Về độ đo phổ ngẫu nhiên và toán tử ngẫu nhiên trừu tượng tuyến tính

Tªp các ánh x¤ đo đưñc bà ch°n trên Sσ-đ¤i sè Borel cõa X Không gian các hàm sè liên töc trên [a, b] H Không gian Hilbert xác su§t Tªp hñp các bi¸n ng¨u nhiên thüc ho°c phùcTªp hñp các b

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH Đặng Hùng Thắng

TS Nguyễn Thịnh Chủ tịch Hội đồng T.M Tập thể hướng dẫn

GS TSKH Phạm Kỳ Anh GS TSKH Đặng Hùng Thắng

HÀ NỘI - 2015

LÍI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan nhúng k¸t qu£ trình bày trong luªn án là mîi Các k¸tqu£ vi¸t chung vîi th¦y hưîng d¨n GS TSKH Đ°ng Hùng Th-ng và TS.Nguy¹n Thành, đã đưñc sü đçng ý cõa các th¦y hưîng d¨n khi đưa vàoluªn án Nhúng k¸t qu£ đưñc trình bày trong luªn án là trung thüc vàchưa tøng đưñc công bè trong b§t kỳ công trình nào khác

Tác gi£ luªn án

Tr¦n Xuân Quý

i

LÍI CƒM ƠN

Luªn án đưñc hoàn thành dưîi sü quan tâm, đëng viên, khích l» vàhưîng d¨n tªn tình cõa GS TSKH Đ°ng Hùng Th-ng và TS Nguy¹nThành Nhân dàp này tác gi£ xin đưñc bày tä lòng bi¸t ơn sâu s-c cõamình đèi vîi hai Th¦y

Tác gi£ xin đưñc c£m ơn Ban Giám hi»u, Khoa Toán - Tin, Trưíng ĐHKhoa håc, ĐHTN; Bë môn Xác su§t Thèng kê, Ban chõ nhi»m Khoa Toán

- Cơ - Tin håc, Phòng sau Фi håc, Ban giám hi»u Trưíng Фi håcKhoa håc Tü nhiên Hà Nëi, Khoa Sau đ¤i håc, ĐHQGHN đã t¤o nhi·uđi·u ki»n thuªn lñi trong suèt quá trình làm nghiên cùu sinh

Tác gi£ xin c£m ơn các thành viên cõa seminar Toán tû ng¨u nhiên,

đã t¤o đi·u ki»n cho tác gi£ trình bày và giúp tác gi£ kiºm tra các k¸tqu£ nghiên cùu

Tác gi£ xin gûi líi c£m ơn tîi quÿ NAFOSTED, đã hé trñ kinh phí cho tác gi£ trong quá trình nghiên cùu

Cuèi cùng, tác gi£ xin bày tä lòng bi¸t ơn các thành viên cõa đ¤i giađình, đã luôn đëng viên, chia s´ và là ché düa vúng ch-c v· måi m°t

NCS Tr¦n Xuân Quý

ii

Chương 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

1.1 Mët sè k¸t qu£ v· lý thuy¸t phê cõa toán tû tuy¸n tính t§tđành

Chương 2 Đë đo phê ng¨u nhiên và đành lý phê cho toán tû

ng¨u nhiên tuy¸n tính

và toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính Hermit 2.2 Đë đo phê ng¨u nhiên suy rëng

2.2.12.2.2

Chương 3 Toán tû ng¨u nhiên trøu tưñng trên không gian

unitary xác su§t

3.1 Không gian Banach xác su§t

không gian Hilbert xác su§t

K¸t luªn và ki¸n nghà

K¸t luªn

Ki¸n nghà v· nhúng nghiên cùu ti¸p theo

Danh möc công trình khoa håc cõa tác gi£ liên quan đ¸n luªn án

Tài li»u tham kh£o

Ch¿ möc

iv

Tªp các ánh x¤ đo đưñc bà ch°n trên S

σ-đ¤i sè Borel cõa X

Không gian các hàm sè liên töc trên [a, b]

H Không gian Hilbert xác su§t

Tªp hñp các bi¸n ng¨u nhiên thüc ho°c phùcTªp hñp các bi¸n ng¨u nhiên thüc không âm

Tªp hñp các bi¸n ng¨u nhiên H-giá trà

K Trưíng sè thüc ho°c phùc

(Ω, F, P ) Không gian xác su§t đ¦y đõ

p-lim Giîi h¤n cõa sü hëi tö theo xác su§t

Q Tªp hñp các sè húu t

R Tªp hñp các sè thüc

r(T ) Bán kính phê cõa toán tû tuy¸n tính T

R(T ) Mi·n giá trà cõa toán tû tuy¸n tính T

σ(T ) Tªp phê cõa toán tû tuy¸n tính T

X , Y Các không gian Banach xác su§t

v

Mð đ¦u

1 Lý do chån đ· tài

Môi trưíng chúng ta đang sèng là mët môi trưíng ng¨u nhiên, luôn bàcan thi»p và tác đëng bði các nhân tè ng¨u nhiên Chính vì vªy mà Gi£itích trong môi trưíng ng¨u nhiên (gåi t-t là Gi£i tích ng¨u nhiên) là mët lĩnhvüc Toán håc phát triºn nhanh và m¤nh c£ v· lý thuy¸t và ùng döng Mët

sè lưñng lîn các bài báo v· Gi£i tích ng¨u nhiên đưñc tóm t-t trongMath.Review đã minh chùng đi·u đó Gi£i tích ng¨u nhiên mang tính liênngành, có quan h» mªt thi¸t vîi nhi·u chuyên ngành toán håc khác

Lý thuy¸t toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính là mët trong nhúng hưîng

nghiên cùu lîn cõa Gi£i tích ng¨u nhiên Toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính thuhút đưñc sü quan tâm cõa nhi·u nhà nghiên cùu không ch¿ bði nó là sü

mð rëng tø t§t đành sang ng¨u nhiên cõa lý thuy¸t các toán tû tuy¸n tính

mà còn v· t¦m ùng döng rëng lîn cõa nó trong nhi·u ngành khoa håckhác N¸u như lý thuy¸t các toán tû tuy¸n tính t§t đành là mët lâu đài đç

së cõa toán håc, đã tích lũy đưñc mët nëi dung h¸t sùc phong phú, cáck¸t qu£ và phương pháp cõa nó đưñc ùng döng trong nhi·u ngành khácnhau cõa toán håc lý thuy¸t và toán ùng döng thì lý thuy¸t toán tû ng¨unhiên tuy¸n tính hãy còn non tr´ và đang ð giai đo¤n phát triºn ban đ¦u.Hi»n t¤i lý thuy¸t các toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính đã thu đưñc mët sè k¸tqu£ mîi, lý thú cùng vîi nhi·u bài toán còn bä ngä (xem [38]-[48])

