KỸ NĂNG đọc đồ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN để GIẢI một số bài TOÁN LIÊN QUAN

Muốn làm được các bài tập trên học sinh phải có kỹ năng đọc đồ thị (bảng biến thiên), vận dụng linh hoạt các kiến thức được học ở chương hàm số để giải quyết những bài tập này. Nhằm góp phần giúp các em trong kỳ thi sắp tới mà tôi chọn chuyên đề: “kỹ năng đọc đồ thị, bảng biến thiên để giải một số bài toán liên quan”

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TAM ĐẢO

Chuyên đề :

1) Ng ười thực hiện:……… i th c hi n:……… ực hiện:……… ện:………

2) Đ i t ối tượng bồi dưỡng học sinh lớp 12 ượng bồi dưỡng học sinh lớp 12 ng b i d ồi dưỡng học sinh lớp 12 ưỡng học sinh lớp 12 ng h c sinh l p 12 ọc sinh lớp 12 ớp 12.

3) D ki n s ti t 03 ực hiện:……… ến số tiết 03 ối tượng bồi dưỡng học sinh lớp 12 ến số tiết 03.

ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong đề thi THPTQG 2019 mã đề 101:

Câu 3 Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A 2;0 B 2;   C 0; 2 D 0;  .

Câu 6 Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên

A y x 3 3x2 3 B yx33x23 C y x 4 2x23 D y x42x23 Câu 14 Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

Câu 16 Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình 2f x  3 0 là

Câu 28 Cho hàm số yf x có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Câu 36 Cho hàm số f x , hàm số yf x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên.

Bất phương trình f x  x m (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x0;2 khi và chỉkhi

A mf  2  2 B mf  0 C m f  2  2 D m f  0 .

Câu 43 Cho hàm số bậc ba yf x  có đồ thị như hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình  3  4

- Muốn làm được các bài tập trên học sinh phải có kỹ năng đọc đồ thị (bảng biến thiên), vận dụng linh hoạt các kiến thức được học ở chương hàm số để giải quyết những bài tập này Nhằm góp phần giúp các em trong kỳ thi sắp tới mà tôi chọn chuyên đề: “kỹ năng đọc đồ thị, bảng biến thiên để giải một số bài toán liên quan”

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

- Từ bảng biến thiên và đồ thị ta lấy đc các thông số sau:

1, Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số

2, Cực trị (nếu có): số cực trị, tọa độ điểm cực trị

3, Giá trị min max trên một khoảng đoạn, nửa khoảng

4, Tiệm cận đứng, ngang (nếu có)

5, Hàm số tương ứng với đồ thị (hoặc BBT)

6, Biện luận số nghiệm của phương trình

   0: Hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên ¡

3 Đạo hàm cấp 2:y''  6ax  2b, y'' 0 x b

 là hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

4 Giới hạn: Nếu a 0  thì: xlim y ; lim yx

 

1 Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi:    b 2  3ac 0 

2 Hàm số luôn đồng biến trên a 0 2

4 Để tìm giá cực trị ta lấy f(x) chia cho f (x)  : f(x) f (x).g(x) rx q    

Nếu x , x 1 2 là hai nghiệm của f (x)  thì: f(x ) rx 1  1  q; f(x ) rx 2  2  q

Khi đó đường thẳng đi qua các điểm cực trị lày  rx q 

5 Đồ thị luôn có điểm uốn I và là tâm đối xứng của đồ thị.

6 Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt  hàm số có hai cực trị trái dấu nhau

7 Đồ thị cắt Ox tại hai điểm phân biệt  đồ thị hàm số có hai cực trị và một cực trị nằm trên Ox

8 Đồ thị cắt Ox tại một điểm  hoặc hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai cực trị cùng dấu

9 Tiếp tuyến: Gọi I là điểm uốn Cho M (C) 

* Nếu M  I thì ta có đúng một tiếp tuyến đi qua M và tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất ( nếu a  0), lớn nhất (nếu a  0)

* Nếu M khác I thì có đúng 2 tiếp tuyến đi qua M

HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG : y ax  4  bx 2  c

1 TXĐ: D ¡

2 Đạo hàm: y   4ax 3  2bx  2x(2ax 2  b)  y    0 x 0  hoặc 2 b

x 2a

* Nếu ab 0  thì đồ thị có 2 điểm uốn.

