Giải bài toán về va chạm dọc của hai thanh đàn hồi và ứng dụng vào bài toán đóng cọc

Việc nghiên cứu các bài toán va chạm dọc của hai thanh đàn hồi với điều kiện biên khác nhau là những bài toán phức tạp, nhưng mô hình bài toán này rất gần với các bài toán kỹ thuật, đặc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC

-3-MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .

1 Tính cấp thiết của đề tài

2 Mục đích của đề tài

3 Phương pháp nghiên cứu

4 Phạm vi nghiên cứu

5 Bố cục của luận văn

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN LÝ THUYẾT VA CHẠM VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO BÀI TOÁN ĐÓNG CỌC 1.1 Lý thuyết va chạm cổ điển

1.2 Lý thuyết biến dạng vị trí

1.3 Lý thuyết sóng

1.4 Ứng dụng lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VA CHẠM DỌC CỦA THANH ĐÀN HỒI .

2.1 Phương trình chuyển động của thanh

2.2 Phương pháp lan truyền sóng

2.3 Va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi một đầu bị gắn chặt … 20

2.4 Va chạm dọc của hai thanh đàn hồi

2.5 Nhận xét

CHƯƠNG 3: VA CHẠM DỌC CỦA HAI THANH ĐÀN HỒI MẶT BÊN THANH THỨ HAI CHỊU LỰC CẢN KHÔNG ĐỔI VÀ ĐẦU KIA CỦA THANH GẶP CHƯỚNG NGẠI VẬT 3.1 Đặt vấn đề

3.2 Thiết lập bài toán

3.2.1 Mô hình bài toán

3.2.2 Phương trình chuyển động của thanh, nghiệm tổng quát

3.2.3 Điều kiện của bài toán

3.3 Xác định các hàm sóng, lực nén P(t) và ứng suất của thanh

3.3.1 Xác định các hàm sóng

3.3.2 Xác định các hàm sóng truyền trong thanh

3.4 Lực nén của thanh thứ nhất lên thanh thứ hai

-4-3.5 Xác định ứng xuất trong thanh

3.6 Tính toán với số liệu cụ thể

3.7 Nhận xét ………

CHƯƠNG 4: VA CHẠM CỦA BÚA VÀO CỌC BÊ TÔNG ĐÓNG TRONG NỀN ĐỒNG NHẤT ĐÁY CỌC TỰA TRÊN NỀN CỨNG 4.1 Đặt vấn đề

4.2 Thiết lập bài toán

4.2.1 Mô hình bài toán

4.2.2 Phương trình chuyển động của búa, cọc và nghiệm tổng quát … 58 4.2.3 Điều kiện của bài toán

4.3 Xác định các hàm sóng trong búa, cọc và lực nén P(t)

4.3.1 Xác định các hàm sóng

4.3.2 Xác định các hàm sóng truyền trong búa và cọc

4.4 Lực nén của búa lên đầu cọc

4.5 Xác định ứng suất trong cọc trong khi đóng

4.6 Tính toán với số liệu cụ thể

4.6.1 Ảnh hưởng của đệm đầu cọc

4.6.2 Ảnh hưởng của ma sát mặt bên cọc

4.7 Ứng suất kéo của cọc bê tông đóng ngay sau khi va chạm

4.7.1 Sơ đồ bài toán

4.7.2 Xác định các hàm sóng truyền trong cọc

4.7.3 Trạng thái ứng suất trong cọc

4.7.4 Tính toán với số liệu cụ thể

4.7.5 Nhận xét

4.8 Nhận xét chung

KẾT LUẬN ……… 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO .

PHỤ LỤC .