1

Hơn nûa th¸ k trð l¤i đây, hưîng nghiên cùu này đã nhªn đưñc sü quantâm cõa nhi·u nhà toán håc và thu đưñc nhi·u k¸t qu£ Tuy nhiên, ph¦n lîncác k¸t qu£ nghiên cùu cõa lý thuy¸t toán tû ng¨u nhiên l¤i tªp trung vàophương trình toán tû ng¨u nhiên, chõ y¸u là điºm b§t đëng ng¨u nhiên, mðrëng các k¸t qu£ mët cách riêng l´, không h» thèng Khði đ¦u vîi các k¸t qu£nghiên cùu v· điºm b§t đëng ng¨u nhiên là O Hans và A Spacek trongnhúng năm 1950 (xem [25]-[28]) Sau các k¸t qu£ này, nhi·u k¸t qu£ mðrëng đã đưñc chùng minh Lý thuy¸t toán tû ng¨u nhiên thüc sü đưñc ti¸p

thêm sùc m¤nh bði sü ra đíi cõa các cuèn sách Random integral

equations (1972) cõa A.T Bharucha-Reid Vîi các k¸t qu£ nghiên cùu cõa

A.V Skorohod và là tác gi£ cuèn sách Random Linear Operators (1984),

nghiên cùu toán tû ng¨u nhiên trong không gian Hilbert, xem xét sü hëi töy¸u và m¤nh cõa các toán tû ng¨u nhiên, hàm các toán tû ng¨u nhiên,phương trình và tích phân ng¨u nhiên Đã thu hút nhi·u nhà toán håc mðrëng các k¸t qu£ cõa lý thuy¸t toán tû ng¨u nhiên Nhi·u nhà toán håc đãthành công trong vi»c mð rëng các k¸t qu£ Cö thº hơn, g¦n đây nhómnghiên cùu đùng đ¦u là Guo Tiexin đã thu đưñc nhi·u k¸t qu£ ng¨u nhiên hóacác k¸t qu£ cõa gi£i tích hàm (xem [20]-[24]) Trong nưîc, d¨n đ¦u là GS.Đ°ng Hùng Th-ng cùng nhóm håc trò, tø cuèi nhúng năm 1980 trð l¤i đây b-

t đ¦u nghiên cùu v· lý thuy¸t toán tû ng¨u nhiên và đã thu nhi·u k¸t qu£ (xem[38]-[48]) Cö thº, v· hưîng điºm b§t đëng ng¨u nhiên và phương trình ng¨unhiên đưñc công bè trong các công trình tiêu biºu là [2],[46],[48]; thác triºntoán tû ng¨u nhiên [3],[45]

Mët chõ đ· lîn chính thèng cõa lý thuy¸t toán tû tuy¸n tính (t§t đành)

là lý thuy¸t phê các toán tû tuy¸n tính (gåi t-t là lý thuy¸t phê) Theo sühiºu bi¸t cõa chúng tôi, các k¸t qu£ nghiên cùu v· lý thuy¸t phê các toán

tû ng¨u nhiên tuy¸n tính đ¸n nay còn tương đèi ít Thành thû chúng tôi

đã chån đ· tài nghiên cùu cho luªn án là: V· đë đo phê ng¨u

2

nhiên và toán tû ng¨u nhiên trøu tưñng tuy¸n tính vîi hy vång g°t háiđưñc nhúng k¸t qu£ mîi trong lĩnh vüc nghiên cùu đ¦y hùa hµn này.

2 Möc tiêu nghiên cùu

Tìm đưñc d¤ng ng¨u nhiên cõa các đành lý phê t§t đành (ch¯ng h¤nnhư đành lý biºu di¹n phê cõa toán tû chu©n t-c, toán tû tü liên hñp ).Nói cách khác möc tiêu luªn án là mð rëng các đành lý phê cõa toán tûtuy¸n tính t§t đành sang trưíng hñp toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính

3 Đèi tưñng nghiên cùu

Các toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính trên không gian Hilbert

4 Phương pháp nghiên cùu

Luªn án sû döng các công cö và k¸t qu£ cõa xác su§t, gi£i tích, gi£itích hàm (lý thuy¸t các toán tû tuy¸n tính, không gian Hilbert), lý thuy¸t

đë đo véc tơ, lý thuy¸t xác su§t trên các không gian vô h¤n chi·u

5 Ý nghĩa khoa håc và thüc ti¹n

Các k¸t qu£ cõa luªn án bê sung và làm phong phú thêm v· lý thuy¸tcác toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính N¸u như lý thuy¸t phê các toán tûtuy¸n tính t§t đành đã có r§t nhi·u áp döng trong phương trình vi phân,phương trình đ¤o hàm riêng, vªt lý håc thì có cơ sð đº hy vång r¬ng lýthuy¸t phê các toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính s³ tìm đưñc áp döng trongphương trình vi phân ng¨u nhiên, phương trình đ¤o hàm riêng ng¨unhiên, vªt lý thèng kê, vªt lý lưñng tû

6 C§u trúc luªn án

Luªn án đưñc trình bày trong ba chương

Chương 1: Trình bày thèng nh§t mët sè khái ni»m cơ b£n và mët sèk¸t qu£ cõa các tác gi£ khác mà đưñc sû döng trong ph¦n sau cõa luªn

án Trưîc tiên chúng tôi trình bày l¤i mët sè khái ni»m và k¸t qu£ v· toán

tû tuy¸n tính t§t đành, đë đo phê t§t đành, tích phân cõa hàm đo đưñc bàch°n đèi vîi đë đo phê t§t đành và mët sè k¸t qu£ liên quan, ch¯ng h¤n

3

như: Đành lý hëi tö bà ch°n đèi vîi đë đo phê t§t đành và k¸t qu£ biºudi¹n phê cõa toán tû t§t đành s³ đưñc xây düng phiên b£n ng¨u nhiên ðChương 2 Ti¸p theo chúng tôi trình bày l¤i khái ni»m v· toán tû ng¨unhiên tuy¸n tính và mët sè k¸t qu£ đã đ¤t đưñc và toán tû ng¨u nhiênsuy rëng tuy¸n tính.

