Bài giảng Đại số và Giải tích 11 - Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Bài giảng Đại số và Giải tích 11 - Bài 5: Đạo hàm cấp hai với các nội dung định nghĩa, ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng để nắm chắc kiến thức.

§5 Đ O HÀM C P HAI Ạ Ấ

Kiểm tra bài cũ

Bài 1 

Tìm vi phân c a hàm sủ ố

y = sinx - xcosx

Giả

iTa có

y’= cosx­coxs + xsinx    = 

xsinx

Do đó dy=(xsinx)dx

Bài 2 Tìm

(s inx) (cos )

d

d x

Gi iả

Ta có

(sinx) (sinx)' (cos ) (cos )'

d dx

d x = x dx

cos

c otx

s inx

x

−

§5   Đ O HÀM C P HAI Ạ Ấ

I. Đ NH NGHĨA Ị

Tính y’ và đ o hàm c a y’ ạ ủ

bi t ế

a. y = x3 − 5x2 + 4x

Gi iả

y’ =  3x2 −10x + 4

Ta có

(y’)’= 6x ­ 10

b. y = sinx

Gi iả

Ta có y’ =  cos x (y’)’ = ­ sinx

Gi  s  hàm s  y = f(x) có đ o hàm t i m i đi m     ả ử ố ạ ạ ỗ ể        . Khi đó h  th c y’ = f’(x) xác đ nh m t hàm ệ ứ ị ộ

s  m i trên kho ng (a, b). N u hàm s  y’ = f’(x)l i ố ớ ả ế ố ạ

có đ o hàm t i m i x thì ta g i đ o hàm c a y’ là ạ ạ ọ ọ ạ ủ

đ o hàm c p hai c a hàm s  y = f(x) t i xạ ấ ủ ố ạ

( ),

x a b

Kí hi u y’’ ho c f’’(x)ệ ặ

Chú ý

Đ o hàm c p ba kí hi u là y’’’ho c f’’’(x) ho c f(ạ ấ ệ ặ ặ 3)

(x)

Đ o hàm c p n – 1 kí hi u là fạ ấ ệ (n­ 1)(x) 

Đ o hàm c p n c a f(x) kí hi u là y(n) ho c fạ ầ ủ ệ ặ (n)(x)

( )n ( ) ( (n 1) ( ) ) '

(n� Ν ,n � 4)

Ví d : Cho y = x ụ 5

a. Hãy đi n vào b ng sauề ả

y ’ y ’’ y ’’’ y (4) y (5) y (6)

b. Tính y100

c. B t đ u t  n b ng bao nhiêu thì yắ ầ ừ ằ n   b ng 0ằ

Gi iả

y100 = 0;       

Câu h i tr c nghi mỏ ắ ệ

Hãy đi n đúng sai vào ô tr ngề ố

a) y = sinx có y’’ = sinx

b) y = sinx có y’’ = ­sinx

c) y = sinx có y(3) = cosx

d) y = sinx có y(3) = ­cosx

S Đ S

Đ

II. Ý NGHĨA C  H C C A Đ O HÀM C P HAIƠ Ọ Ủ Ạ Ấ

Hđ 2: Ta có: v(t) = s’ = gt

V i tớ 0 = 4s thì v(4) = 4.g = 4.9,8 = 39,2 m/s

V i t ớ 1 = 4,1s thì v(4,1) = 4.g = 4,1.9,8 = 40,18 m/s 

( )

1

39,69 2

g t t

v t v t

v

g t t

−

−

Xét chuy n đ ng xác đ nh b i phể ộ ị ở ương trình  s = f(t),  trong đó s = f(t) là m t hàm s  có đ o hàm đ n c p ộ ố ạ ế ấ hai

V n t c t c th i t i t c a chuy n đ ng là v(t) = f ’(t)ậ ố ứ ờ ạ ủ ể ộ

L y s  gia      t i t thì v(t) có s  gia tấ ố ∆t ạ ố ương  ng là ứ ∆v

T  s  ỉ ố v

t

∆

∆ được g i ọ

là gia t c trung bình

ố

c a chuy n đ ng trong kho ng th i gianủ ể ộ ả ờ ∆t

N u t n ế ồ

0

t

v

∆

∆

∆ v t'( ) = γ ( )t

là gia t c t c ố ứ

th iờ c a chuy n đ ng t i th i đi m tủ ể ộ ạ ờ ể

Vì v(t) = 

''( )

1. Ý nghĩa c  h c ơ ọ

Đ o hàm c p hai f ’’(t) là gia t c t c th i c a ạ ấ ố ứ ờ ủ chuy n đ ng s = f(t) t i th i đi m tể ộ ạ ờ ể

HĐ 3 Tính gia t c t c th i c a s  r i t  doố ứ ờ ủ ự ơ ự

2

1 2

s = gt

Gi iả

s’ = gt

Vì đ o hàm c p hai f ’’(t) là gia t c t c th i c a ạ ấ ố ứ ờ ủ chuy n đ ng s = f(t) t i th i đi m tể ộ ạ ờ ể

Nên ta có suy ra s’’ = g

2. Ví d :ụ

Xét chuy n đ ng có phể ộ ương trình

S(t) = Asin( ω ϕ t + ) (A; ω ϕ là nh ng h ng ữ ằ

s )ố

Tìm gia t c t c th i t i th i đi m t c a chuy n ố ứ ờ ạ ờ ể ủ ể

đ ngộGi iả

G i v(t) là v n t c t c th i c a chuy n đ ng t i ọ ậ ố ứ ờ ủ ể ộ ạ

th i đi m t, ta cóờ ể

v(t) = s’(t) =  ( ) '

sin

V y gia t c t c th i c a chuy n đ ng t i th i đi m ậ ố ứ ờ ủ ể ộ ạ ờ ể

t là γ ( ) t = s t''( ) = v t'( ) = − A ω2 sin ( ω ϕ t + )

Tóm t t bài h cắ ọ

1. Đ o hàm c p 1, 2,  3,      4,    …,   nạ ấ

Kí hi u        y’, y’’,y’’’,yệ 4 ,   , y(n) 

2. Phương trình chuy n đ ngể ộ

V n t c t c th i c a chuy n đ ng t i th i đi m t ậ ố ứ ờ ủ ể ộ ạ ờ ể

Gia t c t c th i c a chuy n đ ng t i th i đi m t ố ứ ờ ủ ể ộ ạ ờ ể là

( )t f ''( )t

Bài t p ậ

Bài t p 1 Tính f ’’(x) bi tậ ế

a. f(x) = (2x – 3)5 b. f(x) = 3x2 + 3x

Gi iả

a.  f ’(x) = 5.2(2x­3)4 = 10 (2x­3)4

     Suy ra f ’’(x) = 80(2x – 3)3

b.  f ’(x) = 6x +3 

Suy ra f ’’(x) = 6

Bài t p 2 Tính f ’’(3) c a bài 1aậ ủ

Ta có: f ’’(x) = 80(2x – 3)3

Suy ra f’’(3) = 80.(2.3­ 3)3 = 80.27 = 2160