-5-MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong những năm gần đây ở nước ta, việc xây dựng nhà nhiều tầng, cao tầng đặc biệt là các công trình giao thông, thuỷ lợi ngày càng phát triển Những công trình xây dựng này yêu cầu cao đối với công trình móng để khống chế độ nghiêng và độ lún trong giới hạn cho phép Khi xử lý nền móng tuỳ theo điều kiện địa chất tại nơi xây dựng các công trình, nhất là các công trình thuỷ lợi, giao thông người ta sẽ lựa chọn các phương án khác nhau như xử lý nền bằng lớp đệm, xử lý nền bằng nổ mìn ép, Trên thực tế các công trình vượt qua

sông suối, vùng sình lầy, vùng có kiến tạo địa chất dạng trầm tích trẻ dầy, thì đều có đặc điểm chung là khả năng chịu tải của các lớp đất mặt rất yếu Nếu tiến hành xử lý móng bằng các biện pháp trên sẽ rất tốn kém, thời gian thi công dài Phương pháp gia cố nền bằng đóng cọc bê tông cốt thép được coi là tối ưu hơn

cả bởi lẽ phương pháp này thi công đơn giản, khắc phục hạn chế được biến dạng lún và biến dạng không đồng đều của nền, đảm bảo sự ổn định cho công trình khi

có tải trọng ngang tác dụng, giảm bớt được khối lượng vật liệu xây móng và khối lượng đào, đắp đất, rút ngắn thời gian thi công

Khi tính toán sức chịu tải của cọc, người ta dựa vào lý thuyết và thực nghiệm Các công thức lý thuyết đã được đưa ra từ nhiều thế kỷ trước và thường cho kết quả sai khác so với thực tế Tuy rằng các công thức này ngày càng được hoàn thiện tiến bộ và sát với thực tế hơn Do phương pháp lý thuyết có nhiều hạn chế nên trong thực tế để xác định sức chịu tải của cọc người ta dựa vào thí nghiệm tại hiện trường Qua rất nhiều số liệu ở các công trình khác nhau, người ta dùng phương pháp thống kê để xác định sức chịu tải của cọc bằng tải trọng tĩnh tại hiện trường Kết quả theo phương pháp này đáng tin cậy, nhưng tốn kém và mất rất nhiều thời gian Do vậy phương pháp này chỉ áp dụng cho các công trình quan trọng Các công thức và phương

-6-pháp thực nghiệm trên dựa theo lý thuyết tĩnh để tính sức chịu tải của cọc theo vật liệu làm cọc, điều kiện địa chất công trình, Việc thí nghiệm sức chịu tải của cọc bằng tải trọng động sẽ đơn giản và đỡ tốn kém hơn so với thí nghiệm tải trọng tĩnh, nhưng các công thức đưa ra còn chưa phù hợp với thực tế vì nó dựa trên lý thuyết va chạm cổ điển của Newton.

Ngày nay, với sự ra đời của lý thuyết va chạm hiện đại đã cho phép khắc phục được những thiếu sót của lý thuyết va chạm cổ điển của Newton.

Dựa trên cơ sở lý thuyết lan truyền sóng ứng suất dọc cọc và sự dao động cưỡng bức của cọc và bằng nhiều phương pháp nghiên cứu khác nhau kết hợp với thực nghiệm, nhiều nhà khoa học trên thế giới như Mỹ, Nhật, Anh, Nga,

và nhiều cơ quan nghiên cứu của Việt Nam như: Viện Cơ học, Viện Khoa học Công nghệ Xây dựng, Trường Đại học Thuỷ lợi, đã đạt được các kết quả.

Thông thường, công nghệ đóng cọc dựa vào công thức kinh nghiệm hoặc kinh nghiệm thi công mà chưa nghiên cứu kỹ mối quan hệ rất khăng khít giữa: Đầu búa đệm đầu cọc cọc bê tông và nền đất, đặc biệt đối với cọc bê tông khả năng chịu kéo rất kém so với khả năng chịu nén nên trong một số trường hợp cọc có thể không bị vỡ do ứng suất nén mà lại bị nứt vỡ do ứng suất kéo ngay sau khi đóng Việc nghiên cứu các bài toán va chạm dọc của hai thanh đàn hồi với điều kiện biên khác nhau là những bài toán phức tạp, nhưng

mô hình bài toán này rất gần với các bài toán kỹ thuật, đặc biệt là thi công đóng cọc bằng búa điêzen với bộ phận va đập là píttông Vì vậy chọn đề tài:

“Giải bài toán về va chạm dọc của hai thanh đàn hồi và ứng dụng vào bài toán đóng cọc” là đề tài mới mẻ có tính cấp thiết, có ý nghĩa khoa học và

thực tiễn.

