của bán không gian (tức là biên phân chia) Hai ma trận hệ

số của hệ thức này phụ thuộc vào các đạo hàm theo hướng tiếp tuyến, đạo hàm theo thời gian, các tham số vật liệu của lớp và độ dày của lớp.

Sử dụng cách tiếp cận “khai triển Taylor-phương trình ma trận”, Vĩnh vàLinh [48], Vĩnh và cộng sự [50] đã thu được các điều kiện biên hiệu dụng bậc

ba cho cấu trúc bán không gian đàn hồi phủ lớp mỏng đàn hồi (BKG-LM-ĐH)trực hướng nén được và không nén được, với liên kết gắn chặt Các điều kiệnbiên hiệu dụng thu được có thể sử dụng cho bài toán động bất kỳ của lý thuyếtđàn hồi (tuyến tính)

Như vậy, trước luận án, PPDKBHD mới chỉ phát triển cho cấu trúc LM-DH đẳng hướng hoặc trực hướng, lớp và BKG cùng nén được hoặc cùng không nén được, và liên kết gắn chặt với nhau.

BKG-1.1.3 Sự phát triển của phương pháp trong luận án

Luận án tiếp tục quan tâm xét cấu trúc BKG đàn hồi trực hướng phủ một lớpđàn hồi trực hướng Tuy nhiên, luận án phát triển PPĐKBHD cho các trườnghợp sau:

(i) Liên kết giữa BKG và lớp là liên kết trượt hoặc liên kết lò xo

(ii) BKG là nén được (không nén được) phủ lớp vật liệu không nén được (nénđược), tức là BKG và lớp không cùng nén được (không nén được)

(iii) Lớp vật liệu có độ dày tùy ý (ngoài trường hợp lớp mỏng)

(iv) Lớp vật liệu (mỏng) không thuần nhất.

Khi mới sử dụng, liên kết giữa lớp và BKG là gắn chặt Sau một thời gian,

do ảnh hưởng của các yếu tố cơ học và vật lý khác nhau, liên kết dần yếu đi[27, 28], không còn thực sự gắn chặt, và cuối cùng trở thành liên kết trượt Do

vậy, việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng cho liên kết trượt, liên kết lò

xo là hết sức cần thiết và có ý nghĩa trong các ứng dụng thực tế.

Bài toán của lý thuyết đàn hồi với liên kết trượt đã được nhiều tác giả nghiêncứu, như Murty [36, 37] , Barnett và cộng sự [5], Ting [78], Vì các ĐKBHDcho liên kết trượt chưa được thiết lập nên các bài toán này đã được giải trựctiếp Vì chuyển dịch theo hướng tiếp tuyến không liên tục qua biên phân chianên việc tìm ra các ĐKBHD cho liên kết trượt khó hơn so với liên kết gắn chặt

Để vượt qua khó khăn này, cần khử chuyển dịch tiếp tuyến ra khỏi điều kiệnbiên tiền hiệu dụng

Liên kết không thực sự gắn chặt (imperfectly bonded contact) đang là đề tàinghiên cứu thời sự (xem [3, 17, 18, 26, 29, 30, 65, 81]), vì những ứng dụng của

nó trong nhiều lĩnh vực của khoa học và công nghệ Liên kết này được mô hìnhhóa như là liên kết lò xo (xem [4, 7, 21, 33, 63, 67, 82])

Đối với liên kết lò xo, chuyển dịch theo hướng tiếp tuyến cũng như theo hướngpháp tuyến đều không liên tục qua biên phân chia nên việc tìm ra các ĐKBHDkhó hơn so với liên kết gắn chặt và liên kết trượt Để thu được các ĐKBHD cầnkhử các thành phần chuyển dịch của lớp ra khỏi các điều kiện biên tiền hiệudụng

Mặt khác, cho đến nay chưa có một điều kiện biên hiệu dụng nào được thiết

lập cho loại vật liệu đàn hồi không nén được, một loại vật liệu đang được sử

dụng rộng rãi trong các ứng dụng thực tế Sự xuất hiện của áp lực thủy tĩnhtrong các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi không nén được có thể lànguyên nhân dẫn đến tình trạng này

Với các lý do nêu trên, luận án sẽ phát triển phương pháp điều kiện biên hiệu dụng theo cách tiệm cận “khai triển Taylor-phương trĩnh ma trận” cho vật liệu đàn hồi dị hướng với liên kết trượt và liên kết lò xo, cho cả vật liệu nén được và không nén được.

