Mời các bạn cùng tham khảo đáp án đề thi học kỳ I năm học 2018-2019 môn Phương pháp toán cho Vật lý 1 của trường ĐH Khoa học Tự nhiên để làm quen với cấu trúc và cách làm bài. Cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.
Trang 1Đáp án: PHƯƠNG PHÁP TOÁN CHO VẬT LÝ 1
Mã học phần: PHY2201 Số tín chỉ: 3 Đề số: 1
Câu I.(3đ)
Tích phân phương trình vi phân sau:
y00+ 4y = 4t2+ 10e−t, với điều kiện ban đầu y(0) = y0(0) = 0
Đáp án: Nghiệm tổng quát:
y(t) = c1cos (2t) + c2sin (2t) + t2−1
2 + 2e
−t
Áp dụng điều kiện ban đầu, nghiệm của bài toán:
y(t) = −3
2cos (2t) + sin (2t) + t
2−1
2+ 2e
−t Câu II.(2đ)
Khai triển hàm sau thành chuỗi Laurent theo luỹ thừa của z
(z − 1)(z − 2) 1) trong miền |z | < 1,
1 (z − 1)(z − 2) =
1 (z − 2) −
1 (z − 1) =
1 (1 − z) −
1 2
1 −z2
= 1 + z + z2+ + zn+ −1
2
1 +z
2 +
z 2
2
+ +
z 2
n
+
= 1
2 +
3
4z +
7
8z
2+ +
1 − 1
2n+1
zn+
2) trong miền |z | > 2
1
(z − 1)(z − 2) =
1 (z − 2)−
1 (z − 1) =
1 z
1
1 −2z −
1 z
1
1 −1z
= 1
z 1 +
2
z +
2 z
2
+ + 2
z
n
+
!
−1
z 1 +
1
z +
1 z
2
+ + 1
z
n
+
!
= 1
z2 + 3
z3 + 7
z4 + + 2n+1− 1 1
zn+2 +
Câu III.(1,5đ)
Hãy chỉ ra rằng hàm số f (z) = |z|2 chỉ giải tích tại z0 = 0 mà không giải tích tại bất kỳ điểm nào khác
Đáp án:
Trang 2Ta có, f (z) = |z|2 = u(x, y) + iv(x, y), do đó u(x, y) = x2+ y2 and v(x, y) = 0 Đạo hàm bậc nhất của u và v liên tục mọi nơi Nhưng, ux= 2x bằng vy = 0, và uy = 2y bằng −vx = 0 nếu và chỉ nếu x = y = 0 Do đó, hàm số f (z) = |z|2 chỉ giải tích tại z0 = 0
Câu IV.(3,5đ)
Tính các tích phân sau:
1)
Z
γ
ez+ z
z − 2dz, trong hai trường hợp: a) γ = {z : |z| = 1}; b) γ = {z : |z| = 3}
Đáp án:
a)R|z|=1ez−2z+zdz = 0, do 2 /∈ {z : |z| = 1}
b) R
|z|=3e
z +z z−2dz = 2πi(e2+ 2), do 2 ∈ {z : |z| = 3} là điểm cực đơn
2) I =
Z ∞ 0
t sin (αt)
1 + t2 dt = 1
2
Z ∞
−∞
t sin (αt)
1 + t2 dt = 1
2Im
Z ∞
−∞
teiαt
1 + t2dt
Hàm biến phức f (z) = z
1 + z2 có các tính chất sau:
(i) là hàm giải tích ở nửa trên mặt phẳng phức trừ tại điểm z = i, và
(ii) |f (z)| ∼ z−1 → 0 khi |z| → ∞ trong nửa mặt phẳng phía trên trục thực
Do α > 0, các điều kiện của bổ đề Jordan được thoả mãn và ta có thể xem xét tích phân
J = Z
C
zeiαz
1 + z2dz trong đó, C là đường tròn nằm trong nửa mặt phẳng phía trên trục thực có R → ∞ Bổ đề Jordan cho ta tích phân dọc theo nửa đường tròn Γ tiến tới 0 khi R → ∞ Định lý thặng dư khi đó cho ta,
Z ∞
−∞
teiαt
1 + t2dt = 2πi Res
z=i
zeiαz
1 + z2 = 2πiie
−α
2i . Lấy phần ảo của kết quả trên ta nhận được
Z ∞
−∞
t sin (αt)
1 + t2 dt = πe
−α
2
và kết quả của tích phân là,
I = 1 2
πe−α
πe−α
4 .
Hà Nội, Ngày 3 tháng 1 năm 2018
Người làm đáp án