2 Mục đích của đề tài

-7-Mục đích của luận văn là áp dụng lý thuyết sóng một chiều nghiên cứu

mở rộng và hoàn thiện thêm việc nghiên cứu lớp các bài toán về va chạm dọc của hai thanh đàn hồi Ứng dụng để xác định trạng thái ứng suất của cọc bê tông và chọn đệm đầu cọc để cọc đóng được an toàn.

3 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu dùng trong luận văn là nghiên cứu lý thuyết kết hợp với chương trình máy tính:

Áp dụng phương pháp lan truyền sóng nghiệm Đalămbe để giải các bài toán, xác định lực nén và trạng thái ứng suất.

Sử dụng máy tính với ngôn ngữ lập trình Matlab để tính toán với số liệu cụ thể của công trình thi công cống Liên Mạc II thuộc hệ thống thuỷ nông sông Nhuệ – Tỉnh Hà Tây.

4 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu va chạm dọc của hai thanh đàn hồi mặt bên chịu lực cản không đổi và đầu kia của thanh gặp chướng ngại vật Xác định lực nén và trạng thái ứng suất của thanh.

Nghiên cứu va chạm của búa vào cọc đóng trong nền đồng nhất đáy cọc tựa trên nền cứng trong khi đóng và ngay sau khi đóng bằng búa Điêzen với bộ phận và đập là píttông.

Xét ảnh hưởng của lực cản ma sát mặt bên, độ cứng đệm đàn hồi đến thời gian va chạm , lực nén cực đại và trạng thái ứng suất nén trong cọc.

Trạng thái ứng suất kéo của cọc ngay sau khi va chạm.

5 Bố cục của luận văn

Luận văn bao gồm: Phần mở đầu, nội dung bao gồm 98 trang trình bày trong 4 chương, phần kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục.

Chương 2: Cơ sở lý thuyết va chạm dọc của thanh đàn hồi.

Chương 3: Va chạm dọc của hai thanh đàn hồi mặt bên chịu lực cản không đổi và đầu kia của thanh gặp chướng ngại vật.

Chương 4: Va chạm của búa vào cọc đóng trong nền đồng nhất đáy cọc tựa trên nền cứng.

Phần kết luận: Nêu lên các kết quả chính đã đạt được của luận văn và những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu.

Phần phụ lục: Gồm chương trình máy tính lập bằng Matlab được lập trên cơ sở các dạng nghiệm giải tích đã có và các kết quả tính toán cho công trình thi công cống Liên Mạc II thuộc hệ thống thuỷ nông sông Nhuệ.

-9-CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN LÝ THUYẾT VA CHẠM VÀ

ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO BÀI TOÁN ĐÓNG CỌC

đã nghiên cứu và thiết lập được các quy luật cơ bản về va chạm của quả cầu Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết va chạm cổ điển là vật rắn tuyệt đối và hệ chất điểm Nên khi thiết lập phương trình thì số phương trình độc lập nhỏ hơn số ẩn số độc lập phải tìm Để giải quyết vấn đề này nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu và tìm ra biện pháp là sử dụng mối quan hệ phụ thuộc của vận tốc.

Năm 1687 nhà bác học Newton đã đưa ra hệ số khôi phục k, là hệ số tỷ

lệ giữa vận tốc tương đối trước và sau khi va chạm thẳng xuyên tâm của các vật thể Qua thực tiễn thấy rằng mặc dù giá trị của lý thuyết hệ số khôi phục k còn nhiều hạn chế, song nó vẫn còn được áp dụng cho đến ngày nay Sau Newton Lý thuyết va chạm cổ điển được Mapry, Huyghen và nhiều nhà khoa học khác tiếp tục nghiên cứu bổ xung và phát triển.

Nội dung của lý thuyết va chạm cổ điển là một phần của cơ học vật rắn tuyệt đối Để nghiên cứu lý thuyết này, người ta đã đưa ra các giả thiết đã thể hiện được những nét cơ bản của hiện tượng va chạm vật lý đó là:

– Khoảng thời gian va chạm là vô cùng bé.

– Bỏ qua sự dịch chuyển các vật thể trong thời gian va chạm.

-10-– Xung lực va chạm là hữu hạn nên có thể bỏ qua xung lực của các lực hữu hạn, đó là các lực không phải là lực va chạm.