Để thu được các điều kiện biên hiệu dụng (bậc cao) cho liên kết trượt và liênkết lò xo, cần thực hiện các bước sau:

(i) Thiết lập phương trình ma trận của lý thuyết đàn hồi tuyến tính từ cácphương trình cơ bản dưới dạng thành phần của nó

Đối với vật liệu đàn hồi nén được, các phương trình ma trận được thiết lập

theo cách mà Vĩnh và Linh [48] đã sử dụng Tuy nhiên, đối với vật liệu

không nén được, tình hình trở nên khó khăn hơn, vì phải khử áp suất thủytĩnh

ra khỏi các phương trình cơ bản

(ii) Khai triển Taylor véctơ ứng suất tại mặt trên của lớp theo độ dày của

nó đến cấp cần thiết

(iii) Sử dụng phương trình ma trận, biểu diễn các hệ số của khai triển Taylor

ở bước (ii) qua các đạo hàm theo hướng tiếp tuyến và đạo hàm theo thời gian(lấy tại mặt dưới của lớp)

(iv) Rút ra điều kiện biên tiền hiệu dụng (cấp cần thiết) bằng cách thay

các kết quả thu được ở bước (iii) vào khai triển Taylor và sử dụng điều kiện tự

do đối với ứng suất tại mặt trên của lớp

Diều kiện biên tiền hiệu dụng là một hệ thức tuyến tính giữa véctơ chuyển dịch và véctơ ứng suất của lớp (không phải của bán không gian) tại biên phân chia Hai ma trận hệ số của hệ thức này phụ thuộc vào các đạo hàm theo hướng tiếp tuyến, đạo hàm theo thời gian, các tham số vật liệu của lớp và độ dày của lớp.

(v) Từ điều kiện biên tiền hiệu dụng và điều kiện liên kết (trượt, lò xo) suy

ra điều kiện biên hiệu dụng

Đối với liên kết gắn chặt, điều kiện biên hiệu dụng nhận được trực tiếp từđiều kiện biên tiền hiệu dụng vì véctơ trạng thái liên tục qua biên phân chia.Tuy nhiên, đối với liên kết trượt, liên kết lò xo, véctơ trạng thái không liên tụcqua biên phân chia nên việc rút ra các điều kiện biên hiệu dụng khó khăn hơn

Như sẽ thấy ở chương 2, để vượt qua khó khăn, phải hạn chế nghiên cứutrong lớp các bài toán sóng phẳng Điều này có nghĩa, các điều kiện biên hiệudụng thu được cho liên kết trượt và liên kết lò xo chỉ được sử dụng cho các bàitoán sóng phẳng

Trong nhiều bài toán thực tế, lớp vật liệu phủ bán không gian không phải làmỏng mà có độ dày tùy ý Việc tìm ra các điều kiện biên hiệu dụng chính xáccho các lớp vật liệu này có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Cho đến nay, chưa cómột điều kiện biên hiệu dụng chính xác nào được tìm ra

Luận án sẽ phát triển phương pháp điều kiện biên hiệu dụng để tỉm ra các điều kiện biên hiệu dụng chính xác cho lớp đàn hồi trực hướng, với cả ba liên kết: liên kết gắn chặt, liên kết trượt và liên kết lò xo.

Như sẽ thấy ở chương 2, ma trận chuyển dạng hiện của một lớp đàn hồi

trực hướng có độ dày tùy ý là cơ sở để phát triển phương pháp Vì khả năng

tìm được các ma trận chuyển dạng hiện của một lớp đàn hồi là rất hạn chế,

chỉ có thể đối với vật liệu đàn hồi trực hướng, vật liệu đàn hồi đẳng

trận” Với lý do đó mà luận án trình bày cả hai cách tiệm cận

Chi tiết của phương pháp điều kiện biên hiệu dụng cho liên kết trượt, liênkết lò xo đối với vật liệu nén được và không nén được sẽ được trình bày trong

chương 2 Hai nội dung chủ yếu của chương này là, rút ra các điều kiện biên tiền hiệu dụng, và sau đó là các điều kiện biên hiệu dụng.