Chương 2: Trình bày mët ph¦n k¸t qu£ chính cõa luªn án v· biºu di¹nphê cõa toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính: trưîc tiên chúng tôi đưa ra đànhnghĩa đë đo phê ng¨u nhiên, toán tû ng¨u nhiên chi¸u và đë đo phêng¨u nhiên suy rëng Xây düng tích phân cõa hàm đo đưñc bà ch°nđèi vîi đë đo phê ng¨u nhiên suy rëng Chùng minh đưñc đành lý hëi tö

bà ch°n đèi vîi đë đo phê ng¨u nhiên suy rëng và méi đë đo phê ng¨unhiên suy rëng có b£n sao là đë đo phê ng¨u nhiên

Chương 3: Chúng tôi đưa ra khái ni»m không gian ng¨u nhiên têngquát, ch¯ng h¤n như: không gian tuy¸n tính xác su§t, không gian đànhchu©n xác su§t, không gian Banach xác su§t và không gian Hibert xácsu§t Ti¸p theo chúng tôi trình bày khái ni»m toán tû ng¨u nhiên trøutưñng tuy¸n tính, mð rëng mët sè k¸t qu£ đ¤t đưñc trên không gianng¨u nhiên têng quát Chúng tôi chùng minh đưñc phiên b£n ng¨unhiên cõa đành lý biºu di¹n Riesz Ng¨u nhiên hóa k¸t qu£ cõaFriedrichs - Stone -Wintner trong trưíng hñp t§t đành cho toán tû đèixùng nûa bà ch°n Ch¿ ra đưñc r¬ng n¸u Φ : D(Φ) → H là toán tû ng¨u

nhiên trøu tưñng tuy¸n tính tü liên hñp và α là sè phùc vîi ph¦n £o khác

không thì Φα = αI − Φ : D(Φ) → H là song ánh và (Φ α)−1 : H → H làtoán tû ng¨u nhiên trøu tưñng tuy¸n tính chu©n t-c

Hà Nëi, ngày 05 tháng 15 năm 2015

Tác gi£ luªn án NCS Tr¦n Xuân Quý

4

Gi£ sû H1 và H2 là hai không gian vector trên trưíng K Toán tû tuy¸n tính

T tø H1 vào H2 là mët ánh x¤ tuy¸n tính tø D(T ) vào H2 (vîi D(T ) là mët không gian con cõa H1, và ta có thº vi¸t là T : D(T ) ⊂ H1 → H2) D(T ) đưñc gåi là mi·n xác đành cõa T, tªp hñp R(T ) = {T x : x ∈ D(T )} đưñc gåi là mi·n giá trà cõa T (hay là £nh cõa T ) Vì ch¿ xét toán tû tuy¸n tính,

nên xuyên suèt ph¦n này ta s³ thèng nh§t gåi là toán tû thay vì gåi

5

toán tû tuy¸n tính.

N¸u H1 = H2 = H thì T đưñc gåi là toán tû trên H Toán tû tø H vào

K đưñc gåi là phi¸m hàm tuy¸n tính Mi·n giá trà cõa toán tû T là không gian con cõa H2 Mët toán tû là đơn ánh n¸u và ch¿ n¸u T x = 0 suy ra

x = 0 Trong trưíng hñp này toán tû ngưñc T −1 cõa T đưñc xác đành

như sau

D(T −1) = R(T ), T −1y = x vîi y = T x ∈ R(T ).

Ta có T −1 là toán tû tø H2 vào H1 Vîi toán tû T tø H1 vào H2 và a ∈ K, toán tû aT đưñc xác đành như sau

D(aT ) = aD(T ), (aT )x = a(T x) vîi x ∈ D(aT ).

Xét hai toán tû S, T tø H1 vào H2, toán tû têng S + T đưñc xác đành

như sau

D(S + T ) = D(S) ∩ D(T ), (S + T )x = Sx + T x vîi x ∈ D(S + T ) N¸u S là toán tû tø H1 vào H2 và T là toán tû tø H2 vào H3 thì toán tû

tích T S đưñc đành nghĩa như sau

D(T S) = {x ∈ D(S) : Sx ∈ D(T )}, (T S)x = T (Sx) vîi x ∈ D(T S) Gi£ sû S và T là hai toán tû tø H1 vào H2 Toán tû T đưñc gåi là mët

mð rëng (hay thác triºn) cõa S n¸u ta có

D(S) ⊂ D(T ) và Sx = T x vîi x ∈ D(S).

Ta ký hi»u S ⊂ T

Gi£ sû H1 và H2 là hai không gian đành chu©n vîi chu©n tương ùng

là k · k1, k · k2 Toán tû T tø H1 vào H2 đưñc gåi là liên töc t¤i x ∈ D(T ) n¸u, vîi måi dãy (x n) ⊂ D(T ) thäa mãn limn x n = x thì ta có lim n T x n = T

x Toán tû T đưñc gåi là liên töc n¸u nó liên töc vîi måi x ∈ D(T ) Toán

6

tû T đưñc gåi là bà ch°n n¸u tçn t¤i C > 0 đº kT xk2 6 Ckxk1 vîi måi

T là toán tû bà ch°n tø H1 vào H2, chu©n kT k đưñc xác đành như sau

kT k = inf{C > 0 : kT xk2 6 Ckxk1 vîi måi x ∈ D(T )}.

Ký hi»u L(H1, H2) là tªp các toán tû bà ch°n tø H1 vào H2 vîi mi·n

xác đành H1, ta có L(H1, H2), k.k là không gian đành chu©n, n¸u H2 là

không gian Banach thì L(H1, H2), k.k cũng là không gian Banach N¸u

S ∈ L(H1, H2) và T ∈ L(H2, H3) thì T S ∈ L(H1, H3) vîi chu©n k · k23 vì

D(T S) = {x ∈ H1 : Sx ∈ D(T ) = H2} = H1

và

kT Sxk3 6 kSk.kT k23.kxk1 vîi måi x ∈ H1.

