Tính toán xác định một số đặc trưng cơ học cho vật liệu composite cốt sợi đồng phương luận văn ths cơ học 60 44 21

Xác định các module đàn hồi của vật liệu composite hai pha cốt sợi đồng phương .... Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ đi sâu nghiên cứu vào loại vậtliệu composite cốt sợi đồng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN TIẾN ĐẮC

TÍNH TOÁN XÁC ĐỊNH MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CƠ HỌC CHO VẬT LIỆU COMPOSITE CỐT SỢI ĐỒNG PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội, năm 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-NGUYỄN TIẾN ĐẮC

TÍNH TOÁN XÁC ĐỊNH MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CƠ HỌC CHO VẬT LIỆU COMPOSITE CỐT SỢI ĐỒNG PHƯƠNG

Chuyên ngành : Cơ học vật thể rắn

Mã số

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TSKH NGUYỄN ĐÌNH ĐỨC

Hà Nội, năm 2012

1

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

Mở đầu

Chương 1 Tổng quan về vật liệu composite cốt sợi đồng phương

1.1 Mô hình

1.2 Nguyên lý Esenpi trong cơ học vật liệu composite

1.3 Mối quan phương

Chương 2 Xác định các module đàn hồi của vật liệu composite hai pha cốt sợi đồng phương

2.1 Phương pháp xấp xỉ thể tích

2.2 Xác định module đàn hồi Young E11

2.3 Xác định module khối biến dạng phẳng K23

2.3.1 Đặt và giải bài toán

2.3.2 Ví dụ minh họa

Chương 3 Xác định hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt cầu

3.1 Đặt vấn đề

3.2 Xác định hệ số giãn nở nhiệt của composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt cầu

3.2.1 Hệ số giãn nở nhiệt của nền giả định

3.2.2 Hệ số giãn nở nhiệt của composite hai pha cốt sợi đồng phương

3.2.3 Hệ số giãn nở nhiệt của composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt cầu

3.3.Ví dụ bằng số

Kết luận

Phụ lục

2

Tài liệu tham khảo 497

3

MỞ ĐẦU

Composite là vật liệu được tổ hợp từ hai hay nhiều vật liệu có bản chất khácnhau, nhằm mục đích tạo ra một vật liệu mới có tính năng ưu việt hơn hẳn nhữngthành phần ban đầu Nhờ những thuộc tính ưu việt hơn hẳn các vật liệu truyền thống

mà ngày nay vật liệu composite đã được sử dụng rất rộng rãi trong thực tế cuộc sống,trong các lĩnh vực khác nhau như xây dựng, chế tạo máy, trong giao thông vận tải,công nghiệp nặng, công nghiệp dân dụng, thậm chí cả trong y học và đặc biệt là ứngdụng trong thiết kế chế tạo các kết cấu hàng không, vũ trụ hiện đại,…

Đến nay, có hai cách phân loại vật liệu composite: dựa vào cấu trúc của thànhphần cốt hoặc bản chất của vật liệu nền Theo cơ học, composite được phân loại dựavào cấu trúc của các thành phần cốt, bao gồm composite độn hạt, composite cốt sợiđồng phương, composite phân lớp, composite có cấu trúc không gian, composite tạplai Theo công nghệ, composite được phân loại dựa trên bản chất của vật liệu nền, baogồm các loại cơ bản như composite polime, composite kim loại, composite gốm,composite cacbon, nano composite (khi có một thành phần composite có cấu trúcnano)

Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ đi sâu nghiên cứu vào loại vậtliệu composite cốt sợi đồng phương, hạn chế ở việc xác định một số module đàn hồiđộc lập của compostite hai pha và đưa ra một phương án xác định các hệ số giãn nởnhiệt của composite ba pha, qua đó góp phần xác định được ứng xử cơ học của vậtliệu composite cốt sợi đồng phương

Vấn đề xác định module đàn hồi cho composite cốt sợi đồng phương đã đượcnhiều tác giả nghiên cứu như Christensen, Pobedria, Vanin [8] Cách tiếp cận là dựatrên các phương pháp như tìm các biểu thức giới hạn nhờ các định lý biến phân nănglượng, tìm lời giải giải tích, phương pháp xác định bằng thực nghiệm Theo cách tìmcác biểu thức giới hạn, người ta sử dụng các định lý biến phân năng lượng (định lý thế

