100 câu trắc nghiệm số phức vận dụng cao có đáp án và lời giải

Kí hiệu A B; là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm của phương trình z22bz c 0, tìm điều kiện của b và c sao cho tam giác OAB là tam giác vuông Với O là gốc tọa độ... Kí

www.thuvienhoclieu.comBÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC

VẬN DỤNG CAOCâu 1 Gọi (C ) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z=x−1+ yi , ( ,x y  )

thỏa mãn | z|=1 và N là điểm biểu diễn số phức z0=1−i Tìm điểm M thuộc

(C ) sao cho MN có độ dài lớn nhất.

Ta có: M x y ;  nằm trên đường tròn   C : x12y2 1 Tâm I1;0

Do N1; 1    C

nên MN có độ dài lớn nhất khi MN là đường kính, hay I(1;0) là

trung điểm của MN Vậy M (1;1)

Lời bình: đây là bài toán tọa độ lớp 10 , khi cho một đường tròn (C ) và một điểm N .

Tìm điểm M trên (C ) sao cho MN đạt min, max.

Câu 2 Gọi (C ) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z  x 1 yi, x y  ,  thỏa

mãn | z|=1 và N là điểm biểu diễn số phức z0=5+3 i M là một điểm thuộc

(C) sao cho MN có độ dài lớn nhất Khi đó độ dài MN lớn nhất bằng

Hướng dẫn giải Chọn A.

Ta có: M x y ;  nằm trên đường tròn   C : x12y2 1

Tâm I (1;0)

Do N (5;3) nằm ngoài (C ) nên MN có độ dài lớn nhất khi MN =NI +R=5+1=6 .

Câu 3 Gọi (C ) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z=x−1+ yi , x y  , 

thỏa mãn | z|=1 và N là điểm biểu diễn số phức z0=5+3 i M là một điểm thuộc

(C ) sao cho MN có độ dài bé nhất Khi đó độ dài MN bé nhất bằng

Hướng dẫn giải Chọn D.

Ta có: M x y ;  nằm trên đường tròn (C ):( x−1)2+ y2=1 Tâm I1;0

Do N (5;3) nằm ngoài (C ) nên MN có độ dài bé nhất khi MN =NI−R=5−1=4 .

Câu 4 Cho hai số phức z z thỏa mãn 1; 2 z15 5; z2 1 3i z2 3 6 i

Lời giải Chọn A

Gọi z1a1b i z1, 2 a2b i a b a b2 ( , , ,1 1 2 2  )

z    a  b 

Tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn tâm 1 I5;0 ; R5

Cũng theo giả thiết, ta có:

Câu 7 Kí hiệu z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 4z216z17 0 Trên mặt phẳng

tọa độ điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức   1

Câu 8 Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1 1 i 2

và z2 iz1 Tìm giá trị nhỏ nhất m của biểu thức

Do z1 1 i  nên điểm biểu diễn2 M1củaz1thuộc đường tròn tâmI  1;1bán kínhR 2

Do z2 iz1nên điểmM2 (điểm biểu diễn củaz2) là ảnh củaM1 qua phép quay tâmO, góc quay900 Suy ra z1  z2 M M1 2  2OM1ngắn nhất khiOM1ngắn nhất

www.thuvienhoclieu.com Câu 9 Tính môđun của số phức z thỏa mãn 3 z z+2017(z+ =z) 48 2016- i

A z =4 B z = 2020 C z = 2017 D z =2

Lời giải Chọn A

32

Câu 14 (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019): Xét các số phức z thỏa mãn z  2 Trên mặt

phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn của các số phức

4w1

iz z





 là một đường tròn cóbán kính bằng

Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường tròn có bán kính bằng 34

Câu 15: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

z i P

z





với z là số phứckhác 0 và thỏa mãn z 2 Tính 2M m .

13.4

Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z 3 z3 8 Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

www.thuvienhoclieu.com Câu 19: Cho số phức w x yi  (x y , R  ) thoả điều kiện w2 4 2 w

Câu 20: Cho w sin icos với 0 2

Ta có: w2 1 sinicos2  1 1 cos 2 isin 2  w2 1 2 2 cos 2  

Câu 21: Cho z z là hai số phức thỏa mãn phương trình 21, 2 z i  2 iz

, biết z1 z2 1

Tính giá trịcủa biểu thức: Pz1z2

A.

32



P

22

www.thuvienhoclieu.com HD: Cách 1 Ta có:

Biến đổi phương trình iz32z2 1 i z i    0 i z iz   2  z 1 0

Như vậy: z z là các nghiệm của phương trình (*).2; 3

 2  2

2 2

Câu 23: Cho hai số phức z ,  thỏa mãn z 1   z 3 2i ; z m i  với m   là tham số Giá

trị của m để ta luôn có  2 5 là:

A

73

m m

m m

Đặt z a ib a b  , ,   có biểu diễn hình học là điểm  M x y ; 

m m

www.thuvienhoclieu.com Chọn C.