Ta s³ ký hi»u L(H) thay cho L(H, H) Vîi S, U, T ∈ L(H) thì ta có

S(T +U)=ST +SU, (S+T)U =SU +TU.

Toán tû I vîi mi·n xác đành D(I) = H và Ix = x vîi måi x ∈ H D¹ th§y r¬ng kIk = 1 và IT = T I = T vîi måi T ∈ L(H) Ta gåi I là toán tû đçng nh§t trên H.

Toán tû T : D(T ) ⊂ H1 → H2 đưñc gåi là xác đành trù mªt n¸u D(T )

là tªp trù mªt trong H1

7

Đành lý 1.1.2 ([50], Đành lý 4.5) Gi£ sû T là toán tû tuy¸n tính bà

ch°n tø không gian đành chu©n H1 vào không gian Banach H2 Khi đó tçn t¤i duy nh§t mët toán tû mð rëng bà ch°n S cõa T sao cho D(S) =

D(T ), và ta có kSk = kT k.

Ti¸p theo ta xét phi¸m hàm tuy¸n tính liên töc xác đành trên không

gian Hilbert H Đành lý biºu di¹n Riesz là mët đành lý có ý nghĩa cơ

b£n trong toàn bë lý thuy¸t không gian Hilbert

Đành lý 1.1.3 (F Riesz) ([50], Đành lý 4.8) Vîi méi a ∈ H tçn t¤i

phi¸m hàm tuy¸n tính liên töc T a vîi D(T a ) = H và

Ti¸p theo, chúng tôi nh-c l¤i các khái ni»m v· giá trà riêng, vector riêng,

tªp phê và tªp gi£i cõa toán tû (toán tû tuy¸n tính t§t đành) Sè z đưñc gåi là giá trà riêng cõa toán tû T n¸u tçn t¤i x ∈ D(T )\{0} sao cho T x = zx, nghĩa

là toán tû z −T = zI −T không ph£i là đơn ánh (Ker(z −T ) 6= {0}) Ph¦n tû x đưñc gåi vector riêng cõa toán tû T ùng vîi giá trà riêng z Không gian con

Ker(z−T ) đưñc gåi là không gian giá trà riêng cõa z N¸u z không ph£i là giá

trà riêng cõa toán tû T thì ta đ°t R(z, T ) = (z − T )−1 Tªp hñp ρ(T ) = {z ∈ K : z − T đơn ánh, và R(z, T ) ∈ L(H)} đưñc gåi là tªp gi£i cõa toán tû T , vîi K

là trưíng sè thüc ho°c phùc N¸u toán tû T không đóng thì z −T và R(z, T ) cũng không đóng, do đó ρ(T ) = ∅ N¸u toán tû T

8

đóng thì theo đành lý đç thà đóng ta có ρ(T ) = {z ∈ K : z−T là song ánh} Ánh x¤

R(., T ) : ρ(T ) → L(H) , z 7→R(z, T )

đưñc gåi là gi£i cõa toán tû T Vîi méi z ∈ ρ(T ) toán tû R(z, T ) đưñc gåi là gi£i cõa toán tû T t¤i điºm z Tªp hñp σ(T ) = K\ρ(T ) đưñc gåi là tªp phê cõa toán tû T

Đành nghĩa 1.1.4 Gi£ sû H1, H2 là các không gian Hilbert và toán tû

T : D(T ) ⊂ H1 → H2 vîi mi·n xác đành D(T ) trù mªt Toán tû T ∗ :

D(T ∗) ⊂ H2 → H1 vîi mi·n xác đành D(T ∗) như sau

D(T ∗) = {y ∈ H2 : phi¸m hàm x 7→Th x, yi liên töc trên D(T )}

thäa mãn

hT x, yi = hx, T ∗yi vîi måi x ∈ D(T ), y ∈ D(T ∗), đưñc gåi là toán tû liên hñp cõa T Tương tü, ta ký hi»u T ∗∗ là toán

(c) N¸u T bà ch°n thì T ∗∗ là thác triºn liên töc cõa toán tû T lên toàn

bë không gian H1 Vîi T ∈ L(H1, H2) ta có T ∗∗ = T.

9

Gi£ sû S, T là các toán tû tø H1 vào H2, khi đó

(a) N¸u T xác đành trù mªt, thì ta có (aT )∗ = aT ∗, ∀a 6= 0.

(b) N¸u T1 + T2 xác đành trù mªt, thì ta có T1∗ + T2∗ ⊂ (T1 + T2)∗.

(c) N¸u S ∈ L(H1, H2) và T xác đành trù mªt, thì ta có (T1 + T2)∗ =

T1∗ + T2∗.

Đành nghĩa 1.1.7 1 Toán tû T trên không gian Hilbert H đưñc gåi là

Toán tû tü liên hñp là toán tû chu©n t-c N¸u T là toán tû chu©n t-c thì z + T cũng là toán tû chu©n t-c, vîi måi z ∈ K N¸u T đèi xùng và D(T ) = H thì T tü liên hñp.

K¸t qu£ dưîi đây đ£m b£o sü tçn t¤i cõa toán tû tü liên hñp mð rëng

cõa lîp toán tû đèi xùng Mët toán tû đèi xùng S trên không gian Hilbert

H đưñc gåi là bà ch°n dưîi n¸u tçn t¤i γ ∈ R sao cho hx, Sxi > γkxk2vîi måi x ∈ D(S).

Đành lý 1.1.9 ([50], Đành lý 5.32) Gi£ sû S là toán tû đèi xùng trên

không gian Hilbert H và thäa mãn đi·u ki»n tçn t¤i γ ∈ R sao cho hx,

Sxi > γkxk2 vîi måi x ∈ D(S) Khi đó vîi méi θ < γ tçn t¤i toán tû mð

rëng tü liên hñp T θ cõa S thäa mãn hx, T θ xi > θkxk2, ∀x ∈ D(T θ ).

Đành lý sau là mët k¸t qu£ mð rëng cho toán tû Hermit bà ch°n

Đành lý 1.1.10 ([50], Đành lý 5.33) Gi£ sû S là toán tû Hermit bà ch°n

trên không gian Hilbert H khi đó tçn t¤i toán tû mð rëng tü liên hñp

T ∈ L(H) cõa S thäa mãn kT k = kSk N¸u R(S) trù mªt thì måi toán tû

thác triºn tü liên hñp cõa S là đơn ánh.

