Tính chất: Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó Nhận xét: Nếu đạo hàm f x' giữ nguyên dấu trên đoạn [ ]a b; thì hàm số
Trang 1- 1 -
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I Lý thuyết
I.1 Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên tập D D( ⊂ ℝ)
a)
max ( )
: ( )
D
( ) , min ( )
: ( )
D
I.2 Tính chất:
Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên
đoạn đó
Nhận xét: Nếu đạo hàm f x'( ) giữ nguyên dấu trên đoạn [ ]a b; thì hàm số đồng biến hoặc
nghịch biến trên cả đoạn Do đó f x( ) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại đầu mút của đoạn Nghĩa là:
a) Nếu hàm số f x( ) đồng biến trên [ ]a b; thì
[ ; ] [ ; ]
max ( )= ( ), min ( )= ( )
a b
a b f x f b f x f a b) Nếu hàm số f x( ) nghịch biến trên [ ]a b; thì
[ ; ] [ ; ]
max ( )= ( ), min ( )= ( )
a b
a b f x f a f x f b
II Các dạng toán liên qua đến GTLN, GTNN của hàm số
II.1.Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= f x( ) bằng cách lập bảng biến thiên
1 Phương pháp
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một tập D
• Tính f x'( )
• Tìm x i tại đó f x'( ) 0= hoặc f x'( )không xác định
• Lập bảng biến thiên
• Dựa vào bảng biến thiên để kết luận
Chú ý 1: Trên BBT, nếu y→ +∞thì không có GTLN; nếu y→ −∞thì không có GTNN
Nếu có cả y→ +∞và y→ −∞thì hàm số không có GTLN và GTNN
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [ ]a b;
• Tính f x'( )
• Tìm các điểm x 1 , x 2 , …, x n trên (a; b) tại đó f x'( ) 0= hoặc f x'( )không xác định
• Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n )
• So sánh các giá trị vừa tính và kết luận
[ ; ]
max ( ) ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
a b
=min ( )[ ; ] = { ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )1 2 n }
a b
Chú ý 2:
• Nếu phải đặt ẩn phụ t g x= ( ) thì cần tìm điều kiện (miền giá trị của t) đầy đủ cho t trên tập D
• Với hàm y= f x( ) thì GTLN (GTNN) trên đoạn [ ]a b; là GTLN (GTNN) của
trị tuyệt đối giá trị cực đại, giá trị cực tiểu và hai biên f a( ), ( )f b Cần lưu ý ( ) ≥0
f x có xảy ra dấu bằng không? Để kết luận chính xác
• Khi tìm GTLN, GTNN nếu đề không nói trên tập nào, có nghĩa là tìm trên tập xác định; từ TXĐ kiểm tra xem là đoạn hay khoảng mà lựa chọn phương pháp phù hợp
Trang 2- 2 -
2 Bài tập vận dụng tự luận
Bài 1 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) y x= 2 +4x+3 b) y=4x3 −3x4 c) y x= 4 +2x2 −2
d) y= x2 + −x 2 e) 2 1
−
=
x y
1
=
+
y x
g) 2 1 ( 0)
= + >
1
− +
= + +
y
+
Bài 2 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) y=2x3+3x2−12x+1 trên [–1; 5] b) y=3x x− 3 trên [–2; 3]
c) y x= 4 −2x2 +3 trên [–3; 2] d) y x= 4 −2x2 +5 trên [–2; 2]
e) 3 1
3
−
=
−
x
y
1
−
= +
x y
x trên [0; 4]
g) 4 2 7 7
2
=
+
y
1
− +
= + −
x x y
x x trên [0; 1]
i) y= 100−x2 trên [–6; 8] k) y= 2+ +x 4−x
l) y x= + 4−x2 m) y= x2 −4x+3 trên [−3;3]
Bài 3 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
( )
a y= f x = x x− trên đoạn ;
2 2
π π
; b y) = f x( )= +x 2 cosx trên đoạn 0;
2
π
( ) 2
c y= f x = x− x+ d) f x( ) 1cos 2x 2 sinx 4
2
π
∈
Bài 4 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a) 2sin 1
−
=
+
x y
=
y
x x c) y=2 sin2x−cosx+1 d) y=cos 2x−2 sinx−1 e) y=sin3 x+cos3x f) 4 2 21
1
−
=
x y
g) y=4 x2 −2x+ +5 x2 −2x+3 h)y= −x2 +4x+ x2 −4x+3
3 Bài tập vận dụng trắc nghiệm
Bài 1 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình bên.Giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn
[−1; 2] bằng:
Bài 2 Giá trị nhỏ nhất của hàm số =21− 3
−
x y
x trên [ ]0; 2 là:
3
Bài 3 Giá trị lớn nhất của hàm số y= 4x x− 2 là
Bài 4 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= x3 −3x2 trên [−1;1] là:
y
x
5
-1
-1
4
3 2 1
Trang 3- 3 -
Bài 5 Cho hàm sốy= x+ 1
x.Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên (0;+∞)bằng
Bài 6 Cho hàm số y=3sinx−4 sin3x.Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng ;
2 2
π π bằng
Bài 7 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y x x Tích M n bằng
4
Bài 8 Kết luận nào là đúng về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= x x− 2 ?
