Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách suy rộng 624601

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---Trần Việt Anh PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TO

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-Trần Việt Anh

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-Trần Việt Anh

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số:

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

XÁC NHẬN NCS ĐÃ CHỈNH SỬA THEO QUYẾT NGHỊ

CỦA HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LUẬN ÁN

Luận án Tiến sĩ

Hà Nội - 2018

L˝I CAM OAN

Tæi xin cam oan nhœng k‚t qu£ ÷æc tr…nh b y trong lu“n ¡n n y l cæng tr…

nh nghi¶n cøu cıa ri¶ng tæi C¡c k‚t qu£ v sŁ li»u trong lu“n ¡n l trung thüc vch÷a tłng ÷æc cæng bŁ trong b§t ký cæng tr…nh cıa ai kh¡c C¡c k‚t qu£ vi‚tchung vîi c¡c t¡c gi£ kh¡c •u nh“n ÷æc sü nh§t tr‰ cıa c¡c çng t¡c gi£ khi ÷a v olu“n ¡n

H nºi, ng y th¡ng n«m 2018

Nghi¶n cøu sinh

Trƒn Vi»t Anh

2

L˝IC MÌN

Lu“n ¡n n y ÷æc ho n th nh t⁄i tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ⁄i håc QuŁcgia H Nºi d÷îi sü h÷îng d¤n cıa GS TSKH L¶ Dông M÷u v PGS.TS Nguy„nHœu i”n T¡c gi£ xin ÷æc b y tä lÆng bi‚t ìn sü h÷îng d¤n t“n t…nh cıa GS.TSKH L¶ Dông M÷u v PGS TS Nguy„n Hœu i”n trong qu¡ tr…nh håc t“p vnghi¶n cøu

T¡c gi£ tr¥n trång gßi líi c£m ìn ‚n Ban L¢nh ⁄o tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tünhi¶n - ⁄i håc QuŁc gia H Nºi, PhÆng Sau ⁄i håc, Khoa To¡n - Cì - Tin håc, c¡cthƒy cæ gi¡o trong Bº mæn To¡n gi£i t‰ch, Ban Gi¡m Łc Håc vi»n Cæng ngh»B÷u ch‰nh Vi„n thæng, c¡c thƒy cæ gi¡o v c¡c b⁄n çng nghi»p ð Khoa Cì b£n I -Håc vi»n Cæng ngh» B÷u ch‰nh Vi„n thæng ¢ luæn ºng vi¶n gióp ï t¡c gi£trong thíi gian l m nghi¶n cøu sinh

T¡c gi£ công xin gßi líi c£m ìn s¥u s›c tîi GS TSKH Ph⁄m Ký Anh v c¡c th nhvi¶n trong nhâm X¶mina li¶n cì quan Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n

- ⁄i håc QuŁc gia H Nºi, Tr÷íng ⁄i håc B¡ch khoa H Nºi, Tr÷íng ⁄i håc Th«ngLong, Vi»n To¡n håc, Vi»n nghi¶n cøu cao c§p v• To¡n ¢ âng gâp nhi•u þ ki‚n quþb¡u trong thíi gian t¡c gi£ tham dü X¶mina

CuŁi còng, t¡c gi£ xin c£m ìn sü ºng vi¶n v hØ træ cıa gia …nh v b⁄n b– trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p, nghi¶n cøu

3

MỤC LỤC

Trang

1.1 H m lçi v d÷îi vi ph¥n cıa h m lçi 20

1.2 To¡n tß chi‚u trong khæng gian Hilbert 22

1.3 B i to¡n i”m b§t ºng 23

1.4 B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n 24

1.5 B i to¡n c¥n b‹ng 31

Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p gi£i b§t flng thøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p nghi»m cıa b i to¡n i”m b§t ºng t¡ch 39 2.1 ành lþ hºi tö 40

2.2 Mºt sŁ h» qu£ 50

2.3 Thß nghi»m sŁ 53

Ch÷ìng 3 Ph÷ìng ph¡p gi£i b§t flng thøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p nghi»m cıa b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch v b i to¡n ch§p nh“n t¡ch a t“p hæp 57 3.1 B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n hai c§p 57

3.1.1 Thu“t to¡n v ành lþ hºi tö 58

3.1.2 Mºt sŁ h» qu£ 69

3.1.3 Thß nghi»m sŁ 70

3.2 B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch hai c§p 74

3.2.1 Thu“t to¡n v ành lþ hºi tö 75

4

3.2.2 Mºt sŁ h» qu£ 84

3.3 B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n vîi r ng buºc ch§p nh“n t¡ch a t“p hæp 86

3.3.1 Thu“t to¡n v ành lþ hºi tö 88

3.3.2 Mºt sŁ h» qu£ 97

3.3.3 Thß nghi»m sŁ 98

Ch÷ìng 4 Ph÷ìng ph¡p t…m nghi»m câ chu'n nhä nh§t cıa b i to¡n c¥n b‹ng t¡ch 104 4.1 Thu“t to¡n v ành lþ hºi tö 106

4.2 Mºt sŁ h» qu£ 115

4.3 Thß nghi»m sŁ 118

Danh möc cæng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n lu“n ¡n 126

5

6

7

B NGC CCHÚVI TT T

8

MỞ ĐẦU

Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài

Cho H l khæng gian Hilbert thüc vîi t‰ch væ h÷îng h ; i v chu'n t÷ìng øng k

k, C l mºt t“p lçi âng kh¡c rØng trong H, F l ¡nh x⁄ i tł mºt t“p trong H chøa C v o

H B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n (VIP - Variational Inequality Problem) V IP (C;

F ) ÷æc ph¡t bi”u nh÷ sau:

T…m x 2 C sao cho hF (x ); x x i 0 8x 2 C:

Philip Hartman v Guido Stampacchia cæng bŁ nhœng nghi¶n cøu ƒu ti¶n cıa m…nhv• b§t flng thøc bi‚n ph¥n li¶n quan tîi vi»c gi£i c¡c b i to¡n bi‚n ph¥n, b i to¡n

i•u khi”n tŁi ÷u v c¡c b i to¡n bi¶n trong lþ thuy‚t ph÷ìng tr…nh ⁄o h m ri¶ng

B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n trong khæng gian væ h⁄n chi•u v c¡c øng döngcıa nâ ÷æc giîi thi»u trong cuŁn s¡ch "An Introduction to Variational Inequalitiesand Their Applications" cıa David Kinderlehrer v Guido Stampacchia xu§t b£nn«m 1980 v trong cuŁn s¡ch "Variational and Quasivariational Inequalities:Applications to Free Boundary Problems" cıa Claudio Baiocchi v Antonio Capeloxu§t b£n n«m 1984