* Đồ thị của hàm số y ax  4  bx 2  c (a  0) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng khi phương trình: 2

aX  bX c 0   có 2 nghiệm dương phân biệt thỏaX 1  9X 2

* Nếu đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có đỉnh nằm trên Oy

* Nếu đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị thì đường thẳng d' đối xứng với d qua Ox cũng làtiếp tuyến của đồ thị

* Nếu m  0 thì hàm số tăng trên từng khoảng xác định

* Nếu m  0 thì hàm số giảm trên từng khoảng xác định

SƠ ĐỒ NHẬN BIẾT DẤU CỦA CÁC HỆ SỐ:

Điểm uốn "lệch trái" so với Oy Hoặc hai điểm cực trị "lệch trái"

Có 1 điểm cực trị nằm trên Oy

ac < 0

c=0

Hệ số c: dựa vào cực trị

Đồ thị hàm số chỉ có 1 điểm cực trị (Đang xét a ≠ 0)

Hệ số b: dựa vào điểm

đối xứng của đồ thị (điểm uốn)

Dấu ab: Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox

Dấu ac: Dựa vào vị trí đường tiệm cận ngang

Dấu bd: Dựa vào vị trí giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy

Dấu cd: Dựa vào vị trí đường tiệm cận đứng

Dấu ad - bc: Dựa vào đồ thị hàm số

BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ

Cho ( )G là đồ thị của hàm số y= f x( ) và p>0, ta có

+ Tịnh tiến ( )G lên trên p đơn vị thì được đồ thị y=f x( )+p

+ Tịnh tiến ( )G xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị y=f x( )- p

+ Tịnh tiến ( )G sang trái p đơn vị thì được đồ thị y=f x p( + )

+ Tịnh tiến ( )G sang phải p đơn vị thì được đồ thị y=f x p( - )

 Phép lấy đối xứng qua các trục tọa độ Oxy

Cho điểm M x y( ; ), khi đó

+ Đối xứng M qua trục hoành ta được M x y' '; '( ) với ìïïíï =-ïîx y''=x y

+ Đối xứng M qua trục tung ta được M x y' '; '( ) với ìïïíï =ïîx y''=-y x.

Chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dạng 1: Từ đồ thị (C) của hàm số y=f(x) ta suy ra đồ thị của hàm số y f x( )

Qui tắc:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) của hàm số y= f(x) nằm phía trên trục hoành

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nằm dưới trục hoành qua trục hoành

- Và bỏ đi phần đồ thị nằm dưới trục hoành

Ta được đồ thị của hàm số y f x( )

Minh họa

Dạng 2: Từ đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x) ta suy ra đồ thị hàm số: yf x 

Qui tắc

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nằm bên phải trục oy

+ Bỏ phần đồ thị (C) của hàm số y = f(x) ỏ bên trái trục oy

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) của hàm số y = f(x) nằm bên phải trục oy qua Oy

(Nhận xét :Hàm số yf x  là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng)

Dạng 1 Từ đồ thị, bảng biến thiên xác định hàm số, dấu các hệ số của hàm số

Ví dụ 1 Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Hướng dẫn giải Đây là dạng đồ thị hàm bậc 4 trùng phương với hệ số a > 0 Chọn A

Ví dụ 2 Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm được liệt kê

ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Ví dụ 3 Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án

A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

-2 2

x có ad bc  3 0 nên chọn đáp án B.

Ví dụ 4 (Câu 1 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B,

C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A yx2 x 1

C y x 4 x21

B yx33x1

D y x 3 3x1

Hướng dẫn giải : Kí hiệu  C là đường cong đã cho

Nhận thấy, các hàm số đã cho ở 4 phương án thuộc các loại hàm số: bậc hai, bậc ba và trùngphương Căn cứ dạng đồ thị của các loại hàm số vừa nêu, ta thấy  C chỉ có thể là đồ thị của mộthàm số bậc ba với hệ số a của x3 là số dương Từ đó, kết hợp với giả thiết  C là đồ thị của mộthàm số trong 4 hàm số đã nêu ở 4 phương án, suy ra hàm số cần tìm là hàm số ở phương án D

Ví dụ 5 (Câu 5- mã 101 - Đề chính thức môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ

GD&ĐT):Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây Hàm số đó là

Ví dụ 6 (Câu 11- mã 101 - Đề chính thức môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2018 của Bộ

GD&ĐT): Đường cong trong hình vẽ bên là của hàm số nào dưới đây

Vì lim  

x nên loại A

Ví dụ 7 (Câu 06- mã 101 - Đề chính thức môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2019 của Bộ

GD&ĐT):Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nên loại C và D.