P 

B

25350

P 

C

415

P 

185

P 

Lời giải

Ta có P x12y12  x 22y32

Xét điểm E  1;1; F2; 3 

và M x y ;  Khi đó, P ME MF  .Bài toán trở thành tìm điểm M : 8x6y25 0 sao cho ME MF đạt giá trị nhỏ nhất

Vì 8x E 8y E 25 8  x F 8y F 250 nên hai điểm E F, nằm cùng phía đối với đường thẳng 

Gọi E là điểm đối xứng với E qua 

Đường thẳngEE đi qua điểm E1; 1 

Dấu bằng xảy ra  Mlà giao điểm của E F¢ và đường thẳng 

Đường thẳng E F đi qua điểm F2; 3 

10

www.thuvienhoclieu.com Câu 27: Gọi z z1, 2 là 2 nghiệm của phương trình z 1 2i   z 1 2i

z z

1

z z

Ta cũng có

3 3

1

z z

1

z z



2 2

2

1

z z

P 

22

Cách 2: Do M , 1 M cùng thuộc đường tròn 2  T tâm O0;0, bán kính R 1 và

www.thuvienhoclieu.com Câu 30: Cho số phức z thỏa mãn

Câu 31: Cho số phức z a bi  (a , b là các số thực) thỏa mãn z  z 3 4 i và có môđun nhỏ nhất

Ta có:

3 4

a bi  a bi  i  a2b2 a 32b 42  6a8b 25 0

25 86

25 86

b b

Số phức zmin b2

32

2

MN I

www.thuvienhoclieu.com Phân tích: Bài tập tìm max, min số phức hiện tại cũng là một bài toán quen thuộc, ta có thể

sử dụng nhiều phương pháp cho loại bài toán này Với bài toán trên ta có thể dùng phươngpháp đại số, hoặc lượng giác

Câu 35: Cho hai số phức z z1; 2 thỏa mãn z1z2 5

2

MN I

Suy ra

5( ; ) (0;3);

    2 1

3MA 3MB

  Suy ra:

www.thuvienhoclieu.com Câu 37: Cho z , 1 z là hai số phức thỏa mãn 22 z i  2 iz

, biết z1 z2  Tính giá trị của biểu1thức Pz1z2

A

32

P 

22

www.thuvienhoclieu.com ChọnC

Câu 39: Cho hai số thực b c (; c 0) Kí hiệu A B; là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai

nghiệm của phương trình z22bz c 0, tìm điều kiện của b và c sao cho tam giác OAB

là tam giác vuông ( Với O là gốc tọa độ ).

Lời giải Chọn C.

Ta có  ' b2 c

Nếu  ' b2 c0 phương trình có hai nghiệmZ1,2   b ' (Loại vì O A B, , thẳng hàng)

Nếu  ' b2 c0 phương trình có nghiệm kép (Loại)

Nếu  ' b2 c0  Phương trình có hai nghiệm

Lời giải Chọn D.

Câu 41: Hcho hai số phức ,z w thỏa mãn

B. P min 2 1 C. min

5 2 22

D. min

3 2 22

Lời giải Chọn C.

Đường thẳng HI có PTTS

32

điều này cho thấy M z 

đang nằm trên hình tròn tâm I3; 2

bán kính bằng 1

w  i w  i

điều này cho thấy N w  đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường

thẳng  là trung trực của đoạn AB với A1; 2 ,  B2;1 

2 3 -2

2 3 -2

 min

22

M là giao của của BC và ( ) T  M(2; 2 3) a b 4   3

Câu 43: Giả sử z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 2i z z  1 2 i z  1 3i

B M

5

www.thuvienhoclieu.com Chọn D.

1 và A B=1, do đó tam giác OAB là tam giác đều

Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức2.

www.thuvienhoclieu.com Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn z 1 i  Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức2.

 bằng bao nhiêu?

a b

P 

52

P 

Lời giải Chọn B

b a

b a

Ta có z1  6 OM  ; 6 z2  2 iz2  2 ON  2

Gọi 1

13

và K là điểm biểu diễn số phức z

13

, với I là trung điểm KN

K

M

Câu 55: Cho số phức z a bi a b   , R thỏa mãn z2018z Hỏi có bao nhiêu cặp a b;  thỏa mãn đề

bài:

Gọi z x yi  với x y  ;

Ta có 8 z 3 z3  z 3 z 3 2z  z 4

Cách 1 Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn của z Các điểm A  2;1, B4, 7 , C1; 1 

Ta có z 2 i  z 4 7 i 6 2  MA MB 6 2, mà AB 6 2  MA MB AB  Suy ra M thuộc đoạn thẳng AB

Phương trình đường thẳng AB y:  x 3, với x   2;4 .

m 

5 2 2 732

Phương trình đường thẳng AB y:  x 3, với x   2;4 .