Hi»n nay, b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n ¢ ph¡t tri”n th nh nhi•u d⁄ng kh¡cnhau, v‰ dö nh÷ b§t flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch, b§t flng thøc bi‚n ph¥n vectì, b§tflng thøc bi‚n ph¥n 'n, B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n ¢ thu hót ÷æc r§t nhi•u süquan t¥m cıa c¡c nh to¡n håc v… c¡c mæ h…nh cıa nâ chøa nhi•u b i to¡n quantrång cıa mºt sŁ l¾nh vüc kh¡c nhau trong to¡n håc øng döng nh÷ tŁi ÷u hâa, b ito¡n bò, b i to¡n i”m b§t ºng Brouwer, lþ thuy‚t trÆ chìi, c¥n b‹ng m⁄ng l÷îi giaothæng,

Mºt trong c¡c h÷îng nghi¶n cøu quan trång cıa b i to¡n b§t flng thøc bi‚n

9

ph¥n l x¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i Mºt trong c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i â l düa

v o c¡ch ti‚p c“n i”m b§t ºng Þ t÷ðng ch‰nh cıa ph÷ìng ph¡p n y l chuy”n b ito¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n v• b i to¡n t…m i”m b§t ºng cıa mºt ¡nh x⁄ th‰ch hæp.C¡ch ti‚p c“n i”m b§t ºng khæng ch¿ ÷æc sß döng trong khæng gian hœu h⁄n chi•u

m cÆn ÷æc sß döng trong khæng gian Hilbert Ph÷ìng ph¡p i”m gƒn k• ÷æc • xu§tbði B Martinet cho b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n Þ t÷ðng ch‰nh cıa ph÷ìngph¡p i”m gƒn k• l x¥y düng c¡c b i to¡n hi»u ch¿nh b‹ng c¡ch cºng th¶m v o to¡n tßcıa b i to¡n gŁc mºt to¡n tß ìn i»u m⁄nh phö thuºc

v o tham sŁ sao cho b i to¡n hi»u ch¿nh câ nghi»m duy nh§t Tł â, vîi c¡c i•u ki»n phò hæp, d¢y l°p nh“n ÷æc b‹ng c¡ch gi£i b i to¡n hi»u ch¿nh, câ giîi h⁄n l mºt nghi»m n o â cıa b i to¡n gŁc khi cho tham sŁ dƒn tîi mºt giîi h⁄n th‰ch hæp Ph÷ìng ph¡p düa v o h m ¡nh gi¡ công l mºt ph÷ìng ph¡p quan trång trong vi»c gi£i

b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n Þ t÷ðng cıa ph÷ìng ph¡p l dòng h m ¡nh gi¡ ” ÷a b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n v• mºt b i to¡n tŁi ÷u Hai h m ¡nh gi¡ cì b£n ÷æc sß döng l h m ¡nh gi¡ Auslender v h m ¡nh gi¡ Fukushima Trong c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i

b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n th… ph÷ìng ph¡p chi‚u âng mºt vai trÆ quan trång v… sü ìn gi£n v thu“n læi trong qu¡ tr…nh t‰nh to¡n Ph÷ìng ph¡p chi‚u ìn gi£n nh§t cho b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n l ph÷ìng ph¡p ⁄o h m (Gradient Method), l mºt sü mð rºng tü nhi¶n cıa ph÷ìng ph¡p chi‚u ⁄o h m cho c¡c b i to¡n tŁi ÷u ÷æc • xu§t bði Alan A Goldstein (xem [28]), Evgeny S Levitin v Boris T Polyak (xem [37]), trong â ch¿ thüc hi»n mºt ph†p chi‚u duy nh§t l¶n t“p r ng buºc C trong mØi b÷îc l°p

10

töc Lipschitz tr¶n C , khi â c¡c d¢y x g v y g hºi tö y‚u ‚n nghi»m x cıa

V IP (C; F ) vîi i•u ki»n t“p nghi»m cıa V IP (C; F ) kh¡c rØng N«m 2011, YairCensor còng vîi c¡c çng nghi»p (xem [18]) ¢ • xu§t ph÷ìng ph¡p d÷îi ⁄o h m t«ngc÷íng, thay to¡n tß chi‚u lƒn thø hai tr¶n C b‹ng to¡n tß chi‚u tr¶n nßa

tr¶n C, L-li¶n töc Lipschitz tr¶n H Khi â c£ hai d¢y fxkg v fykg hºi tö y‚u ‚nnghi»m x cıa V IP (C; F )

Gƒn ¥y, Rapeepan Kraikaew v Satit Saejung (xem [36]) ¢ k‚t hæp ph÷ìngph¡p d÷îi ⁄o h m t«ng c÷íng v ph÷ìng ph¡p Halpern ” x¥y düng d¢y l°p fxkg

hºi tö m⁄nh ‚n nghi»m cıa V IP (C; F )

cho hºi tö m⁄nh ‚n PSol(C;F)(x0).

R§t gƒn ¥y, c¡c ph÷ìng ph¡p chi‚u ⁄o h m ph£n x⁄ (Projected ReflectedGradient Methods) ¢ ÷æc x¥y düng ” gi£i b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n ìn

11

i»u (xem [40]) i”m lþ thó cıa ph÷ìng ph¡p n y l b‹ng c¡ch dòng kÿ thu“t ph£n x⁄,

b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n ìn i»u công gi£i ÷æc vîi mºt ph†p chi‚u l¶n t“p r ngbuºc trong mØi b÷îc l°p Ngo i ra ” tr¡nh vi»c dòng ph†p chi‚u, nhi•u khi r§t tŁnk†m v• ph÷ìng di»n t‰nh to¡n, c¡c ph÷ìng ph¡p h m ph⁄t (xem [44]), ph÷ìng ph¡pi”m trong, công l nhœng ph÷ìng ph¡p cì b£n cho b§t flng thøc bi‚n ph¥n

Trong thüc t‚, b¶n c⁄nh nhœng mæ h…nh to¡n håc Æi häi ph£i t…m nghi»m chungcıa hai b i to¡n tr¶n còng mºt khæng gian, câ nhœng mæ h…nh, chflng h⁄n mæ h…nhIMRT (Intensity-Modulated Radiation Therapy) trong bøc x⁄ trà li»u (xem [15,17]) y¶ucƒu t…m nghi»m cıa mºt b i to¡n trong khæng gian n y sao cho £nh cıa nâ qua mºtto¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n l nghi»m cıa mºt b i to¡n trong khæng gian kh¡c B i to¡nch§p nh“n t¡ch (SFP - Split Feasibility Problem) ÷æc ph¡t bi”u nh÷ sau:

ki»n b i to¡n ch§p nh“n t¡ch câ nghi»m.

