Giá trị tới hạn tại vô hạn của ánh xạ đa thức và ánh xạ hữu tỷ với thớ một chiều 62 46 10 01

.1.2 Một nhận xét về bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ giữa các tập đại số phức với thớ một chiều.. B còn chứa các giá trị tới hạn tại vô hạn.Để sử dụng phân t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN TẤT THẮNG

GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC

VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN TẤT THẮNG

GIÁ TRỊ TỚI HẠN TẠI VÔ HẠN CỦA ÁNH XẠ ĐA THỨC

VÀ ÁNH XẠ HỮU TỶ VỚI THỚ MỘT CHIỀU

1.1 Bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn

1.2 Một nhận xét về bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn của các

cấu xạ giữa các tập đại số phức với thớ một chiều

2 Tô pô của hàm đa thức hạn chế trên một mặt đại số và của ánh xạ đa

thức từ Cn vào Cn 1

2.1 Đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn

2.2 Một số điều kiện đủ cho sự tồn tại của phép chiếu tốt

2.3 Tô pô của thớ

3 Tô pô của hàm hữu tỷ hai biến phức

3.1 Các giá trị rẽ nhánh 3.2 Đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn

1

Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án

Tài liệu tham khảo

2

Mở đầu

Việc nghiên cứu các tính chất tô pô của các đa tạp đại số có thể chia thành hai mảng đề tài:

(i) Nghiên cứu các đa tạp xạ ảnh;

(ii) Nghiên cứu các đa tạp affine

Thành tựu cơ bản của các nghiên cứu về mảng đề tài thứ nhất là lýthuyết Lef-schetz Bằng cách khảo sát các Lefschetz pencil, cụ thể làthông qua việc mô tả tô pô của thớ tổng quát và mô tả các toán tử đơnđạo quanh các thớ đặc biệt - mà ở đây chính là các thớ có kỳ dị, các tínhchất tô pô của các đa tạp xạ ảnh đã được hiểu khá rõ ([10], [38], [36]).Với mảng đề tài thứ hai, như nhiều chuyên gia trong lĩnh vực đã nhậnxét, tình hình là rất khác Còn nhiều câu hỏi về các đa tạp affine và cácánh xạ đa thức vẫn chưa có câu trả lời, ngay cả cho trường hợp hai biến

Cái tương tự của Lefschetz pencil trong trường hợp affine là phân thớ Milnor toàn cục Từ một kết quả rất tổng quát của R Thom ([43]), nếu f là một ánh xạ đa thức từ một tập đại số không kỳ dị V vào không gian Ck thì f xác định một phân thớ tầm thường địa phương lớp C1 ngoài một tập đại số B của không gian đích Ck Đó

là phân thớ Milnor toàn cục Do tính không compact của không gian Cn, ở đây xuất hiện một hiện tượng mà ta không gặp khi nghiên cứu Lefschetz pencil, đó là hiện

tượng kỳ dị ở vô hạn Một thớ f 1(t 0 ) là thớ đặc biệt không chỉ vì nó chứa một điểm

kỳ dị, mà còn do ánh xạ f không xác định một phân thớ tầm thường trong mọi lân cận của điểm vô hạn của thớ f 1(t 0 ) Bởi vậy, ngoài các giá trị tới hạn, tập

3

B còn chứa các giá trị tới hạn tại vô hạn.

Để sử dụng phân thớ Milnor toàn cục cho việc nghiên cứu các tính chất tô pô của các tập đại số affine, một trong những bài toán đầu tiên cần phải giải quyết là

Đặc trưng các giá trị tới hạn của kỳ dị tại vô hạn.

Mặc dù trong khoảng gần 30 năm trở lại đây rất nhiều nhà toán học đã nghiên cứu bài toán này, nhưng cho đến nay đây vẫn còn là một bài toán mở Ngay cả khi

V là toàn bộ Cn và f là ánh xạ đa thức từ Cn vào C, người ta vẫn chưa biết cách trả lời, ngoại trừ đối với một ít trường hợp đặc biệt mà ta sẽ liệt kê dưới đây.

Khi V = C2 và k = 1, tức là f là một đa thức hai biến phức, các giá trị tới hạn tại

vô hạn được đặc trưng theo nhiều cách khác nhau Đầu tiên là kết quả của Hà Huy Vui – Lê Dũng Tráng ([45]) và M Suzuki ([42]), nói rằng giá trị t là giá trị tới hạn tại

vô hạn của f khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ f 1(t) khác đặc trưng Euler của

thớ tổng quát Sau đó Hà Huy Vui ([44]) đưa ra khái niệm số mũ Lojasiewicz tại vô

hạn của thớ và chứng minh ba điều kiện sau là tương đương:

(i) t là giá trị tới hạn tại vô hạn của f ;

(ii) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f 1(t) nhỏ hơn 0;

(iii) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f 1(t) nhỏ hơn 1:

Nói cách khác, một giá trị t là giá trị tới hạn tại vô hạn nếu và chỉ nếu điều kiện

Fedoryuk hoặc điều kiện Malgrange của đa thức tại t không được thỏa mãn.