4

năng toàn phần) để xác định các cận trên và cận dưới của các module đàn hồi Tuynhiên, phương pháp trên dẫn đến các cận, xa với thực tế và chỉ xác định khoảng gầnđúng các module này Trong khi đó, phương pháp tìm lời giải giải tích thông qua cáchàm năng lượng Lời giải của bài toán sử dụng phương pháp này được tìm dựa vàocác phương pháp giải tích hoặc phương pháp số nhưng tính toán khá phức tạp.

Các cách tiếp cận như vậy đã ứng dụng nguyên lý Esenpi, sử dụng các hàmnăng lượng…Ưu điểm của của những phương pháp đó là cho phép đưa ra lời giải với

độ chính xác khá cao, vấn đề ở chỗ khi giải quyết bài toán ta thường gặp rất nhiều khókhăn

Theo cách tiếp cận mới, phương pháp xấp xỉ thể tích đã được giới thiệu trongcác bài báo của PGS.TSKH.Nguyễn Đình Đức và những người khác Ưu điểm củaphương pháp này dễ nhận thấy là đơn giản, gần gũi, dễ tiếp cận Việc mô hình hoá dựatrên phương pháp xấp xỉ thể tích thường đưa về giải các bài toán cơ bản của lý thuyếtđàn hồi để tìm các hằng số đàn hồi

Dựa trên phương pháp xấp xỉ thể tích, luận văn đã đề ra mục tiêu xác địnhmodule đàn hồi K23 - module khối biến dạng phẳng của vật liệu composite cốt sợiđồng phương thông qua bài toán kéo trụ đều mọi phía theo phương ngang với lực kéokhông đổi Bên cạnh đó, luận văn cũng đề xuất một phương án nhằm xác định biểuthức của các hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu composite ba pha cốt sợi đồng phươngđộn hạt cầu như là hàm của các đặc trưng đàn hồi thành phần, các hệ số giãn nở nhiệtthành phần, tỉ lệ thể tích của thành phần sợi và hạt

5

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU COMPOSTE CỐT SỢI

ĐỒNG PHƯƠNG

1.1 Mô hình vật liệu composite cốt sợi đồng phương

Composite cốt sợi đồng phương được cấu tạo từ các sợi song song theo mộtphương cơ bản nằm trong vật liệu nền Sợi được sử dụng trong vật liệu có thể làmdưới dạng liên tục như sợi dài, hoặc có thể dưới dạng gián đoạn như sợi ngắn, vụn,…Khi chế tạo vật liệu, chúng ta hoàn toàn có thể điều chỉnh được sự phân bố, phươngcủa sợi để tạo ra vật liệu dị hướng theo mong muốn hay tạo ra vật liệu có cơ - lý tínhkhác nhau Khi đó, ta cần chú ý đến bản chất của vật liệu thành phần, tỉ lệ của các vậtliệu tham gia và phương của sợi

Bây giờ, ta đưa ra một mặt cắt ngang mô tả vật liệu có cấu trúc tuần hoàn đượcminh họa trong hình vẽ 1.1:

Hình 1.1: Mô hình vật liệu composite cốt sợi đồng phương.

Ta xét một phần tử đại diện trong trường hợp tổng quát là một hình bình hành

có chiều dài 2 cạnh a, b Ta gọi nó là hình bình hành mắt xích chu kì tuần hoàn Trongmỗi mắt xích này các sợi đồng phương được bố trí sao cho các đỉnh của hình bìnhhành trùng với tâm của mỗi sợi (các sợi có tiết diện tròn với bán kính R) Khi đó, toạ

độ các điểm cắt trục của những sợi đồng phương trên mặt

(còn phương cơbản theo phương x3 ) sẽ là:

6

x 1 , x2

+) a=b=1,    / 2 Khi đó, hình bình hành trở thành hình vuông và cấu trúc được

gọi là cấu trúc hình vuông

Hình 1.2: Cấu trúc hình vuông.

