Mời các bạn cùng tham khảo đáp án đề thi cuối học kỳ II năm học 2019-2020 môn Cấu trúc rời rạc sau đây để biết được cấu trúc đề thi, cách thức làm bài thi cũng như những dạng bài chính được đưa ra trong đề thi. Từ đó, giúp các bạn sinh viên có kế hoạch học tập và ôn thi hiệu quả.
Trang 1Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG CAO
NGÀNH: Công nghệ Kỹ thuật Máy tính
-
ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2019-2020
Môn: Cấu Trúc Rời Rạc
Mã môn học: DSCC235864
Đề thi có 01 trang
Thời gian: 75 phút
Được phép sử dụng tài liệu
Câu 1: (1.5 điểm)
a Cho các mệnh đề p, q, r Chứng minh: [¬p → (q → r)] [q → (p ∨ r)]
b Lấy phủ định của mệnh đề sau (viết cụ thể bằng lời):
“P: Nếu trời mưa và bạn không đến đón thì tôi không đi học.”
c Hãy kiểm tra suy luận sau:
t→u
r → (s t)
( p q ) → r
(s u )
p
Câu 2: (1 điểm)
a Vẽ sơ đồ Venn thể hiện sự kết hợp giữa các tập hợp A và B như sau: (A−B)∪(B−A) Giả
định rằng 2 tập hợp A và B giao nhau
b Cho f là hàm từ R sang R được xác định bởi: f(x)=x 2 Tìm f −1 ({x|x>4})
Câu 3: (2.5 điểm)
Cho X = {𝑑 ∈ ℕ: 12 𝑐ℎ𝑖𝑎 ℎế𝑡 𝑐ℎ𝑜 𝑑}, và cho R = {(𝑎, 𝑏) ∈ 𝑋 × 𝑋: 𝑏 𝑐ℎ𝑖𝑎 ℎế𝑡 𝑐ℎ𝑜 𝑎}
a Chứng minh rằng (X,R) là một tập sắp thứ tự (poset) Lý giải cụ thể từng luận điểm
b Vẽ biểu đồ Hasse
c Poset trên có phần tử lớn nhất (maximum) và nhỏ nhất (minimum) hay không? Tại sao?
d Poset trên có phải là một Lattice hay không? Tại sao?
Câu 4: (3.5 điểm)
Cho A = {a, b, c, d, e}, và cho R là một quan hệ trên tập A với ma trận quan hệ như sau:
a b c d e
a 0 0 1 0 0
b 0 0 0 1 0
c 1 0 0 0 0
d 0 1 0 0 0
e 0 0 0 1 0
a Hãy biểu diễn R bằng đồ thị có hướng (directed graphs)
b Quan hệ R có (hoặc không có) các tính chất nào trong những tính chất sau: phản xạ, đối
xứng, phản đối xứng, bắc cầu? Tại sao?
c Hãy tìm bao đóng (closure) của R để nó vừa đối xứng vừa phản xạ
d Hãy tìm bao đóng (closure) của R để nó vừa phản xạ vừa bắc cầu
Câu 5: (1.5)
a Viết mã giả (pseudocode) (hoặc chương trình) cho thuật toán tìm số nguyên nhỏ nhất
trong một mảng gồm n số nguyên bằng cách so sánh mỗi số nguyên với số nhỏ nhất đã tìm
được trước đó
b Tính số phép so sánh phải thực hiện trong trường hợp tốt nhất (best-case) và xấu nhất
(worst-case) của thuật toán trên Lý giải cụ thể kết quả đạt được
c Kết luận về độ phức tạp tính toán (time complexity) (big-O) cho các trường hợp tốt và
xấu nhất
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi
Trang 2Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra
[CĐR 1.1]: Có khả năng đếm các bộ khác nhau của các
đối tượng rời rạc bằng cách sử dụng các kỹ thuật liệt kê
cơ bản
Câu 3
[CĐR 1.2]: Có khả năng tạo ra các công thức liệt kê họ
các đối tượng sử dụng lý thuyết tập hợp, đệ quy và các
hàm khởi tạo
Câu 2, Câu 5
[CĐR 1.3]: Có thể giải quyết các loại vấn đề khác nhau
trên các đồ thị rời rạc
Câu 3, Câu 4
[CĐR 1.4]: Có thể thực thi các thuật toán cho nhiều loại
vấn đề khác nhau trên các đồ thị rời rạc
Câu 3, Câu 4
[CĐR 1.5]: Có khả năng chứng minh các kết quả khác
nhau trong lý thuyết liệt kê hoặc lý thuyết đồ thị bằng
cách sử dụng quy nạp, bộ đếm, lý thuyết tập hợp qua các
đối số song ánh và phủ định
Câu 1, Câu 2, Câu 3
Ngày 06 tháng 07 năm 2020
Thông qua Trưởng ngành
(ký và ghi rõ họ tên)
Trang 3Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1
a
(0) ¬p → (q → r)
b Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho: ((p q) → r) = p q r
“𝑃̅ : Trời mưa và bạn không đến đón mà tôi vẫn đi học.”