Khi V = Cn; n > 2 và k = 1, trong [30] M Tibar chỉ ra rằng tiêu chuẩn thôngqua đặc trưng Euler nói chung không còn đúng Cũng bằng các ví dụ cụ thể,

L Paunescu và A Zaharia ([32]) đã chứng tỏ rằng các đặc trưng thông qua

số mũ Lojasiewicz như trong trường hợp hai biến là không còn đúng

A Parusinski đã thực hiện được một bước đột phá khi tìm cách khaithác được một ưu điểm cơ bản của trường hợp các ánh xạ từ C2 vào C,

đó là tất cả các đa thức hai biến chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn Trong [24],

với giả thiết đa thức f : Cn ! C chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn và n là tùy ý, A.Parusinski đã chứng minh được rằng ba điều kiện sau là tương đương:

4

(i) t là giá trị tới hạn tại vô hạn của f ;

(ii) đặc trưng Euler của thớ f 1(t) khác đặc trưng Euler của thớ tổng quát;(iii) số mũ Lojasiewicz tại vô hạn của thớ f 1(t) nhỏ hơn1.

Luận án này tìm cách khai thác một ưu điểm khác của trường hợp các ánh xạ

từ C2 vào C: thớ tổng quát có chiều phức bằng một Trong luận án này chúng tôi

nghiên cứu các cấu xạ từ M vào N, với M, N là các tập đại số không kỳ dị và dimM

= dimN + 1 Điểm chung của các ánh xạ này với các đa thức hai biến là thớ tổng quát đều là các đường cong Với điều kiện này ta hy vọng rằng các kết quả của trường hợp C2 vào C có thể mở rộng được cho lớp các ánh xạ đang xét.

Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu bài toán đặc trưng các giá trị tớihạn tại vô hạn của các ánh xạ trong các tình huống sau:

1. Các ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn 1;

2. Hạn chế của một đa thức trên một mặt đại số không kỳ dị trong Cn;

3 Các hàm hữu tỷ hai biến phức, tức là các ánh xạ có dạng gf : C2 n fg = 0g ! C

với f; g là những đa thức hai biến phức

Một nội dung khác của luận án là đưa ra mối quan hệ giữa tập các giátrị tới hạn tại vô hạn của một ánh xạ đa thức với tập các giá trị tới hạn suyrộng và tập các giá trị mà tại đó ánh xạ không thỏa mãn điều kiện M-tame.Luận án gồm 3 Chương và 1 Phụ lục

Chương 1 gồm hai phần Trong phần đầu, chúng tôi giới thiệu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ và nhắc lại các kết quả đã biết Kết quả chính của Chương 1 được trình bày trong phần thứ hai Theo định lý của Hà Huy Vui -

Lê Dũng Tráng và M Suzuki, có thể đặc trưng các giá trị tới hạn của đa thức hai biến thông qua một bất biến tô pô là đặc trưng Euler Kết quả chính của chương này nói rằng, nếu F là một cấu xạ giữa các tập đại số phức không kỳ dị và có thớ là một chiều thì một giá trị t0 là giá trị tới hạn tại vô hạn của F khi và chỉ khi địa phương tại t0 thì F xác định một phân thớ tầm thường tô pô Như vậy, nếu F là một

5

cấu xạ có thớ một chiều (phức) thì về bản chất, bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn của F vẫn còn là một bài toán tô pô: nếu có phép tầm thường hóa của F cho bởi các ánh xạ liên tục thì có phép tầm thường hóa cho bởi các ánh xạ khả vi.

Kết quả chính của Chương này được trình bày trong bài báo [28] Định

lý chính của Chương là như sau:

Định lý (xem Định lý 1.2.1) Cho cấu xạ F : M ! N, trong đó M; N Cn là các

tập đại số phức không kỳ dị sao cho dimM = dimN + 1 và t0 2 N là một giá trị chính qui của F Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(i) t0 là giá trị chính qui tại vô hạn của F, tức là tồn tại lân cận D của t0

và một vi phôi : F 1(D) ! F 1(t0) D sao cho sơ đồ

F

giao hoán.

(ii) F là tầm thường tô pô địa phương tại t0, tức là tồn tại lân cận D của t0

và một đồng phôi : F 1(D) ! F 1(t0) D sao cho sơ đồ

F

giao hoán.

Trong Chương 2 chúng tôi nghiên cứu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại

vô hạn của các ánh xạ được xác định như trong một trong hai trường hợp sau:

(a) F = (F1; F2; : : : ; Fn 1) : Cn ! Cn 1 là một ánh xạ đa thức;

(b) F = gjV là hạn chế của hàm đa thức g : Cn ! C lên V, trong đó V Cn làmột mặt đại số không kỳ dị, tức là V = fx 2 Cn : g1(x) = g2(x) = = gn 2(x) = 0g là tập đại số không kỳ dị và dimCV = 2

Cho t0 là một giá trị chính qui của F Khi đó, với mọi t đủ gần t0 thớ F

1(t) là một tập đại số phức một chiều không kỳ dị

6

Hàm tuyến tính L : Cn ! C được gọi là một phép chiếu tốt đối với t0 nếu tồn tại lân cận đủ nhỏ D của t0 sao cho với mọi t 2 D ta có

Định lý (xem Định lý 2.1.8) Cho F = gjV : V ! C là hạn chế của g lên V, trong đó V Cn là một mặt đại số không kỳ dị và g là một đa thức n biến Cho t0 là một giá trị chính qui của F Giả sử rằng tồn tại phép chiếu tốt đối với t0 Khi đó, t0 là giá trị tới hạn tại vô hạn khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ F 1(t0) lớn hơn đặc trưng Euler của thớ tổng quát.