Phương trình cơ bản của lý thuyết va chạm cổ điển được viết như sau:

Năm 1724, nhà bác học Ricát đã nghiên cứu kết quả của các nhà khoa học về lý thuyết va chạm, ông đặc biệt chú ý tới các đặc trưng vật lý, cơ học của các vật thể va chạm và phân chia quá trình va chạm thành hai pha như sau:

– Pha đầu là giai đoạn biến dạng của các vật thể va chạm.

– Pha thứ hai là giai đoạn biến dạng khôi phục lại hình dạng của các vật thể va chạm.

Hệ số khôi phục k được xác định bằng công thức sau:

k

– Khi vật thể hoàn toàn đàn hồi ta có: k = 1.

– Khi vật thể không hoàn toàn đàn hồi ta có: k < 1.

Như vậy khi nghiên cứu lý thuyết va chạm cổ điển ta nhận thấy rằng: – Lý thuyết va chạm cổ điển đóng vai trò to lớn trong sự phát triển khoa học về va chạm nhưng lý thuyết này đã không giải thích được hiện tượng biến dạng vị trí ở tại vùng tiếp xúc giữa các vật thể va chạm, mặt khác lý thuyết va chạm cổ điển này còn một khoảng cách so với thực tế Độ chính xác nghiệm của bài toán này phụ thuộc vào độ chính xác của hệ số khôi phục nhưng hệ số khôi phục lại phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố khác – Lý thuyết va chạm cổ điển được giới hạn bằng việc xét hiệu ứng tích phân ở pha đầu và pha cuối mà không xét đến quá trình va chạm.

– Các tồn tại của lý thuyết va chạm cổ điển sẽ được nghiên cứu và giải quyết triệt để dựa trên cơ sở lý thuyết biến dạng vị trí và lý thuyết sóng hay tổng hợp của hai lý thuyết đó.

1.2 Lý thuyết biến dạng vị trí [28], [29]

-12-Hec là người đã đặt nền móng cho lý thuyết biến dạng vị trí Năm

1881, Hec đã thay việc xét hiệu ứng tích phân ở cả hai pha của quá trình va chạm bằng việc nghiên cứu quá trình va chạm và đã đưa ra bài toán ứng suất vị trí được sinh ra khi có tác dụng va chạm giữa các vật thể đàn hồi Tuy nhiên đây mới chỉ đề cập đến bài toán tĩnh, sau đó Hec đã mở rộng miền áp dụng cho các bài toán động lực học của các vật thể đàn hồi sau khi

bổ sung thêm giới hạn phụ như: cho biết vận tốc tương đối của các vật thể Sau đó AI Luariê và IA Staerơman với sự nghiên cứu sâu sắc của bài toán tiếp xúc đã chỉ ra rằng cách đặt bài toán va chạm là không xác định và nghiệm của Hec là một trong số nhiều nghiệm thoả mãn hệ phương trình của bài toán va chạm Trước hết ta trình bày nghiệm bài toán tĩnh học của Hec, sau đó sẽ xét tới nghiệm của bài toán động lực học.

Đầu tiên để nghiên cứu nghiệm của bài toán tĩnh học, Hec đã đề ra các giả thiết sau:

– Hai vật thể đàn hồi không đặt tải trọng.

– Các vật thể tiếp xúc với nhau tại một điểm.

– Bề mặt của các vật thể ở tại vùng lân cận điểm tiếp xúc có pháp tuyến

và độ cong xác định.

– Coi những điểm tiếp xúc là những điểm elip của các vật thể.

– Hệ lực hoạt động tác dụng lên mỗi vật thể có hợp lực hướng theo pháp tuyến ngoài đối với mỗi mặt của vật thể này ở tại điểm tiếp xúc với vật thể thứ hai.

– Hệ vật thể ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của hệ lực hoạt động

và phản lực đàn hồi đặt lên vật thể ở vùng chịu nén.