22

Câu 59: Biết phương trình:

Câu 60: Cho hai số thực b và c c 0

Kí hiệuA, B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức củaphương trình z22bz c 0 trong mặt phẳng phức Tìm điều kiện của b và c để tam giácOAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).



Lời giải Chọn B.

Ta có: 4z2 4(m 1)z m 2  3m0 Vì z1z2  1 m và z z1 2 m2 3mlà số thực

m m

5

a b

a b

P 

12

P 

Lời giải Chọn C.

www.thuvienhoclieu.com A.

73

S 

73

S 

Lời giải Chọn B.

Gọi M x y( ; ) là điểm biểu số phức z x yi x y ( ,  ) thỏa bài toán

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng 6x4y 3 0

Câu 66: Cho số phức z thỏa mãn 2 z 2 3 i 2 1 2i  z Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z

trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A 20x16y 47 0 B 20x16y 47 0

C.20x16y47 0 D 20x16y47 0

Lời giải Chọn A.

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng 20x16y 47 0

Câu 67: Tìm tập hợp các số phức z thỏa z thỏa z4 z 4 10

Ta có với mọi a   thì phương trình z23z a 2 2a luôn có nghiệm phức.0

2 o

2 2

Đặt

2 2

Khi đó Pmax  , 4 P  nên chọn A.min 3

Câu 70: Cho số phức z thỏa z 1 , gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

2 2

Câu 71: Xét số phức z thỏa mãn iz 2i 2  z 1 3i  34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(1 ) 2

P i z i

A P min 4 2 B P min 26 C min

9.17

P 

D Pmin 3 2

Lời giải Chọn A.

Gọi M x y A B I lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z, 2 2 , 1 3 , 1 ( ; ), , ,  i   i   i

Câu 72: Cho số phức z thỏa mãn z 2 i  z 4 7 i 6 2 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của z  Khi đó 1 i P M 2m2 bằng

Khi đó từ giả thiết z 2 i  z 4 7 i 6 2 suy ra NF1NF2 6 2

Mà F F 1 22 72 NF1NF2 F F1 2



3 6 1317



6 13 317



3 6 1317

 

Lời giải Chọn A.

Gọi A(0; 3), (4;1) B lần lượt là các điểm biểu diễn của z z 1, 2

Do |z i | 2 nên tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn ( )C tâm I(0;1), bán kính2

Lấy M( )C là điểm biểu diễn của z Ta có T MA2MB

Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng BM và ( )C

M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T z z z 1  z z 2 Tính

Vì A B O, , cùng thuộc đường tròn (C) và tam giác OAB đều nên suy ra:

m min T 2OA  , khi đó K trùng với O hoặc 2 A hoặc B

a 

và

53

b 

www.thuvienhoclieu.com Câu 76: Cho số phức z thỏa mãn z 1, gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

suy ra Pmin  3 m P, max  4 M  M m  1

Nên Pw w 6 2 w 1 2x6 2 x12y2 2x3 2 2x2

.Đặt f x  2x3 2 2x2,x  1;1

Bảng biến thiên

Vậy Pmin  3 m P, max  4 M  M m  1

www.thuvienhoclieu.com Câu 77: Cho số phức z thay đổi và thỏa mãn z 1 i  Tìm giá trị lớn nhất của biểu5thức P2 z 8i  z 7 9 i bằng

Phân tích : mục tiêu tìm tọa độ điểm C sao cho MB2MC, nhận thấy IB2IM 2R nên ta

có hai cách tìm tọa độ điểm C như sau :

C  

  thì MB2MC

Cách 2 : Lấy điểm C thỏa mãn

14

C  

Ta có : P2MA MB 2MA MC 2AC5 5

Dấu « = » đạt được khi điểm C nằm trên đoạn AM

Câu 78: Cho các số phức z thỏa mãn z24 z 2i z   1 2 i

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 3 2i

A.P min 4. B. P min 2. C. min

72

P 

D. P min 3.

Lời giải Chọn D.

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức.

;2

M d x

.Gọi I  3;2 thì P IM Khi đó IMmin  3 hoặc min

7( ; )

2

d I d

Vậy P min 3.

