Nghiên cứu một số hiệu ứng phụ thuộc kích thước trong màng mỏng perovskite có trật tự xa luận án TS khoa học vật chất60 44 01

Sự phụ thuộc của trung bình các thành phần độ phân cực vào trường ngangđối với màng mỏng gồm một hoặc hai lớp spin n=1,2...46Hình 2... Sự phụ thuộc của trường ngang tới hạn vào độ dày mà

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 3

LỜI CẢM ƠN 4

DANH MỤC CÁC KÍ HI ỆU VÀ CH Ữ VIẾT TẮT 5

DANH MỤC CÁC HÌNH V Ẽ 6

MỞ ĐẦU 9

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ HIỆU ỨNG PHỤ THUỘC KÍCH THƯỚC TRONG MÀNG M ỎNG CÓ TR ẬT TỰ XA 13

1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN C ỨU VỀ MÀNG M ỎNG 13

1.1.1 Sự phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha vào độ dày màng m ỏng 13

1.1.2 Sự phụ thuộc của tham số trật tự vào độ dày màng m ỏng 16

1.1.3 Sự tái định hướng spin phụ thuộc độ dày màng m ỏng 19

1.2.1 Lý thuy ết chuyển pha hiện tượng luận của Landau 21

1.2.2 Lý thuy ết hàm Green hai thời điểm 27

CHƯƠNG 2 HIỆU ỨNG PHỤ THUỘC KÍCH THƯỚC TRONG MÀNG M ỎNG MÔ T Ả BẰNG MÔ HÌNH ISING TRONG TR ƯỜNG NGANG 36

2.1 HAMILTONIAN ISING TRONG TRƯỜNG NGANG VÀ D ỌC 36

2.2 GẦN ĐÚNG TRƯỜNG TRUNG BÌNH CHO HỆ SPIN MÔ T Ả BẰNG MÔ HÌNH ISING NGANG 41

2.2.1 Phương trình xác định tham số trật tự 42

2.2.2 Phương trình xác định nhiệt độ chuyển pha Curie 42

2.2.3 Chuyển pha lượng tử theo lý thuy ết trường trung bình 44

2.2.4 Kết quả tính số 45

2.3 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM CHO MÔ HÌNH ISING TRONG TRƯỜNG NGANG 50

2.4 GẦN ĐÚNG GAUSSIAN CHO NĂNG LƯỢNG TỰ DO 54

CHƯƠNG 3 NĂNG LƯỢNG SÓNG SPIN VÀ ĐỘ CẢM TỪ CỦA MÀNG MỎNG MỘT LỚP MÔ T Ả BẰNG MÔ HÌNH XZ HE ISENBERG 58

3.1 HAMILTONIAN CHO MÀNG M ỎNG XZ HEISENBERG DỊ HƯỚNG ĐƠN

LỚP 58

3.2 BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN PHI ẾM HÀM CHO HÀM GREEN MATS UBARA, GẦN ĐÚNG GAUSSIAN 61

3.3 ĐỘ CẢM TỪ VÀ NĂNG LƯỢNG SÓNG SPIN TRONG MÀNG M ỎNG SPIN ĐƠN LỚP 64

CHƯƠNG 4 ẢNH HƯỞNG CỦA CÁC TƯƠNG TÁC ĐẾN NHIỆT ĐỘ CURIE VÀ S Ự TÁI ĐỊNH HƯỚNG SPIN TRONG MÀNG M ỎNG TỪ MÔ T Ả BẰNG MÔ HÌNH HEISENBERG DỊ HƯỚNG 72

4.1 SỰ TÁI ĐỊNH HƯỚNG SPIN TRONG MÀNG M ỎNG TỪ HEISENBERG VỚI DỊ HƯỚNG ION ĐƠN TRỤC 72

4.1.1 Mô hình Heisenberg với dị hướng ion đơn trục cho màng mỏng từ 72

4.1.2 Kết quả và thảo luận 76

4.2 VAI TRÒ C ỦA TƯƠNG TÁC LƯỠNG CỰC VÀ D Ị HƯỚNG TRONG MÀNG MỎNG 79

4.2.1 Mô hình Heisenberg cho màng mỏng từ có ch ứa tương tác lưỡng cực và dị hướng 79

4.2.2 Hàm Green Matsubara 87

4.2.3 Kết quả tính số 89

KẾT LUẬN CHƯƠNG 4 91

KẾT LUẬN CHUNG CHO LUẬN ÁN 93

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA H ỌC ĐÃ CÔNG B Ố CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 95

DANH MỤC TÀI LI ỆU THAM KHẢO 96

PHỤ LỤC A TRỊ RIÊNG C ỦA MA TRẬN TOEPLITZ 107

PHỤ LỤC B TÍCH PHÂN GAUSS 111

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học của riêng tôi Các số liệu vàkết quả trong luận án là trung thực, khách quan và đã được công b ố theo đúng quyđịnh Các kết quả này chưa từng được sử dụng trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án

Nguyễn Từ Niệm

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin dành nh ững lời cảm ơn đầu tiên và sâu s ắc nhất của mình gửi tớiGS.TS Bạch Thành Công, người thầy đã luôn nhi ệt tình hướng dẫn tôi hoàn thànhcông tr ình nghiên cứu này và đã giúp đỡ tôi trưởng thành hơn trên con đường nghiêncứu khoa học của mình

Tôi xin bày t ỏ lòng bi ết ơn đến các bạn đồng nghiệp trong Bộ môn V ật lýĐại cương đã t ạo mọi điều kiện thuận lợi, luôn giúp đỡ và động viên tôi r ất nhiềutrong suốt thời gian thực hiện luận án

Tôi xin g ửi lời cảm ơn đến Khoa Vật lý, T rường Đại học Khoa học Tự nhiên,Đại học Quốc Gia Hà Nội đã hỗ trợ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiêncứu

Xin gửi lời cảm ơn đến đề tài NAFOSTED 103.01-2015-92 đã h ỗ trợ kinh phí

để tôi hoàn thành công trình này

Cuối cùng, tôi xin g ửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đìnhđã luôn

động viên và là ch ỗ dựa vững chắc cho tôi, giúp tôi thêm ngh ị lực để hoànthành lu ận án này

