Phân tích đa thức thành các đa thức bất khả quy để xây dựng các mã cyclic trên trường hữu hạn

Lþ thuy¸t m¢ cán xû lþ nhúng °ct½nh cõa m¢ v do vªy phò hñp vîi nhúng ùng döng cö thº.. Thíinay, vîi sü ph¡t triºn r§t nhanh cõa cæng ngh» thæng tin, v m¤ng internet th¼m¢ hâa thæng tin

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

 o0o 

NGUY™N THÀ H€

PH…N TCH A THÙC TH€NH CC A THÙC B‡T KHƒ QUY š X…Y DÜNG CC M‚ CYCLIC TR–N

TR×ÍNG HÚU H„N

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

THI NGUY–N, 8/2020

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

 o0o 

NGUY™N THÀ H€

PH…N TCH A THÙC TH€NH CC A THÙC B‡T KHƒ QUY š X…Y DÜNG CC M‚ CYCLIC TR–N

TR×ÍNG HÚU H„N

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p To¡n sì c§p M¢ sè: 8 46 01 13

NG×ÍI H×ÎNG DˆN KHOA HÅC:

TS NGUY™N TRÅNG BC

Th¡i Nguy¶n, 8/2020

Möc löc

1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 7

1.1 Tr÷íng húu h¤n 7

1.2 V nh a thùc tr¶n tr÷íng húu h¤n 9

1.3 a thùc b§t kh£ quy 13

2 Ph¥n t½ch a thùc th nh c¡c a thùc b§t kh£ quy º x¥y düng c¡c m¢ cyclic tr¶n tr÷íng húu h¤n 18 2.1 Ph¥n t½ch a thùc xn − 1 th nh c¡c a thùc b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng húu h¤n 18

2.1.1 Ph¥n t½ch a thùc xn− 1 tr¶n Fq khi (n, q) = 1 18

2.1.2 Ph¥n t½ch a thùc xn− 1 tr¶n Fq khi (n, q) 6= 1 23

2.2 M¢ cyclic 25

2.3 X¥y düng m¢ cyclic tr¶n tr÷íng húu h¤n 32 2.3.1 X¥y düng m¢ cyclic tr¶n tr÷íng húu h¤n khi (n, q) = 1 32 2.3.2 X¥y düng m¢ cyclic tr¶n tr÷íng húu h¤n khi (n, q) 6= 1 36

LÍI NÂI †U

Lþ thuy¸t m¢ xu§t hi»n l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1948 bði mët cæng tr¼nh cõa

C E Shannon v· lþ thuy¸t to¡n håc cho l¾nh vüc truy·n thæng Tø â ¸nnay, lþ thuy¸t n y ¢ v  ang âng gâp º gi£i quy¸t nhi·u v§n · quan trångtrong thæng tin li¶n l¤c Nâ ÷ñc ùng döng nhi·u trong c¡c l¾nh vüc nh÷: thængtin i»n tû, thu ph¡t thanh, b£o mªt

Lþ thuy¸t m¢ hâa l  mët ng nh cõa to¡n håc v  khoa håc i»n to¡n nh¬mgi£i quy¸t t¼nh tr¤ng léi d¹ x£y ra trong qu¡ tr¼nh truy·n thæng sè li»u tr¶n c¡ck¶nh truy·n câ ë nhi¹u cao, dòng nhúng ph÷ìng ph¡p tinh x£o khi¸n ph¦nlîn c¡c léi x£y ra câ thº ÷ñc ch¿nh sûa Lþ thuy¸t m¢ cán xû lþ nhúng °ct½nh cõa m¢ v  do vªy phò hñp vîi nhúng ùng döng cö thº

Lþ thuy¸t m¢ hâa l  mët trong nhúng l¾nh vüc quan trång cõa to¡n håc,

câ £nh h÷ðng ¸n r§t nhi·u l¾nh vüc khoa håc-cæng ngh» v  kinh t¸-x¢ hëi.Thüc t¸ cho th§y lþ thuy¸t m¢ hâa ¢ væ còng quan trång tø xa x÷a Thíinay, vîi sü ph¡t triºn r§t nhanh cõa cæng ngh» thæng tin, v  m¤ng internet th¼m¢ hâa thæng tin c ng âng vai trá quan trång M¢ hâa l  mët ph÷ìng ph¡pb£o v» thæng tin, b¬ng c¡ch chuyºn êi thæng tin tø d¤ng rã (thæng tin câ thºd¹ d ng åc hiºu ÷ñc) sang d¤ng mí (thæng tin ¢ bà che i, n¶n khæng thº

åc hiºu ÷ñc, º åc ÷ñc ta c¦n ph£i gi£i m¢ nâ) Nâ gióp ta câ thº b£o v»thæng tin, º nhúng k´ ¡nh c­p thæng tin, dò câ ÷ñc thæng tin cõa chóng

ta, công khæng thº hiºu ÷ñc nëi dung cõa nâ M¢ hâa s³ mang l¤i t½nh an

to n cao hìn cho thæng tin, °c bi»t l  trong thíi ¤i internet ng y nay, khi

m  thæng tin ph£i i qua nhi·u tr¤m trung chuyºn tr÷îc khi ¸n ÷ñc ½ch.Sau ¥y, chóng tæi ch¿ ra mët v i ùng döng cõa mët sè m¢ cö thº

M¢ ISBN (International Standard Book Number) l  m¢ sè ti¶u chu©n quèc

t¸ câ t½nh ch§t th÷ìng m¤i duy nh§t º x¡c ành ÷ñc c¡c thæng tin v· mëtquyºn s¡ch b§t ký (ngæn ngú cõa cuèn s¡ch, quèc gia xu§t b£n, l¾nh vüc cõacuèn s¡ch, ).

