Phương pháp giải nhanh 999 bài toán chọn lọc: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cung cấp cho người học các phương pháp giải bài tập toán đại số với các nội dung là số phức, tổ hợp và xác suất, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số và mũ, logarit,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

= > [ Ả C - , A M ] = (2V2a';-a";-V2a'“)

Mặt phẳng (ACM) đi qua điểm A và có VTPT

n = ( 2\/2 ; -t-y/2 ) nên có phương trình là

^|8 + l + 2 ~ VĨT

Bài 4.30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a,

BC = a\Í3 Hai mặt phẳng (SAC), (SBD) cùng vuông góc với đáy Điểm

I thuộc đoạn s c sao cho s c = 3IC Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI, SB biết AI vuông góc với s c

Hướng dẫn giải

Gọi o là giao điểm hai đường chéo

AC, BD, theo giả thiết ta có s o -L (ABCD)

Qua I kẻ đường thẳng song song với SB cắt BC tại M, suy ra SB // (AIM)

do đó d(SB, AI) = d(SB, (AIM) = d(B, (AIM))

^aami

4a

Bài 4.31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a, SA vuông góc với (ABCD) và SA = aV ẽ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB Tính thể tích khối chóp

6 1

rj- ^ ^ SbDCGọi K là hình chiếu của B trên AD

và B với AB = BC = a, AD = 2a Các rnặt phẳng (SAC) vả (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Biết góc giữa hai mặt phang (SAB) và (ABCD) bằng 60° Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB

Hướng dẫn giảiGọi H là giao điểm của AC, BD

=í> SH 1 (ABCD) và BH = -B D

Kè HE 1 AB => AB 1 (SHE)

-góc ((SAB), (ABCD)) = SHE - 60"

M àH E = A D — =>SH

^ V s a b c d = Ì s H S ^ c d = - 3

và BO // CD hay CD // (SBO), BO 1 (SAC) nên

Bài 4.33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, BC song song

AD, SB = a^/2 , AD = 2a, AB = BC = CD = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính khoảng cách giữa SB và AD

Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm của AD

Tam giác vuông SHI ta có: HK = HS.HI

AD = 3a, BC = CD = 4a Cạnh bên SA = aVs và vuông góc với mp(ABCD) Gọi E là điểm nằm frên cạnh AD sao cho AE = a, F là trung điểm của CD Tính thể tích khối chóp S.DEBE và côsin của góc giữa hai đường thẳng SE và BF

Bài 4.35:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = a

và SA tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bàng 30° Chân đườnạ vuông

điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM = 2MA Tính khoảng cách giữa BC,

SA và thể tích tứ diện SMHC theo a

Hướng dẫn giải

Xét ASHA vuông tại H có AH = SA.cos30° =

Mà AABC đều nên AH 1 BC

Bài 4.36: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 2a,

AC = a Các cạnh bên của hình chóp đều bằng ay/2 Gọi M, H lần lượt

là trung điểm của AB và BC, I là điểm thỏa mãn BI = — AC Tính thể tích

3khối chóp S.ABCVà khoảng cách giữa hai đường thẳng MH và SI

Hướng dẫn giải

Vì các cạnh bên của hình chóp bằng nhau nên hình chiếu của s lên mp

(ABC) là tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mà tam giác ABC vuông tại A nên H là trung điểm H của BC

với MH' la (SBI)

Do đó d(MH, SI) = d(MH, (SBI)) = d(H, (SBI))

Hạ HD vuông góc với BI thì D là điểm

đối xứng với trung điểm E của AC qua H

Hạ HK vuông góc với SD thì HK ± (SBI)

Tam giác vuông SHD ta có:

Bài 4.37: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 2AC

= BC = 2a Mặt phẳng (SAC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60''

Hình chiếu của s lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC.

Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AH

và SB

Hướng dẫn giải

AABC vuông tại A có BC = 2a, AC = a, ố = 30”, c =

Gọi N là trung điểm của AC Vì AC I AB => AC -L HN, AC ± SH

hình chiếu của H trên SM khi đó d(HẦ; SB) = HK

Tam giác ACH đều nên góc HBM = 60” => HM =

2

Bài 4.38: Cho khối chóp S.ABC có tam giác đều ABC cạnh a và tam giác

thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa HK và mặt phẳng (SBC)

Hướng dẫn giải

đều có H là trung điểm AB nên

8Bài 4.39: Cho một tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a Một mặt cầu (S)

bán kính R của mặt cầu (S)

Hướng dẫn giải

và OBA, OCA, ODA là những tam giác vuông tại

mp(BCD) thì H là tâm của tam giác đều BCD

Bài 4.40: Ba cạnh của tam giác ABC có độ dài 13, 14 và 15 Một mặt cầu

có bán kính R tiếp xúc với ba cạnh của tam giác tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó Tìm khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng của tam giác

GiảiTam giác ABC có 3 cạnh 13, 14, 15

nên r = 4

Hạ OỊ ± (ABC) thì I là tâm đường tròn

nội tiếp tam giác ABC

Bài 4.41: Cạnh đáy và đường cao của hình lăng trụ lục giác đều ABCDEP

A'B'C'D'E'F' lần lượt bằng a và h Chứng minh rằng sáu mặt phẳng (AB'F'), (CD'B'), (EF'D'), (D'EC), (F'AE), (B'CA) cùng tiếp xúc với một mặt cầu, xác định tâm và bán kính

Hướng dẫn giải

Gọi p là trung điểm cạnh AE, P' là trung điểm cạnh A'E'; Q là trung điểm

Bài 4.42: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = s c = a, ASB = 60®, BSC = 90°

và CSA = 120° Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Tacó AB = a, BC = aV2 vàAC = a\/3

nên tam giác ABC vuông ở B Gọi SH là

đường cao của hình chóp, do SA = SB = s c

nên HA = HB = HC suy ra H là trung điểm

của cạnh AC

Tâm mặt cầu thuộc trục SH Vi góc

HSA = 60° nên gọi o là điểm đối xứng với

s qua điểm H thì; o s = OA = o c = OB = a

Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hìiứi chóp S.ABC

có tâm o và có bán kinh R = a

Bài 4.43: Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao s o = 1 và cạrứi

đáy bằng 2 \Zẽ Điểm M, N là trung điểm của cạnh AC, AB tưomg ứng Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó

Hướng dẫn giải

Do ABC là tam giác đều nên;'

Vì SABC là hình chóp đều nên o trùng

với tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 4.44: Tứ diện ABCD có AB = 6, CD = 8, các cạnh còn lại đều bằng

\ỊĨÃ Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện.

Hướng dẫn giảiGọi M, F thứ tự là trung điểm của AB, CD và K là tâm đường tròn ngoại

ngoại tiếp tứ diện ABCD, R = OD

Do đó OF = 3 Suy ra R = OD = VÕF^TfD^ = V9 + I 6 = 5

Bài 4.45: Cho hình nón s, góc giữa đường sinh d và mặt đáy là a Một mặi phẳng (P) qua đinh s, hợp vói mặt đáy góc 60*^ Tính diện tích thiết diệr

và khoảng cách từ o đến mp(P).

Hướng dẫn giải

Thiết diện là tam giác SAB cân tại s.

Gọi I là trung điểm AB Ta có AB ± OI, SI => SIO = 60®

ASOA, ASOI vuông tại o nên; s o = d.sina, OA = d.cosa s

Bài 4.46: Tìm hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính 1 cho trước

Hướng dẫn giải

< 2R) Gọi SS' là đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón thì:

Bài 4,47: Cho một hình cầu bán kính r = 1, nội tiếp một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy R Xác định h và R để thể tích hình nón có giá trị nhỏ nhât.

