Tổng hợp 10 đề tuyển sinh lớp 10 môn toán (chuyên) năm 2020 – 2021 tập 4

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và OH cắt đường thẳng qua A vuông góc với 1, BC ở điểm K Gọi.. Mặt khác, tứ giác AHKA là hình thang vì 1 AH A K nên ta có  1 OM là đường trung bình, k

¦ õ ¨ õ î§ æ

ợũị€ã ộũ

²á< 0 ³5ơ ơđô²ạ ơ{³ ²ô:ã ẳ|Đ ơđl ³9 ẵ:ãũ ềhô ³7ã °áz² ¯ô€ ạã}³ ờ ¯ôĐf² ê0 ơád ưm ẵ> ơáj³ ở °áz²

¯ô€ ²&¿ ẵá± ẵẵ ẵáôụ ẵ?² ²hô ³7ã °áz² ¯ô€ ạã}³ ùð ¯ôĐf² ê0 ơád ẵẵ ẵáô ưm ẵ> ơáj³ ùð °áz² ¯ô€ũỉ<ã ơ6 ẵá'ẵ ơ( ơáãe² ơđj² ẵ> ắ¿± ²áãjô ¯ôĐf² ê0ũ

ßèßçßïðßïïßïî

ßïßîßí

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

-THCS.TOANMATH.com

ỉò Ýịổ ớƯ ễ8 Ử)4ỗỰ Ưă ớă ơ ểị<Ư Ỡ~ỗ

ồ

Ưĩõ ớĩõồớĩõ ơĩõồơĩõ Ưĩ ãồĩđĩỉữÝị'ỗỰ Ỡởỗị ệtỗỰữ Ư

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HCM

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2020-2021

MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

b) Cho hai số dương a b, thỏa mãn điều kiện a b+ ≤3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q b a= − +20 7+

Câu 5: (2,0 điểm)

Đường tròn ( )I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB BC CA, , lần lượt tại D E F, ,

Kẻ đường kính EJ của đường tròn ( )I Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC Đường

Lời giải tham khảo

Câu 1: Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện + + =2020

2

42

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và OH cắt đường thẳng qua A vuông góc với 1, BC ở

điểm K Gọi M là trung điểm AA1 thì OM ⊥ AA Suy ra 1 OM BC ⊥

Mặt khác, tứ giác AHKA là hình thang vì 1 AH A K nên ta có  1 OM là đường trung bình, kéo

theo O là trung điểm HK hay nói cách khác, đường thẳng qua A vuông góc với 1, BC sẽ đi qua

điểm đối xứng với trực tâm H của tam giác ABC qua O

Rõ ràng điểm này bình đẳng với B C, nên hai đường qua B C1, 1 lần lượt vuông góc với CA AB,cũng đi qua K Vì thế nên ta có các đường thẳng của đề bài đồng quy ở K

M

K O

H

A 1

C B

A

b) Cho hai số dương a b, thỏa mãn điều kiện a b+ ≤3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q b a= − +20 7+

b) Cho hai số dương a b, thỏa mãn điều kiện a b+ ≤3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q b a= − +20 7+

b

2

⇒ =a

Câu 5: (2,0 điểm)

Đường tròn ( )I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB BC CA, , lần lượt tại D E F, ,

Kẻ đường kính EJ của đường tròn ( )I Gọi d là đường thẳng qua A song song với BC Đường

trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Do đó tam giác BHD cân ở B

Vì AL BH nên hai tam giác ADL và BDH đồng dạng, kéo theo ADL cân ở A hay

L

H

J

I F

E

D

C B

A

b) Kéo dài JF cắt d ở T thì tương tự câu a, ta có T D E, , thẳng hàng và

Giải ra được y=2 Thay vào đề bài, ta được 3x= y3+ =1 9 nên x=2

Vậy nên tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là ( , ) (2;2).x y =

- HẾT -

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2020

Môn thi: Toán

(Dùng riêng cho thí sinh thi vào chuyên Toán, chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 3 (2,0 điểm)

Tìm số nguyên a nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức x4+2x2−4x a+ ≥0 đúng với mọi số thực .x

