Phân tích đa thức thành các đa thức bất khả quy để xây dựng các mã cyclic trên trường hữu hạn

-„I HÅC TH„I NGUY„N

-„I HÅC TH„I NGUY„N

Mˆc lˆc

1.1 Tr˜Ìng h˙u h¤n 7

1.2 V nh a th˘c tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n 9

1.3 -a th˘c b§t kh£ quy 13

2 Ph¥n t½ch a th˘c th nh c¡c a th˘c b§t kh£ quy º x¥y d¸ng c¡c m¢ cyclic tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n 18 2.1 Ph¥n t½ch a th˘c xn 1 th nh c¡c a th˘c b§t kh£ quy tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n 18

2.1.1 Ph¥n t½ch a th˘c xn 1 tr¶n F qkhi (n; q) = 1 18

2.1.2 Ph¥n t½ch a th˘c xn 1 tr¶n F qkhi (n; q) 6= 1 23

2.2 M¢ cyclic 25

2.3 X¥y d¸ng m¢ cyclic tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n 32 2.3.1.X¥y d¸ng m¢ cyclic tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n khi

2.3.2.X¥y d¸ng m¢ cyclic tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n khi

(n; q) = 1 32

(n; q) 6= 1 36

1

LÕI NÂI -„U

L˛ thuy¸t m¢ xu§t hi»n l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1948 b i mÎt cÊng tr¼nhcıa C E Shannon v· l˛ thuy¸t to¡n hÂc cho l¾nh v¸c truy·n thÊng T¯

‚ ¸n nay, l˛ thuy¸t n y ¢ v ang ‚ng g‚p º gi£i quy¸t nhi·u v§n · quantrÂng trong thÊng tin li¶n l¤c N‚ ˜Òc ˘ng dˆng nhi·u trong c¡c l¾nhv¸c nh˜: thÊng tin i»n t˚, thu ph¡t thanh, b£o mªt

L˛ thuy¸t m¢ h‚a l mÎt ng nh cıa to¡n hÂc v khoa hÂc i»n to¡n nh¬mgi£i quy¸t t¼nh tr¤ng lÈi d¹ x£y ra trong qu¡ tr¼nh truy·n thÊng sË li»utr¶n c¡c k¶nh truy·n c‚ Î nhi¹u cao, dÚng nh˙ng ph˜Ïng ph¡p tinh x£okhi¸n ph¦n lÓn c¡c lÈi x£y ra c‚ thº ˜Òc ch¿nh s˚a L˛ thuy¸t m¢ c·n x˚ l˛nh˙ng °c t½nh cıa m¢ v do vªy phÚ hÒp vÓi nh˙ng ˘ng dˆng cˆ thº

L˛ thuy¸t m¢ h‚a l mÎt trong nh˙ng l¾nh v¸c quan trÂng cıa to¡n hÂc, c‚ £nh h˜ ng ¸n r§t nhi·u l¾nh v¸c khoa hÂc-cÊng ngh» v kinh t¸-x¢ hÎi Th¸c t¸ cho th§y l˛ thuy¸t m¢ h‚a ¢ vÊ cÚng quan trÂng t¯ xa x˜a ThÌi nay, vÓi s¸ ph¡t triºn r§t nhanh cıa cÊng ngh» thÊng tin, v m¤ng internet th¼ m¢ h‚a thÊng tin c ng

‚ng vai tr· quan trÂng M¢ h‚a l mÎt ph˜Ïng ph¡p b£o v» thÊng tin, b¬ng c¡ch chuyºn Íi thÊng tin t¯ d¤ng r„ (thÊng tin c‚ thº d¹ d ng Âc hiºu ˜Òc) sang d¤ng

mÌ (thÊng tin ¢ b‡ che i, n¶n khÊng thº Âc hiºu ˜Òc, º Âc ˜Òc ta c¦n ph£i gi£i m¢ n‚) N‚ giÛp ta c‚ thº b£o v» thÊng tin, º nh˙ng k´ ¡nh cp thÊng tin, dÚ c‚ -

˜Òc thÊng tin cıa chÛng ta, cÙng khÊng thº hiºu ˜Òc nÎi dung cıa n‚ M¢ h‚a s³ mang l¤i t½nh an to n cao hÏn cho thÊng tin, °c bi»t l trong thÌi ¤i internet

t¸ c‚ t½nh ch§t th˜Ïng m¤i duy nh§t º x¡c ‡nh ˜Òc c¡c thÊng tin v· mÎt quyºn s¡ch b§t k˝ (ngÊn ng˙ cıa cuËn s¡ch, quËc gia xu§t b£n, l¾nh v¸c cıa cuËn s¡ch, ).

M¢ BCH (Bose „ Chaudhuri „ Hocquenghem codes) l mÎt lo¤i m¢ cyclic v

l lo¤i m¢ s˚a lÈi quan trÂng, c‚ kh£ n«ng s˚a ˜Òc nhi·u lÈi v ˜Òc ˘ng dˆng rÎng r¢i LÓp m¢ BCH c‚ 2 lÓp con l m¢ BCH nh‡ ph¥n v m¢ BCH khÊng nh‡ ph¥n Trong sË nh˙ng m¢ BCH khÊng nh‡ ph¥n n y, lÓp quan trÂng nh§t

l m¢ Reed - Solomon M¢ Reed - Solomon ˜Òc Reed v Solomon giÓithi»u l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1960, l mÎt m¢ s˚a sai thuÎc lo¤i m¢ tuy¸n t½nh.M¢ Reed - Solomon ˜Òc s˚ dˆng º s˚a c¡c lÈi trong nhi·u h» thËng thÊngtin sË v trong l˜u tr˙, bao gÁm: C¡c thi¸t b‡ l˜u tr˙ (b«ng t¯, ¾a CD,VCD, ), thÊng tin di Îng hay khÊng d¥y (i»n tho¤i di Îng, c¡c ˜Ìng truy·nViba), thÊng tin v» tinh, truy·n h¼nh sË DVB, c¡c modem tËc Î cao nh˜:ADSL, VDSL M¢ Reed - Solomon °c bi»t quan trÂng trong vi»c s˚ac¡c bit lÈi x£y ra g¦n nhau M¢ BCH ˜Òc dÚng cho c¡c c¥y ATM, trongh» thËng giao d‡ch cıa c¡c ng¥n h ng,

M¢ Hadamard ˜Òc dÚng trong vi»c truy·n thÊng tin v h¼nh £nh t¯c¡c t u vÙ trˆ, c¡c v» tinh v· Tr¡i -§t Trong mÊi tr˜Ìng nhi¹u lo¤n khÊngkh½ lÓn th¼ thÊng tin v h¼nh £nh s³ b‡ b‚p m²o, thay Íi khi ˜Òc truy·ntrong mÊi tr˜Ìng nhi¹u lo¤n khÊng kh½, v¼ th¸ vai tr· cıa m¢ Hadamard lr§t quan trÂng trong vi»c kh¡m ph¡ vÙ trˆ C¡c lÓp m¢ cyclic ˜Òc dÚngtrong qu¥n Îi cıa c¡c quËc gia ¢ ‚ng g‚p lÓn tÓi vi»c b£o mªt thÊng tin vtruy·n ¤t thÊng tin t¯ quËc gia tÓi qu¥n Îi