Bài 4.48: Một hình trụ có bán kính R và chiều cao R y/ẽ Cho hai điểm A và

B lần lượt nằm trên đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30° Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích của hình trụ và tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ

Sxq = 2TtR.RV3 = 2 S n R ^

Stp = Sxq + 2Sđáy ~ 2 -v/s tc R^ + 2 tĩ R^ = 2( >/3 + 1) tĩ R^

Gọi AA' là đường sinh của hình trụ thì

0'A' = R, AA' = R Vs và góc BAA ’ bằng 30°

Vì OOV/mp(ABA) nên khoảng cách giữa 0 0 '

A T » l _ r _ 1_1 _ _ _ / A Ti ,

-và AB băng khoảng cách giữa OO' -và mp(ABA')

Gọi H là trung điểm BA' thì khoảng cách đó bằng 0'H

Tam giác BA'A vuông tại A' nên: BA' = AA'tan30° = R Vs ^ = R.

v3

B|

1 1

— —

ì - ^

Bài 4.49: Cho một khối trụ có bán kính đáy R = 5(cm) và khoảng cách giữa hai đáy là 7(cm) Người ta cắt khối trụ đó bằng một mặt phẳng song song với trục của khối trụ và cách trụ một khoảng 3(cm) Tính diện tích của

Hướng dẫn giải •'

Gọi tâm của hai đáy là o và O'.

Thiết diện khi cắt khối trụ là hình chữ nhật AA'B'B

Gọi K là trung điểm của AB

Vậy OK là khoảng cách từ trục 0 0 ' tới mặt

phang thiết diện, tức là OK = 3

Vậy diện tích của thiết diện AA'B'B là: s = AB.BB' = 56 (cm^).

Bài 4.50: Cho hình trụ nội tiếp hình cầu S(0; R) Hình trụ nào có diện tích

xung quanh s lóm nhất và hình trụ nào có thể tích lớn nhất.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x^ = R^ - x^ <=> X

[y = -i

•2

Ta CÓ; w = 1 - (2 - i)i + 2 + i = 3 + i - 2i + i = 2 - i

Vậy phần ảo của z là -1

Bài 1.2: Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)" biết rằng n nguyên dương

thoả mãn log4(n - 3) + logs(n + 6) = 4

Hướng dẫn giải

Xét phương trình log4(n - 3) + log5(n + 6) = 4, n nguyên dương

màf(19) = 4

Do đó phương trình log4(n -3) + logs(n + 6) = 4 có nghiệm duy nhất n = 19

z = (1 + i)'^ - [(1 + i)Y (1 + i) = (21)’ (1 + i) = 512i’(l + i)

= 512(iT i(l + 0 = 5121(1 + i) = -512 + 512i

«2017 _ / I 1 / _

-999BT-Bài 1.6: Cho số phức z thỏa mãn - 6z + 13 = 0

6Tính z + -

Tacóz^ + 1 2 i= z <=> (x + yi)^ + 12i = X -y i

Hướng dẫn giảiĐặt z = a + bi, a, b e R ta có;

Hướng dẫn giảiĐặt z = a + bi (a, b G R)

Theo giả thiết: (z - 2i).( z - 2i) + 4iz = 0

o (a + (b - 2)i).(a - (b + 2)i) + 4i(a + bi) = 0

o (a^ + b^ - 4 - 4b) + [a(b - 2) - a(b + 2) + 4a]i = 0

<=> a^ + b^ - 4b - 4 = 0 và a(b - 2) - a(b + 2) + 4“ = 0

Do đó |z - 2i| = |a + (b - 2)i|

= Va^ + b^ - 4b + 4 + 8 = Tẽ - 2^/2 Vậy môđun của z - 2i bằng 2\/2

Bài 1.11: Tính môđun của số phức w = b + ci (b, c e R), biết số

Ta có: Z q =

Hướng dẫn giải(2i)'‘( - l - 2 i ) 2 (-l - 2i)(l + i)

-999BT-Bài 1.12: Viết dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của các số phức:

_ 1 - (cos ọ 4- i sin (p) _ (1 - cos cp) - i sin (p

- Khi tan — = 0 thì không có dạng lượng giác.

Ta có (x + yi)^ = l + 4 \/3 i <=> x^-y^ - 1 + 2(xy - 2 Vs )i = 0

Bài 1.17: Tìm các căn bậc hai của số phức z - 17 + 20 V2 i.

Vậy z = 0, z = 2 + 2i, z = -2 + 2i.