Trong mô hình composite có cấu trúc hình vuông này, chúng ta thấy bán kính

R đạt giá trị tối đa là 1/2 và có sự phân bố thể tích sợi trong composite ( a   R2)

phụ thuộc vào R:

0 R

Như vậy, đối với trường hợp này, phân bố thể tích sợi trong composite đạt mức tối đa

là 78.5%

Hình 1.3: Mô tả mặt cắt của phần tử đại diện có cấu trúc hình vuông.

+) a=b=1,    / 3 Khi đó, cấu trúc có dạng tam giác đều

7

Từ trước đến nay, nhiều bài toán về composite khi xem xét các phần tử đại diệnđều được giả thiết là có cấu trúc tuần hoàn với mỗi mắt xích tuần hoàn là một phần tửđại diện Cách tiếp cận mà các bài toán đó hướng tới dựa trên quan điểm vi mô.

Trong khuôn khổ luận văn này, ta xem vật liệu nền và sợi đều là những vật liệuđàn hồi đồng nhất, đẳng hướng Hơn nữa, các sợi là dài liên tục và có dạng hình trụtròn Miền vật liệu nền sẽ ký hiệu là S, miền cốt sợi có tâm đi qua điểm (m,n) trong

mặt phẳng là A mn Biê n của nề n và sợi Amn là mn Mắ t xích chu kỳ tuần

hoàn trên mặt có chiều dài cạnh bằng đơn vị (xem hình vẽ 1.3)

Khi đó, tenxơ hằng số đàn hồi của composite đang xét là hàm tuần hoàn của

và không phụ thuộc vào x3 :

tỉ lệ thể tích Cơ tính của sợi và nền trong vật liệu được đặc trưng bởi các module đànhồi Để tiện cho việc sử dụng, từ nay về sau ta sẽ kí hiệu:

+ Đặc trưng cho cốt sợi là E1 ,1

+ Đặc trưng cho vật liệu nền là E2, 2

+ Tỉ lệ thể tích của pha sợi trong nền là 

+ Các sợi có cùng các đặc trưng về kích thước như mặt cắt tròn, chiều dài

8

x1 , x 2

x 1 , x2

+ Sự phân bố các sợi trong nền là đều, có cấu trúc tuần hoàn.

Hình 1.4: Hình dạng các cốt sợi trong vật liệu nền.

Với những đặc tính vuợt trội, vật liệu composite thực sự đã trở thành loại vậtliệu then chốt trong mọi lĩnh vực của nền kinh tế quốc dân, đặc biệt là ngành côngnghiệp nặng, hàng không vũ trụ Sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ hiệnđại đã đưa đến nhu cầu to lớn về vật liệu, đặc biệt là vật liệu composite với những đặctính hơn hẳn các vật liệu thông thường khác Composite với các sợi độn đồng phươngcũng là một trong các dạng phân loại theo cơ học của vật liệu composite, đem lạinhững ứng dụng hữu ích cho khoa học kĩ thuật và thực tế đời sống

Trong composite cốt sợi đồng phương, các sợi độn đóng vai trò quan trọngtrong việc tạo ra các vật liệu composite có tính năng nổi trội Bằng cách dựa vào đặctính và mật độ của các sợi trong thành phần nền, chúng ta có thể tạo nên những vậtliệu có đặc điểm phù hợp với nhu cầu và mục đích sử dụng như đặc tính cơ lí, tính dễgia công, chi phí gia công vật liệu… Khi chế tạo vật liệu, ta có thể điều chỉnh được sựphân bố, phương của sợi để tạo ra vật liệu dị hướng theo mong muốn hay tạo ra vậtliệu có cơ lí tính khác nhau

Để giúp cho việc chế tạo kết cấu chi tiết composite, luận văn muốn giới thiệu

sơ lược về công nghệ pulltrusion [1] Công nghệ này là quá trình công nghệ chế tạocác kết cấu composite bằng cách kéo liên tục các sợi cốt, được tẩm qua nhựa nềnthông qua những khuôn tạo dáng nóng (hình 1.5) Một trong những ví dụ về sản phẩmcủa phương pháp này là các dầm, cốt của bê tông trong xây dựng, có hình dáng hệtnhư thép nhưng lại được chế tạo từ composite (những dầm như vậy có cấu trúc cốt sợi