Hà Nội, năm 2018Nguyễn Từ Niệm

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

MFA: Mean Field Approximation (Gần đúng trường trung bình).TPPH: Tích phân phiếm hàm

LCGN: Lân cận gần nhất (nearest neighbour)

QCP: Điểm chuyển pha lượng tử (Quantum Critical Point)

TIM: Mô hình Ising trong trường ngang (Transverse Ising Model)

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 0 1 Giản đồ sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển pha sắt điện-thuận điện vàotham số điều chỉnh của vật liệu sắt điện [86]. 10Hình 1 1 Sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie vào độ dày màng Ni [78]. 13Hình 1 2 Nhiệt độ Curie sắt điện của màng mỏng perovskite PbTiO3 giảm rất nhanhkhi độ dày màng c ỡ 6-7 kích thước ô cơ sở và hầu như bằng không khi độ dày màng

cỡ khoảng 3 kích thước ô cơ sở Đường chấm mờ mô t ả kết quả khi làm khớp số liệuthực nghiệm theo lý thuy ết Landau [26]. 14Hình 1 3 Sự phụ thuộc moment từ vào độ dày của màng La-Mn-Sr-O [76]. 16Hình 1.4 Sự phụ thuộc kích thước của độ từ hóa bão hòa trong màng m ỏngAu/Ni/Si(100) [91]. 17Hình 1 5 Ảnh hưởng của độ dày màng BTO lên độ phân cực tại nhiệt độ phòng [42].18

Hình 1 6 Sự phụ thuộc độ dày màng PZT c ủa độ phân cực tỷ đối [33] 19Hình 1 7 Đồ thị năng lượng tự do như hàm của độ phân cực F(P) cho chuyển phaloại 2[105]. 23Hình 1 8 Kích thước tới hạn theo lý thuy ết trường trung bình khi năng lượng bề mặtdương λ>0 [105]. 26

Hình 2 1 Vị trí của spin trong mạng tinh thể được cho bởi vectơ vị trí rνj Ở đây chỉ

số lớp spin là ν (ν=1, 2, , n) và vectơ 2 chiều Rj nằm trong mặt phẳng mạng songsong với mặt màng mỏng 37Hình 2 2 Sự phụ thuộc nhiệt độ của các thành ph ần độ phân cực mx/s, mz/s trongmàng mỏng đối xứng hai lớp với các tham số η = 0.8; s=1 46Hình 2 3 Sự phụ thuộc của trung bình các thành phần độ phân cực vào trường ngangđối với màng mỏng gồm một hoặc hai lớp spin (n=1,2) 46Hình 2 4 Sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie vào độ dày màng v ới các hằng số traođổi dị hướng khác nhau (a) với tham số được chọn: Ω0 /J=2.0; s=1 và h0 =0 và vớicác giá tr ị trường ngang khác nhau (b) khi s=1, h0=0, η=1.2. 47Hình 2 5 Sự phụ thuộc nhiệt độ Curie vào trường ngang với η=1.2; s=1 và h0=0 48

Hình 2 6 Sự phụ thuộc của trường ngang tới hạn vào độ dày màng m ỏng với các hằng số trao đổi dị hướng khác nhau khi chỉ số spin của màng có giá tr ị: s=1(a) vàs=3/2 (b) Hình 2 7 Đồ thị so sánh số liệu thực nghiệm và tính toán lý thuy ết cho màng mỏngperovskite PbTiO3 Tham số lý thuy ết tương ứng là: Ω0/J=6.1; η=1.75; s=1 Hình 2 8 Giản đồ Feymann cho phiếm hàm tương tác (2.51) đến bậc 4 của biến

z

trường Đường lượn sóng ứng với ψ ν

Các biểu thị và quy tắc của giản đồ được Izyumov đưa ra trong [45] .54Hình 3 1 Định hướng của hệ trục tọa độ mạng tinh thể xyz và hệ tọa độ quay XYZ.Trục OZ trùng v ới hướng của trường tổng hợp γν nằm trong mặt xOz và tạo một góc

θ so với mặt phẳng màng .Hình 3 2 Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ phân cực tổng m và các thành ph ần mz, mx,

góc nghiêng θ với s=1, h0 =0, L =0.6 Đồ thị

của m được vẽ với

Hình 3 3 Sự phụ thuộc nhiệt độ của năng lượng sóng spin trong màng một lớp:

kx=ky=0.5 (a), kx=ky=0 (b) Ở đây spin có giá trị s=1 và h0=0 Hình 3 4 Sự phụ thuộc năng lượng sóng spin của màng đơn lớp tại tâm vùng

Brillouin vào trường ngang tại nhiệt độ τ =1.2, s =1, h0=0 Hình 4 1 Mô hình các lớp spin trong hai hệ tọa độ Oxyz và OXYZ Từ trường ngoài

Rj xác định vị trí của spin trong mặt phẳng song song với mặt màng Js là tương tác traođổi lân cận gần nhất giữa các spin trong cùng m ột lớp, Jp là tương tác trao đổi lân

cận gần nhất giữa các spin trong các l ớp khác nhau. 73Hình 4 2 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của độ phân cực từ trong màng mỏng cấu trúclập phương hai lớp (a) và ba lớp (b) với các giá tr ị khác nhau của tham số tương táctrao đổi bề mặt khi s=1, d=0.05, h=0, ε=0. 77Hình 4 3 Sự thay đổi của góc θ (góc gi ữa vectơ phân cực từ và phương pháp tuyến

với mặt màng) theo trường ngoài h n=2, ε=0. 78

Hình 4 4 Sự phụ thuộc trường ngoài của các thành ph ần mx, mz với các giá tr ị ζ khácnhau Tính toán thực hiện cho n=2, ε=0. 78Hình 4 5 Sự phụ thuộc của góc θ trong màng m ỏng hai lớp vào cường độ trườngngoài tạo với trục OX một góc ε=π/6 Các tham s ố được chọn trong hệ đơn vị của Jp

là d=0.9, τ=2.8, s=1. 79Hình 4 6 Sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie của màng mỏng một lớp cấu trúc hìnhvuông vào tham s ố ε= J s / J d , s=1/2. 90Hình 4 7 Sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie vào độ lớn trao đổi sắt từ bề mặt cho màng

tự do hai lớp có c ấu trúc l ập phương và spin s=1/2. 90Hình 4 8 Nhiệt độ Curie phụ thuộc vào tương tác trao đổi sắt từ bề mặt đối với cácmàng mỏng có độ dày và spin khác nhau khi d ị hướng bằng không. 91

