Nghiên cứu một số bài toán vật lý và cơ học bằng phương pháp đạo hàm trung bình tích phân và phương pháp hỗn hợp

Dựa trên địnhnghĩa của đạo hàm trung bình tích phân, ta đưa các bài toán vi phân trên miền cả biên có kỳ dị yếu hoặc các biên thamgia trong phương trình chỉ có đạo hàm theo nghĩa trung b

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHAN HUY THIỆN

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ

VÀ CƠ HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN VÀ

PHƯƠNG PHÁP HỖN HỢP

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

HÀ NỘI - 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHAN HUY THIỆN

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÝ

VÀ CƠ HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN VÀ

PHƯƠNG PHÁP HỖN HỢP

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật

lý toán Mã số: 62440103

HÀ NỘI - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả, sốliệu, đồ thị,… được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bốtrong bất kỳ một công trình nào khác

Hà Nội, 30 tháng 05 năm 2016

Tác giả luận án

Phan Huy Thiện

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn và GS TS Phan Văn Hạp - những người Thầy đã hết lòng tận tụy hướng dẫn, đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận án.

Tác giả chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý và Phòng Sau đại học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả hoàn thành luận án này Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp thuộc Bộ môn Vật lý Lý thuyết, Khoa Vật lý của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận án.

Cuối cùng tác giả cảm ơn những người thân trong gia đình đã tạo điều kiện

và động viên cho tác giả hoàn thành bản luận án này.

Tác giả luận án

Phan Huy Thiện

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC 1

DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ 3

CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH 4

MỞ ĐẦU 5

CHƯƠNG 1 ĐẠO HÀM TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN 12

1.1 Đạo hàm trung bình tích phân 12

1.1.1 Định nghĩa 13

1.1.2 Tính chất của đạo hàm trung bình tích phân 13

1.2 Một số khái niệm bổ trợ 15

1.2.1 Nghiệm xấp xỉ 16

1.2.2 Phương pháp cân bằng sai số 17

1.3 Phương pháp IAD cho nghiệm xấp xỉ của phương trình Wigner 18

CHƯƠNG II TÍNH TOÁN THÔNG LƯỢNG NEUTRON TRONG LÕ PHẢN ỨNG HẠT NHÂN 21

2.1 Khái niệm mở đầu 21

2.2 Dạng tổng quát của phương trình khuếch tán 22

2.2.1 Phương trình khuếch tán 23

2.2.2 Phương trình vi phân cho các neutron nhiệt và giải phương trình đó cho các dạng hình học đơn giản 24

2.3 Phép gần đúng theo độ tuổi khuếch tán 28

2.4 Các điều kiện tới hạn 30

2.5 Độ tuổi neutron 32

2.6 Phép gần đúng khuếch tán đa nhóm 33

2.7 Các nghiên cứu tính toán lò phản ứng từ trước đến nay 35

1

2.7.1 Những phương pháp tính toán lò phản ứng hạt nhân đã được tính

toán trong vài thập kỷ vừa qua. 35

2.7.2 Phương pháp nodal 36 2.7.3 Phương pháp nodal biến phân 37 2.8 Phát triển phương pháp IAD. 38

2.9 Kết luận và so sánh. 52

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN NHIỄU XẠ SÓNG TRONG MÔI TRƯỜNG ĐÀN HỒI……… 55

3.1 Đặt bài toán nhiễu xạ. 55

3.1.1 Đặt vấn đề. 55

3.1.2 Đưa bài toán về hệ phương trình tích phân kỳ dị. 61

3.2 Giải gần đúng hệ phương trình 64

3.3 Kết luận và so sánh. 67

KẾT LUẬN 70

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN. 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

Tiếng Việt 73

Tiếng Nga. 74

Tiếng Anh 76

2

DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Hàm F có điểm góc tại x0 14

Hình 1.2 Hàm F không liên tục tại x0 14

Hình 1.3 Miền được giải với biên 1 , 2 16

Hình 2.1 Giá trị thông lượng neutron trường hợp 1 chiều với k eff khác nhau 46 Hình 2.2 Lò hình cầu. 47

Hình 2.3 Thông lượng neutron hình cầu cho nhóm nhanh và nhóm nhiệt. 51

Hình 2.4 So sánh thông lượng neutron theo 2 phương pháp MC là phương pháp Monte Carlo và SN và phương pháp S N của luận án [130] 53

Hình 3.1 Mặt phẳng đàn hồi r, bị cắt một góc hình nêm. 58

Hình 3.2 Đồ thị nhiễu xạ hàm u x 66

Hình 3.3 So sánh với kết quả trong [95]. 67

3

CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ GIẢI THÍCH

Phương pháp IAD Gọi các phương pháp rời rạc hóa bài toán biên có sử dụng

khái niệm đạo hàm trung bình tích phân là các phương phápđạo hàm trung bình tích phân, gọi tắt là các phương phápIAD (Integrally Averaged Derivative) Phương pháp nàyđược áp dụng cho chương II và chương III Dựa trên địnhnghĩa của đạo hàm trung bình tích phân, ta đưa các bài toán

vi phân trên miền (cả biên) có kỳ dị yếu hoặc các biên thamgia trong phương trình chỉ có đạo hàm theo nghĩa trung bìnhtích phân (không có đạo hàm theo nghĩa thông thường trêntoàn miền) về một mô hình thống nhất, sau đó sử dụngphương pháp xấp xỉ thông thường để tìm nghiệm (kể cả việc

xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa) Phương pháp giải

sử dụng định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân vừa nêuđược gọi chung là phương pháp IAD

