Phân tích ổn định phi tuyến của vỏ cầu làm bằng vật liệu composite FGM luận án TS kỹ thuật cơ khí và cơ kỹ thuật 605201

Tính đến thời điểm hiện tại, vật liệu composite FGMhay còn gọi là vật liệu chức năng FGM, vật liệu FGM, vật liệu có cơ tính biến đổichính là loại vật liệu tiên tiến khắc phục được phần n

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS.TSKH NGUYỄN ĐÌNH ĐỨC

HÀ NỘI - 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là: Vũ Thị Thùy Anh

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu và kết quả được trình bày trong luận án này là trung thực, đáng tin cậy và không trùng với bất kỳ một nghiên cứu nào khác đã được tiến hành

Người cam đoan

Vũ Thị Thùy Anh

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn là GS.TSKHNguyễn Đình Đức đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi vàthường xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận án này

Tác giả trân trọng cảm ơn sâu sắc tới nhà trường, tập thể các thầy cô giáoKhoa Cơ học kỹ thuật và Tự động hóa, Trường đại học Công Nghệ - ĐHQGHN, đãluôn quan tâm, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả họctập và nghiên cứu tại Khoa

Tác giả xin cảm ơn GS.TSKH Đào Huy Bích, các nhà khoa học, các thầy côgiáo và các bạn đồng nghiệp trong seminar Cơ học vật rắn biến dạng đã có nhữnggóp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận án

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp tại Phòng thínghiệm Vật liệu và Kết cấu tiên tiến, Bộ môn Cơ điện tử, Khoa Cơ học kỹ thuật và

Tự động hóa, Trường đại học Công Nghệ - ĐHQGHN đã luôn quan tâm, giúp đỡ vàđộng viên để tác giả hoàn thành luận án

Tác giả xin cảm ơn tập thể các thầy cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học,Trường Đại học Công Nghệ - ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trìnhnghiên cứu của tác giả

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè trong nhóm nghiên cứu, bạn

bè thân thiết của tác giả, những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tácgiả hoàn thành luận án này

Tác giả

Vũ Thị Thùy Anh

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT vi

DANH MỤC CÁC BẢNG viii

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

3 Phương pháp nghiên cứu 3

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của nghiên cứu 3

5 Cấu trúc của luận án 3

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH VỎ CẦU COMPOSITE FGM VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 5

1.1 Tổng quan về vật liệu composite FGM 5

1.2 Phân loại ổn định và tiêu chuẩn ổn định tĩnh 9

1.3 Tổng quan về tình hình nghiên cứu ổn định kết cấu vỏ FGM 11

1.3.1 Ổn định tĩnh phi tuyến kết cấu vỏ FGM 12

1.3.2 Ổn định động và dao động phi tuyến kết cấu vỏ FGM 15

1.3.3 Ổn định phi tuyến kết cấu vỏ FGM có gân gia cường 16

1.3.4 Ổn định phi tuyến tĩnh và động kết cấu vỏ FGM có hình dạng đặc biệt 18

1.4 Mục tiêu nghiên cứu của luận án 20

1.5 Xây dựng các phương trình cơ bản đối với kết cấu vỏ cầu FGM 20

CHƯƠNG 2 ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN KẾT CẤU VỎ CẦU FGM VÀ S-FGM 24 2.1 Phân tích ổn định phi tuyến kết cấu vỏ cầu thoải biến dạng đối xứng FGM và S-FGM 24

2.1.1 Đặt vấn đề 24

2.1.2 Các phương trình cơ bản 25

2.1.3 Phân tích ổn định phi tuyến kết cấu chịu tải cơ 27

2.1.4 Phân tích ổn định phi tuyến kết cấu chịu tải cơ nhiệt kết hợp 30

2.1.5 Kết quả số 32

2.2 Phân tích ổn định phi tuyến kết cấu vỏ cầu S-FGM biến dạng đối xứng trục sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của vỏ 47

2.2.1 Đặt vấn đề 47

2.2.2 Các phương trình cơ bản 49

2.2.3 Kết quả tính toán số 56

CHƯƠNG 3 ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN KẾT CẤU VỎ CẦU NHẪN FGM 64

3.1 Bài toán tổng quát ổn định phi tuyến kết cấu vỏ cầu nhẫn FGM 64

3.1.1 Đặt vấn đề 64

3.1.2 Phương trình cơ bản 65

3.2 Ổn định phi tuyến kết cấu vỏ cầu nhẫn biến dạng đối xứng FGM 68

3.2.1 Đặt vấn đề 68

3.2.2 Phương trình cơ bản 68

3.2.3 Phân tích ổn định phi tuyến 70

3.2.4 Kết quả tính toán 74

3.3 Ổn định phi tuyến kết cấu vỏ cầu nhẫn FGM 78

3.3.1 Đặt vấn đề 78

3.3.2 Phương trình cơ bản 79

3.3.3 Phân tích ổn định phi tuyến 79

3.3.4 Kết quả tính toán số 83

3.4 Phân tích ổn định tuyến tính kết cấu vỏ cầu nhẫn FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi 88

3.4.1 Đặt vấn đề 88

3.4.2 Các phương trình cơ bản 89

3.4.3 Kết quả tính toán số 96

CHƯƠNG 4 ỔN ĐỊNH PHI TUYẾN KẾT CẤU MẢNH CẦU NHẪN FGM103 4.1 Mở đầu 103

4.2 Ổn định phi tuyến kết cấu mảnh cầu nhẫn trong môi trường nhiệt độ 104

4.2.1 Phương trình cơ bản 104

4.2.2 Ổn định cơ nhiệt 105

4.2.3 Kết quả tính toán 107

4.3 Ổn định phi tuyến kết cấu mảnh cầu nhẫn có gân gia cường FGM 112

4.3.1 Các phương trình cơ bản 112

4.3.2 Kết quả tính toán số 117

KẾT LUẬN 122

NHỮNG VẤN ĐỀ CÓ THỂ PHÁT TRIỂN TỪ LUẬN ÁN 124

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 125

TÀI LIỆU THAM KHẢO 127

PHỤ LỤC 139

Phụ lục 2.1 139

Phụ lục 3.1 139

Phụ lục 3.2 140

Phụ lục 3.3 143

Phụ lục 4.1 (A) 145

Phụ lục 4.1 (B) 146

Phụ lục 4.2 (A) 149

Phụ lục 4.2 (B) 153

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

quy luật Power-law

quy luật Sigmoi-law

quy luật hàm e mũ Buckling

Post-buckling

Perfect

Imperfect

Mode IM FM

Immovable – tựa cố định (xét trong điều kiện biên của bài toán)Freely movable – tựa tự do (xét trong điều kiện biên của bài toán)Phương pháp phần tử hữu hạn

Mô đun đàn hồi của vật liệu FGM, là hàm của tọa độ

z Mô đun đàn hồi của kim loại trong vật liệu FGM

Mô đun đàn hồi của gốm trong vật liệu FGM Hệ số Poisson

Tỉ phần thể tích của thành phần kim loại trong vật liệu FGM Tỉ phần thể tích của thành phần gốm trong vật liệu FGM Chỉ số tỉ lệ thể tích (0≤k≤ ∞)

Hệ số nền đàn hồi Winkler và Pasternak Bán kính cong của vỏ cầuBán kính của đường tròn vĩ tuyếnCác bán kính của đường tròn cơ

sở Độ dày thành kết cấuThành phần biến dạng pháp tuyến Thành phần biến dạng trượt ở mặt giữa Các thành phần độ cong và độ xoắn

q u , q l Giá trị tải trọng tương ứng với điểm tới hạn trên và dưới của hàm

độ võng

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1 1 Tính chất của một số vật liệu thành phần của vật liệu FGM 5

Bảng 1 2 Hệ số nhiệt độ của một số loại vật liệu thành phần của vật liệu FGM (cụ thể là silicon nitride và thép không rỉ) 9

Bảng 2 1 Ảnh hưởng của nền đàn hồi và tính không hoàn hảo lên ổn định…… 33

Bảng 2 2(a) Ảnh hưởng của trường nhiệt độ tăng dần lên ứng xử của vỏ cầu thoải biến dạng đối xứng trục FGM với các cạnh tựa cố định (IM)……… 37

Bảng 2 2(b) Ảnh hưởng của trường nhiệt độ tăng theo chiều dày thành kết cấu lên ứng xử của vỏ cầu thoải biến dạng đối xứng trục FGM với các cạnh tựa cố định (IM)……… 37

Bảng 2 3 Ảnh hưởng của tỉ lệ r0 / R và nền đàn hồi lên ∆ q( ∆ q = q u − q l đối với) vỏ hoàn hảo 41

Bảng 2 4 Ảnh hưởng của nhiệt độ lên ∆ q ( ∆ q = q u − q l ) của vỏ cầu FGM hoàn hảo về hình dáng ban đầu 42

Bảng 3 1 So sánh tải nén tới hạn với kết quả trong [4] cho kết cấu vỏ cầu nhẫn FGM không có gân gia cường dưới tác dụng của tải nén 96