Từ các giả thiết trên, với điều kiện cân bằng tĩnh học ta có:

( )

Trong đó: P: Hợp lực nén của vật thể;

-13-p(x,y) : Áp lực phân bố theo vùng nén;

Năm 1770 Becnouli đã chú ý tới sự thiếu sót của giả thuyết coi vật thể là vật rắn tuyệt đối trong lý thuyết va chạm cổ điển, ông đã chứng minh được

Năm 1881 các thực nghiệm của Bôndơman đã xác định được sự mất động năng của các thanh cùng khối lượng, chiều dài khác nhau và chuyển động tịnh tiến sau khi va chạm Điều này cho ta thấy rằng vật liệu của vật thể là đàn hồi, cho nên với giả thiết vật thể va chạm là rắn tuyệt đối sẽ không đúng với thực tế.

Vào năm 1823 Naviê đã xét bài toán va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi với giả thiết: Vật rắn không tách rời thanh ít nhất với sự trôi

đi của nửa chu kỳ dạng dao động cơ bản của thanh.

Nghiệm của Naviê được viết dưới dạng cấp số vô hạn, điều này không thuận lợi cho việc áp dụng vào thực tế vì cấp số có được sự hội tụ chậm.

Lý thuyết va chạm dọc của thanh đàn hồi hiện nay dựa vào cơ sở các kết quả nghiên cứu của Sanhvơnăng và Bútxinet Sự nghiên cứu này đã tìm được nghiệm tổng quát của bài toán mà Naviê đã đề ra dưới dạng cho phép áp dụng vào thực tế Nhưng lý thuyết va chạm dọc của Sanhvơnăng thường chưa thoả mãn với thực tế Để khắc phục điều này đã được Timôxencô chỉ ra bằng thực nghiệm Nguyên nhân là ở chỗ Sanhvơnăng cũng như Naviê đã coi mặt tiếp xúc giữa các vật thể là nhẵn lý tưởng vuông góc với trục thanh.

Sự gồ ghề của các mặt tiếp gây ra sự sai lệch lớn đối với hiện tượng va chạm ở trường hợp các thanh ngắn va chạm, để thực hiện gần đúng sơ đồ nghiệm bài toán đối với điều kiện thực tế của thực nghiệm và các tài liệu lý

Lý thuyết va chạm là tổng hợp bởi lý thuyết biến dạng vị trí và lý thuyết truyền sóng Do đó, nhờ lý thuyết này mà ta xác định được thời gian

va chạm và các thông số đặc trưng cho va chạm giữa các vật thể.

1.4 Ứng dụng lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc

Dựa vào lý thuyết va chạm tự do giữa hai vật thể đàn hồi và nguyên lý cân bằng công khi đóng cọc, nhiều nhà nghiên cứu đã đưa ra các công thức động khác nhau để xác định sức chịu tải của cọc như công thức của: Crandall, Gherxevanop, Hiley, Redtenbacher và Hollandais Tuy nhiên hiện tại các công thức đang được sử dụng nhiều là công thức của Hollandais và Crandall.

Việc xác định sức chịu tải của cọc theo phương pháp này đơn giản và

đỡ tốn kém hơn nhiều so với phương pháp nén tĩnh Vì vậy hầu như công trình móng cọc nào cũng có thể tiến hành đóng thử cọc được, qua việc đóng thử cọc ta xác định được các thông số, các thông số này là kết quả để ta có thể kiểm tra và sửa đổi lại thiết kế Tuy nhiên trị số sức chịu tải của cọc xác định theo các công thức động đều không phù hợp với kết quả thí nghiệm bằng tải trọng tĩnh vì một số nguyên nhân sau:

-16-– Nói chung tất cả các công thức động đều áp dụng lý thuyết va chạm của Newton Lý thuyết này chỉ áp dụng cho va chạm tự do giữa hai vật thể rắn tuyệt đối vì vậy đem nó áp dụng cho sự va chạm giữa búa và cọc thì không thể nào đưa đến kết quả chính xác được.

– Trong các công thức động, đều có một số hệ số kinh nghiệm Do đó việc xác định chính xác các hệ số này khi ứng dụng tính toán là hết sức khó khăn.

– Việc đưa vào các giả thiết với mục đích chỉ làm đơn giản các công thức động dẫn đến những điều bất hợp lý như được thể hiện ở trong công thức của Gherxevanop với giả thiết về độ nẩy lên của búa có h = 0 nhiều khi dẫn đến sai số rất lớn.