Phương pháp Nodal Phương pháp chia lưới để giải phương trình khuếch tán

neutron hay phương trình nhiễu xạ sóng bằng phương phápphần tử hữu hạn hay phương pháp sai phân trong lõi lò phảnứng hạt nhân

Phương pháp Monte Một phương pháp giải phương trình khuếch tán tính toán lòCarlo thường dùng theo phép thử xác suất

4

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Thế giới các hiện tượng vật lý vi mô và vĩ mô quanh ta được mô tả, giải thíchthông qua các định luật cơ bản của vật lý, các hiệu ứng giúp cho con người khámphá bản chất các hiện tượng tự nhiên Các đại lượng vật lý trong tự nhiên có mốiliên hệ qua lại lẫn nhau mà công cụ toán học hiện đại cho phép mô tả các hiện tượngvật lý thông qua các phương trình Như vậy có thể nói Phương trình toán lý hayPhương trình vật lý toán là cần thiết phải được đặt ra giúp cho các nhà khoa họcbằng tư duy logic khái quát hoá được hình ảnh và bản chất sâu sắc các hiện tượngvật lý, tìm ra mối liên hệ qua lại giữa chúng để giải thích và đánh giá đúng bản chấtcác hiện tượng tự nhiên trong thế giới vi mô và vĩ mô [15]

Rất nhiều bài toán vật lý, cơ học, kỹ thuật thường được mô hình hóa dưới dạngcác phương trình vật lý toán (vi phân thường hay vi phân đạo hàm riêng) trong miền

có biên (tĩnh) hoặc có điều kiện ban đầu (động) hay biên hỗn hợp (phụ thuộc cảkhông gian lẫn thời gian) [7]

Một trong những vấn đề được quan tâm của toán học tính toán là tìm nghiệmgần đúng các bài toán biên [26] Vấn đề này được xét đầy đủ cho lớp các bài toánbiên có hệ số, nghiệm, hay biên trơn Các bài toán thường gặp với các điều kiệnphức tạp hơn thường không thỏa mãn các điều kiện lý tưởng, do đó cần nhấn mạnhrằng lớp các bài toán đó là khá rộng Bởi vậy phải chú ý đến các bài toán có hệ số,nghiệm, biên không trơn [28] Lớp các bài toán này thường nảy sinh nhiều trongthực tiễn, chẳng hạn khi nghiên cứu các quá trình khuếch tán (khuếch tán vật chấttrong các bài toán môi trường, khuếch tán neutron trong lò phản ứng hạt nhân), cácbài toán truyền nhiệt, thủy động học, phương trình trạng thái trong các mẫu hạt nhânv.v…Có nhiều cách tìm nghiệm xấp xỉ loại bài toán như vậy [10] Bản luận án nàytìm cách từ một khái niệm của đạo hàm IAD [3, 8] phối hợp với một số các phươngpháp đã biết như các phép biến đổi toán tử, phương pháp phần tử biên, hay

5

phương pháp rời rạc hóa bài toán biên [9] v.v… để vượt qua tính không trơn của bàitoán và mục đích là tìm cách đi đến nhanh và chính xác nhất các thông số và đạilượng vật lý cần tìm sát với thực tế (ví dụ như tính thông lượng neutron trong lòphản ứng hạt nhân [20, 58, 77], hay bài toán nhiễu xạ của sóng trong các môi trườngđàn hồi bị hổng một góc  cho tới nay vẫn chưa được nghiên cứu hoàn chỉnh).

Chúng tôi muốn nhấn mạnh đến các phép tính lò phản ứng hạt nhân để đảmbảo điều kiện an toàn lò phản ứng hạt nhân [20, 77] Khi xảy ra điều kiện không antoàn như sự cố (sự cố nhà máy điện nguyên tử Chernobyl, Ukraina, sự cố nhà máyđiện hạt nhân Fukushima – Nhật bản), nhiệm vụ của người tính toán lò cần có mộtphương pháp tính nhanh nhất cho kết quả chính xác để đoán biết sự cố, và điềukhiển lò ngay lập tức khắc phục sự cố ở miền có thông lượng cao để hệ số nhân hiệudụng trở về ngưỡng an toàn cho phép

Với các bài toán có phương trình và điều kiện biên liên tục, đủ trơn đã cónhiều phương pháp giải và được nhiều nhà toán học, vật lý lý thuyết và vật lý thựcnghiệm khảo sát, đề xuất [138] Đối với các bài toán cơ học và vật lý có biên phứctạp chứa đựng các điểm đứt gãy thì những phương pháp thông thường khó cho lờigiải đảm bảo độ chính xác thậm chí không thể áp dụng được Phương pháp sai phân

là một trong những phương pháp có tính vạn năng [19, 25] cũng không phải lúc nàocũng cho kết quả khả quan tại các vùng kỳ dị hay đứt gãy của nghiệm đồng thời đòihỏi việc phân vùng chia lưới luôn thay đổi Điều này gây trở ngại cho việc sử dụngthuật toán trên máy tính