Các Định lý này cho phép mô tả sự thay đổi tô pô giữa thớ tổng quát

và thớ ứng với kỳ dị tại vô hạn

Cho V là một tập con của Cn Ta định nghĩa một phép gắn k đoạn lên V

là một ánh xạ liên tục : U := [i=1;:::;k[ai; bi] ! Cn thỏa mãn

((ai; bi)) vi phôi với (0;

Định lý (xem Định lý 2.3.7) Cho F là cấu xạ được xác định như trong một trong hai trường hợp (a) hoặc (b) Cho t0 là một giá trị tới hạn tại vô hạn của

F Giả sử rằng tồn tại phép chiếu tốt đối với t0 Khi đó, sai khác một tương đương đồng luân thì thớ tổng quát F 1(t) nhận được từ thớ đặc biệt F 1(t0)

sau s phép gắn, trong đó s là số điểm tới hạn của Lt chạy ra vô hạn khi t ! t0.

Cũng trong chương này chúng tôi đưa ra các ví dụ chứng tỏ các tiêu chuẩn thông qua các số Lojasiewicz của một giá trị tới hạn tại vô hạn mặc dù đúng với trường hợp ánh xạ từ C2 vào C, nhưng sẽ không còn đúng với các trường hợp (a) và (b) Nội dung của Chương 2 được chúng tôi viết dựa trên các bài báo ([33], [34]).

Trong Chương 3 chúng tôi nghiên cứu bài toán đặc trưng các giá trị tớihạn tại vô hạn của các hàm hữu tỷ hai biến phức

Cho P : Cn ! C là một ánh xạ đa thức và z 2 Cn là một điểm kỳ dị cô lập

của P Khi đó, số Milnor của P tại z được định nghĩa là

Định lý (xem Định lý 3.1.10) Cho F = gf : C2 n fg = 0g ! C là một hàm hữu

tỷ Giả sử deg f > deg g Khi đó

B(F) = K0(F) [ B1(F) [ K1(F):

8

Định lý (xem Định lý 3.2.9) Cho F = gf : C2nfg = 0g ! C là một hàm hữu

tỷ, trong đó f; g 2 C[x; y] không có nhân tử chung khác hằng Giả sử t0 2

Cn(K0(F)[K1(F)) sao cho deg( f t0g) = maxfdeg f; deg gg Khi đó, hai khẳng định sau là tương đương:

(i) t0 2 B1(F);

(ii) tồn tại tập compact K C2, sao cho

(F 1(t0) n K) > (F 1(t) n K)

với mọi t đủ tổng quát.

Định lý (xem Định lý 3.2.10) Cho F = gf : C2 n fg = 0g ! C là một hàm hữu

tỷ, trong đó f; g 2 C[x; y] và không có nhân tử chung khác hằng.

Cho t0 2 C n (K0(F) [ K1(F)) thỏa mãn

deg( ft0g) = degx( f t0g) = maxfdeg f; deg gg:

Khi đó t0 2 B1(F) khi và chỉ khi (f f t0g = 0g) > (f f tg = 0g), với mọi t đủ tổng quát.

Hàm hữu tỷ F được gọi là thỏa mãn điều kiện Malgrange tại t 2 C nếu không

tồn tại dãy fx k g1k=0 Cn; x k ! 1; mà F(x k ) ! t và kx k k k grad F(x k )k ! 0: Tương tự,

hàm F được gọi là thỏa mãn điều kiện M-tame tại t 2 C nếu không tồn tại các

dãy f kg1k=0 C và fxkg1k=0Cn mà xk ! 1; F(xk) ! t và grad F(xk) = k xk:

Định lý (xem Định lý 3.2.18) Cho hàm hữu tỷ F = gf : C2 n fg = 0g ! C; trong đó

f; g 2 C[x; y] và deg f > deg g: Cho t0 2 C n (K0(F) [ K1(F)) Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(i) t0 2 B1(F);

(ii) F không thỏa mãn điều kiện Malgrange tại t0;

(iii) F không thỏa mãn điều kiện M-tame tại t0.

Chương 3 được viết dựa trên bài báo [29]

9

Trong phần Phụ lục chúng tôi đưa ra một quan hệ giữa tập các giá trịtới hạn tại vô hạn với tập các giá trị tới hạn suy rộng và tập các giá trị màtại đó ánh xạ không thỏa mãn điều kiện M-tame.

Cho F : Cn ! Cm là một ánh xạ đa thức Nhắc lại rằng B1(F) là tập cácgiá trị tới hạn tại vô hạn và K0(F) là tập các giá trị tới hạn của F

Với mỗi ánh xạ tuyến tính A : Cn ! Cm đặt (A) := inff!2Cm :k!k=1g kA!k Kýhiệu K1(F) là tập hợp các giá trị t 2 C sao cho tồn tại một dãy xl ! 1 thỏamãn F(xl) ! t và kxlk (dF(xl)) ! 0 Các phần tử của K1(F) được gọi là các giá trị tới hạn tiệm cận của F.

Ánh xạ F được gọi là M-tame tại t 2 Cm nếu không tồn tại dãy fp k g1k=1 sao cho

kpkk ! 1; F(pk) ! t và rank

trong đó J(F) là ma trận Jacobi của F Ký hiệu M1(F) là tập hợp các giá trị t

2 Cm mà F không là M-tame tại t

Định lý (xem Định lý A.2) Cho F : Cn ! Cm là một ánh xạ đa thức Khi đó

Gọi supp( f ) là tổ hợp lồi của tập supp( f ) n f0g: Một mặt đóng của supp( f

) được gọi là xấu nếu:

(i) gốc tọa độ thuộc không gian affine nhỏ nhất chứa , và

(ii) tồn tại một siêu phẳng H = fx 2 Rn : a1 x1 + a2 x2 + + an xn = 0g; sao cho: (iia) tồn tại i và j để ai a j < 0; và

10

(iib) H \ supp( f ) = :