Chú ý rằng, các điều kiện biên hiệu dụng thu được trong luận án có thể sửdụng cho nhiều bài toán khác nhau (liên kết gắn chặt: cho bài toán động tùyý; liên kết trượt và liên kết lò xo: cho bài toán sóng phẳng bất kỳ) Tuy vậy,trong phạm vi giới hạn của luận án, chúng được sử dụng để nghiên cứu bài toántruyền sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ một lớp đàn hồi

1.2 Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn

hồi được phủ một lớp vật liệu

1.2.1 Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ

một lớp mỏng

Cấu trúc một lớp vật liệu dày phủ một lớp vật liệu mỏng, mô hình hóa nhưmột bán không gian phủ lớp mỏng, đã và đang được sử dụng rộng rãi trong côngnghệ hiện đại (xem chẳng hạn Fu [20] (2007), Steigmann và Ogden [70] (2007),Qian và cộng sự [62] (2009) và các tài liệu tham khảo ở trong đó, Weiqiu Chen

và cộng sự [84] (2017) ) Việc đánh giá (đo) các tính chất cơ học của cấu trúcnày trước và trong quá trình sử dụng, do vậy là quan trọng và hết sức cần thiết[19, 32, 83] Trong số các phương pháp đo khác nhau, phương pháp sóng mặtđược sử dụng rộng rãi nhất [19, 83] vì nó không phá hủy cấu trúc, giá thành

rẻ, dễ thực hiện và tốn ít thời gian [24], trong đó sóng mặt Rayleigh là công cụthuận tiện nhất [24, 25] Trước hết, sóng Rayleigh được truyền vào cấu trúc cần

đo, sau đó vận tốc truyền của nó được xác định Một bài toán ngược được thiếtlập để đánh giá các tham số cơ học của cấu trúc từ các giá trị đo được của vận

tốc sóng Cơ sở toán học của bài toán này chính là phương trình tán sắc dạng

hiện của sóng Rayleigh.

Do vậy, nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trong các cấu trúc bán không gian phủ một lớp vật liệu mỏng, là cần thiết và hết sức có ý nghĩa trong ứng dụng

thực tế.

Mục tiêu đầu tiên và quan trọng nhất của các nghiên cứu về sóng Rayleigh

là tìm ra phương trình tán sắc dạng hiện của nó, phương trình xác định vậntốc sóng Rayleigh từ các tham số vật liệu và hình học của cấu trúc Thứ nhất,

vì vận tốc sóng Rayleigh có mặt trong các biểu thức của chuyển dịch và ứngsuất Muốn xác định chúng trước hết phải xác định được vận tốc sóng Rayleigh

Mà để xác định vận tốc sóng Rayleigh, phải tìm ra phương trình tán sắc dạnghiện Thứ hai, phương trình tán sắc dạng hiện là cơ sở toán học để giải bài toánngược, một bài toán quan trọng trong các ứng dụng thực tế, như đã nói ở trên

Đối với sóng Rayleigh truyền trong BKG đàn hồi không phủ, tự do đối vớiứng suất, đã có một số lượng lớn các PTTS dạng hiện [11, 12, 14, 16, 41],[44]-[47],[57, 58],[75]-[77] và các công thức vận tốc sóng [42, 43], [51]-[56] được tìm

ra Tuy nhiên, đối với sóng Rayleigh truyền trong BKG đàn hồi phủ một lớpvật liệu, như đã nêu ở chương tổng quan, mới chỉ có một số lượng hạn chế cácPTTS dạng hiện được tìm thấy Điều này cho thấy sự khó khăn phức tạp hơnnhiều trong việc tìm ra các PTTS dạng hiện của sóng Rayleigh truyền trongBKG đàn hồi phủ một lớp vật liệu

Với giả thiết lớp mỏng, tức là độ dày không thứ nguyên " = k.h (h là độdày của lớp, k là số sóng) của lớp nhỏ hơn nhiều so với một, phương trình tánsắc của sóng Rayleigh, truyền trong BKG đàn hồi phủ một lớp đàn hồi mỏng,thường được tìm dưới dạng xấp xỉ (bậc n) F = 0, trong đó F là một đa thức bậc

n đối với " với các hệ số là các hàm số của các tham số vật liệu của cấu trúc vàvận tốc sóng

Bromwich [9] (1899) là người đầu tiên nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleightrong bán không gian đàn hồi đẳng hướng phủ lớp mỏng đàn hồi đẳng hướng(BKG-LM-ĐHĐH) Lớp và bán không gian được giả thiết là nén được và liênkết gắn chặt với nhau Bromwich đã tìm ra PTTS xấp xỉ bậc một bằng biến đổitrực tiếp từ các điều kiện tự do đối với ứng suất và điều kiện liên tục