Trong bản luận văn này chúng tôi tập trung vào một số bài toán vật lý cơ bảnnhư phương trình Wigner 1 (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công

bố liên quan đến luận án) đặc trưng cho loại phương trình Elliptic, giải phương trìnhkhuếch tán neutron trong lò phản ứng hạt nhân (còn được gọi là phương trìnhBoltzman) với nhiều nhóm năng lượng để tìm các đặc trưng neutron, trong đó cócác đại lượng như thông lượng neutron, hệ số tới hạn, hệ số nhân hiệu dụng v.v…Cuối cùng, trên cơ sở bài toán nhiễu xạ của sóng trong các môi trường đàn hồi,

6

chúng tôi giải quyết bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi với biên cứng

bị hổng một góc  được mô tả bởi phương trình vi tích phân một cách dễ dàng theophương pháp IAD trong 5 (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công

bố liên quan đến luận án)

2 Mục đích nghiên cứu.

Nhằm đề xuất việc sử dụng phương pháp IAD (phương pháp đạo hàm trungbình tích phân) và một số phương pháp phối hợp như phương pháp lặp, phươngpháp đạo hàm riêng và giá trị riêng để giải gần đúng (bằng số) cho các loại bài toánvật lý và cơ học cũng như kỹ thuật trong các trường hợp miền biên của hàm đượcxét chứa điểm vùng đứt gãy, kỳ dị Với phương pháp đạo hàm trung bình tích phâncho phép xây dựng được một thuật toán nhất quán đối với bài toán cần giải, nhất thểhóa các khái niệm vi phân, đạo hàm cho toàn miền nhằm khắc phục các khó khănvấp phải khi sử dụng các phương pháp khác Để nâng cao độ chính xác của phươngpháp IAD1 chúng tôi đã kết hợp với các phương pháp khác trong toán học tính toánnhư phương pháp Richarson, phương pháp tham số liên tục, phương pháp tham số

bé, phương pháp xấp xỉ, phương pháp tích phân kỳ dị [10, 11, 12], …v.v

Mục tiêu chính của luận án là tìm nghiệm gần đúng của các phương trình vật

lý toán có kỳ dị [6, 17] bằng cách sử dụng phương pháp IAD và các phương phápkết hợp khác

Một số kết quả chính của luận án được ghi trong danh mục các công trìnhkhoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án

3 Phương pháp nghiên cứu.

Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án chúng tôi sử dụng các kiến thức

cơ bản của toán học như phương pháp tính và các phương pháp giải gần đúng [12]

…giải tích , giải tích hàm [31], giải tích phức [55], phương trình đạo hàm riêng

1 Ở Chương I, chúng tôi gọi tên phương pháp đạo hàm trung bình tích phân IAD (Intergrally Averaged Derivative) bao gồm định nghĩa và các phương pháp lặp (lặp trong và lặp ngoài), các phương pháp rời rạc hóa bài toán biên, phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma trận theo cách đạo hàm trung bình tích phân.

7

[18], phương trình tích phân kỳ dị tuyến tính và không tuyến tính [6], cũng như cáckiến thức cơ bản của vật lý lý thuyết [2, 4, 5, 58],

Trên cơ sở phương trình khuếch tán neutron [77] với các điều kiện biên tronglõi lò phản ứng hạt nhân Chúng tôi tiến hành tính toán thông lượng neutron với mộtvài dạng hình học đơn giản và so sánh với các phương pháp khác như phương phápnodal và phương pháp Monte Carlo để đánh giá tính ưu việt của phương pháp IAD.chúng tôi dựa trên bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi bị hổng một góc

 để giải quyết bài toán trong miền biên kỳ dị trong 3 (danh mục các công trìnhkhoa học của tác giả đã công bố liên quan đến luận án)

4 Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu.

Với mục tiêu đã đề ra, luận án “Nghiên cứu một số bài toán vật lý và cơ họcbằng phương pháp đạo hàm trung bình tích phân và phương pháp hỗn hợp” đã đượcxây dựng trên cơ sở phương pháp đạo hàm trung bình tích phân và phương pháptích phân kỳ dị, được GS TS Phan Văn Hạp đề xuất đã được chúng tôi áp dụng cụthể cho việc tính thông lượng neutron bằng phương trình khuếch tán neutron đối với

lò phản ứng hạt nhân hình cầu trong gần đúng hai nhóm neutron theo phương phápIAD bằng cách đưa về bài toán ma trận của hàm riêng và trị riêng được công bốtrong các bài báo trong danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đếnluận án và đánh giá tính ưu việt của chúng so với phương pháp nodal và phươngpháp Monte Carlo là các phương pháp mới trong tính toán lò phản ứng hạt nhân, vàtrên cơ sở bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi chúng tôi giải quyếtđược miền biên kỳ dị bằng cách đưa ra phương trình vi tích phân để giải bằng sốtrong 3.(danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đếnluận án)

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án.

Việc tính toán được kết quả dùng phương pháp IAD tính thông lượng neutrontrong mô hình hạt nhân hình cầu và tính nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi cómiền biên kỳ dị được chúng tôi áp dụng lần đầu tiên tính toán bằng phương pháp

8

IAD mang lại một kết quả tốt cho đóng góp vào cách tính mới trong tính toán lòphản ứng hạt nhân và bài toán nhiễu xạ.