Bài 1,22: Tìm số phức z thoả mãn: I z| = 5 và phần thực của z bằng hai lần

phân ảo của nó

Vậy có hai số phức cần tìm: z = -2-JE - i^ /5 ,z = 2^/5 + i y/E

Bài 1.23: Tìm số phức z thỏa mãn (1 - 3i)z là số thực và thỏa mãn

z - 2 + 5i = 1

Hướng dẫn giải

Giả sử z = a + bi, (a;b 6 R)

Khi đó (1- 3i)z = (1 - 3i)( a+ bi) = a + 3b + (b - 3a)i

(1 - 3i)z là số thực < » b - 3 a = 0<=>b = 3a

z - 2 + 5i = l o | a - 2 + (5-3a)i| = l o V(a-2)^ + (5-3a)^ =1

<=> lOa^ - 34a + 29 = 1 <» 5a^ - 17a +14 = 0

-999BT-Bài 1.24: Tìm số phức z sao cho: I z I = — và một acgumen của

Vậy số phức cần tìm: z = 2yÍ3 + 6i.

Bài 1.26: Tìm số phức z thỏa mãn: (iz - l)(z + 3i)(z - 2 + 3i) = 0

Hướng dẫn giải

Ta có: (iz - l)(z + 3i)(z - 2 + 3i) = 0 nên:

- hoặc iz - 1 = 0 tức là z = -i

- hoặc z + 3i = 0 tức là z = -3i

x - y =

1 4

-999BT-_ — — Íy^ + = 4

D o đ ó : z z + 3 ( z - z ) = 4 -3 i< = > r ^

x = ±VĨ51

Ta có A’ = (5 - 2iý - 2 (28 - 4i) = -35 - 12i

[2xy = -12

Ta có: x^ + y^ = Vs5^ + 12^ = Vl369 = 37

Do đó giải được 2 căn bậc 2 là: ±(1 - 6i)

Bài 1.33: Giải phưoTig trình nghiệm phức: 2ix^ - 3x + 4 + i = 0

Bài 1.34: Giải phương trình nghiệm phức: = i.

Bài 1.35: Giải phương trình nghiệm phức: z^ - (3 + i)z^ + (3 + 4i)z + 1 - mi = 0

biết phương trình có một nghiệm là z = i

Hướng dẫn giải

Thay z = i vào phương frình ta có m = 3

Khi đó phương ưình trở thành

z^ - (3 + i K + (3 + 4i)z + 1 - 3 1 = 0

<=> (z - i)(z^ - 3 z + 3 + i) = 0 o z = i hoặc z^ - 3z + 3 + i = 0

Ta có A: 9 - 4(3 + i) = -3 - 41 = (1 - 21)^

Suy ra z = 2 - 1, z = 1 + 1

Vậy nghiệm của phương trình là z = 1, z = 2 - 1, z = 1 + 1

Bài 1.36: Giải phương trình nghiệm phức: z'* + 2z^ + z^ + 4z + 4 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có z = 0 không là nghiệm của phương trình

Bài 1.37: Giải các phương trình nghiệm phức;

-9995T-Phương trình bậc hai có biệt thức

A = (2 + i)^ - 4 (7 i-l) = 7 - 24i = (4 - 3i)^ nên A có các căn bậc hai là+ (4 - 3i) Từ đó giải cho 2 nghiệm x = 3 - i , x = - l +2i

Bài 1.38: Giải phương trình nghiệm phức: 2z^ - 9z^ + 14z - 5 = 0.

Từ x^ + (y - 3)^ = 1 ta có (y - 3)^ < 1 o 2 < y < 4

Do đó: |z| - -y/x^ + y^ = >^c^T7ỹ^-3)^"-i-'6ỹ^^ = -y/6y- 8 > V ĩ = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của |z| bằng 2 đạt khi z = 2i

Bài 1.42: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất sao cho: |z| = z - 3 + 4i

Số phức thỏa mãn điều kiện có môđun nhỏ nhất là z = 2 + 2i

Bài 1.44: Cho z là số phức thỏa mãn (1 - z)(i + z ) là số ảo Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của T = I z - i I

Đường tròn (C) cắt Oy tại A(0;1) và cắt Ox tại B(1;0), vì AB là đường kính nên

Mà: |zi - Z 2l = ^ nên |z i - Z 2Ị^ = (zi - Z 2)(zi -Z 2 )