Thu“t to¡n CQ ” gi£i b i to¡n ch§p nh“n t¡ch Æi häi ph£i t…m ÷æc h…nh chi‚utr¶n c¡c t“p C v Q, tuy nhi¶n trong c¡c tr÷íng hæp c¡c t“p C, Q ÷æc cho d÷îi d⁄ng'n, v‰ dö nh÷ t“p i”m b§t ºng cıa mºt ¡nh x⁄, t“p nghi»m cıa mºt

b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n, t“p nghi»m cıa mºt b i to¡n c¥n b‹ng, th… takhæng th” t…m ÷æc h…nh chi‚u tr¶n chóng B i to¡n ch§p nh“n t¡ch trong tr÷ínghæp n y ÷æc gåi l b i to¡n ch§p nh“n t¡ch suy rºng Sau ¥y, chóng tæi tr…nh b ymºt sŁ d⁄ng cì b£n cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡ch suy rºng ÷æc nghi¶n cøu trong lu“n

¡n T§t c£ c¡c d⁄ng n y •u ÷æc gi£ thi‚t l câ nghi»m

1 B i to¡n i”m b§t ºng t¡ch

Cho C, Q lƒn l÷æt l c¡c t“p lçi âng kh¡c rØng trong c¡c khæng gian Hilbert thüc

H1 v H2, T : C !C, S : Q ! Q l c¡c ¡nh x⁄ khæng gi¢n B i to¡n i”m b§t ºng t¡ch ÷æcph¡t bi”u nh÷ sau:

T…m x 2 Fix(T ) sao cho Ax 2 Fix(S);

trong â Fix(T ), Fix(S) lƒn l÷æt l t“p i”m b§t ºng cıa T; S

2 B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch

Cho C, Q lƒn l÷æt l c¡c t“p lçi âng kh¡c rØng trong c¡c khæng gian Hilbert thüc

H1 v H2 Gi£ sß F1 : C ! H 1, F2 : Q ! H 2 ho°c F1 : H1 ! H 1, F2 : H2 ! H 2 l c¡c ¡nhx⁄ B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch ÷æc ph¡t bi”u nh÷ sau:

T…m x 2 Sol(C; F1) sao cho Ax 2 Sol(Q; F2);

trong â Sol(C; F1), Sol(Q; F2) lƒn l÷æt l t“p nghi»m cıa c¡c b i to¡n b§t flng thøcbi‚n ph¥n V IP (C; F1), V IP (Q; F2)

3 B i to¡n c¥n b‹ng t¡ch

Cho C v Q lƒn l÷æt l c¡c t“p lçi âng kh¡c rØng trong c¡c khæng gian Hilbert thüc

H1 v H2 Gi£ sß f : C C ! R, g : Q Q! R ho°c f : H1 H1 ! R[f+1g, g : H2 H2 ! R[ f+1g l hai song h m c¥n b‹ng B i to¡n c¥n b‹ng t¡ch ÷æc ph¡t bi”u nh÷ sau:

T…m x 2 Sol(C; f) sao cho Ax 2 Sol(Q; g);

trong â Sol(C; f), Sol(Q; g) lƒn l÷æt l t“p nghi»m cıa c¡c b i to¡n c¥n b‹ng EP (C;f), EP (Q; g)

13

4 B i to¡n ch§p nh“n t¡ch a t“p hæp

v Q1, Q2,: : :, QN l N t“p lçi âng kh¡c rØng trong khæng gian Hilbert thüc H2 B ito¡n ch§p nh“n t¡ch a t“p hæp ÷æc ph¡t bi”u nh÷ sau:

B i to¡n ch§p nh“n t¡ch suy rºng câ th” câ nhi•u nghi»m, do â mºt sŁ nh to¡n håc ÷a ra thu“t to¡n t…m nghi»m câ mºt t‰nh ch§t n o â cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡ch suy rºng N«m 2012, Lu-Chuan Ceng v c¡c çng nghi»p (xem [14]) ¢

• xu§t thu“t to¡n t…m nghi»m câ chu'n nhä nh§t cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡ch

÷æc x¡c ành bði (1) hºi tö m⁄nh ‚n nghi»m câ chu'n nhä nh§t cıa b i to¡n ch§pnh“n t¡ch, vîi i•u ki»n t“p nghi»m cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡ch l kh¡c rØng

B i to¡n t…m nghi»m câ chu'n nhä nh§t cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡ch ch‰nh l mºt b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n vîi t“p r ng buºc l t“p nghi»m cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡ch v ¡nh x⁄ gi¡ l ¡nh x⁄ çng nh§t

B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p nghi»m cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡chsuy rºng chøa üng nhi•u b i to¡n kh¡c l m tr÷íng hæp ri¶ng nh÷ b i to¡n b§t

flng thøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p i”m b§t ºng cıa mºt ¡nh x⁄, b i to¡n b§t flng thøc bi‚nph¥n hai c§p, b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p nghi»m cıa b i to¡n c¥n

b‹ng ¥y l c¡c b i to¡n ¢ v ang nh“n ÷æc sü quan t¥m nghi¶n cøu bði nhi•u nhto¡n håc ð trong v ngo i n÷îc C¡c nh to¡n håc trong n÷îc nh÷

14

Ph⁄m Ký Anh, Nguy„n B÷íng, Phan QuŁc Kh¡nh, L¶ Dông M÷u, Nguy„n Thà ThuThıy công thu ÷æc nhi•u k‚t qu£ v• thu“t to¡n gi£i c¡c b i to¡n tr¶n.

tß chi‚u tr¶n mºt t“p lçi âng kh¡c rØng trong khæng gian Hilbert thüc v c¡c t‰nh ch§t cıa nâ CuŁi ch÷ìng, chóng tæi • c“p tîi b i to¡n i”m b§t ºng, b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n, b i to¡n c¥n b‹ng v mŁi li¶n h» giœa c¡c b i to¡n tr¶n Ngo i ra, mºt sŁ bŒ • ÷æc sß döng trong chøng minh sü hºi tö cıa c¡c thu“t to¡n • xu§t công ÷æc giîi thi»u K‚t qu£ mîi ⁄t ÷æc trong Ch÷ìng

1 l x¥y düng ¡nh x⁄ tüa khæng gi¢n Tf : C ! C thäa m¢n nguy¶n lþ b¡n âng

v t“p i”m b§t ºng cıa Tf tròng vîi t“p nghi»m cıa b i to¡n c¥n b‹ng EP (C; f)vîi song h m c¥n b‹ng f l gi£ ìn i»u