Với kết quả thu được của luận án chúng tôi nhận thấy đã đóng góp được mộtphần rất quan trọng vào một cách tiếp cận mới trong tính toán lò phản ứng hạt nhân,một vấn đề thời sự trong tính toán lò phản ứng hạt nhân Cuối cùng áp dụng phươngpháp IAD để giải bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi thuần nhất bịhổng một góc 

Ngoài việc đóng góp vào nghiên cứu khoa học trong tính toán nhiễu xạ, thônglượng neutron trong lò phản ứng hạt nhân Một vấn đề khá thực tế trong điều kiệnnước ta hiện nay đang gấp rút xây dựng 4 lò phản ứng hạt nhân cung cấp điện năngcho quốc gia Việc nghiên cứu này đóng góp vào tính toán và thiết kế lò bảo đảmcho việc vận hành lò phản ứng hạt nhân và an toàn cho nó

Trong chương này chúng tôi cũng đưa vào phương pháp tham số liên tục [21]

và phương pháp tính gần đúng xấp xỉ để sử dụng cho các chương sau, khái niệm bàitoán với các điều kiện biên khác nhau trong trường hợp một chiều và hai chiều Dựatrên định nghĩa của đạo hàm trung bình tích phân, ta đưa các bài toán vi phân trên

9

miền (cả biên) có kỳ dị yếu hoặc các biên tham gia trong phương trình chỉ có đạohàm theo nghĩa trung bình tích phân (không có đạo hàm theo nghĩa thông thườngtrên toàn miền) về một mô hình thống nhất, sau đó sử dụng phương pháp xấp xỉthông thường để tìm nghiệm (kể cả việc xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa).Chương II Áp dụng cho tính toán lò phản ứng hạt nhân được giải bằngphương pháp IAD Trong chương II, chúng tôi trình bày cơ sở vật lý lò phản ứnghạt nhân, các điều kiện biên trong lò và phương trình khuếch tán trong lò phản ứnghạt nhân, áp dụng phương pháp IAD tính toán thông lượng lò và so sánh với các kếtquả của các phương pháp khác như phương pháp nodal, phương pháp Monte Carlo.Kết quả đã được công bố trong các bài báo 1.- 8 (danh mục các công trình khoa họccủa tác giả đã công bố liên quan đến luận án).

Chương III Áp dụng phương pháp IAD cho bài toán nhiễu xạ sóng trong môitrường đàn hồi thuần nhất bị hổng một góc  Trong chương này chúng tôi xâydựng bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi trong bài toán cơ học Chúngtôi áp dụng phương pháp IAD để giải quyết bài toán biên có kỳ dị, băng phép biếnhình bảo giác của hàm biến phức đưa bài toán về phương trình vi tích phân để giải.Kết quả công bố trong bài báo 3 (danh mục các công trình khoa học của tác giả đãcông bố liên quan đến luận án)

7 Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài luận án.

Tác giả đã hoàn thiện, cụ thể hóa việc áp dụng phương pháp IAD cho các bàitoán được nêu trong luận án đồng thời chỉ rõ phạm vi ứng dụng của phương phápcho nhiều lớp bài toán có cùng các đặc trưng của miền biên và độ kỳ dị Các kết quả

có thể mở rộng cho nhiều loại phương trình toán khác nhau trong cơ học và vật lý,trong thế giới vi mô và vĩ mô

Các kết quả nghiên cứu của luận án được công bố trong 08 công trình dướidạng các bài báo và báo cáo khoa học đăng trên tạp chí và kỷ yếu hội nghị khoa họcquốc tế và trong nước, trong đó có 5 bài báo đăng trên tạp chí quốc tế

Lò phản ứng hạt nhân là một hệ thống thiết bị công nghệ, trong đó phản ứngdây chuyền, phân hạch hạt nhân được kiểm soát và duy trì, từ đó năng lượng hạt

10

nhân dưới dạng nhiệt được lấy ra để sử dụng hữu ích, chẳng hạn như máy phát điện,tàu phá băng [58] Trong thiết bị như thế, neutron gây ra phản ứng phân hạch hạtnhân với các hạt nhân nặng được gọi là nhiên liệu hạt nhân Các thành phần nguyênliệu của một lò phản ứng bao gồm nhiên liệu, nước làm mát hệ thống, vật liệu cấutrúc, và các thiết bị kiểm soát phản ứng phân hạch Nói chung, các vật liệu được sắpxếp rất không đồng nhất Trong các bài toán này, chúng tôi chủ yếu quan tâm đếnbài toán dừng, nghiên cứu bài toán tĩnh để xem xét đặc trưng và các tính chất của lòphản ứng hạt nhân Các tính toán lò phản ứng hạt nhân nhằm xác định thừa số nhânneutron theo các cấu hình khác nhau của một lò phản ứng hạt nhân và phân bốthông lượng neutron (vì vậy suy ra phân bố công suất sinh ra) theo không gian vàthời gian với các điều kiện biên khác nhau.