M¢ BCH (BoseChaudhuriHocquenghem codes) l  mët lo¤i m¢ cyclic v 

l  lo¤i m¢ sûa léi quan trång, câ kh£ n«ng sûa ÷ñc nhi·u léi v  ÷ñc ùng döngrëng r¢i Lîp m¢ BCH câ 2 lîp con l  m¢ BCH nhà ph¥n v  m¢ BCH khængnhà ph¥n Trong sè nhúng m¢ BCH khæng nhà ph¥n n y, lîp quan trång nh§t

l  m¢ Reed - Solomon M¢ Reed - Solomon ÷ñc Reed v  Solomon giîi thi»ul¦n ¦u ti¶n v o n«m 1960, l  mët m¢ sûa sai thuëc lo¤i m¢ tuy¸n t½nh M¢Reed - Solomon ÷ñc sû döng º sûa c¡c léi trong nhi·u h» thèng thæng tin

sè v  trong l÷u trú, bao gçm: C¡c thi¸t bà l÷u trú (b«ng tø, ¾a CD, VCD, ),thæng tin di ëng hay khæng d¥y (i»n tho¤i di ëng, c¡c ÷íng truy·n Viba),thæng tin v» tinh, truy·n h¼nh sè DVB, c¡c modem tèc ë cao nh÷: ADSL,VDSL M¢ Reed - Solomon °c bi»t quan trång trong vi»c sûa c¡c bit léix£y ra g¦n nhau M¢ BCH ÷ñc dòng cho c¡c c¥y ATM, trong h» thèng giaodàch cõa c¡c ng¥n h ng,

M¢ Hadamard ÷ñc dòng trong vi»c truy·n thæng tin v  h¼nh £nh tø c¡c

t u vô trö, c¡c v» tinh v· Tr¡i §t Trong mæi tr÷íng nhi¹u lo¤n khæng kh½lîn th¼ thæng tin v  h¼nh £nh s³ bà bâp m²o, thay êi khi ÷ñc truy·n trongmæi tr÷íng nhi¹u lo¤n khæng kh½, v¼ th¸ vai trá cõa m¢ Hadamard l  r§t quantrång trong vi»c kh¡m ph¡ vô trö C¡c lîp m¢ cyclic ÷ñc dòng trong qu¥n

ëi cõa c¡c quèc gia ¢ âng gâp lîn tîi vi»c b£o mªt thæng tin v  truy·n ¤tthæng tin tø quèc gia tîi qu¥n ëi

M¢ l÷ñng tû ÷ñc giîi thi»u l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1996 bði Shor [6] Trongm¡y t½nh thæng th÷íng, dú li»u ch¿ ÷ñc l÷u d÷îi d¤ng 0 v  1, cán m¡y t½nhl÷ñng tû sû döng qubits (quantum bits) cho ph²p m¡y t½nh ghi dú li»u ð nhi·utr¤ng th¡i còng lóc (v½ dö câ thº l  0, câ thº l  1 ho°c câ thº còng lóc l  0

v  1), i·u n y cho ph²p m¡y t½nh l÷ñng tû xû lþ ÷ñc nhúng ph²p t½nh phùct¤p hìn Ng÷íi ta t½nh to¡n r¬ng c¡c m¡y t½nh l÷ñng tû s³ gi£i quy¸t c¡c v§n

· phùc t¤p nhanh hìn b§t ký m¡y t½nh cê iºn n o M¡y t½nh l÷ñng tû cì

b£n khai th¡c c¡c quy t­c cõa cì håc l÷ñng tû º t«ng tèc ë t½nh to¡n Vi»cx¥y düng mët m¡y t½nh l÷ñng tû v¨n l  mët nhi»m vö khâ kh«n nh÷ng b÷îc

¦u ¢ câ nhúng th nh cæng tø c¡c tªp o n lîn tr¶n th¸ giîi nh÷ Intel, IBM,Microsoft, v  Google Cho ¸n nay, m¡y t½nh l÷ñng tû khæng ch¿ døng l¤i l cuëc c¤nh tranh v· cæng ngh» giúa c¡c tªp o n cæng ngh» lîn m  nâ cán l cuëc c¤nh tranh giúa c¡c c÷íng quèc º phöc vö cho ho¤t ëng t¼nh b¡o nâiri¶ng v  quèc pháng nâi chung Sü ra íi cõa m¡y t½nh l÷ñng tû s³ l m choc¡c h» mªt nêi ti¸ng nh÷ DES (the Data Encryption Standard), RSA, s³ bàph¡ trong t÷ìng lai g¦n

Mªt m¢ DES câ thº xem l  tuy»t èi an to n v¼ º gi£i ÷ñc nâ c¦n ph£ikiºm tra mët danh s¡ch r§t lîn c¡c ch¼a kho¡ m¢ ti·m n«ng V½ dö n¸u chóng

ta sû döng mët m¡y t½nh cê iºn vîi 64 bits, khi â s³ câ 264 tr¤ng th¡i Vîimët m¡y t½nh cê iºn, cù cho l  méi gi¥y kiºm tra ÷ñc 2 t tr¤ng th¡i th¼ côngc¦n kho£ng 300 n«m ch¤y m¡y li¶n töc mîi ch¤y ÷ñc h¸t 264 tr¤ng th¡i-â

l  mët kho£ng thíi gian phi thüc ti¹n Trong khi â, mët m¡y t½nh l÷ñng tûdòng thuªt to¡n l÷ñng tû Grover câ thº d¹ d ng ho n t§t vi»c n y trong thíigian 4 phót Thuªt to¡n m¢ hâa cæng khai RSA ang ÷ñc ùng döng rëng r¢itrong ng¥n h ng, giao dàch trüc tuy¸n v  r§t nhi·u ùng döng an ninh m¤ngkh¡c Sü an to n cõa m¢ RSA n¬m ð ché m¡y t½nh truy·n thèng khæng thºph¥n t½ch nhanh mët sè nûa nguy¶n tè (semiprime) lîn n th nh t½ch cõa 2 sènguy¶n tè lîn p v  q (n = pq) V· m°t to¡n håc ¥y l  mët b i to¡n phùc t¤p,ch¯ng h¤n º ph¥n t½ch mët sè ch¿ gçm 129 chú sè th¼ 600 m¡y t½nh cê iºn

¢ ph£i hñp lüc l m vi»c li¶n töc trong v i th¡ng Tuy nhi¶n, mët m¡y t½nhl÷ñng tû dòng thuªt to¡n l÷ñng tû Shor câ thº ph¥n t½ch mët sè lîn hìn c£tri»u l¦n trong kho£ng thíi gian ng­n hìn công c£ tri»u l¦n