Ch÷ìng 2 ÷a ra thu“t to¡n gi£i b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n ìn i»um⁄nh v li¶n töc Lipschitz vîi t“p r ng buºc l t“p nghi»m cıa b i to¡n i”m b§t ºng t¡ch cıa c¡c ¡nh x⁄ khæng gi¢n Kÿ thu“t ch‰nh ÷æc sß döng l sü k‚t hæp giœa

ph÷ìng ph¡p chi‚u ” gi£i b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n v kÿ thu“t l°p

Krasnoselskii-Mann ” t…m i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ khæng gi¢n Sß döng t‰nh ch§t t“p nghi»m cıa mºt b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n vîi ¡nh x⁄ gi¡ l ìn i»u m⁄nh ng÷æc tròng vîi t“p i”m b§t ºng cıa mºt ¡nh x⁄ khæng gi¢n, chóng tæi ÷a ra h» qu£ l thu“t to¡n gi£i b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n vîi t“p r ng buºc l t“p nghi»m cıa b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch vîi c¡c ¡nh x⁄ gi¡ l ìn i»u m⁄nh ng÷æc H» qu£ ti‚p theo l thu“t to¡n gi£i b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n vîi t“p r ng buºc l t“p nghi»m cıa b i to¡n c¥n b‹ng t¡ch vîi c¡c song

h m c¥n b‹ng l ìn i»u v thäa m¢n c¡c i•u ki»n ÷æc • xu§t bði Eugen Blum vWerner Oettli (xem [7]) Hai h» qu£ cuŁi còng trong ch÷ìng ch‰nh l tr÷íng hæp

15

°c bi»t cıa hai h» qu£ ð tr¶n trong tr÷íng hæp ¡nh x⁄ gi¡ F l ¡nh x⁄ çng nh§t, khi â

ta ÷æc thu“t to¡n t…m nghi»m câ chu'n nhä nh§t cıa b i to¡n b§t flng thøc bi‚nph¥n t¡ch v b i to¡n c¥n b‹ng t¡ch

Phƒn ƒu ti¶n cıa Ch÷ìng 3, chóng tæi sß döng ph÷ìng ph¡p d÷îi ⁄o h m t«ngc÷íng ÷æc • xu§t bði Yair Censor v c¡c çng nghi»p (xem [18]) ” gi£i b i to¡n b§tflng thøc bi‚n ph¥n ìn i»u m⁄nh v li¶n töc Lipschitz vîi t“p r ng buºc l

t“p nghi»m cıa b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n gi£ ìn i»u v li¶n töc Lipschitz.Trong phƒn ti‚p theo cıa ch÷ìng, chóng tæi ti‚p töc sß döng ph÷ìng ph¡p d÷îi ⁄o h

m t«ng c÷íng ” gi£i b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n ìn i»u m⁄nh v li¶n töc Lipschitz

V IP ( ; F ) vîi t“p r ng buºc l t“p nghi»m cıa b i to¡n b§t flng

thøc bi‚n ph¥n t¡ch vîi c¡c ¡nh x⁄ gi¡ F1; F2 l gi£ ìn i»u v li¶n töc Lipschitz

Tł â khi cho F l ¡nh x⁄ çng nh§t, ta thu ÷æc h» qu£ v• thu“t to¡n t…m nghi»m câchu'n nhä nh§t cıa b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch Khi cho F1 = F2 = 0 th…

b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch trð th nh b i to¡n ch§p nh“n t¡ch v

ta thu ÷æc h» qu£ l thu“t to¡n gi£i b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n V IP ( ; F )vîi t“p r ng buºc l t“p nghi»m cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡ch H» qu£ ti‚p theo

nh“n ÷æc khi cho F l ¡nh x⁄ çng nh§t v F1 = F2 = 0, ta ÷æc thu“t to¡n t…m

nghi»m câ chu'n nhä nh§t cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡ch B i to¡n b§t flng thøc bi‚nph¥n vîi t“p r ng buºc l t“p nghi»m cıa b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n

t¡ch l mºt b i to¡n mîi v hi»n nay ch÷a câ thu“t to¡n n o kh¡c ” gi£i theo sü

hi”u bi‚t cıa chóng tæi Phƒn cuŁi Ch÷ìng 3 l thu“t to¡n gi£i b i to¡n b§t flngthøc bi‚n ph¥n V IP ( ; F ) vîi t“p r ng buºc l t“p nghi»m cıa b i to¡n ch§pnh“n t¡ch a t“p hæp, tł â thu ÷æc h» qu£ l thu“t to¡n t…m nghi»m câ chu'n nhänh§t cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡cha t“p hæp C¡c k‚t qu£ âng gâp trong ch÷ìng â l

÷a ra thu“t to¡n mîi gi£i b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n ìn i»u m⁄nh

v li¶n töc Lipschitz vîi t“p r ng buºc l t“p nghi»m cıa b i to¡n b§t flng thøc gi£ ìni»u v li¶n töc Lipschitz, ÷a ra thu“t to¡n ƒu ti¶n ” gi£i b i to¡n b§t

flng thøc bi‚n ph¥n vîi t“p r ng buºc l t“p nghi»m cıa b i to¡n b§t flng thøc bi‚nph¥n t¡ch, v cuŁi còng l • xu§t thu“t to¡n mîi so vîi thu“t to¡n ÷æc ÷a ra bði GS.Nguy„n B÷íng (xem [8]) ” gi£i b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n vîi t“p r ng buºc l t“pnghi»m cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡ch a t“p hæp

Ch÷ìng 4 • c“p tîi thu“t to¡n t…m nghi»m câ chu'n nhä nh§t cıa b i to¡n c¥n

16

b‹ng t¡ch vîi c¡c song h m c¥n b‹ng f; g l gi£ ìn i»u v thäa m¢n i•u ki»n ki”uLipschitz Nh÷ ¢ nh“n x†t ð tr¶n th… b i to¡n t…m nghi»m câ chu'n nhä nh§t cıa

b i to¡n c¥n b‹ng t¡ch ch‰nh l mºt b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n vîi t“p r ng buºc

l t“p nghi»m cıa b i to¡n c¥n b‹ng t¡ch v ¡nh x⁄ gi¡ l ¡nh x⁄ çng nh§t Kÿ thu“t ch