Chúng tôi đã tạo nên một phương pháp IAD cho tính lò phản ứng hạt nhânmới dựa trên phương trình khuếch tán neutron mang tính nhất thể hóa Chúng tôi đãđiều chỉnh các thông lượng phản hồi trong cách tính lặp thông qua các hệ số đượcđịnh nghĩa trong phương pháp IAD Không mất nhiều thời gian tính toán, bộ nhớmáy tính và độ hội tụ tốt hơn Chúng tôi đã chủ động phối hợp với một số phươngpháp khác như phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp Monte-Carlo, phươngpháp lặp nodal, phương pháp tiệm cận, phương pháp biến phân để tìm thông lượngchính xác hơn có ý nghĩa về mặt vật lý Chúng tôi giải quyết các điều kiện biên kỳ

dị và không kỳ dị như điều kiện thực tế đặt ra trong lò phản ứng và đưa ra đượcthông lượng và các đặc trưng khác của lò phản ứng hạt nhân

Phương pháp IAD còn cho phép xây dựng thông số đặc trưng hạt nhân như tiếtdiện tán xạ, phân hạch, hấp thụ, hệ số khuếch tán, quãng chạy tự do trung bình củaneutron v.v… là các thông số quan trọng tại vị trí và nhóm năng lượng nào đó tronglõi lò dùng để tính thông lượng neutron

Qua phép tính toán về áp dụng phương pháp IAD để giải quyết bài toán nhiễu

xạ sóng trong môi trường đàn hồi chúng tôi nêu lên được phương pháp IAD có thể

áp dụng cho các bài toán nhiễu xạ bằng cách giải đơn giản, không cần nhiều tínhtoán lập trình cồng kềnh vẫn có thể cho được kết quả phù hợp thực tế

11

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM

TRUNG BÌNH TÍCH PHÂN

Trong chương này luận án giới thiệu phương pháp đạo hàm trung bình tíchphân bao gồm định nghĩa và các phương pháp lặp (lặp trong và lặp ngoài), cácphương pháp rời rạc hóa bài toán biên, phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưaphương trình về dạng ma trận [9] Nghiên cứu này sẽ định nghĩa đạo hàm trung bìnhtích phân và các tính chất của nó, sau đó giới thiệu một số bài toán lý thuyết cónghiệm không trơn được giải bằng cách sử dụng IAD

Phương pháp tham số liên tục và phương pháp tính gần đúng xấp xỉ, kháiniệm bài toán với các điều kiện biên khác nhau trong trường hợp một chiều và haichiều cũng được dẫn ra ở đây Dựa trên định nghĩa của đạo hàm trung bình tíchphân, ta đưa các bài toán vi phân trên miền (cả biên) có kỳ dị yếu hoặc các biêntham gia trong phương trình chỉ có đạo hàm theo nghĩa trung bình tích phân (không

có đạo hàm theo nghĩa thông thường trên toàn miền) về một mô hình thống nhất,cos đạo hàm liên tục tại mọi diểm không trơn, sau đó sử dụng phương pháp xấp xỉthông thường để tìm nghiệm, trong tính toán các số liệu đầu vào thường khôngtuyến tính và chúng tôi áp dụng phương pháp đạo hàm trung bình tích phân để xử lýcác xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa [12]

1.1 Đạo hàm trung bình tích phân

Tên phương pháp đạo hàm trung bình tích phân IAD (Intergrally AveragedDerivative) là thuật ngữ được sử dụng trong luận án bao gồm định nghĩa và cácphương pháp lặp (lặp trong và lặp ngoài), các phương pháp rời rạc hóa bài toánbiên, phương pháp hàm riêng và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma trận theocách đạo hàm trung bình tích phân đã được định nghĩa trong trang 6

12

ii) Nếu tại x0 ta có  F x0 , h   Ah , trong đó A là ma trận vuông cấp n 

n thì F được gọi là khả vi trung bình theo tích phân tại x0 , và viết F x0 , h  

Ah

Nhận xét: Do mục đích nghiên cứu của luận án nên ở đây chỉ sử dụng đạo

hàm trung bình tích phân theo định nghĩa trên Ta có thể mở rộng định nghĩa trên

bằng cách thay thế biểu thức trong i) bởi biểu thức

Phương pháp đạo hàm trung bình tích phân cũng cho phép xử lý các số liệu

đầu vào cho các bài toán có số liệu đầu vào không tuyến tính hoặc rời rạc hóa,

không trơn, chúng trở nên liên tục và không có điểm gián đoạn, đứt gãy Nhất là

những bài toán lượng tử vi mô trong tính toán lò phản ứng hạt nhân hoặc hệ lượng

13

ii) Nếu F có đạo hàm Gateaux tại x0 thì F’ cũng có đạo hàm trung bình tại đó

và ta có F   x0  F x0

iii) Tồn tại hàm F có đạo hàm trung bình tại x0 , nhưng không có đạo hàm

Gateaux tại đó

Ví dụ: F x   x không có đạo hàm Gateaux tại x0  0 nhưng có đạo hàm

trung bình tích phân tại đó



 

 lim

Hình 1.2 Hàm F không liên tục tại x0

vi) Hàm F có đạo hàm hữu hạn hai phía tại x0 thì có đạo hàm trung bình tại đó

và ta cũng có

14

F   x0  0   F x0 0

F x0 

2Nhận xét: Các tính chất ii), iii), ) và iv) suy từ tính chất vi) Bây giờ chứng

minh tính chất vi) Do gỉả thiết F có đạo hàm hai phía tại x0 nên dễ dàng suy ra hàm