Trong l¾nh vüc sinh håc, kh¡i ni»m m¢ DNA ÷ñc ÷a ra l¦n ¦u ti¶n v on«m 2003, nh¬m gióp nhªn di»n c¡c m¨u vªt M¢ DNA sû döng mët tr¼nh tüDNA ng­n n¬m trong bë gene cõa sinh vªt nh÷ l  mët chuéi kþ tü duy nh§tgióp ph¥n bi»t hai lo i sinh vªt vîi nhau Nh÷ vªy m¢ DNA l  mët ph÷ìngph¡p ành danh m  nâ sû döng mët o¤n DNA chu©n ng­n n¬m trong bë gene

cõa sinh vªt ang nghi¶n cùu nh¬m x¡c ành sinh vªt â thuëc v· lo i n o.M¢ v¤ch DNA r§t húu ½ch trong vi»c t¼m mèi quan h» giúa c¡c m¨u m°c dòchóng h¦u nh÷ khæng gièng nhau v· h¼nh th¡i M¢ v¤ch DNA công ÷ñc ùngdöng t¤i h£i quan nh¬m hé trñ vi»c x¡c ành nguçn gèc cõa sinh vªt sèng ho°c

h ng nhªp kh©u, º ng«n c£n sü vªn chuyºn tr¡i ph²p c¡c lo i thüc vªt v 

ëng vªt quþ hi¸m qua bi¶n giîi M¢ DNA gióp kiºm so¡t t¡c nh¥n g¥y h¤itrong næng nghi»p, gióp ành danh nhanh chèng c¡c lo i g¥y b»nh ð giai o¤nti·m ©n (giai o¤n §u tròng), hé trñ ch÷ìng tr¼nh kiºm so¡t s¥u b»nh b£o v»c¥y trçng Ngo i ra, m¢ DNA gióp x¡c ành vªt chõ trung gian g¥y b»nh, b£ov» lo i nguy c§p v  kiºm tra ch§t l÷ñng n÷îc

Qua mët sè v½ dö v· c¡c lîp m¢ cyclic ¢ n¶u ð tr¶n, gióp chóng ta th§y

÷ñc ph¦n n o vai trá quan trång cõa m¢ cyclic trong cuëc sèng, trong khoahåc k¾ thuªt

¦u ti¶n, lþ thuy¸t m¢ ÷ñc nghi¶n cùu tr¶n tr÷íng húu h¤n v  c¡c k¸tqu£ cì b£n ¢ ÷ñc óc k¸t trong hai quyºn s¡ch cõa Huffman v  Berlekamp[5] Sau â, c¡c nh  to¡n håc ¢ mð rëng nghi¶n cùu v· m¢ tr¶n c¡c v nh húuh¤n H¦u h¸t c¡c nghi¶n cùu tªp trung trong tr÷íng hñp ë d i cõa m¢ câ li¶nquan ¸n °c sè cõa tr÷íng N¸u ë d i cõa m¢ chia h¸t cho °c sè cõa tr÷íngth¼ m¢ ÷ñc gåi l  m¢ nghi»m l°p N¸u ë d i cõa m¢ khæng chia h¸t cho °c

sè cõa tr÷íng th¼ m¢ â ÷ñc gåi l  m¢ nghi»m ìn

Nghi¶n cùu v· m¢ tr¶n v nh giao ho¡n húu h¤n, °c bi»t l  m¢ nghi»m l°ptr¶n lîp c¡c v nh chuéi húu h¤n công ÷ñc nhi·u nh  to¡n håc quan t¥m v c¡c nh  to¡n håc công ¢ ÷a ra ÷ñc nhi·u k¸t qu£ tèt Trong luªn v«n n y,chóng tæi sû döng c¡c k¸t qu£ cõa To¡n håc º x¥y düng v  nghi¶n cùu m¢cyclic tr¶n tr÷íng húu h¤n

Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n l : tr¼nh b y sü ph¥n t½ch a thùc th nh c¡c

a thùc b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng húu h¤n Sau â sû döng k¸t qu£ cõa süph¥n t½ch n y º x¥y düng c¡c m¢ cyclic tr¶n tr÷íng húu h¤n Luªn v«n gçm

2 ch֓ng:

Trong ch÷ìng 1, chóng tæi tr¼nh b y ành ngh¾a tr÷íng húu h¤n, c§u tróccõa tr÷íng húu h¤n Sau â chóng tæi tr¼nh b y v nh a thùc tr¶n tr÷íng húu

h¤n Cuèi ch÷ìng 1 chóng tæi ÷a ra mët sè ki¸n thùc v· a thùc b§t kh£ quy.Trong ch÷ìng 2, chóng tæi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n l : ph¥nt½ch a thùc th nh c¡c a thùc b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng húu h¤n, m¢ cyclic,x¥y düng c¡c m¢ cyclic tr¶n tr÷íng húu h¤n º t¼m t§t c£ c¡c m¢ cyclic tr¶ntr÷íng húu h¤n Fq, trong â q = pm (p l  sè nguy¶n tè b§t k¼) chóng tæi it¼m nhúng i¶an cõa v nh Rn = Fq[X]/ hxn− 1i

Nëi dung nghi¶n cùu cõa luªn v«n g­n li·n vîi to¡n sì c§p, °c bi»t l  b ito¡n ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû r§t ÷ñc quan t¥m ð bªc håc phê thæng.Luªn v«n n y ÷ñc thüc hi»n t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡iNguy¶n v  ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa Ti¸n s¾ Nguy¹n Trång B­c Tæixin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c tîi ng÷íi h÷îng d¨n khoahåc cõa m¼nh

Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤ihåc Th¡i Nguy¶n, Ban chõ nhi»m khoa To¡n  Tin còng c¡c gi£ng vi¶n ¢tham gia gi£ng d¤y, ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º tæi håc tªp v  nghi¶ncùu

Tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn Sð Gi¡o döc v   o t¤o t¿nh Th¡i Nguy¶n,Ban Gi¡m hi»u v  c¡c çng nghi»p tr÷íng THPT Ho ng Quèc Vi»t, huy»n VãNhai, t¿nh Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh tèt nhi»m vö håctªp v  cæng t¡c cõa m¼nh

Cuèi còng tæi xin gûi líi c£m ìn tîi gia ¼nh th¥n y¶u, c£m ìn nhúng ng÷íib¤n th¥n thi¸t ¢ gióp ï ëng vi¶n kh½ch l» tæi trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶ncùu Xin ch¥n th nh c£m ìn

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 8 n«m 2020

T¡c gi£

Nguy¹n Thà H 

F∗ = F\{0} công l  nhâm giao ho¡n vîi ph²p nh¥n câ ph¦n tû ìn và l  mët

v  k½ hi»u l  1; v  ph²p nh¥n ph¥n phèi vîi ph²p cëng Mët tr÷íng l  húu h¤nn¸u sè ph¦n tû cõa F l  húu h¤n; Sè ph¦n tû cõa F ÷ñc gåi l  c§p cõa F.V½ dö 1.1 (i) Tªp hñp c¡c sè nguy¶n Z khæng l  mët tr÷íng v¼ 3 ∈ Z khængkh£ nghàch

