Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2019-2020 – Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Thuận (Có kèm theo lời giải) giúp các em có thêm tư liệu để tham khảo cũng như củng cố, nâng cao kiến thức trước khi bước vào kì thi.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH THUẬN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC: 2019 - 2020
Khóa ngày : 21/03/2020
Môn thi: TOÁN - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐỀ:
(Đề thi có 01 trang / 20 điểm)
Bài 1: Cho , , zx y là các số thực dương thỏa xyz Chứng minh rằng1
2
x yz y zx z xy .
Lời giải
2
1
Áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có:
2
2
1
2
y
Theo giả thiết , , zx y là các số thực dương thỏa xyz , khi đó: 1
2
3
xyz
xyyzzx
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x yz 1
Bài 2: Giải phương trình
5x 14x 9 x x 205 x 1
Lời giải
Điều kiện xác định:
2 2
1 0
x
5x 14x9 5 x 1 x x 202x 5x 2 5 x1 x4 x5
Đặt
2
4
với điều kiện: u3,v0 Khi đó phương trình trên trở thành:
3u 2v 5uv3u u v 2v u v 0 3 2 0
u v
TH1: uv suy ra: 2 2
2
x
Trang 2Đối chiếu điều kiện nhận 5 61
2
TH2: 3u2v suy ra: 2 2
8
4
x
x
Đối chiếu điều kiện nhận x 8
2
S
Bài 3: Cho a2,b3,c4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
N
abc
Lời giải
N
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
6
b b
Bài 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt
đúng ba lần và các chữ số khác có mặt tối đa một lần
Lời giải TH1: Xếp số 0 ở mọi vị trí
Lấy 3 vị trí, xếp số 3 vào ba vị trí có: 3
7
C cách
Lấy 2 vị trí tiếp theo, xếp số 2 vào hai vị trí có: 2
4
C cách
Xếp 2 vị trí còn lại có thứ tự, có: A cách 82
Vậy theo quy tắc nhân có C73C42 A8211760 số
TH2: Xếp số 0 vị trí đầu
Lấy 3 vị trí, xếp số 3 vào ba vị trí có: 3
6
C cách
Lấy 2 vị trí tiếp theo, xếp số 2 vào hai vị trí có: C cách 32
Xếp 1 vị trí còn lại có thứ tự, có: A71 cách
Vậy theo quy tắc nhân có 3
6
3
7
A 420 số
Từ trường hợp 1 và trường hợp 2, ta có 11760 420 11340 số thỏa mãn điều kiện bài toán
Trang 3Bài 5: Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R và 1 sin sin sin 3
(với m m m lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh a, b, c A B C, ,
của tam giác ABC ) Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
Lời giải
Xét bài toán: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a2b2c22 3 a m a
Áp dụng công thức trung tuyến, ta có:
4
Suy ra: 2 3 a m aa 3 2b22c2a2
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
2
Theo giả thiết, ta có R 1 suy ra sin , sin , sin
1
Áp dụng bài toán chứng minh trên, ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 3
2 3
2 3
a
b
c
Khi đó ta hoàn toàn chứng minh được:
1
Thật vậy:
1
Căn cứ vào giả thiết (*) suy ra bất đẳng thức (**) xảy ra dấu bằng, tức là:
2 2 2
2
2
2
Vậy suy ra tam giác ABC đều (đpcm)
Bài 6: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó bằng tổng giai thừa các chữ số của nó
Lời giải
Giả sử số cần tìm là abc a 0
Theo giả thiết, ta có: 100a10b c a!b!c!
1000
abc
Trang 4Xét maxa b c , suy ra , , 6 maxa b c!, !, !720 Tuy nhiên abc 666, do đó , ,a b c 5
Nếu , ,a b c , suy ra !4 a b!c! 3.4! 72 100 Vậy trong ba số , ,a b c có ít nhất một số 5
TH1: Có một số bằng 5 , suy ra hai số còn lại nhỏ hơn 5
Suy ra !a b!c! 5! 4! 4! 168 Khi đó a suy ra 1 b hoặc 5 c 5
Xét số cần lập là 1 5b hoặc 15c
KN1: abc1 5b , trong đó b 1; 2;3; 4
Suy ra 100 10 b 5 1! b! 5! b! 16 10 b
Kiểm tra b 1; 2;3; 4, ta thấy b 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán
KN2: abc15c, trong đó c 1; 2;3; 4
Suy ra 100 50 c 1! 5!c!c! 29 c
Kiểm tra c 1; 2;3; 4, ta thấy không tồn tại c thỏa mãn yêu cầu bài toán
TH2: Có hai số bằng 5
Suy ra 5! 5! 0! 100 a10b c 5! 5! 4! 241abc264, suy ra a 2
Thử lại 2552! 5! 5! , nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán
TH3: Cả ba số bằng 5
Nhận thấy 5553.5! nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy số có ba chữ số thỏa mãn điều kiện bài toán là: 145
HẾT