1.2 Một số khái niệm bổ trợ

Sau đây, để ngắn gọn ta sẽ gọi các phương pháp rời rạc hóa bài toán biên có sửdụng khái niệm đạo hàm trung bình tích phân là các phương pháp đạo hàm trungbình tích phân, gọi tắt là các phương pháp IAD (Integrally Average Derivative).Phương pháp này được áp dụng cho Chương 2 và Chương 3 Dựa trên định nghĩacủa đạo hàm trung bình tích phân, ta đưa các bài toán vi phân trên miền (cả biên) có

kỳ dị yếu hoặc các biên tham gia trong phương trình chỉ có đạo hàm theo nghĩatrung bình tích phân (không có đạo hàm theo nghĩa thông thường trên toàn miền) vềmột mô hình thống nhất, sau đó sử dụng phương pháp xấp xỉ thông thường để tìmnghiệm (kể cả việc xử lý số liệu ban đầu để trung bình hóa), phương pháp hàm riêng

và trị riêng khi đưa phương trình về dạng ma trận, Trong đó dùng các phép

15

biến đổi Fourier, Laplace để tìm nghiệm Phương pháp giải sử dụng định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân vừa nêu được gọi chung là phương pháp IAD.

Hình 1.3 Miền được giải với biên 1 , 2

L, F ,G là các toán tử vi phân, b, s , g là các hàm đã cho Giả sử U là nghiệm đúngcủa bài toán (1.1), (1.2), (1.3) mà ta không thể tìm được bằng phương pháp giải tích

i) Bộ các hàm ix  là độc lập tuyến tính với mọi n.

ii)   0, u, n sao cho

Đặt (1.4) vào (1.1), (1.2), (1.3) thu được

bởi (1.5), (1.6), (1.7) có giá trị bé tùy ý trên    , đã xuất hiện nhiều phương

pháp khá lý thú Để phục vụ cho các chương sau, chúng tôi trích dẫn phương pháp

cân bằng sai số được trình bày [83]

1.2.2 Phương pháp cân bằng sai số

Gỉả thiết rằng W đều được viết dưới dạng

hàm W thỏa mãn điều kiện biên bằng không tức là

1.3 Phương pháp IAD cho nghiệm xấp xỉ của phương trình Wigner

Trong mục 1.1 đã đưa ra định nghĩa của đạo hàm trung bình (tích phân) và cácchương sau chúng tôi sẽ áp dụng các ứng dụng của nó vào tìm nghiệm xấp xỉ củabài toán khuếch tán

Gần đây phương trình Wigner và bài toán liên kết Wigner – Poisson đã được

sự chú ý của các nhà toán học và vật lý lý thuyết do tính chất phi tuyến của nó khixét trong môi trường Plasma lượng tử tĩnh điện Chúng được xét trên cơ sở lý thuyếttrường trung bình

Ta xét bài toán được trình bày trong bài báo [83]

(thời gian), k1, 2,3 Xét biểuthức

R v

Phương trình Liouville lượng tử (1.12) được Wigner đưa ra năm 1932 từphương trình Schrodinger khi lượng tử hóa phương trình Liouville cổ điển Đó cũngchính là phương trình Wigner và nghiệm tương ứng là hàm Wigner

Chú ý rằng biểu thức (1.13) có dạng

f 1

trong đó f là phép biến đổi Fourier và f 1 là phép biến đổi ngược của nó, và

18

3 Lấy tập hợp rời rạc các hạt nằm tại vị trí xi t , v i t  với hằng số không

gian pha wi và thời gian phụ thuộc vào trọng số wi t  Nghiệm w là nghiệm xấp xỉ

được đo bởi tổ hợp tuyến tính của hàm delta

19

Với định lý trên cho phép chúng tôi xây dựng phương pháp IAD Phương phápdựa trên định nghĩa đạo hàm trung bình tích phân trong không gian hữu hạn chiều

Rn cho các bài toán giải phương trình khuếch tán neutron trong lò phản ứng hạtnhân đối với phương trình vi tích phân nhiều biến (được trình bày trong Chương

2) và phát triển bài toán nhiễu xạ sóng trong môi trường đàn hồi bị hổng một góctrong tài liệu 3 (danh mục các công trình khoa học của tác giả đã công bố liên quan đếnluận án)

20

CHƯƠNG 2 TÍNH TOÁN THÔNG LƯỢNG NEUTRON TRONG LÒ

PHẢN ỨNG HẠT NHÂN

2.1 Khái niệm mở đầu

Trước nhu cầu cần sử dụng năng lượng hạt nhân của nước ta hiện nay Việcnghiên cứu và tính toán thông lượng neutron trong lò phản ứng hạt nhân rất quantrọng, nó là một thiết bị hiện đại tạo ra năng lượng cho con người Chúng bao gồmcác vật liệu đa dạng như nhiên liệu, chất làm chậm, nước làm mát, chất phản xạv.v… tất cả các thành phần được sắp xếp không đồng nhất Do đó thiết kế lò phảnứng hạt nhân và phân tích các chế độ hoạt động khác nhau của nó là một nhiệm vụphức tạp bao gồm nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật [72, 117] Tuy nhiên điều cácnhà vật lý quan tâm nhất là sự phân bố và tính chất trạng thái của các neutron (đượcgọi là các đặc trưng neutron) như: phân bố thông lượng trong vùng hoạt; từ đó tính

hệ số nhân hiệu dụng (keff) cho các cấu hình khác nhau ở điều kiện nhiệt độ 20oCv.v… trong lò phản ứng hạt nhân Nó đóng một vai trò quan trọng và nhận được sựchú ý đáng kể trong vật lý lò phản ứng hạt nhân Mục tiêu chính của sự phân tíchcác đặc trưng neutron như vậy để mô tả và dự đoán trạng thái của lò phản ứng hạtnhân trong các điều kiện khác nhau và để tìm thấy cấu hình tối ưu của nó, trong đó

có khả năng hoạt động tự bền vững lâu dài với sự can thiệp tối thiểu của con người[103]

