Bài giảng Đại số và Giải tích 11 - Luyện tập về hàm số liên tục giúp học sinh nắm chắc những kiến thức về hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng, chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm, xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng...
Trang 1TT GDTX HN Thanh S¬n
Trang 2
Hệ thống kiến thức về hàm s ố liên tục
1 ) Hàm số liên tục tại một điểm
Hàm s ố f(x) xác định trên khoảng K
) x ( f )
x ( f
x
x 0
f(x) liên tục tại x 0 K
2) Hàm số liên tục trên một khoảng
*) Định nghĩa:
- Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy
*) Định lý 1:
Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng
*) Định lý 2:
Tổng, hiệu, tích, thương ( với mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó
Trang 3
3) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có
nghiệm
*) Định lý:
f(x) liên tục trên [a ;b]
f(a).f(b) < 0 b): c (a; f(c) = 0
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)
Bài tập hàm số liên tục
f(x) liên tục
tại một
điểm
f(x) liên tục
trên một khoảng
f(x) = 0
có nghiệm
Trang 4
Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm s ố tại điểm x0
*)Phương pháp:
Tiết 92 : Luyện tập về hàm s ố liên tục
Xỏc đ nh TXĐ D, ki m tra x Xỏc đ nh TXĐ D, ki m tra x ị ị ể ể 0 thu c D thu c D ộ ộ
Tớnh Tớnh f(x0) và
So sỏnh f(x0) và R ồ ồ i đi đ n k t lu n i đi đ n k t lu n ế ế ế ế ậ ậ
0
lim ( )
x x f x
0
lim ( )
x x f x
Bài 1 (SGKư140) Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số
3
0
f x = x + x − tại x =
Bài giải Tập xác định của hàm số
3
3
3 3
lim( 2 1)
� � lim ( )x 3 f x = f (3)
Vậy hàm số f x ( ) = x3 + 2 x − 1 liên tục tại x0 = 3
Trang 5
*)Bài 2 (141):
Cho hàm số:
g(x) =
2
x x
−
− nếu x
2
a, Xét tính liên tục của hàm số g(x) tại điểm x0 =
2
Bài
giải: TXĐ: R
g (2) Kết
luận:
Hàm số đã cho không liên tục tại điểm x0= 2
2
ớ lim ( )
x
T nh g x = 3
2
8 lim
2
x
x x
−
2
=
5
= 12
=>
2
lim ( ) (2)
=
*)Phương pháp:
Tiết 92 : Luyện tập về hàm s ố liên tục
b, Trong biểu thức trên cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại
x0 = 2
b, hàm số liên tục tại 0
2
2 lim ( ) (2)
x
=> g(2) = 12 => Thay số 5 bằng số 12 thì g(x) liên tục
Xỏc đ nh TXĐ D, ki m tra x Xỏc đ nh TXĐ D, ki m tra xịị ểể 0 thu c D. thu c D.ộộ
Tớnh Tớnh f(x 0 ) và
So sỏnh f(x 0 ) và Rồồi đi đ n k t lu ni đi đ n k t lu nếế ếế ậậ
0
lim ( )
x x f x
0
lim ( )
x x f x
Trang 6
Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm s ố trên một khoảng
*)Phương pháp:
áp dụng định lý 1,
2:
các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ, hàm số lượng giác, liên tục trên tập xác định của
chúng Cho hàm số
2
1 ( )
6
x
f x
+
=
+ −
Với mỗi hàm số, hãy xác
định các khoảng trên
đó hàm số liên tục
a, Hàm số
6 ( 2)( 3)
có tập xác định là:
=> hàm số f(x) liên tục trên các khoảng
( − − � ; 3) ( 3;2) (2; � − � + � ) Bài 4 (SGKư141)
Tiết 92 : Luyện tập về hàm s ố liên tục
Trang 7
Vấn đề 3 Chứng minh phương trình f(x) = 0 có
nghiệm
*)Phương pháp Sử dụng định lý
3
f(x) liên tục trên [a ;b]