Achenbach và Keshava [2] (1967) thiết lập PTTS xấp xỉ bậc bốn của sóngRayleigh truyền trong BKG-LM-ĐHĐH nén được, liên kết gắn chặt, phươngtrình xấp xỉ bậc ba cho liên kết trượt Tuy nhiên, các phương trình này có độchính xác không cao Hơn nữa, chúng chứa một hệ số không có cơ sở để xác định(hệ số trượt, bắt nguồn từ lý thuyết bản Mindlin [34]), nên việc sử dụng cầntránh, như đã nhấn mạnh bởi Touratier [79], Muller và Touratier [35], Stephen[71] Achenbach và Keshava [2] thay thế lớp mỏng bằng bản mỏng và sử dụng

lý thuyết bản Mindlin [34] Tuy nhiên, các tác giả này không thiết lập các điều

kiện biên hiệu dụng để thay thế ảnh hưởng của lớp lên BKG.

Hai năm sau, Tiersten [73] (1969) tìm ra PTTS xấp xỉ bậc hai của sóngRayleigh truyền trong BKG-LM-ĐHĐH liên kết gắn chặt, bằng cách sử dụngPPĐKBHD Mặc dù là xấp xỉ bậc hai nhưng PTTS thu được bởi Tiersten có

độ chính xác cao hơn PTTS xấp xỉ bậc bốn thiết lập bởi Achenbach và Keshava[2]

Năm 1996, sau khi tìm ra ĐKBHD mới, xấp xỉ bậc một, cho cấu trúc LM-ĐHĐH liên kết gắn chặt bằng phương pháp khai triển Taylor, Bovik [8] sửdụng nó để thiết lập PTTS xấp xỉ bậc hai của sóng Rayleigh truyền trong cấutrúc này PTTS mà ông thu được không trùng với PTTS của Tiersten, và quamột số khảo sát số Bovik kết luận PTTS xấp xỉ của ông chính xác hơn, do vậyĐKBHD mà ông mới thiết lập chính xác hơn ĐKBHD xấp xỉ bậc một tìm rabởi Tiersten [73]

BKG-Chú ý 1.2: Để thu được PTTS xấp xỉ bậc n cần sử dụng điều kiện biên hiệu

dụng xấp xỉ bậc n Tuy nhiên, sử dụng điều kiện biên hiệu dụng xấp xỉ bậc một,Tiersten và Bovik thiết lập PTTS xấp xỉ bậc hai, Achenbach và Keshava thiếtlập PTTS xấp xỉ bậc ba (cho liên kết trượt), bậc bốn (cho liên kết gắn chặt),

Do vậy, các PTTS thu được không đầy đủ

Vật liệu đàn hồi dị hướng và đàn hồi phức hợp được sử dụng ngày càng rộngrãi trong các ứng dụng thực tế Việc mở rộng các kết quả thu được cho các vậtliệu này là yêu cầu cấp bách Steigmann và Ogden [70] (2007) tìm ra PTTS xấp

xỉ bậc hai của sóng Rayleigh truyền trong BKG-LM đẳng hướng ngang có ứngsuất dư, liên kết gắn chặt, Wang [80] (2006) tìm ra PTTS xấp xỉ bậc nhất choBKG đàn hồi đẳng hướng phủ lớp đàn điện, liên kết gắn chặt

Để tăng độ chính xác cho lời giải của các bài toán ngược, cần thiết lập cácPTTS xấp xỉ bậc cao Vĩnh và cộng sự tìm ra PTTS xấp xỉ bậc ba của sóngtruyền trong BKG-LM-ĐH trực hướng không nén được [50] (2014), Vĩnh vàLinh thiết lập các PTTS xấp xỉ bậc ba của sóng truyền trong BKG-LM-ĐHtrực hướng nén được [48] (2012) , BKG-LM-ĐH có biến dạng trước nén được[49] (2013) Trong các nghiên cứu trên, lớp và BKG được giả thiết liên kết gắnchặt với nhau

Để thu được các PTTS xấp xỉ, Steigmann và Ogden, Wang, Vĩnh và Linh,

BKG đàn hồi phủ LM đàn hồi, và đã có nhiều PTTS xấp xỉ được tìm ra.Tuy

nhiên, trong các nghiên cứu đã tiến hành, liên kết giữa lớp và BKG đượcgiả

thiết là liên kết gắn chặt Chỉ có duy nhất một nghiên cứu trong đó liên

Hơn nữa, trong các công trình đã thực hiện, vật liệu của BKG và LM đều giả

thiết là nén được Vật liệu đàn hồi không nén được đang được sử dụng rộng rãi

trong công nghệ hiện đại Do vậy, nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trong

BKG-LM trong đó hoặc BKG hoặc LM hoặc cả hai là vật liệu đàn hồi không nén được là hết sức có ý nghĩa Cần chú ý rằng, chưa có một nghiên cứu nào

được tiến hành, trong đó BKG là nén được (không nén được), LM là không nénđược (nén được)

Với những lý do nêu trên, luận án tập trung nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trong các BKG-LM đàn hồi (nén được hoặc không nén được) với liên kết trượt.