c
r → (s t) (2)
( p q ) → r (3)
(s u ) (4)
s u (5) ((4) + De Morgan)
s (8) ((5) + Simplification)
t s (9) ((7)+(8)+ Conjunction)
(t s) (10) ((9)+De Morgan)
r (11) ((2)+(10)+ Modus tollens)
(p q) (12) ((3)+(11)+ Modus tollens)
pq (13) ((12) + Negation)
0.5
0.5
0.5 Câu 2:
a
b f −1 ({x|x>4}) chứa tất cả các phần tử thuộc tập hợp R, và có các ảnh như
là một số thực lớn hơn 4
Do đó ta có: f(x) >4 → x 2 >4 → x<-2 hoặc x >2
f −1 ({x|x>4}) = {x|(x<-2)v(x>2)}
0.5
0.5
Câu 3:
a Cho a∈X ta có a chia hết cho chính bản thân nó Do đó aRa đúng, (X,R)
có tính phản xạ
Cho a,b∈X ta có b chia hết cho a (aRb) và a cũng chia hết cho b (bRa)
khi và chỉ khi a=b Do đó (X,R) có tính phản đối xứng
Cho a,b,c∈X ta có b chia hết cho a (aRb) và c chia hết cho b (bRc) nên c
cũng chia hết cho a (aRc) Do đó (X,R) có tính bắc cầu
0.25
0.25 0.25
Trang 4Từ các dữ kiện trên ta có thể suy ra (X,R) là một tập sắp thứ tự (poset)
b Biểu đồ Hasse:
c Poset có một phần tử cực đại duy nhất là 12 và một phần tử cực tiểu duy
nhất là 1 do đó nó có phần tử lớn nhất (12) và phần tử nhỏ nhất (1)
d Poset này là một Lattice vì mỗi cặp trong poset đều có chặn trên nhỏ nhất
và chặn dưới lớn nhất
0.25 0.5
0.5 0.5 Câu 4:
a Đồ thị có hướng:
b Xét các tính chất: phản xạ, đối xứng, phản đối xứng và bắc cầu
- Không có tính phản xạ vì tất cả các phần tử tại đường chéo chính đều bằng
0
- Không có tính đối xứng vì có eRd nhưng không có dRe
- Không có tính phản đối xứng vì có aRc và cRa nhưng a≠c
- Không có tính bắc cầu vì có eRd và dRb nhưng không có eRb
c Tìm bao đóng của R để nó vừa phản xạ vừa đối xứng
Bao đóng để R phản xạ: R∪ ∆, với ∆={(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e)}
Bao đóng để R đối xứng: R∪R’, với R’ = {(d,e)}
Vậy bao đóng để R vừa phản xạ vừa đối xứng là: R∪ ∆ ∪R’
d Tìm bao đóng của R để nó vừa phản xạ vừa bắc cầu
Bao đóng để R có tính chất phản xạ:
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 1 1
0.5
0.5
0.5 0.5 0.5
0.5
Trang 5Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/1
Sử dụng giải thuật Warshall trên ma trận này ta có:
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0 W0 = 1 0 1 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 1 1 W3 = W2 = W1 = W0
1 0 1 0 0
0 1 0 1 0 W4 = 1 0 1 0 0
0 1 0 1 0
W5 = W4
Bao đóng để R vừa có tính chất phản xạ vừa có tính chất bắc cầu là W4 0.5
Câu 5:
a
procedure minimum (a1, a2, a3, … an: natural numbers with n > 1)
min:= a1
for i:= 2 to n
if ai <min then min:=ai
return min
b Chúng ta luôn phải thực hiện 1 phép so sánh (ai<min) cho mỗi vòng lặp
for Và vì i có thể nhận được 1 giá trị (từ 2 đến n), do đó chúng ta chỉ có
n-1 vòng lặp for Chính vì lẽ đó chúng ta luôn phải sử dụng n-n-1 phép so sánh
khi đầu vào của thuật toán chứa n số nguyên dù là trong trường hợp tốt nhất
hay xấu nhất
c Vì n-1 có big-O là O(n), do đó độ phức tạp tính toán trong trường hợp tốt
nhất hay xấu nhất đều là O(n)
0.5
0.75
0.25