Bảng 3 2 Tải tới hạn của vỏ cầu nhẫn FGM chịu áp lực ngoài 97

Bảng 3 3 Ảnh hưởng của tỉ số r0 / R và r1 / R lên tải nén tới hạn của vỏ cầu nhẫn FGM dưới tác dụng của tải nén 97

Bảng 3 4 Ảnh hưởng của tỉ lệ r0 / R và r1/ R lên tải tới hạn 98

Bảng 3 5 Tác dụng của nền đàn hồi lên tải nén tới hạn của vỏ cầu nhẫn FGM chịu nén 98

Bảng 3 6 Ảnh hưởng của nền đàn hồi lên tải tới hạn của vỏ cầu nhẫn FGM chịu áp lực ngoài 99

Bảng 3 7 Ảnh hưởng của cách bố trí gân gia cường lên tải nén tới hạn 99

Bảng 3 8 Ảnh hưởng của cách bố trí gân lên tải tới hạn 99

Bảng 3 9 Ảnh hưởng của số lượng gân lên tải nén tới hạn 101

Bảng 3 10 Ảnh hưởng của số lượng gân lên tải tới hạn 101

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.2 Mất ổn định theo kiểu cực trị (mất ổn định loại 2) cho vỏ hoàn hảo….19

Hình 2.1 Mô hình vỏ cầu FGM trên nền đàn hồi và tọa độ của nó 25

Hình 2.2 Ảnh hưởng của nền đàn hồi và tính không hoàn hảo lên ứng xử của vỏ cầu thoải FGM (IM) 34

Hình 2.3 Ảnh hưởng của tỉ lệ R / h lên ứng xử của vỏ cầu thoải FGM 34

Hình 2.4 Ảnh hưởng của tỉ lệ r0 / R và tính không hoàn hảo lên ổn định phi tuyến vỏ cầu thoải FGM tựa nền đàn hồi 35

Hình 2.5 Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích lên ổn định 36

Hình 2.6 Ảnh hưởng của điều kiện ràng buộc 36

Hình 2.7 Ảnh hưởng của trường nhiệt độ tăng dần và nền đàn hồi lên 38

Hình 2.8 Ảnh hưởng của trường nhiệt độ và tính không hoàn hảo 39

Hình 2.9 Ảnh hưởng của tính không hoàn hảo về hình dáng ban đầu lên ứng xử của vỏ cầu thoải FGM (FM) 39

Hình 2.10 Sự biến đổi của tải vồng trên (q u ) và dưới (q l) theo tỉ số r0 / R 41

Hình 2.11 Ảnh hưởng của độ dẫn nhiệt lên ứng xử 42

Hình 2.12 So sánh ứng xử của vỏ cầu thoải FGM và S-FGM 44

Hình 2.13 Ảnh hưởng của hệ số tỷ lệ thể tích k lên ứng xử vỏ cầu S-FGM chịu áp lực ngoài 44

Hình 2.14 Ảnh hưởng của nhiệt độ lên khả năng chịu tải của vỏ cầu chịu áp lực ngoài 44

Hình 2.15 Ảnh hưởng của tỉ lệ R / h lên ứng xử vỏ cầu S-FGM chịu áp lực ngoài. 45 Hình 2.16 Ảnh hưởng của tỉ lệ r0 / R lên ứng xử vỏ cầu S-FGM chịu áp lực ngoài. 45 Hình 2.17 Ảnh hưởng của điều kiện ràng buộc trên biên lên ứng xử của vỏ cầu S-FGM chịu áp lực ngoài 46

Hình 2.18 Sự biến đổi của các tải vồng trên và dưới theo tỷ số r0 / R 46

Hình 2.19 Ảnh hưởng của sự phụ thuộc nhiệt độ 47

Hình 2.20 Mô hình vỏ cầu thoải S- FGM gốm – kim loại – gốm 49

Hình 2.21 So sánh độ biến thiên nhiệt độ tới hạn của tấm tròn đẳng hướng với điều

kiện nhiệt độ tăng dần 57

Hình 2.22 So sánh ứng xử phi tuyến của vỏ cầu thoải S-FGM với P-FGM 57

Hình 2.23 Ảnh hưởng của nền đàn hồi lên tải tới hạn của vỏ cầu thoải S-FGM chịu

áp lực ngoài 58

Hình 2.24 Ảnh hưởng của nền đàn hồi và chỉ số tỷ lệ thể tích lên ổn định phi tuyến

của vỏ cầu thoải S-FGM 58

Hình 2.25 Ảnh hưởng của tỉ số H / a lên ổn định phi tuyến vỏ cầu S-FGM khi không

có nền đàn hồi 59

Hình 2.26 Ảnh hưởng của tỉ lệ H /a lên ổn định phi tuyến vỏ cầu S-FGM tựa trên

nền đàn hồi 59

Hình 2.27 Ảnh hưởng của nền đàn hồi lên ứng xử của vỏ cầu S-FGM 60

Hình 2.28 Ảnh hưởng của nhiệt độ ban đầu lên ứng xử của vỏ cầu S-FGM 60

Hình 2.29 Ảnh hưởng của nhiệt độ ban đầu lên ứng xử của vỏ cầu S-FGM tựa nền

đàn hồi 60

Hình 2.30 Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích và nền đàn hồi lên ứng xử của tấm

tròn FGM chịu áp lực ngoài 61

Hình 2.31 Ảnh hưởng của nền đàn hồi và sự phụ thuộc vào nhiệt độ của vật liệu lên

ổn định phi tuyến nhiệt tấm tròn FGM 61

Hình 2.32 Ảnh hưởng của nền đàn hồi lên vỏ cầu FGM (c – m– c) và (m – c – m)

62

Hình 2.33 Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích lên tải tới hạn của vỏ cầu FGM (c –

m– c) và (m – c – m) 62

xử của vỏ cầu thoải S-FGM 62

Hình 3.1 Mô hình vỏ cầu nhẫn FGM và thành kết cấu của nó trong điều kiện biên

tổng quát………65

Hình 3.2 Mô hình vỏ cầu nhẫn FGM và thành kết cấu của nó trên nền đàn hồi 68

Hình 3.3 Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích lên ứng xử của vỏ cầu nhẫn FGM đối

Hình 3.6 Ảnh hưởng của nền đàn hồi lên khả năng chịu tải của vỏ cầu nhẫn FGM

đối xứng chịu áp lực ngoài 75

Hình 3.7 Ảnh hưởng của sự biến thiên nhiệt độ lên ứng xử của vỏ cầu nhẫn FGM

đối xứng chịu áp lực ngoài 76

Hình 3.8 Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích lên ứng xử của vỏ cầu nhẫn FGM đối

xứng chịu áp lực ngoài 76

Hình 3.9 Ảnh hưởng của nền đàn hồi lên ổn định phi tuyến nhiệt tồn tại trước khi

chịu tải của vỏ cầu nhẫn FGM 77

Hình 3.10 Ảnh hưởng của tỉ lệ bán kính- độ dày lên ổn định phi tuyến nhiệt của vỏ

Hình 3.17 Ảnh hưởng của nhiệt độ tăng đều và nền đàn hổi lên ổn định phi tuyến

của vỏ cầu nhẫn FGM 86

Hình 3.18 Ảnh hưởng của sự truyền nhiệt qua chiều dày lên ổn định phi tuyến của vỏ cầu nhẫn FGM 86

Hình 3.19 Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích lên ứng xử phi tuyến nhiệt của vỏ cầu nhẫn FGM 87

Hình 3.20 Ảnh hưởng của tỉ lệ R / lên ứng xử phi tuyến nhiệt của vỏ cầu nhẫn h FGM 87

Hình 3.21 Ảnh hưởng của mode ( m , n ) lên ứng xử phi tuyến nhiệt của vỏ cầu nhẫn FGM 88

Hình 3.22 Ảnh hưởng của áp lực bên ngoài lên ứng xử phi tuyến nhiệt của vỏ cầu nhẫn FGM 88

Hình 3.23 Mô hình kết cấu vỏ cầu nhẫn FGM có gân gia cường và thành kết cấu của nó 89

Hình 3.24 Ảnh hưởng của số lượng gân lên tải nén tới hạn 100

Hình 3.25 Ảnh hưởng của số lượng gân lên tải tới hạn 100

Hình 4.1 Mô hình mảnh cầu nhẫn FGM và thành kết cấu của nó …… 104

Hình 4.2 Ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích k lên ổn định phi tuyến của mảnh cầu nhẫn FGM chịu áp lực ngoài 108

Hình 4.3 Ảnh hưởng của R / h lên ổn định phi tuyến của mảnh cầu nhẫn FGM chịu áp lực ngoài 108

Hình 4.4 Ảnh hưởng của tỉ lệ r1/ r0 lên ổn định phi tuyến 108

Hình 4.5 Ảnh hưởng của mode ( , n ) lên ổn định phi tuyến của mảnh cầu nhẫn m FGM chịu áp lực ngoài 109

Hình 4.6 Ảnh hưởng của mode ( , n ) và góc mở m β lên ổn định phi tuyến của mảnh cầu nhẫn FGM chịu áp lực ngoài 109

Hình 4.7 Ảnh hưởng của góc mở β lên ổn định phi tuyến của mảnh cầu nhẫn 109

Hình 4.8 Ảnh hưởng của nền đàn hồi lên ổn định phi tuyến của mảnh cầu nhẫn

109

Hình 4.9 Ảnh hưởng của nhiệt độ tăng đều và nền đàn hổi lên ổn định phi tuyến

Hình 4.15 Ảnh hưởng của áp lực bên ngoài lên 112

Hình 4.16 Mô hình mảnh cầu nhẫn FGM, cầu nhẫn FGM có gân gia cường và thành

kết cấu của nó 113Hình 4.17 Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích k lên ổn định phi tuyến mảnh cầu

nhẫn FGM có gân gia cường 116

gân gia cường. 116

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Trước những yêu cầu ứng dụng ngày càng cao của các công trình kiến trúc cũngnhư máy móc, vật dụng hiện đại; các kết cấu cấu thành đòi hỏi phải đáp ứng liên tục vềtính phong phú của hình dạng và tính chất Hiện nay các kết cấu không chỉ có hìnhdạng đơn thuần như tấm hay panel, mà còn có cả các hình dạng phức tạp khác như vỏnón, vỏ trụ, vỏ cầu nhẫn, mảnh cầu nhẫn…Vì vậy các bài toán liên quan đến ứng xửcủa các loại kết cấu này rất cần được quan tâm để có thể đưa ra các dự đoán chính xác

và đáng tin cậy vì mục đích thiết kế tối ưu và an toàn của các loại kết cấu này

Trước đây, khi các loại vật liệu tiên tiến chưa xuất hiện, các kết cấu chủ yếulàm bằng vật liệu đồng nhất đẳng hướng, tức là chỉ cấu thành từ 1 loại vật liệu duynhất như kim loại (metal), gốm (ceramic) Các bài toán liên quan đến ứng xử củakết cấu tính toán chủ yếu dựa vào cơ lý tính của vật liệu cấu thành Sự ra đời của vậtliệu composite đánh dấu một cuộc chạy đua của các nhà khoa học nghiên cứu về vậtliệu, bằng chứng là một khối lượng đồ sộ các bài toán liên quan đến ứng xử của kếtcấu composite được giải quyết nhằm đáp ứng nhu cầu về việc ứng dụng cũng nhưchế tạo loại vật liệu này Vật liệu composite là vật liệu được tổng hợp từ hai haynhiều loại vật liệu khác nhau, nhằm mục đích tạo ra vật liệu mới, ưu việt và bền hơn

so với các vật liệu ban đầu Ưu điểm lớn nhất của composite là có thể thay đổi cấutrúc hình học, sự phân bố và các vật liệu thành phần để tạo ra một vật liệu mới có độbền theo mong muốn Rất nhiều đòi hỏi khắt khe của kỹ thuật hiện đại (như nhẹ,chịu được nhiệt lên đến 3000oC, ) đã được đáp ứng bởi composite

Tuy vậy, vật liệu composite thông thường vẫn còn một số hạn chế Ví dụ nhưnhược điểm lớn nhất của composite polyme là khi chế tạo các kết cấu chịu nhiệt độcao có độ bền không lớn Việc bổ sung các phụ gia như bột kim loại, bột gốm, bộtcác-bon, vào nền polyme đã nâng cao các đặc tính cơ lý như độ bền, độ cứng, độmài mòn của loại vật liệu composite này Hay như vật liệu composite kim loại nhẹhay dùng sợi các-bon trên nền nhôm ưu việt và là vật liệu lý tưởng để chế tạo cácchi tiết chịu tải lực và nhiệt độ cao, nhưng lại có độ bền không cao hơn nhiều so vớinhững hợp kim nhôm tốt nhất Chính vì vậy việc nghiên cứu và tìm ra một loại vật

liệu tiên tiến hơn vật liệu composite thông thường luôn luôn là bài toán được đặt racho các nhà khoa học vật liệu Tính đến thời điểm hiện tại, vật liệu composite FGM(hay còn gọi là vật liệu chức năng FGM, vật liệu FGM, vật liệu có cơ tính biến đổi)chính là loại vật liệu tiên tiến khắc phục được phần nào các hạn chế của vật liệucomposite thông thường.

Vật liệu FGM điển hình thường là một hỗn hợp không đồng nhất, gồm haihay nhiều vật liệu thành phần khác nhau cấu thành (thường là gốm và kim loại).Bằng cách thay đổi dần tỉ phần thể tích của các thành phần vật liệu cấu thành đã làmcho tính chất vật liệu của kết cấu thay đổi một cách trơn và liên tục từ bề mặt nàysang bề mặt khác, do đó vật liệu FGM đã loại trừ được các vấn đề về tập trung ứngsuất nhiệt tại bề mặt tiếp xúc so với vật liệu composite lớp Thành phần gốm vớimô-đun đàn hồi cao, hệ số dãn nở nhiệt và truyền nhiệt rất thấp làm cho vật liệuFGM có độ cứng cao và chịu nhiệt tốt Trong khi đó thành phần metal làm cho vậtliệu FGM có tính dẻo dai, khắc phục sự rạn nứt

Vật liệu FGM xuất hiện đầu tiên vào năm 1984 bởi một nhóm các nhà khoahọc Nhật Bản Kể từ đó, vật liệu FGM đã thu hút được rất nhiều nhà nghiên cứuquan tâm để phát triển khả năng chịu tải của vật liệu Vật liệu FGM lần đầu tiênđược thiết kế làm vật liệu chịu nhiệt cao cho kết cấu hàng không vũ trụ và các lòphản ứng nhiệt hạch Ứng dụng của vật liệu FGM rất đa dạng Hầu hết các nghiêncứu gần đây về vật liệu FGM đã tập trung hơn vào phân tích ứng suất nhiệt và pháhủy cơ học Ngoài ra các nghiên cứu về uốn, mất ổn định, phân tích dao động, cácvấn đề về truyền nhiệt, ứng suất, thí nghiệm, thiết kế và sản xuất, ứng dụng, và pháhủy của kết cấu FGM cũng đang được tập trung nghiên cứu Tuy nhiên, tính đếnthời điểm hiện tại, các nghiên cứu về sự ổn định của các loại kết cấu được chế tạo từvật liệu có cơ tính biến đổi nói chung vẫn còn hạn chế, nhất là khi các loại kết cấunày chịu các loại tải nhiệt và cơ - nhiệt đồng thời và kể đến các ảnh hưởng phức tạpnhư tính phi tuyến hình học, tính không hoàn hảo hình dáng kết cấu

Xuất phát từ các yêu cầu trên, nhận thấy việc nghiên cứu về kết cấu làm bằngvật liệu composite FGM vẫn còn mở, đặc biệt là kết cấu vỏ cầu FGM, vẫn còn nhiềulĩnh vực cần chú trọng và nghiên cứu thêm, do đó việc “phân tích ổn định phi tuyếncủa vỏ cầu làm bằng vật liệu composite FGM” là thực sự cần thiết

2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận án sẽ tập trung nghiên cứu sự ổn định phi tuyến tĩnh của vỏ cầu thoảiđược làm bằng vật liệu FGM (P – FGM, S – FGM), đồng thời nghiên cứu thêm vềtrường hợp đặc đặc biệt của vỏ cầu là vỏ cầu nhẫn FGM và mảnh cầu nhẫn FGMkhi các loại kết cấu này chịu các tải cơ, nhiệt và cơ – nhiệt, hoặc được gia cố bằnggân gia cường

3. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu bằng phương pháp giải tích và bán giải tích các bài toán ổn địnhtheo lý thuyết vỏ cổ điển, lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và lý thuyết san đều tácdụng gân của Lekhnitsky, dựa trên giả thiết độ võng tương đối lớn, vật liệu là đànhồi và không xảy ra sự phá hủy kết cấu Phương pháp Bubnov – Galerkin, giả thiếtVolmir được sử dụng trong luận án Các kết quả tính toán theo cách tiếp cận trongluận án được so sánh với các kết quả được thu được của các tác giả khác bằng cácphương pháp khác trong những trường hợp có thể để kiểm tra độ tin cậy của phươngpháp tiếp cận hiện tại

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của nghiên cứu

Bài toán ổn định phi tuyến tĩnh và động là những vấn đề được quan tâm và có

ý nghĩa quan trọng, thiết thực trong lĩnh vực cơ học kết cấu Các kết quả nhận đượctrong phân tích ổn định của các kết cấu làm từ vật liệu có cơ tính biến đổi sẽ cungcấp các thông tin quan trọng trong việc thiết kế, đảm bảo cho kết cấu hợp lý khi chếtạo và an toàn khi khai thác sử dụng Hơn nữa các kết quả nhận được là dưới dạnggiải tích (dạng hiển), do đó nghiên cứu cung cấp cơ sở khoa học cho các nhà thiết

kế, chế tạo kết cấu FGM, xây dựng các công trình sử dụng vật liệu FGM, giúp chocác nhà thiết kế, chế tạo, xây dựng, có thể lựa chọn phù hợp, chính xác sự phân

bố vật liệu thành phần trong FGM cũng như các tham số của kết cấu và nền để vừaphát huy được khả năng chịu tải, khả năng kháng nhiệt ưu việt của vật liệu trongmôi trường nhiệt độ cao, lại vừa hạn chế được khả năng rạn nứt hoặc phá huỷ củakết cấu có thể xảy ra khi chịu tải cơ lớn, cũng như lựa chọn nền hợp lý

5 Cấu trúc của luận án

Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục

Mở đầu: trình bày tính cấp thiết của đề tài, đối tượng, phạm vi và phương

pháp nghiên cứu của luận án

Chương 1: Trình bày các đặc tính của vật liệu FGM, tổng quan về tình hình

nghiên cứu các kết cấu vỏ cầu FGM trong và ngoài nước Chương này cũng đưa racác lý thuyết cơ bản được sử dụng trong luận án

Chương 2: Trình bày các kết quả nghiên cứu cho bài toán phân tích ổn định

phi tuyến kết cấu vỏ cầu FGM

Chương 3: Trình bày các kết quả nghiên cứu cho bài toán phân tích ổn định

phi tuyến kết cấu vỏ cầu nhẫn FGM

Chương 4: Trình bày các kết quả nghiên cứu cho bài toán phân tích ổn định

phi tuyến kết cấu mảnh cầu nhẫn FGM

Kết luận và kiến nghị: Trình bày các kết quả chính, những đóng góp mới

của luận án và các kiến nghị khác.

Tài liệu tham khảo.

Phụ lục.

Nội dung cụ thể của các chương sẽ được trình bày dưới đây

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH VỎ CẦU COMPOSITE FGM

VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1.1 Tổng quan về vật liệu composite FGM

Vật liệu composite FGM (hay còn gọi là: vật liệu có cơ tính biến đổi, vật liệucomposite có cơ tính biến đổi, vật liệu FGM) với tên quốc tế: Functionally GradedMaterial (được viết tắt rất phổ biến là FGM), là một loại composite thế hệ mới đượcnghiên cứu và phát triển lần đầu tiên bởi một nhóm các nhà khoa học ở viện Sendaicủa Nhật Bản vào năm 1984 Sự ra đời của loại vật liệu này xuất phát từ yêu cầuthực tế của các ngành công nghiệp hiện đại về một loại vật liệu tiên tiến có chứcnăng thông minh và có thể chống chịu tốt với các điều kiện khắt khe của tải trọng.Vật liệu FGM thường được tạo thành từ hai loại vật liệu thành phần là gốm và kimloại trong đó tỷ lệ thể tích của mỗi thành phần biến đổi (graded) một cách trơn vàliên tục từ mặt này sang mặt kia theo chiều dày thành kết cấu cho phù hợp với thếmạnh đặc trưng của các vật liệu thành phần Do có mô đun đàn hồi E cao cùng với

hệ số truyền nhiệt và hệ số dãn nở nhiệt rất thấp nên thành phần gốm làm cho vậtliệu có cơ tính biến đổi có độ cứng cao và khả năng kháng nhiệt tốt hơn Trong khithành phần kim loại làm cho vật liệu có cơ tính biến đổi trở nên mềm dẻo hơn, bềnhơn và khắc phục sự rạn nứt có thể xảy ra do tính giòn của vật liệu gốm khi chịunhiệt cao Bảng 1.1 thể hiện tính chất của một số vật liệu thành phần được sử dụng

các kết cấu làm việc trong các điều kiện siêu cao như máy bay, tên lửa, các thiết bịdầu khí, luyện kim, cũng như các lò phản ứng hạt nhân, …

Một số vật liệu FGM được sản xuất bởi hai pha của vật liệu có cơ tính khácnhau Hiện tại vẫn chưa có tài liệu nào mô tả về cách sắp xết thực của kết cấu, ngoạitrừ các thông tin về phân bố tỉ phần thể tích của các vật liệu cấu thành Đó là tỉ phầnthể tích của mỗi pha thay đổi theo hướng bề dày, do đó các tính chất của vật liệuFGM cũng thay đổi theo hướng này Có hai cách tiếp cận mô hình vật liệu FGM.Cách thứ nhất, sắp xếp từng lớp theo tỉ phần thể tích của gốm hoặc kim loại, khi đóvật liệu FGM được cấu thành từ nhiều lớp rất mỏng và trong mỗi lớp này tỉ phần thểtích của các vật liệu là không thay đổi Cách thứ hai, thay đổi liên tục tỉ phần thểtích của gốm hoặc kim loại theo bề dày thành kết cấu h theo một hàm lũy thừa củabiến theo chiều dày z , cách sắp xếp này rất phổ biến hiện nay [4]

Có 3 loại composite chức năng chủ yếu [26]

Vật liệu P-FGM Là loại vật liệu trong đó tỷ lệ thể tích của các thành phần

gốm và kim loại biến đổi một cách trơn và liên tục từ bề mặt này sang bề mặt kiatheo chiều dày thành kết cấu Đối với P-FGM, một bề mặt giàu gốm và một bề mặtgiàu kim loại

Trong một đơn vị thể tích kết cấu chứa tỉ phần thể tích gốm V c và tỉ phần thểtích kim loại V m , tức là:V c + V m =1, trong đó tỉ phần thể tích gốm được giả thiếtbiến đổi theo chiều dày thành kết cấu h theo một hàm lũy thừa của biến chiều dàythành kết cấu z (quy luật hàm lũy thừa – Power law) như sau:

V

c

với k là một số không âm được gọi là chỉ số tỷ lệ thể tích (volume fraction index) có

thể được chọn để tối ưu ứng xử của kết cấu và các chỉ số dưới c và m để chỉ thành phần gốm và kim loại (metal) tương ứng Rõ ràng ứng với giá trị k = 0 tương ứngvới tấm đồng nhất đẳng hướng được làm từ vật liệu gốm, k =1 là trường hợp cácthành phần gốm và kim loại phân bố tuyến tính qua chiều dày thành kết cấu và khi k

tăng thì tỷ lệ thể tích của thành phần gốm trong kết cấu giảm

trong đó P c P m là ký hiệu một tính chất cụ thể của vật liệu như mô đun đàn hồi E ,

hệ số Poison ν , hệ số dãn nở nhiệt α hoặc hệ số truyền nhiệt K của từng vật liệuthành phần gốm hoặc kim loại Khi thay (1.1) vào (1.2) ta nhận được biểu thức sauđây của các tính chất hiệu dụng

P eff ( z ) = ( P c

Theo quy luật phân bố lũy thừa này thì mặt z=h/ 2 của kết cấu là gốm thuầntúy và mặt z = −h / 2 là kim loại thuần túy và tính chất vật liệu hiệu dụng biến đổimột cách liên tục, trơn từ mặt này sang mặt kia theo chiều dày kết cấu

Cụ thể, biểu thức mô đun đàn hồi E , hệ số dãn nở nhiệt α hoặc hệ số truyềnnhiệt K được biểu diễn như sau

Vật liệu S-FGM Đối với vật liệu S-FGM, kết cấu được bao bọc bởi các mặt

ngoài giàu gốm và mặt giữa giàu kim loại (hoặc ngược lại, hai mặt ngoài giàu kimloại với mặt giữa là gốm)

Tỷ lệ thể tích của các thành phần kim loại và gốm, V m và V c được giả thiếtbiến đổi theo quy luật hàm lũy thừa của biến chiều dày z theo quy luật hàm Sigmoid(sử dụng quy luật hàm mũ cho 2 miền) như sau:

Theo quy luật phân bố vật liệu (1.5) khi k = 0 kết cấu thuần nhất kim loại, còn

khi k =1 các thành phần vật liệu gốm và kim loại trong kết cấu phân bố tuyến tính

qua chiều dày và khi k tăng tỷ lệ gốm trong kết cấu FGM tăng.

Các tính chất vật liệu hiệu dụng Peff của kết cấu S-FGM cũng tuân theo quy

Từ biểu thức (1.6) ta thấy, tại z = ±h / 2 thì kết cấu là gốm thuần túy, tại z = 0

kết cấu là kim loại thuần túy

Vật liệu E-FGM Trong vật liệu loại E-FGM thì mô-đun đàn hồi của loại vật

liệu chức năng này được giả thiết tuân theo quy luật hàm siêu việt (hàm e mũ):

A = Et ,

với

E tlà mô-đun đàn hồi của kết cấuởmặt trên ( z = h / 2 )

E b là mô-đun đàn hồi của kết cấuởmặt dưới ( z = − h / 2 )

Trong giới hạn của luận án, tác giả chỉ nghiên cứu về loại vật liệu P-FGM và

S-FGM Đối với vật liệu P-FGM, là vật liệu thông dụng và được chú ý nhiều hơn,

do đó nếu không có gì đặc biệt (tức là không phải S-FGM hay E-FGM) thì sẽ được

gọi chung là vật liệu FGM

Tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ

Thành phần gốm với mô đun đàn hồi cao và các hệ số dãn nở nhiệt và truyền

nhiệt rất thấp làm cho vật liệu chức năng có độ cứng cao và rất trơ với nhiệt Trong

rạn nứt nếu có xảy ra do tính giòn của gốm và trong môi trường nhiệt độ cao Xuất

phát từ ứng dụng của các vật liệu có cơ tính biến thiên thường được sử dụng cho các

kết cấu làm việc trong những môi trường nhiệt độ rất cao hoặc truyền nhiệt lớn, nơi

mà các tính chất cơ học của các thành phần vật liệu bị thay đổi đáng kể, do đó cần

thiết phải xem xét sự phụ thuộc của cơ tính vật liệu vào nhiệt độ để dự đoán chính

xác các đáp ứng cơ học

Bảng 1.2 Hệ số nhiệt độ của một số loại vật liệu thành phần của vật liệu FGM

(cụ thể là silicon nitride và thép không gỉ)

Vật liệu

Si3N4 (Gốm)

SUS304(kim loại)

Giả định rằng các tính chất hiệu dụng P j của vật liệu là một hàm phụ thuộc

vào nhiệt độ, chúng có thể được mô tả như một hàm phi tuyến của nhiệt độ [6, 26]

vật liệu cấu thành Các tính chất vật liệu thường được tính toán ở điều kiện nhiệt độ

phòng T = 3000 K

Bảng 1.2 ở trên thể hiện các hệ số trong công thức (1.9) của một số loại vật

liệu dùng để chế tạo vật liệu FGM [26]

1.2 Phân loại ổn định và tiêu chuẩn ổn định tĩnh

có hai loại mất ổn định: mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh và mất ổn định theo kiểucực trị [1, 2, 4, 5].

Hình 1.1 Mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh Hình 1.2 Mất ổn định theo kiểu cực trị (mất ổn định loại 1) cho vỏ hoàn hảo (mất ổn định loại 2) cho vỏ hoàn hảo

 Mất ổn định theo kiểu rẽ nhánh (bifurcation type buckling) (hình 1.1) là

trường hợp tải tới hạn đạt được tại điểm rẽ nhánh, tức là kết cấu vẫn chưa bị vồng khitải chưa đạt giá trị tới hạn, và khi tải đạt tới hạn thì kết cấu bị vồng ngay lập tức Cácđặc trưng của mất ổn định loại này (trong [1, 2, 4, 5] gọi là mất ổn định loại một) là:+) Dạng cân bằng có khả năng rẽ nhánh

+) Phát sinh dạng cân bằng mới khác dạng cân bằng ban đầu về tính chất

+) Trước trạng thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là duy nhất và ổn định, sautrạng thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là không ổn định

 Mất ổn định theo kiểu cực trị (extremum type buckling) (hình 1.2) là

trường hợp tải tới hạn đạt được ở điểm cực trị của đường cong độ võng – tải trọng,tức là kết cấu bị võng ngay từ khi đặt tải, và khi độ võng đạt đến giá trị we thì sựmất ổn định xảy ra Các đặc trưng của mất ổn định loại này (trong [1, 2, 4, 5] gọi làmất ổn định loại hai) là:

+) Dạng cân bằng không phân nhánh

+) Biến dạng và dạng cân bằng của kết cấu không thay đổi về tính chất

Giá trị của tải p tương ứng với khi độ võng tăng mà không cần tăng tải trọng gọi là

tải tới hạn Trạng thái giới hạn xác định từ điều kiện dp / dw = 0

Nghiên cứu về ổn định của hệ đàn hồi, có một vài tiêu chuẩn ổn định như:tiêu chuẩn năng lượng, tiêu chuẩn chuyển động, tiêu chuẩn tĩnh Luận án nghiêncứu ổn định tĩnh phi tuyến kết cấu vỏ cầu làm bằng vật liệu composite FGM sửdụng tiêu chuẩn tĩnh, do đó phần này sẽ trình bày sơ lược về tiêu chuẩn này

 Tiêu chuẩn ổn định tĩnh

Theo tiêu chuẩn này, ta cần khảo sát kết cấu ở trạng thái lệch khỏi dạng cânbằng cơ bản Với một giá trị nào đấy của tải có thể tồn tại dạng cân bằng mới đồngthời với dạng cân bằng cơ bản Nếu ở trạng thái lệch này sự cân bằng có thể thựchiện được thì ta cần tìm giá trị p* của tải trọng từ các điều kiện cân bằng tĩnh họccủa kết cấu ở trạng thái lệch để đối chiếu với giá trị p của tải trọng đã cho ở trạngthái ban đầu ([1, 2, 4, 5]) và

+) Nếu p* >p , kết cấu cân bằng ổn định

+) Nếu p* <p , kết cấu cân bằng không ổn định

+) Nếu p* =p , kết cấu cân bằng phiếm định

Khi sự cân bằng ở trạng thái lệch không thể thực hiện được thì ta cần căn cứvào tải tác dụng trên kết cấu để dự đoán ứng xử ổn định Nếu độ võng tăng thì sựcân bằng là không ổn định (như ứng xử hóp của kết cấu vỏ) còn nếu độ võng giảmthì sự cân bằng là ổn định

Sự mất ổn định xảy ra khi tải tác dụng đạt giá trị tới hạn tại điểm rẽ nhánh, tức

là giá trị tải trọng làm kết cấu chuyển từ dạng cân bằng ổn định ban đầu (trạng thái cânbằng cơ bản, độ võng bằng không) sang dạng mất ổn định, hoặc xảy ra tại giá trị độvõng làm tải tác dụng đạt cực trị (đối với kết cấu dạng vỏ) Theo đó, các tải tới hạn tạiđiểm rẽ nhánh (trong trường hợp tồn tại) sẽ được xác định bằng giới hạn của hàm độvõng – tải trọng khi độ võng tiến đến không, trong khi các tải vồng theo kiểu cực trị(của kết cấu vỏ) được xác định bằng việc cực trị tải trọng theo biến độ võng

1.3 Tổng quan về tình hình nghiên cứu ổn định kết cấu vỏ FGM

Kể từ khi vật liệu FGM ra đời, nghiên cứu đầu tiên về vật liệu FGM chủ yếu tậptrung vào khía cạnh tối ưu hoá cấu trúc vật liệu [69] (tức là nghiên cứu mức độ phân bố

tỷ lệ thể tích các thành phần như thế nào thì sự tập trung ứng suất là nhỏ nhất và chịunhiệt tốt nhất) và công nghệ chế tạo vật liệu FGM [58] [101] Những năm gần đây, cácnghiên cứu về ổn định cho các kết cấu FGM, đặc biệt là các nghiên cứu về ổn định tĩnhphi tuyến (cả trạng thái tới hạn và sau khi mất ổn định); các nghiên cứu về dao động, ổnđịnh động của các kết cấu FGM xuất hiện ngày càng nhiều hơn

Luận án này nghiên cứu về kết cấu vỏ cầu làm bằng vật liệu FGM, nên tác giả chỉ tập trung vào việc tổng quan các nghiên cứu về kết cấu vỏ FGM

1.3.1 Ổn định tĩnh phi tuyến kết cấu vỏ FGM

Khi nghiên cứu về ổn định tĩnh kết cấu vỏ nói chung và kết cấu vỏ FGM nói riêng, có hai vấn đề chính cần được giải quyết:

-Xác định giá trị tải trọng mà ở đó kết cấu bị mất ổn định

-Đánh giá khả năng chịu tải của kết cấu trong giai đoạn sau mất ổn định, tức

là khi tải tác dụng vượt quá giá trị tới hạn

Bài toán xác định tải tới hạn của kết cấu hay còn gọi là bài toán tuyến tínhđược thực hiện bằng cách bỏ qua các số hạng phi tuyến trong các phương trình cơbản Bài toán nghiên cứu trạng thái sau mất ổn định hay sau tới hạn của kết cấu làbài toán phi tuyến được thực hiện bằng cách giả thiết độ võng tương đối lớn, khi đóvấn đề cần xem xét chính là mối quan hệ phi tuyến giữa tải tác dụng và độ võng củakết cấu, hay còn gọi là khả năng mang tải sau khi bị mất ổn định của kết cấu Việcphân tích ổn định tĩnh phi tuyến kết cấu vỏ FGM của các nhà khoa học trong nước

và nước ngoài bằng các cách tiếp cận khác nhau trong khoảng những năm gần đây

có nhiều kết quả có ý nghĩa Nội dung trình bày dưới đây là một số nét chính đượctóm tắt về các nghiên cứu của một vài tác giả và nhóm tác giả trong và ngoài nướcnghiên cứu về kết cấu FGM

Trước hết phải kể đến những tác giả và nhóm tác giả có nhiều đóng gópthông qua những công bố về ổn định tĩnh kết cấu vỏ Điển hình như, bằng cách tiếpcận giải tích theo phương pháp hàm ứng suất, hai tác giả Huang H và Han Q [51]-[56] đã nghiên cứu về sự mất ổn định và sau mất ổn định phi tuyến của các vỏ trụtròn FGM chịu các tải cơ và nhiệt

Tác giả Sofiyev A.H và đồng nghiệp đã tập trung nghiên cứu ổn định của kếtcấu vỏ nón cụt mỏng FGM chịu các tải khác nhau ([88], [90], [92] [95]), như tải nén, áplực ngoài, áp lực thủy tĩnh, cho các trường hợp kết cấu làm hoàn toàn bằng kim loại,bằng gốm và FGM, từ đó chỉ ra rằng chỉ số tỉ lệ thể tích ảnh hưởng đáng kể tới sự ổnđịnh của kết cấu Hay trong hai nghiên cứu [96], [89] họ khảo sát kết cấu khi chịu tácdụng của tải xoắn, tải nén dọc trục trong trường hợp tải là một hàm tuyến

tính với thời gian Trong [93] Sofiyev nghiên cứu về sự mất ổn định nhiệt của vỏ FGMtrên nền đàn hồi Bằng giả thiết môi trường xung quanh như một nền đàn hồi theo giảthiết của Pasternak Các phương trình cơ bản của vỏ trụ được xây dựng trong trườnghợp có và không kể đến ảnh hưởng của nền Tương tự đối với vỏ nón cụt FGM trong[94] để từ đó đưa ra kết luận về sự ảnh hưởng của các thông số hình học, yếu tố nền vànhiệt lên ổn định của vỏ Sự ảnh hưởng của nền đàn hồi còn được Sofiyev phân tíchtrong rất nhiều các nghiên cứu khác Như ở [98] nhóm nghiên cứu về kết cấu trụ FGMchịu áp lực ngoài và tựa nền đàn hồi trong hai trường hợp của điều kiện biên bằng cách

áp dụng phương pháp Galerkin Trong [97] tương tự nhưng đối với vỏ S-FGM Ngoài

ra nhóm của Sofiyev còn áp dụng lý thuyết von Karman–Donnell để phân tích sự mất

ổn định của vỏ nón cụt FGM trong [92], [99], [100]

Nhóm nghiên cứu về FGM tiếp theo phải kể đến là nhóm của Shen và các đồngnghiệp về kết cấu vỏ trụ [83], [84], [79], [80], [82] Bằng cách sử dụng phương phápbán giải tích, với các biến cơ bản như chuyển vị, hàm ứng suất được khai triển theo đathức Chebysev hoặc tham số bé, ổn định phi tuyến kết cấu vỏ trụ FGM cũng đượcnhóm nghiên cứu Yếu tố hoàn hảo và không hoàn hảo về hình dáng ban đầu, yếu tố vềkết cấu chịu các tải trọng khác nhau, cũng như điều kiện môi trường, cụ thể là ảnhhưởng của nhiệt độ được nhóm tác giả phân tích một cách cẩn trọng, để từ đó đưa ranhững đánh giá chính xác nhất về kết cấu vỏ trụ FGM Ngoài ra nhóm của Shen cũng

sử dụng cả lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và phương pháp số để nghiên cứu cácphản ứng của vỏ trụ FGM sau mất ổn định dưới tác động của tải trọng và nội lực trongmôi trường nhiệt độ tựa nền đàn hồi [81], [85]

Shahsiah và Eslami cũng có rất nhiều công bố về kết cấu làm bằng vật liệuFGM, trong đó đối với ổn định tĩnh kết cấu vỏ FGM có thể kể đến nghiên cứu [78],

bằng cách sử dụng lý thuyết Donnell-Mushtari-Vlasov, với ba trường hợp khácnhau của tải nhiệt Hay đối với kết cấu vỏ trụ FGM [77] sự ổn định phi tuyến nhiệtcũng được phân tích, nhưng trong trường hợp cụ thể là kết cấu chỉ tựa đơn

Trong nước, kết cấu làm bằng vật liệu FGM đã được nhóm của tác giả NguyễnĐình Đức quan tâm nghiên cứu rất sớm, từ năm 2007 và đạt được kết quả công bố đầu

tiên của Nguyễn Đình Đức, Hoàng Văn Tùng vào năm 2008 ([35], [36]) Kể từ đótới nay, nhóm đã có thêm nhiều kết quả nghiên cứu về kết cấu FGM, trong đó về ổnđịnh tĩnh phi tuyến kết cấu vỏ FGM có thể kể đến như: bằng phương pháp giải tích,dựa trên lý thuyết vỏ cổ điển, tác giả và đồng nghiệp trong tài liệu [26] kiểm tra sựmất ổn định kết cấu vỏ cầu thoải FGM đối xứng dưới tác dụng của áp lực (phân bốđều trên bề mặt ngoài của vỏ) và nhiệt độ với các điều kiện biên khác nhau, nghiêncứu ứng xử sau mất ổn định kết cấu vỏ thoải FGM hai độ cong tựa trên nền đàn hồi[31], trong tài liệu [29] nghiên cứu trang thái ổn định và sau ổn định (tĩnh) cho kếtcấu vỏ thoải FGM hai độ cong có gân gia cường không hoàn hảo trong môi trườngnhiệt độ và tựa trên nền đàn hồi Ngoài ra, không chỉ sử dụng lý thuyết biến dạngtrượt bậc nhất của vỏ để phân tích ổn định tĩnh phi tuyến kết cấu vỏ FGM [26],nhóm của tác giả Nguyễn Đình Đức và đồng nghiệp còn sử dụng lý thuyết biếndạng trượt bậc cao (đến bậc 3) của vỏ như trong tài liệu [40] cho kết cấu vỏ trụ trònS-FGM với hai lớp ngoài giàu kim loại còn lớp giữa giàu gốm (hoặc với hai lớpngoài giàu gốm còn lớp giữa giàu kim lọai) tựa trên nền đàn hồi có kể đến ảnhhưởng của nhiệt độ Đây cũng là nhóm nghiên cứu có nhiều kết quả công bố rất sớm

về kết cấu làm bằng vật liệu S-FGM này [33, 34, 37, 38, 39, 40, 43, 44]

Tác giả Đào Huy Bích bằng phương pháp giải tích nghiên cứu bài toán ổnđịnh tĩnh phi tuyến kết cấu vỏ cầu thoải FMG trong tài liệu [21], tác giả Đào HuyBích, Đào Văn Dũng và đồng nghiệp đã phát triển bài toán để phân tích ổn định phituyến tĩnh và động của kết cấu vỏ cầu thoải chịu áp lực ngoài có kể đến ảnh hưởngcủa nhiệt độ trong tài liệu [12], hay cho kết cấu vỏ cầu thoải chịu tải đối xứng FGMtrong [16] và kết cấu vỏ cầu nhẫn, mảnh cầu nhẫn FGM trong tài liệu [4, 17]

Bên cạch các tác giả và nhóm tác giả trên, còn có rất nhiều các tác giả khác nữanhư Hoàng Văn Tùng [105] theo lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất nghiên cứu ổn địnhtĩnh phi tuyến nhiệt kết cấu vỏ cầu thoải FGM trên nền đàn hồi với tính chất vật liệuphụ thuộc vào nhiệt độ Trong tài liệu [10] Bagherizadeh cùng với đồng nghiệp nghiêncứu sự mất ổn định cơ học của kết cấu vỏ trụ FGM trên nền đàn hồi Pasternak Trongkhi nhóm của Lanhe W nghiên cứu sự mất ổn định nhiệt dẻo vỏ trụ FGM Hoặc nhómcủa Liew K.M [59] phân tích sau mất ổn định vỏ trụ FGM dưới

tác dụng của tải dọc trục và nhiệt độ [61] Kadoli R [57] lại phân tích sự mất ổnđịnh và dao động tự do của vỏ trụ FGM trong trường hợp điều kiện biên kẹp cứng

và tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ Kết quả tính toán đưa ra ảnh hưởng củacác chỉ số tỉ lệ thể tích, yếu tố nhiệt, tần số tự nhiên lên ổn định của vỏ

1.3.2 Ổn định động và dao động phi tuyến kết cấu vỏ FGM

Việc nghiên cứu ổn định động và dao động phi tuyến kết cấu làm bằng vật liệuFGM là một vấn đề hết sức cần thiết nhằm đưa ra các dự đoán chính xác cho các kếtcấu khi làm việc trong môi trường chịu tác động bởi các nguyên nhân động, để từ đóđưa ra các giải pháp khắc phục nhằm tối ưu hóa và đảm bảo an toàn cho kết cấu Cùngvới các nghiên cứu về ổn định tĩnh phi tuyến, các nghiên cứu về ổn định động và daođộng phi tuyến kết cấu vỏ FGM cũng đạt được các kết quả đáng ghi nhận

Deniz và Sofiev [24] điều tra sự mất ổn định động phi tuyến kết cấu vỏ nón cụtFGM chịu tải nén như một hàm tuyến tính của thời gian, trong khi Sofiyev A.H sửdụng cách tiếp cận giải tích để phân tích ổn định động lực của các vỏ trụ và vỏ nót cụtFGM dưới tác dụng của tải xung [91], [86] Trong công trình [68], Najafov A.M vàSofiyev A.H đã phân tích động lực phi tuyến của vỏ nón cụt FGM được bao quanh bởinền đàn hồi bằng cách sử dụng lý thuyết biến dạng lớn có kể đến tính phi tuyến hìnhhọc của Von Karman – Donnell, phương pháp xếp chồng, Galerkin và phương pháp cânbằng điều hòa, vấn đề dao động phi tuyến của vỏ nón cụt FGM trong môi trường đànhồi được giải quyết Vấn đề ổn định động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong FGM cótính đến sự không hoàn hảo hình học cũng được trình bày trong [18] bởi tác giả ĐàoHuy Bích và Vũ Đỗ Long Ổn định động phi tuyến của vỏ cầu FGM có tính đến ảnhhưởng của nhiệt độ được khảo sát trong công trình [12] bởi Đào Huy Bích và các đồngnghiệp Huang H và Han Q [53] giải bài toán mất ổn định động phi tuyến của vỏ trụFGM chịu tải nén dọc trục biến thiên theo thời gian bằng phương pháp Ritz và tiêuchuẩn Runge – Kutta bậc bốn Ảnh hưởng của tham số không thuần nhất, vận tốc tải,tham số hình học, nhiệt độ và độ không hoàn hảo đến ổn định động phi tuyến của vỏtrụ Matsunaga [64], [63] xây dựng các phương trình động lực cơ bản cho tấm và vỏ trụtròn FGM bằng lý thuyết biến dạng bậc cao hai chiều (2D) đồng thời sử dụng thêmphương pháp chuỗi mở rộng cho các thành phần chuyển vị

Nghiên cứu về ổn định động và dao động phi tuyến, bằng phương pháp giảitích, tác giả Nguyễn Đình Đức phân tích động lực học kết cấu vỏ thoải hai độ congFGM có gân gia cường tựa trên nền đàn hồi, hay trong [30] cùng với tác giả TrầnQuốc Quân nghiên cứu cho kết cấu vỏ thoải hai độ cong FGM với tính chất vật liệuphụ thuộc vào nhiệt độ Lý thuyết biến dạng trượt bậc cao cũng được nhóm sử dụngtrong công trình [44] nghiên cứu ổn định động phi tuyến của vỏ trụ tròn S-FGM trênnền đàn hồi có tính đến yếu tố nhiệt độ

Nghiên cứu về composite FGM áp điện, bằng phương pháp giải tích, nhómcủa tác giả Nguyễn Đình Đức bằng cách sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất,trong [38] tác giả đã phân tích đồng thời ổn định động phi tuyến nhiệt – điện – cơkết hợp sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của vỏ cho kết cấu vỏ trụ trònsandwich S-FGM áp điện, hay trong tài liệu [42], phân tích động lực học và daođộng kết cấu vỏ thoải hai độ cong FGM áp điện

Amabili [8], [9] phân tích dao động phi tuyến kết cấu vỏ thoải hai độ cong vàtấm hình trụ tròn tựa đơn, trong khi Alijani và đồng nghiệp lại nghiên cứu cho vỏthoải hai độ cong FGM dựa trên cơ sở hình chữ nhật (rectangular base) Chorfi vàHoumat [23] phân tích dao động phi tuyến của vỏ hai độ cong FGM dạng elip.Rafiee cùng đồng nghiệp [73], [72] phân tích dao động phi tuyến và đáp ứng độnglực học của kết cấu vỏ FGM áp điện tựa đơn chịu tải cơ, khí động lực học, tải điện

và nhiệt dựa trên lý thuyết piston bậc ba, từ đó đánh giá ảnh hưởng của các thông sốhình học vỏ và độ dày áp điện, nhiệt độ thay đổi và điện áp bên ngoài và các tham

số khác lên ổn định động phi tuyến của vỏ

1.3.3 Ổn định phi tuyến kết cấu vỏ FGM có gân gia cường

Một trong những biện pháp để tăng cường khả năng làm việc của kết cấu manglại hiệu quả cao là gia cố thêm vào kết cấu các gân gia cường Đối với kết cấu vỏ cầu,

có thể gia cố gân dọc theo phương vĩ tuyến, kinh tuyến (kết cấu có gân gia cường mộtchiều) hoặc cả vĩ tuyến và kinh tuyến (kết cấu có gân gia cường hai chiều) Cách làmnày có ưu điểm là trọng lượng của gân thêm vào ít mà khả năng chịu tải của kết cấu lạităng lên nhiều, hơn nữa chỉ cần gia cố ở những vị trí xung yếu, do đó đây là phương

án tối ưu về vật liệu nhất Là giải pháp mới, do vậy các nghiên cứu về ổn định kếtcấu vỏ FGM có gân gia cường còn hạn hẹp, chưa có nhiều kết quả được công bố.

Mở đầu cho các nghiên cứu có gân gia cường FGM là Najafizadeh N.N vàđồng nghiệp [66] Bằng cách xây dựng phương trình ổn định tuyến tính và giải bàitoán theo phương pháp giải tích và PPPTHH để xác định lực tới hạn của vỏ trụFGM có gân gia cường dọc và vòng chịu tải nén dọc trục Tuy nhiên các gân giacường được họ xây dựng và đề xuất cũng làm bằng vật liệu FGM, do đó về phầnchế tạo sẽ gặp nhiều khó khăn

Bằng cách phát triển thêm bài toán về gân gia cường của tác giả Najafizadeh,tác giả Đào Huy Bích trong tài liệu [15] đã đưa ra một giải pháp đó là sử dụng thêm lýthuyết san đều tác dụng gân của Lekhnitsy Trong phương án tác giả đề xuất chính, cácgân được coi là gân đồng nhất, gân là gân gốm nếu nó được gia cường vào mặt giàugốm, và là gân kim loại nếu nó được gia cường vào mặt giàu kim loại Ngoài ra để sựdụng kỹ thuật san đều tác dụng gân, cần bố trí các gân mau và kích thước nhỏ

Với giải pháp của mình, nhóm tác giả Đào Huy Bích đã đưa ra một loại cácnghiên cứu về kết cấu FGM có gân gia cường, trong đó đối với vỏ FGM có thể kểđến các nghiên cứu [13], [14], [11] về kết cấu vỏ trụ mỏng FGM, vỏ hai độ cong,hay vỏ hai độ cong có tính đến yếu tố không hoàn hảo hình học của vỏ, và một sốnghiên cứu khác nữa

Nhóm tác giả Đào Văn Dũng và đồng nghiệp [48], [47] đã nghiên cứu chokết cấu vỏ hình nón cụt FGM có gân gia cường lệch tâm FGM chịu tải nén và áp lựcngoài Dựa trên lý thuyết cổ điển có tính đến tính phi tuyến hình học Von Kárman –Donnell và kỹ thuật san đều gân, những ảnh hưởng của các điều kiện nội ngoại cảnhlên sự ổn định của vỏ được phân tích một cách kỹ lưỡng

Tiếp cận với kết cấu vỏ có gân gia cường, tác giả Nguyễn Đình Đức và nhóm đãnghiên cứu cả bài toán động lực học và ổn định tĩnh loại kết cấu này làm bằng cả vậtliệu FGM và S-FGM Cụ thể, ổn định động phi tuyến kết cấu vỏ hai độ cong FGM dướiảnh hưởng của tải nén và áp lực ngoài có xét đến cả yếu tố không hoàn hảo của vỏđược phân tích và khảo sát trong [27], còn ổn định tĩnh được phân tích trong [29] cũngcho kết cấu vỏ mỏng hai độ cong FGM trên nền đàn hồi, hay trong[33], [34]

cho kết cấu vỏ trụ tròn mỏng S-FGM có gân gia cường không hoàn hảo trên nền đànhồi dưới ảnh hưởng của các loại tải khác nhau Ngoài ra, trong tài liệu [43] tác giảNguyễn Đình Đức và Phạm Toàn Thắng phân tích động lực học và dao động phituyến của vỏ trụ tròn S-FGM có gân gia cường trên nền đàn hồi sử dụng lý thuyếtbiến dạng trượt bậc nhất, và cũng với tác giả Phạm Toàn Thắng trong [37] cho kếtcấu vỏ trụ tròn S-FGM có gân gia cường nhưng sử dụng lý thuyết biến dạng trượtbậc cao Đáng lưu ý, nhóm của tác giả Nguyễn Đình Đức đã phát triển bài toán khikết cấu vỏ FGM có gân gia cường bằng cách xét kết cấu vỏ có gân gia cường đượcđặt trong môi trường nhiệt độ với giả thiết cả gân và vỏ đều bị biến dạng (về hìnhdạng) dưới tác động của nhiệt độ, ví dụ cụ thể như trong tài liệu [32] cho kết cấu vỏnón cụt FGM, trong [39] cho kết cấu vỏ trụ hình ellip, hoặc tài liệu [29] cho kết cấu

vỏ mỏng FGM hai độ cong sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển, còn trong [37] và [40] chokết cấu vỏ trụ tròn S-FGM bằng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao Ngoài ra, kết quảđược phân tích và chỉ ra trong tài liệu [29, 41] của tác giả Nguyễn Đình Đức vànhóm còn chỉ ra được rằng kết quả tính toán khi hệ số Poisson của vật liệu FGM là

hàm của tọa độ v =ν ( z) và khiν = constlà không có sự khác biệt đáng kể Chính điềunày là căn cứtrong việc xem hệ số Poisson luôn là hằng số trong nhiều bài báo khác đãcông bố cũng như trong luận án này