f(a).f(b) < 0 c (a; b): f(c) = 0 Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)
Ví dụ áp dụng
Cho phương trình: x3 - 3 x + 1
= 0
Bài
giải:
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm ( 1;
2 ) Hàm số f(x) liên tục trên R hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1 ;2]
f(1) =
f(2) = 3 f(1).f(2) = - 3 < 0
x0 ( 1; 2) : f(x0) = 0 Kết luận: phương trình có nghiệm ( 1; 2 )
-1 f(x)= x3 - 3 x + 1 Tiết 92 : Luyện tập về hàm s ố liên tục
Trang 8
Bài 6b, (SGKư
141)
Vấn đề 3 Chứng minh phương trình f(x) = 0 có
nghiệmSử dụng định lý
3
f(x) liên tục trên [a ;b]
f(a).f(b) < 0 c (a; b): f(c) = 0 Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(a; b)
Tiết 92 : Luyện tập về hàm s ố liên tục
*)Phương pháp
Chứng minh rằng phương trình
cosx=x có nghiệm Giải: Ta có: cosx = x <=> cosx – x = 0 Đặt f(x) = cosx – x Khi đó
f π = π π− = − <π
f −π = −π + = >π π
�=> ( ) ( ) 0
f π f − π <
2 2
Vậy phương trình có nghiệm ( ; )
2 2
π π
−
Hàm số f(x) xác định trên R nên nó liên tục tại
2 2
π π
Trang 9
Bài 6a (SGKư
141)
Tiết 92 : Luyện tập về hàm s ố liên tục
Chứng minh rằng phương trình
Giải:
3
2 x − 6 x + = 1 0 Có ít nhất hai nghiệm
Đặt f(x) = 2 x3 − 6 x + = 1 0
Hàm số f(x) xác định trên R nên nó liên tục tại
f(-2) = -9 < 0
f(0) = 1 < 0
�� f ( 2) (0) 0 − f < � ∃ x0 � ( − 2;0 : ( ) 0 ) f x0 =
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(-2; 0)
f(0)
f(1) -3 < 0 � f (0) (1) 0 f < � ∃ x0 � ( ) 0;1 : ( ) 0 f x0 =
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
(0; 1)
1 < 0
=
�
Xét đoạn:[ − 2;0]
Xét
đoạn: [ ] 0;1
=
Vậy phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc
Trang 10
BàI tập
Xét tính liên tục của hàm số tại một
điểm Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Chứng minh phương trình có nghiệm trên khoảng
Bài tập về nhà:
Bài số: 3, 5, 6(SGK-Trang 141)
Bài số: 6, 7, 8 (SBT -Trang 118)
Trang 11Trang 12
Cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x = 0
Có thể gán cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) trở thành liên tục tại x = 0 ?
b) Ta
có:
Vậy không thể gán cho f(0) bất cứ giá trị nào để f(x) liên tục tại x = 0
Bài giải:
-2 Vậy: có thể gán f(0 ) = - 2 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0
x
x 2
x )
x ( f ) a
2
2
2
x
x 2
x )
x ( f ) b
a) Ta có:
Bài toán:
) x ( f
lim
0
) 2 x
(
x lim
0 x
x
x 2
x lim 2
0
0 x
) x ( f
lim
0
2 0
x 2
x
0
) 2 x
(
x lim
x
2
x lim
0 x
Tiết 92 : Luyện tập về hàm s ố liên tục
Trang 13
Bài s ố 3 ( tr137 ): Cho f(x)
=
Để f(x) liên tục tại x = 2 cần có 3 = 4a
ax2 nếu x 2
3 nếu x > 2
( a là hằng số )
Tìm a để hàm số f(x) là liên tục với mọi x; Khi đó hãy vẽ đồ thị hàm số
y = f(x)
Khi x < 2: f(x) = ax2 nên hàm số liên tục.Khi x > 2: f(x) = 3 nên hàm số liên tục.
Khi x = 2:
Bài
giải:
2 f a
4 ax
lim x
f
2 x 2
x
3 3
lim x
f
Lim
2 x 2
x
4
3 a
Vậy
4
3
a thì f(x) liên tục với mọi x
Khi đó f( x)
=
nếu x 2
2 x 4
3
nếu x > 2
3
Tiết 92 : Luyện tập về hàm s ố liên tục
Trang 14
f( x) = nếu x 2
2 x 4
3
nếu x > 2
3
Vẽ đồ thị hàm
số
3
3/4
2 1
-1
y
O Tiết 92 : Luyện tập về hàm s ố liên tục