9

đồng phương) Quá trình công nghệ này, về thực chất giống như công nghệ extrusion,chỉ khác nhau ở chỗ: trong công nghệ extrusion, lực ép đẩy vật liệu qua khuôn tạodáng là áp lực được tạo ra từ trong máy đúc ép, còn trong công nghệ pulltrusion, vậtliệu được kéo qua khuôn đúc nhờ tác động của lực kéo bên ngoài, được tạo ra nhờthiết bị kéo (điểm số 7 trên hình 1.5 - hai con lăn quay áp sát vào dầm composite tạo

ra sức kéo liên tục)

Hình 1.5: Sơ đồ chế tạo composite theo phương pháp pulltrusion.

Trong sơ đồ của hình 1.5, sợi cốt (điểm số 1 trong hình), trực tiếp được tẩm qua bìnhchứa nhựa nền ướt (điểm số 2), sau đó được bóp, gạt lại những nhựa thừa (điểm số 3)

và được kéo qua khuôn tạm thời (điểm 4) để tạo dáng tương đối, sau đó được kéo quakhuôn đúc nóng để tạo dáng kết cấu đúng theo yêu cầu cần chế tạo - thiết kế (điểm 5),rồi sau đó sản phẩm được đưa qua lò nung (điểm 6) để làm đông rắn hoàn toàn

Phương pháp công nghệ pulltrusion có ưu điểm là sản phẩm nhận được có độ chínhxác cao, có thể chế tạo kết cấu composite có chiều dài tuỳ ý, hệ số sử dụng vật liệucao (đến 95%), điều chỉnh được chính xác tỷ lệ phân bố nền-cốt sợi trong composite,

có năng suất khá lớn (có thể đến 1,5 m/ph)

Mọi thiết bị của quá trình công nghệ pulltrusion như giá mắc, bể chứa, khuôn đúc, lònung, con lăn kéo, đều đơn giản và có thể dùng được cho những phương pháp côngnghệ khác

10

Các dầm cốt bằng vật liệu composite cốt sợi các bon dọc theo hướng tâm của loa phụtcủa động cơ tên lửa cũng được chế tạo theo phương pháp này.

Với vấn đề nêu trên, việc nghiên cứu vật liệu composite cốt sợi đồng phương có ýnghĩa khoa học và thực tiễn

1.2 Nguyên lý Esenpi trong cơ học vật liệu composite

Nhiều bài toán tìm module đàn hồi của vật liệu composite đã sử dụng phươngpháp năng lượng để giải quyết vấn đề Luận văn xin giới thiệu khái quát nguyên lýnăng lượng do Esenpi xây dựng, nguyên lý này có những ứng dụng quan trọng trong

cơ học vật liệu composite [8]

Theo Esenpi, môi trường composite độn là vô hạn chỉ chứa một hạt cầu, tức là

sự phân bố thể tích của các hạt độn trong miền nền coi là nhỏ (  0.3) Do đó, thay

vì tính năng lượng của vật thể thông qua tích phân trên biên có hình dạng phức tạp,năng lượng toàn phần của vật thể được tính thông qua năng lượng của miền đồng chấtcộng với năng lượng lấy trên biên của miền hạt độn (biên này có hình dạng đơn giản,

dễ tính toán)

* Xét hai vật thể có cấu trúc tương tự nhau, chịu tác dụng của lực ngoài và điều kiện biên như nhau Tuy nhiên, vật thể thứ hai không có cốt (hình 1.6)

+ Nghiệm của bài toán với vật thể một là: ij,ij ,u i.

+ Nghiệm của bài toán với vật thể hai là: ij ,ij ,u i o.

11

Hình 1.6: Mô hình hai vật thể.