1.3.4 Ổn định phi tuyến tĩnh và động kết cấu vỏ FGM có hình dạng đặc biệt

Đối với kết cấu vỏ FGM có hình dạng đặc biệt, các nghiên cứu về kết cấu đặcbiệt này nhận được ít sự quan tâm hơn các kết cấu thông thường do sự phức tạp hơn vềmặt toán học Tuy nhiên không vì thế mà các loại kết cấu này không được đề cập

Đối với tấm tròn, dựa trên lý thuyết tấm và phương pháp cổ điển, hai tác giả

Ma và Wang trong [62] phân tích ứng xử uốn và sau mất ổn định của tấm tròn FGMdưới tác dụng của tải cơ và tải nhiệt Nhóm tác giả Li cùng các đồng nghiệp [60]nghiên cứu ổn định phi tuyến cơ nhiệt giai đoạn sau mất ổn định của tấm tròn FGM

có tính đến yếu tố không hoàn hảo của tấm Najafizadeh và Heydari [67] sử dụngphương pháp biến phân và tiêu chuẩn cân bằng lân cận, dựa trên lý thuyết biến dạngtrượt bậc cao để điều tra sự mất ổn định tuyến tính của tấm tròn FGM dưới tác dụngcủa tải nhiệt trong đó xem xét biến dạng là đối xứng Ngoài ra, mất ổn định do nhiệt

của tấm tròn FGM hoàn hảo cũng đã được phân tích bởi nhóm tác giả Trần và đồngnghiệp [104] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn.

Một trường hợp hình đặc biệt của vỏ cầu là tấm vành khuyên cũng được cáctác giả chú ý đến nghiên cứu Eslami và Kiani trong [49] đã đưa ra những phân tíchban đầu về mất ổn định nhiệt của tấm vành khuyên FGM trên nền đàn hồi Trongkhi đó, Dumir và đồng nghiệp [46] đã nghiên cứu ứng xử vồng của tấm vànhkhuyên đẳng hướng dày biến dạng đối xứng sử dụng lý thuyết biến dạng trược bậcnhất khi kết cấu chịu tải trọng ngoài phân bố đều trên bề mặt vỏ kết cấu

Hoặc đối với vỏ cầu nhẫn, Alwar và Narasimhan [7] đã nghiên cứu ổn địnhphi tuyến đối xứng trục kết cấu vỏ cầu nhẫn nhưng làm bằng vật liệu trực hướngnhiều lớp Trong khi Chih-Ping Wu và Yi-Hwa Tsai [106] đã nghiên cứu về vỏ cầunhẫn FGM bằng phương pháp tiệm cận “differential quadrature” – DQ

Một hình dạng đặc biệt khác của vỏ cầu cũng đã được chú ý đến đó là kết cấunắp cầu (spherical caps) Có thể kể đến một vài nghiên cứu như của Chao và Lin[22], của Xu C.S [107], Dumir [45] hay của Tillman [102] Cụ thể, trong [22], kếtcấu nắp cầu cạn trực hướng chịu tải trọng ngoài phân bố đều trên bề mặt ngoài của

vỏ đã được Chao và Lin nghiên cứu sử dụng lý thuyết vỏ mỏng cổ điển và giả định

vỏ thoải của Reisener Xu trong tài liệu [107] phân tích vồng và sau vồng kết cấunắp cầu chịu tải trọng ngoài nhưng cho kết cấu nhiều lớp Ổn định tĩnh và động phituyến kết cấu nắp cầu dưới tác dụng của tải trọng ngoài cũng được Dumir nghiêncứu, nhưng cho kết cấu mỏng trực hướng tựa trên nền đàn hồi [45] Còn trong [102]Tillman nghiên cứu bằng lý thuyết và thực nghiệm để phân tích ứng xử của kết cấunắp cầu cạn dưới ảnh hưởng của áp lực ngoài

Có thể thấy số lượng công trình nghiên cứu về kết cấu vỏ có hình dạng đặcbiệt, nhất là kết cấu làm bằng vật liệu FGM còn rất hiếm Nhiều vỏ có hình dạngđặc biệt khác như mảnh cầu nhẫn, theo nguồn tài liệu mở tính đến thời điểm hiện tạithì số lượng là rất hạn chế, gần như là chưa có Điều này cho thấy việc nghiên cứu

ổn định của các kết cấu có hình dạng đặc biệt của vỏ FGM là hết sức cấp thiết, đòihỏi sự quan tâm hơn nữa của các nhà khoa học trong và ngoài nước

1.4 Mục tiêu nghiên cứu của luận án

Từ tổng quan một số kết quả nghiên cứu về kết cấu vỏ FGM trong nhữngnăm vừa qua ở trên, có thể thấy các kết quả nghiên cứu về kết cấu vỏ FGM tuynhiều nhưng vẫn chưa đủ, vẫn còn nhiều lĩnh vực về vỏ FGM cần phải được xemxét hơn nữa; đặc biệt là vấn đề về vỏ có hình dạng đặc biệt, ví dụ như tấm tròn, vỏcầu nhẫn, mảnh cầu nhẫn – là những vấn đề gần như còn mới mẻ, chưa có nhiều tàiliệu và các công trình nghiên cứu do việc tính toán có phần phức tạp Hơn nữa cáckết cấu vỏ cầu đang được sử dụng nhiều trong các công trình thực tiễn, như máivòm, bình khí, kết cấu vỏ chứa nguyên liệu trong công nghiệp đóng tàu… Xuất phát

từ thực tế đó, luận án đặt ra mục tiêu giải quyết bài toán ổn định phi tuyến tĩnh kếtcấu vỏ cầu FGM, đặc biệt là vỏ cầu S-FGM có kể đến cả yếu tố gân gia cường; cũngnhư là của kết cấu vỏ có hình dạng đặc biệt là vỏ cầu nhẫn và mảnh cầu nhẫn FGM

và tấm tròn FGM Các vấn đề được giải quyết trong luận án này bao gồm:

(i) Nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến: Xác định các tải tới hạn và ứng xử sauvồng của kết cấu vỏ cầu FGM khi chúng chịu các tải cơ, nhiệt và cơ - nhiệt đồng thời

Từ đó nghiên cứu ảnh hưởng của kích thước hình học, tính không hoàn hảo về hìnhdáng ban đầu, gân gia cường và nền đàn hồi đến ổn định phi tuyến của vỏ cầu FGM

(ii) Nghiên cứu ổn định của các trường hợp riêng của vỏ cầu là vỏ cầu nhẫn,

và mảnh cầu nhẫn FGM

1.5 Xây dựng các phương trình cơ bản đối với kết cấu vỏ cầu FGM

Luận án nghiên cứu về ổn định phi tuyến kết cấu vỏ cầu FGM, trong đó cóxét đến hai trường hợp đặc biệt của vỏ cầu là vỏ cầu nhẫn và mảnh cầu nhẫn cũnglàm bằng vật liệu FGM, do đó trong phần này tác giả sẽ trình bày các phương trình

cơ bản nhất được sử dụng chung để giải quyết các bài toán liên quan

Xét mô hình vỏ cầu thoải làm bằng vật liệu FGM (P-FGM hoặc S-FGM) tựa

hoặc không tựa trên nền đàn hồi với bán kính cong R, bán kính của hình tròn cơ sở

r0 đối với vỏ cầu (hoặc r1 , r0 tương ứng với hình tròn cơ sở dưới và trên đối với vỏcầu nhẫn hoặc mảnh cầu nhẫn), độ dày thành kết cấu h Vỏ cầu FGM chịu áp lực ngoài

phân bố đều trên bề mặt ngoài thành kết cấu q

Vỏ cầu đặt trong hệ tọa độ (ϕ , θ, z) , trong đó ϕ và θ là theo phương kinhtuyến và theo phương đường cong vĩ tuyến tương ứng Trục z vuông góc với mặtgiữa vỏ cầu và có chiều dương hướng vào trong.

Đối với vỏ cầu thoải FGM, đưa vào biến mới r được định nghĩa bởi quan hệ

r = R sinϕ , trong đó r là bán kính của đường tròn vĩ tuyến. Nếu xét tới yếu tố thoảicủa vỏ, ta có thể lấy xẫp xỉ cos ϕ=1, khi đó Rdϕ=dr , với cách đưa biến mới vàonhư vậy, các điểm ở mặt giữa có thể biểu thị được qua tọa độ r và θ

Đối với các bài toán vỏ mỏng, phương trình cân bằng và tương thích – biếndạng cũng như biểu thức của tải tới hạn và đường cong phi tuyến giữa tải – độ võng của

vỏ được biểu diễn theo lý thuyết cổ điển Khi đó, các thành phần biến dạng ở mặt giữa

và các thành phần độ cong, độ xoắn được liên hệ với các thành phần chuyển vị

tương ứng trong các hướng tọa độ ϕ,θ, z dựa trên quan hệ phi tuyến biến chuyển vị của Von Kármán – Donnell [26], [28] được biểu diễn bởi