Về mặt hình học, điều kiện (iia) có nghĩa là siêu phẳng H có điểm chung với Rn+:

Ta ký hiệu B( f ) là tập hợp các mặt xấu của supp( f ):

Cho F = (F1; F2; : : : ; Fm) : Cn ! Cm là một ánh xạ đa thức Ánh xạ F

được gọi là không suy biến (theo đa diện Newton) nếu

fa : rank(J((Fi) i )(a) < mg \ (C )n = ;với mọi i = 1; : : : ; n và với mọi mặt đóng i của (Fi):

Giả sử = ( 1; 2; : : : ; m), trong đó i 2 B(Fi); 8i = 1; : : : ; m Ký hiệu 0

Định lý (xem các định lý A.6 và A.7) Cho F = (F1; F2; : : : ; Fm) : Cn ! Cm

là một ánh xạ đa thức không suy biến Khi đó

M1(F) 1 (F) [ [mi=1ft 2 Cm : ti = Fi(0; 0; : : : ; 0)g

và bởi vậy

B (F) (F) [ [m ft 2 Cm : ti = F (0; 0; : : : ; 0)g :

Trong bao hàm thức trên B(F) là một tập rất khó đặc trưng, trong khi

1(F) được xây dựng một cách khá tường minh thông qua những tính chất

tổ hợp của đa thức

11

Chương 1

Giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ

giữa các tập đại số phức với thớ một chiều

Chương này bắt đầu bằng việc nhắc lại các kết quả đã biết về bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ phức Một điều đáng chú ý là trong tất cả các trường hợp đã biết, các giá trị tới hạn tại vô hạn đều được đặc trưng qua một bất biến tô pô là số Euler Kết quả chính của Chương là Định lý 1.2.1, nói rằng nếu

F là một cấu xạ giữa các tập đại số phức không kỳ dị và có thớ là một chiều thì một

giá trị t0 là giá trị tới hạn tại vô hạn của F khi và chỉ khi F xác định một phân thớ tầm thường tô pô trong một lân cận nào đó của t0 Như vậy về bản chất, đối với cấu xạ có thớ một chiều (phức), bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn vẫn còn là một bài toán tô pô: nếu có phép tầm thường hóa của F cho bởi các ánh xạ liên tục thì có phép tầm thường hóa cho bởi các ánh xạ khả vi.

1.1 Bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại vô hạn

Trong mục này, ta giới thiệu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ và nhắc lại các kết quả đã biết

Định nghĩa 1.1.1 Cho M1; M2 là các đa tạp trơn và F : M1 ! M2 là một ánh xạ khả

vi Ánh xạ F được gọi là một phân thớ tầm thường địa phương lớp C1 nếu với

12

mọi t 2 M2, tồn tại lân cận D của t và vi phôi : F 1(D) ! F 1(t) D sao cho sơ

đồ sau giao hoán

F

F pr 2

’

D

Định nghĩa 1.1.2 Cho M1 Cn và M2 Cm là các tập đại số Ánh xạ F : M1 !

M 2 được gọi là một cấu xạ nếu tồn tại một ánh xạ đa thức h : Cn ! Cm, sao cho

F(a) = h(a) với mọi a 2 M1:

Định lý 1.1.3 (Thom, [43]) Cho M; N Cn là các tập đại số không kỳ dị và

F : M ! N là một cấu xạ Khi đó, tồn tại tập đại số A N với dimA < dimN sao cho ánh xạ hạn chế

F : M n F 1(A) ! N n A

xác định một phân thớ tầm thường địa phương lớp C1.

Ký hiệu B(F) là tập nhỏ nhất trong các tập A nói trên Các phần tử của

B(F) được gọi là các giá trị rẽ nhánh của F.

Ví dụ 1.1.4 Cho F : C2 ! C; (x; y) 7!xy: Khi đó (0; 0) là điểm tới hạn duy nhất

của F và giá trị tới hạn tương ứng là F(0; 0) = 0: Ta thấy F 1(0) C [ C và

(i) Ta nói rằng t0 là một giá trị chính qui tại vô hạn của F nếu tồn tại một tập

compact K trong Cn và tồn tại lân cận D của t 0 trong M 2 sao cho ánh xạ hạn chế

F : F 1(D) n K ! Dxác định một phân thớ tầm thường địa phương lớp C1

(ii) Giá trị t0 được gọi là giá trị tới hạn tại vô hạn của F nếu t0 không phải là giá trị chính qui tại vô hạn của F

Ta ký hiệu K0(F) là tập các giá trị tới hạn và B1(F) là tập các giá trị tới hạn tại vô hạn của F Khi đó

B(F) = K0(F) [ B1(F):

Nói cách khác, tập các giá trị rẽ nhánh bao gồm:

(i) các giá trị tới hạn của F;

(ii) các giá trị tới hạn tại vô hạn của F

Việc nghiên cứu các tính chất tô pô của các cấu xạ F : M ! N giữa các tập đại số không kỳ dị, theo một nghĩa nào đó, là nghiên cứu phân thớ

F : M n F 1(B(F)) ! N n B(F):

Bởi vậy, một trong những vấn đề đầu tiên cần được giải quyết là:

Bài toán 1.1.8 Đặc trưng các giá trị t0 2 B1(F)?

14

Cho tới nay đây vẫn còn là một bài toán mở Ta chỉ có câu trả lời cho một số trường hợp riêng.

Định lý 1.1.9 ([42], [45]) Cho F : C2 ! C là một ánh xạ đa thức và t0 là một giá

trị chính qui của F Khi đó t0 2 B1(F) khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ

F 1(t0) khác đặc trưng Euler của thớ F 1(t) với mọi t đủ tổng quát.