M¢ l˜Òng t˚ ˜Òc giÓi thi»u l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1996 b i Shor [6] Trong m¡y t½nh thÊng th˜Ìng, d˙ li»u ch¿ ˜Òc l˜u d˜Ói d¤ng 0 v 1, c·n m¡y t½nh l˜Òng t˚ s˚ dˆng qubits (quantum bits) cho ph²p m¡y t½nh ghi d˙ li»u nhi·u tr¤ng th¡i cÚng lÛc (v½ dˆ c‚ thº l 0, c‚ thº l 1 ho°c c‚ thº cÚng lÛc l 0

v 1), i·u n y cho ph²p m¡y t½nh l˜Òng t˚ x˚ l˛ ˜Òc nh˙ng ph²p t½nh ph˘c t¤p hÏn Ng˜Ìi ta t½nh to¡n r¬ng c¡c m¡y t½nh l˜Òng t˚ s³ gi£i quy¸t c¡c v§n · ph˘c t¤p nhanh hÏn b§t k˝ m¡y t½nh cÍ iºn n o M¡y t½nh l˜Òng t˚ cÏ

3

b£n khai th¡c c¡c quy tc cıa cÏ hÂc l˜Òng t˚ º t«ng tËc Î t½nh to¡n Vi»c x¥y d¸ng mÎt m¡y t½nh l˜Òng t˚ v¨n l mÎt nhi»m vˆ kh‚ kh«n nh˜ngb˜Óc ¦u ¢ c‚ nh˙ng th nh cÊng t¯ c¡c tªp o n lÓn tr¶n th¸ giÓi nh˜ Intel,IBM, Microsoft, v Google Cho ¸n nay, m¡y t½nh l˜Òng t˚ khÊng

ch¿ d¯ng l¤i l cuÎc c¤nh tranh v· cÊng ngh» gi˙a c¡c tªp o n cÊng ngh» lÓn m n‚ c·n l cuÎc c¤nh tranh gi˙a c¡c c˜Ìng quËc º phˆc vˆ cho ho¤t Îng t¼nh b¡o n‚i ri¶ng v quËc ph·ng n‚i chung S¸ ra Ìi cıa m¡y t½nh l˜Òng t˚ s³ l m cho c¡c h» mªt nÍi ti¸ng nh˜ DES (the Data

Encryption Standard), RSA, s³ b‡ ph¡ trong t˜Ïng lai g¦n

Mªt m¢ DES c‚ thº xem l tuy»t Ëi an to n v¼ º gi£i ˜Òc n‚ c¦n ph£i kiºm tra mÎt danh s¡ch r§t lÓn c¡c ch¼a kho¡ m¢ ti·m n«ng V½ dˆ n¸u chÛng ta s˚ dˆng mÎt m¡y t½nh cÍ iºn vÓi 64 bits, khi ‚ s³ c‚ 264 tr¤ng th¡i VÓi

mÎt m¡y t½nh cÍ iºn, c˘ cho l mÈi gi¥y kiºm tra ˜Òc 2 t tr¤ng th¡i th¼ cÙng c¦n kho£ng

300 n«m ch¤y m¡y li¶n tˆc mÓi ch¤y ˜Òc h¸t 264tr¤ng th¡i-‚

l mÎt kho£ng thÌi gian phi th¸c ti¹n Trong khi ‚, mÎt m¡y t½nh l˜Òng t˚ dÚng thuªt to¡n l˜Òng t˚ Grover c‚ thº d¹ d ng ho n t§t vi»c n y trong thÌi gian 4 phÛt Thuªt to¡n m¢ h‚a cÊng khai RSA ang ˜Òc ˘ng dˆng rÎng r¢i trong ng¥n h ng, giao d‡ch tr¸c tuy¸n v r§t nhi·u ˘ng dˆng an ninh m¤ng kh¡c S¸ an to n cıa m¢ RSA n¬m chÈ m¡y t½nh truy·n thËng khÊng thº ph¥n t½ch nhanh mÎt sË n˚a nguy¶n tË (semiprime) lÓn n th nh t½ch cıa 2 sË

nguy¶n tË lÓn p v q (n = pq) V· m°t to¡n hÂc ¥y l mÎt b i to¡n ph˘c t¤p,ch¯ng h¤n º ph¥n t½ch mÎt sË ch¿ gÁm 129 ch˙ sË th¼ 600 m¡y t½nh

cÍ iºn ¢ ph£i hÒp l¸c l m vi»c li¶n tˆc trong v i th¡ng Tuy nhi¶n, mÎt m¡yt½nh l˜Òng t˚ dÚng thuªt to¡n l˜Òng t˚ Shor c‚ thº ph¥n t½ch mÎt sË lÓnhÏn c£ tri»u l¦n trong kho£ng thÌi gian ngn hÏn cÙng c£ tri»u l¦n

Trong l¾nh v¸c sinh hÂc, kh¡i ni»m m¢ DNA ˜Òc ˜a ra l¦n ¦u ti¶n v o n«m

2003, nh¬m giÛp nhªn di»n c¡c m¨u vªt M¢ DNA s˚ dˆng mÎt tr¼nh t¸ DNA

ng-n ng-n¬m trong-ng bÎ geng-ne cıa sing-nh vªt ng-nh˜ l mÎt chuÈi k˛ t¸ duy ng-nh§t giÛp ph¥ng-n bi»t hai lo i sinh vªt vÓi nhau Nh˜ vªy m¢ DNA l mÎt ph˜Ïng ph¡p ‡nh danh m n‚ s˚ dˆng mÎt o¤n DNA chu©n ngn n¬m trong bÎ gene

cıa sinh vªt ang nghi¶n c˘u nh¬m x¡c ‡nh sinh vªt ‚ thuÎc v· lo i n o M¢ v¤ch DNA r§t h˙u ½ch trong vi»c t¼m mËi quan h» gi˙a c¡c m¨u m°c dÚ chÛng h¦u nh˜ khÊng giËng nhau v· h¼nh th¡i M¢ v¤ch DNA cÙng ˜Òc ˘ng dˆng t¤i h£i quan nh¬m hÈ trÒ vi»c x¡c ‡nh nguÁn gËc cıa sinh vªt sËng ho°c h ng nhªp kh©u, º ng«n c£n s¸ vªn chuyºn tr¡i ph²p c¡c lo i th¸c vªt v Îng vªt qu˛ hi¸m qua bi¶n giÓi M¢ DNA giÛp kiºm so¡t t¡c nh¥n g¥y h¤i trong nÊng nghi»p, giÛp -

‡nh danh nhanh chËng c¡c lo i g¥y b»nh giai o¤n ti·m ©n (giai o¤n §u trÚng),

hÈ trÒ ch˜Ïng tr¼nh kiºm so¡t s¥u b»nh b£o v» c¥y trÁng Ngo i ra, m¢ DNA giÛp x¡c ‡nh vªt chı trung gian g¥y b»nh, b£o v» lo i nguy c§p v kiºm tra ch§t l˜Òng n˜Óc.