Điều kiện biên đối với vật thể một: ijnj  i trên S

Điều

(1.3)

Theo giả thiết của bài toán, hai vật thể có điều kiện biên giống nhau, tức là:

Năng lượng đàn hồi: + Đối với vật thể 1:

12

Suy ra: ( ij u i ij u i0 )n j dS  ( i o u i

S

S

Như vậy, năng lượng của vật thể 1 (có cốt) có thể biến đổi về năng lượng của

vật thể 2 (không có cốt) với các điều kiện tương đương của biên và hình dáng Hệ

thức (1.10) là một biểu thức trung gian sẽ được sử dụng khi xét bài toán bổ trợ với

một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của lực ngoài

*Xét bài toán với một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của lực như hình 1.7 Có thể xem

vật thể tương đương với hai vật thể như sau:

Hình 1.7: Phân tích cấu trúc của vật thể.

13

với U TH là năng lượng tương hỗ của hai trạng thái ứng suất

Tích phân năng lượng (1.16) có thể biểu diễn dưới dạng thuận tiện hơn Xét số hạngthứ hai trong vế phải (1.16), áp dụng định luật Hooke ta có:

U  U o  12 Si o (u i  u i o )dS

14

Dấu “-” trong (1.23) chỉ ra rằng véctơ đơn vị của  quay hướng dương ra ngoài Vì 

15

1.3 Mối quan hệ ứng suất - biến dạng đối với composite cốt sợi đồng

phương

Trong thực tế, nhiều vật liệu sử dụng cho kĩ thuật đều là những vật liệu khôngthuần nhất Vì thế để nghiên cứu các ứng xử cơ học, mối quan hệ bản chất của vậtliệu, ta đưa ra giả thiết về tính liên tục của vật liệu, tức là cấu tạo thực của vật liệuđược lí tưởng hóa bằng cách xem nó là liên tục Do đó, khái niệm về sự thuần nhấthóa được đưa ra: môi trường trong vật liệu được coi là thuần nhất khi tính chất của nótại mọi điểm là như nhau

Vật liệu thực tế thường không thuần nhất ở chỗ tính chất cơ lí của nó phụ thuộcvào các điểm của vật liệu Theo đó, các quá trình biến đổi ở composite hoặc là liên tụchoặc là gián đoạn Với trường hợp này, sự biến đổi là gián đoạn tại các mặt chuyểntiếp giữa các pha khác nhau, trong đó ta coi các pha là thuần nhất và đẳng hướng.Phương pháp làm thuần nhất một vật liệu không thuần nhất được gọi là phương phápthuần nhất hóa

Việc xét composite đưa về xét trên một phần tử đại diện, hay người ta gọi là “

tế bào ” hoặc mắt xích tuần hoàn Từ các điều kiện biên cho trước trên biên của phần

+ ij và ij là ứng suất biến dạng tại điểm x k

+ dV là vi phân thể tích bao quanh điểm x k

Các quan hệ trên rất tổng quát, cho phép biểu thị các hằng số độ cứng và các hằng số

độ mềm bởi các biểu thức sau:



ijkl

16

ijkl

trong đó:

Để đơn giản về sau ta xét các hằng số độ cứng và độ mềm theo nghĩa ”thuầnnhất” ở trên Như vậy, muốn xác định các tính chất đã thuần nhất của một vật liệukhông thuần nhất, thì trước hết cần phải tính toán các ứng suất, biến dạng trung bìnhtrên thể tích đại diện thông qua công thức (1.27) và (1.28) Sau đó, suy ra các hằng số

độ cứng hoặc độ mềm nhờ công thức (1.29) và (1.30) Trên thực tế, bài toán xác địnhcác hằng số này là rất phức tạp Do vậy, vấn đề ở chỗ là ta phải tìm cách giải chínhxác của trường ứng suất ij ( xk ) và biến dạng ij ( xk ) tại mỗi điểm của vật khôngthuần nhất [3]

Khi có lực ngoài tác dụng lên vật thể, trạng thái biến dạng tại mỗi điểm của vậtthể sẽ thay đổi, kéo theo trạng thái ứng suất sẽ thay đổi theo Ứng suất xuất hiện trongvật thể là do biến dạng làm thay đổi sự sắp xếp các phần tử cơ bản của nó Điều đócho thấy giữa ứng suất và biến dạng phải tồn tại một sự liên hệ nào đấy Công thứcGreen [2] chỉ ra liên hệ giữa ứng suất và biến dạng:

17

( phương x  2, y  3, z  1 ).