Một trong các vấn đề mang tính thời sự hiện nay là các bài toán tính toán lòphản ứng hạt nhân Neutron chuyển động trong lò phản ứng hạt nhân là nhân tốchính để xác định các hành vi hoạt động của lò phản ứng hạt nhân, nó được coi nhưcác hạt điểm có vận tốc, tọa độ xác định Các hành vi chuyển động và tương tác baogồm hấp thụ, tán xạ hay phân hạch thỏa mãn phương trình vận chuyển Boltzmann,còn gọi là phương trình vận chuyển neutron trong lò phản ứng hạt nhân Chúng tôidành nội dung chương này để xây dựng mô hình vật lý đưa ra phương trình vận

21

chuyển neutron trong lò phản ứng hạt nhân và áp dụng một số phương pháp giảitrong chương 1 để áp dụng giải phương trình này.

Sự cân bằng neutron trong lò phản ứng hạt nhân được mô tả bằng phươngtrình vi tích phân với 7 biến độc lập, đó là phương trình vận chuyển neutron Tiếptheo chúng tôi đơn giản hóa phương trình vận chuyển neutron thành một hệ phươngtrình vi phân đạo hàm riêng chỉ với 3 biến độc lập trong không gian ba chiều trongtrạng thái tĩnh ở nhiều nhóm năng lượng liên tục [81]

Lý thuyết khuếch tán neutron trong một thời gian dài là một công cụ tiêuchuẩn để tính toán toàn bộ các đặc trưng neutron trong lò phản ứng hạt nhân, nó chophép tính toán hình thức nhưng chưa đánh giá được sai số và chưa cho kết quả hợp

lý cho nhiều cấu hình lò phản ứng thực tế Các giả định trong khi đặt vấn đề xuấtphát điểm của nó chưa giải thích được các gần đúng đặt ra về mặt vật lý Như sự tán

xạ, hấp thụ chỉ ổn định đối với các neutron xuất phát từ nguồn là đẳng hướng cònnếu bất đẳng hướng bài toán không được chính xác nhất là với biên phức tạp [20]

Quá trình khuếch tán neutron được xét như quá trình vận chuyển neutron tronglõi lò phản ứng hạt nhân nó chính là nhân tố tạo nên các tương tác vật lý gây ra cáchiện tượng phân hạch hạt nhân và các quá trình bức xạ trong hạt nhân Do đó,chuyển động và tương tác của neutron với vật liệu (chất làm chậm và nhiên liệu)trong lõi lò cần phải biết hướng đi và tốc độ di chuyển của chúng

Trong quá trình di chuyển, neutron có thể bị tán xạ hay hấp thụ hoặc bị trễ…Phương trình khuếch tán neutron là phương trình vận chuyển cân bằng số neutrontrong một thể tích nào đó tại đó có các điều kiện biên xác định được đặc trưng bằngthông lượng neutron (với biến là hướng, tốc độ di chuyển, năng lượng)[77, 81] Từthông lượng neutron người ta có thể biết được các đặc trưng khác của lò phản ứnghạt nhân như hệ số nhân neutron, quá trình phân hạch tự duy trì…v.v

22

Có nhiều phương pháp giải phương trình khuếch tán neutron như phương phápbiến phân, phương pháp S n (rời rạc hóa theo hướng), phương pháp P n (rời rạc hóatheo tọa độ không gian) [81], phương pháp Nodal (Phương pháp chia lưới để giảiphương trình khuếch tán neutron hay phương trình nhiễu xạ sóng bằng phương phápphần tử hữu hạn hay phương pháp sai phân trong lõi lò phản ứng hạt nhân) [81]hoặc phương pháp Monte Carlo (phương pháp giải phương trình khuếch tán tínhtoán lò thường dùng theo phép thử xác suất ) [137]…v.v

2.2.1 Phương trình khuếch tán

Cân bằng neutron (nghĩa là, tốc độ thay đổi số neutron) có năng lượng trong

khoảng từ E đến E + dE trong thể tích cơ bản, ở điểm được xác định bằng

trong đó D(E) – hệ số khuếch tán; – toán tử Laplace.

Tốc độ hao hụt neutron được xác định bằng phản ứng bắt neutron của hạt nhân

Sự tăng trưởng số neutron là do hai quá trình hạt nhân: tán xạ Qs (đàn hồi và

không đàn hồi) và sinh neutron do phân hạch các hạt nhân Q f (Q = Q s + Q f) Tốc độgia tăng số neutron do tán xạ được mô tả

trong đó  s (E  E) – tiết diện tán xạ vĩ mô vi phân của neutron có năng lượng

trong khoảng từ E đến E + dE Đại lượng Qs được gọi là tích phân các va chạm và

ˆ 

thường được ký hiệu là S ( r , E) .