(ii) C¡c tªp hñp sè húu t¿ Q, sè thüc R, sè phùc C còng vîi ph²p cëng v nh¥n, t¤o th nh mët tr÷íng

(iii) Tªp hñp Q[√2] = {a + b√

2 : a, b ∈ Q} âng k½n vîi ph²p cëng v  nh¥nthæng th÷íng, v  còng vîi hai ph²p to¡n n y, Q[√2]l  mët tr÷íng, ph¦n

tû khæng l  0 + 0√2, ph¦n tû ìn và l  1 + 0√2, ph¦n tû èi cõa ph¦n

tû a + b√2 l  −a − b√2 v  n¸u x = a + b√2 6= 0 + 0√

2 th¼ nghàch £ocõa x l  a

a2− 2b2 − b

a2− 2b2

√2

V½ dö 1.2 Tr÷íng húu h¤n F2 vîi hai ph¦n tû {0, 1}, ph²p cëng v  ph²p nh¥n

÷ñc thüc hi»n nh÷ sau:

+ 0 1

0 0 1

1 1 0 0 1

0 0 0

1 0 1

¥y công l  v nh cõa c¡c sè nguy¶n modulo 2

V½ dö 1.3 Tr÷íng húu h¤n F3 vîi ba ph¦n tû {0, 1, 2}, ph²p cëng v  ph²pnh¥n ÷ñc cho bði ph²p cëng v  ph²p nh¥n modulo 3:

vîi a l  h» sè cao nh§t cõa f(x) v  α1, , αn ∈ E Ta nâi E l  tr÷íng ph¥nr¢ cõa f(x) tr¶n K n¸u f(x) ph¥n r¢ tr¶n E v  khæng ph¥n r¢ tr¶n b§t cùtr÷íng con thüc sü n o cõa E.

M»nh · 1.1 Cho E/K l  mð rëng tr÷íng v  α ∈ E l  ph¦n tû ¤i sètr¶n K Gi£ sû p(x) ∈ K[x] l  a thùc b§t kh£ quy nhªn α l m nghi»m Khi

â K(α) = K[α] v  [K(α) : K] = deg p(x) Hìn núa n¸u deg p(x) = n th¼

câ hai nghi»m phùc l  x1 = −16 +

√ 11

6 i; x2 = −16 −

√ 11

a0, · · · , an ∈ V v  x l  mët k½ hi»u gåi l  bi¸n Ta công vi¸t a thùc n y d÷îid¤ng f(x) = P aixi, trong â ai = 0 vîi måi i > n Hai a thùc P aixi v 

P bixi l  b¬ng nhau n¸u ai = bi vîi måi i

K½ hi»u V [x] l  tªp c¡c a thùc mët bi¸n x vîi h» sè tr¶n V Cho

f (x) = anxn + an−1xn−1+ · · · + a1x + a0 ∈ V [x] Ta gåi a0 l  h» sè tü do cõa

f (x) N¸u an 6= 0 th¼ n ÷ñc gåi l  bªc cõa f(x) v  ÷ñc k½ hi»u l  deg f(x)

ành ngh¾a 1.5 Vîi hai a thùc f(x) = P aixi v  g(x) = P bixi trong V [x],

ành ngh¾a

f (x) + g(x) = X(ai+ bi)xi

f (x)g(x) =Xckxk,trong â ck = P

i+j=kaibj vîi måi k Khi â V [x] l  mët v nh vîi ph²p cëng

v  nh¥n a thùc V nh V [x] ÷ñc gåi l  v nh a thùc mët bi¸n x vîi h» sètrong V Ph¦n tû khæng cõa v nh l  a thùc 0, ph¦n tû ìn và l  a thùc 1.Sau ¥y, luªn v«n tr¼nh b y mët ành l½ º bê trñ cho vi»c ph¥n t½ch athùc th nh nh¥n tû s³ ÷ñc nghi¶n cùu ð ch÷ìng sau

ành l½ 1.3 (ành l½ chia vîi d÷) Gi£ sû g(x) ∈ V [x] l  a thùc câ h» sè caonh§t kh£ nghàch trong V Khi â vîi méi f(x) ∈ V [x], tçn t¤i duy nh§t mëtc°p a thùc q(x), r(x) ∈ V [x] sao cho f(x) = q(x)g(x)+r(x) vîi r(x) = 0 ho°cdeg r(x) < deg g(x)

Chó þ 1.1 Cho f(x) ∈ V [x] v  a ∈ V Ta câ l÷ñc ç sau ¥y gåi l  l÷ñc çHorner º t¼m th÷ìng v  d÷ cõa ph²p chia f(x) cho x−a Gi£ sû f(x) = anxn+

· · · + a1x + a0 vîi an 6= 0 Chia f(x) cho x − a ta ÷ñc f(x) = (x − a)q(x) + r,trong â r ∈ V v  deg q(x) = n − 1 Gi£ sû q(x) = bn−1xn−1+ · · · + b1x + b0

çng nh§t c¡c h» sè ta câ thº t¼m nhanh sè d÷ r v  c¡c h» sè bn−1, , b1, b0cõa q(x) nh÷ sau:

bi−1 = ai+ abi

Ph¦n ti¸p theo luªn v«n tr¼nh b y thuªt to¡n t¼m th÷ìng q(x) v  d÷ r(x)trong ph²p chia f(x) cho g(x) vîi f(x), g(x) ∈ K[x], g(x) 6= 0 N¸u f(x) = 0ho°c deg f(x) < deg g(x) th¼ ta chån q(x) = 0 v  r(x) = f(x) Gi£ sû

f (x) 6= 0 v  deg f(x) ≥ deg g(x) °t deg f(x) = n v  deg g(x) = m.Gåi an, bm l¦n l÷ñt l  h» sè cao nh§t cõa f(x) v  g(x) V¼ K l  tr÷íng n¶ntçn t¤i ph¦n tû b−1

m ∈ K sao cho bmb−1m = 1 Chån h(x) = anb−1m xn−m °t

f1(x) = f (x) − g(x)h(x) Khi â f1(x) = 0 ho°c deg f1(x) < deg f(x) N¸u

f1(x) = 0 ho°c deg f1(x) < deg g(x) th¼ d÷ cõa ph²p chia l  r(x) = f1(x) v th÷ìng l  q(x) = h(x) N¸u f1(x) 6= 0ho°c deg f1(x) ≥ deg g(x) th¼ ta ti¸p töc