P 

C. Pmax  106 D. Pmax  53

Lời giải Chọn C.

Gọi M x y ; , A1;1, B8;3, C   1; 2 lần lượt là điểm biểu diễn các số phức

Câu 80: Biết z z1, 2  5 4i và z là ba nghiệm của phương trình 3 z3bz2cz d 0 b c d, ,   ,

trong đó z là nghiệm có phần ảo dương Phần ảo của số phức 3 w z 1 3z22z3 bằng:

A 12 B  8 C.4 D.0

Lời giải Chọn C.

Xét phương trình z3bz2cz d 0 b c d, ,   là phương trình bậc ba với hệ số thực nênluôn có một nghiệm thực là z 1

Do đó phương trình tương đương với:    2   

 

1 2

Suy ra z3  5 4i

Khi đó : w z 1 3z22z3  z1 3 5 4  i2 5 4  i  25 2 z3 4i

.Vậy phần ảo của w z 1 3z22z3 là 4

Câu 81: Biết rằng hai số phức z ,1 z thỏa mãn 2 z1 3 4 i 1

P 

994513

P 

Lời giải Chọn C.

Đặt z3 2z2 thì z3 6 8 i 1 và P z z1  z z 3 2

Gọi M , A, B lần lượt là các điểm biểu diễn cho z , z và 1 z Khi đó:3

Điểm A nằm trên đường tròn  C1 có tâm I13; 4 , bán kính R  ;1 1

Điểm B nằm trên đường tròn C3 có tâm I36;8, bán kính R 3 1

Và điểm M nằm trên đường thẳng d: 3x 2y12 0

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của P MA MB  2

P I I 

Câu 82: Cho z , 1 z là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 z 5 3 i  , đồng thời5

z  z  Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w z 1 z2 trong mặt phẳng tọa độ

Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây?

P 

13 12

Lời giải Chọn B.

        a5b Suy ra tập hợp điểm 3 M biểu diễn số

phức z là phần tô đậm như trên đồ thị có tính biên là đường thẳng : x5y3



1

d

Cách 2:

Đặt w z 2 2 i

Ta có

z  z (z 1 2 )(i z3 1)i(z 1 2 ) (i z 1 2 )i

Phân tích: Minh họa các điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức ta thấy rằng tứ giác MNN M luôn là hình thanh cân (MM ∥ NN), nên để MNN M là hình chữ nhật ta chỉ cần có thêm điều kiện là tứ giác có một góc vuông nữa hoặc MMNN

Giả sử: z a bi a b   ,   Ta có M a b ;  và M a b ; 

* Khi đó: z4 3 i  4a 3b  3a4b i

.Suy ra N4a 3 ;3b a4b

Câu 88: Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M ; số

phức z4 3 i có điểm biểu diễn là N Gọi M N,  lần lượt là hình chiếu của trên trục Biết rằng tứ giác hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải Chọn A

Câu 89: Trong mặt phẳng phức, xét số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là

; số phức có điểm biểu diễn là Gọi là điểm đối xứng với qua đường thẳng Biết rằng tứ giác là hình thoi Tìm phần ảo của để

25

534

413

www.thuvienhoclieu.com Chọn A

Phân tích: Dựa vào tính chất hình thoi là tứ giác có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau

tại trung điểm của mỗi đường

Phân tích: Từ yêu cầu bài toán ta nghĩ đến BĐT Bunhiacopxki, vấn đề còn lại là biến đổi để

xuất hiện thì bài toán được giải quyết xong

Ta có

Câu 91: Cho số phức và thỏa mãn và (hoặc

và ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Gọi là điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng Ta có

i z

Gọi các điểm biểu diễn của các số phức , , lần lượt là , ,

.Suy ra giá trị lớn nhất của bằng

Câu 94: Cho số phức thoả mãn Giá trị lớn nhất của biểu thức

bằng

Lời giải Chọn B.

2

2

MN OE

Tập hợp biểu diễn thuộc các phần đường tròn cùng bán kính là có tâm là

, , , nằm chọn vẹn trong góc phần tư (bỏ đi các cungnhỏ)

Nhận xét: Nếu bài yêu cầu tìm thì ta cũng làm tương tự

Câu 95: Cho số phức thoả mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

51015

Câu 100: Cho hai điểm A , là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự , khác và

thỏa mãn đẳng thức Hỏi ba điểm , , tạo thành tam giác gì? ( là gốctọa độ) ? Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất

A Cân tại B Vuông cân tại C Đều D Vuông tại

Lời giải

Chọn C.

Hai điểm , là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự ,

Theo giả thiết suy ra: , và

.Xét

.Vậy hay tam giác là tam giác đều