23

Tốc độ sinh neutron do phản ứng phân hạch được xác định

Q

f   ( E ) v f ( E )  f ( E ) ( r , E ) dE  dE

trong đó χ(E) – phổ các neutron phân hạch

Khi thay phương trình (2.2) - (2.5) vào biểu thức (2.1) và rút gọn dE, sẽ nhận

được phương trình dịch chuyển neutron trong môi trường phân hạch theo phép gần

đúng khuếch tán (phương trình khuếch tán)

2.2.2 Phương trình vi phân cho các neutron nhiệt và giải phương trình đó

cho các dạng hình học đơn giản

Đối với quá trình tĩnh (  / t  0 ) theo phép gần đúng khuếch tán cho các

neutron nhiệt (trong trường hợp này, dòng không phụ thuộc vào năng lượng),phương trình (2.6) được rút gọn đáng kể

tr

s

24

Đại lượng λtr được gọi là độ dài vận chuyển, cos θ – cosin trung bình của góc tánxạ.

Toán tử Laplace cho dạng hình học một chiều được mô tả trong dạng hình cầu

là  

1 d

(r 2 d ), dạng hình trụ là  

1 d (r d ) dạng mặt phẳng vô tận

Đại lượng ù được gọi là thông số vật liệu lò phản ứng.

Điều kiện biên của bài toán: tính liên tục của Ф trên đoạn từ 0 đến R và khả

năng tiến đến 0 của Ф ở biên ngoại suy của lò phản ứng (theo bán kính của các phép

Đó chính là phương trình Helmholtz với các điều kiện biên (2.14) là ψ(R) = 0

và ψ(0)   Phương trình (2.15) với các điều kiện biên trên, có vô số nghiệm độclập ψ0, ψ1, ψ2,…ψn,… Các nghiệm đó được gọi là các hàm riêng (hoặc hàm điều hòa) của toán tử Laplace Trong đó chỉ tồn tại một nghiệm duy nhất ψ0 (hàm điều

hòa điểm không), thỏa mãn đồng thời các điều kiện biên được sử dụng và điều kiệnkhông âm của hàm trong vùng đang xét Mỗi hàm riêng ψn tương ứng với một giá trị riêng – B n2 của toán tử Laplace Mọi giá trị riêng đều tuân theo bất đẳng thức 0 

B02  B12   B n2 Giá trị riêng nhỏ nhất B02được gọi làthông số hình học.

25

Thông số hình học chỉ phụ thuộc vào hình dạng và kích thước lò phản ứng mà

không phụ thuộc vào các tính chất tái sinh của môi trường

Đối với lò phản ứng dạng hình cầu, nghiệm của phương trình (2.15) được

tìm ở dạng

  C sin(B n r )  C cos(B n r)

trong đó C1, C2 – các hằng tùy ý Từ điều kiện biên ψ(0)   (hạn chế nghiệm ở

điểm r = 0) tìm được C2 = 0 Khi đó nghiệm có dạng

(Sau đây bỏ qua chỉ số 0.) Trong trường hợp này, đại lượng B 2   R2làgiá trị

riêng nhỏ nhất của toán tử Laplace đối với dạng hình cầu.

Đối với các phương trình lò phản ứng mọi hình dạng và mọi kích thước, đều

tồn tại các giá trị riêng của mình

Đẳng thức các thông số vật liệu và các thông số hình học là điều kiện tồn tại

trạng thái tĩnh của trường neutron trong môi trường tái sinh hạn chế không có nguồnbên ngoài

ù  B

Điều kiện (2.20) và kích thước lò phản ứng tương ứng với điều kiện đó, được

gọi là điều kiện tới hạn.

Đối với lò phản ứng hình cầu, từ điều kiện (2.20) có thể dễ dàng tìm bán kính tới hạn của lò phản ứng

R th   ù

26

hoặc, sau khi đặt biểu thức (2.11) vào (2.20), ta có

Rth   L / k 1

Thể tích môi trường tái sinh nằm trong trạng thái tĩnh, mà các thông số vật liệu

và hình học của môi trường đó thỏa mãn các điều kiện tới hạn, được gọi là thể tích tới hạn, khối lượng chất phân hạch trong thể tích đó – khối lượng tới hạn.

Nghiệm của phương trình khuếch tán một tốc độ đối với lò phản ứng có dạng tấm phẳng dài vô tận độ dày H

  CJ 0 ( Br) (2.30)

27

ở đây, J0(Br) – hàm Bessel bậc không Từ điều kiện biên ta tìm được nghiệm số của phương trình J0(ξ); ξ = 2,405 [49, 57].); ξ); ξ = 2,405 [49, 57] = 2,405 [49, 57].

Thông số hình học cho lò phản ứng hình trụ B = 2,405 / R, bán kính tới hạn

R2,405 ù 

2, 405L

k 1

Giải phương trình đối với lò phản ứng dạng hình trụ có độ cao hữu hạn

Nghiệm của phương trình cho hình trụ hai chiều (r, z)

1 d ( r

trong đó G(r), F(z) – tương ứng, nghiệm của bài toán cho hình trụ vô tận và tấm

phẳng vô tận Thông số hình học cho hình trụ hữu hạn là

Sự lan truyền các neutron nhiệt trong lò phản ứng, khi không xét đến quá trìnhlàm chậm chúng, được mô tả bằng phương trình theo phép gần đúng khuếch tán đơnnhóm Vì vậy, độ chính xác tính toán nhờ cách tiếp cận đó là không cao Tồn tạimột số phương pháp tính toán neutron của toàn bộ dải năng lượng Đơn giản nhất