11

1.1.4 Đành lý biºu di¹n phê cho toán tû chu©n t-c,

toán tû Hermit

Trong ph¦n này chúng tôi s³ trình bày v· đë đo phê và đành lý phê chotoán tû chu©n t-c và toán tû Hermit K¸t qu£ ng¨u nhiên hóa cho v§n đ·này trong trưíng hñp ng¨u nhiên s³ đưñc trình bày trong chương 2

Xét H là không gian Hilbert, M là không gian con đóng cõa H Khi

đó vîi x ∈ H có biºu di¹n duy nh§t d¤ng x = u + v vîi u ∈ M và v ∈ M⊥.

Xét ánh x¤ P vîi D(P ) = H và P x = u thì P là mët toán tû tuy¸n tính trên H, và đưñc gåi là toán tû chi¸u trüc giao trên M N¸u M = {0} thì

P = 0, còn n¸u M 6= {0} thì kP k = 1 Vì P x = x ∀x ∈ M nên ta có

P 2

= P P = P Ta l¤i có R(P ) = M, Ker(P ) = M⊥ Đº đơn gi£n, ta gåi

toán tû chi¸u trüc giao là toán tû chi¸u Ta có đành nghĩa v· đë đo phênhư sau

Đành nghĩa 1.1.11 (xem [11], Chương 5, đë đo phê và tích phân,

ho°c xem [15, 18] ) Cho tªp hñp S, và A là σ−đ¤i sè các tªp con cõa S,

và H là không gian Hilbert, đë đo phê trên (S, A, H) là ánh x¤ E : A → L(H) thäa mãn các đi·u ki»n sau;

(a) vîi méi M ∈ A, ánh x¤ E(M) là toán tû chi¸u;

(b) E( ∅) = 0 và E(S) = I;

(c) E(M ∩ N) = E(M)E(N) vîi M, N ∈ A;

(d) n¸u {M n}∞n=1 là dãy các tªp đôi mët ríi nhau trong A thì

là mët đë đo σ− cëng tính trên A vîi bi¸n phân toàn ph¦n không vưñt quá kxkkyk Vîi ánh x¤ f : S → K đo đưñc bà ch°n thì ta đã có đành

nghĩa tích phân cõa hàm đo đưñc bà ch°n đèi vîi đë đo phê E đưñc kýhi»u là RS f E(ds) (xem [11], trang 130) Đành lý hëi tö bà ch°n trong lýthuy¸t đëđo là mët k¸t qu£ kinh điºn, nó là chìa khóa cõa các k¸t qu£ mðrëng v· sau Đèi vîi đë đo phê cũng có k¸t qu£ tương tü như vªy K¸t qu£dưîi đây là đành lý hëi tö bà ch°n đèi vîi đë đo phê

Đành lý 1.1.12 (xem [11], Đành lý 2 trang 132) Gi£ sû E là đë đo phê

trên (S, A, H) Gi£ sû r¬ng (f n ) là dãy các hàm trong B(S) thäa mãn,

tçn t¤i M > 0 đº kf n k 6 M vîi måi n N¸u lim n→∞ f n = f, khi đó vîi méi x ∈

H ta có

limK¸t qu£ sau thº hi»n mèi liên h» giúa đë đo phê vîi toán tû chu©n t-

c và toán tû Hermit

Đành lý 1.1.13 (xem [15, 18, 50, 51]).

1 N¸u E là đë đo phê trên (S, A, H) và f : S → C là mët hàm đo đưñc

bà ch°n, thì T = RS f E(dz) là mët toán tû chu©n t-c, nghĩa là TT∗ =

T∗T.

2. Gi£ sû T là mët toán tû chu©n t-c và tªp phê σ(T ) ⊂ C Khi đó σ(T )

là tªp compact và tçn t¤i đë đo phê E xác đành trên các tªp Borel cõa σ(T ) thäa mãn

Z

σ(T)

3. Gi£ sû T là mët toán tû Hermit và tªp phê σ(T ) ⊂ R Khi đó σ(T )

là tªp compact và tçn t¤i đë đo phê E xác đành trên các tªp Borel cõa

σ(T ) thäa mãn

Z

σ(T)

13

1.2 Toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính

Trong möc này chúng tôi trình bày khái ni»m v· toán tû ng¨u nhiêntuy¸n tính Tương tü như trong trưíng hñp t§t đành, chúng tôi đưa rakhái ni»m toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính bà ch°n theo nghĩa h¦u ch-c ch-

n, toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính liên töc Đành lý 1.2.15 ch¿ ra mët đi·uki»n c¦n và đõ đº toán tû ng¨u nhiên bà ch°n đưñc chùng minh bði GS.Đ°ng Hùng Th-ng và TS Nguy¹n Thành (xem bài báo [43])

Gi£ sû X và Y là các không gian Banach kh£ ly và (Ω, F, P ) là không

gian xác su§t đ¦y đõ L X0 (Ω) là tªp hñp các bi¸n ng¨u nhiên trên Ω nhªn

giá trà trong X (X−giá trà).

Đành nghĩa 1.2.1 (xem [38, 43]).

1 Mët ánh x¤ A tø X vào L Y0 (Ω) đưñc gåi là mët ánh x¤ ng¨u nhiên

tø X vào Y hay còn gåi là ánh x¤ ng¨u nhiên Y −giá trà vîi mi·n xác đành là X.

2. Ánh x¤ ng¨u nhiên A tø X vào Y đưñc gåi là ánh x¤ ng¨u nhiên tuy¸n tính n¸u vîi méi x1, x2 ∈ X và λ1, λ2 ∈ R ta có

A(λ1x1 + λ2x2) = λ1A(x1) + λ2A(x2) h.c.c.

Chú ý r¬ng, tªp bä qua đưñc nói chung phö thuëc vào λ1, λ2 và x1, x2.

3 Ánh x¤ ng¨u nhiên A tø X vào Y đưñc gåi là liên töc ng¨u nhiên t¤i

tùc là

lim P (kAx − Ax0k > t) = 0 ∀t > 0.

x→x0

4. Ánh x¤ ng¨u nhiên tø X vào Y đưñc gåi là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n

tính tø X vào Y (hay còn gåi là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính Y − giá

trà vîi mi·n xác đành là X) n¸u nó tuy¸n tính và liên töc ng¨u nhiên.