MỞ ĐẦU

Hiện nay màng mỏng có tr ật tự xa (trật tự sắt từ hoặc trật tự sắt điện) gọi chung

là màng mỏng ferroic được áp dụng rộng rãi để chế tạo các linh kiện điện tử thế hệ mới,các bộ nhớ sắt điện (FeRAMs), DRAM, MRAM (bộ nhớ sắt từ truy cập ngẫu nhiên), các

t ụ điện có dung lượng lớn, cảm biến từ trường siêu nhạy [39, 85] Những tính chất mới

và tiềm năng ứng dụng to lớn làm cho lĩnh vực nghiên cứu về màng mỏng ngày càngphát tri ển mạnh mẽ Trong thực tế, mặc dù màng m ỏng có tác động rất lớn trong côngngh ệ lưu trữ thông tin, s ự nghiên cứu về màng mỏng cũng chỉ đang

ởgiai đoạn khám phá ban đầu và sự nghiên cứu lâu dài v ề lĩnh vực này là c ần thiết.Chúng ta bi ết rằng khi kích thước của hệ giảm xuống vùng nano met thì hàng loạthiệu ứng vật lý m ới xuất hiện do sự khác biệt về số nguyên tử trên bề mặt với sốnguyên tử bên trong khối Điều này làm cho các thông s ố vật lý có ý ngh ĩa ứng dụngphụ thuộc mạnh vào kích thước hệ và trở thành vấn đề quan trọng hàng đầu phải khảosát Nguyên nhân vi mô c ủa hiệu ứng phụ thuộc kích thước của các tham số trật tựđược chỉ ra trong các mô hình lý t huyết là do dị hướng của tương tác trao đổi giữacác spin trong các h ệ thấp chiều (tương tác trao đổi trên bề mặt vật thể khác với cáctương tác trao đổi bên trong), do sự thay đổi của dị hướng từ trên bề mặt so với dịhướng từ bên trong, các trường hiệu dụng do tiếp xúc v ới môi trường (ví dụ ảnhhưởng của trường ứng suất của đế lên màng m ỏng bên trên) Hi ệu ứng phụ thuộckích thước gần nhiệt độ không tuy ệt đối trong các hệ thấp chiều như dây lượng tử,màng mỏng giả hai chiều có liên quan m ật thiết với sự chuyển pha lượng tử - mộttrong những vấn đề hiện đại của vật lý được quan tâm nhiều trong thời gian gần đây

Sự chuyển pha ở nhiệt độ bằng không được gọi là sự chuyển pha lượng tử

Hình 0 1 là giản đồ pha chỉ ra sự thay đổi của nhiệt độ Curie, độ cảm điện của

vật liệu sắt điện vào tham số điều chỉnh trạng thái (Tuning Parameter) Tham số này

có th ể là trường ngoài, độ dày màng m ỏng, phần trăm các nguyên tố pha tạp Ở mộtgiá trị tới hạn xC, nhiệt độ chuyển pha trật tự - không tr ật tự bằng không x C đượcgọi là điểm chuyển pha lượng tử (Quantum Critical Point)

Hình 0 1 Giản đồ sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển pha sắt điện-thuận điện vào tham số điều chỉnh của vật liệu sắt điện [86].

Các nghiên c ứu về hiệu ứng phụ thuộc kích thước trong màng mỏng đã đư ợcthực hiện cả về lý thuy ết lẫn thực nghiệm Về mặt thực nghiệm, màng mỏng đã đượcchế tạo nhờ các phương pháp mới Về mặt lý thuy ết, nhiều mô hình của vật lý th ống

kê lượng tử như mô hình Ising trong trư ờng dọc và ngang, mô hình Heisenberg vớitrao đổi dị hướng…đã được áp dụng và tính toán sự phụ thuộc của tham số trật tự (độ

từ hóa ho ặc độ phân cực điện), nhiệt độ Curie và độ cảm sắt từ, sắt điện sử dụng cácgần đúng khác nhau như gần đúng trường trung bình (MFA: Mean FieldApproximation), lý thuy ết chuyển pha hiện tượng luận của Landau, lý thuy ết trườnghiệu dụng (EFA: effective field approximation), hàm Green hai th ời điểm phụ thuộc nhiệt độ…Tuy nhiên bài toán đặt ra đối với màng mỏng không ph ải là vấn đề đơngiản, một số mô hình lý thuy ết cho màng mỏng với độ dày vài l ớp nguyên tử (ví dụ

như mô hình Ising) vẫn chưa có lời giải chính xác, vai trò của các tham số ứng dụngvẫn chưa được đánh giá một cách đầy đủ.

Căn cứ vào tình hình nghiên cứu thực tế hiện nay, việc nghiên cứu cụ thể hơn

về các hiệu ứng phụ thuộc kích thước theo định hướng ứng dụng là cần thiết Vì vậy

đề tài “Nghiên cứu một số hiệu ứng phụ thuộc kích thước trong màng m ỏng

perovskite có tr ật tự xa’’ được lựa chọn là đề tài nghiên c ứu của luận án này.

Đối tượng nghiên cứu của luận án:

Màng mỏng ferroic (màng mỏng sắt từ hoặc sắt điện) có tr ật tự xa

Mục tiêu nghiên cứu của luận án:

Mục tiêu của luận án là kh ảo sát hiệu ứng phụ thuộc kích thước của các tham

số đặc trưng cho trật tự (nhiệt độ Curie, độ từ hóa ho ặc độ phân cực, nhiệt dung, sựtái định hướng của vectơ phân cực) trong các màng ferroic siêu mỏng (UltrathinFilms) và áp d ụng để giải thích một số thực nghiệm quan sát được trong màng mỏngperovskite có tr ật tự xa có ứng dụng rộng rãi trong thực tế như PbTiO3, BaTiO3

Phương pháp nghiên cứu của luận án:

Luận án sử dụng phương pháp thống kê lượng tử chất rắn, cụ thể là phươngpháp tích phân phiếm hàm cho hệ vật lý là h ệ spin tùy ý trong màng mỏng

Ý nghĩa khoa học của luận án:

Luận án góp ph ần xây dựng cơ sở lý thuy ết nhằm giải thích các ảnh hưởngcủa các hiệu ứng phụ thuộc kích thước trong các màng m ỏng ferroic

Luận án góp ph ần giải thích một số kết quả nghiên cứu thực nghiệm trên các màng mỏng sắt điện và sắt từ

Nội dung và bố cục của luận án:

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, nội dung của luận án được trình bàytrong 4 chương Chương 1 trình bày tổng quan về vấn đề nghiên cứu màng mỏngferroic có tr ật tự xa Chương 2 trình bày về mô hình Ising cho màng mỏng trongtrường ngang, trong đó tập trung vào khảo sát sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển phaCurie vào độ dày màng và vào trường ngang Chương 3 đề cập đến mô hình XZHeisenberg và áp d ụng để tính năng lượng sóng spin , độ cảm từ động trong màng

mỏng một lớp spin Vai trò c ủa tương tác lưỡng cực và dị hướng cũng như sự tái định hướng spin trong màng mỏng mô t ả bởi mô hình Heisenberg được khảo sát ở chương

4 của luận án

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ HIỆU ỨNG PHỤ THUỘC KÍCH THƯỚC

TRONG MÀNG MỎNG CÓ TRẬT TỰ XA

Ảnh hưởng quan trọng nhất của hiệu ứng kích thước đối với các màng mỏng ferroic

là ảnh hưởng lên các đặc trưng của chuyển pha trật tự - mất trật tự, nghĩa là ảnh hưởngđến nhiệt độ TC, tham số trật tự (độ từ hóa, độ phân cực điện), nhiệt dung

Sự phụ thuộc của sự tồn tại tính sắt từ hoặc tính sắt điện vào kích thước (độ dàymàng) là điều rất quan trọng khi chế tạo các linh kiện sử dụng các hiệu ứng liên quanđến các tính chất đó Vấn đề quan trọng nhất đó là xác định giới hạn kích thước trong

đó các tham số trật tự (nhiệt độ Curie, độ từ hóa/ độ phân cực ) thay đổi so với cácgiá trị trong vật liệu khối tương ứng

1.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN C ỨU VỀ MÀNG M ỎNG

1.1.1 Sự phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha vào độ dày màng mỏng

Sự suy giảm nhiệt độ chuyển pha khi độ dày của các màng m ỏng giảm là mộthiện tượng phổ biến của các màng mỏng Nguyên nhân gây ra h iệu ứng kích thướcnày là do sự giảm số lượng các nguyên t ử theo hướng vuông góc v ới bề mặt màngdẫn đến sự suy giảm năng lượng tương tác trao đổi

Về mặt thực nghiệm các phép đo sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie vào độ dàymàng đã được thực hiện trên các màng m ỏng sắt từ như Ni [82], Co[75], Fe[48], Gd[55], các màng th ủy tinh spin CuMn [1] Ngoài ra, nhiều nghiên cứu thực nghiệmcũng được thực hiện trên các c ấu trúc đa lớp Gd/W [4] và màng m ỏng sắt điện [26]

Hình 1 1 Sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie vào độ dày màng Ni [78].

Các phép đo thực nghiệm đã ch ỉ ra sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie vào độ dàymàng: nhiệt độ Curie sẽ giảm khi độ dày màng m ỏng giảm xuống chỉ còn vài l ớpnguyên tử.

Hình 1 1 cho thấy nhiệt độ Curie của màng mỏng kim loại Nikel nuôi trên đế

Cu có định hướng khác nhau với độ dày 5 lớp nguyên tử có thể giảm tới một nửa giátrị so với màng có độ dày vài ch ục lớp nguyên tử

nhanh khi độ dày màng c ỡ 6-7 kích thước ô cơ sở và h ầu như bằng không khi độ dày màng cỡ khoảng 3 kích thước ô cơ sở Đường chấm mờ mô t ả kết quả khi làm kh

ớp số liệu thực nghiệm theo lý thuyết Landau [26].

[26] giảm rất nhanh theo sự giảm của độ dày Kết quả rút ra t ừ lý thuy ết Landau chothấy TC bằng 0 khi màng mỏng có độ dày 3 ô cơ sở (3 lớp nguyên tử Titan)

Các đặc tính chuyển pha trong màng mỏng cũng đư ợc nghiên cứu và giải thích bằng nhiều lý thuy ết khác nhau nhau như lý thuy ết Landau [15, 16, 24, 85, 99], lý

thuyết trường trung bình [50], lý thuy ết trường hiệu dụng [60], lý thuy ết hàm Green[6], phương pháp sóng spin [43] Tuy nhiên có nhi ều sự khác biệt giữa các kết quảthực nghiệm với các kết quả tính toán lý thuyết, đồng thời giữa các lý thuy ết cũngcho kết quả khác nhau và cũng không hoàn toàn đầy đủ Ví dụ như độ dày tới hạn củamàng PbTiO3 tại nhiệt độ phòng được ước tính là khoảng 5,5nm theo lý thuy ết hiệntượng luận [49] Tuy nhiên các phép đo thực nghiệm lại cho thấy trạng thái ổn địnhvới độ phân cực vuông góc b ề mặt màng có th ể tồn tại ở màng PZT (lead zinconatetitanate) Tính toán theo nguyên lý đầu tiên thậm chí tìm thấy trạng thái có độ phân cựcđiện vuông góc có th ể duy trì ở điều kiện đoản mạch cho màng mỏng cỡ 1,2 nm (3 ô cơsở) Mặc dù có nhi ều nghiên cứu về sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie vào kích thước (độdày màng ) và độ dày tới hạn của các màng siêu m ỏng [34, 49, 90, 101, 108, 114, 113]nhưng bản chất vật lý và lý do t ồn tại của nó v ẫn chưa chắc chắn Ngoại trừ các trườnghợp đơn giản nhất, tính toán số sử dụng nguyên lý đầu tiên (ab initio)