Định nghĩa 1.1.10 ([8]) Cho F : Cn ! C là một ánh xạ đa thức Ký hiệu

Ke1(F) là tập các giá trị t 2 C sao cho tồn tại dãy fxkg1k=0 Cn; xk ! 1; thỏamãn F(xk) ! t và k grad F(xk)k ! 0: Ta nói rằng F thoả mãn điều kiện

Fedoryuk tại t nếu t < Ke1(F):

Định nghĩa 1.1.11 ([41]) Cho F : Cn ! C là một ánh xạ đa thức Ký hiệu

K1(F) là tập các giá trị t 2 C sao cho tồn tại dãy fxkg1k=0 Cn; xk ! 1; thỏamãn F(xk) ! t và kxkk k grad F(xk)k ! 0: Ta nói F thoả mãn điều kiệnMalgrange tại t nếu t < K1(F):

Định nghĩa 1.1.12 ([20]) Cho F : Cn ! C là một ánh xạ đa thức Ký hiệu

M1(F) là tập các giá trị t 2 C sao cho tồn tại các dãy f kg1k=0 C và fxkg1k=0

Cn thỏa mãn xk ! 1; F(xk) ! t và grad F(xk) = k xk: Tương tự, ta nói F thoảmãn điều kiện M-tame tại t nếu t < M1(F)

Định lý 1.1.13 ([44, 12]) Cho F : C2 ! C là một đa thức hai biến phức Khi

đó, các khẳng định sau là tương đương:

(i) t0 2 B1(F);

(ii) t0 2 Ke1(F);

(iii) t0 2 K1(F);

(iv) t0 2 M1(F):

Nhận xét 1.1.14 Bằng các ví dụ cụ thể, M Tibar ([30]), L Paunescu và A Zaharia

([32]) chỉ ra rằng các Định lý 1.1.9 và 1.1.13 nói chung không còn đúng đối với các

đa thức F : Cn ! C; n 3: Tuy nhiên, Parusinski ([24]) đã chứng tỏ rằng các định lý đó vẫn còn đúng đối với các đa thức "chỉ có kỳ dị cô lập tại vô hạn".

15

định sau là tương đương:

(i) Giá trị t0 là một giá trị tới hạn tại vô hạn của F;

(ii) (F 1(t0)) , (F 1(t)); với mọi t khác và đủ gần t0;

16

Định nghĩa 1.1.19 ([15, 26, 13]) Cho F : Cn ! Cm là một ánh xạ đa thức.

Giá trị t0 2 Cm được gọi là một giá trị tới hạn tiệm cận của F nếu tồn tại

một dãy xl ! 1 sao cho F(xl) ! t và kxlk (dF(xl)) ! 0 Ký hiệu K1(F) là tập cácgiá trị tới hạn tiệm cận của F

Đặt K(F) := K 0 (F) [ K 1(F) Ta gọi K(F) là tập các giá trị tới hạn suy rộng của

F

Nhận xét 1.1.20 Khi m = 1, các khái niệm giá trị tới hạn tiệm cận và giá

trị tới hạn suy rộng trong định nghĩa trên trùng với các khái niệm được

nêu ra trong Định nghĩa 1.1.11

Định lý sau chứng tỏ rằng giá trị tới hạn tại vô hạn của F được chứatrong tập các giá trị tới hạn suy rộng của F

Định lý 1.1.21 ([9, 13, 26]) Cho ánh xạ đa thức F : Cn ! Cm Khi đó

B(F) K(F):

1.2 Một nhận xét về bài toán đặc trưng giá trị tới hạn tại

vô hạn của các cấu xạ giữa các tập đại số phức với thớ một chiều

Cho F : M ! N là một cấu xạ, trong đó M; N Cn là các tập đại số không

17

(i) t0 là giá trị chính qui tại vô hạn của F, tức là tồn tại lân cận D của t0

và một vi phôi : F 1(D) ! F 1(t0) D sao cho sơ đồ

F

giao hoán.

(ii) F là tầm thường tô pô địa phương tại t0, tức là tồn tại lân cận D của t0

và một đồng phôi : F 1(D) ! F 1(t0) D sao cho sơ đồ

là một bài toán tô pô: nếu có phép tầm thường hóa của F cho bởi các ánh xạliên tục thì có phép tầm thường hóa cho bởi các ánh xạ khả vi

Cho ánh xạ liên tục h : X ! Y Một đồng luân của h là một ánh xạ liên tục

H : X [0; 1] ! Y, sao cho H(x; 0) = h(x) với mọi x 2 X

Định nghĩa 1.2.3 Ánh xạ liên tục : E ! B được gọi là một phân thớ, hay một

cách tương đương, có tính nâng đồng luân, nếu với mọi đa diện X và với bất

kỳ ánh xạ liên tục h : X ! E, mọi đồng luân của h nâng được thành một đồngluân của h, tức là, tồn tại đồng luân H của h để lược đồ sau giao hoán:

H

X [0; 1]

18

Định nghĩa 1.2.4 ([17]) Cho X; Y là các không gian tô pô Hai đồng luân

H;H0 : X [0;1] ! Y

được gọi là có cùng mầm nếu chúng đồng nhất bằng nhau trong một lân cận của

X f0g

Định nghĩa 1.2.5 ([17]) Ánh xạ liên tục : E ! B được gọi là một phép ngập

đồng luân, hay có tính nâng mầm đồng luân, nếu với mọi đa diện X và mọi ánh xạ liên tục h : X ! E, mỗi mầm đồng luân của h đều nâng được

thành mầm đồng luân của h

Định nghĩa 1.2.6 ([17]) Ánh xạ liên tục : E ! B được gọi là một phép ngập

đồng luân địa phương nếu với mọi x 2 E tồn tại lân cận U(x) E sao cho ánh xạ hạn chế jU(x) là một phép ngập đồng luân từ U(x) lên (U(x))