A Có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất
B Có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất
C Có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất
D Không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Bài 9 Cho hàm sốy= −x2 +2x.Giá trị lớn nhất của hàm số bằng
Bài 10 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên nửa khoảng [−1; 2) có bảng biến thiên như hình bên
Khẳng định nào sau đây là sai?
A Hàm số đồng biến trên khoảng ( )0;1
B Đồ thị hàm số không đi qua điểm M( )2;5
C
[ 1;2 )
− y=
D
[ 1;2 )
− y=
Bài 11 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=cos2x+sinx+3 trên ℝ
A max =4
4
=
4
=
ℝ y
Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= −2 3sin 3x+4 cos 3x trên ℝ
A max =7
ℝ y C max =9
ℝ y D max =3
Bài 13 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2
1 +
=x
y
x
A.min =2
ℝ y B.min =0
ℝ y D Không tồn tại min
ℝ y
Bài 14 Hàm số nào sau đây không có giá trị lớn nhất?
C y sin= 2x−2 sinx+11 D y x= 4 −2x2 +1
Bài 15 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 1
1
+
= + +
x y
trên tập số thực Hiệu M−m bằng:
A 2
3
Bài 16 Cho x y, là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x+ =y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức S x y= 2 2−4 xy
A minS= −3 B minS= −4 C minS=0 D minS=1
Bài 17 Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x+ =y 2 ĐặtS=xy+ xy1+1. Khẳng
định nào sau đây đúng?
Trang 4- 4 -
A Biểu thứcS không có giá trị lớn nhất B Biểu thức S không có giá trị nhỏ nhất
C.min 3
2
=
Bài 18 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2 1
1
+
= +
x y
x trên đoạn [−1; 2] lần lượt là:
5
Bài 19 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y=sin4 x+cos4 x lần lượt là
2 và 1
Bài 20 Cho hàm số 1
1
+
x Khẳng định nào sau đây đúng?
A Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 khi x=0
B Giá trị lớn nhất của hàm số là 1 khi x=0
C Hàm số không tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
D Hàm số không tồn tại giá trị nhỏ nhất
Bài 21 Cho x y, là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x+ =y 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức 1 3 2 2
1 3
A minP= −5 B minP=5 C min 7
3
=
P D min 115
3
=
P
Bài 22 Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục trên đoạn [ 1; 2]− có đồ thị như hình vẽ Mệnh
đề nào sau đây sai?