Qua mÎt sË v½ dˆ v· c¡c lÓp m¢ cyclic ¢ n¶u tr¶n, giÛp chÛng ta th§y ˜Òc ph¦n n o vai tr· quan trÂng cıa m¢ cyclic trong cuÎc sËng, trong khoa hÂc k¾ thuªt.

-¦u ti¶n, l˛ thuy¸t m¢ ˜Òc nghi¶n c˘u tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n v c¡c k¸t qu£

cÏ b£n ¢ ˜Òc Ûc k¸t trong hai quyºn s¡ch cıa Huffman v Berlekamp

[5].Sau ‚, c¡c nh to¡n hÂc ¢ m rÎng nghi¶n c˘u v· m¢ tr¶n c¡c v nh h˙uh¤n H¦u h¸t c¡c nghi¶n c˘u tªp trung trong tr˜Ìng hÒp Î d i cıa m¢c‚ li¶n quan ¸n °c sË cıa tr˜Ìng N¸u Î d i cıa m¢ chia h¸t cho °c sË cıatr˜Ìng th¼ m¢ ˜Òc gÂi l m¢ nghi»m l°p N¸u Î d i cıa m¢ khÊng chiah¸t cho °c sË cıa tr˜Ìng th¼ m¢ ‚ ˜Òc gÂi l m¢ nghi»m Ïn

Nghi¶n c˘u v· m¢ tr¶n v nh giao ho¡n h˙u h¤n, °c bi»t l m¢ nghi»m l°p tr¶n lÓp c¡c v nh chuÈi h˙u h¤n cÙng ˜Òc nhi·u nh to¡n hÂc quan t¥m v c¡c nh to¡n hÂc cÙng ¢ ˜a ra ˜Òc nhi·u k¸t qu£ tËt Trong luªn v«n n y, chÛng tÊi s˚ dˆng c¡c k¸t qu£ cıa To¡n hÂc º x¥y d¸ng v nghi¶n c˘u m¢ cyclic tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n

NÎi dung ch½nh cıa luªn v«n l : tr¼nh b y s¸ ph¥n t½ch a th˘c th nh c¡c a th˘c b§t kh£ quy tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n Sau ‚ s˚ dˆng k¸t qu£ cıa s¸ ph¥n t½ch n y

º x¥y d¸ng c¡c m¢ cyclic tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n Luªn v«n gÁm

2 ch˜Ïng:

Trong ch˜Ïng 1, chÛng tÊi tr¼nh b y ‡nh ngh¾a tr˜Ìng h˙u h¤n, c§u trÛc cıa tr˜Ìng h˙u h¤n Sau ‚ chÛng tÊi tr¼nh b y v nh a th˘c tr¶n tr˜Ìng h˙u

5

h¤n CuËi ch˜Ïng 1 chÛng tÊi ˜a ra mÎt sË ki¸n th˘c v· a th˘c b§t kh£ quy Trong ch˜Ïng 2, chÛng tÊi tr¼nh b y nÎi dung ch½nh cıa luªn v«n l : ph¥n t½ch a th˘c th nh c¡c a th˘c b§t kh£ quy tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n, m¢ cyclic, x¥y d¸ng c¡c m¢ cyclic tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n -º t¼m t§t c£ c¡c m¢ cyclic tr¶n

tr˜Ìng h˙u h¤n F q, trong ‚ q = pm (p l sË nguy¶n tË b§t k¼)

chÛng tÊi i t¼m nh˙ng i¶an cıa v nh R n = F q [X]= hxn 1i :

NÎi dung nghi¶n c˘u cıa luªn v«n gn li·n vÓi to¡n sÏ c§p, °c bi»t l b i to¡n ph¥n t½ch a th˘c th nh nh¥n t˚ r§t ˜Òc quan t¥m bªc hÂc phÍ thÊng.

Luªn v«n n y ˜Òc th¸c hi»n t¤i Tr˜Ìng -¤i hÂc Khoa hÂc - -¤i hÂc Th¡i Nguy¶n v ho n th nh d˜Ói s¸ h˜Óng d¨n cıa Ti¸n s¾ Nguy¹n TrÂng Bc TÊi xin ˜Òc b y t‰ l·ng bi¸t Ïn ch¥n th nh v s¥u sc tÓi ng˜Ìi h˜Óng d¨n khoa hÂc cıa m¼nh.

TÊi xin tr¥n trÂng c£m Ïn Ban gi¡m hi»u Tr˜Ìng -¤i hÂc Khoa hÂc - -¤i hÂc Th¡i Nguy¶n, Ban chı nhi»m khoa To¡n „ Tin cÚng c¡c gi£ng vi¶n ¢ tham gia gi£ng d¤y, ¢ t¤o mÂi i·u ki»n tËt nh§t º tÊi hÂc tªp v nghi¶n c˘u.

TÊi cÙng xin ch¥n th nh c£m Ïn S Gi¡o dˆc v - o t¤o t¿nh Th¡iNguy¶n, Ban Gi¡m hi»u v c¡c Áng nghi»p tr˜Ìng THPT Ho ngQuËc Vi»t, huy»n V„ Nhai, t¿nh Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n chotÊi ho n th nh tËt nhi»m vˆ hÂc tªp v cÊng t¡c cıa m¼nh

CuËi cÚng tÊi xin g˚i lÌi c£m Ïn tÓi gia ¼nh th¥n y¶u, c£m

Ïn nh˙ng ng˜Ìi b¤n th¥n thi¸t ¢ giÛp Ô Îng vi¶n kh½ch l» tÊi trong suËt qu¡ tr¼nh nghi¶n c˘u Xin ch¥n th nh c£m Ïn.

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 8 n«m 2020

T¡c gi£

Nguy¹n Th‡ H

Ch˜Ïng 1

MÎt sË ki¸n th˘c chu©n b‡

1.1 Tr˜Ìng h˙u h¤n

-‡nh ngh¾a 1.1 Tr˜Ìng l mÎt tªp hÒp F cÚng vÓi hai ph²p to¡n: +; ˜Òc

gÂi l cÎng, v : ˜Òc gÂi l nh¥n th‰a m¢n mÎt sË ti¶n · Tªp F l nh‚m giao ho¡n vÓi ph²p cÎng c‚ ph¦n t˚ Ïn v‡ l khÊng v ˜Òc k½ hi»u l 0; Tªp

F = Fnf0g cÙng l nh‚m giao ho¡n vÓi ph²p nh¥n c‚ ph¦n t˚Ïn v‡ l mÎt

ph²p nh¥n ph¥n phËi vÓi ph²p cÎng MÎt tr˜Ìng l h˙u h¤n

V½ dˆ 1.1.(i) Tªp hÒp c¡c sË nguy¶n Z khÊng l mÎt tr˜Ìng v¼ 3 2

7

v nh cıa c¡c sË nguy¶n modulo 2.

