Mô hình số hai chiều ngang mô phỏng lan truyền vật chất thụ động trong nước luận văn ths cơ học 60 44 22

Một trong những phương pháp số đã và đang được sửdụng rộng rãi là phương pháp sai phân hữu hạn.Trong khuôn khổ luận văn này, tôi tập trung tìm hiểu để nắm được cơ sở của phươngpháp sai p

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

T R Ư Ờ N G

ĐẠI HỌ C

C Ô N G

HỌC

Phạ

m Thà

nh Na m

MÔ HÌNH SỐ HAI CHIỀU NGANG MÔ PHỎNG LAN TRUYỀN VẬT CHẤT THỤ ĐỘNG TRONG

NƯỚC

Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng

Mã số: 60.44.22

LUẬN VĂN THẠC

SĨ CƠ HỌC

Người hướng dẫn khoa

học: PGS TS Trần Gia Lịch

H À N Ộ I 2 0 0 7

1

MỤC LỤC

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

3 Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Danh mục các hình vẽ, bảng, đồ thị

Mở đầu

Chương 1: TỔNG QUAN

12 Chương 2: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHƯƠNG PHÁP HẠN……… 14

2.1 Một ví dụ về nghiệm phương trình sai phân hội tụ đến nghiệm của phương trình vi phân………

14 2.2 Phương pháp xây dựng các phương trình sai phân………

15 2.3 Bậc xấp xỉ của phương trình sai phân……… 17

5

6

Danh mục công trình công bố của tác giả……….50

Tài liệu tham khảo 51

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

f : hàm nguồn (kg m

8

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, BẢNG, ĐỒ THỊ

nhau với nghiệm giải tích tại thời điểm

nhau với nghiệm giải tích tại thời điểm

và nghiệm nhận đƣợc từ 3 sơ đồ khác nhau

từ nghiệm giải tích và các sơ đồ sai phân khác nhau

10

Hình 4.11 : Phân bố độ cao sóng H s và hướng sóng θ, thử nghiệm HH1

HH1

HH2

BTCS và Crank – Nicolson tại x=5 m, t=5 s ứng với các số Courant khác

nhau

MỞ ĐẦU

Sự phát triển công nông nghiệp đã và đang mang lại nhiều lợi ích kinh tế cho đất nước.Tuy vậy, một trong những mặt tiêu cực của nó là sự ô nhiễm môi trường Các nguồnchất thải, khí thải từ các nhà máy, khu công nghiệp, khu nuôi trồng thủy sản, đã vàđang làm suy giảm chất lượng môi trường và có thể gây ra những hậu quả nghiêmtrọng Do đó, việc nghiên cứu các bài toán môi trường trong đó có bài toán truyền tải-khuếch tán vật chất là rất cần thiết không chỉ cho giai đoạn hiện nay mà còn cả chotương lai

Việc nghiên cứu phương trình truyền tải - khuếch tán vật chất có ý nghĩa khoa họcquan trọng trong các ngành hải dương học, khí tượng học cũng như các nghành khoahọc vật lý khác Những nghiên cứu này đã và đang được ứng dụng rộng rãi trong thựctiễn như tính toán chất lượng nước và ô nhiễm không khí

11

Trong thực tế, khi trường vận tốc là phức tạp, biến đổi theo thời gian và không gian thìviệc giải phương trình truyền tải khuếch tán không cho nghiệm giải tích được Do đó,việc ứng dụng phương pháp số là cần thiết để tìm được nghiệm xấp xỉ của phươngtrình truyền tải - khuếch tán Một trong những phương pháp số đã và đang được sửdụng rộng rãi là phương pháp sai phân hữu hạn.

Trong khuôn khổ luận văn này, tôi tập trung tìm hiểu để nắm được cơ sở của phươngpháp sai phân hữu hạn giải phương trình đạo hàm riêng trong đó có phương trìnhtruyền tải - khuếch tán vật chất Sau đó, lựa chọn sơ đồ sai phân phù hợp để giải bàitoán truyền tải - khuếch tán vật chất Sự lựa chọn này được thông qua việc áp dụng các

sơ đồ sai phân khác nhau khi giải các bài toán có nghiệm giải tích để đạt được nghiệmtính toán có sai số nhỏ nhất so với nghiệm chính xác Do sự khó khăn về số liệu thực