Khi x    thì y    nên hệ số a 0 Vậy chọnA.

Ví dụ 8 (Câu 02- mã 103 - Đề chính thức môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2019 của Bộ

GD&ĐT): Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

Ví dụ 10 Bảng biến thiên sau đây là của một trong 4 hàm số được liệt kê dưới đây Hỏi đó là

+ Đồ thị có nhánh đầu tiên đi xuống nên a 0

+ Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên d 0

+ Hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ dương nên PT 2

Đồ thị có nhánh cuối đi lên nên a 0

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d 0

Đối chiếu bốn phương án chỉ có phương án B thỏa mãn.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c 0

Ví dụ 14 (ĐH Vinh, lần 1) Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số  



ax b y

O

  nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Đáp án là C.

Ví dụ 2 (THPT Minh Hà - Quảng Ninh) Nhận biết hàm số 3

3

yx  x có đồ thị nào trongcác hình dưới đây ?

Hàm số qua (0; 1)  do đó loại B, C Do a 0 nên đồ thị hướng lên suy ra đáp án A

Ví dụ 4: Cho hàm số y x 3  6x2  9x có đồ thị như Hình 1 Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào

trong bốn đáp án A, B, C, D dưới đây?

y

4

3 1

● Sau đó lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ ở trên qua trục Oy

Ví dụ 5: Cho hàm số y x 3  3x2  2 có đồ thị như Hình 1 Đồ thị Hình 2 là của hàm số nào

O

-2

-1 -2

O

-1 -2 -3

Hình 1 Hình 2

A yx33x2 2 B yx33x2 2

C y x3 3x2 2 D yx3  3x2  2.

Hướng dẫn giải: Chọn B.

Nhắc lại lí thuyết: Đồ thị hàm số y f x  được suy ra từ đồ thị hàm số yf x  bằng cách

● Giữ nguyên phần đồ thị hàm số yf x  với y 0.

● Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số yf x  với y 0 qua trục Ox

Ví dụ 6 Trong các đồ thị hàm số sau, đồ thị nào là đồ thị của hàm số y= 2x2 - x4 + 1?

-2 -1

x là hình vẽ sau:

x

y

-2 -2

2 -1 1

A.

x y

-2

2

Hướng dẫn giải:Chọn A

x nằm phía trên trục hoành.

x nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành

Ví dụ 8 Cho hàm số y x  3  3 x  2có đồ thị được cho ở hình 1 Đồ thị ở hình 2 là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Cách 1 Đồ thị ở hình 2 được vẽ như sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành Ox

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) ở dưới Ox qua Ox, bỏ đi phần đồ thị (C) ở dưới Ox

+ Đồ thị thu được nằm hoàn toàn trên Ox Đây là đồ thị hàm số y x3 3x2 Chọn B.

Cách 2 Đồ thị ở hình 2 nằm ở phía trên trục hoành  y0 Chọn B

Dạng 3 Từ đồ thị (bảng biến thiên) xác định tính đơn điệu, điểm cực trị, tiệm cận, min của hàm số.

max-Ví dụ 1 (Câu 4 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):

Cho hàm số yf x( ) xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Hàm số có đúng một cực trị

B Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1

C Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1

D Hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 1.

Hướng dẫn giải: Với việc nắm vững các thông tin được thể hiện trong bảng biến thiên, dễ thấy

D là khẳng định đúng

Ví dụ 2 (Câu 4- mã 101 - Đề chính thức môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ

GD&ĐT):Cho hàm số yf x( ) có bảng biến thiên như sau Mệnh đề nào dưới đây sai ?

Từ bảng biến thiên, ta thấy:

- Hàm số có 1 điểm cực đại và giá trị cực đại bằng 3

- Hàm số có 2 điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu bằng 0

Do đó, mệnh đề sai là C

Ví dụ 3 (Câu 28- mã 101 - Đề chính thức môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ

GD&ĐT):Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y ax b

Ta có f x     0 x 0;2 f x  nghịch biến trên khoảng 0; 2.