(ii) Gi£ s˚ E=K l mÎt m rÎng tr˜Ìng Xem E l mÎt khÊng

tr¶n K: N¸u E l K - khÊng gian v²c tÏ h˙u h¤n chi·u th¼

m rÎng bªc h˙u h¤n cıa tr˜Ìng K: N¸u dim K E = n th¼

n bªc cıa m rÎng E=K v ˜Òc k½ hi»u l [E=K] :

vÓi a l h» sË cao nh§t cıa f(x) v1 ; : : : ; n 2 E: Ta n‚i E l tr˜Ìng ph¥n

r¢ cıa f(x) tr¶n K n¸u f(x) ph¥n r¢ tr¶n E v khÊng ph¥n r¢ tr¶n b§t c˘ tr˜Ìng con th¸c s¸ n o cıa E:

M»nh · 1.1 Cho E=K l m rÎng tr˜Ìng v 2 E l ph¦n t˚ ¤i sË tr¶n K: Gi£ s˚

p(x) 2 K[x] l a th˘c b§t kh£ quy nhªn l m nghi»m Khi

‚ K( ) = K[ ] v [K( ) : K] = deg p(x): HÏn n˙a n¸udeg p(x) = n th¼

S = f1; ; 2; : : : ; n 1g l mÎt cÏ s cıa K- khÊng gian v²c tÏ K( ):

BÍ · 1.1 VÓi mÂi a th˘c f(x) 2 K[x] b§t kh£ quy tr¶n K; tÁn t¤i mÎt tr˜Ìng

E ch˘a K v ch˘a mÎt nghi»m cıa f(x):

V½ dˆ 1.4 -a th˘c f(x) = x2 5 l b§t kh£ quy tr¶n tr˜Ìng Q; tÁn t¤i tr˜Ìng

R ch˘a Q v ch˘a mÎt nghi»m x = p 5 cıa f(x):

-‡nh l½ 1.1 VÓi mÈi a th˘c f(x) 2 K[x] c‚ bªc n 1; tÁn t¤i mÎt tr˜Ìng ph¥nr¢ cıa f(x) tr¶n K:

V½ dˆ 1.5 X²t tr¶n tr˜Ìng sË th¸c R; a th˘c f(x) = 3x 2 + x + 1 khÊng c‚ nghi»m tr¶n R: Nh˜ng n¸u x²t tr¶n tr˜Ìng sË ph˘c C; a th˘c f(x) = 3x 2 +x +1

c‚ hai nghi»m ph˘c l x 1 = 16 + 611i; x 2 = 16 611i: Vªy vÓi a th˘c

f(x) = 3x2 + x + 1 tÁn t¤i mÎt tr˜Ìng ph¥n r¢ C cıa f(x) tr¶n R:

BÍ · 1.2 N¸u K l mÎt tr˜Ìng h˙u h¤n c‚ q ph¦n t˚ th¼ K c‚ °c sË p

nguy¶n tË v q l mÎt lÙy th¯a cıa p:

-‡nh l½ 1.2 (i) N¸u p l sË nguy¶n tË th¼ vÓi mÈi sË nguy¶n d˜Ïng d; tÁn

a 0 ; ; a n 2 V v x l mÎt k½ hi»u gÂi l bi¸n Ta cÙng vi¸t a th˘c n y d˜Ói d¤ng f(x) = a i xi, trong ‚ a i = 0 vÓi mÂi i > n Hai a th˘c a i xiv

K½ hi»u V [x] l tªp c¡c a th˘c mÎt bi¸n x vÓi h» sË tr¶n V: Cho

f(x) = a n xn + a n

1 xn 1 + + a 1 x + a 0 2 V [x]: Ta gÂi a 0l h» sË t¸ do cıa

f(x): N¸u a n 6= 0 th¼ n ˜Òc gÂi l bªc cıa f(x) v ˜Òc k½ hi»u l deg f(x):

‡nh ngh¾a VÓi hai a th˘c f(x) = P

trong V: Ph¦n t˚ khÊng cıa v nh l a th˘c 0; ph¦n t˚ Ïn v‡ l a th˘c 1:

Sau ¥y, luªn v«n tr¼nh b y mÎt ‡nh l½ º bÍ trÒ cho vi»c ph¥n t½ch a th˘c th nh nh¥n t˚ s³ ˜Òc nghi¶n c˘u ch˜Ïng sau.

-‡nh l½ 1.3 (-‡nh l½ chia vÓi d˜) Gi£ s˚ g(x) 2 V [x] l a th˘c c‚ h» sËcao nh§t kh£ ngh‡ch trong V: Khi ‚ vÓi mÈi f(x) 2 V [x]; tÁn t¤i duynh§t mÎt c°p a th˘c q(x); r(x) 2 V [x] sao cho f(x) = q(x)g(x) + r(x) vÓi r(x) =

0 ho°c deg r(x) < deg g(x):

ChÛ ˛ 1.1 Chof(x) 2 V [x]v a 2 V: Ta c‚ l˜Òc Á sau¥y gÂi l l˜Òc Á

Horner º t¼m th˜Ïng v d˜ cıa ph²p chia f(x) cho x a: Gi£ s˚ f(x) =

a n xn +

+ a 1 x + a 0vÓi a n 6= 0: Chia f(x) cho x a ta˜Òc f(x) = (x a)q(x) + r;

trong ‚ r 2 V v deg q(x) = n 1: Gi£ s˚ q(x) = b n 1 xn 1 + + b 1 x + b 0 : -Áng nh§t c¡c h» sË ta c‚ thº t¼m nhanh sË d˜ r v c¡c h» sË bn 1; : : : ;

b 1 ; b 0 cıa q(x) nh˜ sau:

10

-1 2 -1 -4 4 3 -4 Vªy 2x5 + x4 5x3 + 7x 1 = (x + 1)(2x4 x3 4x2 + 4x + 3) 4:

Ph¦n ti¸p theo luªn v«n tr¼nh b y thuªt to¡n t¼m th˜Ïng q(x) v d˜

r(x) trong ph²p chia f(x) cho g(x) vÓi f(x); g(x) 2 K[x]; g(x) 6= 0: N¸u f(x) = 0

ho°c deg f(x) < deg g(x) th¼ ta chÂn q(x) = 0 v r(x) = f(x): Gi£ s˚

f(x) 6= 0 v deg f(x) deg g(x): -°t deg f(x) = n v deg g(x) = m:

GÂi an; bm l¦n l˜Òt l h» sË cao nh§t cıa f(x) v g(x): V¼ K l tr˜Ìng n¶n

tÁn t¤i ph¦n t˚ bm1 2 K sao cho b m b m1 = 1: ChÂn h(x) = a n b m1xn m: -°t

f 1 (x) = f(x) g(x)h(x): Khi ‚ f 1 (x) = 0 ho°c deg f 1 (x) < deg f(x): N¸u

f 1 (x) = 0 ho°c deg f 1 (x) < deg g(x) th¼ d˜ cıa ph²p chia l r(x) = f 1 (x) v

th˜Ïng l q(x) = h(x): N¸u f1(x) 6= 0 ho°c deg f1(x) deg g(x) th¼ ta ti¸p tˆc l

m t˜Ïng t¸ Ëi vÓi c°p a th˘c f1(x) v g(x) ta ˜Òc a th˘c f2(x) v h1(x) th‰am¢n f2(x) = f1(x) g(x)h1(x); trong ‚ f2(x) = 0 ho°c deg f2(x) < deg f1(x): C˘ti¸p tˆc qu¡ tr¼nh tr¶n cho¸n khi ta˜Òc d¢y f1(x); f2(x); : : : ; fk(x)

gÁm c¡c a th˘c vÓi deg f(x) > deg f1(x) > > deg fk 1(x) deg g(x) v

f k (x) la th˘c ho°c b¬ng 0 ho°c c‚ bªc b² hÏn bªc cıa g(x): Cˆ thº

f 1 (x) = f(x) g(x)h(x); deg f(x) > deg f 1 (x) deg g(x); f 2 (x) =

f 1 (x) g(x)h 1 (x); deg f 1 (x) > deg f 2 (x) deg g(x);

f 1 (x) = f(x) xg(x) = 10x2 4x + 4:

f 2 (x) = f 1 (x) 5g(x) = 6x + 9:

Thuªt to¡n n y d¯ng l¤i¥y v¼ deg f2(x) = 1 < 2 = deg g(x): Do ‚

f(x) = (x + 5)g(x) + 6x + 9:

Vªy th˜Ïng cıa ph²p chia l q(x) = x + 5 v d˜ l r(x) = 6x + 9:

-‡nh ngh¾a 1.6 Cho V 6= 0 l mÎt v nh giao ho¡n c‚ Ïn v‡ MÎt tªp con

I cıa V ˜Òc gÂi l mÎt i¶an cıa V n¸u 0 2 V; a b 2 V; av 2 V vÓi mÂi

a; b 2 V v vÓi mÂi v 2 V: ChÛ ˛ r¬ng n¸u I l i¶an cıa V th¼ ph²p cÎng l

‚ng trong I (t˘c l a + b 2 I vÓi mÂi a; b 2 I) v I l mÎt nh‚m vÓi ph²p

cÎng R„ r ng f0g l i¶an b² nh§t cıa V v V l i¶an lÓn nh§t cıa V:

Cho A l mÎt tªp con cıa V: Khi ‚ A ch˘a trong ½t nh§t mÎt i¶an cıa V;

ch¯ng h¤n V: Giao cıa t§t c£ c¡c i¶an cıa V ch˘a A l i¶an nh‰ nh§t cıa

V ch˘a A: I¶an n y ˜Òc gÂi l i¶an sinh b i A v ˜Òc k½ hi»u l (A):

N¸u

A = fa 1 ; : : : ; a n g th¼ ta vi¸t (A) = (a 1 ; : : : ; a n ) hay (A) = (a 1 ; : : : ; a n ) MÎti¶an I cıa V ˜Òc gÂi l i¶an h˙u h¤n sinh n¸u tÁn t¤i mÎt tªp A h˙u h¤n º I = (A): ChÛ ˛ r¬ng n¸u A = ; th¼ (A) = f0g: N¸u A = fag th¼ (A) ˜Òc gÂi l i¶an ch½nh sinh b i a v k½ hi»u b i (a): Ta c‚ (a) = faxjx 2 V g: N¸u

n¸u tÁn t¤i c 2 V sao cho b = ac: MÎt ˜Óc a cıa b ˜Òc gÂi l ˜Óc th¸c s¸ n¸u

b khÊng l ˜Óc cıa a: Ph¦n t˚ p 2 V ˜Òc gÂi lph¦n t˚ b§t kh£ quyn¸u n‚

kh¡c 0, khÊng kh£ ngh‡ch v khÊng c‚ ˜Óc th¸c s¸ T¯ ¥y ta c‚ kh¡i ni»m a th˘c b§t kh£ quy trong v nh a th˘c V [x]:

-‡nh ngh¾a 1.8 Cho f(x) 2 V [x]l a th˘c kh¡c0v khÊng kh£ ngh‡ch

Ta n‚i f(x) l b§t kh£ quy tr¶n V n¸u n‚ khÊng c‚ ˜Óc th¸c s¸ Ta n‚i f(x) l

(i) -a th˘c bªc nh§t luÊn b§t kh£ quy

(ii) -a th˘c bªc 2 v bªc 3 l b§t kh£ quy n¸u v ch¿ n¸u n‚ khÊng

f(x) vÓi h» sË tr¶n mÎt tr˜Ìng K l b§t kh£ quy n¸u v v f(x)

khÊng ph¥n t½ch ˜Òc th nh t½ch cıa hai a th˘c

c‚ nghi»m trong K:

(i) D¹ th§y a th˘c bªc nh§t khÊng thº ph¥n t½ch th nh

t½ch cıa hai a th˘c c‚ bªc th§p hÏn n¶n n‚ b§t kh£ quy.

(ii) -¦u ti¶n ta ch¿ ra c¡c a th˘c bªc 2 v bªc 3 khÊng c‚ nghi»m trong K l a th˘c b§t kh£ quy Gi£ s˚ f(x) c‚ nghi»m x = a 2 K: V¼ deg

f(x) > 1 n¶n f(x) c‚ thº ph¥n t½ch d˜Ói d¤ng f(x) = (x a)g(x; ) trong‚ g(x) 2 K[x] vdeg g(x) = deg f(x) 1 1: Do ‚ f(x) kh£ quy Vªy f(x) khÊng

c‚ nghi»m trong K: Ng˜Òc l¤i, gi£ s˚ f(x) kh£ quy Do f(x) c‚ bªc 2 ho°c

3 n¶n f(x) ph¥n t½ch ˜Òc th nh t½ch cıa hai a th˘c bªc th§p hÏn, mÎt trong hai a th˘c ‚ ph£i c‚ bªc 1 HÏn n˙a, a th˘c bªc 1 tr¶n mÎt tr˜Ìng luÊn c‚ nghi»m trong tr˜Ìng ‚, v¼ vªy f(x) c‚ nghi»m trong K:

Ti¸p theo luªn v«n tr¼nh b y t½nh b§t kh£ quy cıa mÎt sË a th˘c tr¶n

tr˜Ìng F p : VÓi gi£ thi¸t p lmÎt sË nguy¶n tË Khi ‚ Fp l mÎt tr˜Ìng vÓi

ph²p cÎng vph²p nh¥n c¡c sË nguy¶n modulo p: -º thuªn ti»n, c¡c ph¦n

p v¨n˜Òc k½ hi»u nh˜ c¡c sË nguy¶n, trong‚ ta hiºu hai ph¦n t˚

a; b 2 Fpl b¬ng nhau n¸u v ch¿ n¸u a b l bÎi cıa p: K½ hi»u Fp = Fpnf0g

l nh‚m nh¥n cıa tr˜Ìng F p : VÓi mÈi f(x) 2 F p [x]; chÛng ta dÚng k½ hi»u f(x)

minh a th˘c x2+x+1 b§t kh£ quy tr¶n Fp[x]: Gi£ s˚ ng˜Òc l¤i, f(x) = x2+x+1

kh£ quy tr¶n Fp[x]: Khi ‚ f(x) l t½ch cıa hai a th˘c bªc nh§t V¼ vªy f(x)

c‚ nghi»m 2 F p : D¹ th§y 0 khÊng l nghi»m cıa f(x): V¼ th¸6= 0 v do

‚ 2 F p : V¼ x3 1 = (x 1)(x2 + x + 1) = (x 1)f(x) v v¼ l nghi»m

cıa f(x) n¶n l nghi»m cıa x3 1: Suy ra 3 = 1: V¼ p 2 (mod 3) n¶n pkhÊng l ˜Óc cıa 3 Ta c‚ 1 + 1 + 1 6= 0 2 F p : Suy ra 1 khÊng l nghi»m cıa

= 1 th¼ 1 = 3 = 2 = ; i·u n y vÊ l½ Nh˜ vªy

˛ r¬ng F p c‚ c§p l p 1: Theo-‡nh l½ Lagrange, 3

thi¸t p 1 1 (mod 3) i·u n y vÊ l½ Vªy x2 + x + 1 l a th˘c b§t kh£ quy

Ch˘ng minh

tr¶n F p :

M»nh · 1.4 -a th˘c f(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 l b§t kh£ quy tr¶n F p vÓi

mÂi sË nguy¶n tË p th‰a m¢n p 6= 5 v p 6 1 (mod 5):

Ch˘ng minh Cho p l sË nguy¶n tË th‰a m¢n p 6= 5 vp 6 1 (mod 5):

Khi ‚ tÁn t¤i mÎt tr˜Ìng F ch˘a Fp sao cho f(x) ph¥n r¢ tr¶n F: -¦u ti¶n takh¯ng ‡nh r¬ng n¸u 2 F l mÎt nghi»m cıa f(x) th¼ n 6= 1 vÓi mÂi

n 2 f1; 2; 3; 4g v 5 = 1: Thªt vªy, d¹ th§y x5 1 = (x 1)f(x): Do‚ l

nghi»m cıa x5 1: Suy ra 5 = 1: N¸u = 1 th¼ 5 = 0 2 Fpv khi‚ 5 l bÎi

cıa p; i·u n y m¥u thu¨n vÓi gi£ thi¸t p 6= 5: Suy ra 6= 1: N¸u 2 = 1

th¼ 1 = 5 = ( 2)2 = ; vÊ l½ N¸u 3 = 1 th¼ 5 = 3 2 = 2; vÊ l½ N¸u 4 = 1

th¼ 5 = 4 = ; vÊ l½ Vªy n 6= 1 vÓi mÂi n 2 f1; 2; 3; 4g v 5 = 1: Kh¯ng

‡nh ˜Òc ch˘ng minh.

Gi£ s˚ f(x) kh£ quy tr¶n Fp: N¸u f(x) c‚ nh¥n t˚ b§c nh§t th¼ f(x) c‚

2 Fp: Ta c‚ f(0) = 1 6= 0: Suy ra 6= 0: Do‚ 2 F : Theo kh¯ngp

‡nh tr¶n c§p cıa trong nh‚m nh¥n F F p 1 n¶n theo p l 5 V¼ p c‚ c§p

‡nh l½ Lagrange, 5 l ˜Óc cıa c§p cıa p 1: -i·u n y m¥u thu¨n vÓi gi£ thi¸t

p 6 1 (mod 5): Vªy f(x) khÊng c‚ nh¥n t˚ bªc nh§t

Do f(x) kh£ quy n¶n f(x) c‚ nh¥n t˚ bªc hai q(x) 2 Fp[x]: V¼ f(x) khÊngc‚ nh¥n t˚ bªc nh§t n¶n q(x) khÊng c‚ nh¥n t˚ bªc nh§t, suy ra q(x) b§t kh£

quy tr¶n F p : L§y2 F l nghi»m cıa q(x): Khi ‚ F p [ ] l mÎt tr˜Ìng ch˘a

F pv f1; g l cÏ s cıa F p- khÊng gian vectÏ F p [ ]: -°t T = F p [ ] Khi‚

15

ph¥n r¢ tr¶n F: -¦u ti¶n ta kh¯ng ‡nh n¸u 2 K l mÎt nghi»m cıa

f(x)

th¼ an 6= 1 vÓi mÂi n 2 f1; 2; 3; 4; 5; 6g v 7 = 1: Ta c‚: x7

Do ‚ l nghi»m cıa x7 1: Suy ra 7 = 1: N¸u = 1 th¼ 7 = 0 2 F pv

do ‚ 7 l bÎi cıa p i·u n y m¥u thu¨n vÓi gi£ thi¸t v· p: N¸u 2 = 1 th¼

1 = 7 = ( 2)3 = ; vÊ l½ N¸u 3 = 1 th¼ 1 = 7 = ( 3)2 = ; vÊ l½ N¸u

5

= 1 th¼ 1 = 7 = 5 2 = 2; vÊ l½ N¸u 6 = 1 th¼ 1 = 7 = 6 = ; vÊ l½ Vªy

an 6= 1 vÓi mÂi n 2 f1; 2; 3; 4; 5; 6g v 7 = 1: Kh¯ng ‡nh ˜Òc ch˘ngminh

Gi£ s˚ f(x) kh£ quy tr¶n Fp: V¼ deg f(x) = 6 n¶n f(x) c‚ nh¥n t˚ b§t kh£quy bªc d vÓi d 2 f1; 2; 3:g N¸u f(x) c‚ nh¥n t˚ bªc nh§t th¼ f(x) c‚ nghi»m

2 F p : Ta c‚ f(0) = 1 6= 0 v do‚ 6= 0: Suy ra 2 F p : Theo kh¯ng

‡nh tr¶n c‚ c§p 7 trong nh‚m nh¥n Fp: V¼ Fp c‚ c§p p 1 n¶n theo -‡nh l½ Lagrange, 7 l ˜Óc cıa p 1: -i·u n y m¥u thu¨n vÓi gi£ thi¸t v· p: Vªy f(x) khÊng c‚ nh¥n t˚ bªc nh§t.

