Tổng hợp 10 đề tuyển sinh lớp 10 môn toán năm 2020 – 2021 tập 6

Cho tam giác ABC có  BAC là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường tròn  O.. Điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác của .BAC Lấy các điểm M N, thuoocj  O sa

î¨ õ í õ ø¨ õ ï÷°¨îõ ê õ ø¨ õ î÷°¨îõ î¨ õ ç ã ð

í

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020

MÔN THI: TOÁN (đề thi dành cho tất cả các thí sinh)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề)

a) Tìm x y, nguyên dương thỏa mãn: x y2 216xy99 9 x236y213x26 y

b) Với a b, là những số thực dương thỏa mãn:

2 2 a3b5 và 8a12b2a23b25ab10

Chứng minh rằng: 3a28b210ab21

Câu 3

Cho tam giác ABC có  BAC là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường tròn  O Điểm D

thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác của .BAC Lấy các điểm M N, thuoocj  O sao cho các đường thẳng

CM và BN cùng song song với đường thẳng AD

a) Chứng minh rằng AM AN

b) Gọi giao điểm của đường thẳng MN với các đường thẳng AC AB, lần lượt là E F, Chứng minh rằng bốn

điểm B C E F, , , cùng thuộc một đường tròn

c) Gọi P Q, theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM AN, Chứng minh rằng các đường thẳng EQ FP,

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1

a) Phương trình thứ hai của hệ tương đương:

y

 



    Với y  ta có: 1, x  2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x5, y2 hay a b 1.

Vậy ta có điều phải chứng minh

Câu 3

a) Do BN và CM cùng song song với AD kết hợp với AD là phân giác ,BAC ta có:

Do đó BCEF là tứ giác nội tiếp

c) Gọi S là giao điểm của EQ và AD, K là giao điểm của AD và EF

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ANK có cát tuyến ESQ, ta có:

Gọi S là giao điểm của FP và AD

Tương tự áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AMK có cát tuyến PS F , ta được: S A FM

- HẾT -

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020

MÔN THI: TOÁN (VÒNG 2) Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề)

b) Từ một bộ bốn số thực a b c d, , ,  ta xây dựng bộ số mới a b b c c d d a ,  ,  ,   và liên tiếp xây dựng

các bộ số mới theo quy tắc trên Chứng minh rằng nếu ở hai thời điểm khác nhau ta thu được cùng một bộ số (có

thể khác thứ tự) thì bộ số ban đầu phải có dạng a,a a, ,a

Câu 3

Cho tam giác ABC cân tại có BAC 90 0 Điểm E thuộc cạnh AC sao cho AEB 90 0 Gọi P là giao điểm

của BE với trung trực BC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của P lên AB. Gọi Q là hình chiếu vuông góc của

E lên AP. Gọi giao điểm của EQ và PK là F

a) Chứng minh rằng bốn điểm A E P F cùng thuộc một đường tròn , , ,

b) Gọi giao điểm của KQ và PE là L. Chứng minh rằng LA vuông góc với LE

c) Gọi giao điểm của FL và AB là S. Gọi giao điểm của KE và AL là T. Lấy R là điểm đối xứng của A qua

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1

Khi đó, ta có 4a25b4a2 (2 )a 2và 4a25b4a25a4a28a 4 (2a2) 2 Mà4a25b là số chính phương nên 4a25b(2a1)2, tức 5b4a1.

Từ đây, ta suy ra bchia 4 dư 1 Do đó b4k1với k   Một cách tương ứng, ta có a5k1 Xét các trường hợp sau

• Trường hợp 1: b c Chứng minh tương tự như trên, từ giả thiết 4b25c là số chính phương, ta suy ra

5c4b 1 16k5 Do đó kchia hết cho 5, tức k5nvới n   Khi đó, ta có

Suy ra c5k 1 a mâu thuẫn Vậy trường hợp này không thể xảy ra

Tóm lại, có duy nhất một bộ số ( ; ; )a b c thỏa mãn yêu cầu là (1;1;1)

b) Gọi ( , , , )a b c d n 2 n n là bộ bốn số thực thu được sau lượt thứ n Khi đó, ta có

0 0 0 0( , , , ) ( , , , )a b c d  a b c d

Và

a b c   a   b c d  n Suy ra

a   b c d  a   b c d  a b c d  Giả sử tồn tại hai số nguyên dương m k sao cho hai bộ số ( , , , )a b c d m m m m và ( , , , )a b c d k k k k là một (có thể khác thứ tự) Khi đó, ta có a mb mc md ma k  b k c k d k tức 2 (m a b c d   ) 2 ( k a b c d   )

Vì m k< nên a b c d+ + + =0 Bây giờ, ta có chú ý rằng

Từ đây, ta có a b c d1= = =1 1 1 =0 Suy ra b= −a c, = −b d, = − , tức bộ số ban đầu phải có dạng c ( , , , )a a a a− − Ta

có điều phải chứng minh

Do đó ∠PAE= ∠PAK = ∠QAK = ∠QFK = ∠PFE

Do đó tứ giác AEPF nội tiếp hay bốn điểm , , , A E P F cùng thuộc một đường tròn

b) Từ các tứ giác nội tiếp AFKQ và AEPF đã chứng minh ở câu a), ta suy ra

c) Ta có AL KP BC là ba đường cao của tam giác ABP nên chúng đồng quy tại trực tâm mà ta ký hiệu điểm , ,

đó là H. Trước hết, vì P là trực tâm tam giác ABH và A đối xứng R qua đường cao BL của tam giác ABR

nên ∠BRH =180o− ∠BRA=180o− ∠BAH = ∠BPH, suy ra tứ giác BPRH nội tiếp

Ta có PBH∠ = ∠PAL= ∠PKL nên ∠LEF = ∠LKF. Suy ra tứ giác KFLE nội tiếp

Do đó ∠ALS =90o− ∠ELS =90o− ∠PKE= ∠SKT Từ đây, ta suy ra tứ giác SLTK nội tiếp

Vì tứ giác BKLH nội tiếp đường tròn đường kính BH nên ∠LTS = ∠LKS = ∠LHB Suy ra ST BH

Đường thẳng EF cắt AB tại , M KL cắt ST tại N Ta có AQ vừa là phân giác vừa là đường cao của tam giác AEM nên AEM cân tại A Suy ra QE QM= Kết hợp với ST EM (cùng vuông với AQ ) nên theo định lý

Thales, ta có N là trung điểm của ST. Do đó nếu gọi X là giao của ANvới BC thì từ ST BH ta cũng suy ra

X là trung điểm của BH Gọi G là hình chiếu vuông góc của P lên AX vẽ đường kính , AA′ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH và gọi G′ là đối xứng của G qua X

Dễ thấy ∠AG A′ ′=900 nên nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tứ giác BPHA′ là hình bình hành Hơn nữa A G PG′ ′  nên PGA G′ ′ là hình bình hành Do đó các điểm P G đối xứng với , A G′ ′ qua , X Mà tứ giác BG A H′ ′ nội tiếp nên tứ giác BPGH nội tiếp

Từ các tứ giác nội tiếp AKGL (nội tiếp đường tròn đường kính AP ) và KSLT ta suy ra ,

Đặt p x y z q xy yz zx   ,    và r xyz thì ta có q3r Ta cần có

2

3p  4 31 r

Theo bất đẳng thức Cô-si thì (x y z xy yz zx  )(   ) 9 xyz nên x y z  3 hay p  3.

p

 

 quy đồng và khai triển, ta có

2(p3)(5p 12p12) 0 , đúng do p  3

Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng, ta có điều phải chứng minh

- HẾT -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NGHỆ AN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

đã sản xuất được bao nhiêu chai nước rửa tay sát khuẩn?

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD (AD > BC) nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AB Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E Gọi H là hình chiếu của E trên AB

a) Chứng minh ADEH là tứ giác nội tiếp

b) Tia CH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K Gọi I là giao điểm của DK và

AB Chứng minh DI2 = AI.BI

c) Khi tam giác DAB không cân, gọi M là trung điểm của EB, tia DC cắt tia HM tại

N Tia NB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HMB tại điểm thứ hai là F Chứng minh F thuộc đường tròn (O)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

(Đề thi gồm 02 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

NĂM HỌC: 2020 - 2021 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 17 tháng 7 năm 2020

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1 (1,5 điểm)

b) Tìm tọa độ giao điểm của ( )P và ( )d bằng phép tính

Bài 2 (1,0 điểm)

Cho phương trình: 2x25x  3 0 có hai nghiệm là x x1, 2

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: Ax12x2x2 2x1

Bài 3 (0,75 điểm)

Quy tắc sau đây cho ta biết CAN, CHI của năm X nào đó

Để xác định CAN, ta tìm số dư r trong phéo chia X cho 10 và tra vào bảng 1

Để xác định CHI, ta tìm số dư s trong phép chia X cho 12 và tra vào bảng 2

Ví dụ: năm 2020 có CAN là Canh, CHI là Tí

Bảng 1

Bảng 2

a) Em hãy sữ dụng quy tắc trên đề xác định CAN, CHI của năm 2005?

b) Bạn Hằng nhớ rằng Nguyễn Huệ lên ngôi hoàng đế, hiệu là Quang Trung vào năm Mậu Thân nhưng không nhớ rõ đó là năm bao nhiêu mà chỉ nhớ là sụ kiện trên xảy ra vào cuối thế kỉ 18 Em hãy giúp Hằng xác định chính xác năm đó là năm bao nhiêu?

Bài 4 (0,75 điểm)

Cước điện thoại y (nghìn đồng) là số tiền mà người sử dụng điện thoại cần trả hàng tháng, nó phục thuộc vào lượng thời gian gọi x (phút) của người đó trong tháng Mỗi liên hệ giữa hai đại

lượng này là một hà số bậc nhất y axb Hãy tìm a b, biết rằng nhà bạn Nam trong tháng 5

đã gọi 100 phút với số tiền là 40 nghìn đồng và trong tháng 6 gọi 40 phút với số tiền là 28 nghìn đồng

Bài 5 (1, 0 điểm)

Theo quy định của cửa hàng xe máy, đề hoàn thành chỉ tiêu trong một tháng, mỗi nhân viên phải bán được trung bình một chiếc xe máy trong một ngày Nhân viên nào hoàn thành chỉ tiêu trong một tháng thì nhận lương cơ bản là 8000000 đồng Nếu trong một tháng nhân viên nào vượt chỉ

ĐỀ CHÍNH THỨC

tiêu thì được thưởng thêm 8% tiền lời của số xe được bán vượt chỉ tiêu đó Trong tháng 5 (có 31 ngày), anh Thành nhận được số tiền là 9800000 đồng (bao gồm cả lương cơ bản và tiền thương thêm tháng đó.) Hỏi anh Thành đã bán được bao nhiêu chiếc xe máy trong tháng 5, biết rằng số

xe bán ra thì cửa hàng thu được tiền lời được 2500000 đồng

Bài 6 (1, 0 điểm)

Anh Minh vừa mới xây một cái hồ trữ nước cạnh nhà có hình hộp chữ

nhật kích thước 2m2m1m Hiện hồ chưa có nước nên anh Minh phải

ra sông lấy nước Mỗi lần ra sông anh gánh được 1 đôi nước đầy gồm hai

thùng hình trụ bằng nhau có kích thước đáy 0,2m, chiều cao 0,4m

a) Tính lượng nước (m3) anh Minh đổ vào hồ sau mỗi lần gánh (ghi

kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân) Biết trong quá trình gánh

nước về hao hụt khoảng 10% và công thức tính thể tích hình trụ là

so với giá ban đầu Nhóm của Thư mua 9 ly kem với số tiền là 154 500 đồng Hỏi giá của một

ly kem ban đầu?

Bài 8 (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA2 R Từ A

kẻ 2 tiếp tuyến AD; AE đến đường tròn ( )O (D E, là 2 tiếp điểm) Lấy điểm M nằm trên cung nhỏ DE sao cho MDME. Tiếp tuyến của đường tròn ( )O tại M cắt AD; AE lần lượt tại I;

J Đường thẳng DE cắt OJ tại F

a) Chứng minh: OJ là đường trung trực của đoạn thẳng ME và MOF OEF

b) Chứng minh: tứ giác ODIM nội tiếp và 5 điểm I; D; O; F; M cùng nằm trên một đường tròn

c) Chứng minh IOM IOA và sinIOA MF

IO

- HẾT -

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

(Đề thi gồm 02 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

NĂM HỌC: 2020 - 2021 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 17 tháng 7 năm 2020

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1 (1,5 điểm)

b) Tìm tọa độ giao điểm của ( )P và ( )d bằng phép tính

24

Với x    4 y 4 ta có giao điểm ( 4;4)B 

Vậy tọa độ giao điểm của ( )P và ( )d là (2;1)A và ( 4;4).B 

Bài 2 (1,0 điểm)

Cho phương trình: 2x25x  3 0 có hai nghiệm là x x1, 2

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: Ax12x2x22x1

Quy tắc sau đây cho ta biết CAN, CHI của năm X nào đó

Để xác định CAN, ta tìm số dư r trong phéo chia X cho 10 và tra vào bảng 1

Để xác định CHI, ta tìm số dư s trong phép chia X cho 12 và tra vào bảng 2

Ví dụ: năm 2020 có CAN là Canh, CHI là Tí

Bảng 1

Bảng 2

a) Em hãy sữ dụng quy tắc trên đề xác định CAN, CHI của năm 2005?

b) Bạn Hằng nhớ rằng Nguyễn Huệ lên ngôi hoàng đế, hiệu là Quang Trung vào năm Mậu Thân nhưng không nhớ rõ đó là năm bao nhiêu mà chỉ nhớ là sụ kiện trên xảy ra vào cuối thế kỉ 18 Em hãy giúp Hằng xác định chính xác năm đó là năm bao nhiêu?

Lời giải:

a) Ta có

2005 : 10200 dư 5 CAN = “ẤT”

2005 : 12167 dư 1CHI = “DẬU”

Vậy năm 2005 có CAN là “Ất”, CHI là “Dậu”

b) Gọi x là năm Nguyễn Huệ lên ngôi hoàng đế

Do x thuộc cuối thế kỉ 18 nên 1750 x 1799

Do CAN của x là Mậu nên : 10x dư 8

Suy ra hàng đơn vị của x là số 8

Suy ra x là một trong các năm 1758,1768,1778,1788,1798

Do CHI của x là “Thân” nên x chia hết cho 12

Vậy chỉ có năm 1788 thỏa mãn

Vậy Nguyễn Huệ lên ngôi hoàng đế năm 1788

Bài 4 (0,75 điểm)

Cước điện thoại y (nghìn đồng) là số tiền mà người sử dụng điện thoại cần trả hàng tháng, nó

phục thuộc vào lượng thời gian gọi x (phút) của người đó trong tháng Mỗi liên hệ giữa hai đại

lượng này là một hà số bậc nhất y axb Hãy tìm a b, biết rằng nhà bạn Nam trong tháng 5

đã gọi 100 phút với số tiền là 40 nghìn đồng và trong tháng 6 gọi 40 phút với số tiền là 28 nghìn đồng

xe bán ra thì cửa hàng thu được tiền lời được 2500000 đồng

Bài 6 (1, 0 điểm)

Anh Minh vừa mới xây một cái hồ trữ nước cạnh nhà có hình hộp chữ

nhật kích thước 2m2m1m Hiện hồ chưa có nước nên anh Minh phải

ra sông lấy nước Mỗi lần ra sông anh gánh được 1 đôi nước đầy gồm hai

thùng hình trụ bằng nhau có kích thước đáy 0,2m, chiều cao 0, 4m

a) Tính lượng nước (m3) anh Minh đổ vào hồ sau mỗi lần gánh (ghi

kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân) Biết trong quá trình gánh

nước về hao hụt khoảng 10% và công thức tính thể tích hình trụ là

Bài 7 (1, 0 điểm)

Sau buổi sinh hoạt ngoại khóa, nhóm bạn của Thư rủ nhau đi ăn kem ở một quán gần trường Do quán mới khai trương nên có khuyến mãi, bắt đầu từ ly thứ 5 giá mỗi ly kem giảm 1 500 đồng

so với giá ban đầu Nhóm của Thư mua 9 ly kem với số tiền là 154 500 đồng Hỏi giá của một

ly kem ban đầu?

Lời giải:

Gọi x (đồng) là giá ly kem ban đầu

Theo giả thiết ta có phương trình: 4x 5(x1 500)154 500

9x 162 000 x 18 000

Vậy giá tiền của một ly kem là 18 000 đồng

Bài 8 (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA2 R Từ A

kẻ 2 tiếp tuyến AD; AE đến đường tròn ( )O (D E, là 2 tiếp điểm) Lấy điểm M nằm trên cung nhỏ DE sao cho MDME. Tiếp tuyến của đường tròn ( )O tại M cắt AD; AE lần lượt tại I;

J Đường thẳng DE cắt OJ tại F

a) Chứng minh: OJ là đường trung trực của đoạn thẳng ME và MOF OEF

b) Chứng minh: tứ giác ODIM nội tiếp và 5 điểm I; D; O; F; M cùng nằm trên một đường tròn

c) Chứng minh IOM IOA và sinIOA MF

IO

 

Suy ra tứ giác ODIM nội tiếp (3)

Ta chứng minh ODMF nội tiếp

Xét tam giác OED có OED ODE (do ODE cân tại O)

Theo ý a ta có OMF OEF nên ta có ODE ODF OMF

Suy ra ODMF nội tiếp (do cùng chắn cung OF) (4)

Từ (3) và (4) suy ra 5 điểm O D I M F, , , , cùng nằm trên một đường tròn c)

Ta có tứ giác IDOF nội tiếp

Nên IOAJOM

Chứng minh sinIOA MF

-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2020 – 2021

ĐỀ THI MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Lưu ý: Đề thi gồm 01 trang, thí sinh làm bài vào tờ giấy thi

a) Chứng minh BP BK CP CL BC2

b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PKC luôn đi qua hai điểm cố định c) Gọi J là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác PKC và E là giao điểm thứ hai của đường tròn này với đường thẳng AC Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác PLB và

F là giao điểm thứ hai của đường tròn này với đường thẳng AB Chứng minh EF // IJ

a) Giải phương trình nghiệm nguyên x y xy2  2x2 5x  4

b) Giả sử rằng A là tập hợp con của tập hợp 1; 2; 3; ; 1023 sao cho  A không chứa hai số nào mà số này gấp đôi số kia Hỏi A có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?

- Hết -

Họ tên thí sinh:……….……… Số báo danh: ………… Cán bộ coi thi 1:……….……… … Cán bộ coi thi 2: ……… …… ……

ĐỀ CHÍNH THỨC

Vì q là số nguyên tố nên x = hoặc 1 1 x =2 1 0,25

Nếu x = thì 1 1 1 x+ 2 = p và x là các số nguyên tố liên tiếp, suy ra 2 x là số nguyên tố chẵn 2

nên x2 = =q 2;p=3 Tương tự, nếu x = thì 2 1 x q1= =2;p=3 0,25

Ta thấy q=2;p=3 thỏa mãn điều kiện ( )* là các giá trị cần tìm 0,25

1 52

x x

HDC ĐỀ CHÍNH THỨC