5. Hå (u i , i ∈ I) các bi¸n ng¨u nhiên Y −giá trà đưñc gåi là bà ch°n

ng¨u nhiên (hay bà ch°n theo xác su§t) n¸u

Dưîi đây là ví dö v· toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính Các ví dö này đãđưñc trình bày trong các tài li»u [3, 7],[38]-[45]

Ví dö 1.2.2 Gi£ sû X là không gian Fréchet và Y là không gian Banach, và B : Ω → L(X, Y ) là bi¸n ng¨u nhiên b§t kỳ Ánh x¤ A : X →

Y xác đành như sau, vîi méi x ∈ X ta có

Ax(ω) = B(ω)x

là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính

Ví dö 1.2.3 (Chuéi ng¨u nhiên) Cho (f n)n>1 là mët dãy các ánh x¤

tuy¸n tính t§t đành đo đưñc tø X vào Y (vîi X, Y là các không gian

Banach kh£ ly), và (α n)n>1 ⊂ L0(Ω) Gi£ sû vîi méi x ∈ X chuéi P∞n=1

α n f n (x) hëi tö theo xác su§t Khi đó phép tương ùng

∞

x 7−→X α n f n (x)

n=1

15

xác đành mët toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính tø X vào Y

Ví dö 1.2.4 (Tích phân ng¨u nhiên) Cho (W t , t ∈ [0, 1]) là chuyºn đëng Brown trên [0, 1] Vîi méi hàm x = x(t) ∈ L2([0, 1]) đ°t

Zt

Ax(t) = x(s)dW (s).

0

Khi đó Ax là mët hàm ng¨u nhiên liên töc trên [0, 1], nên có thº xem Ax(t)

là bi¸n ng¨u nhiên nhªn giá trà trên C[0, 1] Do đó, phép tương ùng

x 7−→Ax cho ta mët toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính tø L2([0, 1]) vào C[0, 1].

Theo đành nghĩa, toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính tø X vào Y là ánh x¤ ng¨u nhiên tuy¸n tính liên töc tø X vào L Y0 (Ω) Ta có các kh¯ng đành

sau Đành lý 1.2.5 ([38], Đành lý 1.3a) Gi£ sû A : X → L Y0 (Ω) là mët

ánh x¤ ng¨u nhiên tuy¸n tính Khi đó A là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính

ng¨u nhiên tuy¸n tính) Gi£ sû A : X → L Y0 (Ω) là mët ánh x¤ ng¨u

nhiên tuy¸n tính Khi đó A là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính khi và ch¿ khi vîi måi dãy (x n) ⊂ X sao cho limn x n = x và p-lim n Ax n = ϕ, ta

có

Ax = ϕ h.c.c.

Đành lý 1.2.7 ([38], Đành lý 1.3c, Nguyên lý bà ch°n đ·u cho toán tû

ng¨u nhiên tuy¸n tính) Gi£ sû A i

nhiên tuy¸n tính thäa mãn:

Vîi méi x ∈ X ta có

t→∞ i ∈I

lim sup P

16

toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính) Gi£ sû A n : X → Y, n = 1, 2, là dãy

các toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính sao cho vîi méi x ∈ X ta có (A n x) hëi

tö trong L Y0 (Ω) Khi đó ánh x¤ A : X → L Y0 (Ω) xác đành bði

Ax = p - lim A n x,

n→∞

là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính.

Trong möc này, chúng tôi s³ nh-c l¤i hai khái ni»m bà ch°n cõa toán tûng¨u nhiên tuy¸n tính và mët sè k¸t qu£ liên quan tîi hai khái ni»m này

Đành nghĩa 1.2.9 1 Toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính A tø X vào Y đưñc

gåi là bà ch°n ng¨u nhiên n¸u hå bi¸n ng¨u nhiên Y − giá trà {Ax, x

∈ B} bà ch°n ng¨u nhiên, tùc là

lim sup P kAxk > t = 0,

t→∞

x ∈B trong đó B = {x ∈ X : kxk 6 1}.

2. Toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính A tø X vào Y đưñc gåi là bà ch°n n¸u tçn t¤i bi¸n ng¨u nhiên không âm k(ω) sao cho vîi méi x ∈ X ta có

kAx(ω)k 6 k(ω)kxk h.c.c.

Chú ý r¬ng, tªp bä qua đưñc trong b§t đ¯ng thùc (1.9) có thº phö

thuëc vào x.

17

là mët toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính bà ch°n tø X vào Y.

Ví dö 1.2.11 Cho K(s, t, ω) là hàm ng¨u nhiên vîi quÿ đ¤o m¨u xác

đành và liên töc trên [0, 1] × [0, 1] Vîi méi x(t) ∈ C[0, 1] ta đ°t

vªy A là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính bà ch°n.

Trong trưíng hñp toán tû tuy¸n tính t§t đành, ta đã có k¸t qu£ tínhliên töc tương đương vîi tính bà ch°n Trong môi trưíng ng¨u nhiên thìk¸t qu£ đó v¨n đúng Đành lý dưîi đây s³ ch¿ ra đi·u đó

Đành lý 1.2.12 ([43], M»nh đ· 2.2) N¸u A là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n

tính thì tính liên töc ng¨u nhiên cõa A tương đương vîi tính bà ch°n ng¨u nhiên.

Toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính không nh§t thi¸t bà ch°n Ví dö dưîi đâycho ta mët minh håa v· toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính không bà ch°n

Ví dö 1.2.13 (xem [43], Ví dö 2) Xét ánh x¤ ng¨u nhiên tuy¸n tính A tø

L2[0, 1] vào C[0, 1] xác đành như sau

Zt

Ax(t) = x(s)dW (s).