Gi£ s˚ f(x) c‚ nh¥n t˚ b§t kh£ quy q(x) 2 F p [x] vÓi deg q(x) = 2: L§y

2 F l mÎt nghi»m cıa q(x): -°t T = F p [ ] = fg( )jg(x) 2 F p [x]g: Theo

M»nh · 1.1 T l mÎt tr˜Ìng ch˘a Fp v f1; g l mÎt cÏ s cıa Fp- khÊng

gian v²c tÏ T: Do ‚ T c‚ p ph¦n t˚ V¼ = 0 n¶n

2 T : T¯ kh¯ng ‡nh

6

-‡nh l½ Lagrange, 7 l ˜Óc cıa c§p cıa nh‚m nh¥n T ; T c‚ c§pp2 1: Tuy

nhi¶n p2 1 khÊng chia h¸t cho 7 v¼ theo gi£ thi¸t p2 1 Áng d˜ vÓi 1 ho°c

vÓi 3 theo mÊ un 7 -i·u n y vÊ l½ Do ‚ f(x) khÊng c‚ nh¥n t˚

b§t kh£ quy bªc hai.

V¼ f(x) kh£ quy n¶n f(x) c‚ nh¥n t˚ b§t kh£ quy q(x) 2 F p [x] vÓi

deg q(x) = 3: L§y 2 F l mÎt nghi»m cıa -°t T = F p [ ] =

fg( )jg(x) 2 F p [x]g: Theo M»nh· 1.1, T l mÎt tr˜Ìng ch˘a F pv f1; ; 2g

l mÎt cÏ s cıa Fp- khÊng gian v²c tÏ T: Khi ‚ sË ph¦n t˚ cıa T l p3: V¼ 6= 0

q(x):

7 l ˜Óc cıa p3 1: -i·u n y vÊ l½ v¼ theo gi£ thi¸t p3 1 Áng d˜ vÓi 5 theo

mÊ un 7 Vªy, f(x) b§t kh£ quy tr¶n F p :

16

v nh a th˘c cıa x tr¶n F Ph¦n t˚ c‚ a th˘c tËi tiºu khi ¤i sË tr¶n F ,t˘c l f( ) = 0 vÓi mÎt a th˘c f(x) kh¡c 0 trong F [x] Khi §y a th˘ctËi tiºucıa ˜Òc ‡nh ngh¾a l a th˘c monic c‚ bªc nh‰ nh§t trong sË c¡c ath˘c trong F [x] nhªn l m nghi»m.

V½ dˆ 1.8 ChÛng ta s³ t¼m t§t c£ c¡c a th˘c tËi tiºu cıa t§t c£ c¡c ph¦n t˚thuÎc F8 -¦u ti¶n, ta th§y r¬ng ph¦n t˚ 0 c‚ a th˘c tËi tiºu l x Ph¦n t˚ 1

c‚ a th˘c tËi tiºu l x + 1 Gi£ s˚ l mÎt nghi»m cıa a th˘c x3+ x + 1 Khi

‚, d¹ th§y r¬ng c¡c ph¦n t˚ ; 2v 4 c‚ chung a th˘c tËi tiºu l x3 + x + 1

C¡c ph¦n t˚ 3; 6 v 5 c‚ chung a th˘c tËi tiºu l x3 + x2 + 1

Ti¸p theo, chÛng tÊi ch¿ ra mÎt sË t½nh ch§t cıa a th˘c tËi tiºu nh˜ sau:

-‡nh l½ 1.4 -a th˘c tËi tiºu l b§t kh£ quy

X²t m rÎng tr˜Ìng E=F nh˜ tr¶n, 2 E v f(x) 2 F [x] l a th˘c tËi tiºu cıa Gi£ s˚ i·u ng˜Òc l¤i, f(x) = g(x)h(x) , trong ‚ g(x); h(x) l c¡c a th˘c thuÎc F [x] vÓi bªc nh‰ hÏn f(x) Do tr˜Ìng cÙng l mi·n nguy¶n v f( ) = 0 n¶n ta ph£i c‚ g( ) = 0 ho°c h( ) = 0 -i·u n y m¥u thu¨n vÓi gi£ thi¸t f(x) c‚ bªc nh‰ nh§t Do ‚ i·u gi£ s˚ l sai, vªy f(x) l a th˘c b§t kh£ quy.

-‡nh l½ 1.5 N¸u l mÎt nghi»m cıa a th˘c f(x) 2 F[x]; khi ‚ a th˘c tËi tiºu

N¸u ta l§y F = Q; E = R; = 3; th¼ a th˘c tËi tiºu cıa l

p(x) = x2 3: Tr˜Ìng F ‚ng vai tr· quan trÂng v¼ n‚ x¡c ‡nh c¡c h» sË cıa

p(x) V½ dˆ, n¸u ta l§y F = R th¼a th˘c tËi tiºu cho= 3 l p(x) = x 3:

17

Ch˜Ïng 2

Ph¥n t½ch a th˘c th nh c¡c a

th˘c b§t kh£ quy º x¥y d¸ng c¡c m¢ cyclic tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n

2.1 Ph¥n t½ch a th˘c xn 1 th nh c¡c a th˘c b§t kh£

quy tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n

2.1.1 Ph¥n t½ch a th˘c xn 1 tr¶n F q khi (n; q) = 1

-¦u ti¶n, chÛng tÊi tr¼nh b y v· vi»c ph¥n t½ch a th˘c xn 1 tr¶n Fq

khi (n; q) = 1 Nh˙ng k¸t qu£ n y¢˜Ịc tham kh£o trong cuËn s¡ch [2]

-‡nh ngh¾a 2.1 ChoFl mỴt tr˜Ìng v n 2 NkhÊng chia h¸t °c sË cıa

tr˜Ìng F: Tr˜Ìng ph¥n r¢ E n cıa xn1 tr¶n F ˜Ịc gÂi l tr˜Ìng chia˜Ìngtr·n bªc n (tr¶n F)

Nhªn x²t 2.1 MỴt nghi»m cıa xn 1 gÂi l c«n bªc n cıaÏn v‡ Tªp t§tc£ c¡c c«n bªc n cıa Ïn v‡ t¤o th nh mỴt nh‚m nh¥n Cn trong tr˜Ìng chia ˜Ìng tr·n bªc En: Nh‚m Cn c‚ n ph¦n t˚ do xn 1 t¡ch ˜Ịc Ta th§yr¬ng nh‚m Cn l nh‚m cyclic v¼ n‚ l nh‚m con h˙u h¤n cıa F? MỴt ph¦n t˚ sinh

cıa Cn gÂi l c«n nguy¶n thıy bªc n cıa Ïn v‡ SË c¡c c«n nguy¶nthıy bªc n cıaÏn v‡ b¬ng ’(n) vĨi ’ l h m Euler