Để khắc phục những tồn tại nêu trên, trên cơ sở các tiến bộ về lý thuyết va chạm dọc của thanh đàn hồi vào năm 1948, Gherxevanop đã áp dụng lý thuyết truyền sóng một chiều để xác định lực chống của cọc Tiếp theo là các công trình của Vatxilépki đã dựa vào lý thuyết truyền sóng để nghiên cứu trạng thái ứng suất của cọc.

E.A Smith là người đầu tiên áp dụng lý thuyết sóng cơ học để phân tích động một cọc tại các nước phương tây, sau đó phương pháp này của Ông đã được công ty Raymond phát triển và ứng dụng vào thực tiễn.

Việc ứng dụng sóng ứng suất đã được nghiên cứu và phát triển tại trường Đại học Case ở Clevelandz thuộc United States of American do giáo

sư Goble phụ trách vào giữa năm 1960 Từ kết quả nghiên cứu đã sản xuất

ra được thiết bị chuyên dùng mà nó thu thập và phân tích được kết quả đo Ngày nay, việc ứng dụng trường ứng suất để phân tích đồng bộ một cọc được phát triển rộng rãi trên thế giới.

-17-Ở Việt nam từ năm 1971 trở lại đây đã có nhiều cơ sở nghiên cứu như: Trường đại học Thuỷ lợi, Viện nghiên cứu khoa học công nghệ xây dựng, Trường đại học Xây dựng, Học viện Kỹ thuật quân sự và Viện Cơ học đã nghiên cứu các bài toán về va chạm dọc của thanh đàn hồi với điều kiện biên khác nhau, đồng thời đã ứng dụng lý thuyết này vào bài toán đóng cọc trong điều kiện địa chất nền đồng nhất và nền không đồng nhất bằng búa điêzen với bộ phận va đập là xylanh Nhưng trên thực tế tại công trường người ta sử dụng búa điêzen va đập bằng píttông, với những tồn tại về lý thuyết và thực tế này sẽ được xét ở chương 3 và chương 4 của luận văn.

Hình 2.1

-18-2.1.2 Phương trình chuyển động của thanh

Khi xét dao động dọc của thanh ta sử dụng giả thiết sau:

– Các tiết diện của thanh vuông góc với trục của nó là tiết diện phẳng.

– Bỏ qua năng lượng chuyển động của các phần tử vuông góc với trục của

thanh.

Gọi U là độ dịch chuyển tại mỗi tiết diện của thanh

Lực kéo dọc tại tiết diện (m–n) là: P(x) F (x) EF.

Lực dọc tại tiết diện (m –n ) là:

P(xx) P(x)

Lực quán tính Đalambe của phân tố mnm n sẽ là: F

Trong đó: là khối lượng riêng của vật liệu thanh.

Áp dụng nguyên lý Đalambe ta có phương trình sau:

E là môđun đàn hồi của thanh.

2.1.3 Các điều kiện của bài toán

– Điều kiện đầu của bài toán:

Tại đầu thanh x = 0 ta có: U(t, 0) = 0

Tại đầu thanh x = L ta có: U(t, L) = 0

ta có thể dùng phương pháp tách biến hoặc phương pháp lan truyền sóng.

Ở đây ta giải phương trình (2.1) bằng phương pháp lan truyền sóng cho trường hợp dao động tự do của thanh bằng cách đổi biến, dùng biến số mới Đặt biến số mới:

Theo trên, hàm số dịch chuyển U phụ thuộc vào x và t Bây giờ ta biểu thị hàm U qua các biến mới là và , sử dụng qui luật vi phân của hàm số phức hợp ta có:

2 U

t 2

Biểu thức (2.4) là nghiệm tổng quát của phương trình chuyển động của

thanh đàn hồi theo Đalămbe.

Đối với mỗi bài toán cụ thể, với điều kiện đầu và điều kiện biên đã cho

thì ta sẽ tìm được nghiệm cụ thể của bài toán.

Ý nghĩa vật lý của bài toán được thể hiện rõ ràng như sau:

– Số hạng thứ nhất (at x) là sóng dịch chuyển truyền dọc thanh theo hướng

của trục Ox với vận tốc a.

– Số hạng thứ hai (at x) là sóng dịch chuyển truyền dọc thanh theo hướng

ngược lại với trục Ox, với cùng vận tốc a.