0

18

Ta s³ ch¿ ra toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính không bà ch°n Thªt vªy, d¹

th§y A tuy¸n tính Trưîc h¸t ta chùng minh A liên töc ng¨u nhiên Thªt

vªy theo b§t đ¯ng thùc martingale ta có

kx hk2

Tuy nhiên

kAx h (ω)k = sup t

Theo luªt loga l°p đèi vîi quá trình Wiener ta có

lim sup kAx h (ω)k > 1 h.c.c.

vîi Q là tªp sè húu t¿ N¸u A bà ch°n, thì tçn t¤i bi¸n ng¨u nhiên không

âm k(ω) sao cho

kAx h (ω)k 6 k(ω)kx hk h.c.c

Vì vªy tçn t¤i tªp D có xác su§t mët sao cho vîi méi ω ∈ D và h ∈ Q ta

có

kAx h (ω)k 6 k(ω)kx h k → 0 khi h → 0.

Do (1.10), (1.11) và (1.12) mâu thu¨n nhau nên A không bà ch°n.

Toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính bà ch°n thì bà ch°n ng¨u nhiên Dưîi đâych¿ ra ví dö v· toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính bà ch°n ng¨u nhiên nhưngkhông bà ch°n

Ví dö 1.2.14 (xem [43], Ví dö 3) Ta xác đành toán tû ng¨u nhiên tuy¸n

tính A tø L2[0, 1] vào L2[0, 1] xác đành như sau:

rlim sup

→∞

kxk61

20

Theo Đành lý 1.2.12 thì A là mët toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính tø L2[0, 1] vào L2[0, 1].

Bây gií ta s³ ch¿ ra r¬ng A không bà ch°n Thªt vªy, vîi méi 0 < h < 1/e ta đ°t x h (t) là mët hàm thüc trên [0, 1] xác đành bði

xh(t) =

Ta có x h ∈ L2[0, 1] và

n¸u 0 6 t 6 h, n¸u h < t 6 1.

Theo luªt loga l°p đèi vîi quá trình Wiener

lim sup kAx h (ω)k > 1 h.c.c.

h→0

N¸u Φ bà ch°n thì theo đành nghĩa tçn t¤i mët bi¸n ng¨u nhiên k(ω) sao

cho

kAx h (ω)k 6 k(ω)kx hk h.c.c

Do (1.13), (1.14) và (1.15) mâu thu¨n nhau nên A không bà ch°n.

K¸t qu£ dưîi đây đưa ra đi·u ki»n c¦n và đõ đº mët toán tû ng¨unhiên tuy¸n tính là bà ch°n

21

Đành lý 1.2.15 ([43], Đành lý 3.1) Toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính A tø

X vào Y bà ch°n khi và ch¿ khi tçn t¤i ánh x¤ T A : Ω → L(X, Y ) thäa mãn

Ax(ω) = T A (ω)x h.c.c.

Nhªn xét 1.2.16 Theo Đành lý 1.2.15, méi toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính

bà ch°n A tø X vào Y có thº xem như mët hå các toán tû bà ch°n tø

X vào Y đưñc tham sè hóa bði tªp Ω, ta ký hi»u là A = {A(ω) : ω ∈ Ω}

trong đó, méi ω ∈ Ω thì A(ω) ∈ L(X, Y ).

Đành lý 1.2.17 Xét A : X → Y là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính bà ch°n.

Khi đó A là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính liên töc tø L0

K¸t qu£ trên ch¿ ra r¬ng vîi méi toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính bà ch°n

A : X → L Y0 (Ω) có thº thác triºn thành toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính

liên töc

Như vªy, n¸u A là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính bà ch°n thì ta s³ coi A

˜

chính là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính bà ch°n A tø L0

Ti¸p theo chúng tôi đưa ra khái ni»m hñp thành cõa hai toán tû ng¨u

nhiên tuy¸n tính bà ch°n

Đành nghĩa 1.2.18 Gi£ sû A, B là các toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính bà

ch°n tø X vào X, khi đó hñp thành AB : X → L X0 (Ω) đưñc xác đành

như sau

˜

(AB)(x) = A(Bx).

22

Tø ph¦n sau cõa luªn án, đº rút gån thì A cõa A cũng s³ đưñc ký hi»u là A Khi đó ta vi¸t (AB)(x) = A(Bx)

Bê đ· 1.2.19 N¸u A, B là các toán tû nh¨u nhiên tuy¸n tính bà ch°n tø

X vào X thì AB cũng là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính bà ch°n và thäa mãn

T AB (ω) = T A (ω)T B (ω) h.c.c.

Gi£ sû H là không gian Hilbert kh£ ly, vîi tích trong là h., i Tø ph¦n này trð đi, ta s³ gåi toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính tø H vào H là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính trên H.

Đành nghĩa 1.2.20 Cho A, B là các toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính trên

H Toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính B đưñc gåi là liên hñp cõa A n¸u vîi

måi x, y ∈ H ta có

hAx, yi = hx, Byi h.c.c

Đ°t A∗ = B, trong ph¦n sau cõa luªn án, ta s³ sû döng ký hi»u A∗ là

toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính liên hñp cõa toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính

A n¸u tçn t¤i.

Trong trưíng hñp têng quát, toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính khôngnh§t thi¸t ph£i có liên hñp (xem [39]) D¹ dàng ch¿ ra r¬ng, liên hñpcõa mët toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính n¸u tçn t¤i là duy nh§t

K¸t qu£ trình bày ti¸p theo ch¿ ra đi·u ki»n c¦n và đõ đº toán tû ng¨unhiên tuy¸n tính có liên hñp

Đành lý 1.2.21 ([39], Đành lý 3.5) Toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính A có

liên hñp khi và ch¿ khi vîi méi cơ sð (e n ) trong H ta có

∞

X |hAe n , yi|2 < ∞ h.c.c., vîi måi y ∈ H.

n=1

23

Ví dö 1.2.22 Xét (ξ n ) là dãy các bi¸n ng¨u nhiên phùc đëc lªp cùng phân bè thäa mãn Eξ n = 0, E|ξ n|2 = 1 Vîi méi x ∈ H ta có

Khi đó A là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính Ta có

hAe k , e1i = haξ k , e1i = ξ k ha, e1i.