Bài 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )O có AB BC> Một đường tròn đi qua hai đỉnh A C, của tam giác

ABC lần lượt cắt các cạnh AB BC, tại hai điểm K N, (K N, khác các đỉnh của tam giác ABC). Giả sử đường tròn

( )O và đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt nhau tại giao điểm thứ hai là M với M khác B. Chứng minh rằng: a) Ba đường thẳng BM KN AC, , đồng quy tại điểm P

b) Tứ giác MNCP nội tiếp

c) BM2−PM2 =BK BA PC PA⋅ − ⋅

Bài 5 (1,0 điểm)

Cho hai số A B, có 2020 chữ số Biết rằng số A có đúng 1945 chữ số khác 0 bao gồm 1930 chữ số ngoài cũng về bên trái

và 15 chữ số ngoài cùng về bên phải, số B có đúng 1945 chữ số khác 0 bao gồm 1930 chữ số ngoài cũng về bên trái và 24 chữ số ngoài cũng về bên phải Chứng minh rằng ƯCLN( ; )A B là một số có không quá 1954 chữ số

- HẾT -

LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài 1.

Từ giả thiết thứ nhất, ta suy ra x y z, , là ba số cùng dấu Mà xyz >0 nên cả ba số x y z, , đều là số dương Bây giờ, đặt

Từ giả thiết, ta suy ra a b, là các số có một chữ số

Vì c +3 3 chia hết cho c +3 nên( 3)(c+ c2−3 9) (c+ − c3+ =3) 24 chia hết cho c +3 2 ( )

Do phương trình (1) có nghiệm nên biệt thức của nó không âm, tức b2−4ac≥0 3( )

Do a2020b chia hết cho 12 nên b chia hết cho 4 và a b+ +1 chia hết cho 3 4  

Do b chia hết cho 4 và b nguyên dương nên b =4 hoặc b =8

• Với b =4, ta có ac ≤4 (do (3)) và a +2 chia hết cho 3 (do (4)) Kết hợp với (2), ta tìm được các cặp ( ; )a c thỏa mãn là (1;1), (1;3) và (4;1)

• Với b =8 , ta có ac ≤16 (do (3)) và a chia hết cho 3 (do(4)) Kết hợp với (2), ta tìm được các cặp ( ; )a c thỏa mãn là (3;1), (3;3), (3;5), (6;1) và (9;1)

So sánh các kết quả, ta thấy a b c+ + lớn nhất là 18, đạt được khi a=9, b=8 và c =1

Vậy a =2 chính là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài

Bài 4

a) Vì tam giác ABC không cân tại A nên AC KN, cắt nhau, và AC BM, phải cắt nhau Gọi P là giao điểm của BM

c) Gọi ( ),( )I J theo thứ tự là đường tròn ngoại tiếp các tam giác AKC BKN,

Vẽ các tiếp tuyến Bx By, theo thứ tự của ( ),( )J O Ta có ∠xBN = ∠BKN = ∠NCA Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên ta có Bx AC Mà JB Bx⊥ nên BJ AC⊥ Tương tự, ta cũng có ∠YBA= ∠BCA= ∠NCA= ∠BKN nên

By KN , dẫn đến BO KN⊥

Mặt khác, theo tính chất đường nối tâm hai đường tròn thì vuông góc với dây cung chung, ta có OI BM⊥ ,IJ⊥KN và

OI AC⊥ Do đó BJ OI (cùng vuông góc với AC) và OB IJ (cùng vuông góc với KN) nên tú giác BOIJ là hình bình hành Hệ quả là OJ đi qua trung điểm BM (tính chất đường trung trực), nên OJ chứa đường trung bình tam giác

BIM Suy ra OJ IM , mà OJ BM⊥ nên IM ⊥BM

Kẻ các tiếp tuyến BS và CP đến đường tròn ( )I như hình vẽ Áp dụng định lý Pythagoras cho các tam giác vuông BIM

và PIM BIS, và PIT , ta có

Mà IS IT= nên BM2−PM2 =BS2 −PT2 ( )1

Dễ thấy các cặp tam giác BSA và BKS PAT, và PTC đồng dạng (g-g), ta suy ra

Đặt x = ƯCLN( ; )A B thì ta có aB cA− chia hết cho x, thức ad bc− chia hết cho .x (1)