A
[ 1;2]
miny ( 1) 1
− =y − =
B
[ 1;2]
maxy (2) 6
C Điểm M(1;3)là điểm cực đại của hàm số
D Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;1)và ( 2; 2)
II.2.Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y= f x( ; m) đạt GTLN (M ), GTNN (m) trên tập D cho trước
Bài 1 Tìm tất cả các giá trị thực của mđể hàm số ( ) +1
=
−
mx
f x
x m có giá trị lớn nhất trên đoạn
[ ]1; 2 bằng −2
Bài 2 Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số f x( )=x3−mx+18có giá trị nhỏ nhất trên đoạn
[ ]1;3 không lớn hơn 2
Bài 3 Tìm tham số thực mđể hàm số
1
+
=
−
x m y
x thỏa mãn
[2;4]
miny=3
Bài 4 Tìm tham số thực mđể hàm số
1
+
= +
x m y
x thỏa mãn
[1;2] [1;2]
16
3
Trang 5- 5 -
II.3.Dạng 3: GTLN – GTNN và điều kiện của tham số thỏa mãn điều kiện về nghiệm của phương trình, bất phương trình
1 Phương pháp chung: Dùng bảng biến thiên, và GTLN, GTNN để giải toán
2 Điều kiện để PT, BPT có nghiệm
Giả sử f x( )là một hàm số liên tục trên miền D và có min ( ); max ( )
D f x D f x Khi đó: 1) Phương trình f x( ) =mcó nghiệm trên tập D ⇔min ( ) m max ( )≤ ≤
2) Bất phương trình m≤ f x( ) có nghiệm trên tập D ⇔m max ( )≤
3) Bất phương trình m≥ f x( ) có nghiệm trên tập D ⇔m min ( )≥
4) Bất phương trình m≤ f x( ) đúng với mọi x D∈ ⇔m min ( )≤
5) Bất phương trình m≥ f x( ) đúng với mọi x D∈ ⇔m max ( )≥
3 Bài tập vận dụng tự luận
Bài 1 Tìm m để phương trình
a) x3 −6x2 +m=0có nghiệm thuộc đoạn [ 1; 6]−
b) x+ 12 3− x2 =m có nghiệm
Bài 2 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a) x+ 2x2 + =1 m b) 2− +x 2+ −x (2−x)(2+x)=m
c) 3+ +x 6− −x (3+x)(6−x)=m d) 7− +x 2+ −x (7−x)(2+x)=m
Bài 3 Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ :
a) x+ 2x2 + >1 m b) m 2x2 + < +9 x m c) mx4−4x m+ ≥0
Bài 4 Cho bất phương trình: x3−2x2+ − +x 1 m<0
a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2]
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2]
Bài 5 Tìm m để các bất phương trình sau:
a) mx− x− ≤3 m+1 có nghiệm b) (m+2)x m− ≥ +x 1 có nghiệm x [0; 2]∈ c) m x( 2 − + ≤x 1) x2 + +x 1 nghiệm đúng với mọi x [0; 2]∈
II.4 Dạng 4: Ứng dụng của GTLN, GTNN vào bài toán thực tế, tối ưu
1 Phương pháp:
• Xác định tất cả các biến, lựa chọn biến sao cho việc biểu diễn đại lượng (biểu thức tối ưu) là đơn giản nhất
• Tìm điều kiện cho biến
• Biểu diễn đại lượng tối ưu thông qua biến (thiết lập hàm số)
• Tìm GTLN (GTNN) của hàm vừa thiết lập theo biến và điều kiện tương ứng
• Kết luận
2 Bài tập vận dụng tự luân
Bài 1 Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi 16(cm), hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất
Bài 2 Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48(cm2), hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất
Bài 3 Môt chất điểm chuyển động theo quy luật s t( ) 6= t2 −t3 Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v m s( / )của chuyển động đạt giá trị lớn nhất
Bài 4 Cho số dương m Hãy phân tích số mthành tổng hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất
Bài 5 Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng bé nhất
Bài 6 Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh
huyền bằng hằng số a a, ( >0)
Trang 6- 6 -
Bài 7 Cho một tam giác đều ABCcạnh a a( >0) Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC , hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và
AB của tam giác Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất
và tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 8 Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị
diện tích mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng ( ) 480 20 (= − )
P n n gam Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
Bài 9 Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G x( ) 0, 025 (30= x2 −x)
trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam) Tính
liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó
Bài 10 Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km Vận tốc dòng nước
là 6 km/h Nếu vận tốc của cá bơi khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E(v) = cv t3 trong đó c là một hằng số, E được
tính bằng jun Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất
Bài 11 Cho parabol ( ) : y xP = 2và điểm A( 3; 0)− Xác định điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó
Bài 12 Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10 cm, hãy xác định tam giác
có diện tích lớn nhất
III Bài tập tổng hợp
Bài 1 Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y x= 4+2x2−1 trên đoạn [−1;2] lần lượt là M
và m Khi đó, giá trị của M m là:
hơn 46
Bài 2 Hàm số y=4 x2−2x+ +3 2x x− 2 đạt giá trị lớn nhất tại x x1, 2 Tích x x1 2bằng
Bài 3 Giá trị lớn nhất của hàm số y=cosx+ 2 cos− 2x bằng:
Bài 4 Cho hàm số y= 3cosx−4sinx+8 với x∈[0;2 ].π Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Khi đó tổng M+m bằng bao nhiêu?