l m t÷ìng tü èi vîi c°p a thùc f1(x)v  g(x) ta ÷ñc a thùc f2(x) v  h1(x)thäa m¢n f2(x) = f1(x) − g(x)h1(x), trong â f2(x) = 0 ho°c deg f2(x) < deg

f1(x).Cù ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n cho ¸n khi ta ÷ñc d¢y f1(x), f2(x), , fk(x)

gçm c¡c a thùc vîi deg f(x) > deg f1(x) > · · · > deg fk−1(x) ≥ deg g(x) v 

fk(x) l  a thùc ho°c b¬ng 0 ho°c câ bªc b² hìn bªc cõa g(x) Cö thº

f1(x) = f (x) − g(x)h(x), deg f(x) > deg f1(x) ≥ deg g(x),

f2(x) = f1(x) − g(x)h1(x), deg f1(x) > deg f2(x) ≥ deg g(x),

f1(x) = f (x) − xg(x) = 10x2− 4x + 4

f2(x) = f1(x) − 5g(x) = 6x + 9

Thuªt to¡n n y døng l¤i ð ¥y v¼ deg f2(x) = 1 < 2 = deg g(x) Do â

f (x) = (x + 5)g(x) + 6x + 9

Vªy th÷ìng cõa ph²p chia l  q(x) = x + 5 v  d÷ l  r(x) = 6x + 9

ành ngh¾a 1.6 Cho V 6= 0 l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và Mët tªp con

I cõa V ÷ñc gåi l  mët i¶an cõa V n¸u 0 ∈ V, a − b ∈ V, av ∈ V vîi måi

a, b ∈ V v  vîi måi v ∈ V Chó þ r¬ng n¸u I l  i¶an cõa V th¼ ph²p cëng l 

âng trong I (tùc l  a + b ∈ I vîi måi a, b ∈ I) v  I l  mët nhâm vîi ph²pcëng Rã r ng {0} l  i¶an b² nh§t cõa V v  V l  i¶an lîn nh§t cõa V.Cho A l  mët tªp con cõa V Khi â A chùa trong ½t nh§t mët i¶an cõa V,ch¯ng h¤n V Giao cõa t§t c£ c¡c i¶an cõa V chùa A l  i¶an nhä nh§t cõa

V chùa A I¶an n y ÷ñc gåi l  i¶an sinh bði A v  ÷ñc k½ hi»u l  (A) N¸u

A = {a1, , an} th¼ ta vi¸t (A) = (a1, , an) hay (A) = (a1, , an) Mëti¶an I cõa V ÷ñc gåi l  i¶an húu h¤n sinh n¸u tçn t¤i mët tªp A húu h¤n

º I = (A) Chó þ r¬ng n¸u A = ∅ th¼ (A) = {0} N¸u A = {a} th¼ (A) ÷ñcgåi l  i¶an ch½nh sinh bði a v  k½ hi»u bði (a) Ta câ (a) = {ax|x ∈ V } N¸u

b khæng l  ÷îc cõa a Ph¦n tû p ∈ V ÷ñc gåi l  ph¦n tû b§t kh£ quy n¸u nâkh¡c 0, khæng kh£ nghàch v  khæng câ ÷îc thüc sü Tø ¥y ta câ kh¡i ni»m athùc b§t kh£ quy trong v nh a thùc V [x]

Bê · 1.4 Tr¶n mët tr÷íng K, c¡c ph¡t biºu sau l  óng

(i) a thùc bªc nh§t luæn b§t kh£ quy

(ii) a thùc bªc 2 v  bªc 3 l  b§t kh£ quy n¸u v  ch¿ n¸u nâ khæng câ nghi»mtrong K

Chùng minh (i) D¹ th§y a thùc bªc nh§t khæng thº ph¥n t½ch th nht½ch cõa hai a thùc câ bªc th§p hìn n¶n nâ b§t kh£ quy.

(ii) ¦u ti¶n ta ch¿ ra c¡c a thùc bªc 2 v  bªc 3 khæng câ nghi»m trong K l 

a thùc b§t kh£ quy Gi£ sû f(x) câ nghi»m x = a ∈ K V¼ deg f(x) > 1 n¶n

f (x) câ thº ph¥n t½ch d÷îi d¤ng f(x) = (x − a)g(x, ) trong â g(x) ∈ K[x] v deg g(x) = deg f(x) − 1 ≥ 1 Do â f(x) kh£ quy Vªy f(x) khæng câ nghi»mtrong K Ng÷ñc l¤i, gi£ sû f(x) kh£ quy Do f(x) câ bªc 2 ho°c 3 n¶n f(x)ph¥n t½ch ÷ñc th nh t½ch cõa hai a thùc bªc th§p hìn, mët trong hai athùc â ph£i câ bªc 1 Hìn núa, a thùc bªc 1 tr¶n mët tr÷íng luæn câ nghi»mtrong tr÷íng â, v¼ vªy f(x) câ nghi»m trong K 

Ti¸p theo luªn v«n tr¼nh b y t½nh b§t kh£ quy cõa mët sè a thùc tr¶ntr÷íng Fp Vîi gi£ thi¸t p l  mët sè nguy¶n tè Khi â Fp l  mët tr÷íng vîiph²p cëng v  ph²p nh¥n c¡c sè nguy¶n modulo p º thuªn ti»n, c¡c ph¦n

tû cõa Fp v¨n ÷ñc k½ hi»u nh÷ c¡c sè nguy¶n, trong â ta hiºu hai ph¦n tû

a, b ∈ Fp l  b¬ng nhau n¸u v  ch¿ n¸u a − b l  bëi cõa p K½ hi»u F∗

câ nghi»m α ∈ Fp D¹ th§y 0 khæng l  nghi»m cõa f(x) V¼ th¸ α 6= 0 v  do

â α ∈ F∗

p V¼ x3 − 1 = (x − 1)(x2+ x + 1) = (x − 1)f (x) v  v¼ α l  nghi»mcõa f(x) n¶n α l  nghi»m cõa x3 − 1 Suy ra α3 = 1 V¼ p ≡ 2 (mod 3) n¶n pkhæng l  ÷îc cõa 3 Ta câ 1 + 1 + 1 6= 0 ∈ Fp Suy ra 1 khæng l  nghi»m cõa

f (x) v  α 6= 1 N¸u α2 = 1 th¼ 1 = α3 = α2α = α, i·u n y væ l½ Nh÷ vªy

αn 6= 1vîi n = 1, 2 v  α3 = 1 Suy ra c§p cõa α trong nhâm nh¥n F∗

p l  3 Chó

þ r¬ng F∗

p câ c§p l  p − 1 Theo ành l½ Lagrange, 3 l  ÷îc cõa p − 1 Theo gi£thi¸t p − 1 ≡ 1 (mod 3) i·u n y væ l½ Vªy x2+ x + 1 l  a thùc b§t kh£ quy

tr¶n Fp 

M»nh · 1.4 a thùc f(x) = x4+ x3+ x2+ x + 1 l  b§t kh£ quy tr¶n Fp vîimåi sè nguy¶n tè p thäa m¢n p 6= 5 v  p 6≡ ±1 (mod 5)