[34] hoặc cách tiếp cận nhiệt động lực học [90, 101] là các công c ụ chính để khaithác lĩnh vực này Các cách ti ếp cận này có hi ệu quả tốt khi nghiên cứu chuyển phatrong các mô hình liên t ục và xác định được điểm chuyển pha khá chính xác Tuynhiên khi áp dụng cho các mô hình không liên t ục thì hiện tượng xảy ra phức tạp hơn

và chưa có câu tr ả lời thỏa đáng

Việc xác định sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie vào độ dày màng siêu m ỏng (vàiđơn lớp) cũng đã được tính toán bằng nhiều mô hình như mô hình Ising [51, 53], môhình Heisenberg[103], mô hình XY, Trong số đó, mô hình Ising trong trường ngangđược sử dụng khá nhiều để nghiên cứu sự chuyển pha lượng tử cả trong màng mỏngsắt từ và sắt điện [50- 54] và có hi ệu quả khá tốt Kết quả của các công trình này ch ỉ

ra sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie và độ từ hóa c ủa màng mỏng vào trường ngangđặt vào màng với các độ dày khác nhau Các nghiên c ứu trên cho thấy rằng, nhiệt độCurie của màng sẽ tăng khi trường ngang giảm Tuy nhiên nhiệt độ Curie cũng phụthuộc vào tương tác trao đổi giữa các lớp spin bề mặt và các l ớp spin bên trongmàng Nhiệt độ Curie tăng khi tương tác giữa các spin trên bề mặt màng và các spin ởlớp bên trong tăng lên

Một vấn đề nghiên cứu khác được đặt ra là ảnh hưởng của tương tác giữa cáclớp trong màng lên nhi ệt độ tới hạn Tác dụng chồng chéo của các lớp lên nhiệt độtới hạn minh họa cho tương tác này.Ví dụ như nhiệt độ TC của màng Fe/W(110) thấphơn nhiệt độ TC của màng Fe được phủ Ag có độ dày bằng nhau Điều này có th ể do

sự tăng cường momen từ của Fe khi kết hợp với Ag dẫn đến sự tăng nhiệt độ Curie.Đối với màng mỏng từ tính, quá trình nghiên cứu quan trọng nhất là sự phụ thuộc nhiệt

độ của các tham số trật tự (độ từ hóa) g ần điểm tới hạn Khác với số mũ tới hạn, giá trịcủa TC là đặc trưng của hệ (nó ph ụ thuộc vào độ lớn của các tương tác) Elmers

[28] đã đưa ra một mô tả chi tiết về sự chuyển pha từ tính trong phim dày 0-2 lớp nguyên tử, với sự nhấn mạnh trên hệ Fe/W (0), Fe /W (100) và Co/Cu (111)

1.1.2 Sự phụ thuộc của tham số trật tự vào độ dày màng mỏng

Những nghiên cứu thực nghiệm cho thấy rằng tham số trật tự ở các lớp bề mặt

của màng mỏng nhỏ hơn các lớp bên trong Các Hình 1 3 và Hình 1.4 cho thấy sự

phụ thuộc moment từ vào độ dày của các màng mỏng La-Mn-Sr-O và Au/Ni/Si (100).Kết quả thực nghiệm chỉ ra rằng moment từ của màng mỏng giảm mạnh khi độ dàymàng giảm

Hình 1 3 Sự phụ thuộc moment từ vào độ dày c ủa màng La-Mn-Sr-O [76].

Hình 1.4 Sự phụ thuộc kích thước của độ từ hóa bão hòa trong màng m ỏng

Au/Ni/Si(100) [91].

Việc phá vỡ đối xứng ở bề mặt hoặc ở các vùng ti ếp xúc là ngu ồn gốc củanhững thay đổi quan trọng trong cấu trúc điện tử của nguyên tử theo hướng vuônggóc v ới bề mặt khi so sánh với vật liệu khối (được Neél chỉ ra đầu tiên) và d ẫn đến

sự tăng cường momen từ bề mặt

Những thay đổi về momen từ có th ể được hiểu là kết quả của việc địa phươnghóa và thu h ẹp các orbitals nguyên tử của các nguyên t ử bề mặt, dẫn đến mật độ cáctrạng thái điện tử lớn hơn tại mức Fermi và sự mất cân bằng spin gia tăng [31, 57].Nói cách khác ở bề mặt số nguyên tử lân cận giảm đi (về một phía) nên mật độ trạngthái điện tử sẽ tăng lên Trong giới hạn hai chiều, thậm chí một số kim loại không có

từ tính trong trạng thái thể tích sẽ trở nên có t ừ tính ở trạng thái bề mặt [27] Tuy nhiênhiện tượng này không th ể giải thích do sự tăng lên của mật độ trạng thái N(EF) mà là do

hi ệu ứng lai hóa Trường hợp của kim loại Vanadi (V) là một ví dụ: momen từ của V có

th ể xuất hiện trên bề mặt một số đế mẫu kim loại sắt từ Trên các b ề mặt (hay bề mặtchuyển tiếp giữa các lớp) của các kim loại sắt từ như Fe, Co, Ni, momen từ của V có

phân cực âm (so với momen từ của Fe) và có th ể đạt tới giá trị 1,9 µ B Cơ chế của sự

xuất hiện momen từ này của V là do mức độ lai hóa khác nhau gi ữa các

trạng thái 3d (Fe)-3d(V) trong các phân vùng spin thu ận và spin nghịch Khi khảo sátmột cách chi tiết, trong một vùng chuy ển tiếp của các màng m ỏng đa lớp Fe/V (001),người ta còn p hát hiện thấy momen từ của Fe và V thay đổi theo từng lớp nguyên tửtrong vùng chuy ển tiếp đó Đó cũng có thể là kết quả của sự thay đổi nồng độ theokhoảng cách, dẫn đến sự thay đổi mức độ lai hóa 3d (Fe) -3d(V) theo vị trí nguyên tử.Các phép đo thực nghiệm trong các màng m ỏng sắt điện cũng cho thấy kết quảtương tự Hiệu ứng phụ thuộc kích thước của độ phân cực đã được tìm thấy trong

màng mỏng BTO có độ dày từ 35 đến 250nm (Hình 1 5) Ở đây cho thấy sự suy

giảm mạnh của độ phân cực khi độ dày màng gi ảm đi

Hình 1 5 Ảnh hưởng của độ dày màng BTO lên độ phân c ực tại nhiệt độ phòng [42].