Bài 5 Tìm tất cả các giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y=–x3– 3x2+m trên đoạn
[−1;1]bằng 0
Bài 6 Hàm số = − 12
+
x m y
x có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ ]0;1 bằng -1 khi
1
= −
=
m
3
= −
=
m
Bài 7 Tìm giá trị lớn nhất của hàm sốy=3sinx−4sin3x trên đoạn ;
2 2
π π bằng:
Bài 8 Hàm số y=3x3+4x−1 có giá trị nhỏ nhất trên [ ]0;2 bằng:
A.0 B.1 C.3 D.2
Bài 9 Trên đoạn [ ]2; 4 hàm số = +1
−
mx y
x m đạt giá trị lớn nhất bằng 2 Khi đó :
Trang 7- 7 -
6
=
4
Bài 10 Hàm số y=4 x2−2x+ +3 2x x− 2 đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị x mà tích của chúng
là:
Bài 11 Cho hàm số 2
1
= +
y
x Giá trị nào sau đây của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên [ ]0;1 bằng −2 là:
Bài 12 Giá trị lớn nhất của hàm số =2 +1
−
mx y
m x trên đoạn [ ]2;3 là 1
3
− khi m nhận giá trị:
Bài 13 Cho hàm sốy= f x( ) xác định trên tập D.Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?
A. =min ( )
D
m f x nếu f x( )≥m với mọi x thuộc D và tồn tại x0∈D sao cho ( )0 =
f x m
D
m f x nếu f x( )>m với mọi xthuộc D
C. =max ( )
D
M f x nếu f x( )≤M với mọi x thuộc D và tồn tại x0∈D sao cho ( )0 =
f x M
D.Nếu =max ( )
D
M f x thì f x( )≤M với mọi xthuộc D
Bài 14 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1 2 2
1
− −
=
+
y
x Khi đó giá trị của M m− là:
Bài 15 Tìm tất cả các giá trị thực khác 0 của tham số m để hàm số 2
1
= +
mx y
x đạt giá trị lớn nhất tại x=1 trên đoạn [−2; 2]?
A m= −2 B m<0 C.m>0 D m=2
Bài 16 Cho hàm số ( ) 2
1
+
= +
x m
f x
x Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm x=1
Bài 17 Cho hình chữ nhật có diện tích bằng 100(cm2) Hỏi mỗi kích thước của nó bằng bao
nhiêu để chu vi của nó nhỏ nhất?
A.10cm×10cm B.20cm×5cm C.25cm×4cm D.Đáp án khác Bài 18 Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là 180 mét thẳng
hàng rào Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào và rào thành mảnh đất hình chữ nhật Hỏi mảnh đất hình chữ nhật được rào có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
A.S max =3600m2 B.S max =4000m2 C.S max=8100m2 D.S max =4050m2
Bài 19 Có một tấm gỗ hình vuông cạnh 200 cm Cắt một tấm gỗ có hình tam giác vuông, có
tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số 120 cmtừ tấm gỗ trên sao cho tấm gỗ hình tam giác vuông có diện tích lớn nhất Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ này
là bao nhiêu?
A 40cm B 40 3cm C 80cm D 40 2cm