Chùng minh Cho p l  sè nguy¶n tè thäa m¢n p 6= 5 v  p 6≡ ±1 (mod 5).Khi â tçn t¤i mët tr÷íng F chùa Fp sao cho f(x) ph¥n r¢ tr¶n F ¦u ti¶n

ta kh¯ng ành r¬ng n¸u α ∈ F l  mët nghi»m cõa f(x) th¼ αn 6= 1 vîi måi

n ∈ {1, 2, 3, 4} v  α5 = 1 Thªt vªy, d¹ th§y x5 − 1 = (x − 1)f (x) Do â α l nghi»m cõa x5− 1 Suy ra α5 = 1 N¸u α = 1 th¼ 5 = 0 ∈ Fp v  khi â 5 l  bëicõa p, i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t p 6= 5 Suy ra α 6= 1 N¸u α2 = 1 th¼

1 = α5 = (α2)2α = α, væ l½ N¸u α3 = 1th¼ α5 = α3α2 = α2, væ l½ N¸u α4 = 1th¼ α5 = α4α = α, væ l½ Vªy αn 6= 1 vîi måi n ∈ {1, 2, 3, 4} v  α5 = 1 Kh¯ng

ành l½ Lagrange, 5 l  ÷îc cõa c§p cõa p − 1 i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t

p 6≡ ±1 (mod 5) Vªy f(x) khæng câ nh¥n tû bªc nh§t

Do f(x) kh£ quy n¶n f(x) câ nh¥n tû bªc hai q(x) ∈ Fp[x] V¼ f(x) khæng

câ nh¥n tû bªc nh§t n¶n q(x) khæng câ nh¥n tû bªc nh§t, suy ra q(x) b§t kh£quy tr¶n Fp L§y α ∈ F l  nghi»m cõa q(x) Khi â Fp[α] l  mët tr÷íng chùa

Fp v  {1, α} l  cì sð cõa Fp- khæng gian vectì Fp[α] °t T = Fp[α] Khi âdimFpT = 2 Suy ra T câ p2 ph¦n tû Do â nhâm nh¥n T∗ = T \{0} câ c§p l 

p2 − 1 = (p − 1)(p + 1) V¼ f(0) = 1 6= 0 n¶n α 6= 0 Do â α ∈ T∗ Tø kh¯ng

ành cõa ph¦n ¦u chùng minh ta suy ra c§p cõa α trong nhâm nh¥n T∗ l  5.V¼ th¸ theo ành l½ Lagrange, 5 l  ÷îc cõa (p − 1)(p + 1) i·u n y m¥u thu¨nvîi gi£ thi¸t p 6≡ ±1 (mod 5) Vªy f(x) b§t kh£ quy tr¶n Fp 

M»nh · 1.5 N¸u p l  sè nguy¶n tè sao cho v  p ≡ 3 (mod 7) ho°c p ≡ 5(mod 7) th¼ f(x) = x6+ x5+ x4+ x3+ x2+ x + 1 l  b§t kh£ quy tr¶n Fp.Chùng minh Gåi p l  sè nguy¶n tè thäa m¢n p ≡ 3 (mod 7) ho°c p ≡ 5(mod 7) Khi â, theo ành l½ 1.1, tçn t¤i mët tr÷íng F chùa Fp sao cho f(x)

ph¥n r¢ tr¶n F ¦u ti¶n ta kh¯ng ành n¸u α ∈ K l  mët nghi»m cõa f(x)th¼ an 6= 1 vîi måi n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} v  α7 = 1 Ta câ: x7− 1 = (x − 1)f (x).

Do â α l  nghi»m cõa x7 − 1 Suy ra α7 = 1 N¸u α = 1 th¼ 7 = 0 ∈ Fp v 

do â 7 l  bëi cõa p i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t v· p N¸u α2 = 1 th¼

1 = α7 = (α2)3α = α, væ l½ N¸u α3 = 1 th¼ 1 = α7 = (α3)2α = α, væ l½ N¸u

α5 = 1 th¼ 1 = α7 = α5α2 = α2, væ l½ N¸u α6 = 1 th¼ 1 = α7 = α6α = α, væl½ Vªy an 6= 1 vîi måi n ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} v  α7 = 1 Kh¯ng ành ÷ñc chùngminh

Gi£ sû f(x) kh£ quy tr¶n Fp V¼ deg f(x) = 6 n¶n f(x) câ nh¥n tû b§t kh£quy bªc d vîi d ∈ {1, 2, 3.} N¸u f(x) câ nh¥n tû bªc nh§t th¼ f(x) câ nghi»m

α ∈ Fp Ta câ f(0) = 1 6= 0 v  do â α 6= 0 Suy ra α ∈ F∗

p Theo kh¯ng

ành tr¶n α câ c§p 7 trong nhâm nh¥n F∗

p V¼ F∗

p câ c§p p − 1 n¶n theo ành l½Lagrange, 7 l  ÷îc cõa p − 1 i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t v· p Vªy f(x)khæng câ nh¥n tû bªc nh§t

Gi£ sû f(x) câ nh¥n tû b§t kh£ quy q(x) ∈ Fp[x] vîi deg q(x) = 2 L§y

α ∈ F l  mët nghi»m cõa q(x) °t T = Fp[α] = {g(α)|g(x) ∈ Fp[x]} TheoM»nh · 1.1 T l  mët tr÷íng chùa Fp v  {1, α} l  mët cì sð cõa Fp- khænggian v²c tì T Do â T câ p2 ph¦n tû V¼ α 6= 0 n¶n α ∈ T∗ Tø kh¯ng ànhcõa ph¦n ¦u chùng minh ta suy ra c§p cõa α trong nhâm nh¥n T∗ l  7 Theo