‰nh ÷æc sß döng l ph÷ìng ph¡p ⁄o h m t«ng c÷íng ” gi£i b i to¡n c¥n b‹ng ÷æc •xu§t bði Trƒn …nh QuŁc v c¡c çng nghi»p (xem [46]) B‹ng c¡ch ¡p döng ph÷ìngph¡p ⁄o h m t«ng c÷íng ” gi£i hai b i to¡n c¥n b‹ng trong hai khæng gian kh¡cnhau v k‚t nŁi chóng vîi nhau b‹ng to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n A v to¡n tß li¶nhæp A cıa A, chóng tæi thu ÷æc thu“t to¡n t…m nghi»m câ chu'n nhä nh§t cıa b

i to¡n c¥n b‹ng t¡ch Khi c¡c song h m c¥n b‹ng câ d⁄ng

f(x; y) = hF (x); y xi v g(u; v) = hG(u); v ui th… ta thu ÷æc h» qu£ l thu“t to¡n t…

m nghi»m câ chu'n nhä nh§t cıa b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch CÆn khic¡c song h m f = 0 v g = 0 th… b i to¡n c¥n b‹ng t¡ch trð th nh b i to¡n ch§p nh“nt¡ch v ta thu ÷æc h» qu£ l thu“t to¡n t…m nghi»m câ chu'n nhä nh§t cıa b i to¡nch§p nh“n t¡ch K‚t qu£ mîi ⁄t ÷æc trong Ch÷ìng 4 l ÷a ra thu“t to¡n ƒu ti¶n ” gi£i

b i to¡n t…m nghi»m câ chu'n nhä nh§t cıa b i to¡n c¥n b‹ng t¡ch

C¡c thu“t to¡n hºi tö trong lu“n ¡n n y •u câ chung ti¶u chu'n dłng â l khikho£ng c¡ch giœa hai b÷îc l°p li¶n ti‚p nhä hìn sai sŁ " ” minh håa c¡c thu“t to¡n,chóng tæi th÷íng l§y c¡c v‰ dö câ th” t…m ÷æc nghi»m óng rçi so s¡nh c¡c k‚tqu£ ch⁄y sŁ vîi nghi»m óng C¡c v‰ dö ch⁄y sŁ ÷æc thüc hi»n vîi MATLABR2012a tr¶n m¡y t‰nh x¡ch tay c§u h…nh Intel(R) Core(TM) i3-3217U CPU @1.80GHz, 2 GB RAM

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trong lu“n ¡n n y chóng tæi nghi¶n cøu mºt sŁ thu“t to¡n gi£i b i to¡n b§t flngthøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p nghi»m cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡ch suy rºng sau ¥y:

B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n ìn i»u m⁄nh v li¶n töc Lipschitz tr¶n t“p nghi»m cıa b i to¡n i”m b§t ºng t¡ch cıa c¡c ¡nh x⁄ khæng gi¢n

B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n hai c§p m b i to¡n c§p tr¶n l ìn i»u

17

m⁄nh v li¶n töc Lipschitz cÆn b i to¡n c§p d÷îi l b§t flng thøc bi‚n ph¥n gi£

ìn i»u v li¶n töc Lipschitz

B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n hai c§p m b i to¡n c§p tr¶n l ìn i»u m⁄nh v li¶n töc Lipschitz cÆn b i to¡n c§p d÷îi l b§t flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch vîi c¡c

¡nh x⁄ gi¡ l gi£ ìn i»u v li¶n töc Lipschitz

B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n ìn i»u m⁄nh v li¶n töc Lipschitz tr¶n t“p nghi»m cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡ch a t“p hæp

B i to¡n t…m nghi»m câ chu'n nhä nh§t cıa b i to¡n c¥n b‹ng t¡ch vîi c¡c song h m c¥n b‹ng l gi£ ìn i»u v thäa m¢n i•u ki»n ki”u Lipschitz

Phương pháp nghiên cứu

Còng vîi c¡c ph÷ìng ph¡p cì b£n cıa gi£i t‰ch lçi, lþ thuy‚t tŁi ÷u, gi£i t‰ch

h m v gi£i t‰ch phi tuy‚n, chóng tæi cÆn sß döng c¡c ph÷ìng ph¡p sau:

” gi£i b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p nghi»m cıa b i to¡n b i to¡n i”m b§t ºng t¡ch, chóng tæi k‚t hæp ph÷ìng ph¡p chi‚u cho b§t flng thøc bi‚nph¥n v kÿ thu“t l°p Krasnoselskii-Mann ” t…m i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ khænggi¢n

” gi£i b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p nghi»m cıa b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n ho°c b§t flng thøc bi‚n ph¥n t¡ch, chóng tæi sß döng ph÷ìngph¡p d÷îi ⁄o h m t«ng c÷íng

” gi£i b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n tr¶n t“p nghi»m cıa b i to¡n ch§p nh“n t¡ch a t“p hæp, chóng tæi sß ph÷ìng ph¡p song song k‚t hæp vîi thu“t to¡n CQ cho b i to¡n ch§p nh“n t¡ch

” t…m nghi»m câ chu'n nhä nh§t cıa b i to¡n c¥n b‹ng t¡ch vîi c¡c song h

m c¥n b‹ng l gi£ ìn i»u v thäa m¢n i•u ki»n ki”u Lipschitz, chóng tæi sß döng ph÷ìng ph¡p ⁄o h m t«ng c÷íng cho hai b i to¡n c¥n b‹ng trong hai khæng gian kh¡c nhau v k‚t nŁi chóng vîi nhau b‹ng to¡n tß tuy‚n t‰nh bà ch°n v to¡n tß li¶n hæp cıa nâ

18

C¡c k‚t qu£ cıa lu“n ¡n ÷æc cæng bŁ trong 6 b i b¡o [1-6] tr¶n c¡c t⁄p ch‰ chuy¶n

ng nh quŁc t‚ thuºc h» thŁng ISI v SCOPUS, ¢ ÷æc n¶u trong danh möc cængtr…nh khoa håc v ÷æc b¡o c¡o t⁄i:

X¶mina cıa bº mæn gi£i t‰ch, bº mæn To¡n håc t‰nh to¡n v To¡n øng döng - Khoa To¡n Cì Tin håc - Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ⁄i håc QuŁc gia H Nºi X¶mina li¶n cì quan ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n, ⁄i håc B¡ch khoa H Nºi v Vi»n nghi»n cøu cao c§p v• To¡n

Hºi th£o TŁi ÷u v T‰nh to¡n khoa håc lƒn thø 14, Ba V…, 21-23/4/2016.Hºi th£o TŁi ÷u v T‰nh to¡n khoa håc lƒn thø 15, Ba V…, 20-22/4/2017

Hºi nghà khoa håc k ni»m 60 n«m th nh l“p Khoa To¡n - Cì - Tin håc, Tr÷íng H Khoa håc Tü nhi¶n, HQG HN

7th International Conference on High Performance Scientific Computing Mod-eling, Simulation and Optimization of Complex Processes, Hanoi, Vietnam, March 19-23, 2018