đo nên việc áp dụng tính toán cho một vùng cụ thể chỉ mang tính định tính khi môphỏng sự truyền tải và khuếch tán bùn cát lơ lửng vùng cửa sông Ba Lạt, vùng biển HảiHậu, Nam Định

Luận văn được chia thành các chương và phụ lục sau đây:

và ngoài nước trong khoảng 3 thập kỷ gần đây

trình đạo hàm riêng

phương pháp giải nó

nghiệm giải tích và áp dụng sơ đồ sai phân phù hợp nhất để giải bài toán truyền

12

tải khuếch tán bùn cát lơ lửng tại cửa sông Ba Lạt, huyện Hải Hậu, tỉnh Nam Định.

theo

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN

Trong những năm gần đây có rất nhiều tác giả đề xuất các phương pháp, kỹ thuật khácnhau để giải phương trình truyền tải khuếch tán Marchuk (1986) đã sử dụng phương phápphân rã theo các quá trình vật lý để giải phương trình truyền tải khuếch tán và phươngtrình liên hợp với nó Noye và Tan (1988) đã sử dụng kỹ thuật trọng số để rời rạc hóaphương trình truyền tải khuếch tán 1 chiều Sau đó, các tác giả trên đã mở rộng chotrường hợp phương trình truyền tải - khuếch tán 2 chiều Lam (1986) đã chỉ ra rằng khixấp xỉ thành phần tải bằng sơ đồ sai phân trung tâm thì sẽ làm trội thông lượng tải và do

đó gây ra kết quả nồng độ âm ở các ô lưới liền kề Một số sơ đồ sai phân bậc cao

13

cũng đã được áp dụng cho phương trình truyền tải - khuếch tán Leonard (1979) đãđưa ra sơ đồ sai phân QUICK (Quadratic Upstream Interpolation for ConvectiveKinematics) cho phương trình 1 chiều với dòng chảy dừng Sau đó phương pháp nàyđược mở rộng thành QUICKEST (QUICK with estimated streaming term) và được ápdụng giải phương trình truyền tải khuếch tán khi dòng chảy là không dừng.Sankaranarayana (1998) đã áp dụng sơ đồ sai phân Upwind bậc cao khi sai phân thànhphần tải của phương trình truyền tải khuếch tán 3 chiều và đã so sánh với nghiệm giảitích Các sơ đồ sai phân bậc cao cho độ chính xác nghiệm với bậc cao hơn nhưng lạigặp khó khăn khi tính giá trị tại biên và có thể gây ra nhiễu xạ số Trần Gia Lịch (2001)

đã sử dụng phương pháp phân rã theo toán tử và trọng số để giải bài toán truyền tải khuếch tán 2 chiều ngang và bài toán liên hợp với nó Sơ đồ Upwind được áp dụng chothành phần tải và bài toán cho nghiệm luôn dương và ổn định vô điều kiện Tuy nhiên,

-do sơ đồ Upwind gây ra khuếch tán số nên nồng độ vật chất bị khuếch tán rất nhanh vàgây ra sai số lớn Dehghan (2004) đã sử dụng kỹ thuật trọng số và đưa ra một loạt sơ

đồ sai phân khác nhau để giải phương trình truyền tải khuếch tán 1 chiều Trong mộtnghiên cứu gần đây, Karahan (2006) đã áp dụng kỹ thuật trọng số này để giải bài toántruyền tải khuếch tán 1 chiều trên phần mềm bảng tính EXCEL

Trong luận văn này, tác giả đã phát triển tiếp nghiên cứu của Karahan, trong đó, kỹthuật trọng số cùng phương pháp phân rã theo toán tử được mở rộng đối với phươngtrình truyền tải - khuếch tán 2 chiều ngang Trong số các sơ đồ Upwind, BTCS dạng ẩn

và Crank-Nicolson được áp dụng thì sơ đồ cuối cùng cho kết quả tốt hơn cả khi giảicác bài toán có nghiệm giải tích Sau đó, sơ đồ này được áp dụng để mô phỏng sựtruyền tải khuếch tán bùn cát lơ lửng cho cửa sông Ba Lạt vùng biển Hải Hậu, NamĐịnh

14

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN [9]

2.1 Một ví dụ về nghiệm phương trình sai phân hội tụ đến nghiệm của phương trình vi phân

Nghiệm giải tích của (2.1) được xác định như sau:

15

∫dϕ ϕ= −∫δdt

 ϕ= C e−δt

Do đó nghiệm giải tích của phương trình vi phân (2.1) là:

=ϕ0 e−δt

Nghiệm số của phương trình (2.1) được tìm dưới dạng sau:

(2.3)(2.4)(2.5)

(2.6)

với(2.7)

 ϕk = (1 + τδ )−1 ϕk− 1 = (1 + τδ )−2 ϕk− 2 = (1 + τδ )−Kϕ 0

= ϕ

(2.7)

(2.8)(2.9)

(2.10)

Nhƣ

vậy

khi

τ

→ 0

hay

K

→ ∞ thì nghiệm của phương trình sai phân (2.7) hội tụ đến nghiệm giải tíchcủa phương trình vi phân (2.1).