ành l½ Lagrange, 7 l  ÷îc cõa c§p cõa nhâm nh¥n T∗, T∗ câ c§p p2− 1 Tuynhi¶n p2− 1 khæng chia h¸t cho 7 v¼ theo gi£ thi¸t p2− 1 çng d÷ vîi 1 ho°cvîi 3 theo mæ un 7 i·u n y væ l½ Do â f(x) khæng câ nh¥n tû b§t kh£quy bªc hai

V¼ f(x) kh£ quy n¶n f(x) câ nh¥n tû b§t kh£ quy q(x) ∈ Fp[x] vîi

deg q(x) = 3 L§y α ∈ F l  mët nghi»m cõa q(x) °t T = Fp[α] ={g(α)|g(x) ∈ Fp[x]} Theo M»nh · 1.1, T l  mët tr÷íng chùa Fp v  {1, α, α2}

l  mët cì sð cõa Fp- khæng gian v²c tì T Khi â sè ph¦n tû cõa T l  p3 V¼

α 6= 0 n¶n α ∈ T∗ Tø kh¯ng ành cõa ph¦n ¦u chùng minh ta suy ra c§p cõa

α trong nhâm nh¥n T∗ l  7 Nhâm T∗ câ c§p p3− 1 Theo ành l½ Lagrange,

7 l  ÷îc cõa p3− 1 i·u n y væ l½ v¼ theo gi£ thi¸t p3− 1 çng d÷ vîi 5 theo

mæ un 7 Vªy, f(x) b§t kh£ quy tr¶n Fp 

ành ngh¾a 1.9 a thùc

f (x) = a0+ a1x + + anxn ∈ F[x]

Ta gåi f(x) l  a thùc monic (monic polynomial) n¸u an = 1

ành ngh¾a 1.10 X²t mð rëng tr÷íng E/F , α l  mët ph¦n tû cõa E, v  F [x]

l  v nh a thùc cõa x tr¶n F Ph¦n tû α câ a thùc tèi tiºu khi α ¤i sè tr¶n

F, tùc l  f(α) = 0 vîi mët a thùc f(x) kh¡c 0 trong F [x] Khi §y a thùctèi tiºu cõa α ÷ñc ành ngh¾a l  a thùc monic câ bªc nhä nh§t trong sè c¡c

a thùc trong F [x] nhªn α l m nghi»m

V½ dö 1.8 Chóng ta s³ t¼m t§t c£ c¡c a thùc tèi tiºu cõa t§t c£ c¡c ph¦n tûthuëc F8 ¦u ti¶n, ta th§y r¬ng ph¦n tû 0 câ a thùc tèi tiºu l  x Ph¦n tû 1

câ a thùc tèi tiºu l  x+1 Gi£ sû λ l  mët nghi»m cõa a thùc x3+ x + 1 Khi

â, d¹ th§y r¬ng c¡c ph¦n tû λ, λ2 v  λ4 câ chung a thùc tèi tiºu l  x3+ x + 1.C¡c ph¦n tû λ3, λ6 v  λ5 câ chung a thùc tèi tiºu l  x3+ x2+ 1

Ti¸p theo, chóng tæi ch¿ ra mët sè t½nh ch§t cõa a thùc tèi tiºu nh÷ sau:

ành l½ 1.4 a thùc tèi tiºu l  b§t kh£ quy

Chùng minh X²t mð rëng tr÷íng E/F nh÷ tr¶n, α ∈ E v  f(x) ∈ F [x]

l  a thùc tèi tiºu cõa α Gi£ sû i·u ng÷ñc l¤i, f(x) = g(x)h(x), trong âg(x), h(x) l  c¡c a thùc thuëc F [x] vîi bªc nhä hìn f(x) Do tr÷íng công l mi·n nguy¶n v  f(α) = 0 n¶n ta ph£i câ g(α) = 0 ho°c h(α) = 0 i·u n ym¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t f(x) câ bªc nhä nh§t Do â i·u gi£ sû l  sai, vªy

V½ dö 1.9 N¸u ta l§y F = Q, E = R, α = √3, th¼ a thùc tèi tiºu cõa α l p(x) = x2− 3.Tr÷íng F âng vai trá quan trång v¼ nâ x¡c ành c¡c h» sè cõap(x) V½ dö, n¸u ta l§y F = R th¼ a thùc tèi tiºu cho α =√3l  p(x) = x−√3

Ch֓ng 2

Ph¥n t½ch a thùc th nh c¡c a

thùc b§t kh£ quy º x¥y düng c¡c m¢ cyclic tr¶n tr÷íng húu h¤n

Nhªn x²t 2.1 Mët nghi»m cõa xn− 1 gåi l  c«n bªc n cõa ìn và Tªp t§tc£ c¡c c«n bªc n cõa ìn và t¤o th nh mët nhâm nh¥n Cn trong tr÷íng chia

÷íng trán bªc En Nhâm Cn câ n ph¦n tû do xn− 1 t¡ch ÷ñc Ta th§y r¬ngnhâm Cn l  nhâm cyclic v¼ nâ l  nhâm con húu h¤n cõa F? Mët ph¦n tû sinhcõa Cn gåi l  c«n nguy¶n thõy bªc n cõa ìn và Sè c¡c c«n nguy¶n thõy bªc

n cõa ìn và b¬ng ϕ(n) vîi ϕ l  h m Euler

M»nh · 2.1 Tr÷íng chia ÷íng trán En l  mð rëng ìn Galois tr¶n F

Chùng minh Gåi ξn l  mët c«n nguy¶n thõy bªc n cõa ìn và Khi â

M»nh · 2.2 (i) xn− 1 = Q

d|nΦd(x)

(ii) N¸u F câ °c sè 0 v  çng nh§t Z vîi £nh cõa nâ trong F qua ìn c§ux¡c ành bði n 7→ n.1F, th¼ Φn(x) ∈ Z[x]