19

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong ch÷ìng n y, chóng ta nh›c l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m v k‚t qu£ ÷æc sß döngtrong c¡c ch÷ìng ti‚p theo cıa lu“n ¡n Phƒn ƒu ch÷ìng tr…nh b y v• h m lçi v d÷îi

vi ph¥n cıa h m lçi Möc ti‚p theo li¶n quan tîi to¡n tß chi‚u trong khæng gianHilbert v c¡c t‰nh ch§t cıa nâ Phƒn cuŁi ch÷ìng giîi thi»u v• b i to¡n i”m b§t ºng,

b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n, b i to¡n c¥n b‹ng v mºt sŁ bŒ • s‡ ÷æc sß döngtrong chøng minh c¡c k‚t qu£ trong lu“n ¡n Mºt sŁ kh¡i ni»m v k‚t qu£ trongch÷ìng n y câ th” ÷æc t…m th§y trong c¡c t i li»u [1,6,21,27,33,34]

v trong b i b¡o [6] trong Danh möc cæng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan

‚n lu“n ¡n

Cho H l khæng gian Hilbert thüc v f : H! R [ f 1g T“p

dom f := fx 2 H : f(x) < +1g

÷æc gåi l mi•n hœu hi»u cıa h m f

Ta nâi f l h m ch‰nh th÷íng n‚u dom f 6= ; v f(x) > vîi måi x 2 H

ành ngh¾a 1.1 f : H! R [ f+1g ÷æc gåi l h m lçi n‚u

f( x + (1 )y) f(x) + (1 )f(y)vîi måi x; y 2 dom f v måi 2 (0; 1)

ành ngh¾a 1.2 Cho f : H! R [ f+1g l h m lçi ch‰nh th÷íng Ta nâi p 2 H l d÷îi ⁄o h m cıa f t⁄i x0 2 H n‚u

hp; x x0i + f(x0) f(x) 8x 2 H:

20

T“p hæp t§t c£ c¡c d÷îi ⁄o h m cıa f t⁄i x0 ÷æc gåi l d÷îi vi ph¥n cıa f t⁄i x0 v ÷æc

kþ hi»u l @f(x0) Nh÷ v“y

@f(x0) = fp 2 H : hp; x x0i + f(x0) f(x) 8x 2 Hg:

H m f ÷æc gåi l kh£ d÷îi vi ph¥n t⁄i x0 n‚u @f(x0) 6= ;

V‰ dö 1.1 Gi£ sß a 2 H v h m f : H ! R cho bði f(x) =

@ C (x0) = NC (x0);

trong â

NC (x0) = fp 2 H : hp; x x0i 0 8x 2 Cg l nânph¡p tuy‚n ngo i cıa C t⁄i x0

Vîi > 0 v f : H ! R [ f+1g l h m lçi ch‰nh th÷íng, ta câ t‰nh ch§t

ành lþ 1.1 (Moreau-Rockafellar) Cho f1; f2 : H ! R [ f+1g l hai h m lçi ch‰nh th÷íng Khi â

@(f1 + f2)(x) @f1(x) + @f2(x) 8x 2 H:

Ngo i ra, n‚u mºt trong hai h m f1; f2 li¶n töc t⁄i mºt i”m thuºc mi•n hœu hi»u cıa h

m kia th…

@(f1 + f2)(x) = @f1(x) + @f2(x) 8x 2 H:

21

1.2 Toán tử chiếu trong không gian Hilbert

Cho C l t“p lçi âng kh¡c rØng trong khæng gian Hilbert thüc H, ta x†t h…nh

chi‚u cıa mºt phƒn tß x 2 H tr¶n C

ành lþ 1.2 Cho C l t“p lçi âng kh¡c rØng trong khæng gian Hilbert thüc H Khi

â vîi måi x 2 H, tçn t⁄i duy nh§t y 2 C sao cho

xmin

2

Khi â i”m y 2 C ÷æc gåi l h…nh chi‚u cıa x tr¶n C v ÷æc kþ hi»u l PC (x)

ành ngh¾a 1.3 Cho C l t“p lçi âng kh¡c rØng trong khæng gian Hilbert thüc

÷æc gåi l to¡n tß chi‚u tr¶n C

V‰ dö 1.3 Gi£ sß a; b 2 Rn, a 6= 0 X†t nßa khæng gian C Rn v m°t phflng K

ak Rg:

n‚u kx ak R;n‚u kx ak > R:

Ti‚p theo ta câ mºt sŁ t‰nh ch§t cıa to¡n tß chi‚u l¶n t“p lçi âng kh¡c rØng Ctrong khæng gian Hilbert thüc H C¡c t‰nh ch§t n y s‡ ÷æc sß döng ” chøngminh c¡c k‚t qu£ ð ch÷ìng sau cıa lu“n ¡n.

Gi£ sß H l khæng gian Hilbert thüc, ta kþ hi»u d¢y fxkg hºi tö m⁄nh v hºi tö y‚u tîi x khi k ! 1 lƒn l÷æt l xk ! x v xk * x

ành ngh¾a 1.4 Cho C l mºt t“p kh¡c rØng cıa H v T : C ! C l mºt ¡nh x⁄ i”m x 2

C ÷æc gåi l i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ T n‚u T (x) = x

Ta kþ hi»u Fix(T ) l t“p i”m b§t ºng cıa T , tøc l

c) thäa m¢n nguy¶n lþ b¡n âng n‚u vîi måi d¢y fxkg C hºi tö y‚u ‚n x v kT (xk)

xkk! 0 th… x 2 Fix(T )

K‚t qu£ sau li¶n quan tîi t‰nh lçi âng cıa t“p i”m b§t ºng Fix(T ) cıa ¡nh x⁄

khæng gi¢n

BŒ • 1.2 (xem [27, BŒ • 3.4]) Gi£ sß C l t“p lçi âng v kh¡c rØng trong khæng

gian Hilbert thüc H v T : C ! C l ¡nh x⁄ khæng gi¢n N‚u T câ i”m b§t ºng th…

Fix(T ) l t“p lçi âng

Cho C l mºt t“p lçi âng kh¡c rØng trong khæng gian Hilbert thüc H, F l ¡nh x⁄ i

tł v o H, trong â l mºt t“p trong H chøa C B i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n V IP (C;

X†t H = Rn, C = = Rn v ¡nh x⁄ F : Rn ! Rn Khi â x 2 Rn l nghi»m cıa b i to¡n b§t

flng thøc bi‚n ph¥n V IP (Rn; F ) khi v ch¿ khi x l nghi»m cıa h» ph÷ìng tr…nh F

(x ) = 0

Th“t v“y, n‚u F (x ) = 0 th… b§t flng thøc ð (1.1) x£y ra d§u b‹ng Do â ta câ

24

x 2 Sol(Rn; F ).