Hình 1.9: Hình không gian của vật liệu composite cốt sợi đồng phương.

Bây giờ, ta ký hiệu các đại lượng như sau:

Nếu biểu thị biến dạng qua ứng suất, ta có:

66

trong đó: A, B tương ứng là các ma trận độ cứng, độ mềm (với A, B là ma trận nghịchđảo của nhau) Tính chất của vật liệu cốt sợi đồng phương phụ thuộc vào 5 hằng sốđàn hồi độc lập trên, bao gồm C11 , C12, C22, C23 ,C66 hoặc S11 , S12, S 22 , S 23 ,

S66 Vấn đề đối với chúng ta là xác định 5 hằng số đàn hồi độc lập này (hằng số độcứng hoặc dộ mềm) Muốn vậy, ta cần tìm công thức biểu diễn các module như E11 ,

K23 ,12 , 12, 23 (các module này phụ thuộc vào vật liệu thành phần và tỉ lệ thể tích

 ) Mặt khác, ta lại có mối quan hệ qua lại giữa các module này và các hằng số độcứng (hoặc độ mềm), từ đó xác định được mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạnghay ứng xử đàn hồi của vật liệu composite cốt sợi đồng phương

Thực tế, có 2 cách chủ yếu giải bài toán xác định các module đàn hồi là bằngthực nghiệm và giải tích Theo phương pháp thực nghiệm, [3] không chỉ ra được ảnhhưởng của vật liệu thành phần lên composite Theo phương pháp giải tích, một số tácgiả đã dùng hàm năng lượng, sử dụng định lý biến phân năng lượng để nghiên cứu

sự ảnh hưởng của đặc trưng hình học, cấu trúc cũng như tính chất ban đầu của các vậtliệu thành phần tác động lên composite, tuy nhiên một điểm dễ nhận thấy là cácphương pháp này thường rất phức tạp Do vậy, chương 2 trong luận văn này sẽ đi sâuvào việc thiết lập và giải bài toán xác định các module đàn hồi (nghiệm giải tích) củavật liệu composite cốt sợi đồng phương theo phương pháp xấp xỉ thể tích

19

CHƯƠNG 2 XÁC ĐỊNH CÁC MODULE ĐÀN HỒI CỦA VẬT LIỆU

COMPOSITE HAI PHA CỐT SỢI ĐỒNG PHƯƠNG

2.1 Phương pháp xấp xỉ thể tích

Mục tiêu của luận văn là xác định các module đàn hồi của vật liệu compositecốt sợi đồng phương, hạn chế ở việc xác định một trong năm hằng số đàn hồi độc lập

là module khối biến dạng phẳng K23 Thực chất của việc xác định các module đàn hồi

là xác định mối liên hệ giữa ứng suất trung bình và biến dạng trung bình của môitrường composite, tức là xác định các hằng số C ijkl trong công thức của định luậtHook Như phần mở đầu giới thiệu, có nhiều phương pháp tiếp cận để giải bài toántìm module đàn hồi, nhưng phương pháp chủ đạo được sử dụng trong luận văn làphương pháp xấp xỉ thể tích của phần tử thể tích đại diện Ưu điểm dễ nhận thấy củaphương pháp này là đơn giản, dựa trên phương pháp giải các bài toán cơ bản trong lýthuyết đàn hồi và dạng nghiệm thu được là giải tích