Tçn t¤i e m thäa mãn ha, e mi =6 0

Ví dö 1.2.23 Xét (T n ) là dãy các toán tû tuy¸n tính liên töc t§t đành trên

H và (ξ n) là dãy các bi¸n ng¨u nhiên Gauss đëc lªp cùng phân bè vîi kỳ

vång 0 và phương sai 1 Gi£ sû vîi méi x ∈ H ta có

toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính A có liên hñp khi và ch¿ khi vîi méi x ∈

H thì chuéi

∞

X kT n∗xk2 < ∞.

n=1

Bê đ· 1.2.24 Gi£ sû toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính A bà ch°n Khi đó A

có liên hñp A∗ Hơn núa A∗ bà ch°n và thäa mãn

hAu(ω), v(ω)i = hu(ω), A∗v(ω)i h.c.c.

Đành nghĩa 1.2.25 Gi£ sû A là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính trên không gian Hilbert kh£ ly H.

• A đưñc gåi là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính Hermit n¸u nó bà ch°n và A=A∗.

• A đưñc gåi là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính chu©n t-c n¸u nó bà

ch°n và AA∗ = A∗A.

Khái ni»m toán tû ng¨u nhiên suy rëng tuy¸n tính đưñc GS Đ°ng HùngTh-ng và TS Nguy¹n Thành đưa ra và chùng minh đành lý phê chotoán tû ng¨u nhiên suy rëng tuy¸n tính chu©n t-c và toán tû ng¨u nhiêntuy¸n suy rëng tuy¸n tính tü liên hñp trong bài báo [47]

Đành nghĩa 1.2.26 ([47], Đành nghĩa 2.1).

1. Tªp con M cõa LH0 (Ω) đưñc gåi là không gian tuy¸n tính ng¨u

nhiên n¸u u1, u2 ∈ M, ξ1, ξ2 ∈ L0(Ω) thì ξ1u1 + ξ2u2 ∈ M

25

2. Gi£ sû M là không gian tuy¸n tính ng¨u nhiên Ánh x¤ Φ : M → LH0

(Ω) đưñc gåi là ánh x¤ ng¨u nhiên suy rëng tuy¸n tính n¸u vîi méi

u1, u2 ∈ M, ξ1, ξ2 ∈ L0(Ω) ta có

Φ(ξ1u1 + ξ2u2) = ξ1Φ(u1) + ξ2Φ(u2) h.c.c

3. Ánh x¤ ng¨u nhiên suy rëng tuy¸n tính Φ : M → LH0 (Ω) vîi mi·n xácđành trù mªt đưñc gåi là toán tû ng¨u nhiên suy rëng tuy¸n tính

Mi·n xác đành M cõa Φ s³ đưñc ký hi»u là D(Φ).

Nhªn xét 1.2.27 Gi£ sû A là toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính Khi đó A có

thº thác triºn thành toán tû ng¨u nhiên suy rëng tuy¸n tính Thªt vªy, xét

[H] là tªp các bi¸n ng¨u nhiên u nhªn giá trà trong H có d¤ng

nX

u = ξ i x i ,

i=1

vîi ξ i ∈ L0, x i ∈ H D¹ th§y [H] là không gian ng¨u nhiên tuy¸n tính.

Xác đành toán tû ΦA : [H] → L H0 (Ω) như sau

nX

ΦA u = ξ i Ax i .

i=1

Ta có ΦA là toán tû ng¨u nhiên suy rëng tuy¸n tính và ΦA là mët thác

triºn cõa toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính A.

Gi£ sû Φ : D(Φ) → LH0 (Ω) là toán tû ng¨u nhiên suy rëng tuy¸n tính

vîi mi·n xác đành trù mªt D(Φ) Xét M∗ là tªp hñp các ph¦n tû v ∈ LH0

(Ω), tçn t¤i g ∈ L H0 (Ω) sao cho vîi måi u ∈ D(Φ) có

hΦu, vi = hu, gi.

Ta có bi¸n ng¨u nhiên g xác đành duy nh§t vîi méi v Đ°t g = Φ∗v Ta

thu đưñc ánh x¤ Φ∗ : M∗ → LH0 (Ω), vîi mi·n xác đành M∗, ký hi»u là

D(Φ∗) Ta có D(Φ∗) là không gian tuy¸n tính ng¨u nhiên và Φ∗ là toán

tû ng¨u nhiên tuy¸n tính suy rëng

26

Đành nghĩa 1.2.28 Toán tû ng¨u nhiên suy rëng tuy¸n tính Φ∗ : D(Φ∗)

−→ LH0 (Ω) đưñc gåi là liên hñp cõa Φ n¸u thäa mãn quan h» sau

hΦu, vi = hu, Φ∗vi

vîi måi u ∈ D(Φ), v ∈ D(Φ∗)

Đành nghĩa 1.2.29 1 Toán tû ng¨u nhiên suy rëng tuy¸n tính Φ đưñc

gåi là liên töc n¸u nó liên töc ng¨u nhiên, tùc là, vîi méi dãy (u n) ⊂D(Φ) sao cho limn u n = u ∈ D(Φ) thì ta có lim n Φu n = Φu.

2. Toán tû ng¨u nhiên suy rëng tuy¸n tính

t¤i bi¸n ng¨u nhiên không âm k(ω) sao

Φ đưñc gåi là bà ch°n n¸u tçn cho vîi méi u ∈ D(Φ) ta

có

kΦu(ω)k 6 k(ω)ku(ω)k h.c.c.

3. Toán tû ng¨u nhiên suy rëng tuy¸n tính Φ vîi mi·n xác đành trù mªt

D(Φ) đưñc gåi là đèi xùng n¸u Φ ⊂ Φ∗, nghĩa là

hΦu, vi = hu, Φvi ∀u, v ∈ D(Φ).

4. Toán tû ng¨u nhiên suy rëng tuy¸n tính Φ đưñc gåi là chu©n t-c n¸u

nó bà ch°n và ΦΦ∗ = Φ∗Φ.

5. Toán tû ng¨u nhiên suy rëng tuy¸n tính Φ vîi mi·n xác đành trù mªt

D(Φ) đưñc gåi là tü liên hñp n¸u Φ = Φ∗

Ví dö 1.2.30 Gi£ sû toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính A đèi xùng Khi đó

toán tû mð rëng ΦA : [H] → L H0 (Ω) cõa A cũng đèi xùng.

Đèi vîi toán tû ng¨u nhiên suy rëng tuy¸n tính thì cũng có các k¸tqu£ tương tü như toán tû ng¨u nhiên tuy¸n tính K¸t qu£ dưîi đ§y đưñctrích d¨n trong bài báo [47]

27