Định nghĩa 1.2.7 Ánh xạ khả vi f : V1 ! V2 được gọi là một phép ngập nếu với

mọi x 2 V1, ánh xạ vi phân d fx : TxV1 ! T f (x)V2 là một toàn ánh

Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn kiểm tra khi nào một ánh xạ mở làmột phép ngập đồng luân

Bổ đề 1.2.8 ([17], Bổ đề 6) Cho ánh xạ mở : E ! B Giả sử là một phép ngập đồng luân địa phương Khi đó là một phép ngập đồng luân.

Bổ đề 1.2.9 Cho ánh xạ khả vi f : V1 ! V2 , trong đó V1 và V2 là các đa tạp trơn.

Giả sử f là một phép ngập Khi đó f là một phép ngập đồng luân.

Chứng minh Vì f là một phép ngập, nên f là ánh xạ mở và địa phương tại mọi

điểm x 2 V1, có thể coi f như là một phép chiếu Do đó, tồn tại một lân cận U của x

để f jU là một phép ngập đồng luân Bởi vậy, theo Bổ đề 1.2.8, f là một phép ngập

Bổ đề 1.2.11 ([17], Hệ quả 15) Cho lược đồ giao hoán các ánh xạ liên tục

E h / E 0 ; 0

B

trong đó và 0 là các toàn ánh Giả sử và 0 là các phép ngập đồng luân Khi

đó, nếu hb := hj 1 (b) : 1(b) ! 0 1(b) là tương đương đồng luân yếu với mọi b 2

B và 0 là một phân thớ thì là một phân thớ.

Bổ đề chính mà ta sử dụng trong mục này là như sau

Bổ đề 1.2.12 ([17], Hệ quả 32) Cho ánh xạ khả vi : E ! B, trong đó E; B là các đa tạp trơn và dimRE = dimRB + 2 Giả sử thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) là một toàn ánh;

(ii) là một phân thớ;

(iii) là một phép ngập.

Khi đó, là một phân thớ tầm thường địa phương lớp C1.

Chứng minh Định lý 1.2.1 (i) )(ii): Hiển nhiên.

(ii) )(i): Giả sử F là tầm thường tô pô địa phương tại t 0 , tức là tồn tại một lân cận D của t 0 và một đồng phôi : F 1(D) ! F 1(t 0 ) D; sao cho lược đồ sau giao

Thêm nữa, với mọi t 2 D ánh xạ hạn chế

jF 1 (t):F 1(t) ! F 1(t0) ftg

là một đồng phôi, do đó là một tương đương đồng luân yếu Áp dụng Bổ

đề 1.2.11 ta có FjF 1 (D) là một phân thớ

Mặt khác, ánh xạ khả vi F : F 1(D) ! D là một phép ngập toàn ánh Theo giả thiết

ta có dim C M = dim C N + 1 Bởi vậy thớ của F có chiều thực bằng 2 Vậy theo

Bổ đề 1.2.12 F là tầm thường địa phương lớp C1 tại t0

Định lý 1.2.13 Cho cấu xạ F : M ! N, trong đó M; N Cn là các tập đại số

phức không kỳ dị và dimCM = dimCN + 1 Cho t0 2 N là một giá trị chính qui của F Khi đó, t0 là giá trị chính qui tại vô hạn nếu và chỉ nếu tồn tại một quả cầu đủ nhỏ D có tâm là t0 sao cho với mọi t 2 D phép nhúng của thớ F 1(t) vào F 1(D) là một tương đương đồng luân yếu.

Chứng minh của Định lý dựa trên

Bổ đề 1.2.14 ([17], Hệ quả 13) cho : E ! B là một phép ngập đồng luân và

là một toàn ánh Nếu phép nhúng của mỗi thớ của vào E là một tương

đương đồng luân thì là một phân thớ.

Chứng minh Định lý 1.2.13 Giả sử t0 là giá trị chính qui tại vô hạn của F Khi đó tồn tại một lân cận D của t0 sao cho ánh xạ hạn chế FjF 1 (D) là tầmthường địa phương lớp C1 Không mất tính tổng quát, có thể giả sử D làquả cầu tâm tại t0 Dễ dàng kiểm tra được rằng phép nhúng của mỗi thớ

F 1(t) vào F 1(D) là một tương đương đồng luân yếu

Để chứng minh điều ngược lại, giả sử D là quả cầu tâm tại t 0 để phép nhúng của mọi thớ F 1(t) vào F 1(D) là một tương đương đồng luôn yếu Theo Bổ đề 1.2.14 ánh xạ F : F 1(D) ! D là một phân thớ Khi đó, theo Bổ đề 1.2.12, F xác định

một phân thớ tầm thường trên D

21

Chương 2

Tô pô của hàm đa thức hạn chế trên một

Trong chương này ta nghiên cứu bài toán đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn của các cấu xạ cho trong hai trường hợp sau:

(a) F = (F1; F2; : : : ; Fn 1) : Cn ! Cn 1 là một ánh xạ đa thức khác hằng;(b) F = g jV là hạn chế của ánh xạ đa thức g : Cn ! C lên mặt đại số không kỳ dị