(iii) N¸u F câ °c sè p v  çng nh§t Fp vîi tr÷íng con nguy¶n tè cõa F, th¼

Φn(x) ∈ Fp[x], b¬ng vîi a thùc nhªn ÷ñc ð (ii) modulo p

Chùng minh (i) º chùng minh ¯ng thùc tr¶n, ta c¦n ch¿ ra hai a thùc

xn − 1 v  Qd|nΦd(x) ·u l  a thùc monic, ·u khæng câ nghi»m bëi, v  câcòng tªp nghi»m Theo ành ngh¾a, méi Φd(x) l  mët a thùc monic Do âhai a thùc ð hai v¸ ·u l  a thùc monic Chó þ r¬ng mët a thùc câ nghi»mbëi n¸u v  ch¿ n¸u a thùc â v  ¤o h m cõa nâ ph£i câ nghi»m chung V¼ th¸

xn− 1 khæng câ nghi»m bëi (c¡c nghi»m cõa xn− 1 ·u kh¡c 0, trong khi ¤o

h m cõa nâ l  nxn−1 ch¿ câ duy nh§t nghi»m b¬ng 0) Vîi méi ÷îc d cõa n, c¡cnghi»m cõa Φd(x) ·u l  nghi»m cõa xd− 1 v  do â nâ khæng câ nghi»m bëi.Gi£ sû d v  d0 l  hai ÷îc kh¡c nhau cõa n Khi â méi nghi»m cõa Φd(x) câc§p l  d, trong khi â méi nghi»m cõa Φd 0(x) câ c§p l  d0 V¼ th¸, c¡c nghi»mcõa a thùc Πd|nΦd(x) ·u l  nghi»m ìn Gi£ sû  l  nghi»m cõa xn− 1 Gåi

d l  c§p cõa  Khi â d = 1 v  d l  sè nguy¶n d÷ìng b² nh§t câ t½nh ch§t

n y V¼ th¸  l  c«n nguy¶n thõy bªc d cõa ìn và Suy ra  l  nghi»m cõa athùc cõa Φd(x) Ng÷ñc l¤i, cho d l  ÷îc cõa n v   l  nghi»m cõa Φd(x) Khi

â d = 1 Suy ra n = 1, tùc l   l  nghi»m cõa a thùc xn − 1 Vªy ta k¸tluªn r¬ng xn − 1 =Q

d|nΦd(x)

(ii) Ta chùng minh b¬ng quy n¤p theo n N¸u n = 1 k¸t qu£ l  hiºn nhi¶n Tacâ

l  th÷ìng cõa hai a thùc câ h» sè thuëc Z n¶n Φn(x) ∈ Z[x]

(iii) Hiºn nhi¶n tø chùng minh cõa (ii) 

V½ dö 2.1 (i) Vîi måi p nguy¶n tè, ta câ

2+ 1;

• Φ6(x) = x

6− 1(x − 1)(x + 1)(x2+ x + 1) = x

2− x + 1;

• Φ8(x) = x

8− 1(x − 1)(x + 1)(x2+ 1) = x

4+ 1;

• Φ9(x) = x

9− 1(x − 1)(x2+ x + 1) = x

6+ x3+ 1;

• Φ10(x) = x

10− 1(x − 1)(x + 1)Φ5(n) = x

vîi r l  sè nguy¶n d÷ìng nhä nh§t sao cho sqr−1≡ 1 (mod n).

(ii) Bªc ordn(q)cõa q modulo n l  sè nguy¶n d÷ìng nhä nh§t a sao cho qa ≡ 1(mod n)

(iii) N¸u t = ordn(q) th¼ Fq t chùa t§t c£ c¡c nghi»m cõa xn− 1, Fq t ÷ñc gåi

l  tr÷íng ph¥n r¢ cõa xn− 1

V½ dö 2.2 C¡c lîp 2-cyclotomic modulo 9 l  C0 = {0}, C1 = {1, 2, 4, 8, 7, 5},

v  C3 = {3, 6}

K¸t qu£ sau ¥y ¢ ÷ñc chùng minh trong [5, Theorem 4.1.1]

ành l½ 2.1 [5, Theorem 4.1.1] Cho n l  sè nguy¶n d÷ìng nguy¶n tè còngnhau vîi q Cho t = ordn(q) v  α l  c«n nguy¶n thõy bªc n cõa ìn và trong

tû b§t kh£ quy cõa x13− 1 tr¶n F3 câ bªc l  1, 3, 3, v  3 Chóng l  nhúng athùc M1(x), Mα(x), Mα2(x), Mα4(x) v  Mα 7(x) C¡c a thùc b§t kh£ quy cõa

x13− 1tr¶n F3 l  x−1; x3+ 2x + 2; x3+ x2+ 2; x3+ x2+ x + 2; x3+ 2x2+ 2x + 2

p döng ành lþ 2.1, ta câ thº ph¥n t½ch c¡c a thùc sau th nh c¡c a thùcb§t kh£ quy.

• Tr¶n tr÷íng húu h¤n F2

a) x3− 1 = (x − 1)(x2+ x + 1) = (1 + x)(1 + x + x2)

b) x5− 1 = (x − 1)(x4+ x3+ x2+ x + 1) = (1 + x)(1 + x + x2+ x3+ x4).c) x7− 1 = (1 + x)(1 + x + x3)(1 + x2+ x3)

Ti¸p theo chóng tæi cung c§p mët v i k¸t qu£ ph¥n t½ch c¡c a thùc th nh c¡c

a thùc b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng húu h¤n câ nhi·u ph¦n tû:

• Tr¶n tr÷íng húu h¤n F3

a) x11− 1 = (x − 1)(x5+ 2x3+ x2+ 2x + 2)(x5+ x4+ 2x3+ x2+ 2).b) x12− 1 = (x − 1)3(x + 2)3(x2+ 1)3

• Tr¶n tr÷íng húu h¤n F5

a) x11− 1 = (x − 1)(x5+ 2x4+ 4x3+ x2+ x + 4)(x5+ 4x4+ 4x3+ x2+ 3x + 4).b) x12− 1 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x2+ x + 1)(x2+ 2x + 4)(x2+ 3x +4)(x2+ 4x + 1)

• Tr¶n tr÷íng húu h¤n F7

a) x11− 1 = (x − 1)(x10+ x9+ x8+ x7+ x6+ x5+ x4+ x3+ x2+ x + 1).b) x12− 1 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6)(x2+ 1)(x2+ 2)(x2+ 4)

• Tr¶n tr÷íng húu h¤n F19

a) x25− 1 = (x − 1)(x2+ 5x + 1)(x2+ 15x + 1)(x10+ 5x5+ 1)(x10+ 15x5+ 1).b) x32− 1 = (x − 1)(x + 1)(x2+ 1)(x2+ 6x + 18)(x2+ 13x + 18)(x4+ 6x2+18)(x4+ 13x2+ 18)(x8+ 6x4+ 18)(x8+ 13x4+ 18)

• Tr¶n tr÷íng húu h¤n F23

a) x32− 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2+ 4x + 22)(x2+ 5x + 1)(x2 + 7x +22)(x2 + 16x + 22)(x2 + 18x + 1)(x2 + 19x + 22)(x4 + 4x2 + 22)(x4 + 7x2 +