Ví dụ 5 (Câu 3- mã 101 - Đề chính thức môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2018

của Bộ GD&ĐT):Cho hàm số y ax 3bx2cx d a b c d  , , ,  có đồ thị như

hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A 2

B 0

C 3

D 1

Ví dụ 6 (Câu 4- mã 101 - Đề chính thức môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2018 của Bộ

GD&ĐT):Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A 0;1 B   ; 0 C 1;   D  1; 0

Ví dụ 7 (Câu1 4- mã 101 - Đề chính thức môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2019 của Bộ

GD&ĐT):Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

Lời giải

Đáp án C

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x 1.

Ví dụ 8 (Câu 28- mã 101 - Đề chính thức môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2019 của Bộ

GD&ĐT):Cho hàm số yf x có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

      là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ví dụ 9 (THPT Lê Quý Đôn – Bình Phước) Cho hàm số yf x( )xác định ,liên tục trên R

1 2

x y

Hướng dẫn giải: Chọn C

Dựa và đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 1

Ví dụ 10 (Phạm Kim Chung) Cho hàm số yf x có đồ thị như hình bên Hãy chỉ ra giá trịlớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 2;3 

Ví dụ 11 Cho hàm số yf x có đồ thị như hình dưới Quan sát đồ thị và hãy chọn khẳng định

A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường

thẳng y 1

B Hàm số đạt cực tiểu tại x 1

C Hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 0 và

đồng biến trên khoảng 0; .

D Phương trình f x  m có hai nghiệm phân

biệt khi và chỉ khi  1 m1

Hướng dẫn giải: Chọn B

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đạt cự tiểu tại x 0

Ví dụ 12 ( THPT Hà Trung – Thanh Hoá ) Hàm số yf x( ) có đồ thị như hình vẽ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x 1 và tiệm

cận ngang là y 2

B Hàm số đồng biến trên các khoảng

(    ; 2), ( 2,   )

C Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm M(0; 1) 

D Hàm số nghịch biến trên các khoảng

(    ; 2), ( 2;   )

Hướng dẫn giải: Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có tiệm cận đứng x 2 và hướng của đồ thị đi lên theo chiều từ trái sangphải nên chọn đáp án B

Dạng 4 Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên chỉ ra số nghiệm của phương trình

Ví dụ 1 (Câu 29- mã 104 - Đề chính thức môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2019 của Bộ

GD&ĐT): Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình 2f x    3 0 là

khác nhau Suy ra phương trình có 3 nghiệm.

Ví dụ 2 (Câu 23- mã 102 - Đề chính thức môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2019 của Bộ

GD&ĐT): Cho hàm số f x( )có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình3 ( ) 5 0f x   là:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình  * có bốn nghiệm.

Ví dụ 3 Cho hàm số yf x  xác định trên \ 0  , liên tục trên mỗi khoảng xác định và

có bảng biến thiên sau:

Phương trình có 3 nghiệm khi và chỉ khi đồ thị hàm số yf x  cắt đường thẳng d y: m tại 3điểm phân biệt Từ bảng biến thiên suy ra 2m4 m  2;4 Chọn B.

Ví dụ 4 Cho hàm số yf x  xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên:

Ví dụ 6 Cho hàm số y  f x   xác định, liên tục trên  và có bảng biến thiên :

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình f x  m 3 có đúng một nghiệm thực.

x y’

Ví dụ 8 Cho hàm số y  f x   xác định trên  \ 0   , liên tục trên mỗi khoảng xác định và

có bảng biến thiên sau:

x    1 0 2 

'

y  0   0 y

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số giao điểm của đồ thị hàm số

Ví dụ 9 (Sở Vũng Tàu_2017_Lần 2) Cho hàm số yf x( ) liên tục trên đoạn 2;2 và có

đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới Tìm số nghiệm của phương trình f x   1

Dựa vào đồ thị ta có phương trình f x   1 có 6

nghiệm phân biệt

Ví dụ 10 (chuyên ĐH Vinh lần 1) Hình vẽ bên là đồ thị của một hàm trùng phương Giá trị

của m để phương trình f x  m có 4 nghiệm đôi một khác nhau là:

- 4