V Cn, tức là V = fx 2 Cn : g1(x) = g2(x) = = gn 2(x) = 0g là tập đại số không kỳ dị và dimCV = 2

Ta biết rằng đối với hàm đa thức f : C2 ! C một giá trị t0 là giá trị tới hạn tại vô hạn của f nếu và chỉ nếu

(i) (điều kiện qua đặc trưng Euler) ( f 1(t0)) , ( f 1(t)) với mọi t đủ tổng quát (Định lý 1.1.9), hoặc

(ii) (điều kiện qua số Lojasiewicz) số Lojasiewicz tại vô hạn của thớ tại t 0 nhỏ hơn

0, hoặc nhỏ hơn 1, hay một cách tương đương, f không thỏa mãn điều kiện Fedoryuk hoặc điều kiện Malgrange tại t0 (Định lý 1.1.13)

22

Điểm chung giữa các ánh xạ F ở (a), (b) và các đa thức hai biến là thớcủa chúng là các đường cong Bởi vậy, hy vọng rằng có thể mở rộngđược các kết quả trong trường hợp đa thức hai biến cho các cấu xạ đangxét Hai vấn đề được quan tâm trong Chương này là:

(1) Mở rộng kết quả về điều kiện qua đặc trưng Euler của bài toán đặctrưng các giá trị tới hạn tại vô hạn trong trường hợp đa thức hai biếncho các lớp cấu xạ đang xét;

(2) Đối với các ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn 1, tìm một tương tự cho kếtquả về điều kiện qua số Lojasiewicz để một giá trị cho trước là giá trịtới hạn tại vô hạn

Các kết quả chính của chương này bao gồm:

(i) Nếu tồn tại "phép chiếu tốt đối với giá trị t0", thì t0 là giá trị tới hạn tại

vô hạn của F khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ F 1(t0) khác đặctrưng Euler của thớ tổng quát Kết quả này có thể xem là sự mở rộngcủa Định lý 1.1.9 sang các tình huống (a) và (b)

Mặt khác, các ví dụ chứng tỏ rằng kết quả đó không còn đúng khi không tồn tại phép chiếu tốt, ngay cả khi thớ của cấu xạ có chiều bằng một.

(ii) Đưa ra ví dụ chứng tỏ rằng không có một mở rộng tự nhiên cho cácđặc trưng thông qua số Lojasiewicz của các giá trị tới hạn tại vô hạncho các ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn 1

(iii) Trong trường hợp tồn tại phép chiếu tốt, mô tả cơ chế tạo nên sự thay đổi về tô pô của thớ đặc biệt so với thớ tổng quát

2.1 Đặc trưng các giá trị tới hạn tại vô hạn

Nội dung của mục này là đưa ra câu trả lời cho hai vấn đề (1) và (2) được nhắc tới ở trên Ta bắt đầu bằng việc nhắc lại khái niệm và một số kết quả liên quan tới bậc của ánh xạ và bội nghiệm của một hệ phương trình giải tích.

23

Định nghĩa 2.1.1 Cho Sn là mặt cầu n chiều và cho ánh xạ liên tục f : Sn !

Sn Ta định nghĩa bậc của ánh xạ f , ký hiệu deg f , là giá trị f (1), trong đó

f là đồng cấu cảm sinh:

f : Hn(Sn) = Z ! Hn(Sn) = Z:

Bậc ánh xạ là một bất biến đồng luân

Định nghĩa 2.1.2 ([19]) Cho m hàm giải tích phức g1; : : : ; gm của m biến z1; : : : ; zm

và z0 là một nghiệm cô lập của hệ fg i = 0 : i = 1; : : : ; mg Ta định nghĩa bội của

nghiệm z0 của hệ fgi = 0 : i = 1; : : : ; mg là bậc của ánh xạ:

trong đó > 0 đủ nhỏ để z0 là nghiệm duy nhất của hệ trên trong B

Mệnh đề 2.1.3 ([19]) (i) Nếu z0 là một nghiệm của fgi = 0 : i = 1; : : : ; mg

và ma trận Jacobi

là không suy biến thì bội của z0 bằng 1.

(ii) Nếu R > 0 sao cho SR không chứa nghiệm nào của

24

Chứng minh Giả sử A1 và A2 là hai giá trị bất kỳ của hV Xét họ các ánh xạ

t : V ! C

t(z) := hV (z) tA1 (1 t)A2; t 2 [0; 1]:

Vì hV là ánh xạ riêng nên tập các không điểm của t; t 2 [0; 1], là bị chặn.Chọn Giả sử R > 0 đủ lớn để quả cầu mở int(BR) chứa tất cả không điểmcủa t với mọi t 2 [0; 1] Khi đó, họ ánh xạ

Vậy số nghiệm, đếm cả bội, của hV = A không phụ thuộc vào A

Theo Mệnh đề 2.1.3 (i), khi A 1 ; A 2 là các điểm chính qui của h V thì bội của các

nghiệm của hV = A1 và hV = A2 bằng 1 Từ đó ta có điều phải chứng minh

Cho F là cấu xạ được xác định như trong một trong hai trường hợp (a) và (b) Cho t0 là một giá trị chính qui của F Khi đó, với mọi t đủ gần t0 thì F 1(t) là một tập đại số phức một chiều Với mọi ánh xạ tuyến tính L : Cn ! C sao cho hạn chế

Mệnh đề 2.1.6 Hai khẳng định sau là tương đương:

(i) Ánh xạ tuyến tính L là một phép chiếu tốt đối với t0;