Ng÷æc l⁄i, n‚u x 2 Sol(Rn; F ) th…

hF (x ); x x i 0 8x 2 Rn:Chån x = x F (x ), ta ÷æc

hF (x ); F (x )i 0 hay k F (x )k2 0:

Do â F (x ) = 0

B i to¡n i”m b§t ºng:

Cho C l mºt t“p kh¡c rØng trong H v T : C ! C l mºt ¡nh x⁄ B i to¡n i”m b§t ºng â l

b i to¡n t…m x 2 C sao cho T (x ) = x X†t ¡nh x⁄ F : C ! H cho bði

F (x) = x T (x) 8x 2 C:

Khi â V IP (C; F ) tròng vîi b i to¡n t…m i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ T

Th“t v“y, n‚u T (x ) = x th… F (x ) = 0 v b§t flng thøc ð (1.1) x£y ra d§u b‹ng

B i to¡n t…m nghi»m câ chu'n nhä nh§t:

Cho C l mºt t“p lçi kh¡c rØng trong H B i to¡n t…m nghi»m câ chu'n nhä nh§t l b

i to¡n t…m x 2 C sao cho

kx k kxk 8x 2 C:

X†t ¡nh x⁄ F : ! H cho bði

F (x) = x 8x 2 :

25

Khi â V IP (C; F ) tròng vîi b i to¡n t…m nghi»m câ chu'n nhä nh§t

Th“t v“y, n‚u x 2 Sol(C; F ) th…

hx ; x x i 0 hay hx ; xi kx k2 8x 2 C:

Theo b§t flng thøc Cauchy-Schwarz, ta câ

kxk kx k 8x 2 C:

Do â x 2 C l nghi»m câ chu'n nhä nh§t

Ng÷æc l⁄i, n‚u x 2 C l nghi»m câ chu'n nhä nh§t V… C l t“p lçi n¶n

BŒ • 1.3 Cho x 2 C v > 0 Khi â x 2 Sol(C; F ) () x 2 Fix(T )

Chøng minh Theo BŒ• 1.1, ta câ

x 2 Fix(T )()x = T (x )()x = PC (x F (x ))

()h F (x ); z x i 0 8z 2 C()hF (x ); z x i 0 8z 2 C

()x 2 Sol(C; F ):

26

ành ngh¾a 1.6 (xem [21,34]) Cho C l mºt t“p lçi âng kh¡c rØng trong khænggian Hilbert thüc H v l mºt t“p trong H chøa C nh x⁄ F : ! H ÷æc gåi l

a) ìn i»u m⁄nh tr¶n C vîi h» sŁ > 0 (gåi t›t l - ìn i»u m⁄nh tr¶n C) n‚u

ành lþ 1.3 N‚u F : ! H l - ìn i»u m⁄nh tr¶n C v L-li¶n töc Lipschitztr¶n C th… V IP (C; F ) câ nghi»m duy nh§t

Sß döng t‰nh- ìn i»u m⁄nh tr¶n C v L-li¶n töc Lipschitz tr¶n C cıa F , ta câ

F (x)) vîi måi x 2 C l ¡nh x⁄ co vîi h» sŁ co = 1 (2L2) 2 [0; 1),

m⁄nh ng÷æc tr¶n C v 2 (0; 2 ] th… T s‡ l ¡nh x⁄ khæng gi¢n

BŒ • 1.4 Cho ¡nh x⁄ F : ! H l - ìn i»u m⁄nh ng÷æc tr¶n C v 2 (0; 2 ].X†t ¡nh x⁄ T : C ! C cho bði

T (x) = PC (x F (x)) 8x 2 C:

Khi â ¡nh x⁄ T l khæng gi¢n v Fix(T ) = Sol(C; F )

Chøng minh Tł t‰nh - ìn i»u m⁄nh ng÷æc tr¶n C cıa F v 2 (0; 2 ], ta câ, vîi måix; y 2 C

Do â

kT (x) T (y)k kx yk 8x; y 2 C:

V“y T l ¡nh x⁄ khæng gi¢n Tł BŒ • 1.3, ta suy ra Fix(T ) = Sol(C; F )

T‰nh ch§t lçi âng cıa t“p nghi»m b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n ¢ ÷æcchøng minh trong mºt sŁ t i li»u (xem [34, M»nh • 1.1.2]) cho tr÷íng hæp khænggian hœu h⁄n chi•u — ¥y, chóng tæi chøng minh trong tr÷íng hæp khæng gianHilbert b§t ký

BŒ • 1.5 Gi£ sß C l mºt t“p lçi âng kh¡c rØng trong khæng gian Hilbert thüc

H v l mºt t“p trong H chøa C Cho ¡nh x⁄ F : ! H gi£ ìn i»u tr¶n C

v mºt trong hai i•u ki»n sau thäa m¢n:

(i) lim suphF (xk); yi hF ( x); yi vîi måi y 2 H v måi d¢y fxkg C hºi tö

k!1

y‚u ‚n x

(ii) F li¶n töc Lipschitz tr¶n C vîi h» sŁ L > 0

Gi£ sß t“p nghi»m Sol(C; F ) cıa b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n V IP (C; F ) kh¡crØng, khi â Sol(C; F ) l t“p lçi âng

1

kxk x k = kky x kn¶n xk ! x khi k ! 1

Tł x 2 Sd(C; F ), ta suy ra hF (y); y x i 0 vîi måi y 2 C °c bi»t khi y = xk,

ta câ

hF (xk); xk x i 0

29

Tr÷íng hæp 2 F thäa m¢n i•u ki»n (ii).

L§y x 2 Sd(C; F ) b§t ký, ta chøng minh x 2 Sol(C; F ) X†t x 2 C tòy þ v °t xt :=(1 t)x + tx vîi t 2 [0; 1] V… x 2 Sd(C; F ) n¶n hF (y); y x i 0 vîi måi y 2 C Do â,v… xt 2 C vîi måi t 2 [0; 1] n¶n

1.5 Bài toán cân bằng

Cho C l mºt t“p lçi âng kh¡c rØng trong khæng gian Hilbert thüc H, f : C C ! R[ f+1g l mºt song h m sao cho f(x; x) = 0 vîi måi x 2 C B i to¡n c¥n b‹ng (EP -Equilibrium Problem) cho song h m f tr¶n C l b i to¡n

T…m x 2 C sao cho f(x ; y) 0 vîi måi y 2 C:

Ta kþ hi»u b i to¡n c¥n b‹ng (1.3) v t“p nghi»m cıa nâ lƒn l÷æt bði EP (C; f),Sol(C; f)