2.2 Phương pháp xây dựng các phương trình sai phân

Hiện nay có rất nhiều cách phương pháp xây dựng các phương trình saiphân giải các bài toán vật lý – toán Trong mục này, tôi trình bày tóm tắtphương pháp xây dựng phương trình sai phân cho các phương trình viphân có hệ số đủ trơn Đối với các

16

phương trình vi phân loại này, người ta xây dựng được các phương trình sai phân với bậc xấp xỉ khá cao.

Giả sử phương trình vi phân

(2.17)(2.18)

(2.19)

17

với các điều kiện đầu và và điều kiện biên như sau:

các biểu thức sai phân trên, phương trình (2.11) có dạng sau:

18

2.3 Bậc xấp xỉ của phương trình sai phân

Xét bài toán dừng của phương trình vật lý - toán dưới dạng toán tử:

aϕ= g trên ∂D

Cùng với bài toán (2.30), (2.31) xét phương trình sai phân trong không gian hữu hạn

chiều của các hàm lưới:

19

Trong trường hợp khi nghiệm bài toán (2.30), (2.31) là đủ trơn thì bậc xấp xỉ được tìm

nhờ chuẩn của không gian các hàm liên tục và các hàm khả vi Khi đó ta thường dùng

khai triển Taylor của nghiệm và các hàm khác để tìm bậc xấp xỉ

2.4 Sự ổn định của lược đồ sai phân

trong đó E là toán tử đơn vị.

trong đó toán tử A không phụ thuộc vào thời gian t.

Bài toán (2.47), (2.48) đƣợc xấp xỉ bằng bài toán sai phân sau:

ϕk+ 1 = Πϕk +τ S f k,

ϕ0 = g .

21

với Π là toán tử bước, S là toán tử nguồn.

Định nghĩa: Sơ đồ sai phân (2.49) là ổn định đếm được nếu với bất kỳ tham số h nào

thức sau đây sẽ thỏa mãn:

ϕ k

trong đó: c1 , c2

τ , h, g và f

điều kiện Trong trường hợp sơ đồ sai phân chỉ ổn định với một quan hệ nhất định nào

2.5 Định lý hội tụ

Tính chất hội tụ của bài toán dừng và bài toán tiến hóa của vật lý - toán đều thực hiện

trên cơ sở các nguyên lý như nhau Do đó, ta sẽ xét ý tưởng cơ bản về tính hội tụ trên

CHƯƠNG 3

SƠ ĐỒ SAI PHÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN TẢI –

KHUẾCH TÁN VẬT CHẤT

3.1 Phương trình truyền tải – khuếch tán vật chất [8], [10]

Phương trình mô tả quá trình tải và khuếch tán vật chất hai chiều ngang có dạng sau:

23

24

Để giải bằng số thì miền liên tục không gian G được thay bằng miền lưới hữu hạn rời

rạc G h ={(x m , y n); m = 0, , M ; n = 0, , N}còn khoảng thời gian [0,

Thành phần tải và khuếch tán theo phương x, phương y trong phương trình (3.7) và (3.8)

được sai phân hóa như sau:

trong đó: a m,b m,c m,d m và a n , b n , c n , d n

25

quen thuộc sau:

3.2.1 Sơ đồ sai phân BTCS dạng ẩn

phương trình sai phân tương đương với phương trình (3.5), trong đó xuất hiện thêm

26

3.2.2 Sơ đồ Upwind dạng ẩn

(u, v) < 0 thì ta được sơ đồ sai phân Upwind dạng ẩn Sơ đồ này có độ chính xác bậc 1

với phương trình (3.5) và có dạng sau [5]:

3.2.3 Sơ đồ Crank - Nicolson

khai triển Taylor, khi xấp xỉ sơ đồ này ta thu được phương trình sai phân tương đương

với phương trình (3.5) và có dạng sau sau [5]:

27

Sơ đồ này có độ chính xác bậc 2 theo ∆x, ∆y, τ và không có thêm thành phần khuếch

tán số Do không có thêm thành phần khuếch tán số nên sơ đồ này cho kết quả tínhtoán tốt hơn khi so sánh với 2 sơ đồ BTCS và Upwind

Cả 3 sơ đồ BTCS, Upwind và Crank-Nicolson đã được Mitchell và Griffiths chứng

minh là ổn định và được trình bày trong cuốn “ The finite difference methods in

partial differential equations”, nhà xuất bản Willey năm 1980 và đã được tác giả

Dehgahn đề cập tới trong [3] và [4] Riêng sơ đồ Upwind đã được chứng minh một

khó khăn Tuy vậy, đối với sơ đồ Upwind thì ta luôn nhận được 2 hệ phương trình(3.13) và (3.14) là các hệ phương trình 3 đường chéo trội Sử dụng phương pháp quynạp và kết hợp với công thức truy đuổi nghịch ta có thể chứng minh được nghiệm của

đường chéo trội và khi đó luôn tồn tại nghiệm của các hệ phương trình sai phân đó

CHƯƠNG 4 MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ ỨNG DỤNG

28

4.1 So sánh kết quả tính toán với nghiệm giải tích

Bước

lưới không gian và thời gian được lấy tương ứng là ∆x = 0.02m,τ =

0.004s

Áp dụng 3 sơ đồ sai phân: Upwind, BTCS và Crank-Nicolson để giải bàitoán trên Hình 4.1 biểu diễn kết quả tính toán ứng với các sơ đồ sai phân

trên và nghiệm giải tích của nồng độ vật chất C tại thời điểm t=1s Để đánh

giá các kết quả tính toán tương ứng với các sơ đồ trên với nghiệm giải tích

ta xây dựng công thức tính sai số tương đối như sau:

trong đó: C comp là nồng độ vật chất nhận được từ kết quả tính toán và C analys là nồng độ

vật chất nhận được từ nghiệm giải tích

0.2 0.18

Hình 4.1: So sánh kết quả tính toán nồng độ vật chất C của 3 sơ đồ sai phân khác nhau

1.5 1

Hình 4.2: Sai số tương đối của nghiệm tính toán và nghiệm giải tích.Kết quả tính toán cho thấy, sơ đồ Upwind do bị khuếch tán số nên có độ chính xác kém

nhất với sai số tương đối lớn nhất khoảng 1.93% Sơ đồ BTCS cho kết quả tốt hơn sơ

30

đồ Upwind với sai số tương đối lớn nhất khoảng 0.53 % Sơ đồ Crank-Nicolson cho

kết quả tốt nhất trong 3 sơ đồ này Nghiệm tính toán tiến rất gần với nghiệm giải tích

và sai số tương đối lớn nhất chỉ khoảng 0.18% Kết quả tính toán này còn chính xác hơn các tính toán trước đây Ví dụ, tại x=0.5, t=1s, sai số tuyệt đối của nồng độ vật

4.1.2 Bài toán 2 [5], [14]

Nghiệm giải tích cho trường hợp truyền tải - khuếch tán vật chất 1 chiều của ống khí

là (theo Noye và Tan (1988)):

C(x, t) =

Điều kiện ban đầu là:

Điều kiện biên được xác định qua (4.7)

Bước lưới không

0 ≤ x ≤ 9

Hình 4.3 mô tả sự so sánh phân bố nồng độ vật chất giữa kết quả tính toán với nghiệm

giải tích tại thời điểm t=5 s Hình 4.4 biểu diễn sự sai số tương đối của nghiệm tính

toán ứng với các sơ đồ Upwind, BTCS và Crank-Nicolson với nghiệm giải tích Kếtquả tính toán cũng cho thấy sơ đồ Crank-Nicolson là sơ đồ phù hợp hơn cả Sai sốtương đối lớn nhất của nồng độ vật chất giữa nghiệm tính toán và nghiệm giải tích đối

sơ đồ này khoảng 5.3% trong khi đó sai số tương đối lớn nhất khi tính bằng 2 sơ đồ còn lại là rất lớn: với BTCS là khoảng 25% và Upwind là khoảng hơn 40%.