Tư tưởng chính của phương pháp này là ta xem toàn bộ vật thể trong một môhình được đơn giản hoá Với các giả thiết đã nêu ở trên, ta có một mẫu vật liệucomposite như là một khối hình hộp chữ nhật, khối này chứa các sợi được phân bốđều theo phương dọc của hình hộp Với công nghệ sản xuất đạt chuẩn, vật liệucomposite cốt sợi đồng phương được xem như có cấu trúc tuần hoàn Do đó, việcnghiên cứu vật liệu này đưa về xét một phần tử đại diện có dạng hình hộp chứa hìnhtrụ tròn tượng trưng cho pha sợi Phương pháp xấp xỉ thể tích thể hiện ở việc xấp xỉhình hộp chữ nhật bên ngoài bởi một vỏ trụ có cùng thể tích tượng trưng cho pha nền.Kết quả là phần tử thể tích đại diện của vật liệu composite cốt sợi đồng phương códạng 2 hình trụ tròn lồng nhau Ta có các bước xấp xỉ thể tích như hình vẽ dưới đây:

20

Hình 2.1: Phần tử thể tích đại diện của composite cốt sợi đồng phương và mô hình

+ V xấp xỉ = V của trụ tròn ngoài (bán kính đáy là R) =  R2 h =  R2 h

+ V ban đầu = V xấp xỉ, nên có:

 R= 1/ 

với h là chiều dài của sợi

Như vậy, với mặt cắt là hình vuông đơn vị thì hình vuông này sẽ được xấp xỉ diện tíchthành hình tròn có bán kính 1/ trong mặt phẳng

Từ cấu trúc hình hộp chữ nhật chứa hình trụ tròn chuyển thành cấu trúc haihình trụ tròn lồng nhau thông qua việc xấp xỉ thể tích, có thể nói đây chính là ý tưởngchính của phương pháp xấp xỉ thể tích Sau đó, dựa vào các hệ thức cơ sở, các giảthiết ban đầu và phương pháp giải các bài toán cơ bản trong lí thuyết đàn hồi, ta sẽgiải bài toán này tìm ra công thức xác định các module khối biến dạng phẳng K23 củavật liệu composite cốt sợi đồng phương

21

Hình 2.2: Phần tử đại diện sau khi đã được xấp xỉ.

2.2 Xác định mođun đàn hồi Young E 1 1

Trong [5], vấn đề xác định module đàn hồi Young E 1 1 đã được trình bày rất cụthể và rõ ràng Bài toán kéo dọc trụ xác định module E 1 1 của vật liệu composite cốtsợi đồng phương đặt ra:

Giả sử, có một hình trụ không đồng chất được làm từ hai vật liệu khác nhau, bao gồm:

+ Miền trong - miền cốt  0  r  a  có các đặc trưng 1 , 1

+ Miền ngoài - miền nền  a  r  b  có các đặc trưng 2 , 2

Trụ được kéo dọc bởi lực hằng theo phương sinh và coi rằng liên kết giữa 2 miền là lítưởng, bỏ qua tương tác của các sợi độn và vật liệu nền Điều này dẫn đến biến dạngdọc theo trục z của 2 miền là như nhau và bằng  Bài toán đặt ra: hãy xác địnhmodule đàn hồi Young E 1 1 của trụ không đồng chất khi xem nó là một vật liệu

composite tương đương với các đặc trưng

22

 , 

Hình 2.3: Mô tả cấu trúc không gian của một phần tử đại diện.

* Các hệ thức cơ sở trong hệ toạ độ trụ

Do tính đối xứng, các thành phần chuyển dịch trong toạ độ trụ có dạng:

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4 a ) (2.4 b )

(2.4 c )

(2.4 d)

r ,, z:

Thay (2.6) và (2.7) vào phương trình cân bằng (2.5), ta nhận được phương trình vi phân đối với ur :

trong đó: P là tương tác ứng suất trên biên giữa 2 miền.

Thay (2.11) vào điều kiện biên (2.12), ta được:

g miề

n cốt

 0

Thay biểu thức của A1 vào (2.14), ta có:

Để xác định P, ta có điều kiện liên tục về chuyển dịch trên biên r=a là:

Để đơn giản, ta kí hiệu: Pa 2 b2 1 2

+  = const trên toàn miền do P = const và giả thiết liên kết là lí tưởng

+ zz(1) , zz(2) = const trên từng miền tương ứng

* Đồng nhất hóa composite:

Bây giờ, ta coi trụ không đồng chất như một trụ composite với các đặc trưng  , 

Theo nghĩa trung bình trên toàn miền thì:

26