Ta sẽ chứng minh ad bc− khác 0 Thật vậy, giả sử ad bc= , khi đó ta có c d

b > >a, mâu thuẫn Vậy ad bc− ≠0

Vì ad bc− khác 0 nên từ (1), ta suy ra ad bc x− ≥ Mặt khác, ta lại có

¿½í½ õ ì¿ õ ë¾

ï

¿¾ø¿ õ î½÷ø¾ õ î½÷æTHCS.TOANMATH.com

Dành cho thí sinh thi chuyên Toán - Tin

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

ỉò Ùở}ở ồị)4ỗỰ ểệdỗị ẻẽĩ ĩẽ ắ ụĩẽ ỉọồẻẽĩõ ĩẽ ỉ ã đ

ĩò Ùở}ở ịe ồị)4ỗỰ ểệdỗị ẽ ẽ

ĩ ĩ õ ẽĩậ õ ì ã ĩ ẽĩõ ậ

ẽĩ ậ õ ĩ ã đỡẠở ìò

Dành cho thắ sinh dự thi vào lớp chuyên Toán - Tin

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

3

x

y x

Cho phương trình: x2−5mx−4m=0 ( với m là tham số)

a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm đó b) Chứng minh rằng khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x thì: 1, 2

2 2

x + mx m+ + m+ >

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Một con Robot được thiết kế có thể đi thẳng, quay một góc 90 sang phải hoặc 0

sang trái Robot xuất phát từ vị trí A đi thẳng 2m quay sang trái rồi đi thẳng 3m, quay sang phải rồi đi thẳng 5m đến đích tại vị trí B Tính khoảng cách giữa đích đến và nơi

xuất phát của Robot

b) Cho hai số a b thỏa mãn , a b> >0 và a b = Chứng minh: 1 a2 b2 2 2

a b

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( ) O Đường cao AD BE cắt nhau ,

tại H Kéo dài BE AO cắt đường tròn , ( )O lần lượt tại F và M

a) Chứng minh HAF∆ cân

b) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh ba điểm H I M , , thẳng hàng

b) Cho n là số nguyên dương Biết rằng 2n + và 3 11 n + là hai số chính phương

Chứng minh rằng n chia hết cho 40

Hết

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐIỆN BIÊN

(Hướng dẫn chấm có 04 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học : 2020 - 2021

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

MÔN TOÁN CHUYÊN

3

x

y x

3

y y

a) Một con Robot được thiết kế có thể đi thẳng, quay một góc 90 sang 0

phải hoặc sang trái Robot xuất phát từ vị trí A đi thẳng 2m quay sang

trái rồi đi thẳng 3m, quay sang phải rồi đi thẳng 5m đến đích tại vị trí B

Tính khoảng cách giữa đích đến và nơi xuất phát của Robot

Học sinh vẽ được hình minh họa

2 3

4.a

(1,0đ)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )O Đường cao AD BE cắt ,

nhau tại H Kéo dài BE AO cắt đường tròn , ( )O lần lượt tại F và M

a) Chứng minh HAF∆ cân

Vẽ hình đúng đến câu 4.a

H

E

I D

b) Cho n là số nguyên dương Biết rằng 2 1 n + và 3 n + là hai số chính 1

phương Chứng minh rằng n chia hết cho 40

Đặt 2n+ =1 x2⇒ xlẻ ⇒2n=(x−1)(x+  vì 1 4) x−1; x+1 chẵn ⇒n chẵn

Đặt 3 1n+ = y2 ⇒ y lẻ (do n chẵn) và 3n=(y−1)(y+  vì 1 8) y−1; y+1 là

hai số chẵn liên tiếp mà (3;8) 1= ⇒ n 8 (1)

0,25

Ta có một số chính phương chia cho 5 dư 0 hoặc 1 hoặc 4

Mặt khác x2+y2 =5n+ ⇒2 x y2, 2 chia cho 5 dư 1