Bên cạnh các phép đo thực nghiệm các tính toán về sự phụ thuộc kích thước củacác tham số trật tự trong các màng m ỏng ferroic cũng được nhiều tác giả thực hiệntheo các lý thuy ết khác nhau Sử dụng lý thuy ết Landau–Ginzburg–Devonshire tổngquát tính toán cho màng mỏng perovskite sắt điện PZT, nhóm tác gi ả Gang Liu vàCe-Wen Nan [33] cho thấy sự gia tăng độ dày dẫn đến sự tăng độ lớn của độ phân

cực thể hiện trong Hình 1 6.

Hình 1 6 Sự phụ thuộc độ dày màng PZT c ủa độ phân c ực tỷ đối [33].

1.1.3 Sự tái định hướng spin phụ thuộc độ dày màng mỏng

Một vấn đề khác thu hút được nhiều sự chú ý khi nghiên cứu về hiệu ứng kíchthước trong màng mỏng là sự chuyển pha tái định hướng spin, xảy ra khi dị hướngvuông góc b ị giảm bớt do dị hướng trong mặt phẳng khi độ dày màng ho ặc nhiệt độcủa màng thay đổi Nhằm đạt được các mục đích mang tính ứng dụng của màngmỏng, cần thiết phải nghiên cứu về định hướng của vectơ phân cực của màng, đó làvectơ phân cực điện (vectơ độ từ hóa) đối với các màng s ắt điện (sắt từ) Các bộ nhớmật độ cao chủ yếu yêu cầu sự phân cực ngoài mặt phẳng, nhưng có một số yếu tốảnh hưởng mạnh đến định hướng phân cực của các màng m ỏng như: độ dày màng,tính chất bề mặt, trường ngang bên ngoài, nhi ệt độ Lin và các c ộng sự đã quan sátthấy bằng thực nghiệm rằng sự tái định hướng spin từ hướng vuông góc sang hướngsong song bề mặt trong màng siêu m ỏng Fe / Cu3Au (100) xảy ra do chuyển đổi cấutrúc fcc -bcc [59] Nhóm tác gi ả Wilgocka-Slezak và cộng sự đã ch ứng minh sự táiđịnh hướng spin ngược khi vectơ từ hóa quay t ừ trên mặt màng tới vị trí vuông gócvới màng xảy ra trong màng siêu m ỏng Fe / Au (001) khi độ dày của lớp nguyên tửsắt giảm từ 2,3 xuống 2,0 ML (lớp nguyên tử) [110] Các tác gi ả của các công trình [59,110] đã s ử dụng lý thuy ết hiện tượng luận để mô t ả sự tái định hướng của vectơ phâncực (độ từ hóa) trong các màng m ỏng khi độ dày màng gi ảm Phương pháp

tương tự cũng được sử dụng trong công trình [65, 67] cùng các tài li ệu tham khảotrong đó Usadel và Hucht [103] đã nghiên c ứu sự tái định hướng của hệ spin cổ điểncủa màng mỏng ở trạng thái cơ bản dưới ảnh hưởng của dị hướng đơn trục và tươngtác lưỡng cực Schwieger và cộng sự [83] đã s ử dụng mô hình Heisenberg vi mô d ịhướng và hàm Green hai th ời điểm để phát triển lý thuy ết tái định hướng spin ởnhiệt độ hữu hạn đối với màng đơn lớp.

Khi nghiên cứu một số các màng m ỏng Fe, dày khoảng ba lớp nguyên tử, lắngđọng trên đồng Cu (100), nhóm tác gi ả Pappas cho thấy rằng moment từ của cácnguyên tử Fe vuông góc m ặt phẳng của màng ở vùng nhi ệt độ thấp [74] Khi tăngnhiệt độ, moment từ bị triệt tiêu, nhưng ở vùng nhi ệt độ cao hơn thì lại tái xuất hiệntheo phương nằm trong mặt phẳng màng Sự thay đổi của độ từ hóa x ảy ra ở nhiệt độ

T <350 K khi cấu trúc màng là ổn định Nhóm tác gi ả này đã gi ải thích hiện tượng nàynhư là sự chuyển tiếp từ trạng thái đơn trục vuông góc với mặt phẳng của màng do dịhướng ở nhiệt độ thấp sang một trạng thái độ từ hóa đã xoay đi một góc nào đó so vớiban đầu Họ đưa ra hai khả năng cho miền mà độ từ hóa b ị triệt tiêu: Khả năng đầu tiên

là mi ền này là hoàn toàn thu ận từ do trường khử từ làm mất đi dị hướng giữa các lớp.Khả năng thứ hai là cấu trúc t ừ tính của miền này là c ấu trúc vách đômen tĩnh với độ từhóa b ằng không Nhóm tác gi ả này cũng lưu ý r ằng nhiệt độ chuyển

đổi sẽ giảm khi độ dày màng tăng lên

Trong một nghiên cứu về màng Co/Au (111) sử dụng kính hiển vi điện tử quét,nhóm tác gi ả Allenspach [7] đã ch ứng minh sự phụ thuộc của cấu trúc t ừ vào độ dàycủa màng tại một nhiệt độ không đổi là 300K Khi màng có độ dày khoảng 3 lớpnguyên tử, các momen từ có phương vuông góc với mặt màng nhưng lại sắp xếp trongnhững miền có hình dạng bất thường Khi độ dày màng tăng lên, các moment từ sẽdần dần xoay liên tục cho đến khi độ dày màng đạt đến năm lớp nguyên tử thìmoment từ gần như hoàn toàn nằm trong mặt phẳng màng

1.2 MỘT SỐ LÝ THUY ẾT GIẢI THÍCH TÍNH CHẤT CỦA CÁC H Ệ SPIN THẤPCHIỀU

Đối với các màng m ỏng, lý thuy ết giảm TC được dựa trên tính toán số [30],

được thực hiện bằng cách sử dụng gần đúng trường trung bình (MFA) hoặc phương

pháp hàm Green áp d ụng cho một số lượng hữu hạn các ion [47]

Một trong những lý thuy ết có hi ệu quả nghiên cứu về các hiệu ứng kích thước

và ước tính các kích thước tới hạn là lý thuy ết Landau–Ginzburg-Devonshire Bên

cạnh đó lý thuy ết hàm Green cũng được sử dụng khá nhiều để nghiên cứu các tính

chất tới hạn của màng mỏng

1.2.1 Lý thuyết chuyển pha hiện tượng luận của Landau [105]

Giả sử rằng tham số trật tự trong lý thuy ết Landau trong trường hợp đơn trục có

các tính chất biến đổi giống như vectơ phân cực P, chúng ta có th ể khai triển mật độ

năng lượng tự do Gibbs G theo bậc bé của tham số trật tự (độ phân cực P hay độ từ

hóa M) ở gần điểm chuyển pha như sau:

ở đây F0 là mật độ năng lượng tự do của pha thuận điện (khi E=0), E là điện

trường, và các h ệ số khai triển α , β, γ nhìn chung sẽ phụ thuộc vào nhiệt độ và áp

suất Điều kiện cân bằng tương ứng với cực tiểu của năng lượng tự do, khi đó

Trong đó T0 > 0 là nhiệt độ Curie, C > 0 là hằng số Curie- Weiss, ε0 là hằng số

điện môi trong chân không Thay điều kiện (1.2) và các h ệ số khai triển (1.3) vào hệ

thức (1.1) ta thu được giá trị của độ phân cực tự phát trong pha sắt điện như sau:

= = =±

s

Nhiệt độ cân bằng của quá trình chuyển pha thuận điện sang sắt điện là T C=T0

, các tính chất đều phụ thuộc vào sự khác nhau giữa nhiệt độ tinh thể T và nhiệt độ

chuyển pha TC Dấu ± cho th ấy rằng vectơ phân cực nằm dọc theo hai hướng của trục

đối xứng ứng với hai trạng thái năng lượng bằng nhau của tinh thể sắt điện khi điện

trường bằng không Phương trình (1.4) cho thấy rằng chuyển pha sắt điện loại hai

không có s ự nhảy bậc của tham số trật tự (trong trường hợp này là độ lớn của Ps) và

không có ẩn nhiệt biến đổi pha Tuy nhiên ở đây lại có s ự nhảy bậc của nhiệt dung

riêng

Độ cảm điện χ ở pha thuận điện được thiết lập trên định nghĩa của α và được

tính toán từ khai triển của năng lượng tự do và điều kiện cân bằng (1.2):

∂2F 1

Hằng số điện môi c ủa môi trường ε = ε ∞+ χ / ε 0 bao gồm sự đóng góp của

độ phân cực môi trường và độ phân cực sắt điện

Sự chuyển pha loại một có kèm theo s ự thay đổi của tham số trật tự P và entanpy

Nhiều vật liệu sắt điện thể hiện một loại chuyển pha loại một đặc biệt với sự thay đổi

đối xứng từ một nhóm thành nhóm nh ỏ gần với trạng thái trong chuyển pha loại hai

và có th ể được mô t ả bởi mật độ năng lượng tự do (1.1) với hệ số đứng trước số

hạng P4 là âm (β âm) và thành ph ần P6 khác không ( γ dương)

Ở đây có sự nhảy bậc về độ lớn của độ phân cực tự phát từ 0 đến

∆P s= −3β / 4γ tại nhiệtđộchuyển pha Tc(khiE=0).

Hình 1 7 Đồ thị năng lượng tự do như hàm của độ phân c ực F(P) cho chuyển pha loại 2[105].

Hình 1 7 cho thấy sự phụ thuộc của năng lượng tự do F vào tham số trật tự P

trong chuyển pha loại 2

Một tính chất điển hình khác của chuyển pha loại một là độ trễ nhiệt độ và sựtồn tại đồng thời cả hai pha trong vùng lân c ận nhiệt độ chuyển pha Độ trễ nhiệt độlớn nhất khi trường ngoài bằng 0 là ∆T = ε 0Cβ 2 / 4γ , một khoảng giá trị giữa T0(giới hạn nhiệt độ cho sự tồn tại của trạng thái không phân c ực) và T0 +ΔT (giới hạnnhiệt độ cho sự tồn tại của trạng thái phân c ực) Nhiệt độ chuyển pha TC giảm dầngiữa hai giá trị nhiệt độ này

Điện trường được tính trực tiếp từ mật độ năng lượng tự do Gibbs:

∂P

Sự phụ thuộc không tuy ến tính của độ phân cực vào điện trường E dẫn đến

trường cong điện trễ, một trong những tính chất cơ bản của vật liệu sắt điện

Sự đóng góp của sự phân cực vào độ phân cực điện môi χ ở pha thuận điện vàpha sắt điện được tính từ khai triển theo điện trường như sau:

pha loại 1 và loại 2, tức là hệ số β của thành phần P4 đổi dấu Lý thuy ết Landau mô

tả rất rõ các d ị thường gần điểm Curie

Khi kích thước vật liệu giảm xuống, có hai y ếu tố quan trọng dẫn đến sự thay

đổi các tính chất của vật liệu đó là năng lượng bề mặt và năng lượng khử phân cực

Sự triệt tiêu độ phân cực tự phát trên b ề mặt gây ra sự thay đổi của tham số trật tự P

theo khoảng cách z từ bề mặt (nếu xét ttrong trường hợp đơn trục một chiều) Khi đó

khai triển mật độ năng lượng tự do (1.1) phải bao gồm các thành ph ần phụ thuộc vào

gradient phân cực chuẩn trên bề mặt, điều này đòi h ỏi một điều kiện đối xứng mới

Thành phần thứ hai là gradient trong vật liệu sắt điện tỷ lệ với ∇P2và thành phần

phân cực không liên t ục tỷ lệ với ∆P 2 tại bề mặt Yếu tố thứ hai này đó là trường

khử phân cực, có tác d ụng ngăn chặn sự chuyển pha, mặc dù thành ph ần này phần

lớn được bổ sung bởi các điện tích bề mặt qua độ dẫn điện bên trong hoặc bên ngoài

Trong màng mỏng hai yếu tố nói trên r ất quan trọng và dẫn đến các hiệu ứng phụ

thuộc kích thước tức là sự phụ thuộc của các tính chất sắt điện vào độ dày của màng

Khi không có trường khử phân cực, năng lượng tự do của màng mỏng có d ạng:

ở đây δ là hệ số tương quan, λ là độ dài phân rã xác định cường độ ghép cặp trên lớp

bề mặt, P± là giá tr ị của độ phân cực tự phát tại z = ±l / 2 (Vật liệu có th ể giả thiết

được đặt vào môi trường không phân c ực, do đó ∆P±=P± ) Phương trình trạng tháisuy ra từ năng lượng tự do tổng quát (1.10) có d ạng phương trình Euler- Lagrange:

giảm về độ lớn của độ phân cực tự phát P, sự suy giảm này là l ớn nhất tại các bề mặt