1.2.2 Sóng Rayleigh trong các bán không gian đàn hồi phủ

một lớp có độ dày tùy ý

Người đầu tiên nghiên cứu sự truyền của sóng Rayleigh trong BKG đàn hồiphủ một lớp đàn hồi có độ dày tùy ý là Love [31] (1911) Liên kết giữa BKG

và lớp là liên kết gắn chặt, vật liệu của cả lớp và BKG được giả thiết là đẳng

hướng và không nén được Vào thời kỳ này, nghiên cứu của Love nhằm phục vụ

các ứng dụng trong lĩnh vực động đất và địa chấn học Bằng cách biến đổi trựctiếp, Love tìm ra PTTS chính xác dạng hiện từ các điều kiện biên (tự do đốivới ứng suất tại mặt trên của lớp) và điều kiện liên tục (của chuyển dịch và ứngsuất tại biên phân chia giữa lớp và BKG)

Tuy nhiên, Love không thành công trong việc mở rộng kết quả thu được chotrường hợp nén được, tức là: cả lớp và BKG đều là đàn hồi đẳng hướng nénđược PTTS chính xác dạng hiện cho trường hợp này được tìm ra vào năm 1953bởi Haskell [22], và được trình bày dưới dạng ngắn gọn tường minh hơn bởiBen-Menahem và Singh [6] (2000) Để thu được PTTS, Haskell khai triển trựctiếp một định thức cấp sáu, bắt nguồn từ hai điều kiện tự do với ứng suất và

bốn điều kiện liên tục của chuyển dịch và ứng suất.

Việc tìm ra PTTS chính xác dạng hiện (dạng tường minh) của sóng Rayleigh

truyền trong BKG và lớp tạo thành từ các vật liệu phức tạp hơn, như vậtliệu

đàn hồi trực hướng, vật liệu đàn hồi có ứng suất trước, là một nhiệm vụkhó

khăn hơn nhiều, so với vật liệu đàn hồi đẳng hướng Đó là vì, đối với vậtliệu

đàn hồi đẳng hướng, dễ dàng xác định hai nghiệm đặc trưng của bán

sự [60] (2016) Để thu được các PTTS, các tác giả đều khai triển trực tiếp địnhthức cấp sáu bắt nguồn từ điều kiện biên và điều kiện liên tục Vì việc khai triểnđịnh thức cấp sáu là rất phức tạp, hơn nữa không được các tác giả trình bày,nên người đọc không thể theo dõi và kiểm tra Do vậy, một số lỗi in ấn trongPTTS thu được bởi Sotiropoulos [69] tồn tại trong nhiều năm mới được pháthiện (xem Vĩnh và cộng sự [60])

Từ các phân tích nêu trên, luận án đặt mục tiêu tìm ra các PTTS chính xác,hoàn toàn tường minh, của sóng Rayleigh truyền trong các BKG đàn hồi trựchướng phủ một lớp đàn hồi trực hướng với liên kết gắn chặt, liên kết trượt vàliên kết lò xo Vật liệu của BKG và lớp có thể là nén được và không nén được.Tức là, có bốn khả năng xảy ra: BKG và lớp đều là nén được, hoặc không nénđược (hai khả năng), BKG và lớp không cùng tính chất nén được hay không nénđược (hai khả năng)

1.3 Các vấn đề được nghiên cứu trong luận án

Từ các phân tích tổng quan, luận án lựa chọn các vấn đề sau để tiến hànhnghiên cứu:

(i) Phát triển PPĐKBHD theo cách tiệm cận “khai triển Taylor-phương trình

ma trận” cho lớp vật liệu mỏng, đàn hồi dị hướng, với liên kết trượt, liên kết lòxo

(ii) Phát triển PPĐKBHD dựa trên “ma trận chuyển” cho lớp đàn hồi trựchướng độ dày hữu hạn, với liên kết gắn chặt, liên kết trượt và liên kết lò xo