(ii) Tồn tại một lân cận D của t0, sao cho với mọi dãy fpkgk F 1(D) mà

Vì L là một phép chiếu tốt nên giá trị d := dL(F 1(t)) không phụ thuộc vào

t 2 D (t0) Vì L t = Lj F 1 (t ) là ánh xạ riêng nên số nghiệm, đếm cả bội, của L t = a

26

Do đó, xác định một đồng luân giữa 0 và ánh xạ

1 : Sr ! S21n 1(F(x) t; L(x) a)

(ii) =) (i): Cho L : Cn ! C là một hàm tuyến tính và D (t0) là lân cận của t0.Giả sử limk!1 jL(pk)j = 1 với mọi dãy fpkgk F 1(D (t0)) mà limk!1 kpkk = 1:

là ánh xạ riêng với mọi t 2 D (t0)

Để chứng minh L là một phép chiếu tốt đối với t0 ta sẽ chứng tỏ rằng

dL(F 1(t)) = dL(F 1(t0))với mọi t 2 D (t0):

Cho A là một giá trị chính qui của Lt0 Khi đó, với mọi t 2 D (t0) ta có

là bị chặn Bởi vậy, tồn tại quả cầu B để U intB.

Lập luận tương tự như trên, ta dựng được đồng luân giữa các ánh xạ

0 : @B ! S21n 1(F(x) t0; L(x) A)

Bởi vậy dL(F 1(t)) = dL(F 1(t0)) với mọi t 2 D (t0)

Trường hợp (b): Giả sử F = gjV là hạn chế của ánh xạ đa thức g : Cn ! C lên

mặt đại số V = fx 2 Cn : g1(x) = g2(x) = = g n 2 (x) = 0g không kỳ dị Chứng

minh tương tự

Các kết quả sau là một đặc trưng cho các giá trị tới hạn tại vô hạn củacác ánh xạ đa thức từ Cn vào Cn 1 và của các hàm đa thức xác định trênmột mặt đại số không kỳ dị

Định lý 2.1.7 Cho F = (F1; F2; : : : ; Fn 1) : Cn ! Cn 1 là một ánh xạ đa thức

và t0 là một giá trị chính qui của F Giả sử rằng tồn tại phép chiếu tốt đối với t0 Khi đó, t0 là giá trị tới hạn tại vô hạn khi và chỉ khi đặc trưng Euler của thớ F 1(t0) lớn hơn đặc trưng Euler của thớ tổng quát.

Chứng minh Chọn L là một phép chiếu tốt đối với t0 Khi đó, theo Mệnh

đề 2.1.6 tồn tại lân cận D của t0 sao cho ánh xạ hạn chế

L

jF 1 (D ): F 1(D ) ! C

28

là riêng.

Xét t 2 D bất kỳ Ta có, tập ảnh Lt(F 1(t)) là một tập con xây dựng được của C, tức là

Lt(F 1(t)) = ft 2 C : pi(t) = 0; q j(t) , 0; i 2 I; j 2 Jgvới pi; q j là các đa thức

Mặt khác, vì L t = L jF 1 (t) là ánh xạ riêng, nên L t (F 1(t)) là một tập đóng, xây dựng được và có vô hạn phần tử Bởi vậy L t (F 1(t)) = C và L t là một toàn ánh.

Ký hiệu t và t tương ứng là tập các điểm tới hạn và các giá trị tới hạn của L t ,

t = fx1(t); : : : ; xr(t)(t)gvà

Chọn A là một giá trị chính qui của L t Ta nối A với các điểm y i (t) bởi các đường

Ti không tự cắt, i = 1; : : : ; s(t), sao cho Ti \ T j = A; i , j Mọi co rút biến dạng của C vào [is=(t0)Ti đều có thể đươc nâng thành một co rút biến dạng của F 1(t) vào

Mỗi "cạnh" của "đồ thị" nối một "đỉnh" thuộc loại thứ nhất với một "đỉnh" thuộc loại thứ hai hoặc loại thứ ba Hơn nữa, mỗi "cạnh" mà có một "đỉnh" thuộc loại thứ ba, đều có thể co rút biến dạng vào "đỉnh" còn lại (là "đỉnh" thuộc loại thứ nhất) Khi đó ta nhận được không gian tô pô mới, có cùng kiểu đồng luân với L t1([ is=(t0)T i ) "Đồ thị" tương ứng với không gian này có các "đỉnh" là

d điểm của Lt1(A) ("đỉnh" loại 1);

r(t) điểm x1(t); : : : ; xr(t)(t) ("đỉnh" loại 2)

Mỗi "cạnh" của "đồ thị" nối một "đỉnh" loại 1 với một "đỉnh" loại hai Vớimỗi i, gọi i(t) là số "cạnh" chứa "đỉnh" xi(t) ( i(t) chính là bội của điểm xi(t)xét như là nghiệm của hệ L(x) = a; F(x) = t)

r(t)

X

(t) = ( i(t) 1):

i=1Bởi vậy

(F 1(t0)) (F 1(t)); t 2 D ;

và (F 1(t0)) = (F 1(t)) khi và chỉ khi không tồn tại i để xi(t) ! 1 khi t ! t0 Khi

đó, với a đủ lớn tập

U(a) = F 1(D ) \ fx : jL(x)j agchứa tất cả các điểm của [t2D t Hơn nữa, vì L là một phép chiếu tốt, nêntheo Mệnh đề 2.1.6 tập U(a) là bị chặn

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng F cảm sinh một phân thớ tầm thường

F 1(D ) n U(a) ! D :Thực vậy, vì

(F 1(D ) n U(a)) \ [t2D t = ;

30