( z = ±2l ) Nhiệt độ chuyển pha TC giảm khi độ dày màng gi ảm Một điểm lưu ý r ấtquan trọng ở đây đó là trạng thái sắt điện của màng không b ị chia thành các tr ạngthái bề mặt với các nhiệt độ chuyển pha khác nhau, mà ở dây chỉ tồn tại một trạngthái với một nhiệt độ chuyển pha TC Trường hợp ngược lại khi λ< 0 , sẽ có s ự tăng

về độ lớn của độ phân cực tự phát, nhiều nhất ở các lớp sát với bề mặt, và có sự tăngnhiệt độ TC khi độ dày màng gi ảm

phân cực P(0) ở trung tâm của màng mỏng (độ phân cực lớn nhất) là hàm c ủa độ dàymàng Ở đây Pb là độ phân cực tự phát trong vật liệu khối tương ứng ( l = ∞ ) và kích

thước l được chuẩn hóa v ới độ dài tương quan ζ= δ / α Từ hình vẽta thấy được

Hình 1 8 Kích thước tới hạn theo lý thuyết trường trung bình khi năng lượng bề mặt

Thành phần trường khử phân cực đưa ra trong (1.10) có xu hướng làm triệt tiêu

trạng thái sắt điện, gia tăng kích thước giới hạn lc, làm giảm độ phân cực P và nhiêt độ

chuyển pha TC. Xét một màng mỏng sắt điện có độ dày l được bao phủ bởi hai điện

cực kim loại có độ dày le/2 ở hai phía Nếu các điện cực nối với nhau, điện tích trong

các điện cực sẽ ngăn chặn độ phân cực tự phát của màng Các điện tích không hoàn

toàn tri ệt tiêu được độ phân cực do chúng ph ải phân bố trên cả một độ dài hữu hạn ls.

Vì vậy sự phân bố các điện tích này đóng góp vào năng lượng tự do một lượng:

trong đó V là hiệu điện thế cung cấp cho các điện cực và E d là trường khử phân cực

phù h ợp với phương trình Poisson (không có điện tích tự do trong màng)

χ

dz

 là độ cảm điện được đưa ra ở (1.9)

Chúng ta có điều kiện biên:

Khi phân tích phương trình (1.12a) Tilley đã chỉ ra trường khử phân cực dẫn

đến sự tái chuẩn hóa c ủa các hệ số khai triển trong phương trình Landau-Ginburg

(1.1) và vì vậy dẫn đến hiệu ứng kích thước hữu hạn [98] Tilley đã tính được kích

thước giới hạn của màng là:

1.2.2 Lý thuyết hàm Green hai thời điểm [89]

Phương pháp hàm Green nhiệt độ hai thời điểm có ứng dụng rất rộng rãi trong

vật lý th ống kê đó là một công c ụ hữu hiệu để tính toán các đặc trưng vĩ mô và vi

mô.

Một ưu điểm khác của phương pháp này là các kết quả thu được có th ể áp dụng

trong một phạm vi rộng của nhiệt độ và áp dụng được cho các hệ spin tùy ý

1.2.2.1 Phương trình chuyển động của hàm Green

Cho A(t) và B(t’) là các toán tử trong biểu diễn Heisenberg

Nhìn chung các toán tử A và B là các toán t ử sinh hủy hạt hoặc cũng có thể là

các toán t ử spin Phương trình chuyển động của các toán tử này có d ạng

i

dt 

Giao hoán tử ở phía bên phải của (1.15) có th ể bao gồm tích của một số lượng

lớn các toán t ử lượng tử hóa l ần thứ hai

Ta sẽ định nghĩa hàm tương quan thời gian của hai toán tử A (t ), B (t ') như sau:

Ta thấy rằng hàm tương quan thời gian định nghĩa ở (1.16) chỉ phụ thuộc vào

hiệu của các đối số thời gian Thực ra, do tính chất bất biến của vết khi hoán vị tuần

trong đó:

Tη A(t ), B (t ') =θ (t − t ') A(t ) B (t ') +ηθ(t − t ') B (t ') A(t ),

Vì hàm Green được xác định theo các hàm tương quan (1.16) nên các hàm

Green cũng chỉ phụ thuộc vào hiệu của các đối số thời gian:

Lấy vi phân các phương trình (1.18a), (1.18b), (1.18c) theo biến t ta suy ra

được chuỗi các phương trình kết hợp của hàm Green Ta sẽ viết hàm bậc thang θ(t )

phương trình (1.24) cũng bao gồm hàm Green của tích của nhiều toán tử hơn phương

trình banđầu

Vì hàm Green là hàm của biến (t – t’) (cũng như các hàm tương quan) ta có

thể phân tích các hàm đó theo tích phân Fourier Xét biến đổi Fourier thời gian của

các hàm Green:

( j )

G AB (t − t ') =

còn b iến đổi Fourier ngược cho ta mối liên hệ giữa ảnh Fourier và nguyên hàm

Phương trình (1.26) được gọi là phương trình chuyển động của hàm Green

trong biểu diễn năng lượng Trong các trường hợp tổng quát hơn, vế phải của phương

trình (1.26) có ch ứa các hàm Green b ậc cao hơn Vì vậy, chúng ta có được một chuỗi

các phương trình móc xích với các hàm Green bậc cao hơn Chuỗi phương trình

(1.26) không giải được một cách chính xác mà phải áp dụng các phép g ần đúng

(Tyablikov, Anderson- Callen…) để ngắt chuỗi vô h ạn các phương trình thành hệ hữu

hạn các phương trình,đồng thời chúng ta cũng phải quy định điều kiện biên cho biến t

(điều kiện này khác nhau the o từng loại hàm Green nhanh, chậm, nguyên nhân )

Dạng của các điều kiện này được suy ra từ định nghĩa hàm Green

1.2.2.2 Biểu diễn phổ cho hàm Green

Gọi Eν và Cν là trị riêng và hàm riêng tương ứng của Hamiltonian của hệ:

(H − Eν )Cν

Sử dụng tính chất đủ của hệ các hàm riêng Cν, ta viết trung bình thống kê của

tích hai toán tử dưới dạng như sau:

với θ=β−1=

k B T