31

Hình 4.3: So sánh kết quả tính toán nồng độ vật chất C của 3 sơ đồ sai phân khác nhau

Hình 4.4: Sai số tương đối giữa nghiệm tính toán và nghiệm giải tích

Bảng 4.1 biểu diễn các giá trị nồng độ vật chất C được tính bởi các sơ đồ khác nhau tại

điểm x=5m, t=5s ứng với các số Courant khác nhau Bảng này cho thấy, sơ đồ Upwind

và Crank-Nicolson cho kết quả ổn định, không thay đổi nhiều khi các số Courant nhỏ

hơn 1 Tuy vậy, sai số tuyệt đối của nghiệm nhận từ sơ đồ Upwind và nghiệm giải tích

32

lớn hơn nhiều so với sai số tuyệt đối của nghiệm từ sơ đồ Crank-Nicolson Sơ đồBTCS cho kết quả thay đổi đáng kể khi số Courant tăng và cho thấy sự kém ổn định số

so với hai sơ đồ sai phân còn lại

τ

0.0031250.006250.0093750.01250.0156250.018750.0218750.0250.0281250.031250.06250.125Bảng 4.1: So sánh sự khác nhau của nghiệm nhận được từ các sơ đồ Upwind, BTCS và

Crank – Nicolson tại x=5 m, t=5 s ứng với các số Courant khác nhau.

4.1.3 Bài toán 3 [14]

điểm có tọa độ (0.5, 0.5) là:

C(x, y, t) =

Điều kiện ban đầu là:

Điều kiện biên được xác định bởi việc thay thế tọa độ điểm biên vào phương trình (4.9)

33

Các tham số được sử dụng cho việc mô phỏng là u=v= 0.8m/s , γx = γy =0.01m2 /s

Hình 4.5 biểu diễn giá trị nồng độ vật chất tại thời điểm t=1.25 s của nghiệm giải tích

và nghiệm tính toán từ 3 sơ đồ Upwind, BTCS và Crank-Nicolson Tương tự như 2 bàitoán đã xét, nghiệm của sơ đồ Crank – Nicolson cho kết quả phù hợp nhất Theo

nghiệm giải tích, sau khoảng thời gian t=1.25 s, tâm của cột khí thải di chuyển tới vị trí x=1.5 m, y=1.5 m với có giá trị nồng độ là 0.16667 Nghiệm nhận được từ sơ đồ Upwind, BTCS và Crank – Nicolson tại vị trí này lần lượt là: 0.09108, 0.14317 và 0.16643 Sai số tương đối lớn nhất giữa nghiệm của sơ đồ Crank-Nicolson với nghiệm giải tích chỉ khoảng 4.7% trong khi đối với sơ đồ BTCS là 15.6% và Upwind là 45.3%.

Hình 4.5: Phân bố nồng độ vật chất tại thời điểm t=1.25 s của

nghiệm giải tích và nghiệm nhận được từ 3 sơ đồ khác nhau

34

Hình 4.6: So sánh sai số tương đối giữa các nghiệm tính toán và nghiệm giải

sau:

35

Kết quả tính toán và giải tích tại thời điểm t=100 s đƣợc biểu diễn trên Hình 4.7.

Hình 4.7 Phân bố nồng độ vật chất tại thời điểm t=100 s nhận đƣợc

từ nghiệm giải tích và các sơ đồ sai phân khác nhau

36

Hình 4.8: So sánh sai số tương đối giữa các nghiệm tính toán và nghiệm giải tích

Theo nghiệm giải tích, sau thời gian t=100s, tâm chất ô nhiễm được vận chuyển tới

điểm có tọa độ là (71, 87) Ở đó, nồng độ chất ô nhiễm là lớn nhất và có giá trị là

3.44395 Nghiệm tính toán của các sơ đồ sai phân trên cũng cho kết quả là tâm chất ô

nhiễm được vận chuyển tới tọa độ đó với giá trị nồng độ đối với sơ đồ Upwind là

2.564367, BTCS là 2.749638 và Crank – Nicolson là 3.523393 Sai số tương đối lớn

nhất của các sơ đồ sai phân Upwind, BTCS và Crank – Nicolson so với nghiệm giải

tích lần lượt là 24.86%, 21.85% và 9.65%.

Từ các bài toán trên cho thấy sơ đồ Crank – Nicolson cho kết quả tính toán phù hợpnhất trong 3 sơ đồ trên Sơ đồ này không bị hiện tượng khuếch tán số nên cho kết quảrất tốt tại vùng tâm của chất ô nhiễm Sai số tuyệt đối giữa nghiệm tính toán và nghiệm

37