Vậy dịch chuyển U(t, x) của thanh có thể coi như là kết quả tổng hợp

của hai sóng: và Chúng là những hàm sóng chuyển động dọc thanh theo

chiều ngược nhau với vận tốc truyền sóng là a.

2.3 Va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi một đầu bị gắn chặt

Hình 2.2 Như ta đã biết phương trình vi phân chuyển động của thanh có dạng:

Điều kiện đầu của bài toán:

t

Điều kiện biên của bài toán:

Ở tại đầu thanh gắn chặt: U(t, 0) = 0

Lực quán tính của vật tác dụng lên đầu thanh tự do cho nên với x = L ta có:

EF

Tương tự dùng các ký hiệu ở tiết trên, điều kiện biên tại đầu tự do có dạng:

Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) có dạng:

Từ điều kiện tại đầu (x = 0) gắn chặt ta có:

Do đó:(at x)

Sử dụng điều kiện đầu và điều kiện biên ta xác định các hàm

Từ điều kiện đầu ta có:

Bây giờ xét điều kiện (2.8), sau khi thay (2.9) vào điều kiện này ta có:

Nếu các giá trị của

thì các giá trị

(2n 1)L z (2n 3)L

Thực tế nếu hàm (z) được biết trong khoảng (2n 1)L

phải của (2.14) được biết trong khoảng 2nL z

Tích phân (2.14) ta có:

z

Trong đó: Cn hằng số tích phân.

Bây giờ ta sẽ xây dựng hàm

tích phân sau Điều kiện (2.13) xác định

Sau khi sử dụng (2.15), ta sẽ tìm được

Trong khoảng này vế phải của (2.15) bằng không, từ đẳng thức (2.15) ta có:

Ở đây: (z 2L)

-24-(z) Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

Hằng số C2 được xác định từ điều kiện liên tục của vận tốc đầu thanh (x = L) trong thời gian va chạm Như vậy có thể tìm được các hằng số Cn với cách

làm tiếp tục về sau của hàm (z), ta sẽ nhận được dạng tổng quát điều kiện liên tục của vận tốc ở đầu tự do của thanh

phép xác định hằng số Cn.

Trên cơ sở phương trình (2.11) ta sẽ có:

1 a

Dựa vào tính chất liên tục của vận tốc tại đầu thanh suy ra:

Đẳng thức (2.22) xác định tính chất của hàm số

gián đoạn loại 1 với z

Ta có thể chứng minh sự gián đoạn liên tục này thực tế tồn tại và tìm được giá trị chung của bước nhảy

Khi quay lại kết quả (2.16) xuất phát từ điều kiện đầu (2.7) ta có:

khi dùng (2.15) với 5L < z < 7L ta có:

(z) C e

3

-26-Để xác định hằng số C3 lại lần nữa chú ý đến đẳng thức (2.15) và (z) trên khoảng (3L, 5L) ta có:

Như vậy khi chú ý đến biểu thức (2.17):

U

-27-Từ điều kiện liên tục rút ra:

Rõ rằng có thể được đối với các giá trị bất kỳ

nằm trong khoảng thời gian va chạm.

Ta sẽ giới hạn các sự phụ thuộc tìm được (2.28); (2.32) để xác định (z)

Tương tự với đẳng thức (2.35) và (2.36) ta có:

2.4 Va chạm dọc của hai thanh đàn hồi [29]

2.4.1 Sơ đồ bài toán

Giả thiết thanh thứ nhất chuyển động với vận tốc V10 va chạm vào thanh thứ hai đứng yên.

Toạ độ ở đầu các thanh x1 = L1, x2 = L2 và L1 < L2.

-29-Phương trình chuyển động của các thanh có dạng:

Trong đó: i = 1, 2; ai

Nghiệm tổng quát của (2.38) theo Đalămbe có dạng:

U(t, x i ) (a i t x i ) (a i t x i )

2.4.3 Các điều kiện của bài toán

2.4.3.1 Điều kiện đầu của bài toán:

2.4.4 Xác định các hàm sóng truyền trong thanh, tìm sự phân bố vận tốc và ứng suất trong thanh

Theo điều kiện đầu ta có:

Trong đó: