Một số chuyên đề nguyên hàm và tích phân bám sát kỳ thi THPT Quốc gia: Phần 2

Các dạng bài tập phong phú đa dạng và được sắp xếp từ để đến khó. Cuốn sách là sự kết hợp kiến thức cả 3 lớp 10, 11, 12 nên đây là nền tảng vững chắc ,bổ ích cho học sinh. Sách được chia thành 2 phần, mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 cuốn sách.

% P H Ư Ơ N G P H Á P T ÍC H P H Â N Đ ổ l B IẾ N số

V À T ÍC H P H Â N T Ừ N G P H A N

Tích phân đỗi biến số

Dạng ỉ: Nếu X = u(t) có đạo hàm liên tục trên [a, P] và

u(a) = a, u(p) = b thì: [ f{x)dx = f{u{t)).u'Ụ).dt

3) Tích phân liên kết, để lính ỉ thì đặt thêm J mà việc linh I +J và I — J, I ^m J

và I - n j thuận lợi hơn, từ đó suy ra I.

4) Giả sử hàm sổ f(x) liên lục trẽn đoạn f-a; aỊ.

ỉ) Chọn đặt u và dv để đưa về nguyên hàm có công thức.

2) Chọn đặt u và dv để đưa về tích phân đơn giản hơn, giảm bậc hơn, dùng tích phân từng phần liên tiếp 2 hay nhiều lần hoặc dạng vồng tròn lặp lại tích phân ban đầu,

2) Phổi hợp bảng công thức nguyên hàm, các tính chất của tích phân.

86

Bài toán 10.10: Tính: I = [ —(In x)^dx

0Đổi biến X = -t đối với tích phân Jf(x)dx ta được:

a) Đổi biến số, đặt t = cosx

Phương pháp tích phân đồi biến số

Dạng 1: Nếu X = u(t) cỏ đạo hàm liên tục trên [a, P] và u(a) = a, u(Ị3) = b thì:

Xj = l - v l - m <1Với X2 < 0 <=> < 0 <=> m < 0.

Phương pháp tích phân đổi biến số

Dạng 1: Nếu X = u(t) cỏ đạo hàm liên tục trên [a, fĩ] và u(a) = a,

c , Neu kết hợp với các biến đoi sai phân, thêm bớt đại lượng đặc biệt thì phân tích nhanh.

1) Phổi hợp bảng công thức nguyên hàm, các tính chất của tích phân.

2) Sử dụng các công thức mở rộng kx với k ^ 0, mở rộng công thức X thành u kèm sẵn du = u'.dx, lưu V dấu cộng trừ và hệ số nhân chia, khi cần ta viết gộp công thức đối biến.

100

Bài tập 12.2: Tính: I = f —

ị X

3x + 1x‘^-4 x + 3-dx.

a) Phân tích mẫu thành các thừa số

b) Chia từ và mẫu cho x^ rồi đặt t = X + — .

Các công thức nguyên hàm lượng giác

I cosxdx — sìnx + c Ị cosu.u'.dx = sinu + c

108

dx = -COÍII + c.

s i n u

s i n X

- Biến đôi hạ bậc lượng giác,

- Biến đổi lích thành lổng lượng giác,

- Các biến đổi

cosacosx.cos(x + a)

asinx + Pcosx + y _ A(asinx + bcosx + c)'

asin^ x + bsinxcosx + cos^ X atan^ x + bttanx + c cos^ X

(a^ sin^ X + b^ cos^ x)“ (a^ sin^ X + b^ cos^ x)“

Phương pháp tích phân đổi biến số

Dạng ỉ: Neu X = u(t) cỏ đạo hàm liên lục trên [a, P] và u(a) = a,

- Nếu R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì đặt t = cosx

Neu R(sinx, -cosx) = -R(siìix, cosx) thì đặt t = sinx

Nếu R(-sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) thì đặt t = tanx, cotx.

Tích phân truy hồi

Tích phân I„ theo ỉn-ì hay I „ -2 thì sin" X, cos" X tách luỹ thừa ỉ và dùng phương pháp tích phân từng phần còn tan" X, c o f X tách lũy thừa 2 và dùng phương pháp tích phân đổi biến sổ.

Bài toán 13.2: Tính; 1 = 1 (2cosx - sin 2x)đx

Giải

37

1 1 2

Ta có s i n \ + 2cosx cos^— - sin^x + cosx(l + cosx) = 1 + cosx nên

41 _ "p = 1 - i i i i - ^sinxdx _ ’'r^ sinxdx ’'fM(l+cosx) ,

• sin’ x + 2 co sx co s'- i 1+cosx i 1+cosx

jsin’ xdx=-Jsin’ —- t pt = Jcos’ tdt

Giải

Đặt X = 7i-t thì dx = -dt, khi X = 0 thì t = 7 1 , X - TI thì t = 0

Bài toán 13.22: Tính: c = Ịcos^ x.sinSxdx

Xét 3sinx + cosx + 3 = A(sinx + 2cosx + 3) + B(cosx - 2sinx)

= (A - 2B)sinx + (2A + B)cosx + 3A

1-V3

116

2 - ’“

7T

- =i> t 2

3cos^ X + sinxcosx -1

g 3 + tanx - (1 + tan^ x) cos^ X J tan^ X - tanx - 2 cos^ X

Khi x = 0=>t = 0, x = — =>t = — nên I = 2 í t^sin tdt

Đặt u = t^, dv = sintdt Khi đó du = 3t"dt, V = -cost

I = 2(-t^cost)" +6 jt^costdt = 6 Ịt^costdt

Áp dụng tích phân từng phần 2 lần nữa thì I = 3(n - 4)

Bài toán 13.48: Cho F(x) là một nguyên hàm của

Giái

Đổi biến u = 2x thì du = 2dx, x = 1 =>u = 2, x = 3=>u = 6

ỉỉì/ỳí/t r>tĩìri i/iyVì ihtỉìi^ IrVt/^ĩ i*»ìẼĩ/t t/th%^tA

- Biên đôi chia tách, thêm bớt, khai triên, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân

Phương pháp tích phân đổi biến số

Dạng 1: Nêu X = u(í) có đạo hàm liên tục trên [a, P] vàu(a) = a, u(P) = b thì:

Nếu 2 hàm sổ u(x), v(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;bj thì

J‘h udv = u.v l - \ v.du rh

-D ạ n g ị -v/x^ +mdx Đặt u = v x ^ + m , dv = dx.

a

= — ( r - l ) í / / + 2 (—^ -— ) d t = ^ - r - t + ln —

r X + 2 Bài toán 14.10: Tính tích phân: I = - , dx

V V

+(2 - V3)lr^t - lỊ + (2 + V3)ln(/ +1)

1 3 4

J 2dvĐặt V = tan — = > dt = -7

Kdũ t = 0=>v = 0 ;t = —=>v = 1

22dv

Bài toán 14.16: Tính tích phân I = J

Vì sinx - V3 cosx = 0 Cí> tanx = ^ Í 3 o x = ^ d o x e 0 ;^

4Khi x = 0 = > t = l , x = —=>t = 3

Bài toán 14.22: Tính: 1 = 1 -tanx

Bài toán 14.23: Chứng minh ràng: f(x) = 1 , dt là hàm sổ chẵn

Phuơng pháp tích phân đổi biến số:

Dạng 1: Nếu X = u(t) có đạo hàm liên iục trên fa, fỉ] và

u(a) = a, u(P) = b thì: f f(x)d x = f(u{t)).u'{í).dí.

1 , 4 + 2^J3 l i / - , rĩ\

4 ỊBài toán 15.9: Tính: I = í - ^ d x

^ 1

e + —- 1 4

Giải

dtĐặt t = thì dx = — , X = 1 thì t = e, X = 3, thi t = ệ

1 1 ;

I = J(x^ + x+ l)e’‘dx = (x^ + X + l)e’‘ 1', - J(2x + l)e’‘dx = 3e -1 - 1(2x + l)e’‘dx

Đặt tiếp u = 2x + 1, dv = dx thì được I - 2(e - 1)

Bài toán 15.18: Tính; I = |(x^+2)e’‘d x

"/2 ^ „/2+ — Ịe^’‘ cosSxdx

^ 0Đăt u = dv = cosSxdx Khi đó du = 3e'’'‘, 3x V = — sinSx.1

3;r

3.e~^ +5 34

6Đặt sinx = t thì cosxdx = dt

l uKhi x = —= > t= —,x = -^=>t = l

Bài toán 15.31: Tính: 1 = 1 cos X ln(sin x)dx

3 J 3 1 X ,

dx

x + 1

:3 -4 1 n 2

4 + lnx+ 31nx

+ e" +2e" +7

~ 27 -d x

152

- 2

x + 1

1 1

+1

Bài toán 15.44: Tính: I = lỊ^l + x - —je *dx

Bài toán 15.47: Tính tích phân: I I

Từ định nghĩa tích phân, với

y ~ f(^) ^ 0 và liên tục trên đoạn [a,b] thì diện tích

hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục

Phương pháp chung để tính diện tích hình phang

-X á c định theo ẩịnh nghĩa gôm 1 hàm theo X là y =f(x) và trục Ox , nêu chưa

có hai biên thì phải tìm hoành độ giao diêm.

- X á c định theo định nghĩa gồm 1 hàm theo y là X = g(y) và trục Oy, nếu chưa

có hai biên thì phải tìm tung độ giao điểm.

160

-X á c định theo đồ thị thì phải xác định miền diện tích giới hạn các biên.

-Phá dấu giá trị tuyệt đổi thì xét dấu, chia miền so sánh hoặc dùng đồ thị trẽn dưới.

- Ngoài cách tỉnh trực tiếp thì ta có thể cắt chia: chia ra nhiều phần diện tích

để tính, hoặc bù trừ: lấy diện tích lớn trừ bớt phần dư hoặc đổi vai trò X vày.

- Dựa vào tỉnh đổi xứng để tỉnh gọn.

- Nếu hình cần lính chưa có hàm sổ xác định, ta phải chuyển phương trình cho thành dạng các hàm sổ, các hàm ớ đường biên,

Sau khi xác lập được tỉnh phân cần tính thì vận dụng báng công thức nguyên hàm, tích phân, các tính chất của nguyên hàm, tích phân, và hai phương pháp đoi biến so , tích phân từng phần cùng với các kỹ thuật biển đổi: khai triển, chia lách, thêm bớt, nhân lượng liên hiệp, viết dạng mũ phân số, phân tích thành các phân so, biến đôi lượng giác, .và các phép đổi biến số dặc biệt đã nêu trong các phần trước.

Bài toán 16.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:

a) y = cos^x, trục hoành, trục tung và đường thẳng X = 7Ĩ.

b) y = x^ - 4x, trục hoành và 2 đường thẳng X = -2, X = 4

Giải

a) Theo định nghĩa thì diện tích hình phẳng giới hạn:

s = jcos^ xdx = —|( l + cos2x)dx = —(x + —sin2x) = — (đvdt)

s = ||x^-4xjdx=j(x^-4x)dx-j(x^-4x)dx + J (x ’ -4 x)dx = 44(đvdt).

Bài toán 16.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:

y = (x + 2)e^’‘, trục hoành và 2 đường thẳng X = 0, X = 3

b) Theo định nghĩa thì diện tích hình phẳng giới hạn:

Bài toán 16.4: Cho hàm số (C); y =

giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành

/ ì

162

Bằi toán 16.5: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số :

2

Vậy s = — (đvdt).

Bài toán 16.9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Bài toán 16.12: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:

Bài toán 16.15: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y = x^ - 1 và tiếp

tuyến tại điểm A (-l; -2)

Giải

Ta có y' = 3x^ nên tiếp tuyến tại A là y = 3x + 1

Phương trình hoành độ giao điểm:

Bài toán 16.16: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bời đồ thị:

y = x^ - 2x và 2 tiếp tuyến qua B(2; -9)

Diện tích hình phẳng giới hạn:

s = Si + S2 = j[x^ - 2 x -(-4 x -l)]d x

-1

Bài toán 16.17: Cho (P): y = x^ và đưÒTtig thẳng d qua A(1; 3) có hệ số góc k Tìm

k để để diện tích hình phang giới hạn bởi d và (P) có diện tích nhỏ nhất

Bài toán 16.18: Tính diện tích của hình Elip (E) có phưong trình đường biên:

Phương trình của (E) trong góc phần tư thứ I là: y = — V ã ^ ~ -^ •

a

Theo tính đối xứng thì : s = 4Si = — í ^Ja^ - x M x

^ 0Đặt: X = asint, với 0< t < ^ =í> dx = acost.dt

2Đổi cận: x = 0=>t = 0 ; x = a=>t = ^ Khi đó;

Bài tập 16.5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(d):y = x + ^

4

170

TÍNH THẾ TÍCH VẬT THỂ

h Thể tích vật thể tỏng quát: - Ị S{x)dx

-X á c định theo công thức hĩnh giới hạn bởi I hàm y =f(x) và

trục Ox khi quay quanh trục Ox, nếu chưa cổ hai biên thì phải tìm hoành độ giao diêm.

- Xác định theo công thức hĩnh giới hạn bởi ỉ hàm X = g(y) và trục Oy khi quay quanh trục Oy, nếu chưa có hai biên thì phải tìm tung độ giao điểm.

-X á c định hĩnh theo đồ thị thì phải đánh dấu miền diện tích giới hạn các biên.

- Phá dấu giả trị tuyệt đối thì xét dấu, chia miền so sảnh hoặc dùng đồ thị trên dưới -Ngoài cách tính trực tiếp thì la có thế phân chia: chia ra nhiều phần diện tích để tính tổng thể tích khối tròn xoay, hay bù trừ: lẩy thể tích lớn trừ bớt phần dư,

- Dựa vào tính đối xứng để tính gọn

- Neu hình cần tính chưa có hàm so xác định, ta phải chuyển phương trình cho thành dạng các hàm số, các hàm ở đường biên,

Sau khi xác lập được tính phân cần tính thì vận dụng bảng công thức nguyên hàm, tích phân, các tính chai của nguyên hàm, tích phân, và hai phương pháp đối biến số , tích phân từng phần cùng vói các kỹ thuật biến đối: khai triển, chia tách, thêm bớt, nhãn lượng liên hiệp, viết dạng mũ phân số, phân tích thành các phân sổ, biến đổi lượng giác, .và các phép đổi biến sổ đặc biệt đã nêu trong các phần trước.

Bảng các nguyên hàm

ị dx = X + c I kdx = kx + c với k là hằng số

Bài toán 17.1: Tính thể tích của vật thể giới hạn giữa hai mặt phang: X = -1, X = 1

và biết thiết diện của vật thể bị cắt bời mặt phang vuông góc với trục Ox tạiđiểm có hoành đ ộ x ( - l < x < l ) l à một hình vuông cạnh 2V1 - .

Bài toán 17,2: Tính thể tích của vật thể giới hạn giữa hai mặt phẳng; X = 0, x = n

và biết thiết diện của vật thể bị cất bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ X (0 < X < Tt) là một hình vuông cạnh là 2 -v/sin X

Giải

Hình chữ nhật có 2 cạnh là X và 2 V9 -x ^ thì có diện tích 2x y j9 -x ^ .

172

Bài toán 17.4: Tính thể tích của vật thể giới hạn giữa hai mặt phẳng: X = 0, X = 71

và biết thiết diện của vật thể bị cẩt bởi mặt phang vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ X (0 < X < 7x) là một tam giác đều cạnh là 2 Vsinx

Bài toán 17.5: Tính thế tích vật thể mà mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là

Bài toán 17.6: Tính thế tích của vật thể giới hạn giữa hai mặt phẳng: X = 0, X = 2

và biết thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phang vuông góc với trục Ox tạiđiểm có hoành độ X (0 < X < 2) là một nửa hình tròn đường kính Vs x^.

Giải

Ta có thể tích của vật thể: V = í.stx)^^; = \ n - — dx =71 —

Bài toán 17.7: Tính ứiể tích vật thể mà mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một

hình vuông biết rằng đáy của vật thể là một hình ừòn giới hạn bỏd :x^ + y^=l

Bài toán 17.8: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng

giới hạn bởi các đường: y = cosx, y = 0, x = 0 v à x = — quanh trục Ox

Bài toán 17.9: Tính thể tích cùa khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng

giới hạn bởi các đường: y = 0, x = 4 v à y = -v/x -1 quanh Ox

Giái

Thể tích vật thể quanh trục Ox:

N = ĩtị{ f{ x )Ý dx = 7ĩ|(Vx-l)“dx=7tj(x-2Vx+l)dx=— (đvtt)

Bài toán 17.10: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng

giới hạn bởi các đường y = 0, y = —V9-x^ quanh Ox

Giải

-Vì hàm số: y = — v9 - x^ là hàm số chẵn nên do tính đối xứng của hình phẳng

3qua trục tung nên thể tích vật thể quanh trục Ox:

Ta có y = Vl + 2x.e’’‘

1

Bài toán 17.12: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phang giới

hạn bời đồ thị hàm sổ y = yỊ\ + 2x.e^"'và các trục tọa độ, quanh trục hoành

Hoành độ giao diêm X = 0; X = —.

Ta có thể tích vật thể quanh trục Ox:Ta có thê tích vật thê quanh trục Ox:

Bài toán 17.17: Cho hàm số (C): y

hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và các đường thẳng X = 2, X = 4 khi quay quanh trục Ox

Bài toán 17.18: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạnbởi: y = (2x + 1)3 , X = 0, y = 3 quanh trục Oy:

Cho X = e ^ y = Inx = 1,

Và y = Inx => X =

Thể tích vật thể quanh trục Oy:

Bài toán 17.19: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn

bởi: y = Inx, y = 0, X = e quanh trục Oy

Bài toán 17.20: Tính thể tích kliối tròn xoay sinh ra khi quay hình phang giới hạn

bởi các đường y = 2x - x^ và y = 0 quanh Oy

Bài toán 17,22: Đường thẳng d qua y = kx + 1 - k cắt Ox, Oy tại M, N Tìm k < 0

để thể tích khối tròn xoay tạo ra khi quay tam giác OMN quarứi Oy đạt giá trị

Bài tập 17,1: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng s giới hạn bỏd đồ thị:

, tiệm cận và X = -2 , X = - 4 quanh trục Ox

’

Bài tập 17.2: Cho hình phăng s giới hạn bởi các đường: y = tanx; X = 0; X = — ;

y = 0 Tính thể tích khối tròn xoay khi hình s quay quanh Ox.

lỉD-DS

Bài tập 17.3: Tính thể tích cúa khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox

hình phang s giới hạn bởi các đường: y = xe’‘ , x = 1, y = 0 với 0 < X < 1

Bài tập 17.7: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay xung quanh Oy của

hình giới hạn bởi các đường (P): y = — , y = 2, y = 4 và trục Oy

Bài tập 17.9: Gọi (d) là đường thẳng qua M(l; 1) với hệ số góc k < 0 Giả sử (d) cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi tam giác OAB khi quanh trục Ox Xác định k để khối tròn xoay đó có thể tích nhỏ nhất.

Diện tích hình thang cong

Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

y =f(x), trục hoành và hai đường thang X = a, X = b

(a < b).

Giá sử f là hàm sổ liên tục và nhận giá trị dương

trên đoạn [a; b].

Diện tích s của hình thang cong đó là: s = F(b) - F(a).

Phương pháp tích phân đổi biến số:

Dạng I: Neu X = u(t) có đạo hàm liên tục trên [a, P] và u(a) = a, u(P) = b thì:

í f {x)dx = [^ f{u(t)).u'{t).dí.

Dạng 2: Nếu t = v(x) có đạơ hàm liên tục và f(x)dx = g(t)dt thì:

Cách khác: Xét F(x) = j f{x)dx thì F liên tục trên [a; b].

Ta có F’(x) = f(x) , mà theo giả thiết f(x) > 0 trên [a; b] nên F đồng biến trên [a; b]

Vì a < b nên F(a) < F(b) => F(b) -F(a) > 0 ^ đpcm

Đặt h(x) = f(x) - g(x).Ta có h(x) > 0 trên [a; b] nên