Ta nh›c l⁄i c¡c ành ngh¾a sau

ành ngh¾a 1.7 Cho C l mºt t“p lçi âng kh¡c rØng trong khæng gian Hilbertthüc H Song h m f : C C ! R [ f+1g ÷æc gåi l :

(i) ìn i»u tr¶n C n‚u f(x; y) + f(y; x) 0 vîi måi x; y 2 C;

(ii) gi£ ìn i»u tr¶n C n‚u tł f(x; y) 0, ta suy ra f(y; x) 0 vîi måi x; y 2 C;(iii) thäa m¢n i•u ki»n ki”u Lipschitz tr¶n C vîi h‹ng sŁ c1 > 0 v c2 > 0 n‚u

f(x; y) + f(y; z) f(x; z) c1kx yk2 c2ky zk2 8x; y; z 2 C;

(iv) li¶n töc y‚u çng thíi tr¶n C C n‚u vîi hai d¢y fxkg; fykg C hºi tö y‚u lƒn l÷æt

‚n x; y 2 C th… f(xk; yk)! f(x; y) khi k ! 1

Trong tr÷íng hæp song h m f câ d⁄ng f(x; y) = hF (x); y xi vîi F : C ! H l mºt

¡nh x⁄ th… EP (C; f) trð th nh V IP (C; F ) v c¡c kh¡i ni»m v• ìn i»u v gi£ ìn i»utr¶n C cıa song h m f trong ành ngh¾a 1.7 trð th nh c¡c kh¡i ni»m ìn i»u v gi£ ìni»u tr¶n C t÷ìng øng cıa ¡nh x⁄ F trong ành ngh¾a 1.6

B§t flng thøc (1.3) ÷æc ÷a ra ƒu ti¶n bði Hukukane Nikaido v Kazuo Isoda

v o n«m 1955 (xem [45]) khi tŒng qu¡t hâa b i to¡n c¥n b‹ng Nash trong trÆ chìi khæng hæp t¡c N«m 1972, Ky Fan (xem [26]) gåi l b§t flng thøc minimax v thi‚t l“p mºt ành lþ ƒu ti¶n v• sü tçn t⁄i nghi»m cho b i to¡n V o n«m 1984, GS L¶ Dông M÷u (xem [43]) gåi b i to¡n tr¶n l b§t flng thøc bi‚n ph¥n v nghi¶n cøu v• t

‰nh Œn ành cıa b i to¡n N«m 1992, trong b i b¡o [44], GS L¶ Dông M÷u v

Werner Oettli gåi b i to¡n l b i to¡n c¥n b‹ng, ÷a ra mºt sŁ tr÷íng hæp ri¶ng cıa b i to¡n v giîi thi»u mºt thu“t to¡n h m ph⁄t cho b i to¡n N«m 1994, Eugen Blum v Werner Oettli (xem [7]) ti‚p töc ÷a ra c¡c tr÷íng hæp ri¶ng kh¡c cıa b i

31

to¡n c¥n b‹ng v thi‚t l“p nhœng i•u ki»n tŒng qu¡t v• sü tçn t⁄i nghi»m cıa b i

to¡n Sau cæng tr…nh cıa Eugen Blum v Werner Oettli th… b i to¡n c¥n b‹ng

÷æc nhi•u ng÷íi quan t¥m nghi¶n cøu c£ v• m°t lþ thuy‚t, ph÷ìng ph¡p gi£i v øng

döng

Nh÷ ¢ bi‚t (xem [7, 44]) b i to¡n i”m b§t ºng Kakutani câ th” mæ t£ d÷îi d⁄ng b

i to¡n c¥n b‹ng Tuy nhi¶n v• mŁi quan h» giœa b i to¡n c¥n b‹ng v b i to¡n t…m

i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ khæng gi¢n, Patrick Louis Combettes v Sever

Adrian Hirstoaga (xem [21]) ¢ giîi thi»u ¡nh x⁄ a trà Trf cho bði, vîi mØi x 2 H

li¶n töc d÷îi tr¶n C theo bi‚n thø hai, lim sup f( z + (1 )x; y) f(x; y) vîi måi

0

+

!

x; y; z 2 C, c¡c t¡c gi£ ¢ chøng minh ÷æc ¡nh x⁄ Trf l ìn trà, khæng gi¢n vœng

(do â l khæng gi¢n) v t“p i”m b§t ºng cıa Trf tròng vîi t“p nghi»m Sol(C; f)

cıa b i to¡n c¥n b‹ng EP (C; f) Cö th” ta câ hai bŒ • sau ¥y:

BŒ • 1.6 (xem [7]) Cho f : C C ! R thäa m¢n çng thíi c¡c i•u ki»n:

(A4) vîi måi x 2 C, h m y 7! f(x; y) lçi v nßa li¶n töc d÷îi tr¶n C.

Khi â vîi måi r > 0 v x 2 H, tçn t⁄i z 2 C sao cho

1

f(z; y) + r hy z; z xi 0 8y 2 C:

BŒ • 1.7 (xem [21]) Cho f : C C ! R thäa m¢n c¡c i•u ki»n (A1) (A4)

Vîi måi r > 0, ta x¡c ành ¡nh x⁄ Trf : H! C bði

(i) Trf l ìn trà;

(ii)

kTrf (x) Trf (y)k2 hTrf (x) Trf (y); x yi 8x; y 2 H;

(iii) Fix(Trf ) = Sol(C; f);

(iv) Sol(C; f) lçi âng

M»nh • 1.1 Cho song h m f : H H! R [ f+1g Gi£ sß r‹ng c¡c i•u ki»n (A0) (A4)

(A2) f gi£ ìn i»u tr¶n C v C dom f(x; ), f(x; x) = 0 vîi måi x 2 C;

(A3) f thäa m¢n i•u ki»n ki”u Lipschitz tr¶n C vîi h‹ng sŁ c1 > 0 v c2 > 0.X†t ¡nh x⁄ Tf : C ! C cho bði

vîi måi x 2 C, trong â > 0 v

trong â C l h m ch¿ cıa C.

V… s(x) l nghi»m cıa b i to¡n

minff^

(x; y) : y 2 Hgn¶n 0 2 @2f^

ta suy ra

[f(s(x); y) f(s(x); Tf (x))] hx Tf (x); y Tf (x)i 8y 2 C: (1.7)V… x 2 Sol(C; f) n¶n f(x ; s(x)) 0 K‚t hæp vîi f gi£ ìn i»u tr¶n C, ta câ f(s(x); x )

0 Do â th‚ y = x 2 C v o (1.7), ta ÷æc

hTf (x) x; x Tf (x)i [f(s(x); Tf (x)) f(s(x); x )]

(1.8)

34