-999BT Với z = 1 + %/3 i, ta có

w

3 + Vãi

A(1-i)^ _ 1

Bài 1.49: Giải phương trình nghiệm phức: z^ + z = 0 Khi đó hăy tính tổng

T các lũy thừa bậc bốn của các nghiệm

Hướng dẫn giảiGiả sử z = X + iy, X, y G R

PT <» (x + iy)^ + (x - iy) = 0

Ì 2 x y - y = 0

Bài 1.50: Giải phưomg ừình: (z +3-i)^ - 6 (z +3 - i) + 13 = 0

Khi đó hãy tính tổng T các lũy thừa bậc tám của các nghiệm

Hướng dẫn giảiĐặt z + 3 - i = w thì phưorng trình trờ thành w^-6w+l 3 = 0

Biệt thức A = 36 - 52 = -16 nên w = ^~'^^ = 3 ±2i

Hướng dẫn giải

Ta có: I z - i I = 1 <=> IX + (y - 1 )i p = 1 « • x^ + (y - 1 )^ = 1

-999BT-Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 1(0; 1), bán kính R = 1.

Bài 1.53: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số

z - iphức z thoả mãn điều kiện :

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là trục hoành Ox

Bài 1.54: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện:

2 |z — i| = | z —z +2i |

Hướng dẫn giải

Ta có: 2| z - i| = 1 z - z + 2i| <=> 2 1X + (y - l)iI = 2 I (y + l)i|

« x' + ( y - l ) 2 = ( y + l V _ X^

Vậy tập hợp cần tìm là parabol y =v a y lap Iiu p i;au UIII la p a ia u u i y -

Bài 1.56: Cho số phức z sao cho |z - 1 - 2i| = 2V2 Tìm tập hợp các điểm là

M biểu diễn và tìm số phức z sao cho phần ảo của z bằng 4

Bài 1.57: Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả điều kiện: ỉ là số ảo.

Bài 1.58: Trên mặt phang phức tìm tập họp điểm biểu diễn số phức z thoả

Hướng dẫn giải

diễn số phức z trên mặt phang phức

<=> x^ + y^ < 4

Vậy tập hợp các điểm M là hình tròn tâm o , bán kính R = 2.

Bài 1.59: Tìm các tâp điểm biểu diễn số phức z có môt acgumen bằng —.

Bài 1.60: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phang biểu diễn các số

=> OB AB = 0 nên tam giác OAB vuông tại B.

cùng nằm trên một đường tròn

4 2cos 4* —K X

4 2

4 2+ i.sin

Bài 1.68: Gọi Zi, Z2là hai nghiệm của phương trình:

-Tìm số n nguyên dương nhỏ nhất sao cho z" + Z2 = 1

Mặt khác: (1 + i)^ = 2i => (1 + i)'“ = (2i)^° = -2^°.

So sánh phần thực và phần ảo của (1 + i)'®® thì

-999BT-§2 TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

Hướng dẫn giảiVới n nguyên, n > 2 từ giả thiết ta có:

11 - kXét phương trìn h - i = 4, o ^ i ^ k ^ l l

Cí>k + 2i = 3, 0 < i < k < 11 <» k = l,i = 1

k = 3,i = 0Suy ra hệ số của x'* là cỉi.3.cj(-l)^ +Cii.3^= 4422

Bài 2.4: Cho n là số nguyên dương thỏa Cn + c„ + + C"”^ + C" = 255 Hãy tìm số hạng chứa x ‘'* trong khai triển của P ( x ) = (1 + X + 3 x^)"

Bài 2.5: Tìm hệ số của X* trong khai triển biểu thức:

-Bài 2.6: Cho n là số nguyên dưomg thỏa mãn: = 7(n + 3).

Bài 2.7: Tìm hệ số x^° trong khai triển Newton của biểu thức

biết rằng số nguyên dương n thỏa mãn:

' 7 — k 5k

Số hạng nguyên t h ì -và — là sô nguyên nên k = 3

Vậy số hạng nguyên là: T4 = C3.5^.2^ = 28 000

ràng tổng các hệ số của khai triển (a + b)" bằng 4096, n € N*

——^ = 0 <=> k = 8 (thỏa mãn)

Bài 2.10: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển P(x) = (1 + x)(l + 2x)" với số