M»nh · 2.1 Tr˜Ìng chia ˜Ìng tr·n En l m rỴng Ïn Galois tr¶n F:

Ch˘ng minh GÂi nl mÎt c«n nguy¶n thıy bªc n cıa Ïn v‡ Khi‚ E n

(iii) N¸u F c‚ °c sË p v Áng nh§t F p vÓi tr˜Ìng con nguy¶n tË cıa F,

th¼ n (x) 2 Fp[x]; b¬ng vÓia th˘c nhªn ˜Òc (ii) modulo p:

Ch˘ng minh (i) -º ch˘ng minh ¯ng th˘c tr¶n, ta c¦n ch¿ ra haia th˘c

xn 1 v djn d (x) ·u l a th˘c monic,·u khÊng c‚ nghi»m bÎi, v c‚

Q

hai a th˘c hai v¸ ·u l a th˘c monic ChÛ ˛ r¬ng mÎt a th˘c c‚ nghi»m bÎi n¸u

v ch¿ n¸u a th˘c ‚ v ¤o h m cıa n‚ ph£i c‚ nghi»m chung V¼ th¸ xn 1

khÊng c‚ nghi»m bÎi (c¡c nghi»m cıa xn 1 ·u kh¡c 0, trong khi¤oh m cıa n‚

l nxn 1 ch¿ c‚ duy nh§t nghi»m b¬ng 0) VÓi mÈi ˜Óc d cıa n; c¡c nghi»mcıa d (x) ·u l nghi»m cıa xd1 v do ‚ n‚ khÊng c‚ nghi»m bÎi

Gi£ s˚ d v d0 l hai ˜Óc kh¡c nhau cıa

n: Khi ‚ mÈi nghi»m cıa d(x) c‚

c§p l d; trong khi ‚ mÈi nghi»m cıa d 0 (x) c‚ c§p l d0

: V¼ th¸, c¡c nghi»m

cıa a th˘c djn d (x) ·u l nghi»m Ïn Gi£ s˚ l nghi»m cıa xn 1: GÂi

d l c§p cıa : Khi‚ d = 1 v d l sË nguy¶n d˜Ïng b² nh§t c‚ t½nh ch§t

n y V¼ th¸ l c«n nguy¶n thıy bªc d cıa Ïn v‡ Suy ra l nghi»m cıa a th˘c cıa d (x): Ng˜Òc l¤i, cho d l ˜Óc cıa n v l nghi»m cıa d (x): Khi

‚ d = 1: Suy ra n = 1, t˘c l l nghi»m cıa a th˘c xn 1: Vªy ta k¸t

luªn r¬ng xn 1 = Q

djn d (x):

19

(ii) Ta ch˘ng minh b¬ng quy n¤p theo n: N¸u n = 1 k¸t qu£ l hiºn nhi¶n Ta c‚

l th˜Ïng cıa hai a th˘c c‚ h» sË thuÎc Z n¶n n (x) 2

Z[x] (iii) Hiºn nhi¶n t¯ ch˘ng minh cıa (ii).

V½ dˆ 2.1 (i) VÓi mÂi p nguy¶n tË, ta c‚

vÓi r l sË nguy¶n d˜Ïng nh‰ nh§t sao cho sqr 1 1 (mod n):

(ii) Bªc ordn (q) cıa q modulo n l sË nguy¶n d˜Ïng nh‰ nh§t a sao cho qa 1

K¸t qu£ sau ¥y ¢ ˜Òc ch˘ng minh trong [5, Theorem 4.1.1].

-‡nh l½ 2.1 [5, Theorem 4.1.1] Cho n l sË nguy¶n d˜Ïng nguy¶n tË cÚng nhau vÓi q: Cho t = ordn(q) v l c«n nguy¶n thıy bªc n cıa Ïn v‡ trong

Gi£ s˚ l c«n nguy¶n thıy bªc 13 cıa Ïn v‡ trong F27 Khi ‚, c¡c nh¥n t˚ b§t kh£ quy cıa x13 1 tr¶n F3 c‚ bªc l 1, 3, 3, v 3 ChÛng l nh˙ng a th˘c M1(x);

x13 1 tr¶n F 3l x 1; x3 + 2x + 2; x3 + x2 + 2; x3 + x2 + x + 2; x3 + 2x2 + 2x + 2

21

„p dˆng ‡nh l˛ 2.1, ta c‚ thº ph¥n t½ch c¡c a th˘c sau th nh c¡c a th˘c b§t kh£ quy.

Ti¸p theo chÛng tÊi cung c§p mÎt v i k¸t qu£ ph¥n t½ch c¡c a th˘c

th nh c¡c a th˘c b§t kh£ quy tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n c‚ nhi·u ph¦n t˚:

Tr¶n tr˜Ìng h˙u h¤n F 23

a) x32 1 = (x 1)(x + 1)(x2 + 1)(x2 + 4x + 22)(x2 + 5x + 1)(x2 + 7x + 22)(x2 + 16x + 22)(x2 + 18x + 1)(x2 + 19x + 22)(x4 + 4x2 + 22)(x4 + 7x2 +

22)(x4 + 16x2 + 22)(x4 + 19x2 + 22):

b) x35 1 = (x 1)(x3 + 10x2 + 9x+ 22)(x3 + 14x2 + 13x+ 22)(x4 +x3 +x2 + x+1)(x12 +9x11 +22x10 +13x9 +x8 +10x7 +21x6 +14x5 +x4 +9x3 +22x2 +13x+ 1)(x12 +13x11 +22x10 +9x9 +x8 +14x7 +21x6 +10x5 +x4 +13x3 +22x2 +9x+1):

x = 1 l mÎt nghi»m cıa f 1 (x): Do‚ f 1 (x) = (x 1)f 2 (x); vÓi deg f 2 (x) = 5:

-º t¼m f 2 (x) ta th¸c hi»n ph²p chia f 1 (x) cho

x

1; ta lªp l˜Òc Á Horner

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 1 2 2 2 0 Khi ‚ f 2 (x) = x5+x4+x3+2x2+2x+2 v f 2 (1) = 15+14+13+2:12+2:1+2 = 0:

Suy ra x = 1 l mÎt nghi»m cıa f 2 (x): Do ‚ f 2 (x) = (x 1)f 3 (x); vÓi

1 1 2 0 2 4 0 Vªy f 3 (x) = x4 + 2x3 + 2x + 4 v f 3 (1) = 14 + 2:13 + 2:1 + 4 = 0: Suy ra x = 1

l mÎt nghi»m cıa f3(x): Do ‚ f3(x) = (x 1)f 4 (x); vÓi deg f 4 (x) = 3:

-º t¼m f 4 (x) ta th¸c hi»n ph²p chia f 3 (x) cho

1 1 2 3 4 0

24